一、多选题1．题目文件丢失！
2．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是
（ ）
A ．()
0a b c -?= B ．()
0a b c a +-?= C ．()0a c b a --?=
D ．2a b c ++=
3．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
cos cos A b
B a
=，则该三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形
4．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）
A ．()
a c
b
c a b c ?-?=-? B ．()
()
b c a c a b ??-??与c 不垂直 C ．a b a b -<-
D ．(
)()
22
323294a b a b a b +?-=-
5．在△ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 上的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有（ ）
A ．1122
AE AB AC →
→→
=+
B ．2AB EF →→
=
C ．1133
CP CA CB →→→
=+
D ．2233
CP CA CB →
→→
=+
6．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（ ） A ．BD AD AB -= B ．1
()2
AD AB AC =
+ C ．8BA BC ?=
D ．AB AC AB AC +=-
7．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（ ）
A ．
B ．
23
C ．23
-
D 8．下列命题中，结论正确的有（ ） A ．00a ?=
B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-
C ．若//AB C
D ，则A ?B ?C ?D 四点共线；
D ．在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，0AC BD ?=，则四边形ABCD 为菱形. 9．给出下列命题正确的是（ ） A ．一个向量在另一个向量上的投影是向量 B ．a b a b a +=+?与b 方向相同 C ．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同
D ．若向量AB 与向量CD 是共线向量，则点,,,A B C D 必在同一直线上 10．有下列说法，其中错误的说法为（ ）． A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c
B ．若PA PB PB P
C PC PA ?=?=?，则P 是三角形ABC 的垂心 C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向
D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ使得a b λ=
11．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa b
B ．若a b ⊥，则a b a b +=-
C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为a
D ．若存在实数λ使得λa
b ，则a b a b +=-
12．已知实数m ，n 和向量a ，b ，下列说法中正确的是（ ） A ．()
m a b ma mb -=- B ．()m n a ma na -=-
C ．若ma mb =，则a b =
D ．若()0ma na a =≠，则m n =
13．设,a b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ使得a b λ= B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-
C ．若||||||a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影为||b
D ．若存在实数λ使得a b λ=，则||||||a b a b +=-
14．如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( ) A ．12(,),e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量
B ．对于平面α内任一向量a ,使12,a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个
C ．若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使得
()11122122e e e e λμλλμ+=+
D ．若存在实数,λμ使得120e e λμ+=,则0λμ== 15．下列命题中正确的是( )
A ．对于实数m 和向量,a b ,恒有()m a b ma mb -=-
B ．对于实数,m n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-
C ．若()ma mb m =∈R ,则有a b =
D ．若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =
二、平面向量及其应用选择题
16．设(),1A a ，()2,1B -，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在
OC 方向上的投影相同，则a =（ ）
A ．12
-
B ．
12
C ．-2
D ．2
17．若△ABC 中，2
sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（ ） A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
18．在ABC ?中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若
sin cos sin a b c
A B B
===ABC ?的面积为（ ）
A ．2
B ．4
C
D ．19．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，过C 作直线CD 与边
AB 相交于点D ，90C ∠=?，1CD =.当直线CD AB ⊥时，+a b 值为M ；当D 为边
AB 的中点时，+a b 值为N .当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大
的数），则m 的最小值为（ ）
A ．M
B ．N
C ．
D ．1
20．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为
S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（ ）
A ．43
-
B ．34
-
C ．
34
D ．
43
21．在△ABC 中，M 为BC 上一点，60,2,||4ACB BM MC AM ∠=?==，则△ABC 的面积的最大值为（ ）
A ．
B ．
C ．12
D ．22．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．
1
()2
a b + B ．
1
()2
a b - C ．
1
2
a b + D ．12
a b +
23．已知1a =，3b =，且向量a 与b 的夹角为60?，则2a b -=（ ）
A
B ．3
C 11
D 19
24．O 为ABC ?内一点内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知
0a OA b OB c OC ?+?+?=，且tan tan tan 0A OA B OB C OC ?+?+?=，若3a =，则
边BC 所对的ABC ?外接圆的劣弧长为（ ） A ．
23
π B ．
43
π C ．
6
π D ．
3
π 25．已知向量()
2
2cos ,3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =?，则下列关于函数
()y f x =的性质的描述正确的是( )
A ．关于直线12
x π
=对称
B ．关于点5,012π??
???
对称 C ．周期为2π
D ．()y f x =在,03π??
-
???
上是增函数 26．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别是,.a b c ，若cos 2a
B c
=，则ABC ?一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
27．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF =
（ ）
A ．13
24
AB AD -+ B ．12
23AB AD + C ．
11
32
AB AD - D ．
13
24
AB AD - 28．ABC ?中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ?一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形
29．已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝3
π
，点P 满足AP ＝λAB ，λ∈R ，若BD ·CP ＝－3，则λ的值为( ) A ．
12
B ．－
12
C ．
13
D ．－
13
30．在ABC ?中，2,2,120,,AC AB BAC AE AB AF AC λμ==∠===，M 为线段EF 的中点，若1AM =，则λμ+的最大值为（ ）
A ．
73
B ．
27
3
C ．2
D ．
21 31．已知ABC ?的内角A 、B 、C 满足()()1sin 2sin sin 2
A A
B
C C A B +-+=--+
，面积S 满足12S ≤≤，记a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()8bc b c +> B ．()162ab a b +> C ．612abc ≤≤
D ．1224abc ≤≤
32．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2c A a C c +=且
a b =，则cos B 等于（ ）
A ．
15 B ．
14
C ．
3 D ．
3 33．在ABC 中，AB AC BA BC CA CB →
→
→
→
→
→
?=?=?，则ABC 的形状为（ ）． A ．钝角三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形
D ．不确定
34．已知ABC 中，1,3,30a b A ?===，则B 等于（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．30°或150°
D ．60°或120°
35．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且
2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（ ）
A ．
34
B ．
58
C ．38
D ．
23
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一、多选题 1．无 2．ABC 【分析】
作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判
断D 选项的正误. 【详解 解析：ABC 【分析】
作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】 如下图所示：
对于A 选项，四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，
a b AB BC AB AD DB -=-=-=，()
0a b c DB AC ∴-?=?=，A 选项正确；
对于B 选项，0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=，则()
00a b c a a +-?=?=，B 选项正确；
对于C 选项，a c AB AC CB -=-=，则0a c b CB BC --=-=，则
()0a c b a --?=，C 选项正确；
对于D 选项，2a b c c ++=，222a b c c ∴++==，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.
3．D 【分析】
在中，根据，利用正弦定理得，然后变形为求解. 【详解】 在中，因为， 由正弦定理得， 所以，即， 所以或， 解得或.
故是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】 本题主要考查
解析：D 【分析】 在ABC 中，根据
cos cos A b B a =，利用正弦定理得cos sin cos sin A B
B A
=，然后变形为sin 2sin 2A B =求解.
【详解】
在ABC 中，因为
cos cos A b
B a =， 由正弦定理得cos sin cos sin A B
B A
=， 所以sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-，
解得A B =或2
A B π
+=.
故ABC 是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】
本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
4．ACD 【分析】
A ，由平面向量数量积的运算律可判断；
B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；
C ，由与不共线，可分两类考虑：①若，则显然成立；②若，由、、构成三角形的三边可进行判断；
D ，由平
解析：ACD 【分析】
A ，由平面向量数量积的运算律可判断；
B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；
C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；
D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解. 【详解】
选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确； 选项B ，
()()()()()()()()
0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ????-???=???-???=???-???=??
， ∴()()b c a c a b ??-??与c 垂直，即B 错误；
选项C ，∵a 与b 不共线，
∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；
若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：
由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；
选项D ，()()
22
223232966494a b a b a a b a b b a b +?-=-?+?-=-，即D 正确. 故选：ACD 【点睛】
本小题主要考查向量运算，属于中档题.
5．AC 【分析】
由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】 如图：
根据三角形中线性质和平行四边形法则知， , A 是正确的；
因为EF 是中位线，所以B 是正确的； 根据三角形重心
解析：AC 【分析】
由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】 如图：
根据三角形中线性质和平行四边形法则知，
111()()222AE AB BE AB BC AB AC AB AC AB →
→
→
→
→→→→→
→=+=+=+-=+, A 是正确的；
因为EF 是中位线，所以B 是正确的；
根据三角形重心性质知，CP =2PG ，所以22113323CP CG CA CB CA CB →
→→→→→????
==?+=+ ? ?????
，
所以C 是正确的，D 错误. 故选：AC 【点睛】
本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，熟记一些基本结论是求解问题的关键，属于中档题.
6．BC 【分析】
根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】
对于A 选项：，故A 错；
对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，，故B 正确； 对于C 选项：，故正确； 对于D 选项：，而，故
解析：BC 【分析】
根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】
对于A 选项：BD AD BD DA BA -=+=，故A 错； 对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，
()
111
++++()222
AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+，故B 正确；
对于C 选项：cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA
?=??∠=??
=?=，故正确；
对于D 选项：2,AB AC AD AB AC CB +=-=，而2AD CB ≠，故D 不正确. 故选：BC.
【点睛】
本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.
7．AD 【分析】
利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值. 【详解】
由正弦定理，可得， ，则，所以，为锐角或钝角. 因此，. 故选：AD. 【点睛】
本题考查利用正弦定理与同
解析：AD 【分析】
利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值. 【详解】
由正弦定理sin sin b a B A
=，可得1
20sin 22sin 153
b A B a ?
===， b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角.
因此，cos B ==. 故选：AD. 【点睛】
本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.
8．BD 【分析】
根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得； 【详解】
解：对于A ，，故A 错误；
对于B ，若，则，所以，，故，即B 正确； 对于C ，，则或与共线，故C 错误； 对于D ，在四边形中，若
解析：BD 【分析】
根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得； 【详解】
解：对于A ，00a ?=，故A 错误；
对于B ，若a b ⊥，则0a b ?=，所以2222
||2a b a b a b a b +=++?=+，
2222
||2a b a b a b a b -=+-?=+，故||||a b a b +=-，即B 正确；
对于C ，//AB CD ，则//AB CD 或AB 与CD 共线，故C 错误；
对于D ，在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，即AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形，又0AC BD ?=，所以AC BD ⊥，所以四边形ABCD 是菱形，故D 正确； 故选：BD 【点睛】
本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用，属于基础题.
9．C 【分析】
对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量； 对B ，两边平方化简；
对C ，根据向量相等的定义判断； 对D ，根据向量共线的定义判断. 【详解】
A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A
解析：C 【分析】
对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量； 对B ，两边平方化简a b a b +=+； 对C ，根据向量相等的定义判断； 对D ，根据向量共线的定义判断. 【详解】
A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A 错误；
B 中，由a b a b +=+，得2||||2a b a b ?=?，得||||(1cos )0a b θ?-=， 则||0a =或||0b =或cos 1θ=，当两个向量一个为零向量，一个为非零向量时，a 与b 方向不一定相同，B 错误；
C 中，根据向量相等的定义，且有共同起点可得，其终点必定相同，C 正确；
D 中，由共线向量的定义可知点,,,A B C D 不一定在同一直线上，D 错误. 故选：C 【点睛】
本题考查了对向量共线，向量相等，向量的投影等概念的理解，属于容易题.
10．AD 【分析】
分别对所给选项进行逐一判断即可.
【详解】
对于选项A ，当时，与不一定共线，故A 错误； 对于选项B ，由，得，所以，，
同理，，故是三角形的垂心，所以B 正确； 对于选项C ，两个非零向量
解析：AD 【分析】
分别对所给选项进行逐一判断即可. 【详解】
对于选项A ，当0b =时，a 与c 不一定共线，故A 错误；
对于选项B ，由PA PB PB PC ?=?，得0PB CA ?=，所以PB CA ⊥，PB CA ⊥， 同理PA CB ⊥，PC BA ⊥，故P 是三角形ABC 的垂心，所以B 正确；
对于选项C ，两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向，故C 正确；
对于选项D ，当0b =，0a ≠时，显然有a ∥b ，但此时λ不存在，故D 错误. 故选：AD 【点睛】
本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.
11．AB 【分析】
根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】
当时，则、方向相反且，则存在负实数
解析：AB 【分析】
根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】
当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A
选项正确，D 选项错误；
若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对
角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB. 【点睛】
本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.
12．ABD 【分析】
根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性. 【详解】
根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当时，，但与不一定相等，
解析：ABD 【分析】
根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过m 的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性. 【详解】
根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当0m =时，0ma mb ==，但a 与b 不一定相等，故C 不正确；D 中，由ma na =，得()0m n a -=，因为0a ≠，所以m n =，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】
本小题主要考查向量数乘运算，属于基础题.
13．AB 【分析】
若，则反向，从而； 若，则，从而可得；
若，则同向，在方向上的投影为
若存在实数使得，则共线，但是不一定成立. 【详解】
对于选项A ，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得； 对于选
解析：AB 【分析】
若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，从而a b λ=； 若a b ⊥，则0a b ?=，从而可得||||a b a b +=-；
若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a
若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 【详解】
对于选项A ，若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，由共线定理可得存在实数λ使得
a b λ=；
对于选项B ，若a b ⊥，则0a b ?=，
222222||2,||2a b a a b b a b a a b b +=+?+-=-?+,可得||||a b a b +=-；
对于选项C ，若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a ;
对于选项D ，若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 故选：AB. 【点睛】
本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.
14．AD 【分析】
根据平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为时，有无数个,故不正确. 【详解】
由平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的. 对于B,由平面向量基本
解析：AD 【分析】
根据平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为
0时，λ有无数个,故不正确.
【详解】
由平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的.
对于B ,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定, 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所以不正确； 对于C ,当两向量的系数均为零,即12120λλμμ====时, 这样的λ有无数个，所以不正确. 故选:AD . 【点睛】
本题考查平面向量基本定理的辨析，熟记并理解定理内容是关键，解题中要注意特殊值的应用，属于基础题.
15．ABD 【详解】
解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正
确．
对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确． 对于：若，当 时，无法得到，故不正确． 对
解析：ABD 【详解】
解：对于A ：对于实数m 和向量a 、b ，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：
()m a b ma mb -=-，故A 正确．
对于B ：对于实数m ，n 和向量a ，根据向量的数乘运算律，恒有()m n a ma na -=-，故 B 正确．
对于C ：若()ma mb m =∈R ，当 0m =时，无法得到a b =，故C 不正确． 对于D ：若(,,0)ma na m n a =∈≠R ，则m n =成立，故D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】
本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况．
二、平面向量及其应用选择题
16．A 【分析】
根据平面向量的投影的概念，结合向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解. 【详解】
由题意，点(),1A a ，()2,1B -，()4,5C ， O 为坐标原点， 根据OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则
OA OC OB OC OC
OC
??=
,
即OA OC OB OC ?=?，可得4152415a +?=?-?，解得12
a =-. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的定义，其中解答中熟记向量投影的定义，以及向量的数量积的运算公式，列出方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 17．A 【分析】
已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sin C 不为0得到sin()sin A B C -=，再利用两角和与差的正弦函数公式化简.
【详解】
ABC ?中，sin()sin A B C +=，
∴已知等式变形得：2sin sin()sin C A B C -=，即sin()sin sin()A B C A B -==+，
整理得：sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，即2cos sin 0A B =，
cos 0A ∴=或sin 0B =（不合题意，舍去），
0A π<<
90A ∴=?，
则此三角形形状为直角三角形． 故选：A 【点睛】
此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题． 18．A 【分析】
首先由条件和正弦定理判断ABC 是等腰直角三角形，由三角形的性质可知直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点，所以由ABC 外接圆的半径可求得三角形的边长，再求面积. 【详解】 由正弦定理可知2sin sin sin a b c
r A B C
===
已知
sin cos sin a b c
A B B
===sin cos B B =和sin sin C B =， 所以45B =，45C =，所以ABC 是等腰直角三角形，
由条件可知ABC ，即等腰直角三角形的斜边长为
所以1
22
ABC
S
=?=. 故选：A 【点睛】
本题考查正弦定理判断三角形形状，重点考查直角三角形和外接圆的性质，属于基础题型. 19．C 【分析】
当直线CD AB ⊥时，由直角三角形的勾股定理和等面积法，可得出222+=a b c ，
1ab c =?，再由基本不等式可得出2c ≥，从而得出M 的范围.当D 为边AB 的中点时，
由直角三角形的斜边上的中线为斜边的一半和勾股定理可得2c =，2224a b c +==，由基本不等式可得出2ab ≤，从而得出N 的范围，可得选项. 【详解】
当直线CD AB ⊥时，因为90C ∠=?，1CD =，所以222+=a b c ，由等面积法得
1ab c =?，
因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即()2
2>0c c c ≥，所以2c ≥，
所以
+M a b ==
=≥（当且仅当a b =时，取等号），
当D 为边AB 的中点时，因为90C ∠=?，1CD =，所以2c =，2224a b c +==， 因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即42ab ≥，所以2ab ≤，
所以
+N a b ==
=≤（当且仅当a b =时，取等号），
当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N
中较大的数），则m 的最小值为（此时，a b =）； 故选：C. 【点睛】
本题考查解直角三角形中的边的关系和基本不等式的应用，以及考查对新定义的理解，属于中档题. 20．A 【分析】
由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan
2
C
，从而求得tan C ． 【详解】
∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即2221
2sin 22
ab C a b ab c ??=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ?-=+-，
又222sin 2sin cos 1222
a b c ab C ab C
C ab ab +-?-===-，∴sin cos 12C C +=
， 即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴2
22tan
2242tan 1231tan 2
C
C C ?===---， 故选：A ． 【点睛】
本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力． 21．A 【分析】
由已知条件，令||AC a =，||BC b =，则在△ACM 中结合余弦定理可知48ab ≤，根据三角形面积公式即可求最大值 【详解】
由题意，可得如下示意图
令||AC a =，||BC b =，又2BM MC =，即有1||||33
b CM CB =
= ∴由余弦定理知：222||||||2||||cos AM CA CM CA CM ACB =+-∠
2221216()332333
a a
b ab ab ab
b =+-?≥-=，当且仅当3a b =时等号成立
∴有48ab ≤
∴113sin 4812322ABC S ab C ?=≤?=故选：A 【点睛】
本题考查了正余弦定理，利用向量的知识判断线段的长度及比例关系，再由余弦定理并应用基本不等式求三角形两边之积的范围，进而结合三角形面积公式求最值 22．D 【分析】
根据向量的加法的几何意义即可求得结果. 【详解】
在ABC ?中，M 是BC 的中点， 又,AB a BC b ==， 所以11
22
AM AB BM AB BC a b =+=+=+， 故选D. 【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目. 23．A 【分析】
根据向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式，准确运算，即可求解. 【详解】
因为1a =，3b =，a 与b 的夹角为60?，
所以2
2
2
4424697a a b b a b =-?+=-+=-，则27a b -=.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的模的求解，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 24．A 【分析】 根据题意得出
tan tan tan A B C
a b c
==，利用正弦定理边化角思想和切化弦思想得出A B C ==，从而可得知ABC ?为等边三角形，进而可求得BC 所对的ABC ?外接圆的劣弧
长. 【详解】
0a OA b OB c OC ?+?+?=，a b
OC OA OB c c
∴=--，
同理可得tan tan tan tan A B OC OA OB C C =--，tan tan tan tan a A c C
b B
c C ?-=-??∴??-=-??，
tan tan tan A B C
a b c
∴
==， 由正弦定理得
tan tan tan sin sin sin A B C A B C ==，所以，111
cos cos cos A B C
==， cos cos cos A B C ∴==，
由于余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，所以，3
A B C π
===
， 设ABC ?的外接圆半径为R
，则22
sin a
R A
=
==，1R ∴=， 所以，边BC 所对的ABC ?外接圆的劣弧长为222133
R A ππ?=?=. 故选：A. 【点睛】
本题考查弧长的计算，涉及正弦定理边角互化思想、切化弦思想以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 25．D 【详解】
(
)22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++，当12
x π
=
时,sin(2)sin
16
3
x π
π
+
=≠±,∴f (x )不关于直线12
x π
=
对称；
当512x π=
时,2sin(2)116x π
++= ,∴f (x )关于点5(
,1)12
π对称； f (x )得周期22
T π
π=
=， 当(,0)3
x π
∈-
时,2(,)6
26x π
ππ
+
∈-
,∴f (x )在(,0)3
π
-上是增函数．
本题选择D 选项. 26．A 【分析】
利用余弦定理化角为边，得出c b ABC =， 是等腰三角形． 【详解】
ABC ?中，c cos 2a B c =，由余弦定理得，222
2a c b cosB ac
+-=
， ∴222
22a a c b c ac +-= 220c b ∴-= ，
∴c b ABC =，是等腰三角形． 【点睛】
本题考查余弦定理的应用问题，是基础题． 27．D 【分析】
利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：
DF AF AD =-，1=
2AF AE ，=AE AB BE +，1
=2
BE BC ，=BC AD ，即可得出答案. 【详解】
利用向量的三角形法则，可得DF AF AD =-，=AE AB BE +，
E 为BC 的中点，
F 为AE 的中点，则1=2AF AE ，1
=2
BE BC 1111
=
=()=+2224
DF AF AD AE AD AB BE AD AB BC AD ∴=--+-- 又
=BC AD
13
24
DF AB AD ∴=
-. 故选D.
【点睛】
本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力. 向量的运算有两种方法：
一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：