一．摘要 (3)
前言 (3)
二、泰勒公式极其极其证明........................ (3)
（一）带有皮亚诺型余项的泰勒公式 (3)
（二）带有拉格朗日型余项的泰勒公式 (4)
（三）带有柯西型余项的泰勒公式 (5)
（四）积分型泰勒公式 (6)
（五）二元函数的泰勒公式 (7)
三、泰勒公式的若干应用 (8)
（一）利用泰勒公式求极限 (8)
（二）利用泰勒公式求高阶导数 (9)
（三）利用泰勒公式判断敛散性 (10)
（四）利用泰勒公式证明中值定理 (12)
（五）利用泰勒公式证明不等式 (13)
（六）利用泰勒公式求近似和值误差估计 (15)
（七）利用泰勒公式研究函数的极值 (16)
四、我对泰勒公式的认识 (16)
参考文献 (17)
英文翻译 (17)
Taylor 公式的证明及应用
【摘要】数学中的著名的公式都是一古典的数学问题，它们在数学，化学与物理领域都有很广泛的运用。在现代数学中Taylor 公式有着重要地位，它对计算极限，敛散性的判断，不等式的证明、中值问题及高阶导的计算以及近似值的计算等方面都有很大的作用。在本文中，我将谈到关于公式的几种形式及其证明方法并对以上几个方面进一步的运用，和我对几者之间的一些联系和差异的看法。并通过具体事例进行具体的说明相关运用方法 【关键词】泰勒公式 佩亚诺余项 拉格朗日余项 极限 级数
1、常见Taylor 公式定义及其证明
我们通常所见的Taylor 公式有皮亚诺型、拉格朗日型、柯西型与积分型，还有常用的二元函数的Taylor 公式和高阶函数的Taylor 公式。
定义：设函数存在n 阶导数，由这些导数构成n 次多项式，称为函数在该点处的泰勒多项式各项系数称为泰勒系数。 1.1首先是带皮亚诺型余项的Taylor 公式：
若函数f 在点0x 存在且有n 阶导数，则有0()()(())n n f x T x x x =+ο-即
"'
200000()
()()()()()2!
f x f x f x f x x x x x =+-+-+?
()00()
()!
n n f x x x n +-0(())n x x +ο-. (2) 其中()n T x 是由这些导数构造的一个n 次多项式，
"()'
2
0000000()()()()()()()()2!!
n n n f x f x T x f x f x x x x x x x n =+-+-+?+- （3）
称为函数f 在点0x 处的Taylor 多项式，()n T x 的各项系数
()0()
!k f x k (1,2,,)k n =?称为Taylor 系数。从上易知()f x 与其Taylor 多项式()n T x 在点0x 有相同的函数值和相同
的直至n 阶导数值，即
()()
00()()k k n f x T x =，1,2,,k n =?. （4）
证明：设()()()n n R x f x T x =-，0()()n n Q x x x =-，
现在只要证
0()
0()lim n x x n
R x Q x →= 由关系式（4）可知，')
000()()()0n n n n R x R x R x ==?==（ 并易知 '1)000()()()0n n n n
Q x Q x Q x -==?==（，()0()!n n Q x n = 因为()0()n f x 存在，所以在点0x 的某邻域0()U x 内f 存在1n -阶导函数()f x 。于是，当x U ο∈且0x x →时，允许接连使用洛必达法则1n -次， 得到
000'(1)
'(1)
()()()
()()()lim lim lim n n n n n x x x x x x n n n
R x R x R x Q x Q x Q x --→→→==?= 0(1)(1)()
0000()()()()(1)2()l i m n n n x x f x f x f x x x n n x x --→---=-?-
0(1)(1)
()000
()()1
[()]!lim n n n x x f x f x f x n x x --→-=--
0=
()()()n n R x f x T x =-称为Taylor 公式的余项，
形如0(())n x x ο-的余项称为佩亚诺型余项，所以（2）式又称为带有皮亚诺型余项的Taylor 公式。
1.2 其次是带有拉格朗日型余项的Taylor 公式：
若函数f 在[,]a b 上存在直至n 阶的连续导函数，在(,)a b 内存在(1)n +阶导函数，则对任意给定的x ，0x ∈[,]a b ，至少存在一点ξ∈(,)a b ，使得
"'
200000()
()()()()()2!
f x f x f x f x x x x x =+-+-+?
()(1)10000()()()()!(1)!
n n n n f x f x x x x x n n +++-+-+ （1）
证明：作辅助函数
()'
()
()()[()()()()]!
n n f t F t f x f t f t x t x t n =-+-+?+-
1()()n G t x t +=- 所需证明的（1）式即为
(1)00()()()(1)n f F x G x n ξ+=+！或(1)00()()()(1)n F x f G x n ξ+=
+！
不妨设0x x <，则()F t 与()G t 在0[,]x x 上连续，在0(,)x x 内可导，且
(1)'
()()()!
n n f t F t x t n +=--，
'()(1)()0
n G t n x t =-+-≠ 又因()()0F x G x ==，所以由柯西中值定理证得
'(1)
00'00()()()()()
()()()()(1)n F x F x F x F f G x G x G x G n ξξξ+-===
-+！
， 其中0(,)(,)x x a b ξ∈?。 它的余项为
(1)100()
()()()()(1)!
n n n n f x R x f x T x x x n ++=-=-+
00()x x x ξθ=+- (01)θ<<，
()()()n n R x f x T x =-称为拉格朗日余项。所以（1）式又称为带有拉格朗日型余项的Taylor 公式。 1.3 柯西型Taylor 公式：
若函数f 在[,]a b 上存在直至n 阶的连续导函数，在(,)a b 内存在(1)n +阶导函数，则对任意给定的x ，0x ∈[,]a b ，使得
"()'
2
0000000()()()()()()()()2!!
n n f x f x f x f x f x x x x x x x n =+-+
-+?+- ()n R x + （5）
(1)
(
1)
00
01()(())(1)()!
n n n n R x f x x x x x n θθ++=
+--- 证明：作辅助函数
()'
()
()()[()()()()]!
n n f t F t f x f t f t x t x t n =-+-+?+-
()G t x t =-
应用柯西中值定理可得，存在0(,)(,)x x a b ξ∈?，使得
'(1)01
'0()()()()()()()()()!n n
n n R x F x F x F x f x x G x G x G x n ξξ++--===- 令x ξθ=(01)θ<< 即可得到（5）式。 1.4 积分型Taylor 公式：
如果函数()f x 在含有0x 的某个开区间(,)a b 内具有直到(1)n +的导数, 则当x 在(,)a b 内时, ()f x 可表示为0()x x -的一个n 次多项式与一个余项()n R x 之和:
"()'
20000000()())()()()()()2!!
()(n n n f x f x f x x x x x x x R x n f x f x +-+-+?+-+=
其中 1
(1)1121
()()n
o
o
x
x x n n n n x x x x f x dx dx dx R +++=???
?
? 证明：由New ton Leibniz -公式得：
0'011)()()(x
x f x d x
f x f x =-? 即 0
'011)()()(x
x f x d x
f x f x +=? 1
''022)"()()(x x f x dx f x f x +=?
2
0""'''
033
)()()(x x f x d x f x f x +=? 0
()()
(
1)
011)()()(n
x n n n n n x f
x dx
f x f x ++++=? 从而有
1
''"01100221()()()()[()()]x
x
x x x x f x f x f x dx f x f x f x dx dx =+=++???
1
00'"000221()()()()x
x x x f x f x x x f x dx dx =+-+??
1
2
00
'
"
'''00003321()()()[()()]x
x x x x x f x f x x x f x f x dx dx dx =+-++?
?
?
12000
"'
2'''000003321()
()()()()()2!
x x x x x x f x f x f x x x x x f x dx dx dx =+-+
-+??? ……
"()'
2
0000000()()()()()()()()2!n n n f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-+?+-+！
其中 1
(1)1121
()()n
o
o
x
x x n n n n x x x x f x dx dx dx R +++=???
?
? 1.5 二元函数的Taylor 公式：
若函数f 在点000(,)p x y 的某邻域0()U p 内有直到1n +阶的连续偏导数，则对
0()U p 内的任一点00(,)x h y k ++，存在相应的(0,1)θ∈，使得
2000000001(,)(,)(+k )(,)(+k )(,)2!f x h y k f x y h
f x y h f x y x y x y
????
++=+++?+????
1000011(+k )(,)(+k )(,)!(1)!n n h f x y h f x h y k n x y n x y
θθ+????
+++??+?? （6） （6）式称为二元函数f 在点0p 的n 阶Taylor 公式，其中
0000(+k )(,)(,)m m
m i
i m i m i m i i h f x y C f x y h k x y x y θ
--=???=????∑ 证明：作辅助函数 00,)()(th y tk t f x ++Φ=
由定理的假设，一元函数()t Φ在[0,1]上满足一元函数Taylor 定理条件，于是
有
'"()(1)(0)(0)(0)()
(1)(0)+
1!2(1)!
n n n n θ+ΦΦΦΦΦ=Φ+++?++！！ (01)θ<< （7） 应用复合函数求导法则，可求得()t Φ的各阶导数： ()00()()(,)m m t h
k f x th y tk x y
??
Φ=+++?? (1,2
,+1m n =?
当0t =时，则有 ()00(0)()(,)m m h
k f x y x y
??
Φ=+?? (1,2
,)m n =? （8） 及 (1)100()()(,)n n h
k f x h y k x y
θθθ++??
Φ=+++?? （9） 将（8），（9）式代入（7）式就得到了Taylor 公式（6）。
2 、Taylor 公式的应用： 求极限、求高阶导数、判断敛散性、证明中值定理、证
明不等式、求近似值和误差估计、研究函数极值 2.1 求极限
例1、求极限22
11lim(
)sin x x x →- 解：2222220011sin lim()lim sin sin x x x x
x x
x x →→--=
又21cos 2sin 2
x
x -=
，将cos 2x 用Taylor 公式展开 24
441621()2!4!
x x Cos x x ο=-++ 则4
422
22400()sin 13lim()lim sin 3x x x x x x x x x ο→→+-==
2.2 求高阶导数
例2、设cot y arc x =，求()(0)n y 。
分析：这道题若直接求高阶导数比较困难，因此我们考虑在0x =处的麦克劳林展开式。
解：'2
1
'(cot )1y arc x x ==-
+ 2462(1(1))n n x x x x =--+-++-+ 1x < （１０）
357211111
[(1)]35721
n n n y x x x x x +=--+-++-++
357211111
(1)35721
n n n
x x x x x +=-+-+---+ 1x < 又()f x 在0x =处的麦克劳林展开式为
()0
(0)()!
n n
n f y f x x n ∞
===∑
（１１） 比较（１０），（１１）中n x 的系数可得， (2
)(0)0k f
=，1
(21)
1(1)(0)(21)!(1)(2)!21
k k k f
k k k +++-=+=-+
由Taylor 展开的唯一性，并有Taylor 公式的各项系数
()0()(1,2,)!
k k f x a k k == 则可得到高阶导数()0()k f x ，即
()0()!k k f x k a =(1,2,)k = 。
在高阶倒数的求解中能更加直接的借助Taylor 公式的特殊形式更快更
直接的对其进行展开，再对展开的各项进行最基本的导数求解使计算更加的简洁方便。
2．3 判断敛散性
例3、讨论级数1
1[ln[1]]n p
n e n ∞
=-+∑，0p >的敛散性。 解：11
ln[1]exp[ln[1]]n e e n n n
-+=-+
22111
exp[[()]]2e n n n n ο=--+
11
[1exp[()]]2e n ο=--+
11[1[1()]]22e
e n n
ο=--+ ，n →∞
于是当1p >时，级数1
1
[ln[1]]n p n e n ∞
=-+∑收敛，当01p <≤时，级数发散。
例4、设()f x 在点0x =的某一邻域内有二阶连续导数，且0
()
lim
0x f x x
→=，证明级数
1
1
()n f n
∞
=∑
绝对收敛。 分析：由条件中的()f x 在点0x =的某一邻域内有二阶连续导数可知使用Taylor 公式，再由0
()
lim
0x f x x
→=可得出关系'(0)(0)0f f ==，这使得()f x 在点0x =处的Taylor 展开式更简单，便于利用比较判别法判断收敛。
解：由0()
lim
0x f x x
→=及()f x 在点0x =的某一邻域内有二阶连续导数可得出
0(0)lim ()0x f f x →==，'00()(0)()
(0)lim lim 00x x f x f f x f x x
→→-===-，将()f x 在点0x =的
某一邻域内展开成一阶Taylor 公式，'"21
()(0)(0)()2!
f x f f x f x ξ=++，
((0,))x ξ∈，又由题中()f x 在属于某邻域内含点0x =的一个小闭区间连续，
因此存在0M >，使"()f x M ≤，于是"221()()22M f x f x x ξ=
≤，令1
x n
=，则2
11()2M f n n ≤?。
因为211
n n
∞
=∑收敛，所以11()n f n ∞
=∑绝对收敛。
例5、判断广义积分1
0sin sin x x
dx x x
-?
的敛散性。
分析：在判断广义积分
()a
f x dx +∞
?
收敛性时，通常选取广义积分
1p a
dx x +∞
?
(0)p >进行比较，在此通过研究无穷小量1()f x
()x →+∞的阶来有效地选择1
p
a
dx x +∞
?
中的p 值，从而判定()a f x dx +∞?的敛散性。我们要注意到如果
()a
f x dx +∞
?
收敛，则()a
f x dx +∞
?
也收敛。而在这道题中，由于
sin lim sin x x x x x
+
→=∞-，所以0x =是瑕点，由比较判别法可知，0lim ()p
x x f x a +
→=， 0a <<+∞，若1p <时，1
()f x dx ?收敛；1p ≥时，1
()f x dx ?发散。
解：3
4341(())
sin 3!1sin (())3!
x x x x x x x x x x x x οο-
+=---+
2232334211(1())1()6611()()66
x x x x x x x x x οοοο-
+-+=
=++ 23
16(1())(1())6x x x x
οο=-+??+
6
(1)x
ο=
+ 从而有sin 6
lim [()]1sin n x x x x x →+∞=-。因为106dx x
?发散，所以10sin sin x x dx x x -?发散，因此原积分1
0sin sin x x
dx x x
-?
发散。
例6、讨论无穷积分
11
(1)x
a
e dx x
+∞
--?
的敛散性。
解：122111111()11()12x
f x e x x x x x
ο=-
-=++?+-- 22111()2x x
ο=
?+ 选取211p x x
=，因为222
111
()
()12lim lim 12p x x f x x x x x ο→∞→∞?+==，而21p =>， 由无穷积分的敛散性判别定理知
11
(1)x
a
e dx x
+∞
--?
收敛。
对于Taylor 公式在判断数学积分问题中收敛性起到的作用通过以上
例子有了具体的说明。数学中的敛散性根据不同的积分形式有不同的方法判断，而Taylor 公式在很多的积分都有其运用其主要原因就
是其能使得式子在经过展开后变成简单的式子更加直观方便的计算。
2.4 证明中值定理
例7、设函数()f x 在[,]a b 上三阶可导。证明存在一点(,)a b ξ∈，使得
''
3'''11()()()[()()]()()212
f b f a b a f a f b b a f ξ=+-+--
证明：设存在一个常数k ，使得
''311
()()()[()()]()0212
f b f a b a f a f b k b a ---++-=
令''311
()()()()[()()]()212
g x f x f a x a f a f x k x a =---++-
则()()0g a g b ==。由R
o l e 定理可知，至少存在一点(,)a b ξ∈，使得'()0g ξ=。
即'''"2111
()[()()]()()()0224
f f a f a f k x a ξξξξ-+--+-=
''"21
()()()()()2
f f a a f k a ξξξξ=+-+-
将'()f ξ在a 展开为Taylor 公式有
''"'''
21()()()()()()2
f f a a f f c a ξξξξ=+-+
-，(,)(,)c a a b ξ∈?，比较得'''()k f c =，(,)c a b ∈
则
''3'''11
()()()[()()]()()212
f b f a b a f a f b b a f ξ=+-+--。
2.5 利用Taylor 证明不等式 2.5.1证明积分不等式
例8、设()f x 是[0,]a 上的连续正值函数，且"()0f x ≥，0a >，证：
()()2
a
a
f x dx af ≥?
。
证明：将()f x 在2
a
x =
点展开为一阶Taylor 展式
"'2()()()()()()2222!a a a f f x f f x x a ξ=+-+- '()()()222a a a f f x ≥+- ((,))
2
a
x ξ∈ '00()[()()()]222a a a a a f x dx f f x dx ≥+-?? '1()[()()]0
2222a a a a a f f x =+-()2a af =。
2.5.2 证明导数不等式
例9、设函数()f x 在[0,1]上二次可微，且(0)(1)0f f ==，01
min ()1x f x ≤≤=-，试证
存在一点(0,1)ξ∈使"()8f ξ≥。
分析：函数()f x 在[0,1]上二次可微，且最小值10-≠，所以在(0,1)内一定存在极值点，该点的导数为0，题中可知()f x 二次可微，我们可以想到Taylor 展式，并且是在最小值点0x 处展开。
解：不妨设在0(0,1)x ∈为()f x 在[0,1]上的最小值点，则0()1f x =-，'0()0f x =，
()f x 在0x 处的Taylor 展开得：
"'
20000()
()()()()()2!
f f x f x f x x x x x ξ=+-+-
"20()
10()2!f x x ξ=-++-，ξ是介于x 与0x 之间的某个数， 当0x =时，"20()(0)102!f f x ξ=-+=，即"120
2
()f x ξ= 当1x =时，"20()(1)1(1)02!f f x ξ=-+-=，即"2202()(1)f x ξ=-。 所以，当01(0,)2x ∈时，"120
2
()8f x ξ=≥
当01(,1)2x ∈时，"22
02
()8(1)f x ξ=≥-。
终上所述，存在一点(0,1)ξ∈使"()8f ξ≥。 利用Taylor 公式证明函数不等式步骤：
(1)、构造一个函数()f x ，选一个展开点0x ，然后写出()f x 在0x 处的带有拉格朗日余项的Taylor 公式；那么我们该选择哪个点处展开呢？函数在一个区间性质常常可由区间中的一些特殊点来反映，如端点、分点、零点、极值点、最值点、拐点等。此外，区间中的任意点也是分析函数性质不可或缺的点，运用Taylor 时，就是将这些点中导数信息相对较充分的点选作展开中心。
（2）根据所给的最高阶导数的大小，函数的界或三角形不等式对(,)a b ξ∈进行
放缩。
2.6 求近似值误差估计
例10、计算e 的值，使其误差不超过610-。 解：由公式得
111112!3!!(1)!e e n n =++++++
+ (01)θ<< 故03
(1)(1)!(1)!
n e R n n =<
++，当9n =时，便有 6933(1)1010!3628800
R -<
=< 略去9(1)R 求得e 的近似解为
111
11 2.7182852!3!9!
e ≈++
+++≈ 2.7 研究函数的极值
例11、 求函数f(x,y)=x4+y4-x2-2xy-y2的极值． 解 fx(x,y)=4x3-2x-2y=0，fy(x,y)=4y3-2x-2y=0，
得驻点（1，1），（-1，-1），（0，0）。 判断：求二阶偏导
fxx(x,y)=12x2-2, fxy(x,y)=-2, fyy(x,y)=12y2-2， 在点（1，1）处，
A=fxx(1,1)=10, B=fxy(1,1)=-2，C=fyy(1,1)=10．
因B2—AC<0，且A>0，故f(1,1)= -2为极小值．
类似可得f(-1,-1)= -2为极小值．
在点（0，0）处，A=B=C= -2，B2-AC=0，
此时应用极值定义判断f(0,0)=0是否为极值．
对足够小的正数ε，有
f(ε，0)=ε2（ε2-1）<0, f(ε，-ε)=2ε4>0
这说明在点（0，0）的任一邻域内，既有函数值大于
f(0,0)的点，又有函数值小于f(0，0)的点，故
f(0，0)非极值.
3. 我对Taylor公式的认识
3.1Taylor公式的几种形式在前面的证明和运用中我对其进行了具体的单独运用。现在我来讨论下这几种形式中的一些特点。首先带拉格朗日余项的泰勒公式才需要函数N+1阶可导，而带皮亚罗余项的泰勒公式只需要函数N阶可导。这就说明了两者在具体的运用上存在着必然的联系和差异，两者在在数学中的可以把Lagrange余项看做Peano余项的进一步发展，但前提是Lagrange余项此时的可导条件更加的严格。因此这两者在学习是可以相互结合学习，和运用。
3.2 在学习了幂级数之后我们对Taylor公式的更深一步的了解认识到在将函数展成幂级数时就是在n->∞，从而导致在不确定因素得以消除，而Taylor公式也变成了精确的幂级数等式。但前提的考虑幂级数的收敛域等问题。
3.3 Taylor公式中的展开是函数的另一种表达形式，而不是固定的而是看要求展开的级数而
定，在数学中展开的函数肯定是无限项的，而最关建的是函数的具体级数收敛性决定的，因为函数并不是在每一点都收敛因此才决定了泰勒展开的限制。
【参考文献】
[1] 华东师范大学数学系，数学分析上册第三版，高等教育出版社，2001年。
[2] 安世全，泰勒公式及其应用[J],高等数学研究，2001。
[3] 北京大学数学系，数学分析习题集，北京高等教育出版社，1986.
[4] 黄军华，带积分型泰勒余项在定积分中计算中的应用，玉林师范学院学报（自然科学版），2006.
[5] 陈丽，泰勒公式的运用，郑州师范学院。2001
[6] 吴全荣. 微分方程的通解”探析. 漯河职业技术学院学报 2009
摘要：泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，是一种非常重要的数学工具。它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。本文通过对泰勒公式的证明方法进行介绍，归纳整理其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用，从而进一步加深对泰勒公式的认识。 关键词：泰勒公式，佩亚诺余项，拉格朗日余项，验证，应用
绪论 随着近代微积分的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到 n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式 () 2 0000000()()() ()()()()(),1! 2! ! n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+ -+ -++ - 称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有 0()()(()),n n f x T x x x ο=+- 即() 2 00000000()() ()()()()()()(()).2! ! n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+ -++ -+- 称为泰勒公式. 众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。
一．摘要 (3) 前言 (3) 二、泰勒公式极其极其证明........................ (3) （一）带有皮亚诺型余项的泰勒公式 (3) （二）带有拉格朗日型余项的泰勒公式 (4) （三）带有柯西型余项的泰勒公式 (5) （四）积分型泰勒公式 (6) （五）二元函数的泰勒公式 (7) 三、泰勒公式的若干应用 (8) （一）利用泰勒公式求极限 (8) （二）利用泰勒公式求高阶导数 (9) （三）利用泰勒公式判断敛散性 (10) （四）利用泰勒公式证明中值定理 (12) （五）利用泰勒公式证明不等式 (13) （六）利用泰勒公式求近似和值误差估计 (15) （七）利用泰勒公式研究函数的极值 (16) 四、我对泰勒公式的认识 (16) 参考文献 (17) 英文翻译 (17)
Taylor 公式的证明及应用 【摘要】数学中的著名的公式都是一古典的数学问题，它们在数学，化学与物理领域都有很广泛的运用。在现代数学中Taylor 公式有着重要地位，它对计算极限，敛散性的判断，不等式的证明、中值问题及高阶导的计算以及近似值的计算等方面都有很大的作用。在本文中，我将谈到关于公式的几种形式及其证明方法并对以上几个方面进一步的运用，和我对几者之间的一些联系和差异的看法。并通过具体事例进行具体的说明相关运用方法 【关键词】泰勒公式 佩亚诺余项 拉格朗日余项 极限 级数 1、常见Taylor 公式定义及其证明 我们通常所见的Taylor 公式有皮亚诺型、拉格朗日型、柯西型与积分型，还有常用的二元函数的Taylor 公式和高阶函数的Taylor 公式。 定义：设函数存在n 阶导数，由这些导数构成n 次多项式，称为函数在该点处的泰勒多项式各项系数称为泰勒系数。 1.1首先是带皮亚诺型余项的Taylor 公式： 若函数f 在点0x 存在且有n 阶导数，则有0()()(())n n f x T x x x =+ο-即 "' 200000() ()()()()()2! f x f x f x f x x x x x =+-+-+? ()00() ()! n n f x x x n +-0(())n x x +ο-. (2) 其中()n T x 是由这些导数构造的一个n 次多项式， "()' 2 0000000()()()()()()()()2!! n n n f x f x T x f x f x x x x x x x n =+-+-+?+- （3） 称为函数f 在点0x 处的Taylor 多项式，()n T x 的各项系数 ()0() !k f x k (1,2,,)k n =?称为Taylor 系数。从上易知()f x 与其Taylor 多项式()n T x 在点0x 有相同的函数值和相同
泰勒公式在证明不等式中的几个应用 摘 要：泰勒公式作为一种重要的数学工具，无论对科研还是在证明、计算等方面，它都起着很重要的作用。特别在高等数学畴，灵活运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩等是解决不等式证明问题的常用方法与思想。本文主要通过对各类典型不等式证明问题的分析处理，归纳了用泰勒公式来证明有关定积分不等式问题、含有初等函数与幂函数的不等式和一般不等式问题，以及泰勒公式在一元函数、二元函数不等式中的推广、证明与应用. 关键词：泰勒公式；偏导数；不等式 引言 泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。泰勒公式的重点就在于使用一个n 次多项式()n p x ,去逼近一个已知的函数()f x ，而且这种逼近有很好的性质：()n p x 与()f x 在x 点具有相同的直到阶n 的导数 ] 31[-.所以泰勒公式能很好的 集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓。泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了。但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用.文献[3-6]介绍了运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想.本文拟在前面文献研究的基础上通过举例归纳，总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法. 1 泰勒公式知识的回顾： 定理1[1] 设函数()f x 在点0x 处的某邻域具有1n +阶导数，则对该邻域异于0x 的任意点 x ，在0x 与x 之间至少存在一点ξ，使得： ()f x =()0f x +()0' f x 0(x -x )+ ()0f''x 2!02 (x -x )+???+ ()()0n f x n! 0n (x -x )+()n R x ， 其中()n R x =() (1)(1)! n f n ξ++称为余项，上式称为n 阶泰勒公式； 若0x =0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式， 即()f x = ()0f +()0' f x + ()02!f''2x +???+()()0! n f n n x +0()n x . 2 泰勒公式在证明不等式中的应用 不等式是高等数学和近代数学分析的重要容之一，它反映了各变量之间很重要的一种关系即他们之间的大小关系。不等式的容也极其丰富，证明方法很多，而泰勒公式在证明不等式问题中起着举足轻重的作用。 2.1 泰勒公式在证明有关定积分不等式问题的应用 对于被积函数具有二阶或二阶以上连续可导，且又知最高阶数符号的命题.通过作辅助
泰勒公式的证明及其应用 数学与应用数学专业胡心愿 [摘要]泰勒公式的相关理论是函数逼近论的基础。本文主要探索的是泰勒公式的一些证明方法，并对不同的证明方法进行相应的比较分析，在此基础上讨论泰勒公式在证明不等式、求函数极限、求近似值、求行列式的值、讨论了函数的凹凸性，判别拐点，判断级数敛散性等方面的应用.本文还针对多元函数的泰勒公式的推导和应用做了简单的论述. [关键词]泰勒公式；不等式；应用； Proof of Taylor's Formula and Its Application Mathematics and Appliced Mathematics Major HU Xin-yuan Abstract: The theory about Taylor's Formula is the basic content of Approximation Theory . What this paper explores is some methods that proof the Taylor's Formula, and the paper analyse and compare them. On that basis, the paper discuss the application of Taylor's Formula in some respects，such as Inequality proof, functional limit, approximate value, determinant value, convexity-concavity of function, the decision of inflection point, divergence of the series.The paper explore the derivation of Taylor's Formula of the function of many variables and its application. Key words:Taylor's Formula;inequality;application
泰勒公式及其应用 摘要
文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。 关键词：泰勒公式，最优化理论，应用
一、泰勒公式 1.1 一元泰勒公式 若函数)(x f 在含有x 的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和： 1 0)1(00)(200000)()! 1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()! 1()(++-+n n x x n f ξ ξ在x 和0x 之间的一个数，该余项)(x R n 为拉格朗日余项。 1.1.1 泰勒公式的推导过程 我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式： n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+= 来近似表达函数)(x f ； 设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='= 因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以 )(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 ! 2)(02x f a ''=n n a n x p !)(0)(=，所以有!)(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(! )()(!2)())(()()(00)(200000-++-''+-'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明 我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）： 设)()()(x p x f x R n -= 于是有0)()()(000=-=x p x f x R n 所以有0)()()()(0)(000===''='=x R x R x R x R n n n n n 根据柯西中值定理可得： n n n n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ 1ξ是在x 和0x 之间的一个数； 对上式再次使用柯西中值定理，可得：
《泰勒公式及其应用》的开题报告 《泰勒公式的验证及其应用》的 关键词：泰勒公式的验证数学开题报告范文中国开题报告 1．本课题的目的及研究意义 目的：泰勒公式集中体现了微积分、逼近法的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。泰勒公式是非常重要的数学工具，现对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。 研究意义：在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数以一种“逼近”的思想，用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。对泰勒公式的研究就是为了解决上述问题的。 2．本课题的研究现状 数学计算中泰勒公式有广泛的应用，需要选取点将原式进行泰勒展开，如何选取使得泰勒展开后，计算的结果在误差允许的范围内，并且使计算尽量简单、明了。泰勒公式是一元微积分的一个重要内容，不仅在理论上有重要的地位，而且在近似计算、极限计算、函数性质的研究方面也有重要的应用。对于泰勒公式在高等代数中的应用，还在研究中。 3．本课题的研究内容 对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极
限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。 本课题将从以下几个方面展开研究： 一、介绍泰勒公式及其证明方法 二、利用泰勒公式求极限、证明不等式、判断级数的敛散性、证明根的唯一存在性、判断函数的极值、求初等函数的幂级数展开式、进行近似计算、求高阶导数在某些点的数值、求行列式的值。 三、结论。 4．本课题的实行方案、进度及预期效果 实行方案： 1.对泰勒公式的证明方法进行归纳； 2.灵活运用公式来解决极限、级数敛散性等问题； 3.研究实际数学问题中有关泰勒公式应用题目，寻求解决问题的途径。 实行进度： 研究时间为第8 学期，研究周期为9周。 1．前期准备阶段： 收集有关信息进行分析、归类，筛选有价值的信息，确定研究主题；制定课题计划，学习理论。 2．研究阶段：2010年12月— 2011 年4 月 3．第一阶段：初期（2010年12月1日- 2011年3月15 日） 第二阶段：中期（2011年3月16 日- 2011年4月15日）第三阶段：结题（2011年4月16日- 2011年4月30日）
题目泰勒公式的证明及推广应用 一、选题背景和意义 在初等函数中，多项式是最简单的函数。因为多项式函数的运算只有加、减、 乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。 通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是高等数学中的重要内容，在各个 领域有着广泛的应用，例如在函数值估测及近似计算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明，求函数在某点的高阶导数值等方面。 除此以外，泰勒公式及泰勒级数的应用，往往能峰回路转，使问题变得简单易解。 二、国内外研究现状、发展动态 本人以1999—2010十一年为时间范围，以“泰勒公式”、“泰勒公式的应用”为关键词，在中国知网以及万方数据等数据库中共搜索到30余篇文章，发现国内外对泰勒公式的其研究进展主要分配在以下领域： 一、带不同型余项泰勒公式的证明； 二、泰勒公式的应用举例。 三、研究内容及可行性分析 在高等数学中，泰勒公式占有重要的地位，并以各种形式出现而贯穿全部内容，因此掌握好泰勒公式是学习高等数学的关键一环。本论文将主要研究泰勒公式的证明及其在其他方面的应用。 本文将通过对泰勒公式的探讨，给出了泰勒公式在其它方面的应用，,显现出泰勒公式的应用之广泛。希望其研究结果在求极限等问题时可以提供一些方法的参考，也同时能给相关学科研究人员在解决比较复杂的不定式极限问题时能有一定的思路指导。 接下来我将分两方面的应用来阐述本次论文的主要内容。 一、带不同型余项泰勒公式的证明： 本次证明将涉及到三种不同余项的泰勒公式的证明，即： 1.带皮亚诺余项的泰勒公式； 2.带拉格朗日余项的泰勒公式； 3.带积分型余项的泰勒公式； 二、泰勒公式的应用： 本次论文将涉及到泰勒公式在以下七个方面的应用： 1、泰勒公式在极限计算中的应用； 在函数极限运算中,不定式极限的计算始终为我们所注意,因为这是比较困难的一类问题。计算不定式极限我们常常使用洛必达法则或者洛必达法则与等价无穷小结合使用。但对于有些未定式极限问题若采用泰勒公式求解,会更简单明了。我将在论文中就例题进行探讨。 2、泰勒公式在判定级数及广义积分敛散性中的应用；
泰勒公式及其应用 数学学院数学与应用数学专业 2009级杨立 指导教师吴春 摘要:泰勒公式以一种逼近的思想成为数学分析中的一个重要知识，在分析和研究数学问题中有着重要的作用。本文研究了利用泰勒公式证明微分中值定理，求函数的极限，进行近似计算，求函数的高阶导数和偏导数等方面的应用，恰当的运用泰勒公式能够给我们的解题带来极大的方便。 关键词：泰勒公式；微分中值定理；极限；高阶导数；偏导数 Abstract:Taylor formula is an important knowledge of mathematics analysis in an approximation of the thought, and it plays an important role in the analysis and study of mathematical problems. This paper studies the application of the Taylor formula in proving differential mean value theorem, the limit of function, approximate calculation, the application of high order derivative for function and partial derivative, and using Taylor formula appropriate can bring great convenience to our problem. Keywords:Taylor formula; approximate calculation; limit; higher derivative; partial derivative 引言 泰勒公式最早是以泰勒级数的形式出现在泰勒1715年出版的著作《增量及其逆》中，但在该书中却没有给出具体的证明，直到19世纪由柯西给出了现在的形式及其严格的证明。泰勒公式是一种逼近的思想，集中体现了逼近法的精髓，可以将有理分式函数﹑无理函数和初等超越函数等复杂函数用简单的多项
附件 7 论文（设计）管理表一 昌吉学院本科毕业论文（设计）开题报告 论文（设计）题目 浅谈泰勒公式及其应用 系（院） 数学系 专业班级 数学与应用数学 B1002 学科 理学 学生 姓名 马尚红 指导教师 姓名 马园媛 学号 1025809043 职称 讲师 一、选题的根据 （ 1、内容包括：选题的来源及意义，国内外研究状况，本选题的研究目标、内容创新点及主 要参考文献等。 2、撰写要求： 宋体、小四号 。） 1. 选题的来源及意义 泰勒公式是数学分析中非常重要的内容， 是一个用函数在某点的信息描述其附近 取值的公式。如果函数足够光滑的话， 在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下， 泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中值。 泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。 泰勒公式的初 衷是用多项 式来近似表示函数在某点周围的情况。比如说，指数函数 e x 在x 0的 附近可以用以 2 3 n 下多项式来近似地表示： e x 1 x x x x 称为指数函数在 0处的 n 阶泰勒 2! 3! n! 展开公式。这个公式只对 0附近的 x 有用， x 离 0越远，这个公式就越不准确。实际 函数值和多项式的偏差称为泰勒公式的余项。对于一般的函数，泰勒公式的系数的选 择依赖于函数在一点的各阶导数值，这个想法的原由可以由微分的定义开始。微分是 函数在一点附近的最佳线性近似： f a h f a f ' a h o h ，其中 o h 是比 h 高 阶 的无穷小。 也就是说 f a h f a f ' a h,或 f x f a f ' a x a .注意到 f x 和 f ' a x a 在a 处的零阶导数和 一阶导数都相同。对足够光滑的函数，如果一个 多 项式在 a 处的前 n 次导数值都与函数在 a 处的前 n 次导数值重合，那么这个多项 式应 该能很好地近似描述函数在 a 附近的情况。对于多元函数，也有类似的泰勒公式。设 a,r 是欧几里得空间 RN 中的开球， f 是定义在 a,r 的闭包上的实值函数，并在 每一点都存在所有的 n 1次偏导数。这时的泰勒公式为：对所有， f x 1 f a x a x x a ，其中的 是多重指标 0 ! x n 1 泰勒公式也是大学数学中的一个重要知识， 由此本文将总结几种泰勒公式的证明 及其应用。其泰勒公式在近似计算，求极限，判断函数凸凹性等方面的应用，除此之 外，它还可应用于行列式，证明不等式，判断无穷级数、无穷积分的收敛性，求函数 导数的中值估计、求曲面的渐进线方程，高阶求导等等。 2. 国内外研究状况 其中的余项也满足不等式：对所有 n 1的 满足 x
泰勒公式（提高班） 授课题目： §3.3泰勒公式 教学目的与要求： 1.掌握函数在指定点的泰勒公式； 2.了解泰勒公式在求极限及证明命题中的应用. 教学重点与难点： 重点：几个常用函数的泰勒公式 难点：泰勒公式的证明 讲授内容： 对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达．由于用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算，便能求出它的函数值来，因此我们经常用多项式来近似表达函数。 在微分的应用中已经知道，当x很小时，有如下的近似等式： ≈1，x e x+ x ln(． 1 +) x≈ 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子．显然．在0 x处这些— = 次多项式及其一阶导数的值，分别等于被近似表达的函数及其导数的相应值．
但是这种近似表达式还存在着不足之处：首先是精确度不高，它所产生的误差仅是关于x 的高阶无穷小；其次是用它来作近似计算时，不能具体估算出误差大小．因此，对于精确度要求较高且需要估计误差的时候，就必须用高次多项式来近似表达函数，同时给出误差公式． 于是提出如下的问题：设函数)(x f 在含有0x 的开区间内具有直到 (1+n )阶导数，试找出一个关于(0x x -)的n 次多项式 n n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+=Λ (1) 来近似表达)(x f ，要求)(x p n 与)(x f 之差是比n x x )(0-高阶的无穷小，并给出误差)()(x p x f n -的具体表达式． 下面我们来讨论这个问题．假设)(x p n 在0x 处的函数值及它的直到n 阶导数在0x 处的值依次与)(0x f ，)(0x f '，)(,0)(x f n Λ相等，即满足 )()(00x f x p n =，)()(00x f x p n '='， )()(00x f x p n ''=''，)(,0)()(x f p n n n =Λ， 按这些等式来确定多项式(1)的系数n a a a a Λ,,,210.为此，对（1）式求各 阶导数，然后分别代人以上等式，得 )(00x f a =，)(101x f a '=?，)(!202x f a ''=，)(!,0)(x f a n n n =Λ ， 即得 )(00x f a =，)(01x f a '=，)(!2102x f a ''=，)(! 1,0)(x f n a n n =Λ. (2)
Tayloy 公式的唯一性证明 作者：卢晓峰 1. 引理：设0 lim ()0x x g x →=，()g x 在0x 的某邻域内可导，且()g x ' 在0x 处连续。若0()(())n g x x x ο=-，则10()(())n g x x x ο-'=-。 证明： 00001 11 00 000 ()()()()() () lim lim lim lim lim ()()()()()n n n n n x x x x x x x x x x g x g x g x x x g x g x g x x x x x x x x x x x ---→→→→→-''-===------又 0()(())n g x x x ο=-，0 0lim ()()0x x g x g x →== ∴0 0() lim 0()n x x g x x x →=-；0 00 ()lim 0()n x x g x x x →=- ∴0 1 0()lim 0() n x x g x x x -→'=-，即1 0()(())n g x x x ο-'=-。 2. 唯一性证明： ()f x 在0x 处存在n 阶导，设0()()(())n n f x P x x x ο=+-<1>。（其中() n P x 为n 次多项式） 设<1>式中0(())()n x x g x ο-=。易证：()g x 满足引理的条件。 ∴10()(())n g x x x ο-'=-，20()(())n g x x x ο-''=-， ，(1)0()()n g x x x ο-=-。 ∴ ()()() n f x P x g x '''=+， ()()() n f x P x g x ''''''=+， ， (1)(1)(1)()()()n n n n f x P x g x ---=+<2> 对<2>中的所有等式，均取0x x →的极限，则有： 00()()n f x P x ''=，00()()n f x P x ''''=， ，(1)(1)00()()n n n f x P x --= 又
本科生毕业设计（论文） （ 2014届） 设计（论文）题目泰勒公式及其在解题中应用 作者周立泉 分院理工分院用数学1001班 指导教师（职称）徐华（讲师） 专业班级数学与应用数学） 论文字数 8000 论文完成时间 2014年4月3日 杭州师范大学钱江学院教学部制
泰勒公式及其在解题中应用 数学与应用数学1001班周立泉指导教师徐华 摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数，而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定．本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限，求近似值等各方面的应用． 关键词：泰勒公式;数学分析;导数 Taylor Formula and Its Application in Solving Problem Mathematics and Applied Mathematics class 1001 ZhouLiQuan Instructor: XuHua Abstract：Taylor's formula is an important equation of mathematical analysis, it is the basic idea is to use polynomial approximation to a known function, and the polynomial coefficients given by the derivatives of the function determined. This paper describes the method to prove the Taylor formula,summarized in inequalities, find the limit,the approximate value and the other applications. Keyword:Taylor's formula;Mathematical analysis; derivative.
泰勒公式及其应用 佟梅 (渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国) 摘要：数学是一门很重要的学科，许多的数学家研究出了各种定理、公式，并且都证实了它们的正确性，应用这些定理公式解决了许多疑难问题，泰勒公式就是其一。泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它在解决分析中的问题时应用广泛、灵活，也是解决各种数学问题的一个强有力的工具之一，本文对泰勒公式进行了简单的介绍，重点介绍了它的各种应用，作了一个较系统和规律性的分析综述。首先，介绍了泰勒定理及其几种表示形式的泰勒公式，在后面的应用中会应用到。其次，就是本文的重点——泰勒公式的应用，介绍了九个方面，主要包括：研究级数和广义积分的敛散性、利用泰勒公式求极限、近似计算和误差估计、确定和比较无穷小的阶、证明不等式等等，通过许多的例题分析，体现出了泰勒公式在解决数学问题时的重要性和简洁性。 关键词：泰勒公式，极限，误差估计，敛散性，不等式。 Taylor’s formula and its application Tong Mei (Department of Mathematics Bohai University，Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract:Mathematics is a very important discipline. Many mathematicians studied all kinds of theorem and formula, proved their correctness, and applied them to solve a number of difficult problems. Taylor formula is one of them.Taylor’s formula is a important formula in mathematical analysis. It can be used widely and conveniently to solve the problems in analysis. In addition, it is one of powerful tools to solve all kinds of mathematics problems. This article provides a simple introdu ction to Taylor’s formula, emphasizes its various applications, and makes a systematic and inerratic analysis summary. Firstly, this article introduces the Taylor theorem and some Taylor’s formula of different _expression forms, which will be applied later. Next, it is the emphasis of this article -- the application of Taylor’s formula. Here nine aspects are introduced: studying the convergence and divergence of series and the improper integral, using the Taylor’s formnla to calculate limit, the approximate calculation and error estimate, determining and comparing the order of infinitesimals, the application in theorem proof, proving inequality, and so on. Through many example analysis, the importance and conciseness of Taylor’s formula in solving mathematic s questions are well illustrated. Key Words: Taylor’s formula; limit; error estimate ;convergent or divergent; inequality.
高三数学培优资料（10）教师版 泰勒公式与拉格朗日中值定理在证明不等式中的简单应用 泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。泰勒公式的重点就在于使用一个n 次多项式()n p x ,去逼近一个已知的函数()f x ，而且这种逼近有很好的性质：()n p x 与()f x 在x 点具有相同的直到阶n 的导数 ] 31[-.所以泰勒 公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓。泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了。但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用.运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想.本文拟 在前面文献研究的基础上通过举例归纳，总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法. 泰勒公式知识：设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1n +阶导数，则对该邻域内异于0x 的任意点x ，在0x 与x 之间至少存在一点ξ，使得： ()f x =()0f x +()0'f x 0(x -x )+ ()0f''x 2!02(x -x )+???+ ()()0 n f x n! 0n (x -x )+()n R x ， 其中()n R x = ()(1)(1)! n f n ξ++10)(+-n x x 称为余项，上式称为n 阶泰勒公式； 若0x =0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式， 即()f x = ()0f +()0' f x +()02!f''2x +???+()()0! n f n n x +0()n x . 利用泰勒公式证明不等式：若函数)(x f 在含有0x 的某区间有定义,并且有 直到)1(-n 阶的各阶导数,又在点0x 处有n 阶的导数)(0) (x f n ,则有公式 )()(! )()(!2)()(!1)()()()(00)(2 00000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= 在上述公式中若0)(≤x R n (或0)(≥x R n ),则可得 )(00)(2 00000)(!)()(!2)()(!1)()()(n n x x n x f x x x f x x x f x f x f -++-''+-'+≥ 或)(00)(2 00000)(! )()(!2)()(!1)()()(n n x x n x f x x x f x x x f x f x f -++-''+-'+≤
泰勒公式及其应用
摘要 文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。 关键词：泰勒公式，最优化理论，应用
一、泰勒公式 1.1 一元泰勒公式 若函数)(x f 在含有x 的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和： 1 0)1(00)(200000)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()!1() (++-+n n x x n f ξ ξ在x 和0x 之间的一个数， 该余项)(x R n 为拉格朗日余项。 1.1.1 泰勒公式的推导过程 我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式： n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+= 来近似表达函数)(x f ； 设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='= 因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以 )(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 !2)(02x f a ''= n n a n x p !)(0) (=，所以有! )(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(! )()(!2)())(()()(00)(2 00000-++-''+ -'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明 我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）： 设)()()(x p x f x R n -= 于是有0)()()(000=-=x p x f x R n 所以有0)()()()(0) (000===''='=x R x R x R x R n n n n n 根据柯西中值定理可得： n n n n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ 1ξ是在x 和0x 之间的一个数； 对上式再次使用柯西中值定理，可得：
泰勒公式 定理（peano 余项型，洛必达法则法证明） 若()0()n f x 存在, 则0()x x ?∈ ， 0()(,)n f x T x x =+()0()n x x - . ()200000000()()(,)()()()()()2!! n n n f x f x T x x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++- . 0(,)n T x x 叫做f 在0x 的n 次泰勒多项式，也叫f 在0x 的n 次密切（ “切线”）. 证法 洛必达法则法的分析. 按照洛必达法则往证0()()lim 0()n n x a f x T x x x →-=-即可. 记()()()n n R x f x T x =-，0()()n n Q x x x =-， 注意到 (1)()000()()()0n n n n n R x R x R x -==== ， (1)00()()0n n n Q x Q x -=== ，()0()!n n Q x n = ()0()n f x 存在，意味着(1)()n f x -在0()U x 内还可导.允许()0lim ()0n x a n R x Q x →?? ???反复使用洛必达法则1n -次. 证明 连续1n -次使用洛必达法则，得 (1)(1)()()00lim lim ()0()0n n n n x a x a n n R x R x Q x Q x --→→????= ? ?????不断添入0，使结论成为两个函数值之差的比. (1)(1)()0000()()()()lim (1)2() n n n x a f x f x f x x x n n x x --→---=-- (1)(1)()000()()1lim ()0!n n n x a f x f x f x n x x --→??-=-= ?-?? . 注1 即使函数能表成()00()(,)()n n f x P x x x x =+- ，0(,)n P x x 不一定是泰勒多项式. 如1()(),n f x x D x n N ++=∈，由100()()lim lim 0n n n x x f x x D x x x +→→==，故()()(0)n f x x x =→ . 虽然能写成()2()0000n n f x x x x x =+++++ ，但是，根据海因定理，1()()n f x x D x += ，n N +∈仅在0点仅1阶可导(0)0f '=（0的邻域内()f x '无定义）. 故2()0000n n p x x x x =++++ 并不是()f x 在0处的泰勒多项式. 注2 若f 能表成()00()(,)()n n f x P x x x x =+- ，则多项式0(,)n P x x 是唯一的 （不论可导性）. 因为 若 () 00()(,)()n n f x P x x x x =+- ()20102000()()()()n n n a a x x a x x a x x x x =+-+-++-+- （1） 则由（1） 00lim ()x x f x a →=， 反代入（1）式又得 0010 ()lim x x f x a a x x →-=-， 反代入（1）式又得 0010220()[()]lim ()x x f x a a x x a x x →-+-=-
第2章 预备知识 前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的． 给定一个函数)(x f 在点0x 处可微，则有： )()()()(000x x x f x f x x f ?+?'+=?+ο 这样当1<