不可压缩流体动力学基础
1．已知平面流场的速度分布为xy x u x
+=2，y xy u y 522+=。求在点（1，-1）处流体微团的线变形速度，角变
形速度和旋转角速度。 解：（1）线变形速度：y x x
u x x +=??=2θ 54+=??=xy y u y
y θ 角变形速度：()x y y u x u x y z +=???
? ????+??=222121ε 旋转角速度：()x y x u x u x y z -=???? ????-??=2221
21ω 将点（1，-1）代入可得流体微团的
1=x θ，1=y θ；23/z =ε；21/z =ω 2．已知有旋流动的速度场为322+=y u x
，x z u y 32+=，y x u z 32+=。试求旋转角速度，角变形速度和
涡线方程。 解：旋转角速度：21
21=???? ????-??=z u y u y z x ω 2
121=??? ????-??=x u z u z x y ω 2121=???? ????-??=y u x u x y
z ω 角变形速度：2
521=???? ????+??=z u y u y z x ε 2
521=??? ????-??=x u z u z x y ε 2521=???
? ????-??=y u x u x y z ε 由z y x dz dy dx ωωω==积分得涡线的方程为：
1c x y +=，2c x z +=
3．已知有旋流动的速度场为22z y c u x
+=，0=y u ，0=z u ，式中c 为常数，试求流场的涡量及涡线方程。
解：流场的涡量为： 0=??-??=z
u y u y z x Ω 22z y cz x u z u z x y +=??-??=
Ω 22z y cy y u x u x y
z +-=??-??=Ω
旋转角速度分别为：0=x ω
222z
y cz
y +=ω 222z y cy
z +-=ω 则涡线的方程为：c dz dy z y +=??ωω 即c y dz z dy +-=??
可得涡线的方程为：
c c y =+22 4．求沿封闭曲线2 22b y x =+,0=z 的速度环量。（1）Ax u x =，0=y u ；（2）Ay u x =，0=y u ；（3）0=y u ，r A u =θ。其中A 为常数。
解：（1）由封闭曲线方程可知该曲线时在z =0的平面上的圆周线。
在z =0的平面上速度分布为：
Ax u x =，0=y u
涡量分布为：0=z Ω
根据斯托克斯定理得：0==?z A
z s dA ΩΓ （2）涡量分布为：A z -=Ω
根据斯托克斯定理得：2b A dA z A
z s πΩΓ-==?
（3）由于0=r u ，r A u =θ 则转化为直角坐标为：22b Ay y r A u x -=-=，2b
Ax u y = 则22b
A y u x u x y
z =??-??=Ω 根据斯托克斯定理得：A dA z A
z s πΩΓ2==? 5．试确定下列各流场是否满足不可压缩流体的连续性条件？
答：不可压缩流体连续性方程 直角坐标：0=??+??+??z
u y u x u z y x （1） 柱面坐标：0=??+??+??+z
u r u r u r u z r r θθ （2） （1）0,,=-==z y x
u ky u kx u 代入（1） 满足 （2）y x u x z u z y u z y x +=+=+=,, 代入（1） 满足
（3）0),(),(2222=+=-+z y x u y x k u y xy x k u 代入（1） 不满足
（4）0,sin ,sin =-==z y x
u xy k u xy k u 代入（1） 不满足 （5）0,,0===z r
u kr u u θ 代入（2） 满足 （6）0,0,==-=z r
u u r k u θ 代入（2） 满足 （7）0,sin 2,cos sin 22=-==z r u r u r u θθθθ 代入（2） 满足
6．已知流场的速度分布为y x u x
2=，y u y 3-=，22z u z =。求（3，1，2）点上流体质点的加速度。 解：y x y x x y xy y x z
u u y u u x u u t u a x z x y x x x x 22322320320-=+?-?+=??+??+??+??= y z u u y u u x u u t
u a y z y y y x y
y 9=??+??+??+??= 28z z
u u y u u x u u t u a z z z y z x z z =??+??+??+??= 将质点（3，1，2）代入a x 、a y 、a z 中分别得：
27=x a ，9=y a ，64=z a
7．已知平面流场的速度分布为2224y x y t u x +-=，222y x x u y +=。求0=t 时，在（1，1）点上流体质点的加
速度。
解：
()()()???
?????+-+-++????????+????? ??+-+=??+??+??=2222222222222420222244y x y y x y x x y x y x y x y t y u u x u u t u a x y x x x x 当0=t 时，()()
2222222222284y x y x x y x xy a x +--+-= 将（1，1）代入得3=x a
()()()22222222222224242240y x xy y x x y x x y x y x y t y u u x
u u t u a y y y x y
y +-?++????????+-+???? ??+-+=??+??+??= 当t=0时，将（1，1）代入得：1-=y a
8．设两平板之间的距离为2h ，平板长宽皆为无限大，如图所示。试用粘性流体运动微分方程，求此不可压缩流体恒定流的流速分布。
解：z 方向速度与时间无关，质量力：g f x -=
运动方程：z 方向：2210dx
u d z p υρ+??-= x 方向：→??-
-=x p g ρ10 积分：)(z f gx p +-=ρ
∴p 对z 的偏导与x 无关，z 方向的运动方程可写为z p dy
u d ??=μ122 积分：212
2
1C x C x z p u ++??=μ 边界条件：h x ±=，0=u
得：01=C ，221h z
p C ??-=μ ∴??
????-??-=22)(12h x z p h u μ 9．沿倾斜平面均匀地流下的薄液层，试证明：（1）流层内的速度分布为()θμ
γsin y by u 222-=；（2）单位宽度上的
流量为θμγsin 33b q =。 解：x 方向速度与时间无关，质量力θsin g f x =，θcos g f y -= 运动方程：x 方向：22
1sin 0dy u
d x p g υρθ+??-= ①
y 方向：y p
g ??--=ρθ1cos 0 ②
②→积分)(cos x f gy p +-=θρ b y = a p p = )(cos x f gb a +-=θρρ ∴θρcos )(y h g p p a -+= ∵=b 常数 ∴p 与x 无关 ①可变为μθ
ρsin 22g dy u d -=
积分)21
(sin 212C y C y g u ++-=μθ
ρ
边界条件：0=y ，0=u ；b y =， 0=dy du
∴b C -=1，02=C
∴θμμθρsin )2(2)2(2sin 2y by r
y b y g u -=-= θμγθμγsin 3sin )2(23
200b dy y by udy Q b b =-==??
10.描绘出下列流速场
解：流线方程： y
x u dy
u dx =
（a ）4=x u ，3=y u ，代入流线方程，积分：c x y +=43
直线族 （b ）4=x u ，x u y 3=，代入流线方程，积分：c x y +=28
3
抛物线族 （c ）y u x 4=，0=y u ，代入流线方程，积分：c y =
直线族 （d ）y u x 4=，3=y u ，代入流线方程，积分：c y x +=23
2
抛物线族 （e ）y u x 4=，x u y 3-=，代入流线方程，积分：c y x =+2243
椭圆族 （f ）y u x 4=，x u y 4=，代入流线方程，积分：c y x =-22
双曲线族 （g ）y u x 4=，x u y 4-=，代入流线方程，积分：c y x =+22
同心圆 （h ）4=x u ，0=y u ，代入流线方程，积分：c y =
直线族
（i ）4=x u ，x u y 4-=，代入流线方程，积分：c x y +-=2
2
抛物线族 （j ）x u x 4=，0=y u ，代入流线方程，积分：c y =