第三章 分离变量法
3。2 基础训练
3.2.1 例题分析
例1 解下列定解问题：
????
?????=??-==??=><
002
2222t t l
x x t u lx x u x u
u t l x x u a t u （1） 解：分离变量，即令
(,)()()u x t X x T t = （2） 代入方程（（1）中第一式），得
0)()(2=+''t T a t T λ （3）
0)()(=+''x X x X λ （4）
其中λ为分离常数。（2）式代入边界条件（（1）中第二式），得
0)()0(='=l X X （5）
相应的本证值问题为求
?
?
?='==+''0)()0(0
)()(l X X x X x X λ （6） 的非零解．下面针对λ的取值情况进行讨论：
（1）当0λ<时，（6）式中方程的通解是
()X x Ae =+ （7）
其中A ，B 为积分常数，（7）代入（6）中边界条件，得
00
A B Ae
+=???-+=?? （8）
由（8）得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故不可能有0λ<。
(2) 当0λ=时，（6）式中方程的通解是 ()X x Ax B =+
由边界条件得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故也不可能有0λ=。 （3）当 02
>=βλ时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为
x B x A x X ββsin cos )(+=
代入条件（6）中边界条件，得
0cos ,0==l B A β
由于 0≠B ，故 0cos =l β，即
),2,1,0(21
2Λ=+=
n l
n πβ
从而得到一系列固有值与固有函数
2
2
24)12(l
n n πλ+= ),2,1,0(2)12(sin
)(Λ=+=n x l
n B x X n n π
与这些固有值相对应的方程（3）的通解为
),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )(Λ=+'++'=n t
l
a
n D t l a n C t T n n
n ππ
于是，所求定解问题的解可表示为
x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+??? ?
?
+++=∑∞
=
利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,，得
0=n D
3
32
02)12(322)12(sin )2(2ππ+-
=+-=?n l xdx
l
n lx x l C l n 故所求的解为
x l n t l a n n l t x u n 2)12(sin 2)12(cos )12(132),(0
3
3
2
π
ππ++?+-
=∑∞
=
例2 演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小段距离，然后放手任其自由振动。设弦 长为l ，被拨开的点在弦长的0
1
n (0n 为正整数)处，拨开距离为h ，试求解弦的振动，即求解定解问题
第三章行波法与积分变换法 」 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 J 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 」 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 作如下代换; X at, X at 利用复合函数求导法则可得 同理可得 2 a 2(￡ 代入(1)可得 =0o u(x,t) F( ) G( ) F(X at) G(X at) 这里F,G 为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 F(X ) G(X ) (X ), aF (X ) aG (X ) (X ). X 2 u -2 )(」 2 2」 2 u ~2 先对求积分，再对 求积分，可得u(X,t)d 的一般形式 § 3.1 一维波动方程的达朗贝尔 (D 'alembert )公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题: 2 u 下 u 2 2 u a 2 ， X (X), u 0, (1) (X ),- (2) 2 ■4), (3)
由(3)第二式积分可得 1 X F(x) G(x) - 0 (t)dt C , a 0 利用(3)第一式可得 所以，我们有 1 1 x at u(x,t) [ (x at) (x at)] (t)dt 2 2a x at 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 二、 特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程 AU xx 2BU xy CU yy DU x EU y Fu 0 称下常微分方程为其特征方程 A(dy)2 2Bdxdy C(dx)2 0。 由前面讨论知道，直线x at 常数为波动方程对应特征方程的积分曲线， 称为特征线。已知，左行波F(x at)在特征线x at G 上取值为常数值F(CJ ， 右行波G(x at)在特征线x at C 2上取值为常数值G(C 2)，且这两个值随着特 征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换( 2)为特征 变换，因此行波法又称特征线法。 注：此方法可以推广的其他类型的问题。 三、 公式的物理意义 由 U(x,t) F (x at) G(x at) 其中F(x at)表示一个沿x 轴负方向传播的行波，G(x at)表示一个沿x 轴正方 向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个 方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。 四、 依赖区间、决定区域、影响区域 F(x) 1 2(X ) 2a (t)dt G(x) (x) 1 x 2a o (t)dt (4)
第三章答案 1. (6分)已知齐次状态方程Ax x =&的状态转移矩阵)(t Φ如下，求其逆矩阵)(1 t -Φ和系统矩阵A 。 ??? ???+-+---=Φ--------2t t 2t t 2t t 2t t 3e 2e 3e 3e 2e 2e 2e 3e )t (。 解： ??????+-+---=-Φ=Φ-2t t 2t t 2t t 2t t 1 3e 2e 3e 3e 2e 2e 2e 3e )t ()t ( （3分） ? ? ? ? ??=Φ==4-3-21|)t (A 0t & （3分） 2. (8分)求定常控制系统的状态响应。 ()()()()()()0101,0,0,11210x t x t u t t x u t t ??????=+≥== ? ? ?--?????? & 解：11t t t At t t t t t t e te te e e t t te e te -------+??+??== ? ?----?? ?? （4分） 0()()(0)()()10t t t t t x t t x Bu t d e te e d te e e ττττττ τττ------=Φ+Φ-????+??=+=??????--?????? ?? （4分） 3．(3分) 已知齐次状态方程Ax x =&的状态转移矩阵)(t Φ如下，求其系统矩阵A 。 ?? ? ???+-+---=Φ--------2t t 2t t 2t t 2t t 3e 2e 3e 3e 2e 2e 2e 3e )t (。 解：? ? ? ? ??=Φ==4-3-21|)t (A 0t & （3分） 4．(8分)已知系统的状态方程为： u x x ?? ????+??????=111101&， 初始条件为1)0(1=x ，0)0(2=x 。求系统在单位阶跃输入作用下的响应。 解：解法1：?? ? ???=??? ? ????????---=Φ--t t t e te e s s L t 01101)(1 1； （4分） ?? ????-=??????-+??????=??? ?????????-+????????????=?---t t t t t t t t t t t t t te e te e te e d e e t e e te e x 212111)(00100τττττ。 （4分） 解法2： ?? ????--=??????--+??????--=+-=-s s s s s s s s s s x s Bu A s s x 21)1(1 11)1(11)1(1)}0()({)I ()(22221 ；
第三章 分离变量法 3。2 基础训练 3.2.1 例题分析 例1 解下列定解问题： ???? ?????=??-==??=><
其中A ，B 为积分常数，（7）代入（6）中边界条件，得 00 A B Ae +=???-+=?? （8） 由（8）得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故不可能有0λ<。 (2) 当0λ=时，（6）式中方程的通解是 ()X x Ax B =+ 由边界条件得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故也不可能有0λ=。 （3）当 02 >=βλ时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为 x B x A x X ββsin cos )(+= 代入条件（6）中边界条件，得 0cos ,0==l B A β 由于 0≠B ，故 0cos =l β，即 ),2,1,0(212Λ=+= n l n πβ 从而得到一系列固有值与固有函数 2 2 24)12(l n n πλ+= ),2,1,0(2)12(sin )(Λ=+=n x l n B x X n n π 与这些固有值相对应的方程（3）的通解为 ),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )(Λ=+'++'=n t l a n D t l a n C t T n n n ππ 于是，所求定解问题的解可表示为 x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+??? ? ? +++=∑∞ = 利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,，得 0=n D
第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==><
2019年数学物理方程-第二章分离变量法.doc
第二章 分离变量法 分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换 法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论. §2?1 特征值问题 2．1.1 矩阵特征值问题 在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设A 为一n 阶实矩阵，A 可视为n R 到自身的线性变换。该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）即是求方程： ,n Ax x x R λ=∈， （1.1） 的非零解，其中C λ∈为待定常数. 如果对某个λ，问题（1.1）有非零解n x R λ∈，则λ就称为矩阵A 的特征值(eigenvalue)，相应的n x R λ∈称为矩阵A 的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（1.1）有不多于n 个相异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的广义特征向量，以此n 个线性无关的广义特征向量作为n R 的一组新基，矩阵就能够化为Jordan 标准型. 若A 为一n 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵T 使得 1T AT D -=， （1.2） 其中D =diag 12(,,...,)n λλλ为实对角阵. 设12[ ... ]n T T T T =，i T 为矩阵T 的第i 列向量(1)i n ≤≤，则式（1.2）可写为如下形式 1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =， 或 , 1.i i i A T T i n λ=≤≤ （1.3） 上式说明，正交矩阵T 的每一列都是实对称矩阵A 的特征向量，并且这n 个特征向量是相互正交的. 由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定理的形式给出. 定理1.1 设A 为一n 阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题 ,n Ax x x R λ=∈， 则A 的所有特征值为实数，且存在n 个特征向量,1i T i n ≤≤，它们是相互正交的（正交性orthogonality ），可做为n R 的一组基（完备性completeness ）. 特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之. 为简单起见，在下面两个例子中取A 为n 阶非奇异实矩阵，故A 的所有特征值非零，并且假设A 有n 个线性无关的特征向量,i T 相应的特征值为, 1i i n λ≤≤. 例1.1 设n b R ∈，求解线性方程组 Ax b =. 解 由于向量组{1}i T i n ≤≤线性无关，故可做为n R 的一组基. 将,x b 按此
§2.2 有限杆上的热传导 定解问题：一均匀细杆，长为l ，两端坐标为l x x == ,0。杆的侧面绝热，且在端点0=x 处温度为零，而在l x = 处杆的热量自由发散到周围温度为0的介质中。初始温度为)(x ?，求杆上的温度变化情况，即考虑下定解问题： .0 ),(u 0, ,0hu ,0u 0, l,0 ,0002 2 2l x x t x u t x x u a t u t l x x ≤≤=>=+??=><<=??-??===? 仍用分离变量法求解。此定解问题的边界条件为第三类边界条件。类似§2.1中步骤，设)()(),(t T x X t x u =，代入上面的方程可得 ?????=+=+?-==. 0)()(,0)()() ()()()( 2 ' '22'2 2'''x X x X t T a t T x T a x T x X x X βββ 从而可得通解 x B x A x X ββsin cos )(+= 由边界条件知 .0)()(,0)0('=+=l hX l X X 从而 ?? ???-=?=+=.tan 0sin cos , 0h l l h l A βββββ 令 αγ γαβγ=?- ==tan 1 ,hl l 上方程的解可以看作曲线γtan 1=y ，αγ=2y 交点的横坐标，显然他们有无穷多个，于是方程有无穷多个根。用下符号表示其无穷多个正根 ,,21n γγγ 于是得到特征值问题的无穷个特征值
1,2,3...) (n ,2 2 2== l n n γβ 及相应的特征函数 x B x X n n n βsin )(= 再由方程0)()(22'=+t T a t T β， 可得 t a n n n e A t T 2 2)(β-=， 从而我们得到满足边界条件的一组特解 x e C t x u n t a n n n ββsin ),(2 2-= 由于方程和边界条件是齐次的，所以 ∑∞ =-=1 sin ),(2 2n n t a n x e C t x u n ββ 仍满足此方程和边界条件。 下面研究一下其是否满足初始条件。 )(sin 1 x x C n n n ?β=∑∞ = 可以证明}{sin x n β在区域[0,l]上具有正交性，即 ?≠=l m n xdx x 0 n m ,0sin sin ββ 证明： ) )((sin cos cos sin ))((2)sin()()sin()( ) (2)sin()(2)sin( ))cos()(cos(2 1sin sin 00=+--- =+-+---+=++- --=--+- =??m n m n m n n m n m m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n l m n m n l m n l l l l l l l l dx x x xdx x ββββββββββββββββββββββββββββββββββββ 完成。 令 ?=l n n n xdx x L 0 ,sin sin ββ 于是， ?= l n n n xdx x L C 0 sin )(1β ?
第三章 行波法与积分变换法 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ? ? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 22 2 2 2 22 2))((,ηηξξηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2 2222222ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知
). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3） 由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x += -?0)(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得 .2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程 02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx 称下常微分方程为其特征方程 0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。 由前面讨论知道，直线常数=±at x 为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。已知，左行波)(at x F +在特征线1C at x =+上取值为常数值)(1C F ，右行波)(at x G -在特征线2C at x =-上取值为常数值)(2C G ，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。 注：此方法可以推广的其他类型的问题。 三、公式的物理意义 由 )()(),(at x G at x F t x u -++= 其中)(at x F +表示一个沿x 轴负方向传播的行波， )(at x G -表示一个沿x 轴正方向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个 方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。
第三章 行波法和通积分法 §2.3.1一维波动方程哥西问题达朗贝尔公式 无限长均匀弦的自由振动归结为一维齐次波动方程的哥西问题： ?? ?==>+∞<<-∞=-) ()0,(),()0,() 0,(,02x x u x x u t x u a u t xx tt ψ? 这个方程的特征方程为 0 )( 2 2 =-a t x d d ， 所以波动方程是双曲型方程，有两组实的特征线 1c at x =-，2c at x =+， 作自变量的变换，令 at x -=ξ，at x +=η， 应用复合函数求导法则，有 η ξηξau au a u a u u t +-=?+-=)(, ηξηξu u u u u x +=?+?=11, ηηξηξξu a u a u a u tt 2 2 2 2+-=, ηη ξηξξu u u u xx ++=2, 代入波动方程中，化简得 0=ξηu ， 利用偏导数的意义，得通解
)()()()(),(at x G at x F G F t x u ++-=+=ηξ， 其中F 和G 是任意二阶连续可微函数. 由),(t x u 满足的初始条件来确定F 和G 的具体形式，于是 得函数方程 ? ? ?='+'-=+)()()(), ()()(x x G a x F a x x G x F ψ? 积分第二式得 C a x G x F x x += +-?α αψd 0 )(1)()(，C 为积分常数. 从而得 2)(21)(21)(0C a x x F x x - - = ?ααψ?d ， 2 )(21)(2 1)(0 C a x x G x x + + =?ααψ?d 故得一维齐次波动方程哥西问题的解 ααψ??d ?+-+ ++-= at x at x a at x at x t x u )(21)]()([2 1),(, 这就是著名的达朗贝尔公式. 通常称)(at x F -为右传播波（或右行波），称)(at x G +为左传播波（或左行波），a 为速度.所以这种解波动方程哥西问题的方法称为行波法，在数学上又叫通积分法.
第三章 分离变量法 3。2 基础训练 3.2.1 例题分析 例1 解下列定解问题： ???? ?????=??-==??=><=βλ时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为
x B x A x X ββsin cos )(+= 代入条件（6）中边界条件，得 0cos ,0==l B A β 由于 0≠B ，故 0cos =l β，即 ),2,1,0(21 2Λ=+= n l n πβ 从而得到一系列固有值与固有函数 2 2 24)12(l n n πλ+= ),2,1,0(2)12(sin )(Λ=+=n x l n B x X n n π 与这些固有值相对应的方程（3）的通解为 ),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )(Λ=+'++'=n t l a n D t l a n C t T n n n ππ 于是，所求定解问题的解可表示为 x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+??? ? ? +++=∑∞ = 利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,，得 0=n D 3 32 02)12(322)12(sin )2(2ππ+- =+-=?n l xdx l n lx x l C l n 故所求的解为 x l n t l a n n l t x u n 2)12(sin 2)12(cos )12(132),(0 3 3 2 π ππ++?+- =∑∞ = 例2 演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小段距离，然后放手任其自由振动。设弦 长为l ，被拨开的点在弦长的0 1 n (0n 为正整数)处，拨开距离为h ，试求解弦的振动，即求解定解问题
第五讲补充常微分方程求解相关知识。
第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 （第六讲） §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==><
1.一根水平放置长度为L 的弦(两端被固定) ，其单位长度的重力为ρg ，其中ρ是弦的线密度，g 是重力加速度。若弦的初始形状如图所示： （1）推导出弦的微振动方程； （2）写出定解问题。 解：(1)水平方向有：1122cos cos 0T T α-α=又120α→0,α→得：12T T =令12T T T == 竖直方向有：211222sin sin u T T mg m t ?α-α-=? 又m x =ρ?得： 2122(sin sin )u T xg x t ?α-α-ρ?=ρ??……① 当120α→0,α→时，11sin tan ,α≈α22sin tan α≈α 则： 221212sin sin tan tan ||()x x x u u u u x x x x x +?????α-α≈α-α=-=?=?????……② u 0 x x x+△x 1 u L/2 L x
由①②可得：22222u u a g t x ??=-??(其中2T a =ρ ) (2) 由已知条件可知：0|0x u ==， |0x L u ==，0|0t u t =?=?由几何求解可得 ： 故定解方程为： 2.设有一个横截面积为S ，电阻率为r 的匀质导线，内有电流密度为j 的均匀分布的直流电通过。试证明导线内的热传导方程为： 222u u c k j r t x ??ρ-=?? 其中c ，ρ ，k 分别为导线的比热，体密度，及热传导系数。 证明：根据傅里叶实验定律可得：1|x u Q kS x ?=-??t ，2|x x u Q kS x +??=-??t 由比热的定义式1Q c m u ?=?可得：温度变化?u 吸收的热量3Q c S =ρ??x u 单位时间内通过S 的电流：jS I t =? 又电阻为：R rS x =?，则t ?时间内电流产生的热量为： 222()r x Q I R t jS t j rS x t S ?=?=?=?? 由1230Q Q Q Q --+=得 2|(|)x x x u u kS kS c S rS x x +???-?--?-ρ??????t t x u +j x t =0 又 22|(|)||)()x x x x x x u u u u u u k S k S k S k S k S x x x x x x x +?+???????-?--?=?-=??=?? ??????t t t (t t 0|t u == 2,02 h L x x L ≤≤222,h x h x L L L - +≤≤0|t u ==2,02 h L x x L ≤≤222,h x h x L L L - +≤≤22222,0,0u u a g x L t t x ??=-<<>??0|0,t u t =?=?,0|0,|0,0 x x L u u t ====>0x L ≤≤
第三章 行波法与积分变换法 (第十三讲 ) 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ?? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 222222 22))((,ηηξξ ηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2222222 2ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对求积分，再对求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 ). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3） 由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x +=-?0 )(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得
.2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 例 求解柯西问题： ?????+∞≤≤-∞==+∞≤≤-∞>=-+==.,0,3,,0,03202 x u x u x y u u u y y y yy xy xx 解：其特征方程为 0)(32)(22=--dx dxdy dy 由此可得特征线方程为 d y x c y x =+=-3 因此作变换 ?? ?+=-=y x y x μξ, 3 从而可得 η ξ???u 2＝0 从而有 )()3(),(y x G y x F y x u ++-= 由初始条件可得 )()3(3)()3(' ' 2=+-=+x G x F x x G x F 所以有 C x G x F =-)(3)3(， 从而可得 C x x G C x x F +=-=4 3)(4 9)3(2 2
第二章 分离变量法 §2.1 有界弦的自由振动 为了了解什么是分离变量法以及使用分离变量法应该具备什么条件，我们选取两端固定的弦的自由振动问题为例，通过具体地求解逐步回答这些问题。 讨论两端固定的弦的自由振动，归结求解下列定解问题： 22222000,0,0 (2.1)0,0,0 (2.2)(),(),0 (2.3)x x l t t u u a x l t t x u u t u u x x x l t ?ψ====???=<<>?????==>????==≤≤??? 这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的。求解这样的问题，可以运用叠加原理。我们知道，在求解常系数线性齐次常微分方程的初值问题时，是先求出足够多个特解（它们能构成通解），再利用叠加原理作这些特解的线性组合，使满足初始条件。这就启发我们，要解问题（2.1～2.3），先寻求齐次方程（2.1）的满足齐次边界条件（2.2）的足够多个具有简单形式（变量被分离的形式）的特解，再利用它们作线性组合使满足初始条件（2.3）。 这种思想方法，还可以从物理模型得到启示。从物理学知道乐器发出的声音可以分解成各种不同频率的单音，每种单音，振动时形成正弦曲线，其振幅依赖于时间t ，即每个单音可以表示成
(,)()sin u x t A t x ω= 的形式，这种形式的特点是：u (x ,t )中的变量x 与t 被分离出来。 根据上面的分析，现在我们就试求方程（2.1）的分离变量形式 (,)()()u x t X x T t = 的非零解，并要求它满足齐次边界条件（2.2），式中X (x )，T （t ）分别表示仅与x 有关及仅与t 有关的待定函数。 由(,)()()u x t X x T t =得 2222()(),()()u u X x T t X x T t x t ??''''==?? 代入方程（2.1）得 2()()()()X x T t a X x T t ''''= 或 2()()()() X x T t X x a T t ''''= 这个式子左端仅是x 的函数，右端仅是t 的函数，只有它们均为常数时才能相等。令此常数为-λ，则有 2()()()() X x T t X x a T t λ''''==- 这样我们得到两个常微分方程： 2()()0T t a T t λ''+= （2.4） ()()0X x X x λ''+= （2.5） 再利用边界条件（2.2），由于u (x ,t )＝X (x ) T （t ），故有 (0)()0,()()0X T t X l T t == 但T （t ）不恒等于零，因为如果T （t ）≡0，则u (x ,t )＝0，这种解称
第三章 贝塞尔函数 对两个自变量的情形，在第二章中比较系统地介绍了分离变量法的基本思想 以及求解偏微分方程定解问题的主要步骤. 本章讨论多于两个自变量的情形，其求解过程和两个自变量情形基本相同，区别仅在于特征值问题的求解要用到一类特殊函数—贝塞尔（Bessel ）函数. 本章前两节围绕一类特征值问题的求解，比较系统地介绍二阶常微分方程的幂级数解法，以及Bessel 函数的一些基本性质. 第三节介绍多于两个自变量情形的分离变量法. §3?1 二阶线性常微分方程的幂级数解法 3.1.1 常系数线性方程的基解组 在高等数学中，同学们已学过常微分方程的一些求解方法. 对于常系数线性常微分方程，只要求出特征方程的根，就很容易写出齐次方程的基解组，由此可得齐次方程通解表达式. 例1.1 求解下列齐次微分方程 (1) '''320y y y -+=. (2) '''4130y y y ++=. (3) '''440y y y ++=. 解 (1) 特征方程为 2320λλ-+=， 特征根为121,2,λλ== 故基解组为 2{, }x x e e . （2）特征方程为 24130λλ++=， 特征根为1223, 23i i λλ=-+=--，是一对共轭复数，基解组为(23)(23){, }i x i x e e -+--， 这两个解为复值函数. 为得到实值函数的基解组，利用齐次微分方程解的线性性质得 2(23)(23)1 cos3 (+ )2x i x i x e x e e --+--=， 2(23)(23)1 sin 3 ( )2x i x i x e x e e i --+--=-， 这两个实值函数22cos3, sin3x x e x e x --也是方程（2）的解,由此得方程（2）的基解组为 22{cos3, sin3}x x e x e x --. （3）特征方程为 2440λλ++=，
分离变量法例题 例：两块半无限大接地平行于xz 平面的导体板，一块位于y = 0，另一块位于y = d ；平行板的有限端x = 0处被与之绝缘并保持常电势φ0的导体板封闭，如图所示。求导体板间的电势。 解：对于本问题，求解区域是x > 0的两平行板之间，区域内无电荷分布，因此电势满足拉普拉斯方程。区域的边界在y = 0、y = d 、x = 0、及x → ∞处。本问题实际是一个二维问题，即静电势与z 无关。因此，本定解问题： 20??= ( x > 0，0 < y < d ) (1) 0x ?→∞= (2) 00y ? == (x > 0) (3) 0y d ?== (x > 0) (4) 00x ??== (0 < y < d ) (5) (2)的条件是我们通常的选择。实际上(2)、(3)、(4)、(5)为边界条件。 因本问题为二维问题，(),x y ??=。(1)在直角坐标系中可写成： 2222 0x y ????+=?? 分离变量法的核心是将多维函数分解为多个一维函数的乘积。令 (,)()()x y X x Y y ?= 将其带入上式得： 2222d d 0d d X Y Y X x y += 将x 变量项和y 变量项整理为： 22221d 1d d d X Y X Y x y =- 上式坐标仅是x 的函数，而右边仅是y 的函数。这样，我们就将变量分离了。在上面的方程中，两半无限大接地平行导体板 y = d
对任意x 和y 成立，方程两边必等于常数。即： 222221d 1d d d X Y k X Y x y ==- (3-3-3) 式中k 为实数常数，称为分离常数。为什么我们将常数写为k 2而不是-k 2，后面我们将清楚这一点。上式可分为两个微分方程： 2221d d X k X x = 2221d d Y k Y y =- 我们知道上面的微分方程k 为非零时的解为： kx kx X Ae Be -=+ sin()cos()Y C ky D ky =+ 若k = 0，根据边界条件只能得出零解，因此，k 为非零值。式中A 、B 、C 、D 为积分常数，由边界条件确定。这样，我们得到： [][sin()cos()]kx kx Ae Be C ky D ky ?-=++ 由边界条件(2)，我们得到A = 0及k > 0。这就是为什么我们将常数写为k 2而不是-k 2的原因。它可使电势φ在x 方向单调地增加或单调地减少而不是振荡。由边界条件(3)，我们得到D = 0。而边界条件(4)给出： sin()0kd = 由此式及条件k > 0，我们得到： ,1,2,3,n k n d π==? 我们不取n = 0的原因是因为它给出的是零解。因此，我们得到对应n 值的电势解： (,)sin(),1,2,3,n x d n n n x y B e y n d ππ?-==? 其中C 已并入B n 。因拉普拉斯方程是线性方程，任何解的线性叠加也是方程的解。因此，我们将所有n 值的解叠加起来得到了更为一般的解： 1(,)sin()n x d n n n x y B e y d ππ?∞-==∑ 式中B n 为常数。此解满足边界条件(2)、(3)、(4)。由边界条件(5)， 我们有 01sin( )n n n B y d π?∞==∑ 上式是一在[0，d ]区间展开的正弦傅里叶级数，其系数B n 为：