不可压缩流体动力学基础
1．已知平面流场的速度分布为xy x u x +=2，y xy u y 522+=。求在点（1，-1）处流体微团的线变形速度，角变形速度和旋转角速度。
解：（1）线变形速度：y x x
u x x +=??=2θ 54+=??=xy y u y
y θ 角变形速度：()x y y u x u x y z +=???
? ????+??=222121ε 旋转角速度：()x y x u x u x y z -=???? ????-??=222
121ω 将点（1，-1）代入可得流体微团的1=x
θ，1=y θ；23/z =ε；21/z =ω 2．已知有旋流动的速度场为322+=y u x
，x z u y 32+=，y x u z 32+=。试求旋转角速度，角变形速度和涡线方程。 解：旋转角速度：2
121=???? ????-??=z u y u y z x ω 2
121=??? ????-??=x u z u z x y ω 2121=???? ????-??=y u x u x y
z ω 角变形速度：2
521=???? ????+??=z u y u y z x ε 2
521=??? ????-??=x u z u z x y ε 2521=???
? ????-??=y u x u x y z ε 由z y x dz dy dx ωωω==积分得涡线的方程为：
1c x y +=，2c x z +=
3．已知有旋流动的速度场为22z y c u x
+=，0=y u ，0=z u ，式中c 为常数，试求流场的涡量
及涡线方程。
解：流场的涡量为： 0=??-??=z
u y u y z x Ω 22z y cz x u z u z x y +=??-??=
Ω 2
2z y cy y u x u x y
z +-=??-??=Ω 旋转角速度分别为：0=x
ω 222z
y cz
y +=ω 222z y cy
z +-=ω 则涡线的方程为：c dz dy z y +=??ωω 即c y dz z dy +-=??
可得涡线的方程为：
c c y =+22 4．求沿封闭曲线2 22b y x
=+,0=z 的速度环量。（1）Ax u x =，0=y u ；（2）Ay u x =，0=y u ；（3）0=y u ，r A u =θ。其中A 为常数。
解：（1）由封闭曲线方程可知该曲线时在z =0的平面上的圆周线。
在z =0的平面上速度分布为：
Ax u x =，0=y u
涡量分布为：0=z Ω
根据斯托克斯定理得：0==?z A z s
dA ΩΓ （2）涡量分布为：A z -=Ω
根据斯托克斯定理得：2b A dA z A
z s
πΩΓ-==?
（3）由于0=r u ，r A u =θ 则转化为直角坐标为：22b Ay y r A u x -=-=，2b
Ax u y = 则22b
A y u x u x y
z =??-??=Ω 根据斯托克斯定理得：A dA z A
z s πΩΓ2==? 5．试确定下列各流场是否满足不可压缩流体的连续性条件？
答：不可压缩流体连续性方程 直角坐标：0=??+??+??z
u y u x u z y x （1） 柱面坐标：0=??+??+??+z
u r u r u r u z r r θθ （2） （1）0,,=-==z y x
u ky u kx u 代入（1） 满足 （2）y x u x z u z y u z y x +=+=+=,, 代入（1） 满足
（3）0),(),(2222=+=-+z y x u y x k u y xy x
k u 代入（1） 不满足 （4）0,sin ,sin =-==z y x
u xy k u xy k u 代入（1） 不满足 （5）0,,0===z r
u kr u u θ 代入（2） 满足 （6）0,0,==-=z r
u u r k u θ 代入（2） 满足 （7）0,sin 2,cos sin 22=-==z r u r u r u θθθθ 代入（2） 满足
6．已知流场的速度分布为y x u x
2=，y u y 3-=，22z u z =。求（3，1，2）点上流体质点的加速度。 解：y x y x x y xy y x z
u u y u u x u u t u a x z x y x x x x 22322320320-=+?-?+=??+??+??+??= y z u u y u u x u u t
u a y z y y y x y
y 9=??+??+??+??= 28z z
u u y u u x u u t u a z z z y z x z z =??+??+??+??= 将质点（3，1，2）代入a x 、a y 、a z 中分别得：
27=x a ，9=y a ，64=z a
7．已知平面流场的速度分布为2224y x y t u x +-=，222y x x u y +=。求0=t 时，在（1，1）点上
流体质点的加速度。
解： ()()()???
?????+-+-++????????+????? ??+-+=??+??+??=2222222222222420222244y x y y x y x x y x y x y x y t y u u x u u t u a x y x x x x 当0=t 时，()()
2222222222284y x y x x y x xy a x +--+-= 将（1，1）代入得3=x a
()()()22222222222224242240y x xy y x x y x x y x y x y t y u u x
u u t u a y y y x y
y +-?++????????+-+???? ??+-+=??+??+??= 当t=0时，将（1，1）代入得：1-=y a
8．设两平板之间的距离为2h ，平板长宽皆为无限大，如图所示。试用粘性流体运动微分方程，求此不可压缩流体恒定流的流速分布。
解：z 方向速度与时间无关，质量力：g f x -=
运动方程：z 方向：2210dx
u d z p υρ+??-= x 方向：→??-
-=x p g ρ10 积分：)(z f gx p +-=ρ
∴p 对z 的偏导与x 无关，z 方向的运动方程可写为z p dy
u d ??=μ122 积分：212
2
1C x C x z p u ++??=μ 边界条件：h x ±=，0=u
得：01=C ，221h z
p C ??-=μ ∴??
????-??-=22)(12h x z p h u μ 9．沿倾斜平面均匀地流下的薄液层，试证明：（1）流层的速度分布为()θμ
γsin y by u 222-=；（2）
单位宽度上的流量为θμγsin 33b q =。 解：x 方向速度与时间无关，质量力θsin g f x =，θcos g f y -=
运动方程：x 方向：221sin 0dy
u d x p g υρθ+??-= ① y 方向：y p g ??-
-=ρθ1cos 0 ② ②→积分)(cos x f gy p +-=θρ
b y = a p p = )(cos x f gb a +-=θρρ
∴θρcos )(y h g p p a -+=
∵=b 常数 ∴p 与x 无关
①可变为μθρsin 2
2g dy u d -= 积分)2
1(sin 212C y C y g u ++-=μθρ 边界条件：
0=y ，0=u ；b y =， 0=dy du ∴b C -=1
，02=C ∴θμ
μθρsin )2(2)2(2sin 2y by r y b y g u -=-=
θμγθμγsin 3sin )2(23200b dy y by udy Q b b =-==?? 10.描绘出下列流速场 解：流线方程：
y x u dy u dx = （a ）4=x u ，3=y u ，代入流线方程，积分：c x y +=4
3
直线族
（b ）4=x u ，x u y 3=，代入流线方程，积分：c x y +=28
3
抛物线族 （c ）y u x 4=，0=y u ，代入流线方程，积分：c y =
直线族
（d ）y u x 4=，3=y u ，代入流线方程，积分：c y x +=23
2
抛物线族
（e ）y u x 4=，x u y 3-=，代入流线方程，积分：c y x =+2243
椭圆族
（f ）y u x 4=，x u y 4=，代入流线方程，积分：c y x =-22
双曲线族
（g ）y u x 4=，x u y 4-=，代入流线方程，积分：c y x =+22
同心圆
（h ）4=x u ，0=y u ，代入流线方程，积分：c y =
直线族
（i ）4=x u ，x u y 4-=，代入流线方程，积分：c x y +-=2
2
抛物线族
（j ）x u x 4=，0=y u ，代入流线方程，积分：c y =
直线族 （k ）xy u x 4=，0=y u ，代入流线方程，积分：c y =
直线族
（l ）r
c u r =，0=θu ，由换算公式：θθθsin cos u u u r x -=，θθθcos sin u u u r y += 2
20y x cx r x r c u x +=-=，220y x cy r y r c u y +=+= 代入流线方程积分：
c y x =
直线族
（m ）0=r u ，r c u =θ，2
20y x cy r x r c u x +-=-=，220y x cx r x r c u y +=+= 代入流线方程积分：c y x =+22
同心圆 11.在上题流速场中，哪些流动是无旋流动，哪些流动是有旋流动。如果是有旋流动，它的旋转角速度的表达式是什么？ 解：无旋流有：x u y u y x ??=??（或r
r u u r ??=??θθ） （a ），（f ），（h ），（j ），（l ），（m ）为无旋流动，其余的为有旋流动
对有旋流动，旋转角速度：)(21y
u x u x y ??-??=ω （b ）23=
ω （c ）2-=ω （d ）2-=ω （e ）2
7-=ω （g ）4-=ω （i ）2-=ω （k ）x 2-=ω 12.在上题流速场中，求出各有势流动的流函数和势函数。
解：势函数?+=dy u dx u y x ?
流函数?-=dx u dy u y x ψ
（a ）?+=+=y x dy dx 3434?
y x dx dy 4334--=-=?ψ
（e ）????-+=-+=y
y x x xdy dx y xdy ydx 0034340?
取),(00y x 为)0,0(则
积分路线可选
其中0,0:0,0,0==→y dy x
x x dx y x x ==→,0:,0,
)34()30(0000????-++-+=y
y x x xdy ydx xdy dx ?xy xy 3)30()00(-=-++= 2223234x y xdx ydy +=--=??ψ
其他各题略
13.流速场为r
c u u a r ==θ,0)(，r u u b r 2,0)(ωθ==时，求半径为1r 和2r 的两流线间流量的表达式。
解：ψd dQ = ??-=dr u rd u r θθψ
?-=-=r c dr r
c a ln )(ψ ∴211212ln
)ln (ln r r c r c r c Q =---=-=ψψ ?-
=-=2)(222r rdr b ωωψ ∴)(222212
12r r Q -=-=ωψψ
14.流速场的流函数是323y y x -=ψ
。它是否是无旋流动？如果不是，计算它的旋转角速度。证明任一点的流速只取决于它对原点的距离。绘流线2=ψ。 解：xy x 6=??ψ y x 62
2=??ψ 2233y x y
-=??ψ y y 622-=??ψ ∴+??22x ψ022=??y ψ 是无旋流 2233y x y u x -=??=
ψ xy x u y 6-=??-=ψ ∴2222
23)(3r y x u u u y x =+=+= 即任一点的流速只取决于它对原点的距离
流线2=ψ即2332=-y y x
用描点法：
2)3(222=-y x y
Λ
Λ23,223,21
,11
,1±
=-=±
==±=-=±==x y x y x y x y （图略）
15.确定半无限物体的轮廓线，需要哪些量来决定流函数。要改变物体的宽度，需要变动哪些量。以某一水平流动设计的绕流流速场，当水平流动的流速变化时，流函数是否变化？
解：需要水平流速0v ，半无限物体的迎来流方向的截面A ，由这两个参数可得流量A v Q
0=。改变物体
宽度，就改变了流量。当水平流速变化时，ψ也变化
x
y arctg Q y v πψ20+= 16.确定朗金椭圆的轮廓线主要取决于哪些量？试根据指定长度m l
2=，指定宽度m b 5.0=，设计朗金椭
圆的轮廓线。 解：需要水平流速0v ，一对强度相等的源和汇的位置a ±以及流量Q 。
)(20a
x y arctg a x y arctg Q y v --++=πψ 驻点在2
,0l x y ±==处，由5.0,2==b l 得椭圆轮廓方程：1)25.0(1222=+y x 即：11622=+y x
17.确定绕圆柱流场的轮廓线，主要取决于哪些量？已知m R 2=，求流函数和势函数。
解：需要流速0v ，柱体半径R
θψsin )(2
0r
R r v -= ∵2=R ∴θψsin )4(0r
r v -= θ?cos )(20r
R r v += ∵2=R ∴θ?cos )(2
0r
R r v += 18.等强度的两源流，位于距原点为a 的x 轴上，求流函数。并确定驻点位置。如果此流速场和流函数为vy =ψ的流速场相叠加，绘出流线，并确定驻点位置。
解：叠加前
)(2a x y arctg a x y arctg Q -++=
πψ ))
()((22222a x y a x a x y a x Q y u x -+-++++=??=πψ ))()((22
222a x y y a x y y Q x u y -++++=??-=πψ 当0=x
)(22a y Qy u y +=π 0=x u 0=y )11(2a
x a x Q u x -++=
π 0=y u ∴驻点位置)0,0(
叠加后)(2a
x y arctg a x y arctg Q vy -+++=πψ 流速为零的条件：0)
(2)(20=-+++=??==a x Q a x Q v y u y x ππψ
解得：????
??+±-=22)2(21v a Q Q v x ππ 即驻点坐标：??? ??????
??+--
0,)2(2122v a Q Q v ππ ??? ????????++-0,)2(2122v a Q Q v ππ 19.强度同为s m /602的源流和汇流位于x 轴，各距原点为m a 3=。计算坐标原点的流速。计算通过)4,0(点的流线的流函数值，并求该点流速。 解：)(2a
x y arctg a x y arctg Q --+=πψ s m a x a x y a x a x y Q y u a Q y x /37.61111112223
,60,0=??????????????-??? ??++-+??? ??++=??====πψ 0=y u
)4,0(的流函数：3
4)3434(2arctg Q arctg arctg Q ππψ=--= s m a x a x y a x a x y Q y u a y x Q x /25180)1)(111)(11(2223,4,0,60ππψ=-++-+++=??===== 0=y u
20.为了在)5,0(点产生10的速度，在坐标原点应加强度多大的偶极矩？过此点的流函数值为何？ 解：202R v M
π= 将5,100==R v 代入得：π500=M
r
M πθψ2sin -
= 将5,1sin ,500====R r M θπ代入得：50-=ψ 21.强度为s m /2.02的源流和强度为s m /12的环流均位于坐标原点，求流函数和势函数，求 )5.0,1(m m 的速度分量。
解：r Q ln 22πΓπθψ+=，θπΓπ?2ln 2+=r Q ，r
Q u r π2= 将225.01,2.0+==r
Q 代入得：s m u r /0284.0= r u πΓ
θ2-= 将225.01,1+==r Γ代入得：s m u /142.0-=θ
第三章 一元流体动力学基础 1.直径为150mm 的给水管道，输水量为h kN /7.980，试求断面平均流速。 解：由流量公式vA Q ρ= 注意：()vA Q s kg h kN ρ=?→// A Q v ρ= 得：s m v /57.1= 2.断面为300mm ×400mm 的矩形风道,风量为2700m 3/h,求平均流速.如风道出口处断面收缩为150mm ×400mm,求该断面的平均流速 解：由流量公式vA Q = 得：A Q v = 由连续性方程知2211A v A v = 得：s m v /5.122= 3.水从水箱流经直径d 1=10cm,d 2=5cm,d 3=2.5cm 的管道流入大气中. 当出口流速10m/ 时,求 (1)容积流量及质量流量;(2)1d 及2d 管段的流速 解：(1)由s m A v Q /0049.0333== 质量流量s kg Q /9.4=ρ (2)由连续性方程： 33223311,A v A v A v A v == 得：s m v s m v /5.2,/625.021== 4.设计输水量为h kg /294210的给水管道，流速限制在9.0∽s m /4.1之间。试确定管道直径，根据所选直径求流速。直径应是mm 50的倍数。 解：vA Q ρ= 将9.0=v ∽s m /4.1代入得343.0=d ∽m 275.0 ∵直径是mm 50的倍数，所以取m d 3.0= 代入vA Q ρ= 得m v 18.1= 5.圆形风道，流量是10000m 3/h,，流速不超过20 m/s 。试设计直径，根据所定直径求流速。直径规定为50 mm 的倍数。 解：vA Q = 将s m v /20≤代入得：mm d 5.420≥ 取mm d 450= 代入vA Q = 得：s m v /5.17= 6.在直径为d 圆形风道断面上，用下法选定五个点，以测局部风速。设想用和管轴同心但不同半径的圆周，将全部断面分为中间是圆，其他是圆环的五个面积相等的部分。测点即位于等分此部分面积的圆周上，这样测得的流速代表相应断面的平均流速。（1）试计算各测点到管心的距离，表为直径的倍数。（2）若各点流速为54321u u u u u ，，，，，空气密度为ρ，求质量流量G 。
工程流体力学闻德课后习题答案 第五章 实际流体动力学基础 5—1设在流场中的速度分布为u x =2ax ，u y =-2ay ，a 为实数，且a >0。试求切应力τxy 、τyx 和附加压应力p ′x 、p ′y 以及压应力p x 、p y 。 解：0y x xy yx u u x y ττμ??? ?==+= ????? 24x x u p a x μμ?'=-=-?，24y y u p a y μμ?'=-=?， 4x x p p p p a μ'=+=-，4y y p p p p a μ'=+=+ 5－2 设例５－1中的下平板固定不动，上平板以速度v 沿x 轴方向作等速运动（如图 所示），由于上平板运动而引起的这种流动，称柯埃梯（Couette ）流动。试求在这种流动情况下，两平板间的速度分布。（请将 d 0d p x =时的这一流动与在第一章中讨论流体粘性时的流动相比较） 解：将坐标系ox 轴移至下平板，则边界条件为 y ＝０，0X u u ==；y h =，u v =。 由例５－1中的（11）式可得 2d (1)2d h y p y y u v h x h h μ=- - （１） 当d 0d p x =时，y u v h =，速度ｕ为直线分布，这种特殊情况的流动称简单柯埃梯流动或简单剪切流动。它只是由于平板运动，由于流体的粘滞性带动流体发生的流动。 当 d 0d p x ≠时，即为一般的柯埃梯流动，它是由简单柯埃梯流动和泊萧叶流动叠加而成，速度分布为 (1)u y y y p v h h h =-- （２） 式中2d ()2d h p p v x μ= - （３） 当p ＞０时，沿着流动方向压强减小，速度在整个断面上的分布均为正值；当p ＜０时，沿流动方向压强增加，则可能在静止壁面附近产生倒流，这主要发生p ＜－１的情况． 5－3 设明渠二维均匀（层流）流动，如图所示。若忽略空气阻力，试用纳维—斯托克斯方程和连续性方程，证明过流断面上的速度分布为2sin (2)2 x g u zh z ，单宽流量 3 sin 3 gh q 。
不可压缩流体动力学基础 1．已知平面流场的速度分布为xy x u x +=2，y xy u y 522+=。求在点（1，-1）处流体微团的线变形速度，角变形速度和旋转角速度。 解：（1）线变形速度：y x x u x x +=??=2θ 角变形速度：()x y y u x u x y z +=???? ????+??=222 121ε 旋转角速度：()x y x u x u x y z -=???? ????-??= 222121ω 将点（1，-1）代入可得流体微团的1=x θ，1=y θ；23/z =ε；21/z =ω 2．已知有旋流动的速度场为322+=y u x ，x z u y 32+=，y x u z 32+=。试求旋转角速度，角变形速度和涡线方程。 解：旋转角速度：2 121=???? ????-??=z u y u y z x ω 角变形速度：2521=???? ????+??= z u y u y z x ε 由z y x dz dy dx ωωω==积分得涡线的方程为： 1c x y +=，2c x z += 3．已知有旋流动的速度场为22z y c u x +=，0=y u ，0=z u ，式中c 为常数，试求流场的涡量及涡线方程。
解：流场的涡量为： 旋转角速度分别为：0=x ω 则涡线的方程为：c dz dy z y +=??ωω 即c y dz z dy +-=?? 可得涡线的方程为：c c y =+22 4．求沿封闭曲线2 22b y x =+,0=z 的速度环量。（1）Ax u x =，0=y u ；（2） Ay u x =，0=y u ；（3）0=y u ，r A u =θ。其中A 为常数。 解：（1）由封闭曲线方程可知该曲线时在z =0的平面上的圆周线。 在z =0的平面上速度分布为： Ax u x =，0=y u 涡量分布为：0=z Ω 根据斯托克斯定理得：0==?z A z s dA ΩΓ （2）涡量分布为：A z -=Ω 根据斯托克斯定理得：2b A dA z A z s πΩΓ-==? （3）由于0=r u ，r A u =θ
第三章流体动力学基础复习题 一、概念部分 1、描述流体运动的方法有和；前者以为研究对象，而后者以为研究对象。 2、流体运动的几何描述有：，，和。 3、流线有什么特点？流线、脉线和迹线有什么区别和联系？ 4、流体微团基本运动形式有，和变形运动等， 而变形运动又包括和两种。 5、描述有旋运动几何要素有、和。 6、判断正误：理想流体不存在有旋运动是否正确？为什么？试举例说明。 7、表征涡流的强弱的参数有和。 8、在无涡流空间画出的封闭周线上的速度环量为。 9、简述汤姆孙定理的内容 10、速度势函数?存在的条件是什么？流函数存在的条件是什么？ 11、简述流函数的物理意义的内容，并证明。 12、流网存在的条件是什么？简述流网的性质所包含的内容？ 13、无环量圆柱绕流运动由流、流和流叠加而成，有环量的圆柱绕流运动是无环量的圆柱绕流运动与流叠加而成。 14、是驻点。通过驻点的流线一定是零流线，是否正确？为什么？零流线是。轮廓线是。 15、描述流体运动的微分方程有、和。 写出它们的表达式。 16、纳维-斯托克斯方程中的速度只能是平均速度，是否正确？为什么？ 17、写出总水头和测压管水头的表达式，并说明各项的物理意义。 18、写出总压、全压和势压得表达式，并说明各项的物理意义。 19、简述系统和控制体的定义和特点 二、计算部分 1、已知拉格朗日描述：求速度与加速度的欧拉描述 2、试判断下列流场的描述方式：并转换成另一种描述方式 3、已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为： 试求在t=0时刻位于点（a,b)的流体质点的运动轨迹及拉格朗日法表示的速度场 4、粘性流体在半径为R 的直圆管内做定常流动。设圆管截面（指垂直管轴的平面截面）上?????==-t t be y ae x ()()?????+-=+-=-t y t x e b u e a u 1111???+=+=t y u t x u y x
第七章不可压缩流体动力学基础在前面的章节中，我们学习了理想流体和粘性流体的流动分析，按照水力学的观点，求得平均量。但是，很多问题需要求得更加详细的信息，如流速、压强等流动参数在二个或三个坐标轴方向上的分布情况。本章的内容介绍流体运动的基本规律、基本方程、定解条件和解决流体问题的基本方法。 第一节流体微团的运动分析 运动方式：①移动或单纯的位移（平移）②旋转③线性变形④角变形。位移和旋转可以完全比拟于刚体运动，至于线性变形和脚变形有时统称为变形运动则是基于液体的易流动性而特有的运动形式，在刚体是没有的。 在直角坐标系中取微小立方体进行研究。
一、平移：如果图（a ）所示的基体各角点的质点速度向量完全相同时，则构成了液体基体的单纯位移，其移动速度为z y x u u u 、、。基体在运动中可能沿直线也可能沿曲线运动，但其方位与形状都和原来一样（立方基体各边的长度保持不变）。 二、线变形：从图（b ）中可以看出，由于沿y 轴的速度分量，B 点和C 点都比A 点和D 点大了 dy y u y ??，而 y u y ??就代表1=dy 时液体基体运动时，在单位时间内沿 y 轴方向的伸长率。 x u x ??，y u y ??，z u z ?? 三、角变形（角变形速度） d d d D C A B C D B A
dt y u dy dt dy y u d x x ??=???=α dt x u dx dt dx x u d y y ??=???=β θβθα+=-d d 2 βαθd d -= ∴ 角变形： ???? ????+??=+=-=x u y u d d d y x z 212βαθαθ ?? ? ????+??= x u z u z x y 21θ ???? ????+??=y u z u z y x 21θ 四、旋转（旋转角速度） ??? ? ????-??=-=y u x u x y z 21θω ??? ? ????-??=z u y u y z x 21ω 即， ?? ? ????-??=x u z u z x y 21ω z y x u u u z y x k j i ??????= 21ω 那么，代入欧拉加速度表达式，得： z x x x x x x z y y z z y y y y y y y x z z x x z z z z z z z y x x y y x x y du u u u u u u u dt t x u u u u u u u u dt t y u u u u u u u u dt t z αθθωωαθθωωαθθωω??? = =++++-???? ????==++++-???? ????==++++-? ??? 各项含义： （1） 平移速度 （2）线变形运动所引起的速度增量
不可压缩流体动力学基础 1．已知平面流场的速度分布为xy x u x +=2，y xy u y 522+=。求在点（1，-1）处流体微团的线变形速度，角变 形速度和旋转角速度。 解：（1）线变形速度：y x x u x x +=??=2θ 54+=??=xy y u y y θ 角变形速度：()x y y u x u x y z +=??? ? ????+??=222121ε 旋转角速度：()x y x u x u x y z -=???? ????-??=2221 21ω 将点（1，-1）代入可得流体微团的1=x θ，1=y θ；23/z =ε；21/z =ω 2．已知有旋流动的速度场为322+=y u x ，x z u y 32+=，y x u z 32+=。试求旋转角速度，角变形速度和 涡线方程。 解：旋转角速度：21 21=???? ????-??=z u y u y z x ω 2 121=??? ????-??=x u z u z x y ω 2121=???? ????-??=y u x u x y z ω 角变形速度：2 521=???? ????+??=z u y u y z x ε 2 521=??? ????-??=x u z u z x y ε 2521=??? ? ????-??=y u x u x y z ε 由z y x dz dy dx ωωω==积分得涡线的方程为： 1c x y +=，2c x z +=
3．已知有旋流动的速度场为22z y c u x +=，0=y u ，0=z u ，式中c 为常数，试求流场的涡量及涡线方程。 解：流场的涡量为： 0=??-??=z u y u y z x Ω 22z y cz x u z u z x y +=??-??=Ω 22z y cy y u x u x y z +-=??-??=Ω 旋转角速度分别为：0=x ω 222z y cz y +=ω 222z y cy z +-=ω 则涡线的方程为：c dz dy z y +=??ωω 即c y dz z dy +-=?? 可得涡线的方程为： c c y =+22 4．求沿封闭曲线2 22b y x =+,0=z 的速度环量。（1）Ax u x =，0=y u ；（2）Ay u x =，0=y u ；（3）0=y u ，r A u =θ。其中A 为常数。 解：（1）由封闭曲线方程可知该曲线时在z =0的平面上的圆周线。 在z =0的平面上速度分布为： Ax u x =，0=y u 涡量分布为：0=z Ω 根据斯托克斯定理得：0==?z A z s dA ΩΓ （2）涡量分布为：A z -=Ω 根据斯托克斯定理得：2b A dA z A z s πΩΓ-==?
思考题及答案 一、选择 (1) 二、例题 (2) 三、问答 (14) 一、选择 问题：恒定流是： A、流动随时间按一定规律变化； B、流场中任意空间点的运动要素不随时间变化； C、各过流断面的速度分布相同； D、各过流断面的压强相同。 问题：非恒定流是： A、； B、； C、； D、。 问题：一元流动是： A、均匀流； B、速度分布按直线变化； C、运动参数是一个空间坐标和时间变量的函数； D、限于直线流动。 问题：均匀流是： A、当地加速度为零； B、迁移加速度为零； C、向心加速度为零； D、合加速度为零。 问题1：流速势函数存在的必要与充分条件是: A、平面无旋流动； B、理想流体平面流动； C、不可压缩流体平面流动； D、无旋流动。 问题2：设流速势函数j=xyz，则点B（1，2，1）处的速度u 为： B A、5； B、1； C、3； D、2。
判断：公式（3－14）与公式（3－16）两式形式完全相同，因此其应用条件也相同。 你的回答：对错 判断：土坝渗流中的流网网格一定是直线正方形网格。 你的回答：对错 二、例题 例1如图3-7，已知流速场为，其中C为常数，求流 线方程。 解：由式得 图3-7 积分得： 则： 此外，由得： 因此，流线为Oxy平面上的一簇通过原点的直线，这种流动称为平面点源流动（C＞0时）或平
面点汇流动（C＜0时） 例2已知平面流动 试求：（1）t=0时，过点M（-1，-1）的流线。 （2）求在t=0时刻位于x=-1，y=-1点处流体质点的迹线。解：（1）由式 （2）由式 得 得 得： 由t=0时，x=-1，y=-1得C 1=0, C 2 =0，则有： 将：t=0，x=-1，y=-1 代入得瞬时流线 xy=1 最后可得迹线为： 即流线是双曲线。 例3已知流动速度场为
课后习题 第一章 1.计算流体动力学的基本任务是什么 计算流体动力学是通过计算机数值计算和图像显示，对包含有流体流动和热传导等相关物理现象的系统所做的分析。 2.什么叫控制方程？常用的控制方程有哪几个？各用在什么场合？ 流体流动要受物理守恒定律的支配，基本的守恒定律包括：质量守恒定律、动量守恒定律、能量守恒定律。如果流动包含有不同组分的混合或相互作用，系统还要遵守组分守恒定律。如果流动处于湍流状态，系统还要遵守附加的湍流输运方程。控制方程是这些守恒定律的数学描述。 常用的控制方程有质量守恒方程、动量守恒方程、能量守恒方程、组分质量守恒方程。质量守恒方程和动量守恒方程任何流动问题都必须满足，能量守恒定律是包含有热交换的流动系统必须满足的基本定律。组分质量守恒方程，在一个特定的系统中，可能存在质的交换，或者存在多种化学组分，每种组分都需要遵守组分质量守恒定律。 4.研究控制方程通用形式的意义何在？请分析控制方程通用形式中各项的意义。 建立控制方程通用形式是为了便于对各控制方程进行分析，并用同一程序对各控制方程进行求解。
各项依次为瞬态项、对流项、扩散项、源项。 6.CFD商用软件与用户自行设计的CFD程序相比，各有何优势？常用的商用CFD软件有哪些？特点如何？ 由于CFD的复杂性及计算机软硬件条件的多样性，用户各自的应用程序往往缺乏通用性。 CFD商用软件的特点是 功能比较全面、适用性强。 具有比较易用的前后处理系统和其他CAD及CFD软件的接口能力，便于用户快速完成造型、网格划分等工作。 具有比较完备的容错机制和操作界面，稳定性高。 可在多种计算机、多种操作系统，包括并行环境下运行。 常用的商用CFD软件有PHOENICS、CFX、SRAR-CD、FIDAP、FLUENT。PHOENICS除了通用CFD软件应该拥有的功能外，PHOENICS软件有自己独特的功能：开放性、CAD接口、运动物体功能、多种模型选择、双重算法选择、多模块选择。 CFX除了可以使用有限体积法外，还采用基于有限元的有限体积法。用于模拟流体流动、传热、多相流、化学反应、燃烧问题。其优势在于处理流动物理现象简单而几何形状复杂的问题。 SRAR-CD基于有限体积法，适用于不可压流体和可压流的计算、热力学的计算及非牛顿流的计算。它具有前处理器、求解器、后处理器三大模块，以良好的可视化用户界面把建模、求解及后处理与全部的物理模型和算法结合在一个软件包中。
第五章 实际流体动力学基础 5—1设在流场中的速度分布为u x =2ax ，u y =-2ay ，a 为实数，且a >0。试求切应力τxy 、τyx 和附加压应力p ′x 、p ′y 以及压应力p x 、p y 。 解：0y x xy yx u u x y ττμ??? ?==+= ????? 24x x u p a x μμ?'=-=-?，24y y u p a y μμ?'=-=?， 4x x p p p p a μ'=+=-，4y y p p p p a μ'=+=+ 5－2 设例５－1中的下平板固定不动，上平板以速度v 沿x 轴方向作等速运动（如图所示），由于上平板运动而引起的这种流动，称柯埃梯（Couette ）流动。试求在这种流动情况下，两平板间的速度分布。（请将 d 0d p x =时的这一流动与在第一章中讨 论流体粘性时的流动相比较） 解：将坐标系ox 轴移至下平板，则边界条件为 y ＝０，0X u u ==；y h =，u v =。 由例５－1中的（11）式可得 2d (1)2d h y p y y u v h x h h μ=- - （１） 当d 0d p x =时，y u v h =，速度ｕ为直线分布，这种特殊情况的流动称简单柯埃梯流动或简单剪切流动。它只是由于平板运动，由于流体的粘滞性带动流体发生的流动。 当d 0d p x ≠时，即为一般的柯埃梯流动，它是由简单柯埃梯流动和泊萧叶流动叠加而成，速度分布为 (1)u y y y p v h h h =-- （２） 式中2d ()2d h p p v x μ= - （３） 当p ＞０时，沿着流动方向压强减小，速度在整个断面上的分布均为正值；当p ＜０时，沿流动方向压强增加，则可能在静止壁面附近产生倒流，这主要发生p ＜－１的情况． 5－3 设明渠二维均匀（层流）流动，如图所示。若忽略空气阻力，试用纳维—斯托克斯方程和连 续性方程，证明过流断面上的速度分布为2 sin (2)2x g u zh z r q m = -，单宽流量3sin 3gh q r q m =。 解：（1）因是恒定 二维流动， 0y x z u u u t t t ???===抖?，u u x =，0y u =， 0z u =，由纳维——斯托克 斯方程和连续性方程可 得
第三章 流体动力学基础 习 题 一、单选题 1、在稳定流动中，在任一点处速度矢量是恒定不变的，那么流体质点是 （ ） A ．加速运动 B ．减速运动 C ．匀速运动 D ．不能确定 2、血管中血液流动的流量受血管内径影响很大。如果血管内径减少一半，其血液的流量将变为原来的（ ）倍。 A ．21 B ．41 C ．81 D ．161 3、人在静息状态时，整个心动周期内主动脉血流平均速度为0.2 m/s ，其内径d =2×10-2 m ，已知血液的粘度η =×10-3 Pa·S，密度ρ=×103 kg/m 3 ，则此时主动脉中血液的流动形态处于（ ）状态。 A ．层流 B ．湍流 C ．层流或湍流 D ．无法确定 4、正常情况下，人的小动脉半径约为3mm ，血液的平均速度为20cm/s ，若小动脉某部分被一硬斑阻塞使之变窄，半径变为2mm ，则此段的平均流速为（ ）m/s 。 A ．30 B ．40 C ．45 D ．60 5、有水在同一水平管道中流动，已知A 处的横截面积为S A =10cm 2 ，B 处的横截面积为 S B =5cm 2，A 、B 两点压强差为1500Pa ，则A 处的流速为（ ）。 A ．1m/s B ．2m/s C ．3 m/s D ．4 m/s 6、有水在一水平管道中流动，已知A 处的横截面积为S A =10cm 2 ，B 处的横截面积为S B =5cm 2 ，A 、B 两点压强之差为1500Pa ，则管道中的体积流量为（ ）。 A ．1×10-3 m 3 /s B ．2×10-3 m 3 /s C ．1×10-4 m 3 /s D ．2×10-4 m 3 /s 7、通常情况下，人的小动脉内径约为6mm ，血流的平均流速为20cm/s ，若小动脉某处被一硬斑阻塞而变窄，测得此处血流的平均流速为80cm/s ，则小动脉此处的内径应为（ ）mm 。 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 8、正常情况下，人的血液密度为×103 kg/m 3 ，血液在内径为6mm 的小动脉中流动的平均速度为20cm/s ，若小动脉某处被一硬斑阻塞而变窄，此处内径为4mm ，则小动脉宽处与窄处压强之差（ ）Pa 。 二、判断题
借宝地写几个小短文，介绍CFD的一些实际的入门知识。主要是因为这里支持Latex，写起来比较便。 CFD，计算流体力学，是一个挺难的学科，涉及流体力学、数值分析和计算机算法，还有计算机图形学的一些知识。尤其是有关偏微分程数值分析的东西，不是那么容易入门。大多数图书，片中数学原理而不重实际动手，因为作者都把读者当做已经掌握基础知识的科班学生了。所以数学基础不那么好的读者往往看得很吃力，看了还不知道怎么实现。本人当年虽说是学航天工程的，但是那时本科教育已经退步，基础的流体力学课被砍得只剩下一维气体动力学了，因此自学CFD的时候也是头晕眼花。不知道怎么实现，也很难找到教学代码——那时候网络还不发达，只在教研室的故纸堆里搜罗到一些完全没有注释，编程风格也不好的冗长代码，硬着头皮分析。后来网上淘到一些代码研读，结合书籍论文才慢慢入门。可以说中间没有老师教，后来赌博士为了混学分上过CFD专门课程，不过那时候我已经都掌握课堂上那些了。 回想自己入门艰辛，不免有一个想法——写点通俗易懂的CFD入门短文给师弟师妹们。本人不打算搞得很系统，而是希望能结合实际，阐明一些最基本的概念和手段，其中一些复杂的道理只是点到为止。目前也没有具体的计划，想到哪里写到哪里，因此可能会很零散。但是我争取让初学CFD 的人能够了解一些基本的东西，看过之后，会知道一个CFD代码怎么炼成的（这“炼”字好像很流行啊）。欢迎大家提出意见，这样我尽可能的可以追加一些修改和解释。
言归正传，第一部分，我打算介绍一个最基本的算例，一维激波管问题。说白了就是一根两端封闭的管子，中间有个隔板，隔板左边和右边的气体状态（密度、速度、压力）不一样，突然把隔板抽去，管子面的气体怎么运动。这是个一维问题，被称作黎曼间断问题，好像是黎曼最初研究双曲微分程的时候提出的一个问题，用一维无粘可压缩Euler程就可以描述了。 这里 这个程就是描述的气体密度、动量和能量随时间的变化（）与它们各自的流量（密度流量，动量流量，能量流量）随空间变化（）的关系。 在CFD常把这个程写成矢量形式 这里 进一步可以写成散度形式
第八章管道不可压缩流体恒定流 有压管流是日常生活中最常见的输水方式，本章主要介绍了有压管流的水力特点，计算问题以及简单管道与串联、并联和管网的水力计算原理与应用。 概述 一、概念 有压管流（penstock）：管道中流体在压力差作用下的流动称为有压管流。 有压恒定管流：管流的所有运动要素均不随时间变化的有压管流。 有压非恒定管流：管流的运动要素随时间变化的有压管流。 观看录像 二、分类 1.有压管道根据布置的不同，可分为： 简单管路：是指管径、流速、流量沿程不变，且无分支的单线管道。 复杂管路：是指由两根以上管道所组成的管路系统。 2.按局部水头损失和流速水头之和在总水头损失中所占的比重，管道可分为 长管：指管道中以沿程水头损失为主，局部水头损失和流速水头所占比重小于（5%-10%）的沿程水头损失，从而可予以忽略的管道。 短管：局部水头损失和流速水头不能忽略的、需要同时计算的管道。 三、有压管道水力计算的主要问题 1.验算管道的输水能力：在给定作用水头、管线布置和断面尺寸的情况下，确定输送的流量。 2.确定水头：已知管线布置和必需输送的流量，确定相应的水头。 3.绘制测压管水头线和总水头线：确定了流量、作用水头和断面尺寸（或管线）后，计算沿管线各断面的压强、总比能，即绘制沿管线的测压管水头线和总水头线。 第一节简单管道的水力计算 一、基本公式 1.淹没出流 图8-1中，列断面１－１与２－２的能量方程(4-15)，
图8-1 令： 且w1>>w, w2>>w，则有 （8-1） 说明：简单管道在淹没出流的情况下，其作用水头H0完全被消耗于克服管道由于沿程阻力、局部阻力所作负功所产生的水头损失上。即： 管道中的流速与流量为： （8-2） （8-3） 式中： ——管系流量系数，，它反映了沿程阻力和局部阻力对管道输水能力的影响。H0——作用水头，指上、下游水位差加上游行进流速的流速水头。 ——局部阻力系数，包含出口损失。 问题：图示两根完全相同的长管道，只是安装高度不同，两管道的流量关系为：
不可压缩流体动力学基础 1.已知平面流场的速度分布为xy x u x +=2,y xy u y 522+=。求在点(1,-1)处流体微团的线变形速度,角变形速度与 旋转角速度。 解:(1)线变形速度:y x x u x x +=??=2θ 54+=??=xy y u y y θ 角变形速度:()x y y u x u x y z +=??? ? ????+??=222121ε 旋转角速度:()x y x u x u x y z -=???? ????-??=2221 21ω 将点(1,-1)代入可得流体微团的1=x θ,1=y θ;23/z =ε;21/z =ω 2.已知有旋流动的速度场为322+=y u x ,x z u y 32+=,y x u z 32+=。试求旋转角速度,角变形速度与涡线方程。 解:旋转角速度:21 21=???? ????-??=z u y u y z x ω 2 121=??? ????-??=x u z u z x y ω 2121=???? ????-??=y u x u x y z ω 角变形速度:2 521=???? ????+??=z u y u y z x ε 2 521=??? ????-??=x u z u z x y ε 2521=??? ? ????-??=y u x u x y z ε 由z y x dz dy dx ωωω==积分得涡线的方程为: 1c x y +=,2c x z +=
3.已知有旋流动的速度场为22z y c u x +=,0=y u ,0=z u ,式中c 为常数,试求流场的涡量及涡线方程。 解:流场的涡量为: 0=??-?? =z u y u y z x Ω 22z y cz x u z u z x y +=??-??=Ω 22z y cy y u x u x y z +-=??-??=Ω 旋转角速度分别为:0=x ω 2 22z y cz y +=ω 222z y cy z +-=ω 则涡线的方程为:c dz dy z y += ??ωω 即c y dz z dy +-=?? 可得涡线的方程为:c c y =+22 4.求沿封闭曲线2 22b y x =+,0=z 的速 度环量。(1)Ax u x =,0=y u ;(2)Ay u x =,0=y u ;(3)0=y u ,r A u =θ。其中A 为常数。 解:(1)由封闭曲线方程可知该曲线时在z =0的平面上的圆周线。 在z =0的平面上速度分布为: Ax u x =,0=y u 涡量分布为:0=z Ω 根据斯托克斯定理得:0==?z A z s dA ΩΓ (2)涡量分布为:A z -=Ω 根据斯托克斯定理得:2 b A dA z A z s πΩΓ-==?
计算流体力学入门第九章库特流代码 fortan90版 ! -------------------------------------------------- ! Silverfrost FTN95 for Microsoft Visual Studio ! Free Format FTN95 Source File ! -------------------------------------------------- program piple implicitnone real,dimension(21)::u real,dimension(21)::uu real,dimension(21,3)::cf integer::i real::s=0.0 real::err=1 ! judgement of wheather stop or not do i=1,21 u(i)=0 enddo dowhile(err>1e-8) u(1)=0.0 u(21)=1.0 uu(1)=0.0 uu(21)=1.0 cf(:,1)=-0.5 cf(:,2)=2.0 do i=2,20 cf(i,3)=0.5*(u(i+1)+u(i-1)) enddo cf(20,3)=cf(20,3)+0.5 do i=3,20 cf(i,2)=cf(i,2)-(cf(i,1)*cf(i-1,1))/cf(i-1,2) cf(i,3)=cf(i,3)-(cf(i-1,3)*cf(i,1))/cf(i-1,2) enddo uu(20)=cf(20,3)/cf(20,2) do i=19,1,-1 uu(i)=(cf(i,3)+0.5*uu(i+1))/cf(i,2) enddo uu(1)=0 do i=1,21 s=s+abs(uu(i)-u(i)) enddo u=uu err=s s=0.0 print*,err enddo print*,uu read*,i endprogram piple ! -------------------------------------------------- ! Silverfrost FTN95 for Microsoft Visual Studio ! Free Format FTN95 Source File ! -------------------------------------------------- program piple
第1章CFD 基础 计算流体动力学(computational fluid dynamics，CFD)是流体力学的一个分支，它通过计算机模拟获得某种流体在特定条件下的有关信息，实现了用计算机代替试验装置完成“计算试验”，为工程技术人员提供了实际工况模拟仿真的操作平台，已广泛应用于航空航天、热能动力、土木水利、汽车工程、铁道、船舶工业、化学工程、流体机械、环境工程等领域。 本章介绍CFD一些重要的基础知识，帮助读者熟悉CFD的基本理论和基本概念，为计算时设置边界条件、对计算结果进行分析与整理提供参考。 1.1 流体力学的基本概念 1.1.1 流体的连续介质模型 流体质点(fluid particle)：几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微元体。 连续介质(continuum/continuous medium)：质点连续地充满所占空间的流体或固体。 连续介质模型(continuum/continuous medium model)：把流体视为没有间隙地充满它所占据的整个空间的一种连续介质，且其所有的物理量都是空间坐标和时间的连续函数的一种假设模型：u =u(t,x,y,z)。 1.1.2 流体的性质 1. 惯性 惯性(fluid inertia)指流体不受外力作用时，保持其原有运动状态的属性。惯性与质量有关，质量越大，惯性就越大。单位体积流体的质量称为密度(density)，以r表示，单位为kg/m3。对于均质流体，设其体积为V，质量为m，则其密度为 m ρ=(1-1) V 对于非均质流体，密度随点而异。若取包含某点在内的体积V?，其中质量m ?，则该
点密度需要用极限方式表示，即 0lim V m V ρ?→?=? (1-2) 2. 压缩性 作用在流体上的压力变化可引起流体的体积变化或密度变化，这一现象称为流体的可压缩性。压缩性(compressibility)可用体积压缩率k 来量度 d /d /d d V V k p p ρρ =-= (1-3) 式中：p 为外部压强。 在研究流体流动过程中，若考虑到流体的压缩性，则称为可压缩流动，相应地称流体为可压缩流体，例如高速流动的气体。若不考虑流体的压缩性，则称为不可压缩流动，相应地称流体为不可压缩流体，如水、油等。 3. 粘性 粘性(viscosity)指在运动的状态下，流体所产生的抵抗剪切变形的性质。粘性大小由粘度来量度。流体的粘度是由流动流体的内聚力和分子的动量交换所引起的。粘度有动力粘度μ和运动粘度ν之分。动力粘度由牛顿内摩擦定律导出： d d u y τμ= (1-4) 式中：τ为切应力，Pa ；μ为动力粘度，Pa ?s ；d /d u y 为流体的剪切变形速率。 运动粘度与动力粘度的关系为 μ νρ = (1-5) 式中：ν为运动粘度，m 2/s 。 在研究流体流动过程中，考虑流体的粘性时，称为粘性流动，相应的流体称为粘性流体；当不考虑流体的粘性时，称为理想流体的流动，相应的流体称为理想流体。 根据流体是否满足牛顿内摩擦定律，将流体分为牛顿流体和非牛顿流体。牛顿流体严格满足牛顿内摩擦定律且μ保持为常数。非牛顿流体的切应力与速度梯度不成正比，一般又分为塑性流体、假塑性流体、胀塑性流体3种。 塑性流体，如牙膏等，它们有一个保持不产生剪切变形的初始应力0τ，只有克服了这个初始应力后，其切应力才与速度梯度成正比，即 0d d u y ττμ=+ (1-6) 假塑性流体，如泥浆等，其切应力与速度梯度的关系是
第三章流体动力学基础 描述流体运动的两种方法： 拉格朗日法和欧拉法。除个别质点的运动问题外，都应用欧拉法。 拉格朗日法：是以个别质点为研究对象，观察该质点在空间的运动，然后将每个质点的运动情况汇总，得到整个流体的运动。质点的运动参数是起始坐标和时间变量t的连续函数。 欧拉法：是以整个流动空间为研究对象，观察不同时刻各空间点上流体质点的运动，然后将每个时刻的情况汇总起来，描述整个运动。空间点的物理量是空间坐标）和时间变量t的连续函数。 恒定流：各空间点上的运动参数都不随时间变化的流动。 非恒定流：各空间点上的运动参数随时间变化的流动。 一（二、三）元流：流体流动时各空间点上的运动参数是一（二、三）个空间坐标和时间变量的连续函数。 均匀流：流线是平行直线的流动。 非均匀流：流线不是平行直线的流动。 流线：表示某时刻流动方向的曲线，曲线上各质点的速度矢量都与该曲线相切。迹线：流体质点在一段时间内的运动轨迹。 流管：某时刻，在流场内任意做一封闭曲线，过曲线上各点做流线，所构成的管状曲面。 流束：充满流体的流管。 过流断面：与所有流线正交的横断面。 元流：过流断面无限小的流束，断面上各点的运动参数均相同。
总流：过流断面为有限大小的流束，断面上各点的运动参数不相同。流量：单位时间内通过某一过流断面的流体量。以体积计为体积流量，简称流量；以质量计为质量流量；以重量计为重量流量 非均匀渐变流：在非均匀流中流线近似于平行直线的流动。 水头线：总流或元流沿程能量变化的几何图示。 水力坡度：单位流程内的水头损失。 （简答）流线有哪些主要性质？流线和迹线有无重合的情况？答：流线性质：（1）在恒定流中，流线的形状和位置不随时间变化；（2）在同一时刻，一般情况下流线不能相交或转折。在恒定流中流线与迹线重合，非恒定流中一般情况下两者不重合，但当速度方向不随时间变化只是速度大小随时间变化时，两者仍重合。 试述流动分类：（1）根据运动参数是否随时间变化，分为恒定流和非恒定流；（2）根据运动参数与空间坐标的关系，分为一元流、二元流和三元流；（3）根据流线是否平行，分为均匀流和非均匀流。 不可压缩流体的连续性微分方程：不可压缩流体运动必须满足该方程。
不可压缩流体动力学基础 1。已知平面流场得速度分布为,.求在点（１，-1)处流体微团得线变形速度,角变形速度与旋转角速度。解：(1）线变形速度： 角变形速度: 旋转角速度： 将点（1,-1)代入可得流体微团得,；; 2。已知有旋流动得速度场为,，。试求旋转角速度，角变形速度与涡线方程。 解:旋转角速度： 角变形速度： 由积分得涡线得方程为： ， 3。已知有旋流动得速度场为，,,式中c为常数,试求流场得涡量及涡线方程. 解:流场得涡量为: 旋转角速度分别为： 则涡线得方程为： 即 可得涡线得方程为： 4.求沿封闭曲线,得速度环量。(１）,;(2），；(3)，.其中A为常数。 解:(1）由封闭曲线方程可知该曲线时在z=０得平面上得圆周线。 在z=０得平面上速度分布为: , 涡量分布为： 根据斯托克斯定理得： （2）涡量分布为： 根据斯托克斯定理得： （3）由于, 则转化为直角坐标为：， 则 根据斯托克斯定理得: ５.试确定下列各流场就是否满足不可压缩流体得连续性条件? 答：不可压缩流体连续性方程 直角坐标：（1） 柱面坐标: (２） （1）代入(1) 满足
（2） 代入（1） 满足 （3） 代入（1） 不满足 （4） 代入（１） 不满足 （5) 代入(2） 满足 （６) 代入（2) 满足 （7) 代入（2) 满足 6。已知流场得速度分布为，，。求（3,1，2）点上流体质点得加速度。 解：y x y x x y xy y x z u u y u u x u u t u a x z x y x x x x 22322320320-=+?-?+=??+??+??+??= 将质点(3，１，2)代入ａx 、a y 、ａz 中分别得： ，, 7。已知平面流场得速度分布为，。求时，在(1,１）点上流体质点得加速度. 解: ()()()??????? ?+-+-++????????+????? ? ?+-+=??+??+??=2222222222222420222244y x y y x y x x y x y x y x y t y u u x u u t u a x y x x x x 当时， 将（1,1）代入得 ()()()22222222222224242240y x xy y x x y x x y x y x y t y u u x u u t u a y y y x y y +-?++????????+-+???? ??+-+=??+??+??= 当t=0时,将(1，１）代入得： 8.设两平板之间得距离为2h ,平板长宽皆为无限大，如图所示。试用粘性流体运动微分方程,求此不可压缩流体恒定流得流速分布。 解:方向速度与时间无关，质量力： 运动方程:方向: 方向： 积分： ∴对得偏导与无关，方向得运动方程可写为 积分： 边界条件:， 得:， ∴ 9．沿倾斜平面均匀地流下得薄液层,试证明：（1)流层内得速度分布为；(2)单位宽度上得流量为。 解：方向速度与时间无关，质量力， 运动方程：x 方向： ① ｙ方向： ② ②积分 ∴ ∵常数 ∴与无关 ①可变为
工程流体力学闻德课后习题答案 第五章 实际流体动力学基础 5—1设在流场中的速度分布为u x =2ax ,u y =-2ay ,a 为实数,且a >0。试求切应力τxy 、τyx 与附加压应力p ′x 、p ′y 以及压应力p x 、p y 。 解:0y x xy yx u u x y ττμ????==+= ????? 24x x u p a x μμ?'=-=-?,24y y u p a y μμ?'=-=?, 4x x p p p p a μ'=+=-,4y y p p p p a μ'=+=+ 5－2 设例５－1中的下平板固定不动,上平板以速度 v 沿x 轴方向作等速运动(如图所示),由于上平板运动而引 起的这种流动,称柯埃梯(Couette)流动。试求在这种流动情 况下,两平板间的速度分布。(请将d 0d p x =时的这一流动与在第一章中讨论流体粘性时的流动相比较) 解:将坐标系ox 轴移至下平板,则边界条件为 y ＝０,0X u u ==;y h =,u v =。 由例５－1中的(11)式可得 2d (1)2d h y p y y u v h x h h μ=-- (１) 当d 0d p x =时,y u v h =,速度ｕ为直线分布,这种特殊情况的流动称简单柯埃梯流动或简单剪切流动。它只就是由于平板运动,由于流体的粘滞性带动流体发生的流动。 当d 0d p x ≠时,即为一般的柯埃梯流动,它就是由简单柯埃梯流动与泊萧叶流动叠加而成,速度分布为 (1)u y y y p v h h h =-- (２) 式中2d ()2d h p p v x μ=- (３) 当p ＞０时,沿着流动方向压强减小,速度在整个断面上的分布均为正值;当p ＜０时,沿流动方向压强增加,则可能在静止壁面附近产生倒流,这主要发生p ＜－１的情况. 5－3 设明渠二维均匀(层流)流动,如图所示。若忽略空气阻力,试用纳维—斯托克斯方程与连续性方程,证明过流断面上的速度分布为2sin (2)2x g u zh z r q m =-,单宽流量3 sin 3gh q r q m =。 解:(1)因就是恒定二维流