§2.3 曲面的第二基本形式
一、曲面的第二基本形式
二、曲面曲线的曲率
三、Dupin指标线
四、曲面的渐近方向和共轭方向
五、曲面的主方向和曲率线
六、曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率
七、曲面在一点邻近的结构
八、Gauss映射
一、曲面的第二基本形式
S
Q
π
n
单位法向量δ
(,)(,)(,),uu u v u v L r u v n =? 其中,uv M r n =? .
vv N r n =?
222
II d d 2d d d ,
n r L u M u v N v ==++ 曲面的第二基为本形式称(,),(,),(,).
L u v M u v N u v 称为曲面的第二类基本量P
P '
2II d d n r n ??=-=
例P114-2
3. Meusnier(梅尼埃)
定理
00.
P C P C ΓΓΓΓ曲面曲线在给定点的曲率中心就是与曲线具有共同切线的法截线上同一个点的曲率中心在曲线的密切平面上的投影Meusnier 定理揭示了平面截线与法截线之间的联系.
请理解课本内容后及时独立地完成如下作业！P114: 3，4, 5补充作业题
3
2.3.2.()(,)()()C r u R u v r u vr u '=+ 求类曲线的切线面().
u v c c +=上的曲线为常数的法曲率2.3.1.(,)(cos ,sin ,sin 2)r u v u v u v v =
求曲面的第一类基本形式和第二类基本形式.
4. 根据Dupin
指标线的形状对切点进行分类
(1)椭圆点2
LN M ->(2)双曲点2
LN M -<(3)抛物点2
,,0
LN M L M N ?-=?
?不同时为(4)平点
0L M N ===Dupin 指标线不存在
请理解课本内容后及时独立地完成如下作业！P115: 24补充作业题
23
2.3.3.(,)(,,)r u v u v u v =+ 求曲面上的抛物点、
.
椭圆点和双曲点的集合
2.渐近曲线
每一点的切方向都是渐近方向的曲面曲线.
渐近曲线的微分方程
22
L u v u M u v u v N u v v
++=
(,)d2(,)d d(,)d0
P93 命题1
如果曲面上有直线则它一定是曲面的渐近曲线
,. P94 命题2
曲面在渐近曲线上一点处的切平面一定是渐近曲线的密切平面.
3. 渐近网
如果曲面上的点都是双曲点,则每个点处都有两个不相切的渐近方向,在曲面上会有两族渐近曲线,称曲面上
这两族曲线为的渐近网.
P94 命题3
0.
L N
≡≡曲纹坐标网为渐近网的充要条件是.
此时渐近曲线的微分方程就渐近网的微分方程
是
4. 共轭方向
直径一族平行弦的中点的轨迹.直径AB 的共轭直径
AB 平行于的弦的中点的轨迹.
Dupin ,,.
P P 设曲面上点处的某两个切方向所在的某直线段是点处指标线的共轭直径则称这两个切方向互共轭曲面的为共轭方向相
共轭方向的等价定义
(d)d :d (δ)δ:δ.
d δ(d δd δ)d δ0P P P L u u M u v v u N P u v u v v v +++===曲面的共轭曲面上点处的两个切方向和为当方向当且仅共轭其他等价定义
d δ0
n r ?=?
d 0
n r δ??= 渐近方向为自共轭方向.
,,.
如果曲面上的两族曲线使得过曲面上的每一点此两族曲线的两条曲线的切方向都是共轭方向则称这曲面的族曲线为共轭网两5. 共轭网
共轭网的微分方程(已知一族曲线, 求它的共轭曲线族)
(,)d δ(,)(d δd δ)(,)d δ0.
L u v u u M u v u v v u N u v v v +++=P96 命题4
(,)0.
M u v ≡曲纹坐标网为共轭网的充要条件是
第二章 曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ????? ?a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有 一个切平面 。
proe曲面造型的基本思路 本文来自: 辅助论坛Proe教程作者: admin日期: 2010-7-4 23:34 阅读: 321 人打印收藏 曲面造型的基本思路,思路决定出路思路决定出路,思路乃成败之关键.世界知名的管理大师德鲁克 说 人不能改变环境，但可以改变思路；人不能改变别人，但可以改变自己；多一个思路，多一个出路； 思路决定出路，观念决定前途 ProE实体化建模思路实例视频详解 更多思路:https://www.doczj.com/doc/a69164760.html,/search.php? 原帖地址：https://www.doczj.com/doc/a69164760.html,/thread-172-1-1.html 1 前言 利用CAD/CAM软件进行三维造型是现代产品设计的重要实现手段，而曲面造型则是三维造型中的难点。我们在从事CAD/CAM培训的过程中发现，尽管现有的CAD/CAM软件提供了十分强大的曲面造型功能，但初学者面对众多的造型功能普遍感到无所适从，往往是软件功能似乎已经学会了，但面对实际产品时又感到无从下手。即使是一些有经验的造型人员，由于其学习过程中的问题，也常常在造型思路或功能使用上存在一些误区，使产品造型的正确性和可靠性打了折扣。 针对上述情况，本文从整体上讨论了曲面造型的一般学习方法，并举例介绍了曲面造型的一般步骤。 2 曲面造型的学习方法 面对CAD/CAM软件所提供的众多曲面造型功能，要想在较短的时间内达到学会实用造型的目标，掌握 正确的学习方法是十分必要的。 要想在最短的时间内掌握实用造型技术，应注意以下几点： （1）应学习必要的基础知识，包括自由曲线（曲面）的构造原理。这对正确地理解软件功能和造型思路是十分重要的，所谓“磨刀不误砍柴功”。不能正确理解也就不能正确使用曲面造型功能，必然给日后的造型工作留下隐患，使学习过程出现反复。其实，曲面造型所需要的基础知识并没有人们所想象的那么难，只要掌握了正确的讲授方法，具有高中文化水平的学员就能理解。（2）要针对性地学习软件功能。这包括两方面意思：一是学习功能切忌贪多，一个CAD/CAM 软件中的各种功能复杂多样，初学者往往陷入其中不能自拔。其实在实际工作中能用得上的只占其中很小一部分，完全没有必要求全。对于一些难得一用的功能，即使学了也容易忘记，徒然浪费时间；另一方面，对于必要的、常用的功能应重点学习，真正领会其基本原理和应用方法，做到融会贯通。（3）重点学习造型基本思路。造型技术的核心是造型的思路，而不在于软件功能本身。大多数CAD/CAM软件的基本功能大同小异，要在短时间内学会这些功能的操作并不难，但面对实际产品时却又感到无从下手，这是许多自学者常常遇到的问题。这就好比学射击，其核心技术其实并不在于
第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率 §5 曲面上的曲率概念 利用上一节所作的准备，围绕曲面弯曲状况的刻画，本节将引入曲面上的基本的和重要的曲率概念，并简要讨论相关的几何体． 一．主曲率 定义1 曲面 S 上的点 P 处的法曲率关于切方向的两个最值，分别称为曲面 S 在点 P 处的主曲率；使得法曲率达到最值的两个切方向，分别称为曲面 S 在点 P 处的主方向． 注记1 ① Weingarten 变换的特征值和特征方向，分别是曲面的主曲率和主方向． ② 当两个主曲率 κ1(P ) ≠ κ2(P ) 时，曲面在点 P 处有且仅有正交的两组主方向，每一组的单位化向量分别就是Weingarten 变换的单位正交特征向量．而当两个主曲率 κ1(P ) = κ2(P ) 时，曲面在点 P 处的任何非零切向都是主方向，Weingarten 矩阵 ω(P ) = κ1(P )I 2 ，即 Ω(P ) = κ1(P )g (P ) ． 主曲率和主方向的计算，自然归结为Weingarten 变换的特征值和特征方向的计算，也就是Weingarten 矩阵的特征值和特征方向的计算．即： ① 对于主曲率的算法，当易知Weingarten 矩阵 ω 之时，方程为 (4.3) 式，或直接写为 (5.1) |ω - λI 2 | = 0 ； 等价地，当易知系数矩阵 Ω 和 g 之时，其方程可变形为 (5.2) |Ω - λg | = 0 ． ② 对于主方向的算法，各种等价算式为 a = a i r i ≠ 0 为主方向，即非零切方向 a 1:a 2 为主方向 ? ?λ , ?(a 1, a 2)ω = λ(a 1, a 2) , (a 1, a 2) ≠ (0, 0) ? ?λ , ?(a 1, a 2)Ω = λ(a 1, a 2)g , (a 1, a 2) ≠ (0, 0) ? det. ????(a 1, a 2 )Ω (a 1, a 2)g = 0
家电产品的三维造型设计方法的研究 随着社会的进步，人们生活水平的不断提高，追求完善已成为时尚．人们对消费产品的要求已不仅仅满足于基本功能的完备，同时更注重外观的美感．家电产品在不断提高和完善其功能的同时，在外观造型上要求越来越高，多以复杂方式自由地变化的曲线曲面即所谓自由型曲线曲面组成．而这一类形状单纯用画法几何与机械制图是不能表达的．这就给家电产品的设计及制造带来了挑战．计算机技术和计算机图形学的不断发展，为人们提供了强有力的工具，三维CAD/CAM/CAE集成化软件被广泛应用于制造业．然而，要快速高质量地完成一个家电产品的造型设计，必须根据家电产品的特点，总结出一套建模方法和技巧．这样才能大大缩短设计周期，提高设计效率，满足客户对产品的各种特殊需求． 1掌握三维CAD造型的原理，充分了解应用软件中的造型方法 CAD的三维模型有三种，即线框、曲面和实体。早期的CAD系统往往分别对待以上三种造型。而当前的高级三维软件，例如UGII,PRO/E,EUCLID等则是将三者有机结合起来，形成一个整体，在建立产品几何模型时兼用线、面、体三种设计手段[1]。其所有的几何造型享有公共的数据库，造型方法间可互相替换，而不需要进行数据交换。此在进行产品造型时，必须首先充分了解应用软件中的各种造型方法，总结出造型方法的特点、相关参数及应用技巧，减少造型时的盲目性，便能快捷有效地获得满意结果。 1.1线框造型 线框造型可以生成、修改、处理二维和三维线框几何体。可以生成点、直线、圆、二次曲线、样条曲线等，又可以对这些基本线框元素进行修剪、延伸、分段、连接等处理，生成更复杂的曲线，线框造型的另一种方法是通过三维曲面的处理来进行，即利用曲面与曲面的求交，曲面的等参数线，曲面边界线，曲线在曲面上的投影，曲面在某一方向的分模线等方法来生成复杂曲线。实际上，线框功能是进一步构造曲面和实体模型的基础工具。在复杂的产品设计中，往往是先用线条勾划出基本轮廓，即所谓“控制线”，然后逐步细化，在此基础上构造出曲面和实体模型。 1.2曲面造型 曲面造型分两种方法，一是由曲线构造曲面；二是由曲面派生曲面。 （1）由曲线构造曲面 1)旋转曲面：一轮廓曲线绕某一轴线旋转某一角度而生成的曲面。 2)线性拉伸面：一曲线沿某一矢量方向拉伸一段距离而得到的曲面。 3)直纹面：在两曲线间，把其参数值相同的点用直线段连接而成的曲面。4)扫描面：截面发生曲线沿一条、二条或三条方向控制曲线运动，变化而生成的曲面。可根据各发生曲线与脊骨曲线的运动关系，把扫描面分为平行扫描曲面、法向扫描曲面和放射状扫描曲面。 5)网格曲面：由一系列曲线构成的曲面。根据构造曲面的曲线的分布规律，网格曲面可分为单方向网格曲面和双方向网格曲面。单方向网格曲面由一组平行或近似平行的曲线构成；而双方向网格曲面由 一组横向曲线和另一组与之相交的纵向曲线构成。 6)拟合曲面：由一系列有序点拟合而成的曲面。 7)平面轮廓面：由一条封闭的平面曲线所构成的曲面。 8)二次曲面：椭圆面q_抛物面，双曲面等。
曲面的三个基本形式的系数矩阵之间关系的证明 邢家省，王拥军 （北京航空航天大学数学与系统科学学院， 数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191） 摘 要: 给出3 R 中曲面的3 个基本形式的系数矩阵之间关系的一个直接 证明, 并由此得到曲面的3 个基本形式之间的关系表示及其一些 应用. 关键词: 第三基本形式; 法曲率的最值; 测地挠率 中图分类号: O186. 11 文献标识码: A 曲面的第三基本形式可以用第一和第二基本形式来表示是一个重要结论[19]-，对其证明引起了人们的极大兴趣.我们在已有方法的基础上，经过综合分析和领会，发现了一套自然合理的推导转换的过程，给出了直接简单自然的证明过程. 1曲面的第三基本形式用第一和第二基本形式表示的证明 设曲面 :(,)r r u v ∑= 是2C 类的正则曲面.曲面∑上一点(,)P u v 处的单位法向量为n .我们采用文献[1-3]中的记号. 收稿日期： 基金项目：国家自然科学基金资助项目（11171013）， 北京航空航天大学教改项目基金资助 作者简介：邢家省（1964--）男，河南泌阳人,博士，副教授,从事数学教学和科研工作. Email:xjsh@https://www.doczj.com/doc/a69164760.html, .
令,,u u u v v v e n n f n n g n n =?=?=? ， ,,e f g 称为曲面 ∑的第三类基本量.用III 表示曲面∑的第三基本形 式[13]-： 22()2()e du fdudv g dv III =++ . 曲面的第三基本形式可以用第一和第二基本形式来表示，在文献[1-3]中是在曲面上选取了曲率线网作为坐标曲线网后，给予证明的.我们在曲面上选取正交曲线族为坐标曲线网下，给出证明. 选取曲面∑上的正交曲线族为坐标曲线网. 设曲面 :(,)r r u v ∑= 上的坐标曲线网是正交网. 则有0u v F r r =?= ， 曲面的第一基本形式2 2 ()()E du G dv I =+， 曲面的第二基本形式22()2()L du Mdudv N dv II =++， 高斯曲率2LN M K EG -=，平均曲率2LG NE H EG +=. 因为1,n n ?= 所以0,0u v n n n n ?=?= ， 从而,,u u v n r r 共面，,,v u v n r r 共面， 设12u u v n a r a r =+ ，则有12,L M a a E G =- =-； 设12v u v n b r b r =+ ，则有12,M N b b E G =-=- . 于是 2212u u u u v v e n n a r r a r r =?=?+? 22222L G M E L G LNE LNE M E HL KE EG EG ++-+===-， 1122u v u u v v f n n a b r r a b r r =?=?+? 2LGM NEM HM EG += =， 2212v v u u v v g n n b r r b r r =?=?+?
1.前言 利用CAD/CAM软件进行三维造型是现代产品设计的重要实现手段，而曲面造型则是三维造型中的难点。尽管CAD/CAM软件提供了强大的曲面造型功能，然而初学者面对众多的造型功能依然感到无所适从，往往是软件功能已学会，但面对实际产品时仍感到无从下手。即使是有经验的造型工程师，也常常在造型思路或功能使用上存在误区，从而致使产品造型的正确性和可靠性不尽如人意。2 `. x& Y# q4 P& b 针对上述问题，笔者与大家一起探讨曲面造型的一般学习方法和基本思路。 2. 曲面造型的学习方法 面对CAD/CAM软件所提供的众多曲面造型功能，要想在较短的时间内达到学会实用造型的目标，掌握正确的学习方法是十分必要的。 学习过程中应注意下面几点： （1）学习必要的基础知识，包括自由曲线（曲面）的构造原理，这对正确理解软件功能和造型思路是十分重要的。所谓“磨刀不误砍柴功”，不能正确理解也就不能正确使用曲面造型功能，必然给日后的造型工作留下隐患。曲面造型所需要的基础知识并不难以掌握，只要掌握了正确的学习方法，普通文化水平的初学者都能理解并掌握。 （2）有针对性地学习软件功能。这包括两方面意思：一是学习功能切忌贪多，CAD/CAM 软件功能复杂多样，初学者往往陷入其中不能自拔，其实实际工作中能用得上的只占其中很小一部分，无需求全；对于一些难得一用的功能，即使学了也容易忘记，徒然浪费时间。另一方面，对于必要的常用的功能应重点学习，真正领会其基本原理和应用方法，做到融会贯通。 （3）重点学习造型基本思路。造型技术的核心是造型思路，而不在于软件功能本身。CAD/CAM软件的基本功能大多大同小异，要在短时间内学会这些功能的操作并不难，然而面对实际产品时却又感到无从下手，这是许多初学者遇到的问题。就好比学射击，其核心技术其实并不在于对某一型号枪械的操作一样，只要真正掌握造型的思路和技巧，无论使用何种CAD/CAM软件都能游刃有余。' L8 H* J8 Y0 L3 L* i6 [% D4 H （4）培养严谨的工作作风，切忌在造型学习和工作中“跟着感觉走”。造型的每一步骤都应有充分依据，不能凭感觉和猜测进行，否则后患无穷。& ~4 p% P9 q$ ^# O4 L 3. 曲面造型的基本思路( G' s/ n6 K! Y5 G/ {; T 曲面造型有三种应用类型：一是原创产品设计，由草图建立曲面模型；二是根据二维图纸进行曲面造型，即所谓图纸造型；三是逆向工程，即点测绘造型。这里介绍第二种类型实现步骤的两个阶段：, x# q# G3 j0 ^" j: D! ? 第一阶段是造型分析，确定正确的造型思路和方法。. Q! t( |1 W( e5 ^; E （1）在正确识图的基础上将产品分解成单个曲面或面组；0 ^& y8 Q8 r$ a# M& V) S （2）确定每个曲面的类型和生成方法，如直纹面、拔模面或扫略面等； （3）确定各曲面之间的联接关系（如倒角、裁剪等）和联接次序。以图1的产品图为例（为清晰起见，图纸仅给出了部分标注），可将其分解为图中所示的9个面或面组。其中面1为平面（由图纸标注确定）；面2、面3分别是两个半径为100和150的倒圆角面；面4、5是两个面组，即由俯视图部分轮廓线（A→B→C和D→E→F）生成的两度拔模面；面6是直线段GH生成的零度拔模面；面7是一个变截面的扫略面；产品顶部的凸台由一个扫略面（顶面8）和一个拔模面组（面9）组成。各面和面组之间由倒圆角联接，其中面7与面1、2、3之间的倒圆半径为15，而面4、5与顶面1、2、3之间的倒圆半径为10，因此在其间拐角处（I到A，J到F）有变半径（从15到10）倒角过渡。
§1曲面的概念 1.求正螺面={ u ,u , bv }的坐标曲线. 解u-曲线为={u ,u ,bv }=｛0,0，bv｝＋u {, ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为={,,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为={ a（u+）, b（u-）,2u}={ a, b,0}+ u{a,b,2 }表示过点{ a, b,0}以{a,b,2}为方向向量的直线; v-曲线为=｛a（+v）, b（-v）,2v｝=｛a, b,0｝+v{a,-b,2}表示过点(a, b,0)以{a,-b,2}为方向向量的直线。 3．求球面=上任意点的切平面和法线方程。 解=，= 任意点的切平面方程为 即 xcos cos + ycos sin + zsin - a = 0 ； 法线方程为。 4．求椭圆柱面在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，
此曲面只有一个切平面。 解椭圆柱面的参数方程为x = cos, y = asin, z = t , , 。所以切平面方程为： ，即x bcos + y asin－ a b = 0 此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。 5．证明曲面的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。 证，。切平面方程为：。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,)。于是，四面体的体积为： 是常数。 §２曲面的第一基本形式 1.求双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的第一基本形式. 解 ,
§3曲面的第二基本形式 1. 计算悬链面r r ={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式. 解 u r ={sinhucosv,sinhusinv,1},v r ={-coshusinv,coshucosv,0} uu r ={coshucosv,coshusinv,0},uv r ={-sinhusinv,sinhucosv,0}, vv r ={-coshucosv,-coshusinv,0},2u r E = cosh 2u,v u r r F =0,2v r G =cosh 2u. 所以错误!未找到引用源。 = cosh 2u 2du + cosh 2u 2dv . n = 2 F E G r r v u = }sin sinh ,sin cosh ,cos cosh {cosh 1 2 v u v u v u u , L=11 sinh cosh 2 u , M=0, N= 1 sinh cosh 2 u =1 . 所以错误!未找到引用源。 = -2du +2dv 。 2. 计算抛物面在原点的2 2212132452x x x x x 第一基本形式,第二基本形式. 解 曲面的向量表示为}22 5,,{22212121x x x x x x r , }0,0,1{}25,0,1{)0,0(211 x x r x ,}0,1,0{}22,1,0{)0,0(212 x x r x ,}5,0,0{11 x x r , }2,0,0{21 x x r ,}2,0,0{22 x x r , E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 , 错误!未找到引用源。=2221dx dx , 错误!未找到引用源。=2 22121245dx dx dx dx . 3. 证明对于正螺面r r ={u v cos ,u v sin ,bv},-∞ 曲面造型的基本思路 单岩谢龙汉 1 前言 利用CAD/CAM软件进行三维造型是现代产品设计的重要实现手段，而曲面造型则是三维造型中的难点。我们在从事CAD/CAM培训的过程中发现，尽管现有的CAD/CAM软件提供了十分强大的曲面造型功能，但初学者面对众多的造型功能普遍感到无所适从，往往是软件功能似乎已经学会了，但面对实际产品时又感到无从下手。即使是一些有经验的造型人员，由于其学习过程中的问题，也常常在造型思路或功能使用上存在一些误区，使产品造型的正确性和可靠性打了折扣。 针对上述情况，本文从整体上讨论了曲面造型的一般学习方法，并举例介绍了曲面造型的一般步骤。 2 曲面造型的学习方法 面对CAD/CAM软件所提供的众多曲面造型功能，要想在较短的时间内达到学会实用造型的目标，掌握正确的学习方法是十分必要的。 要想在最短的时间内掌握实用造型技术，应注意以下几点： （1）应学习必要的基础知识，包括自由曲线（曲面）的构造原理。这对正确地理解软件功能和造型思路是十分重要的，所谓“磨刀不误砍 柴功”。不能正确理解也就不能正确使用曲面造型功能，必然给日 后的造型工作留下隐患，使学习过程出现反复。其实，曲面造型所 需要的基础知识并没有人们所想象的那么难，只要掌握了正确的讲 授方法，具有高中文化水平的学员就能理解。 （2）要针对性地学习软件功能。这包括两方面意思：一是学习功能切忌贪多，一个CAD/CAM软件中的各种功能复杂多样，初学者往往陷 入其中不能自拔。其实在实际工作中能用得上的只占其中很小一部 分，完全没有必要求全。对于一些难得一用的功能，即使学了也容 易忘记，徒然浪费时间；另一方面，对于必要的、常用的功能应重 点学习，真正领会其基本原理和应用方法，做到融会贯通。 （3）重点学习造型基本思路。造型技术的核心是造型的思路，而不在于软件功能本身。大多数CAD/CAM软件的基本功能大同小异，要在 短时间内学会这些功能的操作并不难，但面对实际产品时却又感到 无从下手，这是许多自学者常常遇到的问题。这就好比学射击，其 核心技术其实并不在于对某一型号的枪械的操作一样。只要真正掌 握了造型的思路和技巧，无论使用何种CAD/CAM软件都能成为造 型高手。 （4）应培养严谨的工作作风，切忌在造型学习和工作中“跟着感觉走”， 3.曲面的第二基本形式 3.1曲面的第二基本形式 在2中所研究的对象都是属于曲面的内蕴几何，即所研究的只是曲面本身的内蕴性质，而不依赖于曲面在空间中如何弯曲。为了研究曲面在空间中的弯曲性，我们有必要引进du 和dv 的另一个二次微分形式，就是我们在这里要介绍的第二基本形式。 设2C 类曲面S 的方程为 ),(v u r r =， 即),(v u r 有连续的二阶导函数vv uv uu r r r ,,. 现在固定曲面S 上一点),(v u P ，并设π为曲面在P 点的切平面。 曲线)(C : [])(),()(,)(s v s u r r s v v s u u ===或 是S 上过P 点的一曲线，其中s 是自然参数。设P '是曲线)(C 上在P 点邻近的一点，P 和P '点的自然参数的值分别为s 与s s ?+，即P 点的向径为)(s r ，P '点的向径为)(s s r ?+.利用泰勒公式得 2))((2 1)()(s r s r s r s s r P P ?++?=-?+='ε ， 其中0lim 0 =→?εs . 设n 为曲面在P 点的单位法向量，由P '作切平面π的垂线，垂足为Q ，则 ,n P Q δ='其中δ为从平面π到曲面S 的有向距离（如图2-11） 。 由于 ,00=?=?r n n QP ， 所以有 [].))((2 1)()()(2s n r n n s r s s r n P P n P P QP n P Q ??+?=?-?+=?'=?'+=?'=εδ 因此当0≠?r n 时，无穷小距离δ的主要部分是 ,2 1)(2122ds r n s r n ?=?? 由于 ,v r u r r v u += v r u r v r v u r u r r v u vv uv uu ++++=222， 又因为 ,0=?=?v u r n r n 所以 .2222dv r n dudv r n du r n ds r n vv uv uu ?+?=?=? 引进符号： ,,,n r N n r M n r L vv uv uu ?=?=?= （2.27） 于是前式为 ,2222Ndv Mdudv Ldu r d n ++=?=∏ （2.28） 它称为曲面的第二基本形式，它的系数L 、M 、N 称为曲面的第二类基本量。 上式表明第二基本形式近似地等于曲面与切平面的有向距离的两倍，因而它刻画了曲面离开切平面的弯曲程度，即刻画了曲面在空间中的弯曲性。 根据上述讨论，我们可以看出第二基本形式不一定是正定的，当曲面在给定点向n 的正侧弯曲时为正，向n 的反侧弯曲时为负。 现在把曲面的单位法向量 2F EG r r r r r r n v u v u v u -?=??= 代入（2.27）中，就有 ,) ,,(2F EG r r r n r L v u uu uu -=?= ,) ,,(2F EG r r r n r M v u uu uv -=?= 第二章轨迹与方程 学习目标 1．进一步理解曲线和方程的关系，会写出平面曲线的矢量式（坐标式）参数方程，能将曲线的参数方程与普通方程进行互化，认识一些常见平面曲线的方程及形状。 2．理解曲面方程的概念，能根据曲面上点的特征性质来导出曲面的方程。3．初步理解柱面的概念，知道母线平行于坐标轴的柱面方程。 4．理解空间曲线的一般方程、参数方程的概念，会求一些简单的空间曲线的一般方程和参数方程。 A：掌握 1：基本概念：平面曲线的矢量式参数方程，曲面的一般方程和参数方程（坐标式和矢量式），空间曲线的一般方程和参数方程（坐标式和矢量式）。 母线平行于坐标轴的柱面，空间曲线对坐标面的射影柱面及空间曲线在三坐标面上的射影。 2：基本方法 ①根据轨迹条件用矢量方法求平面曲线和空间曲线（圆柱螺旋线、圆锥螺旋 线）的参数方程。 ②根据轨迹条件求曲面的一般方程和用矢量方法求曲面（球面、圆柱面）的 参数方程。 ③将曲线、曲面的参数方程化为一般方程。 ④二次柱面简图的画法。 ⑤求空间曲线对坐标面的射影柱面和它在三坐标面上的射影。 3：基本理论 ①三元二次方程表示球面（包括点球面、虚球面）的充要条件的证明及球心、 半径的求法 ②母线平行于坐标轴的柱面方程的特征及证明 B：理解 将平面曲线和空间曲线的一般方程化为参数方程的常规方法。 教材分析 本章的学习重点是曲面及空间曲线的一般方程和参数方程（坐标式和矢量式）的定义，以及根据轨迹条件建立曲面的一般方程和参数方程、建立空间曲线的参数方程。 本章的学习难点是用矢量方法建立曲线和曲面的矢量式的参数方程。 在本章的学习中建议注意以下几个问题： 1：在学习轨迹与方程的对应关系时，必须弄清楚为什么要满足两个条件。 2：学习空间曲面的一般方程时应指出F（x,y,z）=0未必表示一个曲面，它可以表示多个曲面、空间曲线、空间点虚曲面，例如方程xyz=0表示三个坐标面， 方程表示一直线 方程表示一点（1，-1，2） 方程表示虚曲面 ============================== 家电产品的三维造型设计方法的研究 随着社会的进步，人们生活水平的不断提高，追求完善已成为时尚．人们对消费产品的要求已不仅仅满足于基本功能的完备，同时更注重外观的美感．家电产品在不断提高和完善其功能的同时，在外观造型上要求越来越高，多以复杂方式自由地变化的曲线曲面即所谓自由型曲线曲面组成．而这一类形状单纯用画法几何与机械制图是不能表达的．这就给家电产品的设计及制造带来了挑战．计算机技术和计算机图形学的不断发展，为人们提供了强有力的工具，三维CAD/CAM/CAE集成化软件被广泛应用于制造业．然而，要快速高质量地完成一个家电产品的造型设计，必须根据家电产品的特点，总结出一套建模方法和技巧．这样才能大大缩短设计周期，提高设计效率，满足客户对产品的各种特殊需求． 1掌握三维CAD造型的原理，充分了解应用软件中的造型方法CAD的三维模型有三种，即线框、曲面和实体。早期的CAD系统往往分别对待以上三种造型。而当前的高级三维软件，例如UGII,PRO/E,EUCLID等则是将三者有机结合起来，形成一个整体，在建立产品几何模型时兼用线、面、体三种设计手段[1]。其所有的几何造型享有公共的数据库，造型方法间可互相替换，而不需要进行数据交换。此在进行产品造型时，必须首先充分了解应用软件中的各种造型方法，总结出造型方法的特点、相关参数及应用技巧，减少造型时的盲目性，便能快捷有效地获得满意结果。 1.1线框造型 线框造型可以生成、修改、处理二维和三维线框几何体。可以生成 点、直线、圆、二次曲线、样条曲线等，又可以对这些基本线框元素 龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/a69164760.html, 基于UG曲面造型的方法与探究 作者：李丽红 来源：《商品与质量·学术观察》2013年第12期 摘要：利用UG软件进行三维造型是现代产品设计的重要实现手段，而曲面造型则是三维造型中的难点。我们在从事UG培训教学的过程中发现，尽管现有的UG软件提供了十分强大的曲面造型功能，但初学者面对众多的造型功能普遍感到无所适从，往往是软件功能似乎已经学会了，但面对实际产品时又感到无从下手。即使是一些有经验的造型人员，由于其学习过程中的问题，也常常在造型思路或功能使用上存在一些误区，使产品造型的正确性和可靠性打了折扣。针对上述情况，本文从整体上讨论了曲面造型的一般学习方法，介绍了曲面造型的一般步骤。 关键词：UG曲面造型 1、曲面造型的学习方法 面对UG软件所提供的众多曲面造型功能，要想在较短的时间内达到学会实用造型的目标，掌握正确的学习方法是十分必要的。 要想在最短的时间内掌握实用造型技术，应注意以下几点： （1）应学习必要的基础知识，包括自由曲线（曲面）的构造原理。这对正确地理解软件功能和造型思路是十分重要的，所谓“磨刀不误砍柴功”。不能正确理解也就不能正确使用曲面造型功能，必然给日后的造型工作留下隐患，使学习过程出现反复。其实，曲面造型所需要的基础知识并没有人们所想象的那么难，只要掌握了正确的方法，一般学生就能理解。 （2）要针对性地学习软件功能。这包括两方面意思：一是学习功能切忌贪多，一个UG 软件中的各种功能复杂多样，初学者往往陷入其中不能自拔。其实在实际工作中能用得上的只占其中很小一部分，完全没有必要求全。对于一些难得一用的功能，即使学了也容易忘记，徒然浪费时间；另一方面，对于必要的、常用的功能应重点学习，真正领会其基本原理和应用方法，做到融会贯通。 （3）重点学习造型基本思路。造型技术的核心是造型的思路，而不在于软件功能本身。大多数UG软件的基本功能大同小异，要在短时间内学会这些功能的操作并不难，但面对实际产品时却又感到无从下手，这是许多自学者常常遇到的问题。这就好比学射击，其核心技术其实并不在于对某一型号的枪械的操作一样。只要真正掌握了造型的思路和技巧，无论使用何种UG软件都能成为造型高手。 （4）应培养严谨的工作作风，切忌在造型学习和工作中“跟着感觉走”，在造型的每一步骤都应有充分的依据，不能凭感觉和猜测进行，否则贻害无穷。 曲面造型的基本思路 1 前言 利用CAD/CAM软件进行三维造型是现代产品设计的重要实现手段，而曲面造型则是三维造型中的难点。我们在从事CAD/CAM培训的过程中发现，尽管现有的CAD/CAM 软件提供了十分强大的曲面造型功能，但初学者面对众多的造型功能普遍感到无所适从，往往是软件功能似乎已经学会了，但面对实际产品时又感到无从下手。即使是一些有经验的造型人员，由于其学习过程中的问题，也常常在造型思路或功能使用上存在一些误区，使产品造型的正确性和可靠性打了折扣。 针对上述情况，本文从整体上讨论了曲面造型的一般学习方法，并举例介绍了曲面造型的一般步骤。 2 曲面造型的学习方法 面对CAD/CAM软件所提供的众多曲面造型功能，要想在较短的时间内达到学会实用造型的目标，掌握正确的学习方法是十分必要的。 要想在最短的时间内掌握实用造型技术，应注意以下几点： （1）应学习必要的基础知识，包括自由曲线（曲面）的构造原理。这对正确地理解软件功能和造型思路是十分重要的，所谓“磨刀不误砍柴功”。不能 正确理解也就不能正确使用曲面造型功能，必然给日后的造型工作留下隐 患，使学习过程出现反复。其实，曲面造型所需要的基础知识并没有人们 所想象的那么难，只要掌握了正确的讲授方法，具有高中文化水平的学员 就能理解。 （2）要针对性地学习软件功能。这包括两方面意思：一是学习功能切忌贪多，一个CAD/CAM软件中的各种功能复杂多样，初学者往往陷入其中不能自 拔。其实在实际工作中能用得上的只占其中很小一部分，完全没有必要求 全。对于一些难得一用的功能，即使学了也容易忘记，徒然浪费时间；另 一方面，对于必要的、常用的功能应重点学习，真正领会其基本原理和应 用方法，做到融会贯通。 （3）重点学习造型基本思路。造型技术的核心是造型的思路，而不在于软件功能本身。大多数CAD/CAM软件的基本功能大同小异，要在短时间内学会这 些功能的操作并不难，但面对实际产品时却又感到无从下手，这是许多自 学者常常遇到的问题。这就好比学射击，其核心技术其实并不在于对某一 型号的枪械的操作一样。只要真正掌握了造型的思路和技巧，无论使用何 种CAD/CAM软件都能成为造型高手。 （4）应培养严谨的工作作风，切忌在造型学习和工作中“跟着感觉走”，在造型的每一步骤都应有充分的依据，不能凭感觉和猜测进行，否则贻害无穷。 3 曲面造型的基本步骤 曲面造型有三种应用类型：一是原创产品设计，由草图建立曲面模型；二是根据二维图纸进行曲面造型，即所谓图纸造型；三是逆向工程，即点测绘造型。这里介绍第二种类型的一般实现步骤。 图纸造型过程可分为两个阶段： 第一阶段是造型分析，确定正确的造型思路和方法。包括： （1）在正确识图的基础上将产品分解成单个曲面或面组。 第三章 曲面的第一基本形式 §3 曲面的第一基本形式 在指定的曲面上，测量曲线的长度并确定弧长元素、面积元素等等几何量，理所当然是曲面几何学基本的问题之一．第二章已经提到，勾股定理确定了三维 Euclid 空间的基本度量规则，确定了这个空间中的长度的概念以及关于距离的几何学．作为该空间的几何子体，曲线和曲面上的度量规则由空间的度量规则而“诱导”确定，这是一种直观的自然方式；子体和原有空间——三维 Euclid 空间的几何属性，将在这种方式之下自然地联系在一起，构成空间几何属性的整体．本节将讨论曲面在这种方式之下的基本结果；而关于其他方式之下的讨论，将在第六章中和第八章中逐步引出和深入进行． 本节总记正则曲面 S 的参数方程为 r = r (u , v ) , (u , v )∈U ?R 2 ． 一．曲面上的弧长元素 首先考虑曲面 S 上的曲线段的长度和弧长元素． 设 C : r = r (u (t ), v (t )) , t ∈[a , b ] 是 S 的正则曲线上的一个弧 段．通常也用平面区域 U 上的 参数方程 {u = u (t )v = v (t ) , t ∈[a , b ] 表示曲线 C ；但要注意区分该表示式 的双重含义：既表示平面区域 U 上的一条参数曲线 C -1 ，同时也 表示在曲面 S 上的对应曲线 C ．为了区别不同的所在场合，当表示曲线 C 时往往强调“在曲面 S 上”．对曲线 C 而言，有 d r = r u d u + r v d v = r u d u d t d t + r v d v d t d t ， d r d t = ??? ?r u d u d t + r v d v d t | u =u (t ), v =v (t ) ， d s 2 = d r ?d r = (r u ?r u ) d u 2 + 2(r u ?r v ) d u d v + (r v ?r v ) d v 2 图3-13 本文来自: admin日期:2010-7-423:34阅读:321人打印收藏 曲面造型的基本思路,思路决定出路,思路乃成败之关键.世界知名的管理大师德鲁克说 人不能改变环境，但可以改变思路；人不能改变别人，但可以改变自己；多一个思路，多一个出路； 思路决定出路，观念决定前途 ProE实体化建模思路实例视频详解 更多思路: http: 原帖地址： http: 1.html 1前言 利用CAD/CAM软件进行三维造型是现代产品设计的重要实现手段，而曲面造型则是三维造型中的难点。我们在从事CAD/CAM培训的过程中发现，尽管现有的CAD/CAM软件提供了十分强大的曲面造型功能，但初学者面对众多的造型功能普遍感到无所适从，往往是软件功能似乎已经学会了，但面对实际产品时又感到无从下手。即使是一些有经验的造型人员，由于其学习过程中的问题，也常常在造型思路或功能使用上存在一些误区，使产品造型的正确性和可靠性打了折扣。 针对上述情况，本文从整体上讨论了曲面造型的一般学习方法，并举例介绍了曲面造型的一般步骤。 2曲面造型的学习方法 面对CAD/CAM软件所提供的众多曲面造型功能，要想在较短的时间内达到学会实用造型的目标，掌握正确的学习方法是十分必要的。 要想在最短的时间内掌握实用造型技术，应注意以下几点： （1）应学习必要的基础知识，包括自由曲线（曲面）的构造原理。这对正确地理解软件功能和造型思路是十分重要的，所谓“磨刀不误砍柴功”。不能正确理解也就不能正确使用曲面造型功能，必然给日后的造型工作留下隐患，使学习过程出现反复。其实，曲面造型所需要的基础知识并没有人们所想象的那么难，只要掌握了正确的讲授方法，具有高中文化水平的学员就能理解。 （2）要针对性地学习软件功能。这包括两方面意思： 一是学习功能切忌贪多，一个CAD/CAM软件中的各种功能复杂多样，初学者往往陷入其中不能自拔。其实在实际工作中能用得上的只占其中很小一部分，完全没有必要求全。对于一些难得一用的功能，即使学了也容易忘记，徒然浪费时间；另一方面，对于必要的、常用的功能应重点学习，真正领会其基本原理和应用方法，做到融会贯通。 （3）重点学习造型基本思路。造型技术的核心是造型的思路，而不在于软件功能本身。大多数CAD/CAM软件的基本功能大同小异，要在短时间内学会这些功能的操作并不难，但面对实际产品时却又感到无从下手，这是许多自学者常常遇到的问题。这就好比学射击，其核心技术其实并不在于对某一型号的枪械的操作一样。只要真正掌握了造型的思路和技巧，无论使用何种CAD/CAM软件都能成为造型高手。 （4）应培养严谨的工作作风，切忌在造型学习和工作中“跟着感觉走”，在造型的每一步骤都应有充分的依据，不能凭感觉和猜测进行，否则贻害无穷。 3曲面造型的基本步骤 曲面造型有三种应用类型： 第二章 曲面论 第二节 曲面的参数方程 一、 曲面的参数方程 设曲面∑是由显式 D y x y x f z ∈=),(),,( 所表示。 设),,(z y x 是曲面∑上的点，记向量),,(z y x r = ，则它们可构成一一对应。 于是曲面∑上的点可以用向量值函数 D y x y x f y x r ∈=),()),,(,,( 来表示， 也可以写为参数形式 ?????===),(, ,y x f z y y x x D y x ∈),(。 一般地，设3),(R v u r r ∈= ，其中参 数?∈),(v u ，这里?是2R 中的一 个区域。 我们称由3),(R v u r r ∈= ， ?∈),(v u ，所构成的3R 中点集∑为一张参数曲面，（即曲面∑，可以表示为参数方程表示的点集。） 记为?∈=∑),(),,(:v u v u r r ，（1） 把（1）用分量表示出来，就是 ?? ???===),(),(),,(v u z z v u y y v u x x ，?∈),(v u （2） 通常，我们称（1）是曲面∑的向量方程，而（2）是曲面∑的参数方程。 显然方程（1）和（2）之间的转换是直截了当的，所以我们可以认为（1）与（2）是一回事。 二、 几个用参数方程表示的常见 曲面 例1 平面的参数方程， 设30000),,(R z y x p ∈= 是一个固定的点， ),,(321a a a a = 与),,(321b b b b = 是自0p 出发的两个不平行的向量。这时，由a 与b 张成的平面可以用向量方程， 20),(,R v u b v a u p r ∈++= 来表示； 写成分量表示为 v b u a x x 110++=， v b u a y y 220++=， v b u a z z 330++=， 鼠标曲面造型方法 【操作指导】 完成如图3-1-1所示鼠标曲面造型。 3-1-1鼠标 一、造型思路 鼠标的造型特点主要是外围轮廓都存在一定的角度，在造型时可以使用扫描面生成鼠标外轮廓曲面，但应注意加入曲面扫描角度。在生成鼠标上表面时，可以利用样条线生成的曲面对鼠标的轮廓进行曲面裁剪完成鼠标上曲面的造型。最后可以利用直纹面生成鼠标的底面曲面，再通过曲面过渡完成鼠标的整体造型。 二、造型操作 1、生成鼠标基本面 （1）按功能键XY平面。 （2）单击菜单【造型】→【曲线生成】→【矩形】，或直接单击按钮，在立即菜单中选择“两点矩形”，按状态栏提示输入坐标（-60，30，0）为矩形起点，输入坐标（40，-30，0）为矩形终点，单击右键结束命令，结果如图3-1-2所示。 （3）单击菜单【造型】→【曲线生成】→【圆弧】，或直接单击按钮，在立即菜单 中选择“三点圆弧”，或直接按 取矩形上、下及右侧边，做出与矩形右侧三条边相切的圆弧，结果如图3-1-3所示。 图3-1-2生成鼠标基本面（一）图3-1-3生成鼠标基本面（二） （4）单击菜单【编辑】→【删除】，或直接单击按钮，拾取右侧的竖边，拾取的线段会变成红色，单击右键确认删除。结果如图3-1-4所示。 （5）单击菜单【造型】→【曲线编辑】→【曲线裁剪】，或直接单击按钮，在立即菜单中选择“快速裁剪”、“正常裁剪”，按状态栏提示拾取圆弧外的直线段为裁剪曲线，裁剪完成，结果如图3-1-5所示。 图3-1-4生成鼠标基本面（三）图3-1-5生成鼠标基本面（四） （6）单击菜单【造型】→【曲线编辑】→【曲线组合】，或直接单击按钮，在立即 菜单中选择“删除原曲线” 状态栏提示拾取图形右侧三条曲线，单击右键确认拾取，将三条条曲线组合为一条曲线。 （7）按功能键3-1-6所示。 （8）单击菜单【设置】→【当前颜色】或单击按钮，系统弹出“颜色管理”对话框，选定颜色为淡青色，单击“确定”按钮完成设置。 （9）单击菜单【造型】→【曲面生成】→【扫描面】，或直接单击按钮，在立即菜 单中输入起始距离0、扫描距离40、扫描角度2 “Z轴正方向”为扫描方向，按状态栏提示拾取直线为扫描曲线，选择扫描夹角方向向内，曲面造型的基本思路
第二基本形式
第二章轨迹与方程
proe曲面设计造型心得
基于UG曲面造型的方法与探究
曲面造型基本方法
§3 曲面的第一基本形式
proe曲面造型的基本思路
第二章第二节曲面的参数方程
鼠标曲面实体造型方法
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