一、多选题
1．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6
A a c π
===则角C 的大小
是( ) A ．
6
π B ．
3
π C ．
56
π D ．
23
π 2．已知点()4,6A ，33,2
B ??- ??
?
，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ）
A ．14,33??
???
B ．97,2?? ???
C ．14,33??
-
- ???
D ．(7，9)
3．在ABC 中，AB =1AC =，6
B π
=，则角A 的可能取值为（ ）
A ．
6
π
B ．
3
π C ．
23
π D ．
2
π 4．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45°
D ．()
//2a a b +
5．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且
AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）
A ．1A
B CE ?=- B ．0OE O
C +=
C ．3OA OB OC ++=
D ．ED 在BC 方向上的投影为
76
6．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=?，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4.
B ．若4A
C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC =
D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC <<
7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ）
A ．
B ．
C ．8
D ．
8．ABC 中，4a =，5b =，面积S =c =（ ）
A B
C D ．9．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八
边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ）
A ．22
OA OD ?=-
B ．2OB OH OE +=-
C ．AH HO BC BO ?=?
D ．AH 在AB 向量上的投影为22
-
10．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（ ）
A ．sin :sin :sin 4:5:6A
B
C = B ．ABC ?是钝角三角形
C ．ABC ?的最大内角是最小内角的2倍
D ．若6c =，则ABC ?87
11．在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( ) A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
12．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（ ） A ．BD AD AB -= B ．1
()2
AD AB AC =
+ C ．8BA BC ?=
D ．AB AC AB AC +=-
13．在ABCD 中，设AB a =，AD b =，AC c =，BD d =，则下列等式中成立的是（ ） A ．a b c +=
B ．a d b +=
C ．b d a +=
D ．a b c +=
14．下列命题中正确的是( ) A ．单位向量的模都相等
B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C ．若a 与b 满足a b >，且a 与b 同向,则a b >
D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 15．下列说法中错误的是( )
A ．向量A
B 与CD 是共线向量,则A ，B ，
C ，
D 四点必在一条直线上 B ．零向量与零向量共线
C ．若,a b b c ==，则a c =
D ．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量
二、平面向量及其应用选择题
16．设(),1A a ，()2,1B -，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在
OC 方向上的投影相同，则a =（ ）
A ．12
-
B ．
12
C ．-2
D ．2
17．已知两不共线的向量()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则下列说法一定正确的是（ ）
A ．a 与b 的夹角为αβ-
B ．a b ?的最大值为1
C ．2a b +≤
D ．()()
a b a b +⊥-
18．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若
lg lg lg sin a c B -==-，且0,
2B π??
∈ ??
?
，则ABC 的形状是（ ） A ．等边三角形
B ．锐角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
19．若O 为ABC 所在平面内任意一点，且满足()
20BC OB OC OA ?+-=，则
ABC 一定为（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．钝角三角形
20．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若
2a =，ABC 的面积为1)，则b c +=（ ）
A ．5
B ．
C ．4
D ．16
21．设θ为两个非零向量,a b →→
的夹角，已知对任意实数t ，||b t a →
→
-的最小值为1，则（ ）
A ．若θ确定，则||a →
唯一确定 B ．若θ确定，则||b →
唯一确定 C ．若||a →
确定，则θ唯一确定
D ．若||b →
确定，则θ唯一确定
22．在三角形ABC 中，若三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1a =，c =45B =?，则sin C 的值等于（ ）
A ．
441
B ．
45
C ．
425
D ．
41
23．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测
得15BCD ∠=?，45BDC ∠=?，CD =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )
A．302m B．203m C．60m D．20m
24．若向量
123
,,
OP OP OP，满足条件
123
OP OP OP
++=，1231
OP OP OP
===，则123
PP P
?的形状是（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．不能确定25．在ABC中，()2
BC BA AC AC
+?=，则ABC的形状一定是（）
A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形26．题目文件丢失！
27．在梯形ABCD中，//
AD BC，90
ABC
∠=?，2
AB BC
==，1
AD=，则
BD AC
?=（）
A．2-B．3-C．2D．5
28．已知O，N，P在ABC
?所在平面内，且,0
OA OB OC NA NB NC
==++=，且???
PA PB PB PC PC PA
==，则点O，N，P依次是ABC
?的( )
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
A．重心外心垂心B．重心外心内心
C．外心重心垂心D．外心重心内心
29．已知点O是ABC
?内一点，满足2
OA OB mOC
+=，
4
7
AOB
ABC
S
S
?
?
=，则实数m为（）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
30．如图所示，设P为ABC
?所在平面内的一点，并且
11
42
AP AB AC
=+，则BPC
?
与ABC
?的面积之比等于（）
A ．
25
B ．
35
C ．34
D ．
14
31．在ABC ?中，下列命题正确的个数是（ ）
①AB AC BC -=；②0AB BC CA ++=；③点O 为ABC ?的内心，且
()()20OB OC OB OC OA -?+-=，则ABC ?为等腰三角形；④0AC AB ?>，则
ABC ?为锐角三角形．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
32．已知ABC ?的内角A 、B 、C 满足()()1sin 2sin sin 2
A A
B
C C A B +-+=--+
，面积S 满足12S ≤≤，记a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()8bc b c +> B ．()162ab a b +> C ．612abc ≤≤
D ．1224abc ≤≤
33．如图，在ABC 中，14AD AB →
→=，12
AE AC →→
=，BE 和CD 相交于点F ，则向量
AF →
等于（ ）
A ．1277A
B A
C →→
+
B ．1377AB A
C →→
+
C ．121414
AB AC →→
+ D ．131414
AB AC →→
+ 34．已知ABC 中，1,3,30a b A ?===，则B 等于（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．30°或150°
D ．60°或120°
35．在ABC ?中，D 为BC 中点，且1
2
AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1
B ．23
-
C ．13
-
D ．34
-
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一、多选题
1．BD 【分析】
由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案. 【详解】 由正弦定理可得, ,而, , , 故或. 故选:BD. 【点睛】
本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握 解析：BD 【分析】
由正弦定理可得sin sin a c A C =,所以sin sin c C A a ==,而a c <,可得A C <,即可求得答案. 【详解】 由正弦定理可得
sin sin a c
A C
=,
∴ sin sin c C A a ==而a c <,
∴ A C <,
∴
566
C π
π<<, 故3C π
=
或
23
π. 故选:BD. 【点睛】
本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.
2．ABC 【分析】
先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】 由点，，则
选项A . ,所以A 选项正确. 选项B. ,所以B 选项正确.
选项C . ,所以C 选
解析：ABC 【分析】
先求出向量AB 的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】
由点()4,6A ，33,2B ?
?- ???，则972，
AB ??=-- ???
选项A . 914
73023
??-?--?= ???,所以A 选项正确. 选项B. 9977022??
-?
--?= ???
,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023????
-?---?-= ? ?????
,所以C 选项正确. 选项D. 979702??
-?--?≠ ???
,所以选项D 不正确 故选：ABC 【点睛】
本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题.
3．AD 【分析】
由余弦定理得，解得或，分别讨论即可. 【详解】 由余弦定理，得， 即，解得或.
当时，此时为等腰三角形，，所以； 当时，，此时为直角三角形，所以. 故选：AD 【点睛】 本题考查余弦
解析：AD 【分析】
由余弦定理得2222cos AC BC BA BC BA B =+-??，解得1BC =或2BC =，分别讨论即可. 【详解】
由余弦定理，得2222cos AC BC BA BC BA B =+-??，
即2132BC BC =+-，解得1BC =或2BC =.
当1BC =时，此时ABC 为等腰三角形，BC AC =，所以6
A B π
==
；
当2BC =时，222AB AC BC +=，此时ABC 为直角三角形，所以A =2
π. 故选：AD 【点睛】
本题考查余弦定理解三角形，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题.
4．AC 【分析】
利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】 由向量，， 则，故A 正确； ，故B 错误；
解析：AC 【分析】
利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】
由向量()1,0a =，()2,2b =，
则()()()21,022,25,4a b +=+=，故A 正确；
222b =+=，故B 错误；
2cos ,21a b a b a b
?<>=
=
=
?+，
又[],0,a b π<>∈，所以a 与b 的夹角为45°，故C 正确； 由()1,0a =，()25,4a b +=，140540?-?=≠，故D 错误. 故选：AC 【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.
5．BCD 【分析】
以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】
由题E 为AB 中点，则，
以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示： 所以，，
解析：BCD 【分析】
以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】
由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，
以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：
所以，123
(0,0),(1,0),(1,0),3),()3E A B C D -， 设123
(0,),3),(1,),(,33
O y y BO y DO y ∈==--，BO ∥DO ， 所以2313y y =-，解得：3
y =
， 即O 是CE 中点，0OE OC +=，所以选项B 正确；
3
2OA OB OC OE OC OE ++=+==
，所以选项C 正确； 因为CE AB ⊥，0AB CE ?=，所以选项A 错误；
123(3ED =，(1,3)BC =，
ED 在BC 方向上的投影为12
7
326BC BC
ED +?==，所以选项D 正确.
故选：BCD 【点睛】
此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.
6．ABD 【分析】
根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】
解：由正弦定理得，故正确； 对于，，选项：如图
解析：ABD 【分析】
根据正弦定理，可直接判断A 的对错，然后B ，C ，D 三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】
解：由正弦定理得2
24sin sin30AB R ACB =
==∠?
，故A 正确；
对于B ，C ，D 选项：如图：以A 为圆心，2AB =为半径画圆弧，该圆弧与射线CD 的交点个数，即为解得个数． 易知当
1
22
x =，或即4AC =时，三角形ABC 为直角三角形，有唯一解； 当2AC AB ==时，三角形ABC 是等腰三角形，也是唯一解；
当AD AB AC <<，即1
22
x x <<，24x ∴<<时，满足条件的三角形有两个．
故B ，D 正确，C 错误． 故选：ABD ．
【点睛】
本题考查已知两边及一边的对角的前提下，三角形解得个数的判断问题．属于中档题．
7．AC 【分析】
利用余弦定理：即可求解. 【详解】
在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：， 即，解得. 故选：AC 【点睛】
本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基
解析：AC 【分析】
利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-即可求解. 【详解】
在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，
即216310a a -+=，解得8a = 故选：AC 【点睛】
本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.
8．AB 【分析】
在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解. 【详解】
中，因为，，面积， 所以， 所以，解得或，
当时，由余弦定理得：， 解得，
当时，由余弦定理得：， 解得 所以或
解析：AB 【分析】
在ABC 中，根据4a =，5b =，由1
sin 2
ABC
S
ab C =
=60C =或120C =，然后分两种情况利用余弦定理求解.
【详解】
ABC 中，因为4a =，5b =，面积ABC
S
=
所以1
sin 2
ABC
S
ab C =
=
所以sin 2
C =
，解得60C =或120C =， 当60C =时，由余弦定理得：2222cos 21c a b ab C =+-=，
解得c =
当120C =时，由余弦定理得：2222cos 61c a b ab C =+-=，
解得c =
所以c =c =故选：AB 【点睛】
本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
9．AB 【分析】
直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】
图2中的正八边形，其中， 对于；故正确． 对于，故正确．
对于，，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于
解析：AB 【分析】
直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】
图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =，
对于3:11cos
4A OA OD π=??=；故正确． 对于:22B OB OH OA OE +==-，故正确．
对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于:D AH 在AB 向量上的投影32
||cos ||4AH AH π=-，||1AH ≠，故错误． 故选：AB ． 【点睛】
本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
10．ACD 【分析】
先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】 因为
所以可设：（其中），解得： 所以，所以A 正确；
由上可知：边最大，所以三角形中角最大， 又 ，所以角为
解析：ACD 【分析】
先根据已知条件求得::4:5:6a b c =，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】
因为()()()::9:10:11a b a c b c +++=
所以可设：91011a b x a c x b c x +=??
+=??+=?
（其中0x >），解得：4,5,6a x b x c x ===
所以sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，所以A 正确； 由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大，
又222222(4)(5)(6)1
cos 022458
a b c x x x C ab x x +-+-===>?? ，所以C 角为锐角，所以B 错
误；
由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小，
又222222(6)(5)(4)3
cos 22654
c b a x x x A cb x x +-+-===??，
所以2
1
cos22cos 18
A A =-=
，所以cos2A cosC = 由三角形中C 角最大且C 角为锐角,可得：()20,A π∈，0,2C π??
∈ ??
?
所以2A C =，所以C 正确； 由正弦定理得：2sin c R C =
，又sin 8
C ==
所以
2R =
，解得：7
R =，所以D 正确. 故选:ACD. 【点睛】
本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.
11．ABCD 【分析】
应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有即或，进而有△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】
根据正弦定理 , 即. , 或. 即或
解析：ABCD 【分析】
应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有sin 2sin 2A B =即A B =或2
A B π
+=，进而有
△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】
根据正弦定理
sin sin a b A B
= cos cos a A b B =
sin cos sin cos A A B B =, 即sin 2sin 2A B =. 2,2(0,2)A B π∈,
22A B =或22A B π+=. 即A B =或2
A B π
+=
,
△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形. 故选：ABCD 【点睛】
本题考查了正弦定理的边化角，二倍角公式解三角形判断三角形的形状，注意三角形内角和为180°
12．BC 【分析】
根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】
对于A 选项：，故A 错；
对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，，故B 正确； 对于C 选项：，故正确； 对于D 选项：，而，故
解析：BC 【分析】
根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项.
【详解】
对于A 选项：BD AD BD DA BA -=+=，故A 错； 对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，
()
111
++++()222
AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+，故B 正确；
对于C 选项：cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA
?=??∠=??
=?=，故正确；
对于D 选项：2,AB AC AD AB AC CB +=-=，而2AD CB ≠，故D 不正确. 故选：BC. 【点睛】
本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.
13．ABD 【分析】
根据平行四边形及向量的加法法则即可判断. 【详解】
由向量加法的平行四边形法则，知成立， 故也成立；
由向量加法的三角形法则，知成立，不成立. 故选：ABD 【点睛】 本题主要考查
解析：ABD 【分析】
根据平行四边形及向量的加法法则即可判断. 【详解】
由向量加法的平行四边形法则，知a b c +=成立， 故a b c +=也成立；
由向量加法的三角形法则，知a d b +=成立，b d a +=不成立. 故选：ABD 【点睛】
本题主要考查了向量加法的运算，数形结合，属于容易题.
14．AD 【分析】
利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】
单位向量的模均为1，故A 正确；
向量共线包括同向和反向，故B 不正确； 向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确； 根据
解析：AD 【分析】
利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】
单位向量的模均为1，故A 正确； 向量共线包括同向和反向，故B 不正确； 向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确； 根据相等向量的概念知，D 正确. 故选：AD 【点睛】
本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小，属于基础题．
15．AD 【分析】
利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】
向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误； 零向量与任一向量共线，故B
解析：AD 【分析】
利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】
向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误； 零向量与任一向量共线，故B 正确； 若,a b b c ==，则a c =，故C 正确； 温度是数量，只有正负，没有方向，故D 错误. 故选：AD 【点睛】
本题考查零向量、单位向量的定义，平行向量和共线向量的定义，属于基础题.
二、平面向量及其应用选择题
16．A 【分析】
根据平面向量的投影的概念，结合向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解. 【详解】
由题意，点(),1A a ，()2,1B -，()4,5C ， O 为坐标原点， 根据OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则
OA OC OB OC OC
OC
??=
,
即OA OC OB OC ?=?，可得4152415a +?=?-?，解得12
a =-. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的定义，其中解答中熟记向量投影的定义，以及向量的数量积的运算公式，列出方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 17．D 【分析】
由向量夹角的范围可判断A 选项的正误；计算出a b ?，利用余弦函数的值域以及已知条件可判断B 选项的正误；利用平面向量模的三角不等式可判断C 选项的正误；计算
()()a b a b +?-的值可判断D 选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则2cos 1a α==，同理可得
1b =，
a 与
b 不共线，则()sin cos cos sin sin 0αβαβαβ-=-≠，则()k k Z αβπ-≠∈.
对于A 选项，由题意知，a 与b 的夹角的范围为()0,π，而()R αβ-∈且
()k k Z αβπ-≠∈，A 选项错误；
对于B 选项，设向量a 与b 的夹角为θ，则0θπ<<，所以，
()cos cos 1,1a b a b θθ?=?=∈-，B 选项错误；
对于C 选项，由于a 与b 不共线，由向量模的三角不等式可得2a b a b +<+=，C 选项错误； 对于D 选项，(
)()
2
2
220a b a b a b a b +?-=-=-=，所以，()()
a b a b +⊥-，D
选项正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查平面向量有关命题真假的判断，涉及平面向量的夹角、数量积与模的计算、向量垂直关系的处理，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题. 18．C
化简条件可得sin a B c ==
，由正弦定理化边为角，整理cos 0C =，即可求解. 【详解】
lg lg lg sin a c B -==-，
sin 2
a B c ∴==.0,2B π??∈ ???，
4
B π
∴=
.
由正弦定理，得
sin sin a A c C ==
，
3
sin cos sin 422C A C C C π???
∴==-=+? ?????
， 化简得cos 0C =.
()0,C π∈， 2
C π
∴=
， 则4
A B C π
π=--=
，
∴ABC 是等腰直角三角形. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题. 19．C 【分析】
由向量的线性运算可知2OB OC OA AB AC +-=+，所以()
0BC AB AC ?+=，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得BC AD ⊥，进而可得AB AC =，即可得出答案. 【详解】
由题意，()()
2OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+， 所以()
0BC AB AC ?+=，
取BC 的中点D ，连结AD ，并延长AD 到E ，使得AD DE =，连结BE ，EC ，则四边形ABEC 为平行四边形，所以AB AC AE +=. 所以0BC AE ?=，即BC AD ⊥， 故AB AC =，ABC 是等腰三角形.
【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 20．C 【分析】
根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4
A π
=,再根据面积公式可求得6(22)bc =,
再代入余弦定理求解即可. 【详解】
ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,
又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,
∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈, ∴4
A π
=
.∵12sin 3(21)24
ABC
S
bc A ===-, ∴bc =6(22),∵2a =,∴由余弦定理可得2
2
()22cos a b c bc bc A =+--, ∴2()4(22)b c bc +=++4(22)6(22)16=++?-=,可得4b c +=.
故选：C 【点睛】
本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题. 21．B 【分析】
2
2
22
||2b ta b a bt a t -=-?+，令2
22
()2f t b a bt a t =-?+，易得2cos b a b t a a
θ
?==
时，222min 2
44()()14a b a b f t a
-?==，即222
||cos 1b b θ-=，结合选项即可得到答案. 【详解】
2222||2b ta b a bt a t -=-?+，令222()2f t b a bt a t =-?+，因为t R ∈，
所以当2cos b a b t a a
θ
?==时，222min 2
44()()4a b a b f t a -?=，又||b t a →→-的最小值为1， 所以2
||b ta -的最小值也为1，即222
min
2
44()()14a b a b f t a
-?==，222||cos 1b b θ-=，
所以2
2
||sin 1(0)b b θ=≠，所以1sin b θ
=，故若θ确定，则||b →
唯一确定. 故选：B 【点睛】
本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 22．B 【分析】
在三角形ABC 中，根据1a =，c =45B =?，利用余弦定理求得边b ,再利用正弦
定理
sin sin
b c
B C =求解. 【详解】
在三角形ABC 中， 1a =，c =45B =?，
由余弦定理得：222
2cos b a c ac B =+-，
1322125=+-??=， 所以5
b =， 由正弦定理得：
sin sin b c
B C
=， 所以
2
sin 42sin 55
c B
C b
=
==， 故选：B 【点睛】
本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，所以考查了运算求解的能力，属于中档题. 23．D 【分析】
由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB
BC 求出AB ．