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微分方程在用罗尔定理证明等式中的应用
作者：仲盛
来源：《科技风》2017年第09期
摘要：用罗尔定理证明等式的关键是构造辅助函数，构造辅助函数的一般方法是用导数
倒推，此种方法难度较大，可以用微分方程直接求解辅助函数，更方便更有效。
关键词：中值定理；微分方程；辅助函数
微分中值定理最直接的应用是可以用来证明一些等式，而这类问题大多数情况下是以“至少存在一点使某等式成立”的形式出现。
在用微分中值定理证明等式时，该如何构造辅助函数，是高等数学中难以掌握的技巧，本文以罗尔定理为例，给出了一个在用中值定理证明等式时构造辅助函数的方法，即通过微分方程来构造辅助函数，从而为技巧性较强的辅助函数的构造，提供了一个一般性的新方法。
一、罗尔中值定理
由例1可见，用罗尔定理证明等式时，要构造辅助函数F（x），验证其在[a，b]上满足罗尔中值定理的三个条件，由证明F ′（ξ）=0，达到证明问题的目的。
至此，证明思路已经明确，但是该何构造辅助函数F（x）便成为解决问题的关键。在例1中是通过导数倒推，但是用导数倒推F（x）的难度比较大，解题者受自身水平所限，常常无法迅速正确的推出F（x），尤其是对高职学生来说难度更大。
用导数倒推构造辅助函数的过程，其实就是在做导数的逆运算，而导数的逆运算就是积分运算，而能将导数和积分结合应用的就是微分方程。由此，笔者找到了构造辅助函数的一般性方法，即用微分方程直接求出辅助函数F（x）。
二、结语
本文给出了在用中值定理证明等式时，可以用微分方程直接求解辅助函数，这种方法较之用导数倒推辅助函数，很多情况下会更直接更有效。
参考文献：
[1] Maurice Weir.托马斯微积分[M].北京：高等教育出版社，2003，8.
谈谈拉格朗日中值定理的证明 引言 众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学 应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述. 1罗尔()Rolle 中值定理 如果函数()x f 满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；（3）()()b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf 罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()x f y =在点B A ,处的纵坐标相等，那么，在弧 ? AB 上至少有一点()(),C f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1， 注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0'=ζf . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的. 2拉格朗日()lagrange 中值定理
若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()a b a f b f f --= ζ' 拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧 ? AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦AB . 如图2， 从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数()x f 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理. 3 证明拉格朗日中值定理 3.1 教材证法 证明 作辅助函数 ()()()()f b f a F x f x x b a -=-- 显然，函数()x F 满足在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，而且 ()()F a F b =．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点ζ()b a <<ζ，使 ()()()()0''=--- =a b a f b f f F ζζ.即()()()a b a f b f f --=ζ'. 3.2 用作差法引入辅助函数法 证明 作辅助函数 ()()()()()()?? ???? ---+-=a x a b a f b f a f x f x ? 显然，函数()x ?在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，()()0==b a ??，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得 ()()()()0''=---=a b a f b f f ζζ?，即 ()()()a b a f b f f --=ζ' 推广1 如图3过原点O 作OT ∥AB ，由()x f 与直线OT 对应的函数之差构成辅助函数()x ?，因为直线OT 的斜率与直线AB 的斜率相同，即有：
第五讲 罗尔定理的应用 一、利用罗尔定理、费马定理、零点定理证明方程的根 例1 设01,,,n a a a "为，为满足1200231 n a a a a n + +++=+"的实数，证明方程 20120n n a a x a x a x ++++=" 在(0,1)内至少有一个实根。 例2 设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，0b a >>，证明方程 222[()()]()()x f b f a b a f x ′?=? 在(,)a b 内至少存在一个实根。 例3 设,,a b c 为实数，求证方程2x ax bx c e ++=至多有三个实根。 例 4 证明方程2210x x ??=有且仅有三个不同的实根。 二、利用罗尔定理证明含有“中值点”的等式 例5 设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：至少存在一点 (,)a b ξ∈，使得()()0f f ξξ′+= 例6 设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：对任意的λ，至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()f f ξλξ′= 例7设()f x 、()g x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()0f f g ξξξ′′+= 例8设()f x 、()g x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，()0g x ′≠，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()()f g f g ξξξξ′′= 例9设()f x 在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且(0)0f =，而当(0,1)x ∈时，()0f x ≠，证明：对任意正整数n ，至少存在一点(0,1)ξ∈，使得 ()(1) ()(1) nf f f f ξξξξ′′?=? 例10 设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()0f a f b ?>，()02a b f a f +?? ?
R eceived d ate :2006207217 第24卷第4期 大 学 数 学Vol.24,№.42008年8月COLL EGE MA T H EMA TICS Aug.2008 So me New Ways to Prove Rolle ’s Theorem YA O J i n g 2s un (Dept.of Math.,Anhui Normal University ,Wuhu 241000,China ) Abstract :We give three new methods proving Rolle ’s Theorem.The second simple way is only dependent on the well 2known Heine 2Borel Covering Theorem.This implies that Rolle ’s Theorem is the direct consequence of completeness of real numbers. K ey w ords :Rolle ’s theorem ;completeness of real numbers ;f ull cover ;Heine Borel covering theorem ; δ2fine tagged partition C LC Number :O171 Document Code :C Article I D :167221454(2008)0420131203 The st udy on Rolle ’s Theorem as well as ot her mean value t heorems of differentials is a very att ractive issue and it was also involved in calculus reform in U SA.Many scholars have done a great deal of work during t he past decade [1-3].We know t hat if Rolle ’s Theorem is proved ,it can be used to p rove Lagrange Mean Value Theorem and Cauchy Mean Value Theorem so long as a corresponding auxiliary f unction is const ructed.Therefore ,it is better to say Rolle ’s Theorem is t he essence and basis of t he next two t heorems t han to say t he conclusions of t he next two t heorems seem to have wider applicability t han t hat of Rolle ’s Theorem.To make t hings simpler ,people lay emp hasis on discussing t he ways to p rove Rolle ’s Theorem.The articles of professor Xu Ji 2hong [4]and t he aut hor [5]respectively give a new way to p rove Rolle ’s Theorem.In t he paper ,we shall give some met hods p roving Rolle ’s Theorem by some forms of completeness of real numbers. Def inition 1 A collection C of clo sed subintervals of [a ,b]is a f ull cover of [a ,b]if to each x ∈[a ,b]t here corresponds a number δ(x )>0such t hat every closed subinterval of [a ,b ]t hat contains x and has lengt h less t hat δ(x )belongs to C [6]. Lemm a 1 If C is a f ull cover of [a ,b],t hen C contains a partition of [a ,b],i.e.,t here exist a =x 0,x 1,…,x n =b such t hat x k -1 中值定理 首先我们来瞧瞧几大定理: 1、 介值定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及 f(b)=B,那么对于A 与B 之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ 罗尔定理与拉格朗日定理的证明与应用 单位：旅游系 专业：酒店管理 姓名：王姐 学号：1414061039 【摘要】罗尔定理与拉格朗日定理是是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断导数的整体性质的工具。拉格朗日定理存在于多个科学领域之中，其中微积分中的拉格朗日定理即拉格朗日中值定理，又称拉式定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的形式。它在初等数学中有着重要作用，也是一个基础性定理。在许多方面它都有重要的作用 ，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。 【关键词】罗尔定理、拉格朗日定理、重要应用。 引言 拉格朗日定理是高等数学的基础，同时也是一个基础性的定理，在高等数学中有着重要作用，要学习和掌握它的证明方法。 罗尔定理：如果函数()f x 满足条件：○ 1在闭区间[,]a b 上连续；○2在开区间(,)a b 内可导；○ 3在区间两个端点的函数值相等，即()()f a f b =，(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=。 罗尔定理的证明：因为函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，所以它在[,]a b 上必能取得最大值M 和最小值m 。 （1）如果M m =，则()f x 在[,]a b 上恒等于常数M ，因此，在整个区间(,)a b 内恒有 '()0f x =，所以，(,)a b 内每一点都可取作ξ，此时定理显然成立。 （2）如果m M <，因()()f a f b =，则数M 与m 中至少有一个不等于端点的函数值()f a ，设()m f a ≠，这就是说，在(,)a b 内至少有一点ξ，使得()f M ξ=。 下面证明'()0f ξ=。 由于()f M ξ=是最大值，所以不论x ?为正或负，恒有()()0f x f x ξ+?-ξ≤?， (,)x a b ξ+?∈。 当0x ?>时，()()0f x f x ξ+?-ξ≤?，有已知条件'()f ξ存在可知， 拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明。理之一，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，也是微分学的理论基础。一般高等数学教材上，大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理，直接给出一个辅助函数，把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理，证明的关键是给出—个辅助函数。 怎样构作这一辅助函数呢?给出两种构造辅助函数的去。 罗尔定理：函数满足在[a，b止连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈)==o (如图1)。 拉格朗日定理：若f(x)满足在『a，b』上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在_ ∈，使(如图2). 比较定理条件，罗尔定理中端点函数值相等，f ，而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制，即不一定相等。我们要作的辅助函数，除其他条件外，一定要使端点函数值相等，才能归结为: 1.首先分析要证明的等式：我们令 (1) 则只要能够证明在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈ t就可以了。 由有，f(b)-tb=f(a)-ta (2) 分析(2)式，可以看出它的两边分别是F(X)=f(x)-tx在b,a观点的值。从而，可设辅助函数F(x)=f(x)-tx。该函数F(x)满足在{a.b{上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b) 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F。(∈)=O。也就是f(∈)-t=O，也即f(∈ )=t，代人(1 )得结论 2.考虑函数 我们知道其导数为 且有 F(a)=F(b)=0. 作辅助函数，该函数F(x)满足在[a，b]是连续，在(a，b)内可导，且f F 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F’ 从而有结论成立. 罗尔中值定理的内容及证明方法 （一）定理的证明 证明：因为函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，所以存在最大值与最小值，分别用M 和m 表示，现在分两种情况讨论： 1.若m M =，则函数)(x f 在闭区间[]b a ,上必为常数，结论显然成立。 2.若m M >，则因为)()(b f a f =使得最大值M 与最小值m 至少有一个在()b a ,内某点ξ处取得，从而ξ是)(x f 的极值点，由条件)(x f 在开区间()b a ,内可导得，)(x f 在ξ处可导，故由费马定理推知：0)('=ξf 。 （二）罗尔中值定理类问题的证明 罗尔中值定理在微分学解题中有着广泛的应用，下面我们就对罗尔中值定理的应用作深入的研究，归纳出证题技巧。 1.形如“在()b a ,内至少存在一点ξ，使k f =)('ξ”的命题的证法。 (1)当0=k 时，一般这种情况下，我们只需验证)(x f 满足罗尔定理的条件，根据罗尔定理来证明命题。在证明过程中，我们要注意区间的选取，有时候所需验证的条件并不是显而易见的。 例1 设)(x f 在闭区间[]1,0上连续，开区间()1,0内可导，?=1 32 )(3)0(dx x f f 。 证明：()1,0∈?ξ，使0)('=ξf 分析：由于所需验证的罗尔中值定理的条件并不是显而易见的，而且这个问题涉及到定积分，所以我们考虑运用积分中值定理的知识，尝试在()1,0中找到一个区间()η,0，在()η,0中运用罗尔中值定理去证明。 证：因为??????∈=-==?1,32,)()()321(3)(3)0(1 3 2ηηηf f dx x f f 显然)(x f 在闭区间[]η,0上连续，在开区间()η,0内可导 根据罗尔定理，()1,0∈?ξ，使0)('=ξf (2)当0≠k 时，若所证明的等式中不出现端点值，则将结论化为：0)('=-k f ξ的形式，构造辅助函数)(x F ，我们就可以运用(1)中的方法证明命题。我们在构造辅助函数时，可用观察法、积分法、递推法，常数k 法等等。 重庆三峡学院数学分析课程论文 闭区间套定理的证明、推广及应用 院系数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 姓名姜清亭 年级 2009级 学号 200906034129 指导教师刘学飞 2011年5月 闭区间套定理的证明、推广及应用 姜清亭 （重庆三峡学院 数学与统计学院 09级数本（1）班） 摘 要 闭区间套定理是数学分析中一个重要定理,可以应用到数学教学、科学研究及日常生活中。同时得到与之相应的若干定理，并使闭区间套定理得到推广。其中在数学教学中的应用最突出的地方是证明某些数学定理,如零点定理。 关键词 开区间套定理 闭区闭套定理 聚点定理证明 有界性定理证明 1 空间上的区间套定理 定理1 (闭区间套定理) 设有闭区间列｛[],n n a b ｝若 1 [][][]1122,,....,....n n a b a b a b ??? 2 lim()0 n n n b a →∞ -= 则存在唯一数属于l 。。所有的闭区间（即 []1 ,n n n a b l ∞ == ） ，且lim lim n n n n a b l →∞ →∞ == 证明:由条件1可知，数列增加有上界1b ，数列｛n b ｝单调减少有下界1a ， 1221.........n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤根据公理，数列｛n a ｝收敛，设lim n n a →∞ =l ．由条件2 有 ()lim lim ()lim lim 0n n n n n n n n nx n n b b a a b a a l l →∞ →∞ →∞ →∞ =-+=-+=+=于是，lim lim n n n n a b l →∞ →∞ ==， 对任意取定的,n k N k +∈? ,有k n n k a a b b ≤≤ ，从而，lim lim k n n k n n a a l b b →∞ →∞ ≤==≤， 或k k a l b ≤≤，即l 属于所有的闭区间． 证明l 唯一性．假设还有一个' l 也属于所有的闭区间，从而 '',,,,n n n n n N l l a b l l b a +???∈∈-≤-?? 有有有条件2),有'l l =即l 是唯一的． 2 闭区间套定理的推广 定理2 （开区间套定理）若开区间列｛() ,n n a b ｝，若 1 [][][]1122,,....,....n n a b a b a b ??? 2 )(lim n n n a b -∞ →= n n a b 2lim -∞→=0 对每个闭区间[n n b a ,]，有)()(n n b f a f <0，根据闭区间套定理知，存在唯一数l 属于所有中值定理证明
罗尔定理与拉格朗日定理的证明与应用
拉格朗日中值定理的证明
罗尔中值定理的内容及证明方法
闭区间套定理的证明、推广及应用
中值定理证明题