目录
引言 (2)
1．泰勒公式 (3)
1.1 泰勒多项式 (3)
1.2 两种类型的泰勒公式 (4)
2．泰勒公式的应用 (6)
2.1 利用泰勒公式求极限 (6)
2.2 利用泰勒公式证明不等式 (11)
2.3 利用泰勒公式进行近似计算和误差估计 (15)
结束语 (17)
参考文献 (17)
致谢 (18)
泰勒公式及其应用
理学院数学082 陈培贤指导教师：卢晓忠
摘要：泰勒公式是数学分析中重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。运用泰勒公式可以有效地解决某些问题，在微积分的各个方面都有重要的应用。本文将介绍泰勒公式及其在求极限、不等式的证明、近似计算三方面的应用，从而能够对泰勒公式有更深入的了解，认识到泰勒公式的重要性。
关键词：泰勒公式; 佩亚诺余项; 拉格朗日余项;应用
引言
不论是进行近似计算还是理论分析，我们总希望用一些简单的函数来近似表示比较复杂的函数。多项式是比较简单的一种函数，它只包含加、乘两种运算，最适于使用计算机计算。因此，我们常用多项式来近似表示函数。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的，泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式。
泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式。它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。它建立了函数的增量，自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用。这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。
用泰勒公式可以很好的解决某些问题，如求极限、不等式证明、近似计算、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性等方面。比如在求某一初等函数的定积分时，由于此函数的原函数无法用初等函数表示，考虑到一般初等函数都可以近似地用泰勒公式表示，故可运用泰勒公式进行近似计算，并能满足一定的精确度。因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，用泰勒公式这一有力的工具能解决更多的数学实际问题。
在高等数学教材中，一般只讲泰勒公式及几个常用函数的麦克劳林公式，对其在解题中的应用介绍很少。但泰勒公式在解决一些问题中确实有十分重要的作用，因此在泰勒公式
及其应用方面我们有必要进行归纳总结，并且有很大的空间。本文将从求极限、不等式的证明、近似计算三个方面介绍泰勒公式的应用。
1．泰勒公式
1.1 泰勒多项式
当0)(0≠'x f ，并且x ?很小时，有如下的近似等式
x x f y y ?'=≈?)(d 0
或
))(()()(000x x x f x f x f -'+≈
上式就是用一次多项式来近似表达一个函数.在0x x =处，这个一次多项式及其导数的值分别等于被近似表达的函数及其导数的值.但是，这种近似表达式存在不足之处.它所产生的误差仅是关于)(0x x -的高阶无穷小，精确度不高.为了提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数.因此，可设想用高次多项式来近似表达函数.于是提出如下的问题：设函数)(x f 在含有0x 的开区间内具有直到n 阶的导数，试找出一个关于)(0x x -的n 次多项式
n n n x x a x x a x x a a x P )()()()(0202010-++-+-+= )1( 用它来近似表达)(x f ，要求它与)(x f 之差是关于n x x )(0-高阶的无穷小.
为了使求得的近似多项式与)(x f 在数值与性质方面吻合得更好，如函数的单调性、凹凸性等.于是可进一步要求)(x P n 在0x 处的函数值以及它的直到n 阶的导数值与)(x f 在0x 处的函数值以及它的直到n 阶的导数值分别相等，即要求
)()(0)(0)(x f x P k k n = 0(=k ，1， ，)n )2( 按此要求，可求得)1(式中多项式的各个系数为
)(00x f a =,)(01x f a '=,)(!2102x f a ''=
, ,)(!
10)(x f n a n n = 于是
n n n x x x f n x x x f x x x f x f x P ))((!1))((!21))(()()(0)(200000-++-''+-'+=
)3(
)3(式中的)(x P n 称为)(x f 在0x 处的泰勒多项式.
那么)(x P n 与)(x f 的吻合程度如何？是否是我们要找的多项式呢？即是否有
))(()()(0n n x x o x P x f -=-成立，这将从下文给出证明.
1.2 两种类型的泰勒公式
1.2.1 带有佩亚诺型余项的泰勒公式
定理1.1 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有))(()()(0n n x x o x P x f -+=，即 +-''+
-'+=200000))((!21))(()()(x x x f x x x f x f x f ))(())((!
1000)(n n n x x o x x x f n -+-+ )4( 证明： 设 )()()(x P x f x R n n -=，n n x x x Q )()(0-=，
现在只要证 0)()(lim 0=→x Q x R n
n x x 由关系式)2(可知 0)()()(0)(00==='=x R x R x R n n n n
并易知 0)()()(0)1(00==='=-x Q x Q x Q n n n n ，!)(0)(n x Q n n =
因为)(0)(x f n 存在，所以在点0x 的某邻域)(0x U 内)(x f 存在1-n 阶导函数. 于是
当)(0x U x ∈且0x x →时，允许接连使用洛必达法则1-n 次，得到
)()(lim )()(lim )()(lim )1()1(000x Q x R x Q x R x Q x R n n
n n x x n n x x n n x x --→→→==''= 0
)()()(lim !1)
(2)1())(()()(lim 0)(00)1()1(000)(0)1()1(00=??
????---=-----=--→--→x f x x x f x f n x x n n x x x f x f x f n n n x x n x n x x
证毕.
定理所证的)4(式称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒公式，)()()(x P x f x R n n -= 称为泰勒公式的余项，形如))((0n x x o -的余项称为佩亚诺型余项.所以)4(式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式.
泰勒公式)4(在00=x 时的特殊形式：
)(!
)0(!2)0()0()0()()(2n n n x o x n f x f x f f x f +++''+'+= .称为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式.
1.2.2 带有拉格朗日型余项的泰勒公式
上面我们从微分近似出发，推广得到用n 次多项式逼近函数的泰勒公式)4(.它的佩亚诺型余项只是定性地告诉我们：当0x x →时，逼近误差是较n x x )(0-高阶无穷小.现在将泰勒公式构造一个定量形式的余项，以便于对逼近误差进行具体的计算或估计.
定理1.2 （泰勒中值定理）
若函数)(x f 在[a ，]b 上存在直至n 阶的连续导函数，在(a ，)b 内存在)1(+n 阶导函数，则对任意给定的x ，[a x ∈0，]b ，至少存在一点(a ∈ξ，)b ，使得
+-''+-'+=200000)(!
2)())(()()(x x x f x x x f x f x f 10)1(00)()()!
1()()(!)(++-++-+n n n n x x n f x x n x f ξ )5( 证明： 作辅助函数 ??
????-++-'+-=n n t x n t f t x t f t f x f t F )(!)())(()()()()( ，1)()(+-=n t x t G . 所要证明的)5(式即为
)!1()()()()(!1)()()1(000)1(0+=+=++n f x G x F x G n f x F n n ξ或）（ξ
不妨设0x ＜x ，则)(t F 与)(t G 在[0x ，]x 上连续，在(0x ，)x 内可导，且
n n t x n t f t F )(!
)()()1(--='+
0))(1()(≠-+-='n t x n t G
又因0)()(==x G x F ，所以由柯西中值定理证得
)!
1()()()()()()()()()()1(0000+=''=--=+n f G F x G x G x F x F x G x F n ξξξ 其中(0x ∈ξ，)(a x ?，)b 证毕.
)5(式同样称为泰勒公式，它的余项为
10)1()()!1()()()()(++-+=-=n n n n x x n f x P x f x R ξ，)(00x x x -+=θξ
(0＜θ＜)1 称为拉格朗日型余项.所以)5(式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.
注意到0=n 时，)5(式即为拉格朗日种植公式 ))(()()(00x x f x f x f -'=-ξ 所以，泰勒中值定理可以看作拉格朗日中值定理的推广
当00=x 时，得到泰勒公式
1)1()(2)!
1()(!)0(!2)0()0()0()(++++++''+'+=n n n n x n x f x n f x f x f f x f θ (0＜θ＜)1 )6( )6(式也称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式
2．泰勒公式的应用
2.1 利用泰勒公式求极限
极限是微积分的基础，极限运算是学习微积分的基本功。求极限有许多方法，其中用等价无穷小量替换求极限是一种常用、方便、有效的方法。但寻求等价无穷小量并非易事，在替换过程中也容易出错。对于未定式的极限问题，一般可以采用洛必达法则来求。但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛必达法则的情况，泰勒公式往往是比洛必达法则更为有效的求极限工具。利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项。当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限
2.1.1用泰勒公式寻求等价无穷小量及用等价无穷小量替换求极限
命题：))(()()(0n x x o x P x f -+=，200000))((!
21))(()()(x x x f x x x f x f x P -''+-'+= n n x x x f n ))((!100)(-++ ，若)(0)(x f i 1(=i ，2， ，)n 不全为零，且当0x x →时， 0)(→x f . 则当0x x →时，)(x P 与)(x f 为等价无穷小.
证明：因为)(0)(x f i 1(=i ，2， ，)n 不全为零，设0)(0)(≠x f k ，且0)(0)(=x f j
1(=j ，2， ，)1-k ，则有)
())((lim 00x P x x o n x x -→ n
n k k k k n x x x x x f n x x x f k x x x f k x x o ))((!
1))(()!1(1))((!1))((lim 00)(100)1(00)(00-++-++--=++→ 0))((!1))(()!1(1)(!1)())((lim 00)(00)1(0)(000=-++-++--=-+→k
n n k k k
n x x x x x f n x x x f k x f k x x x x o ，所以
1))
())((1(lim )())(()(lim )()(lim 00000=-+=-+=→→→x P x x o x P x x o x P x P x f n x x n x x x x .因此，当0x x →时， )(x P 与)(x f 为等价无穷小. 证毕.
由此命题可以看出，可以用泰勒公式求某一无穷小量，从而利用等价无穷小量替换求极限
例1 试说明求极限3
0sin tan lim x x x x -→时，为什么不能用x tan 与x sin 的等价无穷小x 分别替换它们？
解： 我们用三阶的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式分别将x tan 与x sin 表示为
)(3tan 33x o x x x ++=，)(!
3sin 33
x o x x x +-= 于是)(2sin tan 33x o x x x +=-，这说明函数x x sin tan -与23x 是等价无穷小（即2
3
x 是 x x sin tan -的主要部分）.因此只能用2
3
x 来替代x x sin tan -，而不能用)(x x -来替代它. 例2 利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，求极限20)1ln(cos lim
x x x x x -+→ 解： 因为分式函数的分母是2x ，我们只需将分子中的x cos 与)1ln(x +分别用二阶的
麦克劳林公式表示：)(!211cos 22x o x x +-=，)(2
1)1ln(22x o x x x +-=+ 于是 x x o x x x o x x x x -??
????+-??????+-=-+?)(21)(!211)1ln(cos 2222 对上式作运算是把所有比2x 高阶的无穷小的代数和仍记为)(2x o ，就得 )(2
1)(21)1ln(cos 2222x o x x x o x x x x x +-=-+-
=-+ 故 2121lim )1ln(cos lim 22
020-=-=-+→→x
x x x x x x x 例3 求极限3
0arcsin 22arcsin lim x x x x -→ 解： x x arcsin 22arcsin -的泰勒展开式为)(4
9553x o x x ++ 则原式149lim 35
30=+=→x x x x 2.1.2 泰勒公式代换求极限应至少取到第几项
在高等数学中，有时求极限,用带佩亚诺余项的泰勒公式代换的方法求，许多高等教学教材中都有例子，但都没有说明取到哪一项才合适。因此，这一点必须弄清楚，否则在解题 过程中可能会出现错误以及一些不必要的麻烦，故给出以下定理。
定理2.1 设21αα±及β是0x x →时的无穷小量，+-'+=))(()(0002x x x f x f α
))(()())(()(!)(0000)(n n n n n x x o x P x x o x x n x f -+=-+-+ .如果=-→k x x x x )(lim 00
β 0≠c （c 是常数，k 是正整数），βα)(lim 10x P n x x ±-存在，则βαβαα)(lim lim 1210
0x P n x x x x ±=±→→ 的充要条件是n ≥k .
证明：必要性 若βαβαα)(lim lim 12100x P n x x x x ±=±→→，则[]00lim )(lim 121x x n x x x P →→=±-±βααα []
0)(2=-±βαx P n ，故)()(2βαo x P n =-，即)())((0βo x x o n =-.因k
x x x x )(lim 00-→β
0≠=c （c 是常数）
，故β与k x x )(0-是同阶无穷小)(0x x →，所以n ≥k . 充分性 因β与k x x )(0-是同阶无穷小)(0x x →，故当n ≥k 时，可以得到
)())((0βo x x o n =-，又))(()(02n n x x o x P -+=α，所以0
0lim lim 21x x x x →→=±βαα βαβββαβα)(lim )(lim )(lim )])(()([11010
00x P o x P x x o x P n x x x x n x x n n ±=±±=-+±→→→ 证毕.
推论1 设1α及21ββ±是0x x →时的无穷小量，))(()(02n n x x o x P -+=β，如果 0)(lim 00≠=-→c x x k x x α，（c 是常数），)(lim 10x P n x x ±→βα存在且不等于零，则210lim ββα
±→x x
)(lim 10x P n x x ±=→βα的充要条件是n ≥k .
证明：由定理2.1知αβαββ)(lim lim 1210
0x P n x x x x ±=±→→的充要条件n ≥k ，也就是α
βαββ)(lim 1lim 1
12100x P n x x x x ±=±→→的充要条件.即)(lim lim 12100x P n x x x x ±=±→→βαββα的充要条件. 证毕. 定理2.2 设1α，2α，β均为0x x →时的无穷小量，))(()(02n n x x o x P -+=α，βα)(lim 10x P n x x →存在，如果0)(lim 00≠=-→c x x k x x β（c 是常数），则βαβαα)(lim lim 1210
0x P n x x x x →→= 的充分条件是n ≥1-k
证明：因0)(lim 00≠=-→c x x k x x β，故β与k x x )(0-是同阶无穷小.当n ≥1-k 时， )())((0βO x x o n =- )(0x x →.即有界.又))(()(02n n x x o x P -+=α，所以β
αα210lim x x → βαβαβα10101))((lim )(lim )])(()([lim 0
00n x x n x x n n x x x x o x P x x o x P -+=-+=→→→，又1α是无穷小量，所以0))((lim 100=-→βαn x x x x o ，即βαβαα)(lim lim 1210
0x P n x x x x →→=. 证毕. 推论2 α，1β，2β均为0x x →时的无穷小量，))(()(02n n x x o x P -+=β，如果
0)(lim 00≠=-→c x x k x x α（c 是常数），)(lim 10x P n x x βα→存在且不等于零，则00lim lim 21x x x x →→=ββα )(1x P n βα
的充分条件是n ≥1-k .
证明：由定理2.2知，αβαββ)(lim lim 1210
0x P n x x x x →→=的充分条件是n ≥1-k .也就是 α
α)(lim 1lim 1
12100x P n x x x x →→=的充分条件.即)(lim lim 12100x P n x x x x βαββα→→=的充分条件. 例1 求)
1(tan )
1sin(1)1(61lim 531--++--→x x x x x 解：这里10=x ，1)1(6
131+--=x x α，)1sin(2-=x α，)1(tan 5-=x β.因为 01)
1()1(tan lim 551≠=--→x x x ，即5=k .故由定理2.1知)1sin(-x 的带有佩亚诺余项的泰勒公式只要取到含5)1(-x 项即可.所以取
))1(()1(!
51)1(!31)1()1sin(553-+-+---=-x o x x x x 即 53)1(!
51)1(!31)1()(-+---=x x x x P n 因此,原式53531531)
1(1)1(61)1(!51)1(!311lim )1(tan 1)1(61)(lim -+--+-+---=-+--+=→→x x x x x x x x x x P x n x 120
1)1()1(!51lim 55
1=--=→x x x 例2 求)
1(sin ln )(e lim 311---→x x x x x 解：这里10=x ，x ln 1=α，x x -=-12e α，)1(sin 3
-=x β.由于331)1()1(sin lim --→x x x 01≠=，即3=k .故由定理2.2知1e -x 的泰勒公式取到含213)1()1(-=--x x 项即可.取
2)1(!
21)1(1)(-+-+=x x x P n ，所以原式 31321321)1sin()1()1(ln lim 21)
1(sin ln )1(!21lim )1(sin ln )1(!21)1(1lim ??????---=--=-??????--+-+→→→x x x x x x x x x x x x x x x 21
=
2.2 利用泰勒公式证明不等式
关于不等式的证明，我们以前学过了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凹凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法.下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法.
定理2.3 设函数)(x f y =在0x 点附近二阶可导，则
)1(若)(x f ''＞0，则有)(x f ≥))(()(000x x x f x f -'+
)2(若)(x f ''＜0，则有)(x f ≤))(()(000x x x f x f -'+
等号当0x x =是成立. 2.2.1 证明代数不等式
例1 证明设N n ∈，则n n n n n n n n -++≤n n 2，n ≥2
证明：设n x x f =)( (x ＞)0，则n n x n x f -='11)(，n n x n n n x f 2111)(--?=''＜0
由定理3.3得 )(n n n f +≤))(()(n n n f n f '+，)(n n n f -≤))(()(n n n f n f -'+ 两式相加即得结论.
例2 设+∈R x i ，1=i ，2， ，n .∑==n i i a x
1，α≥2,求证
n n x a x x a x x a x x a x -++-+-+-αααα 332211≥21
)1(---ααn
n a 证明：作函数x a x x f -=α)(，(0＜x ＜)a ，则21)
()()(x a x x a x x f -+-='-α
αα 2122)(2)(2)()1()(x a x x a x x a x x f -+-+--=''--α
ααααα.注意到(0＜x ＜)a ，则
)(x f ''＞0.利用定理2.3，取n x x x x n +++= 210，因为∑==n i i a x 1，有n a x =0，则可得
)(1x f ≥??? ?
?-???? ??'+??? ??n a x n a f n a f 1 )(2x f ≥??? ?
?-???? ??'+??? ??n a x n a f n a f 2
)(n x f ≥??? ?
?-???? ??'+??? ??n a x n a f n a f n n 式相加得)()()(21n x f x f x f +++ ≥()a x x x n a f n a nf n -+++??
? ??'+??? ?? 21 即n n x a x x a x x a x x a x -++-+-+-αααα 332211≥21)1(---=-??? ??αααn n a n
a a n a n 原结论得证.
2.2.2 证明含导函数不等式 例3 设)(x f 在区间(a ，)b 内二阶可导，且)(x f ''≥0，则???? ?
?++++++n n n p p p x p x p x p f 212211 ≤n
n n p p p x f p x f p x f p ++++++ 212211)()()(，其中1p ，2p ， ，n p 均为正数，1x ，2x ， ，(a x n ∈，)b .
证明： 记n
n n p p p x p x p x p x ++++++= 2122110，则(a x ∈0，)b ，由于)(x f 在(a ，)b 内二阶可导，故)(x f 在点0x 处一阶泰勒公式成立.！ξ2)())(()()(000f x x x f x f x f ''+
-'+= 20)(x x -，ξ在0x 与x 之间.因为)(x f ''≥0，(a x ∈，)b ，所以)(x f ≥+)(0x f ))((00x x x f -'.分别取1x x =，2x ， ，n x ，则有
)(1x f ≥))(()(0100x x x f x f -'+
)(2x f ≥))(()(0200x x x f x f -'+
)(n x f ≥))(()(000x x x f x f n -'+
以上各不等式分别乘以1p ，2p ， ，n p 得
)(11x f p ≥))(()(010101x x x f p x f p -'+
)(22x f p ≥))(()(020202x x x f p x f p -'+
)(n n x f p ≥))(()(000x x x f p x f p n n n -'+
将上面n 个不等式相加得
)()()(2211n n x f p x f p x f p +++ ≥++++)()(021x f p p p n
])()[(02122110x p p p x p x p x p x f n n n +++-+++' 因为n
n n p p p x p x p x p x ++++++= 2122110，所以 )()()(2211n n x f p x f p x f p +++ ≥)()(021x f p p p n +++ 则
)(0x f ≤n
n n p p p x f p x f p x f p +++++ 212211)()()(，从而得 ???? ?
?++++++n n n p p p x p x p x p f 212211≤n n n p p p x f p x f p x f p ++++++ 212211)()()(.结论得证. 例4 若函数)(x f 在区间[a ，]b 上具有二阶导数，且0)()(='='b f a f ，则在(a ，)b 内至少存在一点η，使)(ηf ''≥2)()
()(4a b a f b f --成立.
证明：因为)(x f 在[a ，]b 上具有二阶导数，所以)(x f 在0x 处一阶泰勒公式成立
20000)(2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+
-'+=！
ξ )1( 其中ξ在x 与0x 之间，[a x ∈0，]b ，在)1(式中取a x =0，2b a x +=，则有
2122)(2)()()2(??
? ??-+''+??? ??-+'+=+a b a f a b a a f a f b a f ！ξ，因为0)(='a f ，所以 2122)()()2(??
? ??-''+=+a b f a f b a f ！ξ，a ＜1ξ＜2b a + )2( 在)2(式中取b x =0，2
b a x +=，又因为0)(='b f ，所以 2222)()()2(??
? ??-''+=+a b f b f b a f ！ξ，2b a +＜2ξ＜b )3( )3(式减去)2(式并取绝对值得
)()()(81)()(122ξξf f a b a f b f ''-''-=-≤[])()()(8
1122ξξf f a b ''+''- 取{)(Max )(1ξf f ''=''η，}
)(2ξf ''，(a ∈η，)b ，则 )()(a f b f -≤)()(41)(2)(8122ηηf a b f a b ''-=
''?- 即)(ηf ''≥2)()
()(4a b a f b f -- 证毕.
2.2.3 证明含定积分不等式
例5 设函数)(x f 在区间[a ，]b 上二阶连续可导，且02=??
? ??+b a f ，证明 ?b
a x x f d )(≤24
)(3a b M -，其中)(max x f M b x a ''=≤≤. 证明： 将)(x f 在2
0b a x +=
处展开，得 20000)(2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=！ξ，其中ξ是0x 与x 之间的某个值. 因为02=??
? ??+b a f ，所以有2000)(2)())(()(x x f x x x f x f -''+-'=！ξ 上式在[a ，]b 作定积分，然后取绝对值
????????-''+-'=
b a b
a x x x f x x x f x x f d )(!2)())((d )(2000ξ ?-''=b
a x x x f d ))((21
20ξ≤320)(24
d )(2a b M x x x M
b
a -=-?
即?b
a x x f d )(≤24
)(3a b M - 证毕. 2.3 利用泰勒公式进行近似计算和误差估计
根据泰勒展开式的余项可以具体地估计出用泰勒公式近似地表示一个函数所产生的误
差.由拉格朗日型余项10)1()()!
1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ，如果)()1(x f n +≤M ，M 为一定数，则其余项不会超过10)!1(+-+n x x n M .由此可以近似地计算某些数值并估计它们的误差. 正弦函数及其近似多项式)(x P n 1(=n ，3， ，)19通过计算机作出的图象如下图所示，可以看到x sin 与其近似多项式)(x P n 的图形随着n 的增大而变得贴近起来，也就是说，误差)(x R n 随着n 的增大而变小.特别当x 偏离原点较远时，选取阶数较高的麦克劳林多项式)(x P n 来近似表示x sin 时，其精度就较高.
例1 求101的近似值
解： 100
11101100101+=+= 由42732)1(128
5161812111x x x x x x -+-+-+=+θ，(0＜θ＜)1
可得到049875625.10100116110018110012111010132=??
? ??
?+?-?+≈ 此时误差??
? ??=1001103R R ＜541090625.31001128510-?=?? 由此可见，精确度很高.
例2 求定积分?1
0d sin x x x 的近似值. 解： 该被积函数的原函数不是初等函数，故用牛顿—莱布尼茨公式是无法求出其精确解的.考虑x sin 的泰勒展开，能方便地求出其近似数. 753!
7cos !51!31sin x x x x x x θ-+-
=，(0＜θ＜)1 则 642!
7cos !51!311sin x x x x x x θ-+-=，(0＜θ＜)1 所以??-?+?-=106105310d !
7cos )!551!331(d sin x x x x x x x x x θ 可得?≈?+?-≈109461.0!551!3311d sin x x x 此时误差??==1
06106d !7cos d )(x x x x x x R R θ≤??=106!771d !71x x ＜5103-?. 例3 )1( 计算e 的值，使其误差不超过6
10-； )2( 证明数e 为无理数.
解：)1(当1=x 时有)!
1(e !1!31!2111e +++++++=n n θ
(0＜θ＜)1. )(* 故)!1(e )1(+=n R n θ＜)!
1(3+n ，当9=n 时，便有 )1(9R ＜3628800
3!103=＜610-. 从而略去)1(9R 而求得e 的近似值为 718285.2!
91!31!2111e ≈+++++≈ . )2(由)(*式得
1
e )143!!(e !+=+++++-?n n n n n n θ
.
倘若q
p =e （p ，q 为正整数），则当n ＞q 时，e !n 为正整数，从而上式左边为整数.因为1e +n θ＜1e +n ＜1
3+n ，所以当n ≥2时右边为非整数，矛盾.从而e 只能是无理数.
结束语
本文主要介绍了泰勒公式在求极限、不等式的证明、近似计算三方面的应用。在求极限方面，用泰勒公式求等价无穷小量并且讨论了替换求极限时应取到哪一项。不等式证明主要从三类不等式入手，用典型的例题加以阐述泰勒公式在这方面的应用。近似计算应该是泰勒公式最贴近实际的应用了，并能满足很高的精确度。但并不是所有的近似问题都可以用泰勒公式，它的限制条件比较多，必须是n 阶连续可微函数，如果近似的阶数越小，则求出的误差也就会越大。
由于自己的水平能力有限，虽然已经学习了一些有关方面的知识，但在写论文的过程中还是碰到了许许多多的困难，所写的论文难免有不足之处。正是有了这些困难，才给自己解决问题的机会，才能锻炼自己的思维，培养自己的能力。
参考文献
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Taylor formula and its application
Faculty of science Mathematics 082 Chen pei-xian Director: Lu xiao-zhong
Abstract: The Taylor formula is important in mathematical analysis , the theory has become an indispensable mathematical tool by the research function limits and estimation error , embodies the essence of the calculus “approximation method”. Use the Taylor formula can effectively solve some problems , have important applications in various aspects of the calculus . This article will introduce Taylor formula and its applications in three aspects of asks the limit，proof of inequalities and approximate calculation , allowing a deeper understanding in the Taylor formula , understanding the importance of the Taylor formula .
Keyword:Taylor formula Peano remainder Lagrange remainder applications
致谢
本论文自始至终在指导教师卢晓忠老师的亲切关怀和悉心指导下完成的，卢老师严谨的学习与工作态度使我受益匪浅，也感染着每一位他所指导的学生。在本论文的撰写过程中给与我大量的指导和帮助。真挚地感谢卢晓忠老师对本论文的精心指导。
同时也感谢家人和同学在学习生活中对我的关怀和支持。
泰勒公式的若干问题研究
毕业论文 题目泰勒公式的若干问题研究学院数学科学学院 专业信息与计算科学 班级计算0901 学生吕晗 学号20090921073 指导教师徐美荣
- 22 - 二〇一三年 五 月二十五日 摘 要 本文探讨了泰勒公式的若干问题。首先给出了几种不同形式的泰勒公式并 给出了相应的证明。其次我们讨论了泰勒公式的应用问题，主要分析了泰勒公式在计算行列式，判断级数敛散性，判断函数凹凸性等方面的应用，并辅以具体的例子进行说明，另外我们研究了泰勒公式中间点的渐近性问题，主要分区间长度趋于零和区间长度趋于无穷大两种情况进行了讨论，当区间长度趋于零与无穷时中间点ξ分 别满足的条件0 1 lim m m ξ→-= 与1 (1)lim []!(1)x a n x a n β ξββ→+∞-Γ-+=-Γ-。最后讨论了泰勒公式与泰勒级数之间的关系以及泰勒公式与泰勒级数在计算方面的应用。 关键词：泰勒公式；敛散性；行列式；渐近性
ABSTRACT In this paper，we discuss some problems of Taylor formula。Firstly, we discuss the Taylor formula of different types and the corresponding proof。Secondly, we discuss the application of Taylor formula。We mainly analysis of the Taylor formula in the calculation of determinant，judging the convergence of series，determining the application of convex function combined with concrete example to explain。In addition we study the asymptotic properties of intermediate point of Taylor formula and the main partition length tends to zero and the interval length tending to infinity are discussed in two situations when the length of interval tends to zero and infinity of intermediate point condition 0 1 lim m m ξ → - = and 1 (1) lim[] !(1) x a n x a n β ξβ β →+∞ -Γ-+ = -Γ-。 Finally, we discusses the relationship between the Taylor formula and Taylor series and the Taylor formula and Taylor Series in computational applications。 Key words：Taylor formula; convergence;determinant; asymptotic behavior - 22 -
一．摘要 (3) 前言 (3) 二、泰勒公式极其极其证明........................ (3) （一）带有皮亚诺型余项的泰勒公式 (3) （二）带有拉格朗日型余项的泰勒公式 (4) （三）带有柯西型余项的泰勒公式 (5) （四）积分型泰勒公式 (6) （五）二元函数的泰勒公式 (7) 三、泰勒公式的若干应用 (8) （一）利用泰勒公式求极限 (8) （二）利用泰勒公式求高阶导数 (9) （三）利用泰勒公式判断敛散性 (10) （四）利用泰勒公式证明中值定理 (12) （五）利用泰勒公式证明不等式 (13) （六）利用泰勒公式求近似和值误差估计 (15) （七）利用泰勒公式研究函数的极值 (16) 四、我对泰勒公式的认识 (16) 参考文献 (17) 英文翻译 (17)
Taylor 公式的证明及应用 【摘要】数学中的著名的公式都是一古典的数学问题，它们在数学，化学与物理领域都有很广泛的运用。在现代数学中Taylor 公式有着重要地位，它对计算极限，敛散性的判断，不等式的证明、中值问题及高阶导的计算以及近似值的计算等方面都有很大的作用。在本文中，我将谈到关于公式的几种形式及其证明方法并对以上几个方面进一步的运用，和我对几者之间的一些联系和差异的看法。并通过具体事例进行具体的说明相关运用方法 【关键词】泰勒公式 佩亚诺余项 拉格朗日余项 极限 级数 1、常见Taylor 公式定义及其证明 我们通常所见的Taylor 公式有皮亚诺型、拉格朗日型、柯西型与积分型，还有常用的二元函数的Taylor 公式和高阶函数的Taylor 公式。 定义：设函数存在n 阶导数，由这些导数构成n 次多项式，称为函数在该点处的泰勒多项式各项系数称为泰勒系数。 1.1首先是带皮亚诺型余项的Taylor 公式： 若函数f 在点0x 存在且有n 阶导数，则有0()()(())n n f x T x x x =+ο-即 "' 200000() ()()()()()2! f x f x f x f x x x x x =+-+-+? ()00() ()! n n f x x x n +-0(())n x x +ο-. (2) 其中()n T x 是由这些导数构造的一个n 次多项式， "()' 2 0000000()()()()()()()()2!! n n n f x f x T x f x f x x x x x x x n =+-+-+?+- （3） 称为函数f 在点0x 处的Taylor 多项式，()n T x 的各项系数 ()0() !k f x k (1,2,,)k n =?称为Taylor 系数。从上易知()f x 与其Taylor 多项式()n T x 在点0x 有相同的函数值和相同
Taylor's Formula and the Study of Extrema 1. Taylor's Formula for Mappings Theorem 1. If a mapping Y U f →: from a neighborhood ()x U U = of a point x in a normed space X into a normed space Y has derivatives up to order n -1 inclusive in U and has an n-th order derivative ()()x f n at the point x, then ()()()()()??? ??++++=+n n n h o h x f n h x f x f h x f !1,Λ (1) as 0→h . Equality (1) is one of the varieties of Taylor's formula, written here for rather general classes of mappings. Proof. We prove Taylor's formula by induction. For 1=n it is true by definition of ()x f ,. Assume formula (1) is true for some N n ∈-1. Then by the mean-value theorem, formula (12) of Sect. 10.5, and the induction hypothesis, we obtain. ()()()()()()()()()()()()()??? ??=??? ??=??? ? ??-+++-+≤?? ? ??+++-+--< 泰勒公式及其应用 摘要 文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。 关键词：泰勒公式，最优化理论，应用 一、泰勒公式 1.1 一元泰勒公式 若函数)(x f 在含有x 的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和： 1 0)1(00)(200000)()! 1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()! 1()(++-+n n x x n f ξ ξ在x 和0x 之间的一个数，该余项)(x R n 为拉格朗日余项。 1.1.1 泰勒公式的推导过程 我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式： n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+= 来近似表达函数)(x f ； 设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='= 因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以 )(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 ! 2)(02x f a ''=n n a n x p !)(0)(=，所以有!)(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(! )()(!2)())(()()(00)(200000-++-''+-'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明 我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）： 设)()()(x p x f x R n -= 于是有0)()()(000=-=x p x f x R n 所以有0)()()()(0)(000===''='=x R x R x R x R n n n n n 根据柯西中值定理可得： n n n n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ 1ξ是在x 和0x 之间的一个数； 对上式再次使用柯西中值定理，可得： 长江大学工程技术学院毕业设计（论文）外文翻译 Matlab Based Interactive Simulation Program 外文题目 for 2D Multisegment Mechanical Systems 二维多段机械系统基于Matlab的 译文题目 交互式仿真程序 系部化学工程系 专业班级化工60801 学生姓名 指导教师 辅导教师 完成日期2016.4.15 摘要：本文介绍了多段机械系统设计原则，代表的是一个模型的一部分的设计系统，然后扩展形成的几个部分和模型算法的分类与整合的过程，以及简化步骤的过程叫多段系统。本文还介绍了设计过程的二维多段机械系统的数字模型，和使用Matlab的软件包来实现仿真。本文还讨论测试运行了一个实验，以及几种算法的计算，实现了每个单一步骤的整合。 1 简介 科学家创造了物理模型和数学模型来表示人类在运动中的各种形式。数学模型使创建数字模型和进行计算机仿真成为可能。模型试验，可以使人们不必真正的实验就可以虚拟的进行力和力矩的分解。 本文研究的目的是建立一个简单的多段运动模型，以增加模型的连续性和如何避免不连续为原则。这是创建一个人类运动模型系统的冰山一角。其使用matlab程序包创建的数字模型，可以仿真人类运动。 文献中关于这一主题的内容很广泛。运动的模式和力矩的分解在这些文献中都有涉猎。动态的平面人体运动模型，提出了解决了迭代矩阵的方法。还值得一提的是这类项目的参考书目，布鲁贝克等人提出了一个模型——人腿模型，这个以人的物理运动为基础的平面模型仿真了人腿——一个单一的扭簧和冲击碰撞模型。人腿模型虽然简单，但是它展示人类的步态在水平地面上的运动特征。布鲁贝克等人还介绍，在人腿模型的双足行走的基础上，从生物力学的角度而言，符合人体步行的特征。这个模型具有一个躯干，双腿膝盖和脚踝。它能够合理的表现出人多样的步态风格。一个仿真人类运动的数学模型反应出了人的部分运动状态。 图1. 力的分解 2 力的分解 假设物体的长度和质量恒定，在中心的定位点（X，Y），在下断点（x1,y1）, （x2,y2）和垂直倾斜角度是?（图1）。假设在外力作用下：F1分解为水平力f1x和垂直力f1y， 本科生毕业设计（论文） （ 2014届） 设计（论文）题目泰勒公式及其在解题中应用 作者周立泉 分院理工分院用数学1001班 指导教师（职称）徐华（讲师） 专业班级数学与应用数学） 论文字数 8000 论文完成时间 2014年4月3日 杭州师范大学钱江学院教学部制 泰勒公式及其在解题中应用 数学与应用数学1001班周立泉指导教师徐华 摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数，而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定．本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限，求近似值等各方面的应用． 关键词：泰勒公式;数学分析;导数 Taylor Formula and Its Application in Solving Problem Mathematics and Applied Mathematics class 1001 ZhouLiQuan Instructor: XuHua Abstract：Taylor's formula is an important equation of mathematical analysis, it is the basic idea is to use polynomial approximation to a known function, and the polynomial coefficients given by the derivatives of the function determined. This paper describes the method to prove the Taylor formula,summarized in inequalities, find the limit,the approximate value and the other applications. Keyword:Taylor's formula;Mathematical analysis; derivative. 题目泰勒公式的证明及推广应用 一、选题背景和意义 在初等函数中，多项式是最简单的函数。因为多项式函数的运算只有加、减、 乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。 通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是高等数学中的重要内容，在各个 领域有着广泛的应用，例如在函数值估测及近似计算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明，求函数在某点的高阶导数值等方面。 除此以外，泰勒公式及泰勒级数的应用，往往能峰回路转，使问题变得简单易解。 二、国内外研究现状、发展动态 本人以1999—2010十一年为时间范围，以“泰勒公式”、“泰勒公式的应用”为关键词，在中国知网以及万方数据等数据库中共搜索到30余篇文章，发现国内外对泰勒公式的其研究进展主要分配在以下领域： 一、带不同型余项泰勒公式的证明； 二、泰勒公式的应用举例。 三、研究内容及可行性分析 在高等数学中，泰勒公式占有重要的地位，并以各种形式出现而贯穿全部内容，因此掌握好泰勒公式是学习高等数学的关键一环。本论文将主要研究泰勒公式的证明及其在其他方面的应用。 本文将通过对泰勒公式的探讨，给出了泰勒公式在其它方面的应用，,显现出泰勒公式的应用之广泛。希望其研究结果在求极限等问题时可以提供一些方法的参考，也同时能给相关学科研究人员在解决比较复杂的不定式极限问题时能有一定的思路指导。 接下来我将分两方面的应用来阐述本次论文的主要内容。 一、带不同型余项泰勒公式的证明： 本次证明将涉及到三种不同余项的泰勒公式的证明，即： 1.带皮亚诺余项的泰勒公式； 2.带拉格朗日余项的泰勒公式； 3.带积分型余项的泰勒公式； 二、泰勒公式的应用： 本次论文将涉及到泰勒公式在以下七个方面的应用： 1、泰勒公式在极限计算中的应用； 在函数极限运算中,不定式极限的计算始终为我们所注意,因为这是比较困难的一类问题。计算不定式极限我们常常使用洛必达法则或者洛必达法则与等价无穷小结合使用。但对于有些未定式极限问题若采用泰勒公式求解,会更简单明了。我将在论文中就例题进行探讨。 2、泰勒公式在判定级数及广义积分敛散性中的应用； 泰勒公式及其应用 数学学院数学与应用数学专业 2009级杨立 指导教师吴春 摘要:泰勒公式以一种逼近的思想成为数学分析中的一个重要知识，在分析和研究数学问题中有着重要的作用。本文研究了利用泰勒公式证明微分中值定理，求函数的极限，进行近似计算，求函数的高阶导数和偏导数等方面的应用，恰当的运用泰勒公式能够给我们的解题带来极大的方便。 关键词：泰勒公式；微分中值定理；极限；高阶导数；偏导数 Abstract:Taylor formula is an important knowledge of mathematics analysis in an approximation of the thought, and it plays an important role in the analysis and study of mathematical problems. This paper studies the application of the Taylor formula in proving differential mean value theorem, the limit of function, approximate calculation, the application of high order derivative for function and partial derivative, and using Taylor formula appropriate can bring great convenience to our problem. Keywords:Taylor formula; approximate calculation; limit; higher derivative; partial derivative 引言 泰勒公式最早是以泰勒级数的形式出现在泰勒1715年出版的著作《增量及其逆》中，但在该书中却没有给出具体的证明，直到19世纪由柯西给出了现在的形式及其严格的证明。泰勒公式是一种逼近的思想，集中体现了逼近法的精髓，可以将有理分式函数﹑无理函数和初等超越函数等复杂函数用简单的多项 Ｔa ｙl ｏr ＇s Ｆormu ｌa an ｄ the St ｕdy ｏf Ext ｒema 1. Ｔay ｌｏr's Ｆorm ｕｌa for M ａpping ｓ Th ｅｏre ｍ 1. If ａ mapping Y U f →: from a ｎeigh ｂo ｒho ｏｄ ()x U U = of a point x in a no ｒm ｅd ｓｐａce X into a no ｒmed spac ｅ Y ha ｓ d ｅｒiva ｔiv ｅs up ｔo o ｒde ｒ n -１ in ｃlus ｉve ｉｎ U an ｄ h ａｓ ａn n-th ｏrde ｒ deriv ａti ｖe ()()x f n at t ｈe p ｏint x, ｔhe ｎ ()()()()()??? ??++++=+n n n h o h x f n h x f x f h x f !1, (１） as 0→h ． Equ ａli ｔy （１) i ｓ one of the ｖariet ｉe ｓ ｏf Ｔa ｙlor's fo ｒmu ｌａ, writte ｎ here for ra ｔｈer ge ｎｅral c ｌas ｓｅs of ma ｐpings. Proof ． We p ｒｏv ｅ T ａy ｌｏr's ｆo ｒmu ｌa ｂｙ ｉnd ｕｃｔi ｏn. For 1=n it is tru ｅ ｂｙ d ｅｆinition ｏf ()x f ,. Ａs ｓume form ｕl ａ (1) is ｔrue for ｓo ｍe N n ∈-1. Ｔｈen b ｙ the mean －val ｕｅ th ｅo ｒｅm, fo ｒm ｕla （12) o ｆ Sec ｔ. 10.5, ａnd the ｉn ｄuc ｔion h ｙｐot ｈesis ， we obtain. ()()()()()()()()()()()()()??? ??=??? ??=??? ? ??-+++-+≤?? ? ??+++-+--< 泰勒公式的几种证明法及其应用 -毕业论文 【标题】泰勒公式的几种证明法及其应用 【作者】张廷兵 【关键词】泰勒公式构造函数法数学归纳法柯西中值定理应用【指导老师】陈波涛 【专业】数学与应用数学 【正文】 1引言 泰勒公式在分析和研究数学问题方面有着重要的应用。但是它的证明大多数是重复运用柯西中值定理来推导，这给初学者从理解到接受有一定的困难。为了给不同层次的学习者理解和接受泰勒公式提供方便。本文研究不同的证明方法，给学习者提供了选择的余地。归根结底，使学习者更好运用泰勒公式，为此就对泰勒公式的应用及技巧的总结。 2 带佩亚诺型余项泰勒公式的证明方法 在初等函数中，最简单的函数就是多项式，对于数值计算和理论分析都很方便。如果将一类复杂的函数用多项式来近似表示出来，其误差又能满足一定的要求。那么，我们就可以表示出此函数。若函数是n次多项式 令 .于是 对任意一个函数，只要函数在a点存在n阶导数，我们就可以写出一个相应的多项式 称为函数在a点的n次泰勒多项式，那么n次泰勒多项式与函数在在点a 的邻域上有什么联系呢,下面的定理回答了这个问题( 定理1[1] 若函数在a点存在n阶导数 ,则 其中 ,则上式就为在a点的泰勒公式, 为泰勒公式的余项. 2.1方法一 证明:将上式改为 ，有 分子是函数 ,分母是函数 .应用n-1次柯西中值定理[2] 其中 其中 其中 (至此已应用了n-1次柯西定理) 当根据右导数定义,有 同法可证: 于是 , 表示余项是佩亚诺型. 证毕. 2.2方法二 证明在的一个邻域内有一阶导数，则存在且在处连续,即有则由极限与无穷小量的关系有: ( 是无穷小量), 又 则 (2—1) 从(2—1)式推出: 比较无穷小量与 = = (因为二阶可导) 又由极限与无穷小量的关系有: 将上边代入(2—1)式: 设 .则在处有阶导数,且设当时仍有: + (2—2) 从(2—2)中推出 比较与 : 浅谈泰勒公式及其应用 摘要：大学泰勒公式在数学分析中是极其重要的公式，并且在经济领域中也占有一席之地。泰勒公式是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，在近似计算上有着独特的优势，在微积分的各个方面有着重要的应用。本文主要对泰勒公式在求极限、估计误差、证明求解积分、经济学计算等几个方面的应用给予举例说明进行研究。 关键词：泰勒公式 求极限 不等式 行列式 泰勒公式的应用 1、利用泰勒公式求极限 对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具。利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项。当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限。 例1 求2 2 4 0cos lim x x x e x - →- 分析：此题分母为4 x ，如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单。 解： 因为 2 211()2! x e x x o x =++ + 将x 换成2 2 x -有 222222 2 11()()(())22!22 x x x x e o - =+-+-+- 又 24 4cos 1()2!4! x x x o x =-++ 所以 24442 111 cos ( )()()2484 x x e x o x o x --=-+- 4 41()12 x o x =- + 故 24 42 4 41() cos 1 12lim lim 12 x x x x o x x e x x - →∞→∞- +-==- 例2 求极限2 2 40cos lim sin x x x e x -→- 解： 因为分母的次数为4，所以只要把cos x ，2 2 x e -展开到x 的4次幂即可。 24 411cos 1()2!4! x x x o x =-++ 2222 42 11()()22!2 x x x e o x -=-+-+ 故 22 40cos lim sin x x x e x -→- 4 44011( )() 4!8lim x x o x x →-+= 1 12 =- 带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单。 例4 2 128 x x ≈+- []0,1x ∈ 的绝对误差。 解： 设( )f x =,则因为 ()01f = ()()1 2112f x x - '=+ ()102 f '= ()()3 2114f x x - ''=-+ ()104 f ''=- ()()5 2318 f x x - '''=+ 所以 ( )f x =带有拉格朗日型余项的二阶麦克劳林公式为： 附件 7 论文（设计）管理表一 昌吉学院本科毕业论文（设计）开题报告 论文（设计）题目 浅谈泰勒公式及其应用 系（院） 数学系 专业班级 数学与应用数学 B1002 学科 理学 学生 姓名 马尚红 指导教师 姓名 马园媛 学号 1025809043 职称 讲师 一、选题的根据 （ 1、内容包括：选题的来源及意义，国内外研究状况，本选题的研究目标、内容创新点及主 要参考文献等。 2、撰写要求： 宋体、小四号 。） 1. 选题的来源及意义 泰勒公式是数学分析中非常重要的内容， 是一个用函数在某点的信息描述其附近 取值的公式。如果函数足够光滑的话， 在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下， 泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中值。 泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。 泰勒公式的初 衷是用多项 式来近似表示函数在某点周围的情况。比如说，指数函数 e x 在x 0的 附近可以用以 2 3 n 下多项式来近似地表示： e x 1 x x x x 称为指数函数在 0处的 n 阶泰勒 2! 3! n! 展开公式。这个公式只对 0附近的 x 有用， x 离 0越远，这个公式就越不准确。实际 函数值和多项式的偏差称为泰勒公式的余项。对于一般的函数，泰勒公式的系数的选 择依赖于函数在一点的各阶导数值，这个想法的原由可以由微分的定义开始。微分是 函数在一点附近的最佳线性近似： f a h f a f ' a h o h ，其中 o h 是比 h 高 阶 的无穷小。 也就是说 f a h f a f ' a h,或 f x f a f ' a x a .注意到 f x 和 f ' a x a 在a 处的零阶导数和 一阶导数都相同。对足够光滑的函数，如果一个 多 项式在 a 处的前 n 次导数值都与函数在 a 处的前 n 次导数值重合，那么这个多项 式应 该能很好地近似描述函数在 a 附近的情况。对于多元函数，也有类似的泰勒公式。设 a,r 是欧几里得空间 RN 中的开球， f 是定义在 a,r 的闭包上的实值函数，并在 每一点都存在所有的 n 1次偏导数。这时的泰勒公式为：对所有， f x 1 f a x a x x a ，其中的 是多重指标 0 ! x n 1 泰勒公式也是大学数学中的一个重要知识， 由此本文将总结几种泰勒公式的证明 及其应用。其泰勒公式在近似计算，求极限，判断函数凸凹性等方面的应用，除此之 外，它还可应用于行列式，证明不等式，判断无穷级数、无穷积分的收敛性，求函数 导数的中值估计、求曲面的渐进线方程，高阶求导等等。 2. 国内外研究状况 其中的余项也满足不等式：对所有 n 1的 满足 x 《泰勒公式及其应用》的开题报告 《泰勒公式的验证及其应用》的 关键词：泰勒公式的验证数学开题报告范文中国开题报告 1．本课题的目的及研究意义 目的：泰勒公式集中体现了微积分、逼近法的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。泰勒公式是非常重要的数学工具，现对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。 研究意义：在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数以一种“逼近”的思想，用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。对泰勒公式的研究就是为了解决上述问题的。 2．本课题的研究现状 数学计算中泰勒公式有广泛的应用，需要选取点将原式进行泰勒展开，如何选取使得泰勒展开后，计算的结果在误差允许的范围内，并且使计算尽量简单、明了。泰勒公式是一元微积分的一个重要内容，不仅在理论上有重要的地位，而且在近似计算、极限计算、函数性质的研究方面也有重要的应用。对于泰勒公式在高等代数中的应用，还在研究中。 3．本课题的研究内容 对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极 限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。 本课题将从以下几个方面展开研究： 一、介绍泰勒公式及其证明方法 二、利用泰勒公式求极限、证明不等式、判断级数的敛散性、证明根的唯一存在性、判断函数的极值、求初等函数的幂级数展开式、进行近似计算、求高阶导数在某些点的数值、求行列式的值。 三、结论。 4．本课题的实行方案、进度及预期效果 实行方案： 1.对泰勒公式的证明方法进行归纳； 2.灵活运用公式来解决极限、级数敛散性等问题； 3.研究实际数学问题中有关泰勒公式应用题目，寻求解决问题的途径。 实行进度： 研究时间为第8 学期，研究周期为9周。 1．前期准备阶段： 收集有关信息进行分析、归类，筛选有价值的信息，确定研究主题；制定课题计划，学习理论。 2．研究阶段：2010年12月— 2011 年4 月 3．第一阶段：初期（2010年12月1日- 2011年3月15 日） 第二阶段：中期（2011年3月16 日- 2011年4月15日）第三阶段：结题（2011年4月16日- 2011年4月30日） 目录 一、泰勒公式简介 0 （一）泰勒公式的基本形式 0 （二）泰勒公式余项类型 (1) （三）泰勒公式的定理 (4) 二、泰勒公式的证明 (5) （一）泰勒公式证明初探 (5) （二）证明泰勒公式 (5) 三、泰勒公式的应用 (6) （一）利用泰勒公式求极限 (7) （二）利用泰勒公式判断函数的极值 (8) （三）利用泰勒公式判定广义积分敛散性 (9) （四）利用泰勒公式证明中值定理 (10) （五）利用泰勒公式求行列式的值 (12) （六）泰勒公式在关于界的估计的应用 (13) 谢辞................................................ 错误！未定义书签。 参考文献 (16) 摘要 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式 函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。但一般高数教材中仅介绍了如何用泰勒公式展开函数，而对泰勒公式的应用方法并未深入讨论，在教学过程中学生常因学用脱离而难以理解。 本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。泰勒公式是数学分析中的重要知识，在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的。本文主要从不同的方面对泰勒公式进行综合论述：利用泰勒公式求极限，求无穷远处极限，证明中值公式，中值点的极限，证明不等式，导数的中值，关于界的估计，方程中的应用，用泰勒公式巧解行列式。对于泰勒公式如何更广泛的应用于高等代数中这一问题，还在进一步的研究中。 关键字：泰勒公式极限函数不等式函数方程 ABSTRACT Taylor formula is a very important concept in advanced mathematics. It divides complicated functions into polynomial functions. It have became a powerful leverage when we analysis and research other mathematics problem because of its simplicity. However, normal advanced mathematic textbooks only introduce how to use Taylor formula to expand the functions and never get into the applications of Taylor formula, The students are always hard to use it because we teach it detached from use in teaching process . This paper discusses some of Taylor's formula for the basic content, and focused on mathematical analysis in some applications. Taylor's formula is the mathematical analysis of the important knowledge, the use of certain topics in Taylor formula to reach the purpose of solving problems quickly. In this paper, different aspects from the Taylor formula for a comprehensive discussion: the use of Taylor's formula for the limit, for infinite distance limit, the proof of the value of the formula in the limit point to prove that inequality in the value of derivatives, it is estimated that the estimates on the sector, equations, using Taylor formula determinant clever solution.Taylor formula for how the wider use of Advanced Algebra with the problem, still further study. Key Words：Taylor formula limit function inequality function equation 工科数学分析开放式讲座 第四次大作业 学院名称：电子信息工程学院 学生学号：16021058 学生姓名：李权州 指导教师：杨小远 利用泰勒公式研究π的计算 1 估算原理 即则， 令,11)(',arctan )(2x x f x x f +== .1)(')1(2=+x f x 对该方程两边求n 介导，利用莱布尼兹公式得到 0)()1()(2)()1()1()()1(2=-+++-+x f n n x nxf x f x n n n . 令x=0得到如下的递推关系式 ).0()1()0()1()1(-+--=n n f n n f 由f ’(x)=1,f ’’(x)=0知 , 12,2),!2()1(,0)0()(+==-=k n k n k f k n 因此 ).(1 2)1(...53arctan 221 253++++-+++-=k k k x o k x x x x x 当x=1时，f(x)=4 π，则可由此估算π的值. 2 估算结果 计算代码如下： #include unsigned long int i,k; double pi,t; t=0; printf("To estimate the value of pi.\n\n"); printf("Enter a 'k',and we will expand arctanx to the (2k+1)th power of x.\n\n"); scanf("%d",&k); for(i=0;i泰勒公式的应用精选
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