第一章曲线论 §1 向量函数 1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。 略 2. 求证常向量的微商等于零向量。 证：设，为常向量，因为 所以。证毕3. 证明 证： 证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。
证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有 其中，，介于与之间。从而 上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有 ，从而，于是。证毕 5. 证明具有固定方向的充要条件是。 证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。 充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是
因为，故，从而 为常向量，于是，，即具有固定方向。证毕 6. 证明平行于固定平面的充要条件是。 证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。 充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是， 其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。证毕 §2曲线的概念
1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。 解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为： 法平面的方程为 2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。 解：，当时，，， 于是切线的方程为： 法平面的方程为 3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。 证： 令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则
第三章答案 1. (6分)已知齐次状态方程Ax x =&的状态转移矩阵)(t Φ如下，求其逆矩阵)(1 t -Φ和系统矩阵A 。 ??? ???+-+---=Φ--------2t t 2t t 2t t 2t t 3e 2e 3e 3e 2e 2e 2e 3e )t (。 解： ??????+-+---=-Φ=Φ-2t t 2t t 2t t 2t t 1 3e 2e 3e 3e 2e 2e 2e 3e )t ()t ( （3分） ? ? ? ? ??=Φ==4-3-21|)t (A 0t & （3分） 2. (8分)求定常控制系统的状态响应。 ()()()()()()0101,0,0,11210x t x t u t t x u t t ??????=+≥== ? ? ?--?????? & 解：11t t t At t t t t t t e te te e e t t te e te -------+??+??== ? ?----?? ?? （4分） 0()()(0)()()10t t t t t x t t x Bu t d e te e d te e e ττττττ τττ------=Φ+Φ-????+??=+=??????--?????? ?? （4分） 3．(3分) 已知齐次状态方程Ax x =&的状态转移矩阵)(t Φ如下，求其系统矩阵A 。 ?? ? ???+-+---=Φ--------2t t 2t t 2t t 2t t 3e 2e 3e 3e 2e 2e 2e 3e )t (。 解：? ? ? ? ??=Φ==4-3-21|)t (A 0t & （3分） 4．(8分)已知系统的状态方程为： u x x ?? ????+??????=111101&， 初始条件为1)0(1=x ，0)0(2=x 。求系统在单位阶跃输入作用下的响应。 解：解法1：?? ? ???=??? ? ????????---=Φ--t t t e te e s s L t 01101)(1 1； （4分） ?? ????-=??????-+??????=??? ?????????-+????????????=?---t t t t t t t t t t t t t te e te e te e d e e t e e te e x 212111)(00100τττττ。 （4分） 解法2： ?? ????--=??????--+??????--=+-=-s s s s s s s s s s x s Bu A s s x 21)1(1 11)1(11)1(1)}0()({)I ()(22221 ；
2017年高校教师任职资格培训 教师职业道德考试模拟试题参考答案 一、单选题（1分×20） 1．教师职业道德区别于其他职业道德的显著标志就是（A） A．为人师表 B.清正廉洁 C.敬业爱业 D.团结协作 2．教师（ A ）是指教师对教育劳动中客观存在的道德关系以及处理这些关系的原则、规范的认识。 A.职业道德认识 B.职业道德情感 C. 职业道德意志 D. 职业道德行为 3．托尔斯泰说：“如果一个教师把热爱事业和热爱学生结合起来，他就是一个完美的教师”。这意味着教师要（A） A.关心学生、了解学生 B.尊重学生、信任学生 C.严格要求学生，对学生一视同仁 D.把热爱事业与热爱学生结合起来 4．孔夫子所说的的"其身正，不令而行；其身不正，虽令不从"，从教师的角度来说可以理解为（D） A.走路身体一定要端正 B.自己做好了，不要教育学生，学生自然会学好 C.对学生下命令一定要正确 D.教师自己以身作则，一言一行都会对学生产生巨大的影响 5．（ B ）是社会主义道德的根本原则。 A. 人道主义 B. 集体主义 C. 爱国主义 D. 民主、平等 6．师德的灵魂是（A）
A.关爱学生 B.提高修养 C.加强反思 D.提高业务水平 7．尊重学生的个别差异，教师应努力做到（ B ） A.对学生一视同仁，一样要求 B.辨证地看待学生的优缺点，不绝对化 C.引导学生相互间进行横向的比较与学习 D.不同的学生犯了同样的错误,不考虑动机与原因就进行处理 8．教师在履行教育义务的活动中，最主要、最基本的道德责任是（ B ）A. 依法执教 B. 教书育人 C. 爱岗敬业 D. 团结协作 9．思考教师职业道德的逻辑起点是（ D ） A.时代变化与变革 B.西方发达国家的师德规范 C.中华民族的优秀师德 D.人的发展与社会发展之间的矛盾 10.提升教师职业道德修养的根本途径是（A） A.理论联系实际，知行统一 B.加强学习，提高理论素质 C.注重内省慎独 D.确立可行目标 11．教师职业道德评价的根据是（ A ） A．动机和效果和统一 B.社会舆论 C.职业良心 D.善恶观念 12．下列不属于教师与同事关系的类型的一项是（ D ） A.自重型 B.亲和型 C.排斥型 D.顺从型
第七章数学物理定解问题 1．研究均匀杆的纵振动。已知 x0端是自由的，则该端的边界条件为__。2．研究细杆的热传导，若细杆的x0 端保持绝热，则该端的边界条件为。3．弹性杆原长为 l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置 b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在 x 轴上，则其边界条件为u x 0 0 , u x l 0。 4．一根长为 l 的均匀弦，两端 x0 和 x l 固定，弦中张力为T0。在 x h 点，以横向力F0拉 弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f(0)=0,f(l)=0;_____。 5、下列方程是波动方程的是D。 A u tt a2u xx f ； B u t a2u xx f ； C u t a2u xx； D u tt a2u x。 6、泛定方程u tt a2u xx0要构成定解问题，则应有的初始条件个数为B。 A 1 个； B 2 个； C 3 个； D 4 个。 7．“一根长为 l 两端固定的弦，用手把它的中u h u 点朝横向拨开距离 h ，（如图〈 1〉所示）然后放0x l / 2 手任其振动。”该物理问题的初始条件为 ( D)。图〈 1〉 2h x, x[0, l ] u t h A ．u t l2 l B．0 o u t0 2h(l x), x, l ]t 0 l [ 2 2h l x, x [ 0,] u t l2 C．u t0h D．02h l (l x), x [,l ] l2 u t t00 8．“线密度为，长为 l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点x0(0 x0l ) 受谐变力 F0 sin t 的作用而振动。”则该定解问题为(B)。 u tt a2 u xx F0 sin t(x x ) ,(0x l ) A ． u
第 二 章 热 传 导 方 程 §1 热传导方程及其定解问题的提 1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律 dsdt u u k dQ )(11-= 又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。 解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。记杆的截面面积4 2 l π为S 。 由假设，在任意时刻t 到t t ?+内流入截面坐标为x 到x x ?+一小段细杆的热量为 t x s x u k t s x u k t s x u k dQ x x x x ????=???-???=?+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻t 到t t ?+在截面为 x 到x x ?+一小段中产生的热量为 ()()t x s u u l k t x l u u k dQ ??-- =??--=11 1124π 又在时刻t 到t t ?+在截面为x 到x x ?+这一小段内由于温度变化所需的热量为 ()()[]t x s t u c x s t x u t t x u c dQ t ????=?-?+=ρρ,,3 由热量守恒原理得： ()t x s u u l k t x s x u k t x s t u c x t ??-- ????=????11 2 24ρ 消去t x s ??，再令0→?x ，0→?t 得精确的关系： ()11 224u u l k x u k t u c -- ??=??ρ 或 ()()11 22 2112244u u l c k x u a u u l c k x u c k t u --??=--??=??ρρρ 其中 ρ c k a =2 2. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。 解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为Ω，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdt n u D dM ??-=，其中D 为扩散系数，得 ?????= 2 1 t t s dsdt n u D M 浓度由u 变到2u 所需之溶质为 ()()[]???????????ΩΩΩ ??=??=-=2 12 1121,,,,,,t t t t dvdt t u C dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M 两者应该相等，由奥、高公式得： ????????Ω Ω??==????????? ??????+???? ??????+??? ??????=2 12 11t t t t dvdt t u C M dvdt z u D z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。一般情形1=C 。由于21,,t t Ω的任意性即得方程： ?? ? ??????+???? ??????+??? ??????=??z u D z y u D y x u D x t u C 3. 砼(混凝土)内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的 水化热成正比。以()t Q 表示它在单位体积中所储的热量，0Q 为初始时刻所储的热量，则 Q dt dQ β-=，其中β为常数。又假设砼的比热为c ，密度为ρ，热传导系数为k ，求它在浇后温度u 满足的方程。 解： 可将水化热视为一热源。由Q dt dQ β-=及00Q Q t ==得()t e Q t Q β-=0。由假设，放 热速度为 t e Q ββ-0 它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书71页，(1.7)式得 ??? ? ??-=+??? ? ????+??+??=??-ρρββc k a e c Q z u y u x u a t u t 20222222 2 4. 设一均匀的导线处在周围为常数温度0u 的介质中，试证:在常电流作用下导线的温度满足微分方程 ()2201224.0ρω ρωρc r i u u c P k x u c k t u +--??=?? 其中i 及r 分别表示导体的电流强度及电阻系数，表示横截面的周长，ω表示横截面面积，而k 表示导线对于介质的热交换系数。 解：问题可视为有热源的杆的热传导问题。因此由原71页(1.7)及(1.8)式知方程取形式为
数理方程第二版课后 习题答案
第一章曲线论 §1 向量函数 1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。 略 2. 求证常向量的微商等于零向量。 证：设，为常向量，因为 所以。证毕 3. 证明 证： 证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。 证：设，为定义在区间上的向量函数，因为
在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有 其中，，介于与之间。从而 上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有 ，从而，于是。证毕 5. 证明具有固定方向的充要条件是。 证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是 因为，故，从而 为常向量，于是，，即具有固定方向。证毕
6. 证明平行于固定平面的充要条件是。 证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。 充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与 不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。证毕 §2曲线的概念 1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。 解：，点对应于参数，于是当时，， ，于是切线的方程为：
第三章 分离变量法 3。2 基础训练 3.2.1 例题分析 例1 解下列定解问题： ???? ?????=??-==??=><
其中A ，B 为积分常数，（7）代入（6）中边界条件，得 00 A B Ae +=???-+=?? （8） 由（8）得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故不可能有0λ<。 (2) 当0λ=时，（6）式中方程的通解是 ()X x Ax B =+ 由边界条件得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故也不可能有0λ=。 （3）当 02 >=βλ时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为 x B x A x X ββsin cos )(+= 代入条件（6）中边界条件，得 0cos ,0==l B A β 由于 0≠B ，故 0cos =l β，即 ),2,1,0(212Λ=+= n l n πβ 从而得到一系列固有值与固有函数 2 2 24)12(l n n πλ+= ),2,1,0(2)12(sin )(Λ=+=n x l n B x X n n π 与这些固有值相对应的方程（3）的通解为 ),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )(Λ=+'++'=n t l a n D t l a n C t T n n n ππ 于是，所求定解问题的解可表示为 x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+??? ? ? +++=∑∞ = 利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,，得 0=n D
含有阻尼项的弦振动方程及其仿真 内容提要： 本文通过对古典吉他的琴弦振动情况建立数学物理方程，得到一个含有阻尼项的双 曲型方程的初边值问题，对解用Matlab进行仿真。最后依据弦振动方程的结果，列举 了在这种情况下几种泛音的位置，并结合该方程，对右手给出指导。 关键词 数学物理方程，Matlab，驻波。 引言： 在弦乐器表演中常用到泛音这样的一个技巧，即左手虚按琴弦，滤掉一部分波在琴 弦上形成驻波。比如在弦的三分点进行滤波，则波长的三倍不能被弦长整除的波，将会 被滤掉。但是在拨弦乐器的教学中，关于泛音的位置一直是老师们口口相传。而且某些 泛音准确位置并不在拨弦乐器的品（山口）上，所以缺乏理论指导。 在国内的研究领域中，韩佩琪《弦乐器泛音的分析及应用》一文中只是对弹拨乐器 的空弦状态下进行求解而且忽略了空气的阻力，而且并没有结合列出的解给出演奏技巧 上的指导。而邱桂明《阻尼作用下的弦振动研究》的初边值条件并不符合乐器的条件。另外在周伟《古典吉他演奏教程》以及相关的一些吉他教学视频中只是提及了左手虚按 的位置，关于右手的位置没有给出一个指导。综上来看，国内研究领域，对定弦振动泛 音的理论研究尚处于一个盲区。然而一维双曲型微分方程的理论已经比较完善给本文提 供了理论依据，给研究带来了可行性。 一、模型建立： 如图所示：琴弦的初始状态： 1
其中h是弹拨弦与初始位置间的距离，b是弹拨点距离原点的距离，l表示弦的长度。 弦的两端是静止不动的，从而边值条件：为u(0,t)=u(l,t)=0 其中t表示振动时间。 列出方程： 其中：错误！未找到引用源。，而T表示琴弦松弛时的张力，错误！未找到引用源。表示琴弦线密度。 边值条件： 初值条件： 二、问题的求解 从物理上知道，一个复杂的振动往往可以分解成许多简单的振动的叠加。如弦振动所发出的声音可以分解成各种不同频率的单音叠加。相应于每种单音，弦振动时波形保持不变，从而当时间变化是个点的振幅做同步的变化，所以可以有如下形式： 带入到原方程会得到： 分离变量： 等式左右两边相等，左边仅是t的函数，右边仅是x的函数，左右两边要相等，只有等于同一个常数才可能。设此常数为错误！未找到引用源。。则得到两个常微分方程。 得到以下通解： 因为阻尼系数很小，所以 2
第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ?。现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为： 其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x x t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ 令 0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于 其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为 于是得运动方程 tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 若=)(x s 常量，则得 22)(t u x ??ρ=))((x u x E x ???? 即得所证。 2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。 解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 (2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x u x E t l T ??=) (),(|l x =等于零，因此相应的边界条件为 x u ??|l x ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为 x u ??∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的 偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。由虎克定律有 x u E ??∣)](),([t v t l u k l x --==
教师招聘考试考前演练试卷 （附答案解析） 单选 1．社会主义道德建设的核心是(C) A爱国主义B集体主义C为人民服务D社会主义荣辱观 2．（ B ）是我们党的思想路线，也是马列主义、毛泽东思想和邓小平理论的精髓。A．一个中心，两个基本点B．解放思想、实事求是 C．坚持四项基本原则D．发展生产力 3.“要尽量多的要求一个人，也要尽可能多地尊重一个人”是下列哪位教育家提出的（） A.赞可夫 B.马卡连柯 C.苏霍姆林斯基 D.加里宁 4.少年期学生所处的年龄阶段是（ C ） A.6~11岁 B.7~12岁 C. 11、12~14、15岁 D.12、13~15岁 5.学生是人，是教育的对象，因而他们（ D ） A.消极被动的接受教育 B.对外界的教育影响有选择性 C.毫无顾忌地接受教育 D.能动地接受教育 6.与“天宫一号”两度完成“太空之吻”的“神舟八号”飞船，于2011年11月17日顺利回“家”，天宫一号与神舟八号空间交会对接任务获得圆满成功，这标志着我国（D ）A载人航天技术已经完全成熟B实现了由航天大国向航天强国的转变 C实现了载人航天工程“三步走”的发展战略D为今后建造载人空间站奠定了坚实的技术基础 7.教师根据学科课程标准要求，指导学生运用所学知识从事一定的工作或操作，将书本知识运用于实践这种方法是指（ b ） A.试验法 B.实习作业法 C.参观法 D.实践活动法 8.2012年1月14日，中共中央、国务院在北京举行国家科学技术奖励大会。获得2011年度国家最高科学技术奖的是、两位院士。（ B） A.孙家栋谷超豪 B.谢家麟吴良鏞 C.师昌绪王振义 D.闵恩泽吴征镒 9.通过介绍学习内容要点和有关背景材料，说明学习的意义，从而使学生产生学习情趣，进入学习情境的教学行为方式是（ C ） A.尝试导入 B.演示导入 C.序言导入 D.故事导入 10.说课是一种科研活动，它的本质是（b ）
第三章 行波法和通积分法 §2.3.1一维波动方程哥西问题达朗贝尔公式 无限长均匀弦的自由振动归结为一维齐次波动方程的哥西问题： ?? ?==>+∞<<-∞=-) ()0,(),()0,() 0,(,02x x u x x u t x u a u t xx tt ψ? 这个方程的特征方程为 0 )( 2 2 =-a t x d d ， 所以波动方程是双曲型方程，有两组实的特征线 1c at x =-，2c at x =+， 作自变量的变换，令 at x -=ξ，at x +=η， 应用复合函数求导法则，有 η ξηξau au a u a u u t +-=?+-=)(, ηξηξu u u u u x +=?+?=11, ηηξηξξu a u a u a u tt 2 2 2 2+-=, ηη ξηξξu u u u xx ++=2, 代入波动方程中，化简得 0=ξηu ， 利用偏导数的意义，得通解
)()()()(),(at x G at x F G F t x u ++-=+=ηξ， 其中F 和G 是任意二阶连续可微函数. 由),(t x u 满足的初始条件来确定F 和G 的具体形式，于是 得函数方程 ? ? ?='+'-=+)()()(), ()()(x x G a x F a x x G x F ψ? 积分第二式得 C a x G x F x x += +-?α αψd 0 )(1)()(，C 为积分常数. 从而得 2)(21)(21)(0C a x x F x x - - = ?ααψ?d ， 2 )(21)(2 1)(0 C a x x G x x + + =?ααψ?d 故得一维齐次波动方程哥西问题的解 ααψ??d ?+-+ ++-= at x at x a at x at x t x u )(21)]()([2 1),(, 这就是著名的达朗贝尔公式. 通常称)(at x F -为右传播波（或右行波），称)(at x G +为左传播波（或左行波），a 为速度.所以这种解波动方程哥西问题的方法称为行波法，在数学上又叫通积分法.
第三章 分离变量法 3。2 基础训练 3.2.1 例题分析 例1 解下列定解问题： ???? ?????=??-==??=><=βλ时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为
x B x A x X ββsin cos )(+= 代入条件（6）中边界条件，得 0cos ,0==l B A β 由于 0≠B ，故 0cos =l β，即 ),2,1,0(21 2Λ=+= n l n πβ 从而得到一系列固有值与固有函数 2 2 24)12(l n n πλ+= ),2,1,0(2)12(sin )(Λ=+=n x l n B x X n n π 与这些固有值相对应的方程（3）的通解为 ),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )(Λ=+'++'=n t l a n D t l a n C t T n n n ππ 于是，所求定解问题的解可表示为 x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+??? ? ? +++=∑∞ = 利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,，得 0=n D 3 32 02)12(322)12(sin )2(2ππ+- =+-=?n l xdx l n lx x l C l n 故所求的解为 x l n t l a n n l t x u n 2)12(sin 2)12(cos )12(132),(0 3 3 2 π ππ++?+- =∑∞ = 例2 演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小段距离，然后放手任其自由振动。设弦 长为l ，被拨开的点在弦长的0 1 n (0n 为正整数)处，拨开距离为h ，试求解弦的振动，即求解定解问题
2016年秀山高级中学2019级高一上期12月月考 语文试题卷2016.12 第Ⅰ卷表达题 一、现代文阅读（9分，毎小题 3分） (一)阅读下面的文字，完成1～3题。 春秋战国上下五百余载，是中国历史上充满活力的黄金时代，是个“礼崩乐坏，瓦釜雷鸣”的剧烈变化时代，是个大毁灭、大创造、大沉沦、大崛起，从而社会整体上大转型的时代。这使得那个时代的人——不管是政治家、思想家，还是军事家、教育家，是侠、是士，其生命状态都是饱满昂扬的，充溢着一种不可遏止的进取精神和非凡的创造力。 那是个讲究谋略的阴谋时代，所以智慧丛生色彩斑斓；那是个本色人生的时代，所以仕学争鸣侠隐飘逸，摇唇鼓舌皆成风流；那是个实力竞争的时代，所以以强国富民为本，虚伪的文过饰非的理论无法泛滥；那是个深刻思索、产生思想、研究学问、铸造精神的时代，是中国文化的原生代，所以出现了各种学术思想百家争鸣的灿烂辉煌的景象。 在我们耳熟能详的中国伟人中，有一半多的伟人属于那个辉煌的时代，政治、经济、哲学、文学艺术、科学、神秘文化……几乎所有基本领域，都在那个时代开山立宗并创造了我们民族的最高经典，不仅成为我们中华民族文明文化的源头，而且当之无愧地进入了人类文化的殿堂。 春秋战国时代是我国历史上政治变革最为活跃的时代，五霸迭兴，三家分晋，田氏代齐，七雄兴衰，此起彼伏。在那个波澜壮阔的时代里，教育从戎与祀中挣脱出来，孔子私学，稷下学官，最终实现“以法为教”“以吏为师”的学吏教育制度。文学形成了中国古典文学史上第一个黄金时代，诗歌、辞赋、小说、散文皆为后世之滥觞；艺术更见洋洋大观，青铜器绚烂多彩，金玉精琢叹为观止，铭文风韵为篆刻艺术之典范；宋音楚舞，边磬编钟，宫殿廓城，无一不在世界艺术史上熠熠生辉。科学技术可谓灿烂辉煌。阴阳五行、染色麻织、灌溉堤防、经络学说，可以说当时的“科技成就绝对领先于世界；当时的争霸战已经是车步兵联合作战，水陆军协同争先的大规模战争，在战争中诞生了伟大的军事家孙武、司马穰苴、吴起、孙膑，等等，他们的集古代兵家大成之作，奠定了中国古代军事科学的理论基础，对世界各国军事理论产生了巨大影响。 原生文化是一个民族的根基。是这个民族精神生命的源泉。当我们被各种复杂的问题困惑时，当我们在浮华喧嚣的历史泡沫面前迷失或不知所措时，我们应该去向我们民族的原生文化宝库寻求再生的动力。 两千多年过去了，那个民族文化原生代所创造的瑰宝，风采依旧！ 梳理春秋战国风云变幻及国家强弱兴袁之演变轨迹，窥探中国文化原生代的恢弘博大与灿烂辉煌，能使我们在新的民族竞争面前，在国家民族的转型期把握住富民强国、团结奋斗的主调。 （选自安然《原生文化是民族精神生命之源》） 1.下列对“原生文化”的理解，不符合原文意思的一项是（）(3分) A．“原生文化”主要产生于春秋战国时期那个既有大毁灭又有大创造、既有大沉沦又有大崛起的时代，这个时代在社会整体上是大转型的时代。 B．“原生文化”由于时代的剧烈变化，体现了饱满昂扬、奋进向上的生命状态，充溢着一种不可遏止的进取精神和非凡的创造力。 C．“原生文化”涉及政治、经济、军事、哲学、教育、文学艺术、科学、神秘文化等几乎所有基本领域，成为中华民族文化的源头。
第一章 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程 ()?? ? ??????=??? ??????x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与 +x x ?。现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两 端的坐标分别为： ),();,(t x x u x x t x u x ?++?++ 其 相 对 伸 长 等 于 ) ,()],([)],([t x x u x x t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ 令 0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克 定律，张力),(t x T 等于 ),()(),(t x u x E t x T x = 其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为 x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(?+?+).,(t x x ?+ 于 是 得 运 动 方 程 tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 tt u x s x )()(ρx ?? = x ESu () 若=) (x s 常量，则得 22)(t u x ??ρ=))((x u x E x ???? 即得所证。 2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。 解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条 件为 .0),(,0) ,0(==t l u t u (2)若 l x =为自由端，则杆在 l x =的张力 x u x E t l T ??=)(),(|l x =等于零，因此相应的边界条件为 x u ??|l x ==0 同理，若 0=x 为自由端，则相应的边界条件为 x u ??∣ 00 ==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某 点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支 承的伸长为)(),(t v t l u -。由虎克定律有 x u E ??∣)](),([t v t l u k l x --== 其中k 为支承的刚度系数。由此得边界条件 )( u x u σ+??∣ ) (t f l x == 其中 E k = σ 特别地，若支承固定于一定点上，则,0)(=t v 得边界条件 )( u x u σ+??∣0==l x 。 同理，若0=x 端固定在弹性支承上，则得边界条件 x u E ??∣)](),0([0t v t u k x -== 即 )(u x u σ-??∣).(0t f x -= 3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为
1．一根水平放置长度为L 的弦(两端被固定) ，其单位长 度的重力为ρ g ，其ρ 中是弦的线密度，g 是重力加速 度。若弦的初始形状如图所示： （1）推导出弦的微振动方程； （2）写出定解问题。 解：（1）设弦的微震动方程为：22222(,)u u f x t t x α??=+?? 依题意(,)f x t =-g ， 所以弦的微震动方程为：22222u u g t x α??=-?? （2）根据所给图形，利02()(,)|t L x u x t h L =-= 依题意，刚开始时，v=0.，所以0(,)|0t u x t t =?=? 又弦的两端固定，所以0(,)|0x u x t ==，(,)|0x L u x t == 所以定解问题为： 22222u u g t x α??=-?? 02(,)|t x u x t h L == 02 L x ≤≤ 02()(,)|t L x u x t h L =-= 2 L x L ≤≤ 0(,)|0t u x t t =?=? 用相似三角形，得：当02L x ≤≤，02(,)|t x u x t h L ==；
当2 L x L ≤≤时， 0(,)|0x u x t ==，(,)|0x L u x t == 2.设有一个横截面积为S ，电阻率为r 的匀质导线，内有电流密度为j 的均匀分布 的直流电通过。试证明导线内的热传导方程为：222u u cp k j r t x ??-=?? 其中c ，ρ ，k 分别为导线的比热，体密度，及热传导系数 解：设导线内的热传导方程为：22 (,)u k u f x t t c x ρ??=+?? 依题意，(,)f x t =2j r c ρ 将其代入得 222u u cp k j r t x ??-=?? 3．长度为L 的均匀杆，侧面绝热，其线密度为ρ、 热传导系数为k 、比热为c 。 （1）推导出杆的热传导方程； （2）设杆一端的温度为零，另一端有恒定热流 q 进入（即单位时间内通过单位面积流入 的热量为q ），已知杆的初始温度分布为 ()2x L x - ，试写出相应的定解问题。 解:(1)根据热传导方程可得，导出杆的热传导方程为
数理方程练习题一（2009研） 1. 设(,)u u x y =，求二阶线性方程 20u x y ?=?? 的一般解。 2. 设 u f = 满足Laplace 方程 222 2 0u u x y ????+ = 求函数u. 3. 求Cauchy 问题 2 2000(,)(0,)cos tt xx t t t u a u x t u x u x x ==?-=∈?∞??==∈ ? ? 的解． 4. 求解Cauchy 问题 200cos (,)(0,)cos 010tt xx t t t u a u t x x t x x u x u x ==?-=∈?∞? ≥?? ==???
2 1||()0 ||a x a x x a ≤?∏=? >? 3 2 ()x f x e -= 7. 磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动．研 究两端自由棒的自由纵振动，即定解问题。 200,0(,0)(),(,0)()0(0,)(,)00 tt xx t x x u a u x l t u x x u x x x l u t u l t t ?ψ?-=<<>? ==≤≤??==≥? 8. 散热片的横截面为矩形。它的一边y=b 处于较高温度V ，其他三边b=0，x=0，x=a 则 处于冷却介质中因而保持较低的温度v 求解这横截面上的稳定温度分布Ux,y)即定解问题 0;0(0,),(,)0(,0),(,)()0xx yy u u x a y b u y v u a y v y b u x v u x b V x x a +=<<<
第一章复变函数 §1.1 复数与复数运算 1、下列式子在复数平面上个具有怎样的意义？ （1）z≤ 2 解：以原点为心，2 为半径的圆内，包括圆周。 （2）z?a=z?b，（a、b 为复常数） 解：点z 到定点a 和 b 的距离相等的各点集合，即a 和 b 点连线的垂直平分线。 （3）Re z＞1/2 解：直线x=1/ 2右半部分，不包括该直线。 （4）z+Re z≤1 解：即x2 +y2 +x≤1，则x≤1，y2 ≤1?2x，即抛物线y2 =1?2x及其内部。（5）α＜arg z＜β，a＜Re z＜b，（α、β、a、b为实常数） 解： （6）0 z -1 ≤（7）1, z +1 2 z-1 x 1 iy x y 1 4y ?+?+?? 2 2 2 ==+ ?? 解：()[()] +++++ iy 1 y2 2 2 z 1 x 1 x ?x 1 y ?+ 2 + 2 所以()[()] x+?+≤++ 2 2 2 y 1 4y2 x 1 y 2 2 2 化简可得x≥0 （8）Re(1 /z) =2 ????? 1 x iy x 解：Re( ?=R e 2 1/ z=? ) R e 2 == ???? ?iy? x ?x ++y+y ?x 2 2 2 即(1/ 4)1/16 x? 2 +y= 2 (9)Re Z2 =a2 解：Re Z2 =x2 ?y2 =a2 +z+z?z=2 z+2 z 2 (10) z 1
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