宁夏回族自治区银川一中2015届高三 第一次模拟考试数学（理）试题
1．已知全集U=R ，集合{}lg(1)A x y x ==-，集合{}B y y ==，则A∩(C U B)= A ．[1,2] B ．[1,2) C ．(1,2] D ．(1,2) 2．已知直线m 、n 和平面，则m∥n 的必要非充分条件是 A ．m 、n 与成等角 B. m ⊥且n ⊥ C. m∥且n α? D ．m∥且n∥ 3．若等比数列}{n a 的前n 项和32n
n S a =?-，则2a =
A ．4
B ．12
C ．24
D ．36
4．已知复数i bi a i 42))(1(+=++),(R b a ∈，函数
()2sin()6
f x ax b π
=++图象的一个对称中心是
A. （1,6
π
-） B. （,018π-
） C.（,36π-） D.（5,118
π
） 5．如图给出的是计算111
2
4
100
++???+
的值的程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是
A. i ＞100,n=n+1
B. i ＞100,n=n+2
C. i ＞50,n=n+2
D. i≤50,n=n+2 6．设()0
cos sin a x x dx π
=-?，则二项式6
2
a x x ??+ ??
?展开式中的3x 项的系数为 A. 160- B. 20 C. 20-
D. 160 7．给出下列四个结论：
（1）如图Rt ABC ?中， 2,90,30.AC B C =∠=?∠=?D 是斜边AC
上的点，|CD|=|CB|. 以B 为起点任作一条射线BE 交AC 于E 点，则E 点落在线段CD 2
； （2）设某大学的女生体重y(kg)与身高x(cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i
＝1，2，…， n)，用最小二乘法建立的线性回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ；
A
B C
D
E
（3）为调查中学生近视情况,测得某校男生150名中有80名近视,在140名女生中有70名近视.在
检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时,应该用独立性检验最有说服力; （4）已知随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.79,N P σξ≤=则()20.21;P ξ≤-=
其中正确结论的个数为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10．对于函数()y f x =，部分与的对应关系如下表：
{}n x 11x =*n N ∈1(,)n n x x +()y f x =的图像上，则
201420134321x x x x x x ++++++ 的值为
A. 7549
B. 7545
C. 7539
D. 7553
11．已知F 2、F 1是双曲线22
221y x a b
-=(a>0，b>0)的上、下焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落
在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为 A ．3 B ． 3 C ．2 D ． 2
12．已知函数f(x)=1a x x ??
- ?
?
?
-2lnx(a ∈R)，g(x)=a x
-，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f(x 0)>g(x 0)成立，则实数a 的范围为
A ．[1，+∞) B．(1，+∞) C．[0，+∞) D．(0，+∞)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．等差数列{}n a 中，48126a a a ++=，则9111
3
a a -= .
14．若(0,)απ∈，且3c o s2sin ()4
π
αα=
-，则s i n2α的值为 .
15．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3
人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为 .
16．在直角坐标平面xoy 中，F 是抛物线C: 22x py =（p>0）的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M,F,O 三点的圆的圆心为Q,点Q 到抛物线C 的准线的距离为34
，则抛
物线C 的方程为__________________．
三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）
ABC ?中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量2
(2sin ,3),(cos2,2cos 1)
2
B m B n B
=-=-2(2sin ,3),(cos2,2cos 1)2B m B n B =-=-且//m n
（1）求锐角的大小；
（2）如果2b =，求ABC ?的面积ABC S ?的最大值．
18．（本小题满分12分）
如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除、外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，
DC ∥EB ，DC EB =，4=AB ，4
1
tan =
∠EAB ． ⑴证明：平面⊥A D E 平面ACD ；
⑵当三棱锥A D E C -体积最大时，求二面角D AE B --的余弦值．
19．(本题满分12分)
某权威机构发布了2013年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”.随后，该市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：
（1）指出这组数据的众数和中位数；
（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．
20．(本小题满分12分)
己知、、C 是椭圆：22221x y a b
+=（0a b >>）上的三点，其中点的坐标为，BC 过椭圆
的中心，且0AC BC ?=，||2||BC AC =。 （1）求椭圆的方程；
（2）过点(0,)t 的直线l (斜率存在时)与椭圆交于两点，Q ，设为椭圆与轴负半轴的交点，且
||||DP DQ =，求实数的取值范围．
21. (本小题满分12分)
已知函数)(x f =1ln +-kx x . （1）求函数)(x f 的单调区间；
（2）若0)(≤x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （3）证明：4
)1(1ln 43ln 32ln -<++++n n n n （1,>∈*n N n ）
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．
如图,圆O 的直径10=AB ,是AB 延长线上一点,2=BP ,割线PCD 交圆O 于点C , ,过点作AP 的垂线,交直线AC 于点,交直线AD 于点. (I)求证:PDF PEC ∠=∠; (II)求PF PE ?的值.
23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．
已知直线: t t y t x (.23,211???
????=+=为参数), 曲线:1C cos ,sin ,x y θθ=??
=? （θ为参数）. (I)设 与1C 相交于B A ,两点,求||AB ；
(II)若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的2
1
倍,纵坐标压缩为原来的
2
3
倍,得到曲线2C ,设点是曲线2C 上的一个动点,求它到直线 的距离的最小值.
24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．
设不等式1|12|<-x 的解集是M ，M b a ∈,． （I ）试比较1+ab 与b a +的大小；
（II ）设max 表示数集的最大数．
?????
???+=b ab b
a a h 2,,2max 22,求证：2≥h ．
y
银川一中2015届高三第一次模拟考试数学(理科)参考答案
一、选择题
二、填空题13. 43
14. 1或1817- 15. 68
1
16. 22x y = 三．解答题
17.（本小题满分12分）
18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：因为AB 是直径，所以AC BC ⊥
因为⊥CD 平面ABC ，所以BC CD ⊥ ，因为C AC CD = ，所以⊥BC 平面ACD 因为BE CD //， BE CD =，所以B CD E 是平行四边形，DE BC //，所以⊥DE 平面ACD 因为?DE 平面ADE ，所以平面⊥A D E 平面ACD
（Ⅱ）依题意，141
4ta n =?=∠?=EAB AB EB ，由（Ⅰ）知DE S
V V ACD ACD E ADE C ??==?--1 DE CD AC ????=2131BC AC ??=613
4121)(121222=?=+?≤AB BC AC ， 当且仅当22==BC AC
时等号成立 …………8分 如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,1)D
，
E ，
A
B ，
则(AB =
-，(0,0,1)BE =，
DE =，1,)DA =-
设面DAE 的法向量为1(,,)n x y z =，110
0n DE n DA ??
=???
=??，即00
z ?=??
-=??1(1,0,2n =，
设面ABE 的法向量为2(,,)n x y z =， 220
n BE n AB ??=???=??
，即020z =???-+=??2(1,1,0)n =，
121212
cos ,629
n n n n n n ∴=
=
=
可以判断12,n n 与二面角D AE B --的平面角互补 二面角D AE B --的余弦值为6
-
.…12分 19．(本题满分12分) 解：（1）众数：8.6； 中位数：8.75 ；……………2分
（2）设i A 表示所取3人中有个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件，则
140121)()()(3
16
2
121431631210=+=+=C C C C C A P A P A P ； …………6分 （3）ξ的可能取值为0，1，2，3. 64
27
)
4
3()0(3
=
==ξP ；64
27)4
3(41)1(213===C P ξ；
64
9
43)41()2(223=
==C P ξ；64
1)41()3(3=
==ξP ………………10分
所以ξ的分布列为：
ξE 27279101230.7564646464
=?
+?+?+?=. ……………12分 另解：ξ的可能取值为0，1，2，3.则1~(3,)4B ξ，3313()()()44
k k k P k C ξ-==. 所以ξE =75.04
13=?． 20.(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）∵||2|BC AC =且BC 过(0,0)，则|||
|O C A
C =．∵0AC BC ?=，
∴90OCA ∠=?，即C ．又∵a =，设椭圆的方程为22
2
11212x y c +
=-， 将C 点坐标代入得
23311212c
+=-，解得28c =，24b =． ∴椭圆的方程为22
1124
x y +=．
（Ⅱ）由条件(0,2)D -
，当0k =时，显然22t -<<；
当0k ≠时，设l ：y kx t =+，22
1
124
x y y kx t ?+=???=+?
，消得222(13)63120k x ktx t +++-=由0?>可得，22412t k <+ ……①…设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 中点00(,)H x y ，则1202
3213x x kt
x k
+-==+，00213t y kx t k =+=
+, ∴22
3(,)1313kt t H k k -++．由|||DP DQ =，∴DH PQ ⊥，即1
DH k k
=-。∴22
21133013t
k kt k k ++=---+，化简得213t k =+……② ∴1t > 将①代入②得，14t <<。 ∴的范围是(1,4)。综上(2,4)t ∈-．………
12
22.（本小题满分10分）
解法1:(I)连接BC ,则
90=∠=∠APE ACB , 即、、、C 四点共圆.
∴CBA PEC ∠=∠ 又、、C 、四点共圆,∴PD F CBA ∠=∠ ∴PDF PEC ∠=∠ ∵PDF PEC ∠=∠, ∴、、C 、四点共圆,
∴PD PC PF PE ?=?,又24)102(2=+?=?=?PA PB PD PC , 24=?PF PE . 解法2:(I)连接BD ,则AD BD ⊥,又AP EP ⊥ ∴
90=∠+∠=∠+∠EAP PEA PDB PDF , ∵EAP PDB ∠=∠,∴PD F PEC ∠=∠
(II )∵PD F PEC ∠=∠,DPF EPC ∠=∠, ∴PEC ?∽PDF ?,∴PD PE
PF PC =
,
即PD PC PF PE ?=?, 又∵24)102(2=+=?=?PA PB PD PC , ∴24=?PF PE 23.（本小题满分10分）
解.（I ） 的普通方程为1),1(3C x y -=的普通方程为.122=+y x
联立方程组
?????=+-=,
1),
1(32
2y x x y 解得 与1C 的交点为)0,1(A ,)23,21(-B ,则1||=AB . （II ）2C 的参数方程为θθθ(.sin 2
3,
cos 21
???
?
??
?==y x 为参数).故点的坐标是)sin 23,
cos 21(θθ,从而点到直线 的距离是]2)4
sin(2[432|
3sin 23cos 23|
+-=--=
πθθθd ,
由此当1)4
sin(-=-π
θ时,d 取得最小值,且最小值为
)12(4
6
-. 24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲． 解：由|21|11211,01.x x x -<-<-<<<得解得所以{|01
}.M x x =<< （I ）
由M b a ∈,，得10,10<<<
所以(1)()(1)(1)0.ab a b a b +-+=--
>故1.ab a b +>+
（II ）由}2,,2max 22???+=b ab b a a
h ，得,2a h ≥ab b a h 2
2+≥，b h 2≥， 所以8)
(42
2222
23
≥+=?+?
≥
ab b a b
ab b a a
h ，故2≥h .
银川一中2020届高三年级第四次月考 理 科 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．设集合{1,2,4}A =,2{|40}B x x x m =-+=，若}1{=B A I ，则B = A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2．设复数1z ,2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，13z i =+，则12z z = A ．10 B ．9i -- C ．9i -+ D ．-10 3．已知向量)4,(),3,2(x b a ==，若)(b a a -⊥，则x = A ． 2 1 B ．1 C ． 2 D ．3 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3623a a +=，535S =，则{}n a 的公差为 A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 5．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确 的是（ ） A ．若βαβα//,,??n m ，则n m // B ．若βαα//,?m ，则β//m C. 若βαβ⊥⊥,n ，则α//n D ．若βα??n m ,，l =βαI ，且l n l m ⊥⊥,，则βα⊥ 6．某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》，《茶馆》，《天籁》，《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是 A ．《雷雨》只能在周二上演 B ．《茶馆》可能在周二或周四上演 C ．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D ．四部话剧都有可能在周二上演 7．函数x e x f x cos )112 ( )(-+=（其中e 为自然对数的底数）图象的大致形状是
数 学 试 卷 一、选择题(每小题5分，共60分) 1．下列四个命题：①若a b >，则 11a b <；②若ab c >，则c a b >；③若a b >，则22a b c c >；④若a b >，c d >，则a c b d ->-．其中真命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．设实数x ,y 满足约束条件?? ? ??≥≥≤-+000623y x y x ，则y x z -=的取值范围是( ) A ．[－3，0] B ．[－3，2] C ．[0，2] D ．[0，3] 3．已知数列{}n a 满足212n n n a a a +++=（*n N ∈）,且3 2a =，58a =，则7a =（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 4．《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。”其意思为有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了多少里？（ ） A. 96 B. 48 C. 192 D. 24 5．在正项等比数列{}n a 中，374a a =，数列{}2log n a 的前9项之和为（ ） A ．11 B ．9 C ．15 D ．13 6．下列函数的最小值为2的是（ ） A. x x y 1+= B. )20(sin 1sin π <<+=x x x y C. 2 1222++ +=x x y D. )20(tan 1tan π <<+ =x x x y 7．设数列{}n a 前n 项和为n S ，已知3=-n n S a n ，则3=a （ ） A ．9 8 B ． 158 C ． 198 D ． 278