【3年高考2年模拟】第六章平面向量
第一部分三年高考荟萃
2012年高考数学解析汇编
一、选择题
1 ．（2012辽宁文）已知向量a = (1,—1),b = (2,x).若a ·b = 1,则x =
（ ）
A ．—1
B ．—
1
2
C ．
1
2
D ．1 2 ．（2012辽宁理）已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是 （ ）
A ．a ∥b
B ．a ⊥b
C ．{0,1,3}
D ．a +b =a -b
3 ．（2012天津文）在ABC ?中,90A ∠=?,1AB =,设点,P Q 满足
,(1),AP AB AQ AC R
λλλ==-∈ .若2BQ CP ?=-
,则λ= （ ）
A ．
1
3
B ．
23
C ．
43
D ．2
4 ．（2012重庆文）设x R ∈ ,向量(,1),(1,2),a x b ==- 且a b ⊥ ,则||a b +=
（ ）
A ．5
B ．10
C ．25
D ．10
5 ．（2012重庆理）设
,x y ∈R,向量()()()4,2,,1,1,-===c y b x a ,且c b c a //,⊥,则
_______=+b a
（ ）
A ．5
B ．10
C ．25
D ．10
6 ．（2012浙江文）设a,b 是两个非零向量. （ ）
A ．若|a+b|=|a|-|b|,则a ⊥b
B ．若a ⊥b,则|a+b|=|a|-|b|
C ．若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λa
D ．若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b| 7 ．（2012浙江理）设a ,b 是两个非零向量. （ ）
A ．若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥b
B ．若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |
C ．若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得a =λb
D ．若存在实数λ,使得a =λb ,则|a +b |=|a |-|b |
8 ．（2012天津理）已知△ABC 为等边三角形,=2AB ,设点P,Q 满足
=A P A B λ ,=(1)AQ AC λ- ,R λ∈,若3
=2
BQ CP ?- ,则=λ
（ ）
A ．
12
B ．
12
2
± C ．
110
2
± D ．
322
2
-±
9 ．（2012广东文）(向量、创新)对任意两个非零的平面向量α和β,定义??=
?αβ
αβββ
,若平面向量a 、b 满足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ??
∈ ???,且 a b 和 b a 都在集合2n n Z ??∈??
??
中,则= a b （ ）
A ．
1
2 B ．1
C ．
32
D ．
52
10 ．（2012广东文）(向量)若向量()1,2AB = ,()3,4BC =
,则AC =
（ ）
A ．()4,6
B ．()4,6--
C ．()2,2--
D ．()2,2
11 ．（2012福建文）已知向量(1,2),(2,1)a x b =-= ,则a b ⊥ 的充要条件是
（ ）
A ．1
2
x =-
B ．1x =-
C ．5x =
D ．0x = 12
．（
2012
大
纲
文
）
ABC ?中,AB
边的高为
CD
,若
CB a = ,CA b = ,0a b ?= ,||1a = ,||2b =
,则AD =
（ ）
A ．1133a b -
B ．2233
a b -
C ．3355a b -
D ．4455a b
- 13 ．（2012湖南理）在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB BC
= 1则___BC =.
（ ） A ．3
B ．7
C ．22
D ．23
14 ．（2012广东理）对任意两个非零的平面向量α和β,定义??=
?αβ
αβββ
,若平面向量a 、b 满足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ??
∈ ???,且 a b 和 b a 都在集合2n n Z ??∈????
中,则=
a b （ ）
A ．
1
2
B ．1
C ．
32
D ．
5
2
15 ．（2012广东理）(向量)若向量()2,3BA = ,()4,7CA =
,则BC =
（ ）
A ．()2,4--
B ．()2,4
C ．()6,10
D ．()6,10--
16 ．（2012大纲理）
ABC ?中,AB 边上的高为CD ,若,,0,||1,||2CB a CA b a b a b ==?===
,则AD =
（ ）
A ．1133
a b -
B ．2233
a b -
C ．3355
a b -
D ．4455
a b -
17．（2012安徽理）在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP 按逆时针旋转34
π
后,得
向量OQ
则点Q 的坐标是 （ ）
A ．(72,2)--
B ．(72,2)-
C ．(46,2)--
D ．(46,2)-
二、填空题
10．（2012浙江文）在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB AC ?
=________.
11．（2012上海文）在知形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上
的点,且满足
|
||
|||||CD CN BC BM =
,则AN AM ?的取值范围是_________ . 12．（2012课标文）已知向量a ,b 夹角为0
45,且|a |=1,|2-a b |=10,则|b |=_______.
13．（2012江西文）设单位向量(,),(2m x y b
==- 。若m b ⊥
,则
|2|x y +=_______________。
14．（2012湖南文）如图4,在平行四边形ABCD 中 ,AP ⊥BD,垂足为P,3AP =且AP AC
= _____.
A D
B
C
P
15．（2012湖北文）已知向量(1,0),(1,1)a b ==
,则
(Ⅰ)与2a b +
同向的单位向量的坐标表示为____________; (Ⅱ)向量3b a - 与向量a
夹角的余弦值为____________.
16．（2012北京文）已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ?
的值为
________.
17．（2012安徽文）设向量(1,2),(1,1),(2,)a m b m c m ==+= ,若()a c +
⊥b ,则a = _____.
18、．（2012新课标理）已知向量,a b 夹角为45?
,且1,210a a b =-= ;则_____b =
19、．（2012浙江理）在?ABC 中,M 是BC 的中点,AM =3,BC =10,则
AB AC ?
=______________. 20、．（2012上海理）在平行四边形ABCD 中,∠A=3π
, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分
别
是边BC 、CD 上的点,且满足
|
|||||||CD CN BC BM =
,则
AN AM ?的取值范围是_________ .
21、．（2012江苏）如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ==，，点E 为BC 的中点,点F
在边CD 上,若2AB AF = ,则AE BF
的值是___.
22．（2012北京理）已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ? 的
值为________;
DE DC ?
的最大值为________.
23．（2012安徽理）若平面向量,a b
满足:23a b -≤ ;则a b 的最小值是_____
参考答案
一、选择题 1. 【答案】D
【解析】21,1a b x x ?=-=∴= ,故选D 【点评】本题主要考查向量的数量积,属于容易题. 2、 【答案】B
【解析一】由|a +b |=|a -b |,平方可得a ?b =0, 所a ⊥b ,故选B
【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知|a +b |与|a -b |分别为以向量a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长,因为|a +b |=|a -b |,所以该平行四边形为矩形,所以a ⊥b ,故选B
【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系,属于容易题.解析一是利用向量的运算来解,解析二是利用了向量运算的几何意义来解.
3. 【解析】如图,设
c AC b AB ==, ,则0,2,1=?==c b c b ,又
c b AQ BA BQ )1(λ-+-=+=,b c AP CA CP λ+-=+=,由2-=?CP BQ 得2)1(4)1()(])1([2
2
-=--=--=+-?-+-λλλλλλb c b c c b ,即3
2
,23=
=λλ,选B. 4. 【答案】B
【解析】0202a b a b x x ⊥??=?-=?= ,22
|||(2,1)(1,2)|3(1)10a b +=+-=+-=
【考点定位】本题主要考查向量的数量积运算及向量垂直的充要条件,本题属于基础题,只要计算正确即可得到全分. 5 【答案】B
【解析】由02402a c a c x x ⊥??=?-=?= ,由//422b c y y ?-=?=-
,故
22||(21)(12)10a b +=++-=
.
【考点定位】本题主要考查两个向量垂直和平行的坐标表示,模长公式.解决问题的关键
在于根据a c ⊥ 、//b c
,得到,x y 的值,只要记住两个向量垂直,平行和向量的模的坐标形
式的充要条件,就不会出错,注意数字的运算. 6. 【答案】C
【命题意图】本题考查的是平面向量,主要考查向量加法运算,向量的共线含义,向量的垂直关系.
【解析】利用排除法可得选项C 是正确的,∵|a +b |=|a |-|b |,则a ,b 共线,即存在实 数λ,使得a =λb .如选项A:|a +b |=|a |-|b |时,a ,b 可为异向的共线向量;选项B:若a ⊥b ,由正方形得|a +b |=|a |-|b |不成立;选项D:若存在实数λ,使得a =λb ,a ,b 可为同向的共线向量,此时显然|a +b |=|a |-|b |不成立. 7、 【答案】C
【解析】利用排除法可得选项C 是正确的,∵|a +b |=|a |-|b |,则a ,b 共线,即存在实
数λ,使得a =λb .如选项A:|a +b |=|a |-|b |时,a ,b 可为异向的共线向量;选项B:若a ⊥b ,由正方形得|a +b |=|a |-|b |不成立;选项D:若存在实数λ,使得a =λb ,a ,b 可为同向的共线向量,此时显然|a +b |=|a |-|b |不成立. 8、 【答案】A
【命题意图】本试题以等边三角形为载体,主要考查了向量加减法的几何意义,平面向量基本定理,共线向量定理及其数量积的综合运用. 【解析】
∵=BQ AQ AB - =(1)AC AB λ-- ,=CP AP AC -
=AB AC λ- ,
又∵3=2
BQ CP ?- ,且
||=||=2AB AC ,0
<,>=60AB AC ,0=||||cos60=2AB AC AB AC ?? ,∴
3[(1)]()=2
AC AB AB AC λλ---- ,
22
23||+(1)+(1)||=2AB AB AC AC λλλλ--?- ,所以234+2(1)+4(1)=2
λλλλ---,解
得1=2
λ.
9. 解析:C.?=
=? a a b a b b b b 1cos 2k θ=,= b b a a 2cos 2k θ=,两式相乘,可得212cos 4
k k
θ=.因为0,4πθ??
∈ ???,所以1k 、2k 都是正整数,于是2121cos 124k k θ<=<,即1224k k <<,所以
123k k =.而0≥>a b ,所以13k =,21k =,于是3
2
=
a b . 10. 解析:A.()4,6AC AB BC =+=
.
11. 【解析】有向量垂直的充要条件得2(x-1)+2=0 所以x=0 .D 正确
【答案】D
【考点定位】考察数量积的运算和性质,要明确性质. 12. 答案D
【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用,结合运用特殊直角三角形求解点D 的位置的运用.
【解析】由0a b ?= 可得90ACB ∠=?,故5AB =,用等面积法求得25
5
CD =,所以
45
5
AD =
,故4444()5555AD AB CB CA a b ==-=- ,故选答案D
13、 【答案】A
【解
析
】
由
下
图
知
C
B
A
P
Q
A
AB BC = cos()2(cos )1AB BC B BC B π-=??-=
.
1cos 2B BC ∴=-.又由余弦定理知222
cos 2AB BC AC B AB BC
+-=?,解得3BC =.
【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力,考查数形结
合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意,AB BC
的夹角为B ∠的外角. 14、 【解析】C;因为||cos cos 1||
b a b b a a a a θθ?==≤
??中,所以12b a = ,||12cos ||b a θ= ,所以2
||cos 2cos 2||
a a
b b θθ==<
,且
2
2cos 1a b θ=> ,所以12a b << ,故有32
a b = ,选C.
【另解】C;1||cos 2||k a a b b θ== ,2||cos 2||
k b b a a θ==
,两式相乘得2
12cos 4k k θ=,因
为0,
4πθ??
∈ ??
?,12,k k 均为正整数,于是
122
cos 122k k θ<=<,所以1224k k <<,所以123k k =,而0a b ≥> ,所以123,1k k ==,于是3
2
a b = ,选C.
15、 解析:A.()2,4BC BA CA =-=--
.
16、 答案D
【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用,结合运用特殊直角三角形求解点D 的位置的运用.
【解析】由0a b ?= 可得90ACB ∠=?,故5AB =,用等面积法求得25
5
CD =,所以
45
5
AD =
,故4444()5555AD AB CB CA a b ==-=- ,故选答案D 17、 【解析】选A
【方法一】设34
(10cos ,10sin )cos ,sin 55
OP θθθθ=?==
则33(10cos(),10sin())(72,2)44OQ ππ
θθ=++=-- 【方法二】将向量(6,8)OP = 按逆时针旋转32
π
后得(8,6)OM =-
则1()(72,2)2
OQ OP OM =-+=--
二、填空题 10. 【答案】-16
【命题意图】本题主要考查了平面向量在三角形中的综合应用. 【解析】由余弦
定理
2
2
222c o s
53A
B
A
M B M A M B =+-
?∠=
+
, 222222cos 35253cos AC AM CM AM CM AMC AMC =+-?∠=+-??∠,0
180AMB AMC ∠+∠=,
两
式
子
相
加
为
222222222(35)68AC AB AM CM +=+=?+=,
2222221068100cos 222AB AC BC AB AC BAC AB AC AB AC AB AC +-+--∠===??????,
68100
cos 162AB AC AB AC BAC AB AC AB AC
-?=∠=?
=-??
.
11. [解析] 如图建系,则A (0,0),B (2,0),D (0,1),C (2,1).
设
t CD CN BC BM ==|
||
|||||∈[0,1],则t BM =||,t CN 2||=, 所以M (2,t ),N (2-2t ,1),
故AN AM ?=4-4t +t =4-3t=f (t ),因为t ∈[0,1],所以f (t )递减, 所以(AN AM ?)max = f (0)=4,(AN AM ?)min = f (1)=1.
12. 【命题意图】.本题主要考查平面向量的数量积及其运算法则,是简单题.
【解析】∵|2-a b |=10,平方得2
24410-=
a a b+
b ,即22260--=|b ||b |,解得|b |=32或2-(舍)
13. 【答案】
5
【解析】由已知可得20x y -=,又因为m 为单位向量所以2
2
1x y +=,联立解得
55255x y ?
=????=??或5
525
5x y ?=-????=-??
代入所求即可.
【考点定位】本题考查向量垂直的充要条件.
14. 【答案】18
【解析】设AC BD O = ,则2()AC AB BO =+ ,AP AC = 2()AP AB BO +=
A B
D C y x
2
1 (O )
M N
22AP AB AP BO + 2
22()2AP AB AP AP PB AP ==+= 18=.
【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算,考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.
15. (Ⅰ)31010,1010??
? ??
?;(Ⅱ)25
5- 【解析】(Ⅰ)由()()1,0,1,1a =b =,得()23,1+a b =.设与2+a b 同向的单位向量为(),x y c =,则221,30,x y y x ?+=?-=?且,0x y >,解得310
,1010.
10x y ?=???
?=??
故31010,1010??
? ???c =.即与2+a b 同向的单位向量的坐标为31010,1010??
? ???
. (Ⅱ)由()()1,0,1,1a =b =,得()32,1--b a =.设向量3-b a 与向量a 的夹角为θ,则
()()()32,11,02
5cos 35
51
θ--=
==--? b a a b a a
.
【点评】本题考查单位向量的概念,平面向量的坐标运算,向量的数量积等.与某向量同向
的单位向量一般只有1个,但与某向量共线的单位向量一般有2个,它包含同向与反向两种.不要把两个概念弄混淆了. 来年需注意平面向量基本定理,基本概念以及创新性问题的考查.
16. 【答案】1;1
【解析】根据平面向量的点乘公式||||cos DE CB DE DA DE DA θ?=?=?
,可知||cos ||DE DA θ= ,因此
2
|
|1D E C B D
?
== ;||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα?=?=? ,而||cos DE α 就是
向量DE 在DC
边上的射影,要想让DE DC ? 最大,即让射影最大,此时E 点与B 点重合,
射影为||DC
,所以长度为1
【考点定位】 本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含动点问题,考查学生最值的求法.
17. 【解析】
a = 2 1(3,3),()3(1)3022
a c m a c
b m m m a +=+=++=?=-?= 18、 【解析】b =
32
22210(2)1044cos 451032a b a b b b b ?
-=?-=?+-=?=
19、 【答案】16-
【解析】此题最适合的方法是特例法.
假设?ABC 是以AB =AC 的等腰三角形,如图,
AM =3,BC =10,AB =AC =34.
cos∠BAC =3434100823417
+-=-?.AB AC ?
=cos 16AB AC BAC ?∠=-
20、 [解析] 如图建系,则A (0,0),B (2,0),D (21,23
),C (25,2
3
).
设
t CD CN BC BM ==|
||
|||||∈[0,1],则t BM =||,t CN 2||=, 所以M (2+2
t ,
2
3t ),N (25-2t ,
2
3),
故AN AM ?=(2+2t
)(2
5-2t )+2
3t ?
2
3
=)(6)1(5222t f t t t =++-=+--,
因为t ∈[0,1],所以f (t )递减,( AN AM ?)max = f (0)=5,(AN AM ?)min = f (1)=2. [评注] 当然从抢分的战略上,可冒用两个特殊点:M 在B (N 在C )和M 在C (N 在D ),而本案恰是在这两点处取得最值,蒙对了,又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了!
21、 【答案】2.
【考点】向量的计算,矩形的性质,三角形外角性质,和的余弦公式,锐角三角函数定义.
【解析】由2A B A F = ,得cos 2AB AF FAB ∠=
,由矩形的性质,得
cos =AF FAB DF ∠
.
∵2AB =,∴22DF = ,∴1DF =.∴21CF =-.
记AE BF
和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，,则θαβ=+.
又∵2BC =，点E 为BC 的中点,∴1BE =. ∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AE BF AE BF AE BF θαβαβαβ+-
(
)
=cos cos sin sin =122
212AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=?--=
.
本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解.
22、 【答案】1;1
【解析】根据平面向量的点乘公式||||cos DE CB DE DA DE DA θ?=?=?
,可知||cos ||DE DA θ= ,因此
2
|
|1D E C B D
?
== ;||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα?=?=? ,而||cos DE α 就是
向量DE 在DC
边上的射影,要想让DE DC ? 最大,即让射影最大,此时E 点与B 点重合,
x
y A
B
C D M
N
射影为||DC
,所以长度为1
【考点定位】 本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含动点问题,考查学生最值的求法.
23、 【解析】a b 的最小值是9
8
-
22222349494449448a b a b a b
a b a b a b a b a b a b -≤?+≤++≥≥-?+≥-?≥-
2011年高考题
一、选择题
1.（四川理4）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++
=
A ．0
B ．BE
C ．A
D D ．CF
【答案】D
【解析】BA CD EF BA AF EF BF EF CE EF CF ++=++=+=+=
2.（山东理12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312
A A A A λ=
（λ∈R ），14
12A A A A μ= （μ∈R ），且1
1
2
λ
μ
+
=,则称
3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上
的点C ，D 调和分割点A ，B 则下面说法正确的是
A ．C 可能是线段A
B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点
C ．C ，
D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D
3.（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
12:||1[0,
)3p a b πθ+>?∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>?∈
13:||1[0,)3p a b πθ->?∈ 4:||1(,]3p a b π
θπ->?∈
其中真命题是 （A ）
14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p
【答案】
A
4.（全国大纲理12）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =1
2-
，,a c b c --=0
60，则c 的
最大值等于
A ．2
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】A
5.（辽宁理10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=?b a ，0)()(≤-?-c b c a ，则||c b a -+的最大值为
（A ）12- （B ）1 （C ）2 （D ）2
【答案】B
6.（湖北理8）已知向量a=（x+z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x,y 满足不等式1
x y +≤，
则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D ．[-3，3]
【答案】D
7.（广东理3）若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ?+= A ．4 B ．3 C ．2
D ．0
【答案】D
8.（广东理5）已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y ?≤≤?
≤??
≤?给定。若
(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为(2,1)，则z OM OA =?
的最大值为C
A ．42
B ．32
C ．4
D ．3
【答案】
9.（福建理8）已知O 是坐标原点，点A （-1,1）若点M （x,y ）为平面区域
2
1y 2x y x +≥??≤??≤?
，上的
一个动点，则OA ·OM
的取值范围是
A ．[-1．0]
B ．[0．1]
C ．[0．2]
D ．[-1．2]
【答案】C 二、填空题
10.（重庆理12）已知单位向量1e ，2e 的夹角为60°，则122e e -=__________
【答案】3
11.（浙江理14）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的
平行四边形的面积为1
2，则α与β的夹角θ的取值范围是 。
【答案】5[,]
66ππ
12.（天津理14）已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,0
90ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰
DC 上的动点，则
3PA PB
+ 的最小值为____________.
【答案】5
13.（上海理11）在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1A B B D
==，则A B A D ?=
。
【答案】152
14.（江苏10）已知→
→
21,e e 是夹角为π
32的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若
0=?→
→b a ，则k 的值为 .
【答案】45
15.（安徽理13）已知向量,a b 满足()()a b a b +2?-=-6，且1
a =，
2
b =，
则a 与b 的夹角为 .
【答案】3π
16.（北京理10）已知向量a=（3，1），b=（0，-1），c=（k ，3）。若a-2b 与c 共线，则k=__________。 【答案】1
17.（湖南理14）在边长为1的正三角形ABC 中, 设
2,3,BC BD CA CE == 则AD BE ?=
__________________．
【答案】1
4-
18.（江西理11）已知2a b == ,(2)
a b + ·a b - （）=-2，则a 与b 的夹角为
【答案】3π
2010年高考题 一、选择题
1.（2010湖南文）若非零向量a ，b 满足||||,(2)0a b a b b =+?=，则a 与b 的夹角为 A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500 【答案】 C
2.（2010全国卷2理）ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若CB a =uu r ，CA b =uu r
，
1
a =，
2
b =，则CD =u u u r
（A ）123
3a b + （B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b
+ 【答案】B
【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理.
【解析】因为CD 平分ACB ∠，由角平分线定理得
AD
CA 2=
DB
CB
1
=
，所以D 为AB 的三等分
点，且22AD AB (CB CA)33==- ，所以
2121CD CA+AD CB CA a b
3333==+=+ ，故选B.
3.（2010辽宁文）平面上,,O A B 三点不共线，设,OA a OB b ==
,则OAB ?的面积等于
（A ）222()
a b a b -? （B ）222()
a b a b +?
（C ）2221()
2
a b a b -? （D ）2221
()
2
a b a b +?
【答案】C 解析：
2
222111()||||sin ,||||1cos ,||||1222||||
OAB
a b S a b a b a b a b a b a b ??=<>=-<>=-
2221()
2
a b a b =-?
4.（2010辽宁理）平面上O,A,B 三点不共线，设,OA =a OB b =，则△OAB 的面积等于 (A)
222
|||()|a b a b - (B)
222
|||()|a b a b +
(C) 2221|||()2|a b a b - (D) 222
1|||()2|a b a b +
【答案】C
【命题立意】本题考查了三角形面积的向量表示，考查了向量的内积以及同角三角函数的基本关系。
【解析】三角形的面积S=1
2|a||b|sin
222222211||||()||||()cos ,22a b ab a b ab a b -=-<>
211
||||1cos ,||||sin ,22a b a b a b a b -<>=<>
5.（2010全国卷2文）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB = a , CA = b ,
a
=
1 ，b = 2, 则CD
=
（A ）13a + 23b （B ）23a +13b （C ）35a +45b （D ）45a +35b
【答案】 B
【解析】B ：本题考查了平面向量的基础知识
∵ CD 为角平分线，∴ 1
2BD BC AD AC ==
，∵ AB CB CA a b =-=- ，∴ 222333AD AB a b ==- ，∴ 22213333CD CA AD b a b a b
=+=+-=+
6.（2010安徽文）设向量(1,0)a =,
11
(,)
22b =,则下列结论中正确的是 (A)
a b
= (B)
22a b =
(C)//a b (D)a b -与b 垂直
【答案】D
【解析】
11
(,)
22--a b =，()0a b b -= ，所以-a b 与b 垂直. 【规律总结】根据向量是坐标运算，直接代入求解，判断即可得出结论.
7.（2010重庆文）若向量(3,)a m =，(2,1)b =-，0a b =
，则实数m 的值为 （A ）3
2-
（B ）32
（C ）2 （D ）6 【答案】 D
解析：60a b m =-=
，所以m =6 8.（2010重庆理）已知向量a ，b 满足
0,1,2,
a b a b ?===，则
2a b -=
A. 0
B. 22
C. 4
D. 8 【答案】 B 解析：
2a b -=2
2844)2(222==+?-=-b b a a b a
9.（2010山东文）定义平面向量之间的一种运算“ ”如下：对任意的(,)a m n =，(,)b p q =，令a b mq np =- ，下面说法错误的是 (A)若a 与b 共线，则0a b = (B)a b b a =
(C)对任意的R λ∈，有()()a b a b λλ=
(D)2222
()()||||a b a b a b +?=
【答案】B
10.（2010四川理）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，
216,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣, 则AM ∣∣=
（A ）8 （B ）4 （C ） 2 （D ）1
解析：由2
BC ＝16，得|BC|＝4 AB AC AB AC BC ∣+∣=∣-∣=|| ＝4 而AB AC
AM ∣+∣=2∣∣
故AM ∣∣= 2
【答案】C
11.（2010天津文）如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥，3BC = BD ，1
AD = ，则A C A D ? =
（A ）23 （B ）32 （C ）3
3 （D ）3
【答案】D
【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。
||||cos ||cos ||sin AC AD AC AD DAC AC DAC AC BAC ?=?=?=
∠∠∠sin B 3BC ==
【温馨提示】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。 12.（2010广东文）
13.（2010福建文）
14.（2010全国卷1文）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，
那么PA PB ?
的最小值为
(A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+
【答案】D
【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力
.
【解析1】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则
∠APB=2α，PO=2
1x +，21sin 1x α=
+，
||||cos2PA PB PA PB α
?=?
=
22(12sin )
x α-=
222(1)1x x x -+=422
1x x x -+，令PA PB y ?= ，则42
2
1x x y x -=+，
即
42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以 2[(1)]41()0y y ?=-+-??-≥，2610y y ++≥，解得322y ≤--或322y ≥-+.故min ()322PA PB ?=-+
.此时21x =-.
【解析2】设,0APB θθπ∠=<<，
()()2
cos 1/tan cos 2PA PB PA PB θθθ
?
??== ??
?
222
2221sin 12sin cos 22212sin 2sin sin
22θθθ
θθθ????-- ???
??????=?-=
???换元：2sin ,012x x θ=<≤，
()()1121
23223
x x PA PB x x x
--?==+-≥-
【解析3】建系：园的方程为
22
1x y +=，设11110(,),(,),(,0)A x y B x y P x -，
()()2211101110110,,001
AO PA x y x x y x x x y x x ⊥??-=?-+=?=
()22222222110011011022123223
PA PB x x x x y x x x x x ?=-+-=-+--=+-≥-
15.（2010四川文）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，2
16BC = ， AB AC AB AC +=- ，则
AM
= （A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）1
【答案】C
解析：由2
BC ＝16，得|BC|＝ 4
P
A
B
O
()()22210110111001,,2PA PB x x y x x y x x x x y ?=-?--=-+-
AB AC AB AC BC ∣+∣=∣-∣=|| ＝4 而AB AC AM ∣+∣=2∣∣
故AM ∣∣=
2
16.（2010湖北文）已知ABC ?和点M 满足0MA MB MC
++=
.若存在实m 使得AM AC m AM += 成立，则m =
A.2
B.3
C.4
D.5
17.（2010山东理）定义平面向量之间的一种运算“ ”如下，对任意的a=(m,n) ，b p,q)=
（，令a b=mq-np
，下面说法错误的是（ ）
A.若a 与b
共线，则a b=0 B.a b=b a
C.对任意的R λ∈，有
a)b=(λλ （a b) D. 2222
(a b)+(ab)=|a||b| 【答案】B
【解析】若a 与b
共线，则有a b=mq-np=0 ，故A 正确；因为b a pn-qm = ，而 a b=mq-np ，所以有a b b a ≠
，故选项B 错误，故选B 。
【命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力。
18.（2010湖南理）在Rt ABC ?中，C ∠=90°AC=4，则AB AC ?u u u r u u u r
等于
A 、-16
B 、-8
C 、8
D 、16
19.(2010年安徽理)
20.（2010湖北理）已知ABC ?和点M 满足0MA MB MC --→
--→
--→
+=+.若存在实数m 使得
AB AC AM m --→--→--→
+=成立，则m=
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题
1.（2010上海文）在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5,0)，
1(2,1)e = 、2(2,1)e =-
分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线Γ上的点P ，若12OP ae be =+ （a 、b R ∈），则a 、b 满足的一个等式是 4ab =1 。
解析：因为1(2,1)e = 、2(2,1)e =- 是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为
x
y 21±=，又1,2,5==∴=b a c
双曲线方程为1422=-y x ，12OP ae be =+
=),22(b a b a -+，
1
)(4)22(22=--+∴b a b a ，化简得4ab =1
2.（2010浙江理）已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足1
β=，且α与βα-的夹角为120°，
则
α
的取值范围是__________________ .
解析：利用题设条件及其几何意义表示在三角形中，即可迎刃而解，本题主要考察了平面向
高考数学平面向量专题卷（附答案） 一、单选题（共10题；共20分） 1.已知向量，则＝（） A. B. C. 4 D. 5 2.若向量，，若，则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量，，且，则＝（） A. B. C. D. 4.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为（） A. B. C. D. 5.在中，的中点为，的中点为，则（） A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线，且，，记与的夹角是，则最大时， （） A. B. C. D. 7.在中，，AD是BC边上的高，则等于（） A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知，则的取值范围是（） A. [0，1] B. C. [1，2] D. [0，2] 9.已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（） A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆：上的三点，，，斜率为负数的直线与轴交于，若原点是的重心，且与的面积之比为，则直线的斜率为（）
A. B. C. D. 二、填空题（共8题；共8分） 11.在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且 ，则点C的坐标是________． 12.已知单位圆上两点满足，点是单位圆上的动点，且，则 的取值范围为________． 13.已知正方形的边长为1，，，，则________. 14.在平面直角坐标系中，设是函数（）的图象上任意一点，过点向直线 和轴作垂线，垂足分别是，，则________． 15.已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为，半径为2，且满足，则 的最小值为________. 18.如图，在中，，点，分别为的中点，若，，则 ________. 三、解答题（共6题；共60分） 19.的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求的面积． 20.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
高考数学平面向量试题汇编 已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么 （ Ａ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r （辽宁3） 若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且?? ??? g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ） A ．0 B ． π6 C ． π3 D ． π2 （辽宁6） 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(12)， （宁夏，海南4） 已知平面向量(11) (11)==-，，，a b ，则向量13 22 -=a b （ Ｄ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)， （福建4） 对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若2 2 =a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c （湖北2）
将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24?? =-- ??? ，a 平移，则平移后所得图象的解析式为 （ Ａ ） Ａ．π2cos 234x y ?? =+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ?? =-+ ??? Ｃ．π2cos 2312x y ?? =-- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ?? =++ ??? （湖北文9） 设(43)=，a ， a 在 b 上的投影为2 ，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ Ｂ ） A ．(214)， B ．227? ?- ???， C ．227??- ??? ， D ．(28)， （湖南4） 设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b （湖南文2） 若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r C ．EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D ．EF OF O E =--u u u r u u u r u u u r （四川7） 设A ｛a ,1｝，B ｛2，b ｝，C ｛4,5｝，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若方向 在与→ →→OC OB OA 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为 （ A ） (A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a （天津10） 设两个向量22 (2cos )λλα=+-，a 和sin 2 m m α? ?=+ ?? ? ，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则 m λ 的取值范围是（ Ａ ） Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]， Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6] （浙江7）
高考数学三角函数与平面向量复习 三角函数、平面向量是高中数学两个有机结合的部分，它们既是高考必考内容又是十分有用的解题工具. 学好这部分内容，除了要较好的把握知识体系之外，更要把握有关题型、易错点. 一、三角函数问题 1．三角函数的图像和性质 （1）具体要求： ①了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； ②借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； ③借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（2π ±α，π±α的正弦、余弦、正切），能画出 y=sinx ，y=cosx ，y=tanx 图像，了解三角函数的周期性； ④借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在（-2π,2π ）上的性质（如单调性、最大 和最小值、图象与轴交点等）； ⑤理解同角三角函数的基本关系式： sin 2x+cos 2 x=1，x x cos sin =tanx. ⑥结合具体实例，了解y=Asin(ωx+?)的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin(ωx+?)的图 像，观察参数A ，ω，?对函数图像变化的影响； ⑦会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. (2)题型示例：这里的问题主要是三角函数的图像和性质及其应用，与向量进行综合命题是近年来的发展趋势. 例1.已知函数f (x)= Asin(ωx+?)( A >0,ω>0,∣?∣<2π )的图像在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0,2),( x 0+3π,-2). （1）求f (x)的解析式； （2）用五点作图法画出函数f (x)在长度为一个闭区间上的简图； （3）写出函数f (x)的单调区间；
考点1 平面向量的概念及其线性运算 1．平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹 角，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ． 1 D ．2 2． 在下列向量组中，能够把向量a ＝(3，2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2) B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3) 考点2 平面向量基本定理及向量坐标运算 3．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 D.152 4．设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________． 考点3 平面向量的数量积及应用 5．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝___． 6．设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝___． 7．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的 夹角为β，则cos β＝________． 8．若向量a ，b 满足：＝1，(a ＋b )⊥a ，(＋b )⊥b ，则|＝______． 9．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则＝______． 10．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6 时，△ABC 的面积为______． 考点4 单元综合 11．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足 |CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________． 练习： 1.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2 AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 .
培优点八 平面向量 1．代数法 例1：已知向量a ，b 满足=3a ，b 且()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（ ） A ．3 B ．3- C ． D 【答案】C 【解析】考虑b 在a 上的投影为 ?a b b ，所以只需求出a ，b 即可． 由()⊥+a a b 可得：()2 0?+=+?=a a b a a b ， 所以9?=-a b ．进而?==a b b ．故选C ． 2．几何法 例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______． 【答案】【解析】可知a ，b ，+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线， 由2==+=a b a b 可知满足条件的只能是底角为60o ，边长2a =的菱形， =． 3．建立直角坐标系 例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ?=u u u v u u u v __________． 【答案】14 AD BE ?=-uuu v uu u v 【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，
观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题， 如图建系： 3 0, A ?? ? ? ?? ， 1 ,0 2 B ?? - ? ?? ， 1 ,0 2 C ?? ? ?? ， 下面求E坐标：令() , E x y，∴ 1 , 2 CE x y ?? =- ? ?? uu u v ， 13 2 CA ? =- ?? uu v ， 由3 CA CE = uu v uu u v 可得： 111 3 223 3 3 3 x x y y ???? -=-= ? ?? ?? ?? ? ?? ??= = ??? ? 13 3 E ? ?? ， ∴ 3 0, AD ? = ?? uuu v ， 53 6 BE ? = ?? uu u v ，∴ 1 4 AD BE ?=- uuu v uu u v ． 一、单选题 1．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，且向量a，b的夹角为 4 π ，若λ - a b与b垂直，则实数λ的值为（） A． 1 2 -B． 1 2 C． 2 D 2 【答案】D 【解析】因为12cos2 4 π ?? ?= a b()2 240 λλλ -?=?=?= a b b，故选D．2．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，7 += a b?= a b（） A．1 B2C3D．2 【答案】A 对点增分集训
向量 1、在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则（ ） A 、A B u u u r 与A C u u u r 共线 B 、DE u u u r 与CB u u u r 共线C 、1sin A D θ-u u u r 与A E u u u r 相等 D 、AD u u u r 与BD u u u r 相等 2、下列命题正确的是（ ） A 、向量A B u u u r 与BA u u u r 是两平行向量 B 、若a r 、b r 都是单位向量,则a r =b r C 、若AB u u u r =DC u u u r ,则A 、B 、C 、 D 四点构成平行四边形 D 、两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3、在下列结论中，正确的结论为（ ） (1)a r ∥b r 且|a r |=|b r |是a r =b r 的必要不充分条件；(2)a r ∥b r 且|a r |=|b r |是a r =b r 的既不充分也不必要条件；(3)a r 与b r 方向相同且|a r |=|b r |是a r =b r 的充要条件；(4)a r 与b r 方向相反或|a r |≠|b r |是a r ≠b r 的充分不必要条件A 、(1)(3) B 、(2)(4) C 、(3)(4) D 、(1)(3)(4) 4、把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是 ；若这些向量为单位向量,则终点构成的图形是 。 5、已知|AB u u u r |=1，|AC u u u r |=2，若∠BAC =60°，则|BC uuu r |= 。 6、在四边形ABCD 中, AB u u u r =DC u u u r ，且|AB u u u r |=|AD u u u r |，则四边形ABCD 是 。 7、设在平面上给定了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：KL u u u r =NM u u u u r 。 8、某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点,然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C 点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点。 (1)作出向量AB u u u r 、BC uuu r 、CD uuu r (1 cm 表示200 m )。 (2)求DA u u u r 的模。 T ={PQ uuu r 、 9、如图,已知四边形ABCD 是矩形,设点集M ={A 、B 、C 、D }，求集合 Q ∈M ,且P 、Q 不重合}。 向量的加法 1、下列四式不能化简为AD 的是 （ ） A 、（A B +CD ）+B C B 、（A D +MB ）+（BC +CM ） C 、MB +-A D BM D 、OC OA -+CD 2、M 是△ABC 的重心，则下列各向量中与AB 共线的是 （ ） 第9题图
一、多选题 1．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ?=，则0b = B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22 ()a b a b ?=? C ．若非零向量a 、b 满足2 2 2 a b a b +=+，则a 与b 垂直 D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2 π 2．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 56 π D ． 23 π 3．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45° D ．() //2a a b + 4．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且 AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ） A ．1A B CE ?=- B ．0OE O C += C ．3OA OB OC ++= D ．ED 在BC 方向上的投影为 76 5．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立 D ．在ABC 中， sin sin sin +=+a b c A B C 6．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A ．已知A 、 B 、 C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ?=?且0b ≠，则a c = C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++= D ．已知()1 2a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 7．在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形
新数学《平面向量》试卷含答案 一、选择题 1．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r （ ） A ．2133BA AC +u u u r u u u r B ．2133BA A C -u u u r u u u r C ．1233BA AC +u u u r u u u r D ．4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A 【解析】 【分析】 连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】 解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ， 则()() 221121332333 OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+= ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A. 【点睛】 本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题. 2．已知正ABC ?的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ?u u u r u u u r 的值为（ ） A ．8 3 - B ．1- C ．1 D ．3 【答案】B 【解析】 【分析】 由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可． 【详解】
由已知可得：7 ， 又23 tan BED 3 BD ED ∠= == 所以22 1tan 1 cos 1tan 7 BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ?? ?=∠=-=- ??? u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ． 【点睛】 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题． 3．若向量a b r r ，的夹角为3 π ，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ） A ．1 2 - B ． 12 C 3 D ．3 【答案】A 【解析】 【分析】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =?r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ?+?=r r r ，即可得出答案. 【详解】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -?+=+?+r r r r r r r r . 即22b a b =?r r r ，也即22cos 3 b a b π =r r r ，所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ?+=r r r ，即20t a a b ?+?=r r r . 所以222 1122b a b t a b ?=-=-=-r r r r r 故选：A
《平面向量》测试题 一、选择题 1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（ ） A.x=-1 B.x=3 C.x= 2 9 D.x=51 2.与向量a=(-5,4)平行的向量是（ ） A.（-5k,4k ） B.(-k 5,-k 4) C.(-10,2) D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为4 3 ，则A 分所成的比是（ ） A.73 B. 37 C.- 37 D.-7 3 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（ ） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（ ） A.103 B.-103 C.102 D.10 6．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.? ????79，73 B.? ????－73，－79 C.? ????73，79 D.? ????－7 9 ，－73 7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（ ） A. 3 23 B. 23 3 C.2 D.- 5 2 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（ ） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,- 2 1 ) 9.设四边形ABCD 中，有DC = 2 1 ，且||=|BC |，则这个四边形是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（ ） A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10 11.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2 的图像，则a 等于（ ） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1) 12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（ ） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题 13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。 14.已知：|a|=2,|b|=2,a 与b 的夹角为45°，要使λb-a 垂直，则λ= 。 15.已知|a|=3,|b|=5，如果a ∥b ，则a ·b= 。 16.在菱形ABCD 中，（AB +AD ）·（AB -AD ）= 。
第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.
(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ， 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时
专题26 平面向量（知识梳理） 一、向量的概念及表示 1、向量的概念：具有大小和方向的量称为向量。 (1)数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 (2)向量的表示方法： ①具有方向的线段，叫做有向线段，以A 为始点，B 为终点的有向线段记作AB ，AB 的长度记作||AB 。用有向线段AB 表示向量，读作向量AB ； ②用小写字母表示：a 、。 (3)向量与有向线段的区别和联系： ①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； ②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段； ③向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段。向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段。 2、向量的模：向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作||。 3、零向量：长度等于零、方向是任意的向量，记作。 4、单位向量：长度为一个单位长度的向量。与非零向量共线的单位向量0a =。 5、平行向量：(1)若非零向量a 、的方向相同或相反，则b a //，又叫共线向量； (2)规定与任一向量平行。 6、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)。 7、相等向量：若非零向量a 、方向相同且模相等，则向量a 、是相等向量。 (1)相等向量：=?模相等，方向相同； (2)相反向量：b a -=?模相等，方向相反。 二、向量的加法 1、三角形法则
图示 2、平行四边形法则 原理 已知两个不共线向量a 、b ，作a AB =，b BC =，则A 、B 、D 三点不共线，以AB 、AD 为邻边 作平行四边形，则对角线上的向量b a AC +=，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。 图示 3、多边形法则 原理 已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点 的向量叫做这n 个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。 图示 运算律 交换律 a b b a +=+ 结合律 )()(c b a c b a ++=++ 1、相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -。 (1)规定：零向量的相反向量仍是零向量； (2)a a =--)(； (3)0)()(=+-=-+a a a a ； (4)若a 与b 互为相反向量，则b a -=，a b -=，0=+b a 。 2、向量的减法：已知向量a 与b (如图)，作a OA =，b OB =，则a BA b =+，向量BA 叫做向量a 与b 的差，并记作b a -，即OB OA b a BA -=-=，由定义可知： (1)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量； (2)一个向量BA 等于它的终点相对于点O 的位置向量OA 减去它的始点相对于点O 的位置向量OB ，或简记为“终点向量减始点向量”；
平面向量测试题 一、选择题： 1。已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且?→?AB =→a ，?→?AD ＝→b ，则?→ ?BE ＝（ ） （A ） →b +→a 2 1 （B ） →b －→a 2 1 （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） →a －→ b 2 1 2．已知B 是线段AC 的中点，则下列各式正确的是（ ） （A ） ?→?AB ＝－?→?BC （B ） ?→?AC ＝?→?BC 2 1 （C ） ?→?BA ＝?→?BC （D ） ?→?BC ＝?→ ?AC 2 1 3．已知ABCDEF 是正六边形，且?→?AB ＝→a ，?→?AE ＝→b ，则?→ ?BC ＝（ ） （A ） )(2 1→→-b a （B ） )(2 1 →→-a b （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） )(2 1→ →+b a 4．设→a ，→b 为不共线向量，?→?AB ＝→a +2→b ,?→?BC ＝－4→a －→b ,?→ ?CD ＝ －5→ a －3→ b ,则下列关系式中正确的是 （ ） （A ）?→?AD ＝?→?BC （B ）?→?AD ＝2?→ ?BC （C ）?→?AD ＝－?→ ?BC （D ）?→?AD ＝－2?→ ?BC 5．将图形F 按→ a ＝（h,k ）（其中h>0,k>0）平移，就是将图形F （ ） （A ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （B ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （C ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 （D ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6．已知→a ＝（)1,2 1，→ b ＝(), 2 22 3- ，下列各式正确的是（ ） （A ） 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a （B ） →a ·→b ＝1 （C ） →a ＝→b （D ） →a 与→b 平行 7．设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量，且k → 1e ＋→ 2e 与→ 1e ＋k → 2e 共线，则k 的值是（ ） （A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，?→?AB ＝?→?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） （A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形 9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且?→ ?PN ＝－2?→ ?PM ，则P 点的坐标为（ ） （A ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4）
九、平面向量 一、选择题 1.（四川理4）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++u u u r u u u r u u u r = A ．0 B ．BE u u u r C ．AD u u u r D ．CF uuu r 【答案】D 【解析】BA CD EF BA AF EF BF EF C E E F CF ++=++=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2.（山东理12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=u u u u v u u u u v （λ∈R ），1412A A A A μ=u u u u v u u u u v （μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ， B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段A B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ， D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D 3.（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:||1[0,)3p a b πθ+>?∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>?∈ 13:||1[0,)3p a b πθ->?∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->?∈ 其中真命题是 （A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p 【答案】A 4.（全国大纲理12）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b g =12- ，,a c b c --=060，则c 的最大值等于 A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A 5.（辽宁理10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=?b a ，0)()(≤-?-c b c a ，则||c b a -+的 最大值为 （A ）12- （B ）1 （C ）2 （D ）2 【答案】B 6.（湖北理8）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式 1x y +≤， 则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D ．[-3，3] 【答案】D 7.（广东理3）若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ?+= A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】D
平面向量练习题 一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( ) A 、21 a +23b B 、21a 23 b C 、23a 2 1 b D 、2 3 a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB 共线的单位向量是 （ ） A 、)10 10 ,10103( e B 、)10 10 ,10103()1010,10103( 或e C 、)2,6( e D 、)2,6()2,6(或 e 3、已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1( 与垂直时k 值为 （ ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量OP =(2，1)，OA =(1，7)，OB =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA 的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1( n m 分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ） A 、 －1 ，2 B 、 －2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1 6、若向量a =(cos ,sin )，b =(cos ,sin )，则a 与b 一定满足 （ ） A 、a 与b 的夹角等于 － B 、(a ＋b )⊥(a －b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i OP sin 3cos 3 ，i OQ ),2 ,0( 。若用来表示OP 与OQ 的夹角，则等于 （ ） A 、 B 、 2 C 、 2 D 、 8、设 20 ，已知两个向量 sin ,cos 1 OP ， cos 2,sin 22 OP ，则向量21P P 长度的最大值是（ ） A 、2 B 、3 C 、23 D 、 二、填空题 9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使BP AP 取得最小值的点P 的坐标
20高考数学平面向量 的解题技巧 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题． 【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.
(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0, 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =______.（用a b 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，12 AM a b =+，所 以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+. 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 21-- （C ） BA BC 21- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a =71,,22b ? ?= ??? ? ? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ???- ??53,54 (B) ???- ??53,54或?? ? ??-53,54 （C ）???- ??31,322 （D ）???- ??31,322或??? ? ?-31,322 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问 题. 解：设所求平面向量为,c 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????4或-时5