山师大附中高三数学（文）第二次模拟试题
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，答题纸5至7页，共150分。测试时间120分钟。
第I 卷（共60分）
一、选择题：（本大题共12小题。每小题5分。共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设集合}2,1{=A ，则满足}3,2,1{=B A 的集合B 的个数为（ ） A ．1
B ．3
C ．4
D ．8
2．已知
ni i
m
-=+11，其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则=+ni m （ ） A ．i 21+ B ．i 21- C ．i +2 D ．i -2
3．已知23
)2
cos(
=
-?π
，且2||π?<，则=?tan （ ）
A ．3
3-
B ．
3
3
C ．3-
D ．3
4．设函数)0(ln 3
1
)(>-=
x x x x f ，则)(x f y =（ ） A ．在区间),1(),1,1(e e 内均有零点 B ．在区间),1(),1,1
(e e 内均无零点
C ．在区间)1,1
(e 内有零点，在区间),1(e 内无零点
D ．在区间)1,1
(e
内无零点，在区间),1(e 内有零点
5．实数x 满足θsin 1log 3+=x ，则|9||1|-+-x x 的值为（ ） A ．8 B ．8- C ．0 D ．10
6．设函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，b x x f x -+-=22
1
)(（b 为常
数），则=)1(f （ ）
A ．3
B ．1
C ．3-
D ．1-
7．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”。给出下列函数①x x f cos sin )(-=；②)cos (sin 2)(x x x f +=；③2sin 2)(+=
x x f ；④
.sin )(x x f = 其中“互为生成函数”的是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．③④
D ．②④
8．在A B C ?内，内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若bc b a 32
2=-，
B C sin 32sin =，则A=（ ）
A ．?30
B ．?60
C ．?120
D ．?150 9．已知a 是实数，则函数ax a x f sin 1)(+=的图象不可能是（ ）
10．设命题:p 非零向量||||,,b a b a
=是)()(b a b a -⊥+的充要条件；命题:q “1>x ”是“3>x ”的充要条件，则（ ）
A ．q p ∧为真命题
B ．q p ∨为假命题
C ．q p ∧?为假命题
D ．q p ∨?为真命题
11．已知二次函数),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=，满足：对任意实数x ，都有
x x f ≥)(，且当)3,1(∈x 时，有2)2(8
1
)(+≤x x f 成立，又0)2(=-f ，则b 为（ ）
A ．1
B ．21
C ．2
D ．0
12．若]2
,2[,π
πβα-∈，且0sin sin >-ββαα，则下面结论正确的是（ ）
A ．βα>
B ．0>+βα
C ．βα<
D ．2
2βα>
第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。（将答案填在答题纸上） 13．设曲线2ax y =在点),1(a 处的切线与直线062=--y x 平行，则=a . 14．如果21)4tan(,43)tan(=-=
+παβα，那么)4
tan(π
β+= . 15．在ABC ?中，?===60,7,1B b a ，则=c .
16．O 是平面α上一点，点C B A ,,是平面α上不共线的三点。平面α内的动点P 满足
)(AC AB OA OP ++=λ，若2
1
=
λ，则PA ·)(PC PB +的值等于 . 三、解答题：本大题共6个小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（将答案写在答题纸上。）
17．（本小题满分12分）已知函数R x x x x x f ∈-+=,2
1
cos cos sin 3)(2
（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调增区间；
（2）作出函数在一个周期内的图象。
18．（本小题满分12分）
如图，某观测站C 在城A 的南偏西?20的方向，从城A 出发有一条走向为南偏东?40的公路，在C 处观测到距离C 处31km 的公路上的B 处有一辆汽车正沿公路向A 城驶去，行驶了20km 后到达D 处，测得C ，D 两处的距离为21km ，这时此车距离A 城多少千米？
19．（本小题满分12分）
已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且.62,546-=-=S a （1）求}{n a 通项公式；
（2）求数列|}{|n a 的前n 项和.n T 20．（本小题满分12分）
已知向量))(,(cos ),sin 3cos ,1(x f x n x x m ωωω=+= ，其中0>ω，且n m
//，又函数)(x f 的图象任意两相邻对称轴间的距离为.2
3
π
（1）求ω的值；
（2）设α是第一象限角，且26
23223(=+παf ，求)24cos()
4sin(αππ
α++
的值.
21．（本小题满分12分）
某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交m 元（53≤≤m ）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（119≤≤x ）时，一年的销售量为2)12(x -万件.
（1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x （元）的函数关系式； （2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大？并求出L 的最大值
).(m Q
22．（本小题满分14分） 设函数.21
ln )2()(ax x
x a x f ++
-= （1）当0=a 时，求)(x f 的极值；
（2）设x
x f x g 1
)()(-
=，在),1[+∞上单调递增，求a 的取值范围； （3）当0≠a 时，求)(x f 的单调区间.
山师大附中高三数学（文）第二次模拟试题
参 考 答 案
一、选择题 1．C 2．C 3．D 4．D 5．A
6．A
7．B
8．A
9．D
10．C
11．B
12．D
二、填空题 13．1
14．
11
2 15．
3 16．0
三、解答题
17．解：（1）x x x x x x f 2cos 2
1
2sin 2321cos cos sin 3)(2+=-
+=
……2分 )6
2sin(π
+
=x …………………………………………………………3分
∴最小正周期为.π …………………………………………………………………4分 令Z k k x k ∈+≤
+
≤+-
,22
6
222
ππ
π
ππ
，则ππ
ππ
k x k +≤
≤+-
6
3
，
所以函数的单调递增区间是)](6
,
3
[Z k k k ∈++-ππ
ππ
…………………………6分
…………………………………………………………………………………………9分 画图略…………………………………………………………………………………12分
18．解：在BCD ?中，21,20,31
===CD BD BC ，由余弦定理 71
212023121202cos 222222-=??-+=?-+=∠DC DB BC DC DB BDC ，…………………3分
所以7
3
4sin ,71cos =∠=∠ADC ADC ，…………………………………………5分
在ACD ?中，由条件知?==60,21
A CD ， 所以14
35734217123)60sin(sin =?+?=∠+?=∠ADC ACD ………………8分 由正弦定理 A
CD
ACD AD sin sin =∠
所以1514352
321=?=
AD ………………………………………………………11分 故这时此车距离A 城15千米……………………………………………………12分 19．解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，则由条件得
??
?-=+-=+62645
51
1d a d a ， ………………………………………………………………3分 解得??
?=-=3
20
1d a ，
………………………………………………………………5分
所以}{n a 通项公式)1(320-+-=n a n ，则233-=n a n ………………………6分
（2）令0233≥-n ，则3
23≥
n ， 所以，当7≤n 时，0
]23)1(20[)(2121?-+--=+++-=+++=n n n a a a b b b T n n n n n 2
63
232+-=
n n n a a a a a b b b T ++++++-=+++= 872121)(
当8≥n 时，n a a a a a a a a ++++++++++-= 8721721)(2
1542
63
232+-
=n n 所以???????≥+-≤+-=8,1542632
37,2
63
2322n n n n n n T n ………………………………………………12分
20．解：（1）由题意得n m
//，所以，1·0)sin 3(cos cos )(=+-x x x x f ωωω
……………………………………………2分
x x f ωcos )(=·2
2sin 322cos 1)sin 3(cos x
x x x ωωωω+
+=+ 2
1
62sin(+
+
=π
ωx …………………………………………………………………4分
根据题意知，函数)(x f 的最小正周期为π3.
又0>ω，所以3
1
=ω ………………………………………………………………6分
（2）由（1）知2
1
)632sin()(++=πx x f
所以26
2321cos 21)2sin()22
3(=+=+
+
=+
απ
απ
αf 解得13
5
cos =α………………………………………………………………………8分
因为α是第一象限角，故13
12
)135(
1sin 2=-=α ………………………………9分 所以，
214
13
)sin (cos 222cos 4sin()
24cos()4sin(-=-=
+
=++
ααα
π
ααππ
α ……………12分
21．解：（1）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：
]11,9[,)12)(3(2∈---=x m m x L ……………………………………4分
（2）).3218)(12()3(2)12()(2x m x m x x X L -+-=----='
令0='L 得m x 3
2
6+=或12=x （不合题意，舍去）…………………………6分
∵53≤≤m ，∴.3
28
3268≤
+≤m 在m x 326+=两侧L '的值由正变负. 所以（1）当93268<+≤m 即2
9
3<≤m 时，
).6(9)912)(39()9(2max m m L L -=---== ………………………………9分
（2）当3283269≤+≤m 即529
≤≤m 时，
32max )3
1
3(4)]326(12)[3326()326(m m m m m L L -=+---+=+=，
所以???????≤≤-<≤-=529,)313(4,2
93),6(9)(3m m m m m Q …………………………………………11分
答：若2
9
3<
≤m ，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值)6(9)(m m Q -=（万元）；若529≤≤m ，则当每件售价为)32
6(m +元时，分公司一年的
利润L 最大，最大值3
)3
13(4)(m a Q -=（万元）.…………………………………12分
22．解：（1）函数)(x f 的定义域为).,0(+∞ ……………………………………1分
当0=a 时， x x x f 1ln 2)(+=，∴.1
212)(2
2x
x x x x f -=-=' ………………2分 由0)(='x f 得.2
1
=x )(),(x f x f '随x 变化如下表：
故，2ln 222
()(-==f x f 极小值，没有极大值. …………………………4分 （2）由题意，ax x a x g 2ln )2()(+-=，在),1[+∞上单调递增，
022)(≥+-='a x
a
x g 在),1[+∞上恒成立
设022)(≥-+=a ax x h 在),1[+∞上恒成立， ………………………………5分 当0=a 时，02≥恒成立，符合题意. ………………………………………6分
当0>a 时，)(x h 在),1[+∞上单调递增，)(x h 的最小值为022)1(≥-+=a a h ，得
2-≥a ，所以0>a ……………………………………………………………………7分
当0 所以0≥a …………………………………………………………………………9分 （3）由题意，2 21 )2(2)(x x a ax x f --+=' 令0)(='x f 得a x 11-=，.2 1 2=x ………………………………………………10分 若0>a ，由0)(≤'x f 得]21,0(∈x ；由0)(≥'x f 得).,21 [+∞∈x …………11分 若0 1 [+∞∈x ，0)(≤'x f ； 2 1 ,1[a x -∈，,0)(≥'x f ②当2-=a 时，0)(≤'x f ③当02<<-a 时，]1,0(,211a x a -∈>-或),21[+∞∈x ,0)(≤'x f ;]21 ,1[a x -∈,.0)(≥'x f 综上，当0>a 时，函数的单调递减区间为]21,0(，单调递增区间为),21 [+∞； 当2- ,1[a -； 当02<<-a 时，函数的单调递减区间为),,1[],21,0(+∞-a 单调递增区间为]1 ,21[a -- ……………………………………………………………………14分
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