2018年高考理科数学平面向量100题（含答案解析）
1.
平面向量a 与b 的夹角为120?，(2,0)a =，||1b =，则|2|a b +=（ ）． A ．4
B ．3
C ．2
D 2.
设1e ，2e 为单位向量，满足121
2
?=e e ，非零向量112212,,λλλλ=+∈R a e e ，则1||||λa 的最大
值为（ ）
A.
1
2
C.1 3.
已知平面向量a ， b 夹角为3π，且1a =， 1
2
b =，则2a b +与b 的夹角是( ) A. 6π B. 56π C. 4π D. 34
π
4.
在平面直角坐标系xOy 中，已知(0,0)O ，(0,1)A ，B ，则OA OB ?的值为（ ）．
A ．1
B 1
C
D 1
5.
已知Rt △ABC ，两直角边AB=1，AC=2，D 是△ABC 内一点，且∠DAB=60°，设
AD =λAB +μAC （λ，μ∈R ），则
μ
λ
=（ ） A ．3
3
2 B ．
3
3 C ．3
D ．23
6.
已知和
，若，则||=（ ）
A ．5
B ．8
C ．
D ．64
7.
在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F 是线段DC 上的点．若DC=3DF ，设=，
=，则=（ ）
A ． +
B ． +
C ． +
D ． +
8.
已知||=3，||=5，且+λ与﹣λ垂直，则λ等于（ ）
A ．
B ．±
C ．±
D ．±
9.
已知向量(e x ，e －
x )，=(2，a)，函数f(x)= ·
是奇函数，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．﹣2
10.
已知向量，满足||=1，||=(3，1)，·
=1，则与的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．4
π
D ．32π
11.
已知
、
是夹角为
的单位向量，若=
+3
， =2
﹣
，则向量在方向上
的投影为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12.
设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
13.
设x ，y ∈R ，向量=（x ，1），=（1，y ），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（ ）
A ．2
B ．
C ．3
D ．
14.
已知向量a ，b 满足a +2b =0，（ a +b ）·
a =2，则a ·
b =（ ） A ．﹣2
1
B ．
2
1
C ．﹣2
D ．2 15.
如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD=3
π
，AB=2，AD=1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足
λ==DC
NC
BC BM ，其中λ∈[0，1]，则AN AM ?的取值范围是（ ）
A ．[0，3]
B ．[1，4]
C ．[2，5]
D ．[1，7]
16.
在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA |=|DB |=|DC |，DA ?DB =DB ?DC =DC ?DA =﹣2，动点P ，M 满足||=1，=，则|BM |2的最大值是（ ） A ．443 B ．4
49
C ．43637+
D ．433237+
17.
如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若
=λ
+μ
，则λ+μ的值为（ ）
A ．
B ．
C ．1
D ．﹣1
18.
如图，已知ABCDEF 是边长为1的正六边形，则的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
19.
已知向量
和
，若，则=（ ）
A ．64
B ．8
C ．5
D ．
20.
如图，在△OMN 中，A ，B 分别是OM ，ON 的中点，若=x +y （x ，y ∈R ），且点P 落
在四边形ABNM 内（含边界），则
的取值范围是（ ）
A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]
21.
已知双曲线x2﹣=1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则?
最小值为（）
A．﹣2 B．﹣C．1 D．0
22.
在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB，AD的长分别为2，1，若M，N分别是边BC，CD
上的点，且满足=，则?的取值范围是（）
A．[1，4] B．[2，5] C．[2，4] D．[1，5]
23.
若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足，则的值为（）
A．2 B．C． D．﹣2
24.
已知平面向量，满足（）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角的正切值为（）
A．B． C．﹣D．﹣
25.
已知M是△ABC内的一点，且?=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MAB、△MCA的面积
分别为，x，y，则+的最小值是（）
A．9 B．16 C．18 D．20
26.
已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则?（+）的最小值是（）
A ．﹣2
B ．﹣
C ．﹣
D ．﹣1
27.
设a ，b 是两个非零向量（ ）． A ．若||||||a b a b +=-，则a b ⊥
B ．若a b ⊥，则||||||a b a b +=-
C ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ，使得a b λ=
D ．若存在实数λ，使得a b λ=，则||||||a b a b +=-
28.
若非零平面向量a ，b 满足a b a b +=-，则（ ）． A ．a b = B ．a b =
C ．a b ∥
D ．a b ⊥
29.
如图，在矩形ABCD 中，AB=1，BC=2，E 为BC 的中点，点F 在DC 边上，则的最大值
为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．与F 点的位置有关 30.
已知向量=（﹣1，2），=（2，﹣4）．若与（ ） A ．垂直
B ．不垂直也不平行
C ．平行且同向
D ．平行且反向 31.
O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若
，则△ABC 是（ ）
A ．以A
B 为底边的等腰三角形 B ．以B
C 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形
D ．以BC 为斜边的直角三角形 32.
已知菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，=3，则的值为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
33.
已知平面向量=（2cos2x，sin2x），=（cos2x，﹣2sin2x），若函数f（x）=?，要得到
y=sin2x+cos2x的图象，只需要将函数y=f（x）的图象（）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
34.
已知向量=（1，﹣3），=（2，1），若（k+）∥（﹣2），则实数k的取值为（）
A．﹣B．C．﹣2 D．2
35.
设M为△ABC内一点，且，则△ABM与△ABC的面积之比为（）
A．B．C．D．
36.
O为△ABC内一点，且2++=， =t，若B，O，D三点共线，则t的值为（）
A．B．C．D．
37.
在△ABC所在的平面内，点P0、P满足=，，且对于任意实数λ，恒有
，则（）
A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AC=BC D．AB=AC
38.
直角△ABC的三个顶点都在单位圆x2+y2=1上，点M（，）．则||最大值是（）
A．B．C．D．
39.
若函数y=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是这段图象的最高点和最低点，且
?
=0，则A?ω=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
40.
若|+|=|﹣|=2||，则向量+与的夹角为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
41.
设a ，b 是平面上的两个单位向量，a ?b =5
3
．若m ∈R ，则|a +m b |的最小值是（ ） A ．43 B ．34 C ．54 D ．4
5 42.
已知向量i 与j 不共线，且AB i m j =+，AD ni j =+，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应该满足的条件是（ ） A ．1mn = B ．1mn =-
C ．1
m n += D ．1m n +=-
43.
已知向量)2,1(=，)2,(-=x ，且b a ⊥=（ ） A ．5 B ．5 C ．24 D ．31
44.
过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C
，若
，，则抛物线
的方程为 ． 45.
在△ABC 中，∠A=90°，AB=2，AC=4，E ，F 分别为AB ，BC
的中点，则= ．
46.
向量（3，4）在向量（1，2）上的投影为 ． 47.
已知向量,a b 的夹角为π
4
，=a
，+a b =b ___________． 48.
已知向量a ，b 满足||||1a b ==且34,55a b ??
+=- ???
，则a 与b 的夹角为__________．
49.
已知平面量(2,1)a =，(1,3)b =-，若向量()a a b λ+⊥，则实数λ的值是__________． 50.
如图，线段2AB =，点A ，B 分别在x 轴和y 轴的非负半轴上运动，以AB 为一边，在第一象限内作矩形ABCD ，1BC =．设O 为原点，则OC OD ?的取值范围是__________．
51.
ABC △的外接圆圆心为O ，且3450OA OB OC ++=，则C ∠等于__________．
52.
在ABC △中，点M 为边AB 的中点，若OP OM ∥，且(0)OP xOA yOB x =+≠，则
y
x =__________． 53.
已知点P 在圆221x y +=上，点A 的坐标为(2,0)-，O 为原点，则AO AP ?的最大值为
__________． 54.
在三角形ABC 中，D 为BC 边上中点，AB AC AD λ+=，则λ=__________． 55.
已知平面向量(3,1)a =，(,3)b x =，且a b ⊥，则实数x 的值为__________． 56.
如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、
N ，若
，
，则m+n 的取值范围为 ．
57.
已知向量=（2m ，3），=（m ﹣1，1），若，共线，则实数m 的值为 ． 58.
已知O 是△ABC 内一点，且5OA +6OB +10OC =0，则BOC
AOB
S S ??= ． 59.
有以下4个条件：①=；②||=||；③与的方向相反；④与都是单位向量．其中a ∥b 的充分不必要条件有 ．（填正确的序号）． 60.
已知单位向量、
的夹角为60°，则|2
+3
|= ．
61.
已知向量=（1，2），=（λ，﹣1），若⊥，则|+|= ． 62.
在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D 是BC 的中点，那么（﹣
）?
= ；若
E 是AB 的中点，P 是△ABC （包括边界）内任一点．则的取值范围是 ．
63.
已知向量=(2，1)，=(1，－1)，若－与m +垂直，则m 的值为 ． 64.
已知非零向量，满足||=||=|+|，则与2－夹角的余弦值为 ． 65.
已知平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，且|a|=|b|=1，|c|=3，则|a+b+c| ．
66.
已知两个单位向量a，b满足|a+2b|=3，则a，b的夹角为．
67.
AB?=．
设菱形ABCD的对角线AC的长为4，则AC
68.
设向量=(2，3)，=(3，3)，=(7，8)，若=x+y(x，y∈R)，则x+y=．
69.
如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC=λ+μBN，则λ+μ=．
70.
已知正方形ABCD边长为2，E为AB边上一点，则ED?EC的最小值为．
71.
已知向量与的夹角为120°，且||=3，||=2．若=λ+，且⊥，则实数λ= ．
72.
已知向量、满足||=5，||=3，?=﹣3，则在的方向上的投影是．
73.
在直径AB=4的圆上有长度为2的动弦CD，则的最大值为．
74.
已知向量满足，与的夹角为，则= ．75.
已知向量与的夹角为120°，且，，则= ．
76.
已知非零向量的交角为600，且，则的取值范围为．
77.
如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且2
=，
DE AE
2CF BF =．如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得
PE PF λ?=成立．那么λ的取值范围是__________．
F
E
B
78. 设π
02
θ<<，向量(sin 2,cos )a θθ=，(1,cos )b θ=-，若0a b ?=，则tan θ=__________． 79.
已知向量(1,)a k =，(2,1)b =，若a 与b 的夹角大小为90?，则实数k 的值为__________． 80.
已知两向量
与满足
||=4，
||=2
，且（
+2
）?（
+）=12
，则
与的夹角为 ． 81.
已知向量
=
（，1
），=（0，﹣1
），=
（
，k
），若﹣
2 与
垂直，则
k= ． 82.
在△ABC 中，BC=2，AC=，AB=
+1．设△ABC 的外心为O ，若
=m
+n
，则
m+n= ． 83.
已知向量，的夹角为45°，||=，||=3，则|2﹣|= ．
84.
已知非零向量满足
|
+
|=|
﹣
|=3||，则cos
＜
，
﹣＞= ．
85.
等腰△ABC 中，底边
BC=2，
|
﹣
t
|
的最小值为
|
|，则△ABC 的面积为 ．
86.
已知向量=（m ，3
），=（1，2
），且
∥
，则
?的值为 ． 87.
已知常数0m >，向量(0,1)a =，(,0)b m =经过点(,0)A m ，以a b λ+为方向向量的直线与经过点(,0)B m -，以4b a λ-为方向向量的直线交于点P ，其中λ∈R ．
（1）求点P的轨迹方程，并指出轨迹E．
（2）若点(1,0)
C，当m=M为轨迹E上任意一点，求||
MC的最小值．88.
已知向量(sin,2)
a x
=-，(1,cos)
b x
=互相垂直，其中
π
0,
2
x
??
∈ ?
??
．
（1）求sin x，cos x的值．
（2）若5cos()
xθθ
-=，
π
2
θ
<<，求cosθ的值．
89.
已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx），设函
数f（x）=?+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈
（，1）
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．
90.
在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知=（cosB，cosC），=
（2a+c，b）且⊥．
（1）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．
（2）y=sin2A+sin2C的取值范围．
91.
已知，其中A，B，C是△ABC的内角．
（1）当时，求的值；
（2）若，当取最大值是，求B的大小及BC边的长．
92.
已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），设函数f（x）=?，且y=f（x）的图象过
点（，）和点（，﹣2）．
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调
增区间． 93.
设向量=（sin2ωx ，cos2ωx ），=（cos φ，sin φ），其中|φ|＜，ω＞0，函数f
（x ）=
的图象在y 轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为
，
在原点右侧与x 轴的第一个交点为．
（Ⅰ）求函数f （x ）的表达式；
（Ⅱ）在△ABC 中，角A′B′C 的对边分别是a′b′c′若f （C ）=﹣1，，且
a+b=2，求边长c ．
94.
已知向量
，向量
，函数→
→→?+=m n m x f )()(．
（Ⅰ）求f （x ）单调递减区间；
（Ⅱ）已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，，c=4，且f
（A ）恰是f （x ）在上的最大值，求A ，b ，和△ABC 的面积S ．
95.
已知：A 、B 、C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其对边长，向量=（，cosA+1），=
（sinA ，﹣1），⊥ （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若，a=2，cosB=，求b 的长．
96.
△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cosA=．
（Ⅰ）求
?
；
（Ⅱ）若c ﹣b=1，求a 的值． 97.
如图，在平面四边形ABCD 中，32=?．
（1）若与的夹角为30°，求△ABC 的面积S △ABC ；
（2）若||=4，O 为AC 的中点，G 为△ABC 的重心（三条中线的交点），且与互为相反向量，求CD AD ?的值．
98.
已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，﹣），函数f（x）=（）?﹣2．（1）求函数f（x）的最小正周期T；
（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a=2，c=4，且f （A）=1，求A，b和△ABC的面积S．
99.
已知，其中向量（x∈R），
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f （A）=2，a=，b=，求边长c的值．
100.
△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=（a，c），n=（1﹣2cosA，
2cosC﹣1），m∥n
（Ⅰ）若b=5，求a+c值；
（Ⅱ）若，且角A是△ABC中最大内角，求角A的大小．
答案
1.C
∵a 与b 的夹角为120?，(2,0)a =，||1b =，
∴2221|2|||4||4||||cos1204442142a b a b a b ??
+=++??=++???-= ???
，
∴|2|2a b +=．故选C ． 2.D 3.A 4.B
解：=(0,1)OA ，1)OB =， ∴31OA OB ?=-． 故选B ． 5.A
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】建立平面直角坐标系，分别写出B 、C 点坐标，由于∠DAB=60°，设D 点坐标为
（m ，
），由平面向量坐标表示，可求出λ和μ．
【解答】解：如图以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴， 以AC 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系， 则B 点坐标为（1，0），C 点坐标为（0，2），
∠DAB=60°，设D 点坐标为（m ，
），
=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）
?λ=m ，μ=，
则
=
．
故选：A
6.A
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由题意可得x+2﹣2x=0，解方程可得x，即可求出||．
【解答】解：∵和，，
∴x+2﹣2x=0，
解得x=2，
∴||=|（5，0）|=5．
故选：A．
7.B
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性表示与运算性质，即可得出结论．
【解答】解：如图所示，
平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点，且DC=3DF，
∴==（﹣）=（﹣），
∴=﹣=+，
设=， =，
则=+=（+）+（﹣）=+=+．
故选：B．
8.B
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】由题意可得（+λ）?（﹣λ）=0，计算可得=0，代入数据解λ的方程可得．
【解答】解：∵+λ与﹣λ垂直，∴（+λ）?（﹣λ）=0，
∴=0，即=0，
代入数据可得32﹣λ2×52=0，
解得λ=±
故选：B
9.
D
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的数量积和奇函数的定义即可求出．
【解答】解：f（x）==2e x+ae﹣x，
∵f（x）为奇函数，且定义域为R，
∴f（0）=0，
即2+a=0，
解得a=﹣2，
故选：D
10.
B
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的夹角公式计算即可．
【解答】解：设与的夹角为θ，
∵||=1，||==2，
∴cosθ===，
∵0≤θ≤π，
∴θ=，
故选：B
11.B
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由条件即可求出，而根据即可求出的值，而
可得到在方向上的投影为，从而求出该投影的值．
【解答】解：根据条件：
=
=
=；
=
=
=；
∴在方向上的投影为：
=
=
=．
故选B．
12.A
【考点】平行向量与共线向量．
【分析】根据向量共线定理，可得若成立，则向量、共线且方向相反，对照各个选项并结合数乘向量的含义，可得本题答案．
【解答】解：由得，即，则向量共线且方向相反，
因此当向量共线且方向相反时，能使成立．
对照各个选项，可得B项中向量、的方向相同或相反；
C项中向量、的方向相同；D项中向量、的方向互相垂直．
只有A项能确定向量、共线且方向相反．
故选：A
【点评】本题给出非零向量、，求使成立的条件．着重考查了数乘向量的含义与向量共线定理等知识，属于中档题．
13.B
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由，便有，这样可以求出x，而由∥，便有﹣4﹣2y=0，这样可
求出y，从而得出向量的坐标，根据坐标即可得出其长度．
【解答】解：；
∴；
∴x=2；
∥；
∴1?（﹣4）﹣y?2=0；
∴y=﹣2；
∴；
∴．
故选：B．
【点评】考查非零向量垂直的充要条件，数量积、向量加法的坐标运算，以及平行向量的坐标关系，根据向量坐标求向量长度．
14.
C
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据平面向量的线性运算与数量积运算，即可求出的值．
【解答】解：向量，满足+2=，
即++=，
∴+=﹣，
又（）=2，
∴﹣?=2，
∴=﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算和数量积运算的问题，是基础题．
15.C
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．
【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（，）．
∵，λ∈[0，1]，
=+λ=+λ=M（2+，λ），
即M（2+，λ）；
==+（﹣λ）=（，）+（1﹣λ）?（2，0）=（﹣2λ，），
即 N（﹣2λ，）．
所以=（2+，λ）?（﹣2λ，）=﹣λ2﹣2λ+5=﹣（λ+1）2+6．
因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=﹣1，
故当λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]．
故选：C．
第四章平面向量 考试要求重难点击命题展望 1.平面向量的实际背景及基本概念 (1)了解向量的实际背景； (2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的 含义； (3)理解向量的几何表示. 2.向量的线性运算 (1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义； (2)掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义； (3)了解向量线性运算的性质及其几何意义. 3.平面向量的基本定理及其坐标表示 (1)了解平面向量的基本定理及其意义； (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； (3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 4.平面向量的数量积 (1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义； (2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系； (3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； (4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.向量的应用 (1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题； (2)会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题. 本章重点： 1.向量的各种运 算； 2.向量的坐标运 算及数形结合的思 想； 3.向量的数量积 在证明有关向量相 等、两向量垂直、投 影、夹角等问题中的 应用. 本章难点： 1.向量的直角坐 标运算在证明向量垂 直和平行问题中的应 用； 2.向量的夹角公 式和距离公式在求解 平面上两条直线的夹 角和两点间距离中的 应用. 向量是近代数学中重要和 基本的数学概念之一，它是沟 通代数、几何与三角函数的一 种工具，有着极其丰富的实际 背景，同时又是数形结合思想 运用的典范，正是由于向量既 具有几何形式又具有代数形式 的“双重身份”，所以它成为 中学数学知识的一个交汇点.在 高考中，不仅注重考查向量本 身的基础知识和方法，而且常 与解析几何、三角函数、数列 等一起进行综合考查. 在考试要求的层次上更加突出 向量的实际背景、几何意义、 运算功能和应用价值. 知识网络
考点1 平面向量的概念及其线性运算 1．平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹 角，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ． 1 D ．2 2． 在下列向量组中，能够把向量a ＝(3，2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2) B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3) 考点2 平面向量基本定理及向量坐标运算 3．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 D.152 4．设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________． 考点3 平面向量的数量积及应用 5．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝___． 6．设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝___． 7．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的 夹角为β，则cos β＝________． 8．若向量a ，b 满足：＝1，(a ＋b )⊥a ，(＋b )⊥b ，则|＝______． 9．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则＝______． 10．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6 时，△ABC 的面积为______． 考点4 单元综合 11．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足 |CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________． 练习： 1.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2 AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 .
绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．设1i 2i 1i z -= ++，则||z = A ．0 B ． 12 C ．1 D 2．已知集合{} 2 20A x x x =-->，则A =R e A ．{} 12x x -<< B ．{} 12x x -≤≤ C ．}{}{ |1|2x x x x <->U D ．}{}{ |1|2x x x x ≤-≥U 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u r A ．3144 AB AC -u u u r u u u r B ．1344 AB AC -u u u r u u u r C ．3144 AB AC +u u u r u u u r D ．1344 AB AC +u u u r u u u r 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．设抛物线C ：y 2 =4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?u u u u r u u u r = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 9．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ?≤=? >?，， ，， ()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞） 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直 角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则 A ．p 1=p 2 B ．p 1=p 3 C ．p 2=p 3 D ．p 1=p 2+p 3
第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.
(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ， 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时
2021年高考数学试题汇编平面向量 （北京4） 已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ， 那么（ Ａ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r （辽宁3） 若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且?? ??? g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ） A ．0 B ．π 6 C ．π3 D ．π2 （辽宁6） 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(12)， （宁夏，海南4） 已知平面向量(11) (11)==-，，，a b ，则向量1322 -=a b （ Ｄ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)， （福建4）
对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若22=a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c （湖北2） 将π2cos 3 6x y ??=+ ??? 的图象按向量π24 ?? =-- ??? ， a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ Ａ ） Ａ．π2cos 234x y ??=+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ?? =-+ ??? Ｃ．π2cos 2312x y ?? =-- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ?? =++ ??? （湖北文9） 设(43)=，a ，a 在b 上的投影为52 2 ，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ Ｂ ） A ．(214)， B ．227??- ?? ? ， C ．227? ?- ?? ? ， D ．(28)， （湖南4） 设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b （湖南文2） 若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r
高考数学平面向量专题卷（附答案） 一、单选题（共10题；共20分） 1.已知向量，则＝（） A. B. C. 4 D. 5 2.若向量，，若，则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量，，且，则＝（） A. B. C. D. 4.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为（） A. B. C. D. 5.在中，的中点为，的中点为，则（） A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线，且，，记与的夹角是，则最大时， （） A. B. C. D. 7.在中，，AD是BC边上的高，则等于（） A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知，则的取值范围是（） A. [0，1] B. C. [1，2] D. [0，2] 9.已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（） A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆：上的三点，，，斜率为负数的直线与轴交于，若原点是的重心，且与的面积之比为，则直线的斜率为（）
A. B. C. D. 二、填空题（共8题；共8分） 11.在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且 ，则点C的坐标是________． 12.已知单位圆上两点满足，点是单位圆上的动点，且，则 的取值范围为________． 13.已知正方形的边长为1，，，，则________. 14.在平面直角坐标系中，设是函数（）的图象上任意一点，过点向直线 和轴作垂线，垂足分别是，，则________． 15.已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为，半径为2，且满足，则 的最小值为________. 18.如图，在中，，点，分别为的中点，若，，则 ________. 三、解答题（共6题；共60分） 19.的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求的面积． 20.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
2018年高考理科全国三卷 一．选择题 1、已知集合,则( ) A. B. C. D. 2、( ) A. B. C. D. 3、中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构建的突出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头,若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) A. B. C. D. 4、若,则( ) A. B. C. D. 5、的展开方式中的系数为( ) A.10 B.20 C.40 D.80 6、直线分别与轴,轴交于两点,点在圆上,则 面积的取值范围是( ) A. B. C. D. 7、函数的图像大致为( )
A. B. C. D. 8、某群体中的每位成员使用移动支付的概率为,各成员的支付方式相互独立,设为该群体的为成员中使用移动支付的人数,,则( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 9、的内角的对边分别为,若的面积为则=( ) A. B. C. D. 10、设是同一个半径为的球的球面上四点,为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为( ) A. B. C. D. 11、设是双曲线的左,右焦点,是坐标原点,过作的一条逐渐近线的垂线,垂足为,若,则的离心率为( ) A. B.2 C. D. 12、设则( ) A. B. C. D. 13、已知向量,若,则 14、曲线在点处的切线的斜率为,则 15、函数在的零点个数为 16、已知点和抛物线,过的焦点且斜率为的直线与交于两点。若 ,则 三．解答题
17、等比数列中, 1.求的通项公式; 2.记为的前项和,若,求 18、某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式,为比较两种生产方式的效率,选取名工人,将他们随机分成两组,每组人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式,根据工人完成生产任务的工作时间(单位:)绘制了如下茎叶图: 1.根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由; 2.求名工人完成生产任务所需时间的中位数,并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表: 超过不超过 第一种生产方 式 第二种生产方 式 3.根据中的列联表,能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附: 19、如图,边长为的正方形所在的平面与半圆弧所在的平面垂直,是上异于的点
高考数学知识点总结：平面向量公式 定比分点 定比分点公式(向量P1P=λ?向量PP2) 设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数λ，使向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有 OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式) x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式) 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 三点共线定理 若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线 三角形重心判断式 在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心[编辑本段]向量共线的重要条件 若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。 a//b的重要条件是xy'-x'y=0。 零向量0平行于任何向量。 [编辑本段]向量垂直的充要条件 a⊥b的充要条件是a?b=0。 a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量. 设a=(x，y)，b=(x'，y')。 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a; 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y'). 4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且 ∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。 当λ0时，λa与a同方向; 当λ0时，λa与a反方向; 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
高考数学平面向量试题汇编 已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么 （ Ａ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r （辽宁3） 若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且?? ??? g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ） A ．0 B ． π6 C ． π3 D ． π2 （辽宁6） 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(12)， （宁夏，海南4） 已知平面向量(11) (11)==-，，，a b ，则向量13 22 -=a b （ Ｄ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)， （福建4） 对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若2 2 =a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c （湖北2）
将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24?? =-- ??? ，a 平移，则平移后所得图象的解析式为 （ Ａ ） Ａ．π2cos 234x y ?? =+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ?? =-+ ??? Ｃ．π2cos 2312x y ?? =-- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ?? =++ ??? （湖北文9） 设(43)=，a ， a 在 b 上的投影为2 ，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ Ｂ ） A ．(214)， B ．227? ?- ???， C ．227??- ??? ， D ．(28)， （湖南4） 设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b （湖南文2） 若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r C ．EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D ．EF OF O E =--u u u r u u u r u u u r （四川7） 设A ｛a ,1｝，B ｛2，b ｝，C ｛4,5｝，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若方向 在与→ →→OC OB OA 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为 （ A ） (A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a （天津10） 设两个向量22 (2cos )λλα=+-，a 和sin 2 m m α? ?=+ ?? ? ，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则 m λ 的取值范围是（ Ａ ） Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]， Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6] （浙江7）
2018年普通高等学校招生全国统一考试 全国Ⅰ卷 理科数学 一、 选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出得四个选项中, 只有一项就是符合题目要求得。 1、设,则 A 、0 B 、 C 、1 D 、 2、已知集合则 A 、 B 、 C 、 D 、 3、某地区经过一年得新农村建设,农村得经济收入增加了一倍,实现翻番、为更好地了解该地区农村得经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村得经济收入构成比例,得到如下饼图: 则下面结论不正确得就是 A 、新农村建设后,种植收入减少 B 、新农村建设后,其她收入增加了一倍以上 C 、新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D 、新农村建设后,养殖收入与第三产业收入得总与超过了经济收入得一半 4、记为等差数列得前项与、若则 A 、-12 B 、-10 C 、10 D 、12 5、设函数若为奇函数,则曲线在点处得切线方程为 A 、 B 、 C 、 D 、 6、在中,AD 为BC 边上得中线,E 为AD 得中点,则 A 、 B 、 C 、 D 、 7、某圆柱得高为2,底面周长为16,其三视图如右图、 圆柱表面上得点M 在正视图上得对应点为A,圆柱表 面上得点N 在左视图上得对应点为B,则在此圆柱侧 面上,从M 到N 得路径中,最短路径得长度为 A 、 B 、 C 、3 D 、2 8、设抛物线C:得焦点为F,过点且斜率为得直线与C 交于M,N 两点,则 A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 9.已知函数若存在2个零点,则得取值范围就是 A 、 B 、 C 、 D 、 10、下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究得几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆得直径分别为直角三角形ABC 得斜边BC,直角边AB,AC 、 得三边所围成得区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ、在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ得概率分别记为则 60% 30% 6% 4% 种植收入 第三产业收入 其她收入 养殖收入 建设前经济收入构成比例 37% 30% 28% 5% 种植收入 养殖收入 其她收入 第三产业收入 建设后经济收入构成比例 A B
2020年高考数学平面向量专题练习 一、选择题 1、P是双曲线上一点，过P作两条渐近线的垂线，垂足分别为A,B 求的值（） A. B. C. D. 2、向量,，若，且，则x＋y的值为（） A．－3 B．1 C．－3或1 D．3或1 3、已知向量满足，若，则向量在方向上的投影为A． B． C．2 D．4 4、．如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，为线段的中点，则 （） A．B． C．D． 5、在平行四边形中，，若是的中点，则（） A. B. C. D. 6、已知向量，且，则（）
A. B. C. D. 7、已知是边长为2的等边三角形，D为的中点，且，则( ) A. B.1 C. D. 3 8、在平行四边形ABCD中，，则该四边形的面积为 A． B． C．5 D．10 9、下列命题中正确的个数是（） ⑴若为单位向量，且，=1，则=；⑵若=0，则=0 ⑶若，则；⑷若，则必有；⑸若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 10、如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（） 二、填空题 11、已知向量与的夹角为120°,且,则____. 12、若三点满足，且对任意都有，则的最小值为________. 13、已知，，则向量在方向上的投影等于___________. 14、.已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数的值为 __________.
15、已知向量与的夹角为120°，，，则________. 16、已知中，为边上靠近点的三等分点，连接为线段的中点，若 ， 则__________． 17、已知向量为单位向量，向量，且，则向量的夹角为. 18、在矩形ABCD中，已知E，F分别是BC，CD上的点，且满足，。若 (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为。 三、简答题 19、已知平面直角坐标系中，向量，，且. （1）求的值；（2）设，求的值． 20、已知向量＝(sin，cos﹣2sin)，＝(1，2)． （1）若∥，求的值； （2）若，0＜＜，求的值． 21、已知向量，．(1)若在集合中取值，求满足的概率；(2)若 在区间[1,6]内取值，求满足的概率. 22、在平面直角坐标系xOy中，已知向量， （1）求证：且； （2）设向量，，且，求实数t的值．
高考理科数学：《平面向量》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一平面向量的线性运算 例1：记，＝，＝设为平面向量，则() A．－B．－ C．－D．－ 【答案】：D 【解析】 方法一：对于平面向量与－表示以为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，而根据平面几何知识可得，平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者，没有确定的大小关系，故选项A，B均错；又－中的较大者与一定构成非锐角三角形的三条边，由余弦定理知，必有－,故选项D正确，选项C错误． 方法二：若同向，令＝＝，这时 ＝，－＝，，－＝，，＝；若令＝，＝，这时＝－＝－＝，而＝，显然对任意，，－ 与的大小关系不确定，即选项A、B均错．同理，若同向，取＝＝，则＝－＝，这时－，而＝5，不可能有 －，故选C项错． 【易错点】平面向量加减法线性运算性质。 【思维点拨】解题的关键是结合向量模的几何意义，加减运算的几何意义，通过图形分析得到正确选项；也可从选择题的特点入手，通过对特殊化，从而得到－的值，通过比较大小关系排除错误选项，得出正确答案． 题型二共线向量定理、平面向量基本定理的应用 例1.中,边的高为,若＝＝＝＝＝则＝() A.－ B.－ C.－ D.－ 【答案】 D
【解析】方法一：＝＝＝＝ ＝＝＝＝＝＝－ 方法二：如图,以为原点，所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系．由已知得，又因为，所以可求得,于是＝,而＝＝,若设＝，则有 即,故＝－ 【易错点】平面向量加减法线性运算性质,平面向量的坐标表示； 【思维点拨】根据题设条件确定出、、三点坐标，再利用三点共线的性质即可解决. 例2.若点是所在平面内一点,且满足: 设＝. （1）求与的面积之比. （2）若为中点,与交于点,设,求的值. 【答案】见解析； 【解析】（1）由＝可知、、三点共线 如图令； .即面积之比为： （2）由; 由、、三点共线及、、三点共线. 【易错点】面积比值与线段比值的关系，三点共线的性质；
第3讲 平面向量 1.已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ⊥(2a ＋b )，则k 等于( ) A.－8 B.－6 C.6 D.8 答案 A 解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，∴2a ＋b ＝(3,2＋k )， ∵a ⊥(2a ＋b )，则a ·() 2a ＋b ＝6＋2＋k ＝0， 解得k ＝－8. 2.若平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且a ＝????12，3 2，||b ＝25，则||a ＋b 等于( ) A.5 B.3 2 C.18 D.25 答案 A 解析 ∵a ＝????12，3 2，∴|a |＝1， 又a ·() a ＋ b ＝3?||a 2＋a ·b ＝3?a ·b ＝2， ∴(a ＋b )2＝||a 2＋2a ·b ＋||b 2＝1＋4＋20＝25， ∴|| a ＋ b ＝5. 3.如图所示，AD 是△ABC 的中线，O 是AD 的中点，若CO →＝λAB →＋μAC → ，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值为( ) A.－12 B.1 2 C.－14 D.14 答案 A 解析 由题意知CO →＝12(CD →＋CA →)＝12×????12CB →＋CA → ＝14(AB →－AC →)＋12CA →＝14AB →－34AC → ， 则λ＝14，μ＝－34，故λ＋μ＝－12 .
4.已知||a ＝1，||b ＝3，且a ⊥????a ＋2 3b ，则向量a 与向量b 的夹角为( ) A.π6 B.5π6 C.π3 D.2π 3 答案 B 解析 ∵ a ⊥??? ?a ＋2 3b ， ∴ a ·??? ?a ＋23b ＝0， 即a 2＋2 3a ·b ＝0. 又||a ＝1，∴ a ·b ＝－3 2 ， ∴向量a 与向量b 的夹角的余弦值为 cos 〈a ，b 〉＝ a · b ||a ||b ＝－3 2 1×3 ＝－3 2， 又∵0≤〈a ，b 〉≤π， ∴向量a 与向量b 的夹角为 5π6 . 5.在Rt △ABC 中，点D 为斜边BC 的中点，|AB |＝8，|AC |＝6，则AD →·AB → 等于( ) A.48 B.40 C.32 D.16 答案 C 解析 因为点D 为斜边BC 的中点， 所以AD →＝12(AB →＋AC →)， 所以AD →·AB →＝12(AB →＋AC →)·AB → ＝12AB →2＋12AC →·AB →， 又Rt △ABC 中，AC ⊥AB ， 所以AD →·AB →＝12AB →2＝12 |AB →|2＝32. 6.若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，m )，且a －b 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围是( ) A.(0,2) B.(－∞ ,2) C.(－2,2) D.(－∞，0)∪(2，＋∞) 答案 D
2014届高三数学四步复习法—平面向量专题（311B ） 第一步：知识梳理——固本源，基础知识要牢记 1.基本概念：（1）向量：既有大小又有方向的量. （2）向量的模：有向线段的长度，a r . （3）单位向量：长度为1 的向量 .（4）零向量0r ，00=r ，方向任意. （5）相等向量：长度相等，方向相同.（6）共线向量（平行向量）：方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 （7）向量的加减法 ①共起点的向量的加法：平行四边形法则 ②首尾相连的向量的加法：口诀：首尾连，起点到终点. 如:AB BC CD AD ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ③共起点的向量的减法：共起点，连终点，指向被减向量 ④化减为加：AB AC AB CA CA AB CB -=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （8）平面向量基本定理（向量的分解定理）1e u r ，2e u u r 是平面内两个不共线的 向量，a r 为该平面内任一向量，则存在唯一的实数对12,λλ，使得 1122a e e λλ=+u r u u r r ，12,e e u r u u r 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2. 平面向量的坐标运算?? ①设()()1122,,,a x y b x y ==r r ，则()()()11221212,,,a b x y x y x x y y ±=±=±±r r ； ()()1111,,a x y x y λλλλ==r ， ②(),B A B A AB x x y y =--u u u r ，AB = u u u r ③(),a x y =r ，则a =r 3. 平面向量的数量积 ①向量a r 与b r 的数量积：cos a b a b θ?=r r r r （θ为向量a r 与b r 的夹角，[]0,θπ∈） ； ②若()()1122,,,a x y b x y ==r r ，则1212a b x x y y ?=+r r ； ③22a a a a =?=r r r r ；④a r 在b r 方向上的投影：cos a θr （θ为向量a r 与b r 的夹角）； ⑤θ为锐角?0a b ?r r f ，且a r 与b r 不同向；θ为钝角?0a b ?r r p ，且a r 与b r 不 反向； θ为直角?0a b ?=r r （θ为向量a r 与b r 的夹角）. 4.向量的平行： ① a r ∥b r a b λ?=r r （0b ≠r r ，λ唯一确定）； ②a r ∥b r 1221x y x y ?= 5.向量的垂直: 121200a b a b x x y y ⊥??=?+=r r r r 第二步：典例精析——讲方法，究技巧，悟解题规律.
20高考数学平面向量 的解题技巧 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题． 【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.
(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0, 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =______.（用a b 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，12 AM a b =+，所 以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+. 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 21-- （C ） BA BC 21- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a =71,,22b ? ?= ??? ? ? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ???- ??53,54 (B) ???- ??53,54或?? ? ??-53,54 （C ）???- ??31,322 （D ）???- ??31,322或??? ? ?-31,322 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问 题. 解：设所求平面向量为,c 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????4或-时5
一、选择题 【2018，6】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ） A ．3144A B A C - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344 AB AC + 【2015，7】设D 为ABC ?所在平面内一点3BC CD =，则（ ） A ．1433AD A B A C =-+ B ．1433 AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 【2011，10】已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:10,3P a b πθ??+>?∈???? 22:1,3P a b πθπ??+>?∈ ??? 3:10,3P a b πθ??->?∈???? 4:1,3P a b πθπ??->?∈ ??? 其中的真命题是（ ） A ．14,P P B ．13,P P C ．23,P P D ．24,P P 二、填空题 【2017，13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2， | b |=1，则| a +2 b |= ． 【2016，13】设向量a )1,(m =，b )2,1(=，且|a +b ||2=a ||2+b 2|，则=m ． 【2014，15】已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2 AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 ． 【2013，13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ．若b ·c ＝0，则t ＝__________． 【2012，13】已知向量a ，b 夹角为45°，且||1a =，|2|10a b -=，则||b =_________．