罗尔中值定理的内容及证明方法
（一）定理的证明
证明：因为函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，所以存在最大值与最小值，分别用M 和m 表示，现在分两种情况讨论：
1.若m M =，则函数)(x f 在闭区间[]b a ,上必为常数，结论显然成立。
2.若m M >，则因为)()(b f a f =使得最大值M 与最小值m 至少有一个在()b a ,内某点ξ处取得，从而ξ是)(x f 的极值点，由条件)(x f 在开区间()b a ,内可导得，)(x f 在ξ处可导，故由费马定理推知：0)('=ξf 。
（二）罗尔中值定理类问题的证明
罗尔中值定理在微分学解题中有着广泛的应用，下面我们就对罗尔中值定理的应用作深入的研究，归纳出证题技巧。
1.形如“在()b a ,内至少存在一点ξ，使k f =)('ξ”的命题的证法。
(1)当0=k 时，一般这种情况下，我们只需验证)(x f 满足罗尔定理的条件，根据罗尔定理来证明命题。在证明过程中，我们要注意区间的选取，有时候所需验证的条件并不是显而易见的。
例1 设)(x f 在闭区间[]1,0上连续，开区间()1,0内可导，?=1
32
)(3)0(dx x f f 。
证明：()1,0∈?ξ，使0)('=ξf
分析：由于所需验证的罗尔中值定理的条件并不是显而易见的，而且这个问题涉及到定积分，所以我们考虑运用积分中值定理的知识，尝试在()1,0中找到一个区间()η,0，在()η,0中运用罗尔中值定理去证明。 证：因为??????∈=-==?1,32,)()()321(3)(3)0(1
3
2ηηηf f dx x f f 显然)(x f 在闭区间[]η,0上连续，在开区间()η,0内可导
根据罗尔定理，()1,0∈?ξ，使0)('=ξf
(2)当0≠k 时，若所证明的等式中不出现端点值，则将结论化为：0)('=-k f ξ的形式，构造辅助函数)(x F ，我们就可以运用(1)中的方法证明命题。我们在构造辅助函数时，可用观察法、积分法、递推法，常数k 法等等。
例2 设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，证明：在()b a ,内至少存在一点ξ
，使[])()()()(2'22ξξf a b a f b f -=- 证：要证明[])()()()(2'22ξξf a b a f b f -=-
只需证[]0)()()()(2'22=---ξξf a b a f b f
故令)()())()(()(222x f a b a f b f x x g ---=，则)(x g 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，且)()(b g a g =
故，()b a ,∈?ξ，使得0)()())()((2)('22'=---=ξξξf a b a f b f g
即：[])()()()(2'22ξξf a b a f b f -=-
2.应用罗尔定理来讨论方程的根：解决这类问题首先要构造一个函数，使该函数的导数是结论中的函数。
例3 证明方程)(23423c b a cx bx ax ++=++在()1,0内至少有一实根。 分析：若令)(234)(23c b a cx bx ax x f ++-++=，则)0(f ，)1(f 的符号不易判别，所以不适合运用介值定理，因此我们采用罗尔中值定理来证明。
证：令x c b a cx bx ax x f )()(234++-++=，则)(x f 在[]1,0上连续，在()1,0内可导，且0)1()0(==f f 。由罗尔中值定理可知：()1,0∈?ξ，使0)('=ξf 。
即0)(23423=++-++c b a cx bx ax
所以方程)(23423c b a cx bx ax ++=++在()1,0内至少有一实根
例4 若)(x f 可导，试证明在)(x f 的两个零点之间，一定有0)()('=+x f x f 的零点。
分析：要证0)()('=+x f x f 存在零点，我们需要构造一个辅助函数)(x F ，使得)()()(''x f x f x F +=，将问题转换为)('x F 的零点存在问题。
证：令)()(x f e x F x =,设1x ，2x 为)(x f 的两个零点，即0)(1=x f ，0)(2=x f 。则有0)()(21==x F x F 。假设21x x <，有)(x F 在[]21,x x 上连续，在()21,x x 内可导。
由罗尔中值定理可得，()21,x x ∈?ξ，使0)('=ξF ,即0)()('=+ξξξξf e f e ，又因为0≠ξe ，故0)()('=+ξξf f 。
所以，在)(x f 的两个零点之间，一定有0)()('=+x f x f 的零点。
（三）广义的罗尔中值定理
罗尔中值定理是微分中值定理中最基本的定理，也是证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理的基础。下面我们对广义的罗尔定理进行讨论。广义的罗尔定理有多种形式，它们的特点就是把定理条件中可微性概念拓宽，然后得到广义的罗尔中值表达式。广义的罗尔定理有多种形式。
形式1：若函数)(x f 在()+∞,a 内可导，且)(lim )(lim x f x f x a x +∞→→=+，则在()+∞,a 内至少存在一点c ，使0)('=c f 。
证：若A x f ≡)(，则结论显然成立。
若A x f ≠)(，不妨设),(0+∞∈a x ，使A x f <)(0，由A x f x f x a x ==+∞→→+)(lim )(lim ，知：对)(00x f A -=ε，0x X >?，a x -<0δ，当X x >，),(δ+∈a a x 时，有A x f A x f ->-)()(0，则)()(0x f x f >。又)(x f 在[]X a ,δ+上连续，故必存在最小值m ，即[]X a c ,δ+∈?，使m c f =)(。又当X x >，),(δ+∈a a x 时，都有)()()(0c f m x f x f =≥≥，则m c f =)(也是)(x f 在()+∞∞-,上的最小值。
故由费马定理知，0)('=c f
例5 设函数)(x f 在区间[)+∞,0上可导，且有x
x x f +≤≤1)(0，证明0>?ξ，使222
'
)1(1)(ξξξ+-=f 。 证：令21)()(x x x f x F +-
=，因为x x x f +≤≤1)(0，所以0)(lim )0(0==→x f f x 。又因为01lim =++∞→x x x ,所以0)(lim =+∞→x f x 。而0)1)((lim )(lim 200=+-=++→→x
x x f x F x x ，0)1)((lim )(lim 2=+-=+∞→+∞→x
x x f x F x x ，所以)(lim )(lim 0x F x F x x +∞→→=+，故)(x F 在()+∞,0可导。由广义的罗尔中值定理，()+∞∈?,0ξ，使0)('=x F ，即222
')
1(1)(ξξξ+-=f 。 形式2：若函数)(x f 在()b ,∞-内可导，且)(lim )(lim x f x f b x x -→-∞→=，则在()b ,∞-内至少存在一点c ，使0)('=c f 。
证明方法与形式1类似。
例6 求证函数211)(x x x f +=
在()1,-∞-内至少存在一点c ，使得0)('=c f 。 证：显然函数211)(x x x f +=
在开区间()1,-∞-内可导，且有0)(lim =-∞→x f x ，0)(lim 1=--→x f x 。则由形式2可知，在()1,-∞-内至少存在一点c ，使0)('=c f 。 而3'
2'2'2111)(x x x x x x x f +-=??
????+=??????+=，故0)2('=-f 。 形式3：若函数)(x f 在()b a ,内可导，且A x f x f b x a x ==-+→→)(lim )(lim (A 为有限数或∞±)，则在),(b a 内至少存在一点c ，使0)('=c f 。
证：若A 为有限数，当A x f ≡)(,显然结论成立。 若A x f ≠)(，必()b a x ,0∈?，使A x f ≠)(0。不妨设A x f >)(0，R ∈?η，使
得)(0x f A <<η。而A x f x f b
x a x ==-+→→)(lim )(lim ，由局部保号性，必),(1δ+∈?a a x ，使)()(01x f x f <<η，),(2b b x δ-∈?，使)()(02x f x f <<η。因为)(x f 在),(b a 可导，所以)(x f 在[]01,x x ，[]02,x x 连续。由介值定理，()011,x x c ∈?，()022,x x c ∈?，使η==)()(21c f c f 。)(x f 在[]21,c c 利用罗尔中值定理，()()b a c c ,,21?∈?ξ，使得0)('=c f 。
若+∞=A ，由+∞==-+→→)(lim )(lim x f x f b
x a x ，A x f ≠)(0，知()b a x ,0∈?，使得A x f <)(0),(11δ+∈?a a x ，
使A x f >)(1，则有)()(10x f A x f <<),(22b b x δ-∈?，使A x f >)(2,则有)()(20x f A x f <<。再由)(x f 在),(b a 连续，()101,x x c ∈?，()202,x x c ∈?，有A c f c f ==)()(21,在[]21,c c 利用罗尔中值定理，有0)('=c f 。
例7 求证函数)
3)(1(1)(--=x x x f 在()3,1内至少存在一点c ，使0)('=c f 。 证：显然函数)3)(1(1)(--=
x x x f 在()3,1内可导，且有-∞=+→)(lim 1x f x ，-∞=-
→)(lim 3x f x 。则由形式3可知，在()3,1内至少存在一点c ，使0)('=c f 。 而'''
')3()1()2(2)3)(1(1)(---=??????--=x x x x x x f ，故有0)2('=f 。 形式4：若函数)(x f 在()+∞∞-,内可导，且)(lim )(lim x f x f x x +∞→-∞→=，则在()+∞∞-,内至少存在一点c ，使0)('=c f 。
证：令)(tan )(t f t F =，)2,2(ππ-∈t 由题设知：A x f t F x t ==-∞→+-→)(lim )(lim 02π，A x f t F x t ==+∞
→-→)(lim )(lim 02π，且t t f t F 2''sec )(tan )(?=存在。 由形式3可知，)2
,2(ππη-∈?，使0sec )(tan )(2''=?=t t f t F ，而0sec 2≠t ，故0)('=c f ，),(tan +∞-∞∈=ηc 。
例8 求证函数21)(x x x f +=
在()+∞∞-,内至少存在一点c ，使0)('=c f 。 证：显然函数)3)(1(1)(--=
x x x f 在()+∞∞-,内可导，且有0)(lim =-∞→x f x ，0)(lim =+∞→x f x 。则由形式4可知，在()+∞∞-,内至少存在一点c ，使0)('=c f 。
而'222'
2')1(11)(x x x x x f +-=??????+=，故有0)1('=f ，0)1('=-f 。