§1曲面的概念
1.求正螺面={ u ,u , bv }的坐标曲线.
解u-曲线为={u ,u ,bv }=｛0,0，bv｝＋u {, ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为={,,bv }为圆柱螺线．
２．证明双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为={ a（u+）, b（u-）,2u}={ a, b,0}+ u{a,b,2 }表示过点{ a, b,0}以{a,b,2}为方向向量的直线;
v-曲线为=｛a（+v）, b（-v）,2v｝=｛a, b,0｝+v{a,-b,2}表示过点(a, b,0)以{a,-b,2}为方向向量的直线。
3．求球面=上任意点的切平面和法线方程。
解=，=
任意点的切平面方程为
即 xcos cos + ycos sin + zsin - a = 0 ；
法线方程为。
4．求椭圆柱面在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，
此曲面只有一个切平面。
解椭圆柱面的参数方程为x = cos, y = asin, z = t ,
, 。所以切平面方程为：
，即x bcos + y asin－ a b = 0
此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。
5．证明曲面的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。
证，。切平面方程为：。
与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,)。于是，四面体的体积为：
是常数。
§２曲面的第一基本形式
1.求双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的第一基本形式.
解
,
∴ I = 2。
２．求正螺面={ u ,u , bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。
解，，，，∴ I =，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。
３．在第一基本形式为I =的曲面上，求方程为u = v的曲线的弧长。
解由条件,沿曲线u = v有du=dv ，将其代入得
=，ds = coshvdv , 在曲线u = v上，从到的弧长为。
4．设曲面的第一基本形式为I = ，求它上面两条曲线u + v = 0 ,u–v = 0的交角。
分析由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。
解由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量，，，曲线u + v = 0与u – v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为，，。曲线u + v = 0的方向为du = -dv , u – v = 0的方向为δu=δv , 设两曲线的夹角为，则有
cos=。
5．求曲面z = axy上坐标曲线x = x ,y =的交角.
解曲面的向量表示为={x,y,axy}, 坐标曲线x = x的向量表示为={ x
,y,ax y } ，其切向量={0，1，ax}；坐标曲线y =的向量表示为={x ,
,ax}，其切向量={1，0，a}，设两曲线x = x与y =的夹角为，
则有cos=
6. 求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.
解对于u-曲线dv = 0,设其正交轨线的方向为δu:δv ,则有
Eduδu + F(duδv + dvδu)+ G d vδv = 0,将dv =0代入并消去du得u-曲线的正交轨线的微分方程为Eδu + Fδv = 0 .
同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为Fδu + Gδv = 0 .
7. 在曲面上一点,含du ,dv的二次方程P+ 2Q dudv + R＝０，确
定两个切方向（du ：dv）和（δu ：δv），证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ + GP=0.
证明因为du,dv不同时为零，假定dv0，则所给二次方程可写成为P + 2Q+ R=0 ,设其二根,, 则=，+=……①又根据二方向垂直的条件知E + F(+)+ G = 0 ……②
将①代入②则得 ER - 2FQ + GP = 0 .
8.证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为E=G.
证用分别用δ、、d表示沿u－曲线，v－曲线及其二等分角线的微分符
号，即沿u－曲线δu０，δv＝０，沿v－曲线u＝０，v０．沿二等分角轨线方向为du:dv ,根据题设条件,又交角公式得
，即。
展开并化简得E(EG-)=G(EG-),而
EG->0，消去EG-得坐标曲线的二等分角线
的微分方程为E=G.
9．设曲面的第一基本形式为I = ，求曲面上三条曲线u = v, v =1相交所成的三角形的面积。
解三曲线在平面上的图形（如图）所示。曲线围城的三角形的面积是
S=
=2=2
=
=。
10．求球面=的面积。
解=，=
E ==,F== 0 , G = = .球面的面积为：
S = .
11.证明螺面={ucosv,usinv,u+v}和旋转曲面={tcos,tsin,} (t>1, 0<<2)之间可建立等距映射=arctgu + v , t= .
分析根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射 =
arctgu + v , t=,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲
面在对应点有相同的参数,然后证明在新的参数下,两曲面具有相同的第一基本形式.
证明螺面的第一基本形式为I=2+2 dudv+(+1), 旋转曲面的第一基本形式为I= ,在旋转曲面上作一参数变换 =arctgu + v , t = , 则其第一基本形式为:
==2+2 dudv+(+1)= I . 所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射 =arctgu + v , t = .