数理方程

1.一根水平放置长度为L 的弦(两端被固定) ，其单位长度的重力为ρg ，其中ρ是弦的线密度，g 是重力加速度。若弦的初始形状如图所示：

（1）推导出弦的微振动方程；

（2）写出定解问题。

解：(1)水平方向有：1122cos cos 0T T α-α=又120α→0,α→得：12T T =令12T T T == 竖直方向有：211222sin sin u T T mg m t

?α-α-=? 又m x =ρ?得： 2122(sin sin )u T xg x t ?α-α-ρ?=ρ??……①

当120α→0,α→时，11sin tan ,α≈α22sin tan α≈α 则：

221212sin sin tan tan ||()x x x u u u u x x x x x

+?????α-α≈α-α=-=?=?????……② u 0 x

x x+△x 1

u

L/2 L x

由①②可得：22222u u a g t x ??=-??(其中2T a =ρ

) (2) 由已知条件可知：0|0x u ==， |0x L u ==，0|0t u t

=?=?由几何求解可得 ：

故定解方程为：

2.设有一个横截面积为S ，电阻率为r 的匀质导线，内有电流密度为j 的均匀分布的直流电通过。试证明导线内的热传导方程为：

222u u c k j r t x

??ρ-=?? 其中c ，ρ ，k 分别为导线的比热，体密度，及热传导系数。

证明：根据傅里叶实验定律可得：1|x u Q kS x ?=-??t

，2|x x u Q kS x +??=-??t 由比热的定义式1Q c m u

?=?可得：温度变化?u 吸收的热量3Q c S =ρ??x u 单位时间内通过S 的电流：jS I t

=? 又电阻为：R rS x =?，则t ?时间内电流产生的热量为： 222()r x Q I R t jS t j rS x t S

?=?=?=?? 由1230Q Q Q Q --+=得 2|(|)x x x u u kS kS c S rS x x

+???-?--?-ρ??????t t x u +j x t =0 又 22|(|)||)()x x x x x x u u u u u u k S k S k S k S k S x x x x x x x +?+???????-?--?=?-=??=??

??????t t t (t t

0|t u ==

2,02

h L x x L ≤≤222,h x h x L L L -

+≤≤0|t u ==2,02

h L x x L ≤≤222,h x h x L L L -

+≤≤22222,0,0u u a g x L t t x

??=-<<>??0|0,t u t =?=?,0|0,|0,0

x x L u u t ====>0x L ≤≤

则有：2220u kS x c S j rS x t x

???-ρ????=?t x u + 故导线内的热传导方程为:222u u c k j r t x

??ρ-=??

3. 长度为L 的均匀杆，侧面绝热，其线密度为ρ、热传导系数为k 、比热为c 。

（1）推导出杆的热传导方程；

（2）设杆一端的温度为零，另一端有恒定热流q 进入（即单位时间内通过单位面积流入的热量为q ），已知杆的初始温度分布为()2

x L x -，试写出相应的定解问题。

解：(1)根据傅里叶实验定律可得：1|x u Q kS x ?=-??t

，2|x x u Q kS x +??=-??t 由比热的定义式1Q c m u

?=?可得：3Q c S =ρ??x u 又123Q Q Q -=可得：

|(|)x x x u u kS kS c S x x

+???-?--?=ρ????t t x u 即22||)()x x x u u u u kS kS kS x c S x x x x

+??????-=??=??=ρ??????t(t t x u 故杆的热传导方程222

u u a t x ??=??（其中2k a c =ρ）

u x ?? u

Q1

(2)由傅里叶实验定律可得：u q k

x ?=? 则x=L 处的温度为：|x L u q x k =?=? X=0处的温度为：0|0x u == 初始时刻的温度为：0()|2t x L x u =-=

，0|0t u t =?=? 故相应的定解方程为：

4.长为L 的弦两端固定（设其质量密度为ρ）初始处于平衡位置，开始时击弦上的点x = c （0

u x u

x ?? 222u u a t x ??=??0|0x u ==|x L u q x k =?=?0()

|2t x L x u =-=0|0t u t =?=?0,0

x L t <<>0t >0x L ≤≤,,,,

解：根据冲量的定义可得：10mv mv k -=

又开始时刻有：00v =，则1mv k =

在x=c 处取一小段弦：0c x c -δ<<+δ,δ→，此时弦的质量为：2m =ρδ 得：10|/20t u v k t

=?=

=ρδ?δ> 且有0|0t u == 又0|0x u ==，|0x L u ==故可得相应的定解方程为：

x x u

222u u a t x ??=??0|0x u ==0,0

x L t <<>

0x L

≤≤,,,,,|0x L u ==0|0t u ==0

t >0|t u t =?=?/2k ρδ0 ,,0

δ→0

δ>

数理方程练习题(1)

一、填空题 1．二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=（其中各系数均为x 和y 的函数）在某一区域的性质由式子：24B AC -的取值情况决定，取值为正对应的是（ 双曲 ）型，取值为负对应的是（ 椭圆）型，取值为零对应的是（ 抛物 ）型。 2．在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程： 第一个叫（ 弦自由横振动 ），表达式为（2tt xx u a B u =），属于（双曲）型； 第二个叫（ 热传导 ），表达式为（ 2t xx u a B u =），属于（ 椭圆 ）型； 第三个叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表达式为（0 x x y y u u +=， (,)xx yy u u x y ρ+=-），属于（椭圆）型； 二、选择题 1．下列泛定方程中，属于非线性方程的是［ B ］ (A) 260t xx u u xt u ++=； (B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C) ( )22 0y xx xxy u x y u u +++=； (D) 340t x xx u u u ++=； 2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ D ］ (A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=； (C)0xx xy yy u u xu +-=； (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=； 3. 定解问题 ()()( )()()()2,0,00,,0 ,0,,0tt xx x x t u a u t x l u t u l t u x x u x x ?φ?=><

武大期末复习-数理方程教学指导纲要

第九章定解问题的物理意义 基本要求与教学内容： 1、理解波动方程、热传导方程、Poison方程和Laplace方程的物理意 义, 根据物理问题写出其相应的方程(不需要推导方程)。 2、第一、第二类边界条件的物理意义。根据具体物理问题，掌握确 定这两类边界条件的方法。 3、初始条件的意义及确定。 本章重点： 掌握由具体的物理问题写出其相应的定解问题方法，即泛定方程和定解条件。

第十章利用积分变换解无界问题 基本要求与教学内容： 1、熟练掌握利用d'Alembert公式计算一维无界的齐次波动方程，理 解其解的物理意义。 2、了解一维无界非齐次波动方程的通解形式及计算。 本章重点： 利用d'Alembert公式计算一维无界的齐次波动方程

第十一章一维有界问题的分离变量 基本要求与教学内容： 1、理解分离变量法的基本概念：方法、条件、不同定解问题的通解 形式。 2、熟练准确写出第一、第二类齐次边界条件的本征值和本征函数。 3、熟练掌握用分离变量法求解一维有界问题的解：1）分离变量得到 的两个方程；2）由本征值问题确定相应的本征值和本征函数；3）确定关于)(t T方程的解（或者与其对应变量方程的解）；4）定解问题的通解；5）由定解条件确定待定系数（通过系数比较方法确定系数是一种重要的方法）。 4、熟练掌握利用本征函数展开解一维有界非齐次方程：1)对应齐次 方程和齐次边界条件的本征函数的确定；2)非齐次项和初始条件按本征函数的展开, 方程的解按本征函数的展开；3)求解关于)(t T 方程的解；4)定解问题的解。 5、掌握非齐次边界条件的齐次化。 本章重点： ?第二类齐次边界条件的本征值和本征函数 ?用分离变量法求解一维有界问题的解 ?利用本征函数展开解一维有界非齐次方程 ?非齐次边界条件的齐次化

数理方程(调和方程)

第四章 调和方程 §1.调和方程的定解问题 1.方程的几个例子 例1. 稳定的温度分布 温度分布满足),(2t x f u a u t =?- 稳定热源:),,,)((321x x x x x f f ==与t 无关 边界绝热(即边界条件也与t 无关) 则长时间后,温度分布必然趋于稳定状态(与t 无关),即)(x u u = 此时有)(1x f u =?, (2 1a f f - =)称为Poission 方程 当01=f 时,0=?u ,称为Laplace 方程或调和方程. 例2.弹性膜的平衡状态: u 为膜在垂直方向的位移,外力),(21x x f f =,则有 f x u x u =??+ ??2 2 22 1 2 例3.静电场的电势u Maxwell 方程组??? ? ? ? ??? ==??-=??+=ρdivD divB t B rotE t D J rotH 0 E :电场强度, H :磁场强度, D :电感应强度, B :磁感应强度 J :传导电流的面密度, ρ:电荷的体密度 物质方程?? ? ??===E J H B E D σμε :μ导磁率, σ:导电率, ε: 介质的介电常数 divE divD ερ== ∵静电场是有势场:u grad E -= ερ-=?u grad div , 即ε ρ -=u ? 若静电场是无源的,即0=ρ,则0=?u 例4.解析函数 )(),,(),()(iy x z y x iv y x u z f +=+= 则v u ,满足Cauchy-Riemann 条件:y x y x u v v u -==, 例5.布朗运动(见图) 设质点运动到边界上即终止， ?????===?0,10 `),,(),,(21 1C C u u u C z y x z y x u 概率，则上的为起点，终止在：以 易知,0,0=?=?v u 2.定解问题 (1)内问题:n R ?Ω,有界,Γ=Ω?,u 在Ω内满足f u =? 边界条件: 第一类(Dirichlet):g u =Γ| 第二类(Neumann): g n u =??Γ| 第三类(Robin):)0(|)(>=+??Γσσg u n u n 为Γ的单位外法线方向. (2) 外问题:u 在Ω外部满足f u =? 同样有三类边界条件(此时n 为Ω的内法线方向). 但解在无穷远处是否可以不加限制?要加何种限制? 先看两个例子: 例1.2=n ?????=>+=?=+0|) 1(,01 2 222y x u y x u 221 ln 1ln ,0y x r u u +===均为解, 例 2. 3=n ?????=++=>==1),1(01222r u z y x r r u ? r u u 1 ,1==均为解. 因此,解在无穷远点一定要加限制,以确定解的唯一性. 通常, :2=n 解在无穷远处有界:),(lim y x u r ∞ →有界 :3≥n 解在无穷远处趋于0:0),,(lim =∞ →z y x u r (3) 无界区域的边值问题:与外问题类似 (4) 等值面边值问题:0=?u 边界条件:?? ? ??=??=?ΓΓ)()(|已知待定A dS n u C u 这个问题可约化为 Dirichlet 问题: 设???==?Γ1|0U U 的解为)(x U U =,选取常数C , s.t.:A dS n U C =???Γ 则CU u = §2.分离变量法 1. 圆的Dirichlet 内问题与外问题 内问题?????=<+=?=+)(|)(02 222 22θf u a y x u a y x 引入极坐标θθsin ,cos r y r x == 2 22 222 221)(111θ θ??+????=??+??+??≡u r r u r r r u r r u r r u u ? 则原问题化为:

数理方程版课后习题答案

第一章曲线论 §1 向量函数 1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。 略 2. 求证常向量的微商等于零向量。 证：设，为常向量，因为 所以。证毕3. 证明 证： 证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。

证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有 其中，，介于与之间。从而 上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有 ，从而，于是。证毕 5. 证明具有固定方向的充要条件是。 证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。 充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是

因为，故，从而 为常向量，于是，，即具有固定方向。证毕 6. 证明平行于固定平面的充要条件是。 证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。 充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是， 其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。证毕 §2曲线的概念

1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。 解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为： 法平面的方程为 2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。 解：，当时，，， 于是切线的方程为： 法平面的方程为 3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。 证： 令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则

数理方程概念汇总

1、什么是泛定方程？以及解的稳定性 物理规律，用数学的语言“翻译”出来，不过是物理量u在空间和时间中的变化规律，换句话说，它是物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。正是这种联系使我们有可能从边界条件和初始条件去推算u在任意地点（x，y，z）和任意时刻 t 的值u（x，y，z，t）。而物理的联系总是取的值之间的关系式。这种邻近地点、邻近时刻之间的关系式往往是偏微分方程。物理规律用偏微分方程表达出来，叫作数学物理方程。数学物理方程，作为同一类物理现象的共性，跟具体条件无关。在数学上，数学物理方程本身（不连带定解条件）叫作泛定方程 2、什么是定解条件？ 答：给定一个方程，一般只能描写某种运动的一般规律，还不能确定具体的运动状态，所以把这个方程称为泛定方程。如果附加一些条件（如已知开始运动的情况或者在边界上受到外界的约束）后，就能完全确定具体运动状态，称这样的条件为定解条件。表示开始情况的附加条件称为初始条件，表示在边界上受到的约束的条件称为边界条件。 3、什么是定解问题？ 答：给定了泛定方程（在区域D内）和相应的定解条件的数学物理问题为定解问题。根据不同定解条件，定解问题分为三类： 1）初值问题只有初始条件和没有边界条件的定解问题为初值问题或者柯西问题； 2）边界问题只有边值条件而没有初值条件的定解问题称为边值问题。 3）混合问题既有边界条件也有初值条件的定解问题称为混合问题（有时也称为边值问题） 4、什么是定解问题的解？ 答：设函数u在区域D内满足泛定方程，当点从区域D内趋于给定初值的超平面或者趋于给出边界条件的边界曲面时，定解条件中要求的u及它的倒数的极限处处存在而且满足相应定解条件，就称u为定解问题的解。 5、什么是解的稳定性？ 答：如果定解条件的微小变化只引起定解问题解在整个定义域中的微小变化，也就是解对定解条件存在这连续依赖关系，那么称定解问题的解是稳定的。 6、什么是定解问题的适应性？ 如果定解问题的解存在与唯一并且关于定解条件的稳定的，就说定解问题的提法是稳定的。 7、什么是解的唯一性？

数理方程总结完整终极版

00 |()()t t u x u x t ?ψ===????=?? ?k z j y i x ?????+??+??= ?u u ?=grad 拉普拉斯算子：2222222 z y x ??+??+??=???=?2 2 22 2y u x u u ??+??=? 四种方法: 分离变量法、 行波法、 积分变换法、 格林函数法 定解问题： 初始条件.边界条件.其他 波动方程的初始条

波动方程的边界条件:

(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。 定解问题的分类和检验：(1) 初始 问题：只有初始条件，没有边界条 件的定解问题； (2) 边值问题：没有初始条件，只 有边界条件的定解问题； (3) 混合问题：既有初始条件，也 有边界条件的定解问题。 ?解的存在性：定解问题是 否有解； ?解的唯一性：是否只有一 解； ?解的稳定性：定解条件有 微小变动时，解是否有相应的微小变动。 分离变量法：基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等

分离变量法步骤：一有界弦的自由振动二有限长杆上的热传导三拉普拉斯方程的定解问题 常用本征方程齐次边界条件 2''0 (0)()0,/,1,2,sin k k X X X X l k l k X x λλββπβ+=?? ==? ====0,1,2,0,1,2,λ0,1,2,λ

非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题。解出齐次问题。求出任意非齐次特解。叠加成非齐次解。 行波法：1.基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。2.关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。3.适用范围：无界域内波动方程，等…

数理方程习题集综合

例 1.1.1 设v=v(线x,y),二阶性偏微分方程v xy =xy 的通解。 解 原方程可以写成 e／ex（ev／ey） =xy 两边对x 积分，得 v y =￠（y ）+1/2 x 2 Y, 其中￠（y ）是任意一阶可微函数。进一步地，两边对y 积分，得方程得通解为 v （x,y ）=∫v y dy+f （x ）=∫￠（y ）dy+f （x ）+1/4 x 2y 2 =f （x ）+g （y ）+1/4 x 2y 2 其中f （x ）,g （y ）是任意两个二阶可微函数。 例1.1.2 即 u(ξ,η) = F(ξ) + G(η), 其中F(ξ),G(η)是任意两个可微函数。 例1.2.1设有一根长为L 的均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振动。试确定该弦的运动方程。 取定弦的运动平面坐标系是O XU ,弦的平衡位置为x 轴，弦的长度为L ，两端固定在O,L 两点。用u(x,t)表示弦上横坐标为x 点在时刻t 的位移。由于弦做微小横振动，故u x ≈0.因此α≈0，cos α≈1,sin α≈tan α=u x ≈0,其中α表示在x 处切线方向同x 轴的夹角。下面用微元法建立u 所满足的偏微分方程。 在弦上任取一段弧'MM ,考虑作用在这段弧上的力。作用在这段弧上的力有力和外力。可以证明，力T 是一个常数，即T 与位置x 和时间t 的变化无关。 事实上，因为弧振动微小，则弧段'MM 的弧长 dx u x x x x ? ?++=?2 1s ≈x ?。 这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。于是由Hooke 定律，力T 与时间 t 无关。 因为弦只作横振动，在x 轴方向没有位移，故合力在x 方向上的分量为零，即 T(x+x ?)cos α’-T(x)cos α=0. 由于co's α’≈1，cos α≈1,所以T(X+?x)=T(x),故力T 与x 无关。于是，力是一个

数理方程方法汇总

数理方程方法汇总 1．0=+y x bu au （1）行波法 设)(ξf u = （y kx +=ξ） 代入方程得0)()(''=+ξξbf akf 0=+b ak 故通解为)(y x a b f u +- = （2）特征线法 特征方程为0'=-b ay 特征线为C ay bx =- 故通解为)(ay bx f u -= （3）微分算子法 方程记为 0)(=+u bD aD y x 故通解为)(ay bx f u -= 2．0=++cu bu au y x 通解为 )(ξf e u mx = （)y kx +=ξ 3．0=++yy xy xx cu bu au 通解为 )()(21y x k g y x k f u +++= 4．0=+++++nu eu du cu bu au y x yy xy xx 微分算子法 0)(2 2=+++++u n eD dD cD D bD aD y x y y x x 试探函数法 5．?????=+=++===xy u xy x u u u u a u t t t zz yy xx tt 03 02 |,|)( 设3 23Bt xyt At xy x u ++++= 代入方程得 )6(623 2 2 Bt At x a Bt A ?+?+=+ 令???==?2 620xa A A ?? ?==?0 60 B B

6．?????-=+++==2 302 |6)(yz x u y u u u a u t zz yy xx t 设Bt Ayt yz x u ++-=23 代入方程得 y B A y t y x a B Ay 6)26(2+?+?+-=+ 令?? ?==?60 A A ???-==?2 )26(0 a y x B B 7．???=====x w u x w u u a u t t t xx tt 20102sin |,sin | 设x w t aw B x w t aw u 2211sin sin sin cos += 8．???=====x w u x w u u a u t t t xx tt 20102cos |,cos | 设x w t aw B x w t aw u 2211cos sin cos cos += 9．??? ??==??+??+??=θ θn aR u r r m R r u r u r u cos |01122222 设θn Ar u n cos = n m aR A -= 分离变量法 10.?? ? ??====)()0,(0),(),0(2x x u t l u t u u a u xx t φ 设解为 )()(),(t T x X t x u = 得?? ???===+=+0)()0(00' '2'l X X X X T a T λλ ??? ??? ?==x l n X l n n n ππλs i n )(2 x l n e A t x u l n a n ππsin ),(2 )(1 -∞ ∑=

数学物理方法习题解答(完整版)

数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】

3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上

数理方程练习题.

数理方程练习题一(2009研 1. 设(,u u x y =,求二阶线性方程 20u x y ?=?? 的一般解。 解先把所给方程改写为 (0u x y ??=?? 2分两边对x 积分,得 (0((u u dx dx y y y x y ?????==+=????? 4分这里, (y ?是任意函数。再两边对y 积分,得方程的一般解为y ((((u u dy y dy f x f x g y y ??==+=+?? ? 6分这里,(,(f x g y 是任意两个一次可微函数。 2. 设 u f = 满足Laplace 方程

222 2 0u u x y ????+ = 求函数u. 解 : ,.r x r y r x r x r ??===?? ''(,(.u x u y f r f r x r y r ???==?? 3分因此有 222''' 223222 ''' 223 ((((u x y f r f r x r r u y x f r f r y r r ?=+??=+? 3分原方程化为:'''1((0f r f r r += 2分故有 :1212(ln r u f r c c c c ==+= 2分 例1 求Cauchy 问题

2 20 00(,(0,cos tt xx t t t u a u x t u x u x x ==?-=∈?∞??==∈??R R 的解. 解由定理3.1得 22222((1u(x, tcos 221 cos sin x at x at x at x at d a x a t x at a ξξ+-++-=+=++? 例2 求解Cauchy 问题 200cos (,(0,cos 010tt xx t t t u a u t x x t x x u x u x ==?-=∈?∞?≥?? ==??

数理方程题1

波动方程初值问题的解法 （数学物理方程答卷） 姓名学号 纪尚军 0803044108 王雅琳 0803044109 郭潇潇 0803044117 韩海梅 0803044118 高璇 0803044119 刘莉莉 0803044125 郭贵芳 0803044126 龙艳丽 0803044134 曹琼 0803044135 王蕾蕾 0803044136 刘菁 0803044145

波动方程初值问题的解法 摘要：求解波动方程初值问题的常用方法—达朗贝尔公式法，行波法，齐次化原理，叠加原理以及泊松公式法，先从一维波动方程入手，继而运用降维法，叠加原理等来解二维三维波动方程，掌握其基本思路及求解过程。

波动方程初值问题的解法 1. 预备知识 1.1达朗贝尔公式 考虑两端为无限长的弦振动方程的初值问题 ???>+∞<<∞=+∞<<-∞==? ?? ????? ????? ????? ??, 0,-,.,0,,0,2tt t x u a u x x x u x x u xx t ψφ （1） 其中()()x x ψφ,分别表示初始位移和初始速度. 则该方程的特征线是.,21c at x c at x =-=+引入特征线坐标 方法，得到利用复合函数求导数的.,at x at x -=+=ηξ . 2,ηηξηξξηξηξηξu u u u u u u u u xx x x x ++=+=+= 类似可以得到 ()(). 2,2ηηξηξξηξu u u a u u u a u tt t +-=-= 把上述各式代入到（1）中的弦振动方程，得到 .0=ξηu （2） 把方程（2）关于η 积分，得 (),f ξξ=u 然后再关于ξ积分，得 ()()()()(),,ξξηξξηξG F G d f u +=+=? 其中F 和G 是任意二阶连续可微方程，代回原自变量x 和t ，得到（1）中弦振动方程的通解 ()()().,at x G at x F t x u -++= （3） 直接验证可知，只要F 和G 是二阶连续可微的，它就满足（1）中的方程。为了求出初值问题（1）的解，还必须利用初始条件来确定函数F 和G . 把初值问题（1）中的初始条件代入到式(3),得 )()()(),x 0,G x F x x u +==φ （4） ()()()()() .0,''x G x F a x x u t -==? （5） 将式（5）积分一次得 ()()()C d a x G F x x += -?ξξψ01x （6）

数理方程公式大全2

Equations of Mathematical Physics and Special Functions 公式大集合 1. 考察两端固定的弦的自由振动问题 ● 可得出 X"(x) + l X(x) ＝ 0 在不同的齐次边界条件下的本征函数系(表2-1). 容易发现如下的规律: ● (1)若齐次边界条件含X (0)＝0，则本征函数为正弦函数；若齐次边界条件含X ‘ (0) ＝ 0，则本征函数为余弦函数 ● (2)若边界条件为同类齐次边界条件(均为第一类或均为第二类)，则本征函数的宗量为 若边界条件属不同类齐次边界条件，则本征函数的宗量为 2. 有界长杆的热传导问题 3. 二维拉普拉斯方程的边值问题 ?? ? ??====><<=),()0,( ),()0,( ,0),( ,0),0( ),0 ,0( 2x x u x x u t l u t u t l x u a u t xx tt ψ? sin )cos sin (),(1 ∑∞ =+-= n n n t l x n l at n b l at n a l a n t x u ππππ,sin )(2 dx l x n x l a l n ?= π?,sin )(2 dx l x n x a n b l n ?= πψπ??? ??===><<= ),()0,( ,0),( , 0),0( ),0 ,0( 2x x u t l u t u t l x u a u xx t ?,sin ),(1 )(2l x n e a t x u n t l a n n ππ∑∞=-=,sin )(20dx l x n x l a l n ?=π??????====<<<<=+ .0),( ,0),0( ),(),( ),()0, ( ),y 0 ,0( 0y a u y u x g b x u x f x u b a x u u yy xx sin ) (),(1 ∑∞ =- += n y a n n y a n n x a n e b e a y x u πππ ,sin )(2 0?=+a n n xdx a n x f a b a π ,sin )(2 ?= +- a b a n n b a n n xdx a n x g a e b e a π π π

数理方程作业答案

1．一根水平放置长度为L 的弦(两端被固定) ，其单位长 度的重力为ρ g ，其ρ 中是弦的线密度，g 是重力加速 度。若弦的初始形状如图所示： （1）推导出弦的微振动方程； （2）写出定解问题。 解：（1）设弦的微震动方程为：22222(,)u u f x t t x α??=+?? 依题意(,)f x t =-g ， 所以弦的微震动方程为：22222u u g t x α??=-?? （2）根据所给图形，利02()(,)|t L x u x t h L =-= 依题意，刚开始时，v=0.，所以0(,)|0t u x t t =?=? 又弦的两端固定，所以0(,)|0x u x t ==，(,)|0x L u x t == 所以定解问题为： 22222u u g t x α??=-?? 02(,)|t x u x t h L == 02 L x ≤≤ 02()(,)|t L x u x t h L =-= 2 L x L ≤≤ 0(,)|0t u x t t =?=? 用相似三角形，得：当02L x ≤≤，02(,)|t x u x t h L ==；

当2 L x L ≤≤时， 0(,)|0x u x t ==，(,)|0x L u x t == 2.设有一个横截面积为S ，电阻率为r 的匀质导线，内有电流密度为j 的均匀分布 的直流电通过。试证明导线内的热传导方程为：222u u cp k j r t x ??-=?? 其中c ，ρ ，k 分别为导线的比热，体密度，及热传导系数 解：设导线内的热传导方程为：22 (,)u k u f x t t c x ρ??=+?? 依题意，(,)f x t =2j r c ρ 将其代入得 222u u cp k j r t x ??-=?? 3．长度为L 的均匀杆，侧面绝热，其线密度为ρ、 热传导系数为k 、比热为c 。 （1）推导出杆的热传导方程； （2）设杆一端的温度为零，另一端有恒定热流 q 进入（即单位时间内通过单位面积流入 的热量为q ），已知杆的初始温度分布为 ()2x L x - ，试写出相应的定解问题。 解:(1)根据热传导方程可得，导出杆的热传导方程为

数理方程题库

第一部分分离变量法 一、(1) 求解特征值问题 (2) 验证函数系关于内积 正交，并求范数 二、用分离变量法求解定解问题 的解的表达式，写出具体的分离变量过程. 进一步，当时，求和时的 值. 三、（方程非齐次的情形）求定解问题 四、（边界非齐次的情形）求定解问题 五、（Possion方程）求定解问题 六、求定解问题： 注意： 1、考试只考四种边界条件，即还有以下三种：

2) 3) 4) 2、以上均为抛物型方程，还可以考双曲型方程（相应的初值条件变为两个）和椭圆型方程（无初值条件）； 3、考试中除特别要求（如以上的第二题）外，不要求必须用分离变量法、特征函数法等方法求解，你可以自己选择方法（如上面的第三题）可以用Laplace 变换求解。 第二部分 积分变换法 一、请用下面三种方法求解无穷限波动问题 ()()22222 00 ,, 0, ,t t u u a x t t x u x x u x x t ?ψ==???=-∞<<∞>????? =-∞<<∞????=-∞<<∞??? (1) 用积分变换法推导达朗贝尔公式 (2) 用特征线法推导达朗贝尔公式 (3) 用降维法推导达朗贝尔公式 二、用积分变换法求解定解问题 22 3 01,1, 0, 1cos ,0y x u x y x y x y u x x u y y ==??=>>?????=≥?? =>??? 注意：只考应用Fourier 变换和Laplace 变换求解方程的问题 第三部分 特征线问题 一、判断方程 的类型. 二、从达朗贝尔公式出发，证明在无界弦问题中 (1) 若初始位移()x ?和初始速度()x ψ为奇函数，则(),00u t = (2) 若初始位移()x ?和初始速度()x ψ为偶函数，则(),00x u t = 三、请用下列方法求解定解问题

数理方程例题I

数学物理方程例题和习题 （2009-10-31） 一、二阶常微分方程常数变易法 二阶常微分方程初值问题 ?? ?='=>=+''β αω)0(,)0(0 ),()()(2y y x x f x y x y 先考虑对应齐次方程：02=+''y y ω。利用辅助方程 022=+ωm ， ωi m ±= 得齐次方程通解 )sin()cos()(21x C x C x y ωω+= 将常数替换为待定的函数，即 )sin()()cos()()(x x v x x u x y ωω+= 有两个未知函数待定。代入微分方程得恒等式，由一个等式不能唯一确定两个函数。如果人 为增加一个等式，就可以构造出二元线性方程组，朗斯基行列式方法是成功的确定两个待定函数的方法，方法如下，对假设的函数求一阶导数，得 在上面表达式中，令第一个方栝号为零，得第一个等式 0)sin()cos(='+'x v x u ωω 同时，由 )cos()sin(x v x u y ωωωω+-=' 继续求导数，得 )]sin()cos([)]cos()sin([22x v x u x v x u y ωωωωωωωω+-'+'-='' 代入方程，得第二个等式 f x v x u ='+'-)cos()sin(ωωωω 将两个等式联立，得线性代数方程组 ?? ?='+'-=+'f x v x u x v x u )cos()sin(0 )sin()cos(ωωωωωω 或写成矩阵形式 ?? ????=??????''??????-f v u x x x x 0)cos()sin()sin() cos(ωωωωωω 上式的系数矩阵行列式称为朗斯基行列式，由于 ωωωωωωω=-= ) cos()sin() sin()cos(x x x x ? 利用克莱姆法则解方程组，有 )sin()()cos()sin(01x x f x f x ωωωω-==?，)cos()() sin(0 )cos(2x x f f x x ωωωω=-= ? )sin()(1 /1x x f u ωω - =='??，)cos()(1 /2x x f v ωω = ='?? )]cos()sin([)]sin()cos([x v x u x v x u y ωωωωωω+-+'+'='

数理方程第二版 课后习题答案讲解学习

数理方程第二版课后 习题答案

第一章曲线论 §1 向量函数 1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。 略 2. 求证常向量的微商等于零向量。 证：设，为常向量，因为 所以。证毕 3. 证明 证： 证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。 证：设，为定义在区间上的向量函数，因为

在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有 其中，，介于与之间。从而 上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有 ，从而，于是。证毕 5. 证明具有固定方向的充要条件是。 证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是 因为，故，从而 为常向量，于是，，即具有固定方向。证毕

6. 证明平行于固定平面的充要条件是。 证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。 充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与 不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。证毕 §2曲线的概念 1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。 解：，点对应于参数，于是当时，， ，于是切线的方程为：

数理方程

1.一根水平放置长度为L 的弦(两端被固定) ，其单位长度的重力为ρg ，其中ρ是弦的线密度，g 是重力加速度。若弦的初始形状如图所示： （1）推导出弦的微振动方程； （2）写出定解问题。 解：(1)水平方向有：1122cos cos 0T T α-α=又120α→0,α→得：12T T =令12T T T == 竖直方向有：211222sin sin u T T mg m t ?α-α-=? 又m x =ρ?得： 2122(sin sin )u T xg x t ?α-α-ρ?=ρ??……① 当120α→0,α→时，11sin tan ,α≈α22sin tan α≈α 则： 221212sin sin tan tan ||()x x x u u u u x x x x x +?????α-α≈α-α=-=?=?????……② u 0 x x x+△x 1 u L/2 L x

由①②可得：22222u u a g t x ??=-??(其中2T a =ρ ) (2) 由已知条件可知：0|0x u ==， |0x L u ==，0|0t u t =?=?由几何求解可得 ： 故定解方程为： 2.设有一个横截面积为S ，电阻率为r 的匀质导线，内有电流密度为j 的均匀分布的直流电通过。试证明导线内的热传导方程为： 222u u c k j r t x ??ρ-=?? 其中c ，ρ ，k 分别为导线的比热，体密度，及热传导系数。 证明：根据傅里叶实验定律可得：1|x u Q kS x ?=-??t ，2|x x u Q kS x +??=-??t 由比热的定义式1Q c m u ?=?可得：温度变化?u 吸收的热量3Q c S =ρ??x u 单位时间内通过S 的电流：jS I t =? 又电阻为：R rS x =?，则t ?时间内电流产生的热量为： 222()r x Q I R t jS t j rS x t S ?=?=?=?? 由1230Q Q Q Q --+=得 2|(|)x x x u u kS kS c S rS x x +???-?--?-ρ??????t t x u +j x t =0 又 22|(|)||)()x x x x x x u u u u u u k S k S k S k S k S x x x x x x x +?+???????-?--?=?-=??=?? ??????t t t (t t 0|t u == 2,02 h L x x L ≤≤222,h x h x L L L - +≤≤0|t u ==2,02 h L x x L ≤≤222,h x h x L L L - +≤≤22222,0,0u u a g x L t t x ??=-<<>??0|0,t u t =?=?,0|0,|0,0 x x L u u t ====>0x L ≤≤

数理方程复习提纲(2009)

数学物理方法复习提纲 第九章 定解问题的物理意义 1、理解波动方程、热传导方程、Poison 方程和Laplace 方程的物理意义, 根据物理问题写出其相应的方程(不需要推导方程)。 2、第一、第二类边界条件的物理意义。根据具体物理问题，掌握确定这两类边界条件的方法。 3、初始条件的意义及确定。 4、 重点掌握由具体的物理问题写出其相应的定解问题方法，即泛定方程和定解条件。 第十章 利用积分变换解无界问题 1、熟练掌握利用d'Alembert 公式计算一维无界的齐次波动方程。 2、了解一维无界非齐次波动方程的通解形式及计算。 第十一章 一维有界问题的分离变量 1、理解分离变量法的基本概念：方法、条件、不同定解问题的通解形式。 2、熟练准确写出第一、第二类齐次边界条件的本征值和本征函数。 3、熟练掌握用分离变量法求解一维有界问题的解：1）分离变量得到的两个方程； 2）由本征值问题确定相应的本征值和本征函数；3）确定关于)(t T 方程的解（或者与其对应变量方程的解）；4）定解问题的通解；5）由定解条件确定待定系数（通过系数比较方法确定系数是一种重要的方法）。 4、熟练掌握利用本征函数展开解一维有界非齐次方程：1)对应齐次方程和齐次边界条件的本征函数的确定； 2)非齐次项和初始条件按本征函数的展开, 方程的解按本征函数的展开； 3)求解关于)(t T 方程的解； 4)定解问题的解。 5、掌握非齐次边界条件的齐次化。 第十二章 球坐标的分离变量 Legendre 多项式 1、了解波动方程、热传导方程的分离变量，Helmholtz 方程的导出和含时间变量满足的方程。 2、了解Helmholtz 方程在球坐标中分离变量得到的三个方程，Legendre 方程。 3、Legendre 方程的解，Legendre 方程的本征值问题： ) ()(3210)1()10)1('2'')111 2x P x y l l l y y x y l l xy y x l x x ==+?????==≤=++--±=≤本征函数：，，，，本征值：有限有限（（

学习数学物理方程的心得

港口海岸及近海工程王彦20706200 学习数理方程的心得 经过近半学期的学习，对《数理方程》这门课，我有了一些粗浅的认识，在此对其作个小结，以便于在下一步的学习中借鉴。 《数理方程》是一门需要严密数学思维的课程，要想学好这门课程，首先应具备一颗细致缜密的头脑，而这也正是这门课程所要着重训练的能力。对于我们工科类学生来说，“应用能力远大于理论研究”的想法时刻在我们学习的道路上作祟，所以眼高手低的弊端也就时常显露无疑。记得在我刚开始学习这门课时也被这种想法充斥了许久。但随着课程的深入，知识一点点地进入了我的脑子里，老师课堂上的讲解、同学们课下的争论、自己自习时的冥想，使我渐渐的认识到了这门课程的重要性。它所教给我的，不仅仅是知识上的丰富，更是一种学习能力上的提高、学习方法上的进步。每做一道题，从看题开始，分析、回忆公式寻求最优解、运用技巧演算、得出正确的答案，一步步的，我的思维方式改进了，解题思路便捷了。扎扎实实学好每一条定理，认认真真记住每一个公式，这才不会有“书到用时方恨少”的遗憾啊！ 此外，《数理方程》的学习，给我在探索的路途上最大的震撼是：知识进步的过程，实际上就是“继承”与“创新”激烈碰撞、擦出绚丽火花的过程。在学习中，那众多的公式以及推导，是前人留给我们的财富，是智慧的结晶。我们对这些知识的学习，正是为了用它们来武装自己的头脑。在此，我们走了捷径，我们继承了那些确实是非凡人所能得出的经典智慧。但我们要重这些知识解决的是新的问题，就需要我们创新，灵活运用，而不能唯定理是从，停滞不前。当然，对于我们这些初学者来说，还远未达到“创新”的能力，但在解题中，尽管数理方程是很程序化的一门课，但自己的思路、自己的方法还是必不可少的。 总之，经过这一阶段的学习，我获益良深。在一次次苦思冥想的烦恼和解题成功的喜悦中，我不仅学会了《数理方程》大纲所要求的理论知识，更在态度、方法上受益匪浅。“学海无涯”，现在仅仅是一个阶段、一门知识的学习，今后还有更多的挑战在等待着我们。 以上是我在这门课学习过程中的一些心得，是一些人性化的所得，至于真实水平上知识掌握的好坏，只待最后考试的结果来判定。 在此，感谢老师的悉心教导和所有同学对我的帮助。