本科毕业设计论文--泰勒公式

目录

一、泰勒公式简介 0

（一）泰勒公式的基本形式 0

（二）泰勒公式余项类型 (1)

（三）泰勒公式的定理 (4)

二、泰勒公式的证明 (5)

（一）泰勒公式证明初探 (5)

（二）证明泰勒公式 (5)

三、泰勒公式的应用 (6)

（一）利用泰勒公式求极限 (7)

（二）利用泰勒公式判断函数的极值 (8)

（三）利用泰勒公式判定广义积分敛散性 (9)

（四）利用泰勒公式证明中值定理 (10)

（五）利用泰勒公式求行列式的值 (12)

（六）泰勒公式在关于界的估计的应用 (13)

谢辞................................................ 错误！未定义书签。

参考文献 (16)

摘要

泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式

函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。但一般高数教材中仅介绍了如何用泰勒公式展开函数，而对泰勒公式的应用方法并未深入讨论，在教学过程中学生常因学用脱离而难以理解。

本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。泰勒公式是数学分析中的重要知识，在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的。本文主要从不同的方面对泰勒公式进行综合论述：利用泰勒公式求极限，求无穷远处极限，证明中值公式，中值点的极限，证明不等式，导数的中值，关于界的估计，方程中的应用，用泰勒公式巧解行列式。对于泰勒公式如何更广泛的应用于高等代数中这一问题，还在进一步的研究中。

关键字：泰勒公式极限函数不等式函数方程

ABSTRACT

Taylor formula is a very important concept in advanced mathematics. It divides complicated functions into polynomial functions. It have became a powerful leverage when we analysis and research other mathematics problem because of its simplicity. However, normal advanced mathematic textbooks only introduce how to use Taylor formula to expand the functions and never get into the applications of Taylor formula, The students are always hard to use it because we teach it detached from use in teaching process . This paper discusses some of Taylor's formula for the basic content, and focused on mathematical analysis in some applications. Taylor's formula is the mathematical analysis of the important knowledge, the use of certain topics in Taylor formula to reach the purpose of solving problems quickly. In this paper, different aspects from the Taylor formula for a comprehensive discussion: the use of Taylor's formula for the limit, for infinite distance limit, the proof of the value of the formula in the limit point to prove that inequality in the value of derivatives, it is estimated that the estimates on the sector, equations, using Taylor formula determinant clever solution.Taylor formula for how the wider use of Advanced Algebra with the problem, still further study.

Key Words：Taylor formula limit function inequality function equation

一、泰勒公式简介

随着近代微积分的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式

()2

0000000()()()()()()()(),1!2!!

n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-

称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有

0()()

(()),n

n f x T x x x ο=+- 即()200000000()

()()()()()()()(()).2!

!

n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+

-++-+-

称为泰勒公式.

众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。

（一）泰勒公式的基本形式

无论在近似计算或理论研究上，我们总是希望用一个多项式来近似地表示一个比较复杂的函数，这样做将会带来很大的方便。比如，为了计算多项式的值，只须用加、减、乘三种运算，连除法都不需要，这是其他函数甚至很简单的初等函数所不具有的特点。

设给定了一个函数()f x ，我们要找到一个在指定点0x x =附近与()f x 很近似的多项式。现在可以回顾一下函数的微分。在研究微分用于近似计算时，我们有一个近似公式

()()()()000f x f x f x x x '≈+-，

即

()()()()()0000f x f x f x x x o x x '=+-+- (1.1)

公式表明，在点0x 附近的函数值()f x 可以用()0x x -的一次多项式()()()000f x f x x x '+-近似表示，且当0x x →（此时()0x x -是无穷小），所产生的误差()0o x x -为较()0x x -高阶的无穷小。现在的问题是，用这样的一个一次多项式来近似计算()f x ，它的精确度往往并不能满足实际的需要。因此我们希望找到一个关于()0x x -的n 次多项式

()()()()2

010200n

n P x a a x x a x x o x x =+-+-+

+- (1.2)

来近似表示()f x ，并使当0x x →时，其误差()()n f x P x -是较(

)0n

x x -高阶的无穷小。要想这样，那么多项式的系数01,,

,n a a a ，究竟应当取何数呢？这个问题，无疑要根据给定的函数

()f x 来确定，并且可以从前面的(1.1)式得到启发，我们把

()()()()000f x f x f x x x '≈+-，

与一次多项式

()()1010P x a a x x =+-，

对照一下，可知应该取

()()0010,a f x a f x '==，

而01,a a 的这两个数值可以由等式

()()()()100100,P x f x P x f x ''==，

分别求得。事实上，

()()()()0

1001001001001

x x P x a a x x P x a a x x a ==+-''=+-=????

由此不难推想，为了确定n 次多项式()n P x 的全部系数，我们应该假定()f x 在点0x 附近具有直到n +1阶的导数，别且满足下列条件：

()()()()()()(

)

()(

)

()00000000,,,,n n n n n n P x f x P x f x P x f x P x f x ''''''====

(1.3)

由(1.2)计算()n P x 在0x 点的各阶导数值，代入上面等式(1.3)，得

()()()()()0010200,,2!,

,!n n a f x a f x a f x n a f x '''====，

即

()()()(

)

()0000102,,,

,2!

!

n n f x f x a f x a f x a a n '''====

，

代入(1.2)式则得

()()()()()()(

)

()

()

2

00000002!

!

n n

n f x f x P x f x f x x x x x x x n '''=+-+-+

+

- (1.4)

这就是我们找的关于()0x x -的n 次多项式，称为()f x 在0x 点的n 次泰勒多项式。它的各项

系数是以()f x 在0x 点的各阶导数表出的。

（二）泰勒公式余项类型

泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异。定性的余项如佩亚诺型余项0(())n o x x -，表示余项是比0()n x x -（当0x x →时）高阶的无穷小。如

)(!2132x o x x e x

+++=，表示当0x →时，x

e 用!

212x x ++近似，误差（余项）是比3x 高阶的无穷

小。定量的余项如拉格朗日型余项

)1(0)1())(()!

1(1

++-+n n x x f n ζ（ζ也可以写成)(00x x x -+θ）。

泰勒多项式表示()f x 时所产生的误差

()()()n n r x f x P x =-，

当0x x →时，它是比()0n

x x -高阶的无穷小。其中()n r x 称为n 阶余项。

根据上面的假定，()n r x 在0x 点附近具有n +1阶导数（因已假定()f x 在0x 点附近具有n +1阶导数，而多项式()n P x 具有任何阶导数）

，并注意到等式(1.3)，则有 ()()()()()()()()()(

)

()(

)

()()()0000000000000,0,0,0,

n n n n n n n n n n n r x f x P x r x f x P x r x f x P x r x f x P x =-='''=-=''''''=-==

-

=

因此，当0x x →时，

()

()

00n n

r x x x -是

型不定式。我们反复应用洛比达法则，可推得 ()

()

()()

1

00lim

lim

n n n

n x x x x r x r x x x n x x -→→'=--

()()()

2

0lim

1n n x x r x n n x x -→''=--

=

()

0lim !n n x x r x n →=

()0!

n n r x n =

0!n == 即 ()

()

0lim

0n n

x x r x x x →=-。

这就证明了，当0x x →时，余项()n r x 是比()0n

x x -高阶的无穷小。因此所找到的多项式

()n P x 满足了我们最初提出的要求。我们记

()()(

)

0n

n r x o x x =-，

这样一来，给定的函数()f x 就可以表示为

()()()n n f x P x r x =+

()()()()()()

()()()()

()

2

0000000002!

,!

n n n f x f x f x x x x x f x x x o x x x x n '''=+-+-+

+-+-→

余项()()()0

n n r x o

x x =-叫做皮亚诺（Peano ）型余项。应给指出的是，皮亚诺余项只是对余

项给出一个阶的估计，它仅说明当0x x →时()n r x 是比()0n

x x -还要高阶的无穷小。因此只是说明了()n r x 在0x x →时的极限性质。如果在0x 点附近具体取定了一个x 值，那么余项()n r x 到底有多大，从皮亚诺余项是无从得知的。

下面介绍利用()f x 的导数表示的余项，即所说的拉格朗日型余项。 我们先对两个函数()n r x 和()

1

0n x x +-在以0x 和x 为断点的区间上应用柯西中值定理，得

()

()

()()

1

1

000

n n n n r x r x x x x x ++-=

---

()()

()

()

01

1

000n n n n r x r x x x x x ++-=

---

()

()()

1101n n

r n x ξξ'=

+- （ξ在0x 与x 之间）

再对两个函数()n r x '和()()01n

n x x +-在以0x 及1ξ为端点的区间上应用柯西中值定理，得

()

()()

()()()

1110100

110

n n n

n

r r n x n x ξξξξ''-=

+-+--

()()

()()

101010

n n n

r r x n x ξξ''-=

+--

()

()()

21

201n n r n n x ξξ-''=

+- （2ξ在0x 与1ξ之间）

如此继续进行n +1次后，便得

()

()

()()()

1

01!n n n n

r x r n x x ξ+=+- （ξ在0x 与x 之间）

而()

()()()()()()1111n n n n n

n r x f x P x f x ++++=-=（因()n P x 是n 次多项式，所以()10n n P x +=）

，故由上式得

()()()()()1

01!

n n

n n r r x x x n ξ+=-+ （ξ在0x 与x 之间）

这就是()f x 的导数表示的余项，称为拉格朗日型余项。

综合以上的讨论，我们得到了一下的重要定理。

（三）泰勒公式的定理

定理1.1（泰勒定理） 如果函数()f x 在0x 点的附近有直到n +1阶的导数，则对于0x 点附近的x ，

()f x 可表示为()0x x -的n 次多项式与余项()n r x 的和

()()()()()()2

0000012!

f x f x f x x x f x x x '''=+-+

-

+

()()()()001!

n

n n f x x x r x n +

-+ (1.5) 其中 ()()()()()11

011!

n n n r x f x x n ξ++=

-+ （ξ在0x 与x 之间）

定理中的(1.5)式称为具有拉格朗日型余项的泰勒公式。 当0n =时，泰勒公式(1.5)式变为

()()()()00f x f x f x x ξ'=+-，

这就是拉格朗日中值公式。可见泰勒公式是拉格朗日公式的推广。 在泰勒公式(1.5)式中，令00x =，则得

()()()()()()

()()21

100002!

!

n n n f x f f x f x f x r x n '''=++

++

+ (1.6) 其中 ()()()()()11

011!

n n n r x f x x n ξ++=

-+ （ξ在0x 与x 之间）

公式(1.6)是()f x 在原点的泰勒公式，也称为麦克劳林(Maclaurin )公式。

二、泰勒公式的证明

（一）泰勒公式证明初探

两种余项的泰勒公式所表达的根本思想都是怎样用多项式来逼近函数，带有佩亚诺余项的泰勒公式是反映了极限性质的渐进等式，所以这个公式在求极限时很有用，对余项可以提供充分小的估计值。带有拉格朗日余项的泰勒公式有确切的表达式，当然也有像中值这样不确定的因素，但是并不妨碍定理的使用，为近似计算的误差估计提供了理论依据。

（二）证明泰勒公式

定理2.1：（带有佩亚诺型余项的泰勒公式）若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有

))(()()(0n n x x o x T x f -+=，

即))(()(!

)()(!2)())(()()(000)(2

00"00'

0n n n x x o x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-++-+-+= 。 证明：设

)()()(x T x f x R n n -=，n n x x x Q )()(0-=，

现在只要证

0)()

(lim

0=-x Q x R n

n x x

由n k x T x f k n k ,,2,1,0)()(0)(0)( ==，可知，

0)()()(0)

(0'0====x R x R x R n n n n ，

并易知

!)(,0)()()(0)

(0)1(0'0n x Q x Q x Q x Q n n n n n n =====-

因为)(0)

(x f

n 存在，所以在点0x 的某邻域)(0x U 内)(x f 存在1-n 阶导函数)(x f 。于是，当

)(0x U x ∈且0x x →时，允许接连使用洛必达（L'Hospital ）法则1-n 次，得到

)]()()([lim !1)(2)1()

)(()()(lim )()(lim )()(lim )()(lim 0)(00)1()1(000)(0)1()1()1()

1(''00000=---=-----====--→--→--→→→x f x x x f x f n x x n n x x x f x f x f x Q x R x Q x R x Q x R n n n x x n n n x x n n

n n x x n n x x n n x x 所以定理2.1成立。

定理2.2：若函数)(x f 在[]b a ,上存在直至n 阶的连续导函数，在),(b a 内存在)1(+n 阶导函数，则对任意给定的],[,0b a x x ∈，至少存在一点),(b a ∈ζ，使得

)

1()()!

1()()(!)()(!2)())(()()()1(0)1(00)(200"00'

0++-++-++-+-+=n n n

n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ζ 证明：作辅助函数

])(!

)

())(()([)()()('

n n t x n t f t x t f t f x f t F -++---= ，1)()(+-=n t x t G

所以要证明的（1）式即为

)!

1()

()()()()!1()()()1(000)1(0+=

+=++n f x G x F x G n f x F n n ζζ或 不妨设x x <0，则)(t F 与)(t G 在],[0x x 上连续，在),(0x x 内可导，且0

))(1()()(!

)

()(')1('

≠-+-=--=+n n

n t x n t G t x n t f t F 又因0)()(==x G x F ，所以由柯西中值定理证得

)!

1()

()()()()()()()()()1(''0000+=

=--=+n f G F x G x G x F x F x G x F n ζζζ 其中),(),(0b a x x ?∈ζ 所以定理2.2成立

三、泰勒公式的应用

泰勒公式不仅在极限和不等式证明中能解决许多问题，同时也是研究分析数学的重要工具。其原理是很多函数都能用泰勒公式表示，又能借助于泰勒公式来研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题。因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，我们必须掌握它，用泰勒公式这一知识解决更多的数学实际问题。

（一）利用泰勒公式求极限

为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出。

例1 求极限 22

4

0cos lim

x x x e x -

→-

分析：此为0

型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和2

2x

e -分别用泰勒展开式

代替,则可简化此比式。

解 ： 由244

cos 1()2!4!

x x x o x =-

++,2

22242()21()22

x x x e o x --=-++得 2

44442

2111

cos (

)()()4!22!12

x x e

x o x x o x -

-=-+=-+?, 于是

2

4

42

4

4001()

cos 1

12lim

lim 12

x x x x o x x e x x -

→→-

+-==-

例2 求极限 ()()()100

2406001lim 160/1212x x I x x x x →??+=--??-+????

解： 用(1.11)后，有

()()()()()()22220404110099lim 11001402222x I x x o x x x o x →--?

?????=+++--+-+??????????

()()()

()()222606116022160/2

x x o x x x ?--????-+

+--?????

??

()()()(){}2

2

2

2

2

lim 11004950180328011207320160/x x x

x x x x o x x x

→=++++-++--

()()

222

800049503280732021600lim

1950

x x o x x →+++-+==

可以想象，若用洛比达法则，将是非常麻烦的。 求极限

例3 求极限 2

4

0ln cos 2lim

x x x I x →+

= 解：

()()()()()()()()2

4

022

4022

22452222402424

40ln 11cos 2

lim

11lim 1cos 1cos 1cos 22111111lim 2!4!22!2!21lim 2122112

x x x x x x I x x x x o x x x x x o x x o x o x o x x x x x o x x →→→→--+????=??=----+-+???

?????????=--+-++++?? ? ? ???????????

??=--++????= （二）利用泰勒公式判断函数的极值

例 4 (极值的第二充分条件)设f 在0x 的某邻域);(0δx U 内一阶可导,在0x x =处二阶可导,且

0)(0'=x f ,0)(0''≠x f .

(i)若0)(0''

(ii) 若0)(0'

'>x f ,则f 在0x 取得极小值.

证明 ： 由条件，可得f 在0x 处的二阶泰勒公式

))(()(!

2)

()(!1)()()(20200''00'0x x o x x x f x x x f x f x f -+-+-+=.

由于0)(0'=x f ,因此

200''0))](1(2

)

([)()(x x o x f x f x f -+=-.(*)

又因0)(0''≠x f ,故存在正数δδ≤'

,当);('0δx U x ∈时,

)(210''x f 与)1()(2

1

0''o x f +同号.所以,当0)(0''

0)()(0<-x f x f ,

即f 在0x 取得极大值.同样对0)(0''>x f ,可得f 在0x 取得极小值.

（三）利用泰勒公式判定广义积分敛散性

在判定广义积分

?

+∞

a

dx x f )(敛散性时, 通常选取广义积分)0(1

>?

+∞

p dx x

a

p 进行比较, 在此通过研究无穷小量)()(+∞→x x f 的阶来有效地选

dx x a

p

?

+∞

1

中的p 值，从而简单地判定?

+∞

a

dx x f )(的敛散性（注意到：如果dx x f a

?

+∞

)(得收敛，则dx x f a

?

+∞)(得收敛）

。 例5 广义积分

dx x x x ）（

?+∞

--++4

233的敛散性.

解 ：

)(!

2)

1(1122x o x x x +-++=+αααα）（

)

(4

92

))1

(1*891*231())1(1*891*231(2

)3

1()31(233)(23

2

3

222221

21

--+-=-++-++-+=--++=--++=x o x x

o x x x o x x x x

x x x

x x x f 因此，4

9

)(lim

2

3=-+∞

→x

x f x ，即0)(→x f 是)(1+∞→x x 的23阶，而dx x ?∞+-423

收敛，故dx

x f ?+∞4)(收敛，从而

dx x x x ?+∞

--++4

233）（

。

例6 广义积分

?-1

0arctan sin dx x x x

x 是否收敛？

解: )(!

31sin 4

3x o x x x +-=

)(3

)(!51!31))

(!31

(arctan sin )(26

5343x o x

x x o x x x x o x x x x

x x x x f +=-++-+-=-=

)(13)

(lim 0x f x

x f x ∴=-→， 是)0(1+→x x 的一阶无穷大量，

又?101dx x 发散，?-∴10arctan sin dx x

x x x 也发散。

（四）利用泰勒公式证明中值定理

接下来，我们通过例题来说明，泰勒公式是如何证明中值公式的。 例7 设函数()f x 在[],a b 上三阶可导，试证：存在(),c a b ∈，使 ()()()()()31224a b f b f a f b a f c b a +??''''=+-+-

?

??

。 证明 ： 设k 为使下式成立的实数：

()()()()310224a b f b f a f b a k b a +??

'---+-= ???

。 令

()()()()()31224a x g x f x f a f x a k x a +??

'=---+- ?

??

， 则

()()0g a g b ==。

根据罗尔定理，(),a b ξ?∈使()0g ξ=，即

()2

122222a a a a f f f k ξξξξξ++--????????''''=++ ? ??? ?????????

而将()f ξ'在

2

a ξ

+展开有： ()()2

122222a a a a f f f f c ξξξξξ++--????????'''''''=++ ? ??? ?????????

。

其中(),,2a a b ξξξ+??

?∈?

???

，比较得()k f c '''=，其中(),c a b ∈。

例8 设()f x 在[],a b 上有二阶导数。试证：(),c a b ?∈，使得

()()()()31,224

b

a

a b f x dx a b f f c b a +??''

=+

- ????

(1) 证明：

法1 对函数()()x

a F x f t dt =?利用上例结果，或重复上例的证明即得。

法2 将函数()()x

a

F x f t dt =

?在点02a b x +=

处按泰勒公式展开，记2b a

h -=，则 ()()()()()23000011

26F x h F x f x h f x h f h ξ'''+=+++，

()()()()()23000011

26

F x h F x f x h f x h f h η'''-=-+-，

其中(),,a b ξη∈。于是

()()()0

0b

a

f x dx F x

h F x h =+--?

()()

()()()()3

048

b a b a f x f f ξη-''''=-+

+ (2)

注意到导函数的介值性，(),c a b ?∈，使得

()()()

2

f f f c ξη''''+''=

，

代入(2)式即得欲证的式(1)。 法3 记02

a b

x +=

，在泰勒展开式 ()()()()()()2

000012

f x f x f x x x f x x ξ'''=+-+

- 两端，同时取[],a b 上的积分。注意右端第二项积分为0.第三项的积分，由于导数有介值性，第一积分中值定理成立：(),c a b ?∈，使得

()()()()()()2

2

3

00112

b

b

a

a

f x x dx f c x x dx f c b a ξ''''''-=-=

-?

? 因此(3.1)式成立。

（五）利用泰勒公式求行列式的值

若一个行列式可看做0x 的函数（一般是0x 的n 次多项式）,记作()f x ,按泰勒公式在某处0x 展开,用这一方法可求得一些行列式的值. 例 9

求n 阶行列

D=x

z z z y x

z

z

y

y x z y

y y x

（1）

解 ： 记D x f n =)(,按泰勒公式在z 处展开：

n n n n n n z x n z x f z x z f z x z f z f x f )(!

)()(!2)()(!1)()()()(2

'''

--+-+-+= , （2）

易知

1)(0

000

00

000--=-----=

k k y z z y z y y

z y y z y y z y y z D 阶

（3）

由（3）得,时都成立n k y z z z f k k ,,2,1,)()(1 =-=-. 根据行列式求导的规则,有

).)((1)(),(2)(,),()1()(),()(1'11'22'11'x x f x f x f x f x f n x f x nf x f n n n n ===-==---因为

于是)(x f n 在z x =处的各阶导数为

21'')()(|)()(--=-===n n z x n n y z nz z nf z f z f ,

3'1'''')()1()(|)()(--=--===n n z x n n y z z n n z nf z f z f ,

… … … …

z n n z f n n f z f z x n n n n 2)1()(2)1(|)(111 -=-===--

12)1()()(?-= n n z f n n

本科毕业设计(论文)基本规范 (1)

武汉科技大学 本科毕业设计(论文)基本规范 一、总则 毕业设计(论文)是培养学生综合运用所学知识，分析和解决实际问题，提高创新能力的重要环节。保质保量完成毕业设计(论文)是申请学士学位的基本要求。为进一步提高我校本科毕业设计(论文)质量、学士学位授予质量，根据《武汉科技大学毕业设计(论文)工作条例》，就我校本科毕业设计(论文)的撰写格式、印刷与装订等统一制定本基本规范。 二、毕业设计(论文)结构及要求 一般地，各学科专业的毕业设计(论文)由以下部分组成： ①毕业设计(论文)封面；②中文摘要；③英文摘要；④目录；⑤正文； ⑥参考文献；⑦致谢；⑧附录；⑨有关图纸(大于3号图幅时单独装订)。 特别地，艺术类专业的为毕业设计(创作)，与上述要求类同。以下内容凡未特别说明的，则视毕业设计(创作)为理工类毕业设计(论文)，相应的要求均适用于毕业设计(创作)。 医科类专业的毕业论文由以下部分组成：①毕业论文封面；②中文摘要；③英文摘要；④目录；⑤正文；⑥参考文献；⑦致谢；⑧附录；⑨综述；⑩综述参考文献。 毕业设计(论文)统一使用Microsoft Word软件进行排版，存储格式为doc格式。 （一）毕业设计(论文)封面 毕业设计(论文)封面由学校统一格式(可在教务处网上下载)。论文题目一般不得超过20个字（医科类专业不超过25个字），要简明扼要，可加副标题。 （二）中英文摘要及关键词 摘要是论文内容的简要陈述，应尽量反映论文的主要信息，内容包括研究目的、方法、结果和结论，不含图表，不加注释，具有独立性和完整性。中文摘要一般为400字左右，英文摘要应与中文摘要内容一致。 关键词是反映毕业设计(论文)主题内容的名词，关键词一般为3～5个。 （三）目录 目录按三级标题编写，要求层次清晰，且要与正文标题一致。主要包括论文正文、参考文献、致谢等。中英文摘要在目录中不出现。 （四）正文 论文正文部分包括：绪论(前言、序言)、论文主体及结论(结束语)。 绪论：简要说明毕业设计(论文)工作的选题目的和意义，国内外文献综述(医科类的另列附正文后)，以及所要研究的内容。

本科毕业论文格式模板

XXXXXXXXX 学校 毕业论文（设计） 论文题目：技术创新对公路运输市场体系的作用和影响 指导教师： XX 教授 专 业： 电子商务 级 班 准考证号： 论文作者： XXX 年 月 日 或毕业设计， 字号：二号宋体 初号，华文中宋 四号宋体 小三号楷体 小三号黑体 小三号楷体

二级以下(包括二级题序 )用小四宋体 目 录 摘要 1 绪论...................................................................................................... 1 1.1公路运输市场的现状.................................................................................1 1.2 熊彼特的创新理论.................................................................................1 2 技术创新对公路运输市场发展的作用............................................................ 2 2.1 公路运输市场..........................................................................................2 2.1.1 公路运输产品 (2) … … … … 5结论 (4) 三号黑体 小四宋体加黑 一级题序用小四宋体加黑

泰勒公式的若干问题研究

泰勒公式的若干问题研究

毕业论文 题目泰勒公式的若干问题研究学院数学科学学院 专业信息与计算科学 班级计算0901 学生吕晗 学号20090921073 指导教师徐美荣

- 22 - 二〇一三年 五 月二十五日 摘 要 本文探讨了泰勒公式的若干问题。首先给出了几种不同形式的泰勒公式并 给出了相应的证明。其次我们讨论了泰勒公式的应用问题，主要分析了泰勒公式在计算行列式，判断级数敛散性，判断函数凹凸性等方面的应用，并辅以具体的例子进行说明，另外我们研究了泰勒公式中间点的渐近性问题，主要分区间长度趋于零和区间长度趋于无穷大两种情况进行了讨论，当区间长度趋于零与无穷时中间点ξ分 别满足的条件0 1 lim m m ξ→-= 与1 (1)lim []!(1)x a n x a n β ξββ→+∞-Γ-+=-Γ-。最后讨论了泰勒公式与泰勒级数之间的关系以及泰勒公式与泰勒级数在计算方面的应用。 关键词：泰勒公式；敛散性；行列式；渐近性

ABSTRACT In this paper，we discuss some problems of Taylor formula。Firstly, we discuss the Taylor formula of different types and the corresponding proof。Secondly, we discuss the application of Taylor formula。We mainly analysis of the Taylor formula in the calculation of determinant，judging the convergence of series，determining the application of convex function combined with concrete example to explain。In addition we study the asymptotic properties of intermediate point of Taylor formula and the main partition length tends to zero and the interval length tending to infinity are discussed in two situations when the length of interval tends to zero and infinity of intermediate point condition 0 1 lim m m ξ → - = and 1 (1) lim[] !(1) x a n x a n β ξβ β →+∞ -Γ-+ = -Γ-。 Finally, we discusses the relationship between the Taylor formula and Taylor series and the Taylor formula and Taylor Series in computational applications。 Key words：Taylor formula; convergence;determinant; asymptotic behavior - 22 -

浙江大学法律专业自考本科毕业论文写作指导手册

浙江大学法律专业自考本科毕业论文写作指导手册 一．毕业论文的意义 撰写毕业论文是自学考试计划中的一个重要环节。它综合考核考生专业知识的掌握程度及分析、解决问题的实际能力，是法学类本科生的一门必修课，也是授予相应学位的重要依据之一。 二．毕业论文的基本要求 1．环节：毕业论文环节主要包括课题调研及查阅资料、毕业论文实施等阶段。 2．能力要求：在毕业论文阶段中，要进一步培养学生具有从事法学科学研究工作和综合运用法学专业知识的初步能力。具体可归纳为： （1）对资料、信息的获取及独立分析的能力。 （2）能较好地掌握法学学科的基础理论、专门知识和基本技能；提高综合运用所学知识和解决实际问题的能力。 （3）培养学生的创新意识和创新精神，继承和发现探索与创造的能力。 （4）使用计算机（包括索取信息、数据处理、文字输入等）的能力；撰写论文的能力。 3．毕业论文环节对学生的要求 参加毕业论文环节的同学，都必须遵守以下的要求： （1）认真学习法学院的《浙江大学法学专业自考本科毕业论文写作指导手册》，了解毕业论文的过程和要求。 （2）努力学习、刻苦钻研、勇于创新、勤于实践，保质保量完成。 （3）定期向指导老师汇报毕业论文工作进度，接受指导教师及有关人员的指导和检查。 （4）独立完成毕业论文任务，严禁和杜绝弄虚作假及抄袭他人成果，如有剽窃抄袭或伪造数据行为，经调查核实，以零分记。 4．毕业论文字数应在6000—8000字，要求观点鲜明，结构合理，层次清楚，论证充分，使用法言法语，并能理论联系实际。跨学科时要注意使用法言法语。 5．毕业论文的几个关系 （1）内容与形式：在注意内容的同时，形式要规范。 （2）创新与理解：不要为了创新而创新，应当建立在理解之上。 （3）兴趣与能力：要写自己熟悉学科。 三．毕业论文的选题 （一）选题的要求 每位同学都应认真收集和分析文献资料、了解法学发展的动态，慎重选择和确定毕业论文的研究课题。 1．论文选题应具有一定的理论与现实意义，体现一定的学术价值； 2．结合当前法学理论研究与法治实践中的热点、难点和焦点问题； 3．难易程度和工作量要适当。 （二）选题的原则 由各指导教师根据学科发展和本科教学的要求，提出本专业方向的毕业论文参考选题，经院审定后，在第四学年冬学期末，向全体毕业班学生公布。 学生可在公布的参考选题范围内，结合本人的具体情况确定论文课题；学生

泰勒公式外文翻译

Taylor's Formula and the Study of Extrema 1. Taylor's Formula for Mappings Theorem 1. If a mapping Y U f →: from a neighborhood ()x U U = of a point x in a normed space X into a normed space Y has derivatives up to order n -1 inclusive in U and has an n-th order derivative ()()x f n at the point x, then ()()()()()??? ??++++=+n n n h o h x f n h x f x f h x f !1,Λ (1) as 0→h . Equality (1) is one of the varieties of Taylor's formula, written here for rather general classes of mappings. Proof. We prove Taylor's formula by induction. For 1=n it is true by definition of ()x f ,. Assume formula (1) is true for some N n ∈-1. Then by the mean-value theorem, formula (12) of Sect. 10.5, and the induction hypothesis, we obtain. ()()()()()()()()()()()()()??? ??=??? ??=??? ? ??-+++-+≤?? ? ??+++-+--<

03青岛科技大学本科毕业设计(论文)撰写规范

青岛科技大学本科毕业设计（论文）撰写规范 为提高毕业设计（论文）质量，特对我校本科毕业设计（论文）撰写规范作如下规定： 一、内容要求 毕业设计（论文）一般应包括以下九个主要组成部分： 1.封面 采用全校统一制作格式，填写的内容为：论文题目、指导教师姓名、辅导教师姓名、学生姓名、学生学号、学生所在学院（部）、专业、班级、完成日期。 2.中文摘要 中文摘要应是毕业设计（论文）的中心内容，应具有独立性和自含性，即读者不需要阅读全文，就能获得必要的毕业设计（论文）信息。摘要内容涉及本项科研工作的目的和意义、研究方法、研究成果、结论。要注意突出毕业设计（论文）中具有创造性的成果和具有新见解的部分。 3.英文摘要 英文摘要应与中文摘要相对应。 4.目录 目录作为毕业设计（论文）的提纲，是其各组成部分的小标题，应简明扼要。 5. 毕业设计（论文）正文 毕业设计（论文）正文是主体，一般由引言（绪论、前言）开始，以结论（或讨论）结束。毕业设计（论文）的内容可因科研项目的性质不同而变化，一般可包括理论分析、计算方法、实验装置和测试方法，经过整理加工的实验结果与理论计算结果的比较分析和讨论，以及本研究方法与已有研究方法的比较等。人文社科类设计（论文）正文不少于8000字，理工科类设计（论文）正文及说明书不少于10000字。 6.参考文献 参考文献是撰写毕业设计（论文）时引用的有关图书资料。应按文中引用出现的顺序列全，附于文末。 7.附录 重要的测试结果、图表、程序等可列在附录中。 8.致谢 对给予各类资助、指导和协助完成研究工作以及提供各种条件的单位和个人表示感谢。致谢应实事求是，切忌滥用浮夸庸俗之词。 9. 外文资料翻译及原文 理工科学生要求一篇与本专业相关的外文参考文献翻译，字数不限。 二、撰写规范 1. 毕业设计（论文）封面一律由计算机打印，按统一要求进行装订。题目不宜超过33个汉字。模板中已定义好格式，直接输入即可。或输入后选择相应样式来格式化。 题目使用“封面论文题目”样式来格式化。 指导教师、辅导教师、学生姓名和学生学号使用“封面作者信息”样式来格式化。 学院（部）、专业和班级使用“封面作者单位”样式来格式化。 年、月和日使用“封面论文日期”样式来格式化。 2.中文摘要字数为300字左右,其内容次序为：题目、“摘要”二字、摘要正文、关键词（15个汉字左右）。 ⑴题目可以分成1或2行，使用“中文论文题目”样式来格式化。

本科毕业设计(论文)的工作程序及要求

华北电力大学科技学院教学工作部文件 本科毕业设计（论文）工作程序及要求 一、毕业设计（论文）的选题 选题关系到毕业设计（论文）工作的质量，它是保证教学基本要求的重要环节。 1．毕业设计（论文）的选题必须符合本专业培养目标的要求，体现本专业基本训练的内容，对所学知识有综合运用性质，具体题目应多样化，要反映现代科学技术发展水平，与当前的生产实际、工程实践、经济实践、管理实践和科学研究相结合，也可选择与所学专业有关的模拟题目，但都应使学生受到理论联系实际、设计、科研等较为全面综合的训练。 2．题目的难度要适当，分量要合理，过程要完整，要符合学生的实际水平和现有条件，尽可能做到既有连续性又有阶段性，使学生在人才培养方案规定时间内完成。题目一旦确定，不得随意改题。 3．提倡不同专业（学科）互相结合，扩大专业面，开阔学生眼界，实现学科之间的相互渗透，可以根据专业培养目标的要求，跨专业（学科）进行选题。 4．贯彻因材施教的原则，对学有余力的优秀学生，在选题和内容上提出较高要求，以充分发挥其才能。 5．我院理工类毕业设计（论文）主要有以下几种类型：工程设计型、产品开发型、工程技术研究型、软件开发与设计型、理论研究型等；经、管、文类专业本科毕业论文可以是理论性研究、应用软件设计或调查报告、案例分析等； 6．毕业设计（论文）课题由指导教师提出，填写“毕业设计（论文）选题审批表”，经所在专业教研室讨论，并经教研室主任审定签字后生效。此表按专业装订在一起，存放在各系。 7．选题、审题工作原则上应于第七学期末完成并落实到学生，以便学生尽早考虑和准备。学生可自愿报名选题，但要由教研室调整、平衡最后确定。优秀生可自行确定题目，但需经教研室批准，并指定指导教师。各院系应填写各专业的“毕业设计（论文）题目登记表”，此表由各系保存，并将电子文稿报教学工作部备案。 8．参加毕业设计（论文）的学生原则上做到每人一个题目，如确有个别题目较大，一个学生难以完成的，可允许有2人或多人做同一个题目，但在内容上要有明确的分工，所做的大部分工作不能相同。 9．选题程序

泰勒公式的证明及应用(1)

一．摘要 (3) 前言 (3) 二、泰勒公式极其极其证明........................ (3) （一）带有皮亚诺型余项的泰勒公式 (3) （二）带有拉格朗日型余项的泰勒公式 (4) （三）带有柯西型余项的泰勒公式 (5) （四）积分型泰勒公式 (6) （五）二元函数的泰勒公式 (7) 三、泰勒公式的若干应用 (8) （一）利用泰勒公式求极限 (8) （二）利用泰勒公式求高阶导数 (9) （三）利用泰勒公式判断敛散性 (10) （四）利用泰勒公式证明中值定理 (12) （五）利用泰勒公式证明不等式 (13) （六）利用泰勒公式求近似和值误差估计 (15) （七）利用泰勒公式研究函数的极值 (16) 四、我对泰勒公式的认识 (16) 参考文献 (17) 英文翻译 (17)

Taylor 公式的证明及应用 【摘要】数学中的著名的公式都是一古典的数学问题，它们在数学，化学与物理领域都有很广泛的运用。在现代数学中Taylor 公式有着重要地位，它对计算极限，敛散性的判断，不等式的证明、中值问题及高阶导的计算以及近似值的计算等方面都有很大的作用。在本文中，我将谈到关于公式的几种形式及其证明方法并对以上几个方面进一步的运用，和我对几者之间的一些联系和差异的看法。并通过具体事例进行具体的说明相关运用方法 【关键词】泰勒公式 佩亚诺余项 拉格朗日余项 极限 级数 1、常见Taylor 公式定义及其证明 我们通常所见的Taylor 公式有皮亚诺型、拉格朗日型、柯西型与积分型，还有常用的二元函数的Taylor 公式和高阶函数的Taylor 公式。 定义：设函数存在n 阶导数，由这些导数构成n 次多项式，称为函数在该点处的泰勒多项式各项系数称为泰勒系数。 1.1首先是带皮亚诺型余项的Taylor 公式： 若函数f 在点0x 存在且有n 阶导数，则有0()()(())n n f x T x x x =+ο-即 "' 200000() ()()()()()2! f x f x f x f x x x x x =+-+-+? ()00() ()! n n f x x x n +-0(())n x x +ο-. (2) 其中()n T x 是由这些导数构造的一个n 次多项式， "()' 2 0000000()()()()()()()()2!! n n n f x f x T x f x f x x x x x x x n =+-+-+?+- （3） 称为函数f 在点0x 处的Taylor 多项式，()n T x 的各项系数 ()0() !k f x k (1,2,,)k n =?称为Taylor 系数。从上易知()f x 与其Taylor 多项式()n T x 在点0x 有相同的函数值和相同

课题_新常态的外文论文翻译

长江大学工程技术学院毕业设计（论文）外文翻译 Matlab Based Interactive Simulation Program 外文题目 for 2D Multisegment Mechanical Systems 二维多段机械系统基于Matlab的 译文题目 交互式仿真程序 系部化学工程系 专业班级化工60801 学生姓名 指导教师 辅导教师 完成日期2016.4.15

摘要：本文介绍了多段机械系统设计原则，代表的是一个模型的一部分的设计系统，然后扩展形成的几个部分和模型算法的分类与整合的过程，以及简化步骤的过程叫多段系统。本文还介绍了设计过程的二维多段机械系统的数字模型，和使用Matlab的软件包来实现仿真。本文还讨论测试运行了一个实验，以及几种算法的计算，实现了每个单一步骤的整合。 1 简介 科学家创造了物理模型和数学模型来表示人类在运动中的各种形式。数学模型使创建数字模型和进行计算机仿真成为可能。模型试验，可以使人们不必真正的实验就可以虚拟的进行力和力矩的分解。 本文研究的目的是建立一个简单的多段运动模型，以增加模型的连续性和如何避免不连续为原则。这是创建一个人类运动模型系统的冰山一角。其使用matlab程序包创建的数字模型，可以仿真人类运动。 文献中关于这一主题的内容很广泛。运动的模式和力矩的分解在这些文献中都有涉猎。动态的平面人体运动模型，提出了解决了迭代矩阵的方法。还值得一提的是这类项目的参考书目，布鲁贝克等人提出了一个模型——人腿模型，这个以人的物理运动为基础的平面模型仿真了人腿——一个单一的扭簧和冲击碰撞模型。人腿模型虽然简单，但是它展示人类的步态在水平地面上的运动特征。布鲁贝克等人还介绍，在人腿模型的双足行走的基础上，从生物力学的角度而言，符合人体步行的特征。这个模型具有一个躯干，双腿膝盖和脚踝。它能够合理的表现出人多样的步态风格。一个仿真人类运动的数学模型反应出了人的部分运动状态。 图1. 力的分解 2 力的分解 假设物体的长度和质量恒定，在中心的定位点（X，Y），在下断点（x1,y1）, （x2,y2）和垂直倾斜角度是?（图1）。假设在外力作用下：F1分解为水平力f1x和垂直力f1y，

普通本科毕业论文(设计)写作规范(新)

普通本科毕业论文（设计）写作规范 一、基本要求 1.毕业论文（设计）必须由学生本人独立完成，不得弄虚作假，不得抄袭他人成果。 2.论文（设计）应中心突出，内容充实，论据充分，论证有力，数据可靠，结构紧凑，层次分明，图表清晰，格式规范，文字流畅，字迹工整，结论正确。 3.毕业论文（设计）中所使用的度量单位一律采用国际标准单位。 4.对论文中的图或表要给予解释，统一标上编号和图题，安排于相应位置。若同类图表数量过多，也可作为附录列于论文后面。 5.凡手绘图形一律用碳素笔在硫酸纸或复印纸上誊描，并标上图号、图题，然后贴附于论文适当位置或附录中，要求图面整洁、比例适当。 6.毕业论文（设计）正文要求10000字以上（不含图表、程序和计算数字）。 7.参考文献著录格式要符合国家标准。 二、内容要求 ㈠毕业论文(设计)的内容要求 1.题目：应简洁、明确、有概括性，字数不宜超过20个字。 2.摘要：要有高度的概括力，语言精练、明确。同时有中、英文对照，中文摘要约300汉字；英文摘要约300个实词。 3.关键词：从标题或正文中挑选3～5个最能表达主要内容的词作为关键词，同时有中、英文对照，分别附于中、英文摘要后。 4.目录：写出目录，标明页码。 5.正文：在撰写正文前要写毕业论文题目。正文内容一般包括前言、本论、结论三个部分，以下就毕业论文、毕业设计分别加以说明，供学生写作时参考。 ⑴毕业论文 ①前言（引言）：是论文的开头部分，前言部分应有文献综述。文献综述是学生在开题前阅读过某一主题的文献后，经过理解、整理、融会贯通，综合分析和评价而形成的一种不同于毕业论文的文体。综述的目的是反映某一课题的新水平、新动态、新技术和新发现。介绍和评论其历史、现状、存在问题以及发展趋势等，并在此基础上提出自己的见解，预测未来的发展趋势，提出论文的中心论点，为选题和开题奠定良好的基础。前言一般应由以下三部分构成：①研究背景与意义； ②国内外研究现状即文献综述；③本文研究思路与结构。前言要写得简明扼要。

黄河科技学院本科毕业设计(论文)撰写规范电子版

黄河科技学院本科毕业设计(论文)撰写规范 （试行） 21世纪是教育的世纪，更是重视质量的世纪。毕业设计(论文)是培养学生综合运用本学科的基本理论、专业知识和基本技能，提高分析和解决实际问题的能力，完成初步培养从事科学研究工作和专业工程技术工作基本训练的重要环节。为了统一和规范我校本科生毕业设计(论文)的写作，保证我校本科生毕业设计(论文)的质量，根据《中华人民共和国国家标准科学技术报告、学位论文和学术论文的编写格式》（国家标准GB7713-87）的规定，特制定《黄河科技学院本科生毕业设计(论文)撰写规范》。 1 内容要求 1.1 论文题目 论文题目应该简短、明确、有概括性。读者通过题目，能大致了解论文的内容、专业的特点和学科的范畴。但字数要适当，一般不宜超过24字。必要时可加副标题。 1.2 摘要与关键词 1.2.1 论文摘要 论文摘要应概括地反映出毕业设计(论文)的目的、内容、方法、成果和结论。摘要中不宜使用公式、图表，不标注引用文献编号。摘要以300～500字为宜。 1.2.2 关键词 关键词是供检索用的主题词条，应采用能覆盖论文主要内容的通用技术词条（参照相应的技术术语标准）。关键词一般为3～5个，按词条的外延层次排列（外延大的排在前面）。 1.3 目录 目录按章、节、条三级标题编写，要求标题层次清晰。目录中的标题要与正文中标题一致。目录中应包括绪论、论文主体、结论、致谢、参考文献、附录等。 ·1·

1.4 论文正文 论文正文是毕业设计(论文)的主体和核心部分，一般应包括绪论、论文主体及结论等部分。 1.4.1 绪论 绪论一般作为第一章，是毕业设计(论文)主体的开端。绪论应包括：毕业设计的背景及目的；国内外研究状况和相关领域中已有的研究成果；课题的研究方法；论文构成及研究内容等。绪论一般不少于1千字。 1.4.2 论文主体 论文主体是毕业设计(论文)的主要部分，应该结构合理，层次清楚，重点突出，文字简练、通顺。论文主体的内容应包括以下各方面： (1)毕业设计(论文)总体方案设计与选择的论证。 (2)毕业设计(论文)各部分（包括硬件与软件）的设计计算。 (3)试验方案设计的可行性、有效性以及试验数据的处理及分析。 (4)对本研究内容及成果应进行较全面、客观的理论阐述，应着重指出本研究内容中的创新、改进与实际应用之处。理论分析中，应将他人研究成果单独书写，并注明出处，不得将其与本人提出的理论分析混淆在一起。对于将其他领域的理论、结果引用到本研究领域者，应说明该理论的出处，并论述引用的可行性与有效性。 (5)自然科学的论文应推理正确，结论清晰，无科学性错误。 (6)管理和人文学科的论文应包括对研究问题的论述及系统分析，比较研究，模型或方案设计，案例论证或实证分析，模型运行的结果分析或建议、改进措施等。 1.4.3 结论 学位论文的结论单独作为一章排写，但不加章号。 结论是毕业设计(论文)的总结，是整篇论文的归宿。要求精炼、准确地阐述自己的创造性工作或新的见解及其意义和作用，还可进一步提出需要讨论的问题和建议。 1.5 致谢 致谢中主要感谢导师和对论文工作有直接贡献及帮助的人士和单位。 1.6 参考文献 ·2·

泰勒公式外文翻译

Ｔa ｙl ｏr ＇s Ｆormu ｌa an ｄ the St ｕdy ｏf Ext ｒema 1. Ｔay ｌｏr's Ｆorm ｕｌa for M ａpping ｓ Th ｅｏre ｍ 1. If ａ mapping Y U f →: from a ｎeigh ｂo ｒho ｏｄ ()x U U = of a point x in a no ｒm ｅd ｓｐａce X into a no ｒmed spac ｅ Y ha ｓ d ｅｒiva ｔiv ｅs up ｔo o ｒde ｒ n -１ in ｃlus ｉve ｉｎ U an ｄ h ａｓ ａn n-th ｏrde ｒ deriv ａti ｖe ()()x f n at t ｈe p ｏint x, ｔhe ｎ ()()()()()??? ??++++=+n n n h o h x f n h x f x f h x f !1, (１） as 0→h ． Equ ａli ｔy （１) i ｓ one of the ｖariet ｉe ｓ ｏf Ｔa ｙlor's fo ｒmu ｌａ, writte ｎ here for ra ｔｈer ge ｎｅral c ｌas ｓｅs of ma ｐpings. Proof ． We p ｒｏv ｅ T ａy ｌｏr's ｆo ｒmu ｌa ｂｙ ｉnd ｕｃｔi ｏn. For 1=n it is tru ｅ ｂｙ d ｅｆinition ｏf ()x f ,. Ａs ｓume form ｕl ａ (1) is ｔrue for ｓo ｍe N n ∈-1. Ｔｈen b ｙ the mean －val ｕｅ th ｅo ｒｅm, fo ｒm ｕla （12) o ｆ Sec ｔ. 10.5, ａnd the ｉn ｄuc ｔion h ｙｐot ｈesis ， we obtain. ()()()()()()()()()()()()()??? ??=??? ??=??? ? ??-+++-+≤?? ? ??+++-+--<

上海工程技术大学本科毕业设计(论文)规范写作要求范文

上海工程技术大学本科毕业设计(论文)规范写作要求 毕业设计（论文）质量是反映我校本科生培养质量的重要依据，毕业论文的规范写作是反映毕业设计（论文）质量的重要方面，现参照GB7713-87《科学技术报告、学位论文和学术论文的编写格式》和上海工程技术大学《毕业设计（论文）工作条例》的有关要求，制订“本科毕业设计(论文)规范写作要求”，供指导教师参照并对学生写作毕业设计(论文)进行指导。 1. 本科毕业设计(论文)写作的总体要求 应能表明作者确已较好地掌握了本学科的基础理论、专业知识和基本技能，并具有从事科学研究工作或担负专门技术工作的初步能力。 2. 毕业设计(论文)应由下列内容组成 2.1题目 题目是以最恰当、最简明的词语反映论文中最重要的特定内容的逻辑组合。 题目应写成一名词性短语，不应写成完整的陈述句。中文题目一般不宜超过20个汉字。 2.2摘要 摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述(如不应出现:“本文可供……部门参考”或“本文在……方面进行了有益的探讨”等字句)。摘要应具有独立性和自含性，即不阅读论文全文，就能获得必要的信息。摘要中可有数据、有结论，是一篇完整的短文，但不应包括图、表、化学结构式、非共知的公用符号和术语。摘要一般应说明研究目的、实验方法、结果和结论等。重点是结果和结论。摘要要求结构严谨，表达简明，语义确切，要用第三人称写法，控制在300～500个汉字以内。 每篇论文必须写中文摘要和相应的英文摘要。在写英文摘要时，应将论文题目同时译成英文题名，并置于英文摘要前。英文摘要一般应以被动语态表述。英文摘要可控制在250～300个单词。 2.3关键词 选取3～8个关键词。关键词应译成英文。中文关键词在中文摘要下方列出；

同济大学本科生毕业设计(论文) 工作的若干规定

同济大学本科生毕业设计(论文) 工作的若干规定 （同教[2007]20号） 为了进一步规范我校毕业设计（论文）工作，全面提高毕业设计（论文）质量，特制定本规定。 一、毕业设计（论文）目的与要求 毕业设计（论文）教学目的是培养学生具备综合运用所学的基础理论、专业知识和基本技能，分析与解决实际问题的能力；使学生得到从事实际工作所必需的基本训练和进行科学研究工作的初步能力。毕业设计（论文）作为培养学生创新精神和实践能力的一次较为系统的训练，应注重以下几方面能力的培养： 1．调查研究、查阅和应用中外文献及采撷网络信息的能力； 2．理论分析、制定设计或试验方案的能力； 3．设计、计算及制图的能力； 4．实验研究及数据处理的能力； 5．综合分析、凝练创新、编制设计说明书或撰写论文、调研报告的能力； 6．外语、计算机应用的能力。 二、毕业设计（论文）选题原则 选题恰当是做好毕业设计（论文）的前提，指导教师在选择毕业设计（论文）课题时应遵循以下原则： 1．课题的选择应符合专业培养目标，达到毕业设计（论文）教学大纲的基本要求。 2．课题的选择应体现教学与生产、科研、文化和经济发展相结合的原则，即选题在符合毕业设计（论文）教学要求的前提下，应尽量结合生产实际、科学研究、现代文化、经济建设的任务进行，以利于增强学生面对实际的意识，培养学生严谨的科学态度和一丝不苟的工作精神，调动学生的积极性，增强责任感和紧迫感。 3．课题的选择应贯彻因材施教的原则，使学生的特长或潜能有更好的发挥，并鼓励学生有所创新。 4．选题的范围和深度应符合学生的实际情况，并尽可能多地反映现代科学技术发展水平。提倡不同专业（学科）互相结合，扩大专业面，开阔学生视野，实现学科之间的互相渗透。 5．毕业设计（论文）按不同学科类型分别有所侧重： （1）工科类专业毕业设计（论文）结合工程实践性课题的比例应不低于70%，首先应保证基本工程训练，在此基础上做一些提高性的、拓展性的专题研究； （2）理科类专业毕业设计（论文）要结合当前的科技发展，让学生走向学科前沿，论文要有一定的学术水平； （3）经管、人文、法学、外语、艺术类专业毕业论文（设计）要有新颖性，要结合社会、经济、文化发展中的现实问题、让学生接触社会，论文要有一定的新意或创见。 6．毕业设计（论文）课题应遵循“一人一题”的原则。课题经院（系）领导审定后，学生可在教师指导下，采取自选与分配相结合的办法，确定毕业设计（论文）课题。可以几名学生共同完成一个大课题，但必须做到分工明确，工作量适当，并根据各自独立完成的任务，给出课题名称或分别在原课题名称后加副标题以示区别。学生除了在导师提出的课题中选择毕业设计（论文）课题外，也可以根据专业特点选择自己感兴趣的题目作为毕业设计（论文）课题，但必须经指导教师审定。 三、审题工作程序及要求

本科毕业生论文写作技巧和方法

本科毕业论文写作技巧和方法 第一部分选题 选题,简单的说就是确定自己科研的课题,解决研究什么的问题,明确研究的目标和范围。选题是进行科研的第一步,而且是十分关键的一步。 ●进入论文写作准备阶段，多数的学生往往为论文的选题犯愁。的确在准备阶段，选题十分重要。选择恰当的题目进行研究，论文的写作就会顺利一些。 ●论文题目的选择是一个从大到小、从不具体到具体的过程，应该根据自己的知识结构和兴趣，确定研究方向，考虑将来论文题目的大体方向和范围，在自己课程学习、广泛阅读和资料的积累的基础上，逐步明确具体的题目。 尽量选择应用型题目 通常人们对应用性研究的定义是比较模糊的，一般它泛指将理论应用于解决具体的问题，常将应用型研究分成理论的应用和计量应用，当然实际中，往往二者之间的界限并不十分清楚，越来越多的论文在进行分析时，将理论和计量应用融为一体。我们鼓励学生选择应用性研究作为论文的题目。 宜小题大作 论文的好坏，关键要看作者是如何在论文中支持自己的观点的。 这需要作者能够清楚定义自己所要研究的问题，研究的范围不能太宽。学术论文一般不强调研究问题的宽度，更看重的是深度，如果一篇论文涉及范围太广，作者肯定是难以做到深入的。 第二部分开题报告 一、开题报告的目的 写开题报告的目的，是要请老师和专家帮我们判断一下:这个问题有没有研究价值、这个研究方法有没有可能奏效、这个论证逻辑有没有明显缺陷。 二、开题报告的结构 就要按照“研究目的和意义”、.“文献综述和理论空间”、“基本论点和研究方法”、“资料收集方法和工作步骤”这样几个方面展开。其中，“文献综述，基本论点和研究方法”是重点，许多人往往花费大量笔墨铺陈文献综述，但一谈到自己的研究方法时便寥寥数语、一掠而过。 1 选题的目的和意义 2 与主题相关的文献综述 2.1 相关的研究文献回顾 2.2 对现有文献的简要评价 3 逻辑思路与研究方法 4 论文结构与内容安排 5 可能的创新之处 6.已有的研究基础 7.主要参考文献 三、课题研究的方法 具体的研究方法可从下面选定：观察法、调查法、实验法、经验总结法、个案法、比较研究法、文献资料法等。

本科生毕业设计(论文)书写范例

哈尔滨工业大学 本科生毕业设计（论文）书写范例 说明： 规范中所引用的示例，只作为论文书写格式的示范，并不代表论文研究内容的示范。

哈尔滨哈飞集团汽车博物馆设计 ↑ （黑体2号字） 安娜 ↑ （宋体小2号字加粗） 院（系）：专业： 学号：指导教师： （黑体小四号字） 2010年7月←（年、月用阿拉伯数字， 宋体、Times New Roman小4号字加粗）

毕业设计（论文）题目 专业 学号 学生 指导教师 答辩日期

哈尔滨工业大学本科毕业设计（论文） 摘要 摘要是论文内容的高度概括，应具有独立性和自含性，即不阅读论文的全文，就能获得必要的信息。摘要应包括本论文的目的、主要研究内容、研究方法、创造性成果及其理论与实际意义。摘要中不宜使用公式、化学结构式、图表和非公知公用的符号与术语，不标注引用文献编号，同时避免将摘要写成目录式的内容介绍。 关键词：关键词1；关键词2；……； 关键词6 （内容及关键词用小4号字）

哈尔滨工业大学本科毕业设计（论文） Abstract Externally pressurized gas bearing has been widely used in the field of aviation, semiconductor, weave, and measurement apparatus because of its advantage of high accuracy, little friction, low heat distortion, long life-span, and no pollution. In this thesis, based on the domestic and overseas researching…… Keywords: keyword 1, keyword 2, keyword 3, ……, ……, keyword 6 英文摘要与中文摘要的内容应一致，在语法、用词上应准确无误。关键词间用逗号相连。 （内容及关键词用Times New Roman 小4号字）

华南理工大学本科生毕业设计(论文)格式规范(封面等要求)

附件：华南理工大学本科生毕业设计（论文）格式规范 （斜体字均作为格式说明用） 用学校提供的蓝色打印 本科毕业设计（论文）说明书 一号黑体，居中 （题目） 小二号粗黑体，居中 学院 专业 学生姓名 指导教师 提交日期年月日小三号宋体，加粗 封面纸推荐用210g/m2的橙色色书 论文统一用A4纸打印。边距上 2.54cm，下 2.54cm，左2.2cm，右 2.2cm。行距为固定值20磅。

华南理工大学四号宋体，加粗，居中 毕业设计（论文）任务书 小二号宋体，加粗，居中 正文小四号宋体，行距为固定值20磅 兹发给班学生毕业设计（论文）任务书，内容如下： 1.毕业设计（论文）题目： 2.应完成的项目： （1） （2） （3） （4） 3.参考资料以及说明： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 4.本毕业设计（论文）任务书于年月日发出，应于年月日前完成，然后提交毕业考试委员会进行答辩。 专业教研组（系）、研究所负责人审核年月日 指导教师签发年月日

毕业设计（论文）评语： （应包括平时表现、论文质量、答辩表现等内容）三号宋体 毕业设计（论文）总评成绩：四号宋体 毕业设计（论文）答辩负责人签字：四号宋体 年月日 四号宋体

（以下含有范例） 摘要三号粗黑体，居中上下空一行 正文小四号宋体，行距为固定值20磅本文详细介绍了多变量预测控制算法及其在环境试验设备控制中的应用。由于环境试验设备的温度和湿度控制系统具有较大的时间滞后，而且系统间存在比较严重的耦合现象，用常规的PID控制不能取得满意的控制效果。针对这种系统，本文采用了多变量预测控制算法对其进行了控制仿真。 预测控制算法是一种基于系统输入输出描述的控制算法，其三项基本原理是预测模型、滚动优化、反馈校正。它选择单位阶跃响应作为它的“预测模型”。这种算法除了能简化建模过程外，还可以通过选择合适的设计参数，获得较好的控制效果和解耦效果。 本文先对环境试验设备作了简介，对控制中存在的问题进行了说明；而后对多变量预测控制算法进行了详细的推导，包括多变量自衡系统预测制算法和多变量非自衡系统预测控制算法；然后给出了系统的建模过程及相应的系统模型，在此基础上采用多变量预测控制算法对环境试验设备进行了控制仿真，并对仿真效果进行了比较。 仿真结果表明，对于和环境试验设备的温度湿度控制系统具有类似特性的多变量系统，应用多变量预测控制算法进行控制能够取得比常规PID控制更加令人满意的效果。 关键词：多变量系统，预测控制，环境试验设备 中文摘要共400—600个字，关键词3—5个词 中文摘要和关键词占一页