正态分布函数的模拟与比较
学院：电子工程学院
2016.12.27
一、作业题目：阅读教材后面的参读材料，编程产生标准正态分布的随机变量，并通过实验验证程序的效果（利用程序产生一定数量的随机数据，计算其在某几处的分布函数值，与标准正态分布表的值进行比较，以及计算其均值与方差）。请提交程序及实验报告。
二、作业原理：
①课本参考资料P378：例6.正态随机变量的产生
② 新版的Matlab默认采用Mersenne Twister随机数产生器
第一个源程序（图像）a=0;
for i=1:1:12
a=a+rand(500000,1); end
a=6-a;
b=mean(a);
c=var(a);
figure(1);
hist(a,5000); 第二个源程序（取点）i=0;
num=zeros(7,1); chance=zeros(7,1);
for y=0:0.5:3
i=i+1;
for x=1:1:500000
if (a(x) num(i)=num(i)+1; end chance(i)=num(i)/500000; end end ①图表： ②取的点 备注：从上往下看，为x为0、0.5、1.0、1.5、2.0、2.5时对应左边为概率，右边为数据个数 五、数据分析 1、所测数据表格及标准正态分布的比较如下： 2、文字分析： 经比较绝对误差均在0.34%以内，且均值为接近于0，方差也接近于1，所以综上，模拟效果良好 现实生活中的大数定理及中心值定理的应用 电子工程学院 目录 摘要........................................... 错误！未定义书签。第一章引言...................................... 错误！未定义书签。第二章大数定律 (2) 2.1大数定律的发展历史 (2) 2.2大数定律的定义 (3) 2.3几个常用的大数定律 (3) 第三章大数定律的一些应用 (6) 3.1大数定律在数学分析中的一些应用 (6) 3.2大数定律在保险业的应用 (6) 3.3大数定律在银行经营管理中的应用 9结论 (11) 参考文献 (12) 对于随机现象而言,其统计规律性只有在基本相同的条件下进行大量的重复试验才能显现出来.本文主要是通过大数定律来讨论随机现象最根本的性质——平均结果稳定性的相关内容.大数定律,描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律,是随机现象统计规律性的具体表现. 本文首先介绍了大数定律涉及的一些基础知识,以便于对文中相关知识的理解.通过比较,就不同条件下存在的大数定律做了具体的分析,介绍了几种较为常见的大数定律和强大数定律,总结了大数定律的应用,主要有大数定律在数学分析中的应用,大数定律在生产生活中的应用,大数定律在经济如：保险、银行经营管理中的应用等等,将理论具体化,将可行的结论用于具体的数学模型中,使大家对大数定律在实际生活中的应用价值有了更深的认识. 概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来.在随机事件的大量重复出现中,往往呈现几乎必然的规律,这个规律就是大数定律.大数定律是概率论中一个非常重要的课题,而且是概率论与数理统计之间一个承前启后的重要纽带.大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性,证明了在大样本条件下,样本平均值可以看作总体平均值,它是“算数平均值法则”的基本理论,通俗地说,这个定理就是在试验不变的条件下,重复试验多次,随机事件的频率以概率为稳定值. 在现实生活中,经常可以见到这一类型的数学模型,比如,我们向上抛一枚硬币,硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的,但当我们向上抛硬币的次数足够多时,达到上万次甚至几十万几百万次之后,我们会发现,硬币向上的次数约占总次数的二分之一,偶然中包含着必然.又如：在分析天平上称重量为a 的物品,若以12,,x x 3,...,n x x 表示n 次重复称量的结果,经验告诉我们,当n 充分大时,它们的算术平均值1 1n i i X n =∑与a 的偏差就越小.这种思想,不仅在整个概率论中起着重要00作用,而且在其他数学领域里面也占据着相当重要的地位. 大数定律的发展与研究也经历了很长一段时间,伯努利是第一个研究这一问题的数学家,他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理.现在,大数定律的相关模型已经被国内外广大学者所研究,特别是应用在实际生活中,如保险业得以存在并不断发展壮大的两大基石的一个就是大数定律.许多学者也已经在此领域中研究出了许多有价值的成果,讨论了在统计,信息论,分析、数论等方面的应用.在许多数学领域中,广大学者对某些具有特定类型的数学模型,都能利用大数定律的思考方式总结其代表性的性质及结论,使得这些类型的数学模型在进行讨论的时候大大简化了繁琐的论证过程,方便了研究.大数定律作为概率论的重要内容,其理论成果相对比较完善,这方面的文章较多,结果也比较完美,但对大数定律的应用问题的推广也是一项非常有价值的研究方向,通过对这些问题的应用推广,不仅能加深对大数定律的理解,而且能使之更为有效的服务于各项知识领域中.下面文中就通过对大数定律的讨论,给出了各大数定律之间的关系,归结出一般性结论.最后列举了一些能用大数定律来解决的实例,希望能通过这些实例,来进一步阐明大数定律在各个分支学科中的重要作用,以及在实际生活中的应用价值,加深大家对大数定律的理解. 《概率论与数理统计》习题二答案 《概率论与数理统计》习题及答案 习题二 1.一袋中有5只乒乓球,编号为1,2,3，4，5,在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的 最大号码,写出随机变量X 的分布律. 【解】 3535 24 35 3,4,51 (3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6 C X P X P X P X ====== ==== 故所求分布律为 ２.设在1５只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取１只,作不放回抽样,以X 表示取出的次品个数,求： (１） X 的分布律； （2） Ｘ的分布函数并作图； (3) 133 {},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<． 【解】 3 1331512213 3151133 150,1,2. C 22 (0). C 35C C 12(1). C 35 C 1 (2).C 35 X P X P X P X ========== 故X 的分布律为 （２） 当x <0时，F (x ）＝P (X ≤x )=０ 当０≤x <1时，F (x )＝P (X ≤x )=Ｐ（Ｘ=0)= 2235 当1≤x <２时，F （x ）=P (Ｘ≤ｘ）=P （Ｘ=0）＋P （X =1)=3435 当x ≥2时，F (x )=P （Ｘ≤x ）＝1 故X 的分布函数 0, 022 ,0135()34,12351,2x x F x x x 第一章 概率论的基本概念 一、填空题 1．;)3(;)2(;)1(C B A C B A C B A C B A C AB )()4(C B C A B A C B A C B A C B A C B A 或; 2． 2 1 81，； 3．6.0； 4． 733.0，； 5． 8.0,7.0； 6． 87； 7． 85； 8. 996.01211010 12或A -； 9． 2778.0185 6 446==A ；10. p -1. 二、选择题 D ；C ；B ；A ；D ； C ；D ；C ；D ；B . 三、解答题 1.解：).()()()(),((AB P B P AB P A P A B P B A P -=-∴=） 相互独立， 又）B A B A P B P A P ,,9 1 )(),((==∴ .3 2 )(,91)](1[)()()()(22=∴=-===∴A P A P A P B P A P B A P 2.解： 设事件A 表示“取得的三个数字排成一个三位偶数”，事件B 表示“此三位偶数的末 尾为0”，事件B 表示“此三位偶数的末尾不为0”，则: =)(A P )()(B P B P += .125 3 4 1 2123423=+A A A A A 3.解：设A i =“飞机被i 人击中”，i =1,2,3 , B =“飞机被击落”, 则由全概率公式： )()()()((321321B A P B A P B A P B A B A B A P B P ++== ） )()()()()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P ++= (1) 设1H =“飞机被甲击中”，2H =“飞机被乙击中”，3H =“飞机被丙击中”, 则: =)(1A P 321(H H H P 321(H H H P 321(H H H P ) =+)(321H H H P +)(321H H H P )(321H H H P ) 由于甲、乙、丙的射击是相互独立的， 第 5 章 大数定律与中心极限定理 一、 填空题： 1.设随机变量μξ=)(E ，方差2 σξ=)(D ，则由切比雪夫不等式有≤≥-}|{|σμξ3P 9 1 . 2.设n ξξξ,,, 21是 n 个相互独立同分布的随机变量， ),,,(,)(,)(n i D E i i 218===ξμξ对于∑== n i i n 1ξξ，写出所满足的切彼雪夫不等式 2 28εεξεμξn D P =≤ ≥-)(}|{| ，并估计≥ <-}|{|4μξP n 21 1- . 3. 设随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有1i EX =, 1(1,2,,9)i DX i == , 令9 1 i i X X ==∑, 则对任意给定的0ε>, 由切比雪夫不等式 直接可得{} ≥<-ε9X P 2 9 1ε- . 解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X 满足：()E X μ=与2()D X σ=都存在, 则对任意给定的0ε>, 有 22{||}P X σμεε-≥≤, 或者2 2{||}1.P X σμεε -<≥- 由于随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有 1,1(1,2,9),i i EX DX i === 所以 99 9111()()19,i i i i i E X E X E X μ===??===== ???∑∑∑ 99 9 2 111()()19.i i i i i D X D X D X σ===??===== ???∑∑∑ 4. 设随机变量X 满足：2 (),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式, 有{||4}P X μσ-≥ 1 16 ≤ . 解：切比雪夫不等式为：设随机变量X 满足2 (),()E X D X μσ==, 则对任意 的0ε>, 有22{||}.P X σμεε-≥≤由此得 221 {||4}.(4)16 P X σμσσ-≥≤= 一、单选题（共 15 道试题，共 75 分。） V 1. 下面哪个条件不能得出两个随机变量X与Y的独立性？ A. 联合分布函数等于边缘分布函数的乘积； B. 如果是离散随机变量，联合分布律等于边缘分布律的乘积； C. 如果是连续随机变量，联合密度函数等于边缘密度函数的乘积； D. 乘积的数学期望等于各自期望的乘积：E(XY)=E(X)E(Y)。 满分：5 分 2. 一袋子中装有6只黑球，4个白球，又放回地随机抽取3个，则三个球同色的概率是 A. 0.216 B. 0.064 C. 0.28 D. 0.16 满分：5 分 3. 设随机变量X的方差DX =σ2，则D（ax+b）= A. aσ2+b B. a2σ2+b C. aσ2 D. a2σ2 满分：5 分 4. 把4个球随机投入四个盒子中，设X表示空盒子的个数，则P(X=1)=( ) A. 6|64 B. 36|64 C. 21|64 D. 1|64 满分：5 分 5. 设随机变量X~N（2，4），且P{2 《概率论与数理统计》论文题目：正态分布及其应用 学院：航天学院 专业：空间科学与技术 姓名：黄海京 学号：1131850108 正态分布及其应用 摘要：正态分布（normal distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ,正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度,炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态分布，以及确定医学参考值范围，药品规格，用量等。可以说,正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般是一个正态随机变量。 关键词：正态分布， 一、正态分布的由来 正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution）。正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年受次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。 正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ= 0,σ= 1的正态分布。 二、正态分布的特性 1. 正太分布的曲线特征 正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。 （1）集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。 （2）对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。 （3）均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。 最大似然估计学习总结(概率论大作业) 最大似然估计学习总结 航天学院探测制导与控制技术杨若眉1110420123 摘要：最大似然估计是一种统计方法，它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。最大似然法明确地使用概率模型，其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。 关键词：最大似然估计；离散；连续；概率密度最大似然估计是一种统计方法，它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。这个方法最早是遗传学家以及统计学家罗纳德·费雪爵士在1912年至1922年间开始使用的。 “似然”是对likelihood 的一种较为贴近文言文的翻译，“似然”用现代的中文来说即“可能性”。故而，若称之为“最大可能性估计”则更加通俗易懂。最大似然法明确地使用概率模型，其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。该方法在每组序列比对中考虑了每个核苷酸替换的概率。 最大似然法是要解决这样一个问题：给定一组数据和一个参数待定的模型，如何确定模型的参数，使得这个确定参数后的模型在所有模型中产生已知数据的概率最大。通俗一点讲，就是在什么情况下最有可能发生已知的事件。举个例子，假如有一个罐子，里面有黑白两种颜色的球，数目多少不知，两种颜色的比例也不知。我们想知道罐中白球和黑球的比例，但我们不能把罐中的球全部拿出来数。现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来，记录球的颜色，然后把拿出来的球再放回罐中。这个过程可以重复，我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。假如在前面的一百次重复记录中，有七十次是白球，请问罐中白球所占的比例最有可能是多少？ 我想很多人立马有答案：70%。这个答案是正确的。可是为什么呢？（常识嘛！这还要问？！）其实，在很多常识的背后，都有相应的理论支持。在上面的问题中，就有最大似然法的支持例如，转换出现的概率大约是颠换的三倍。在一个三条序列的比对中，如果发现其中有一列为一个C，一个T和一个G，我们有理由认为，C和T所 第一章随机事件与概率 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：Ω={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}； A={（正，反），（正，正）}； B={（正，正），（反，反）}； C={（正，反），（正，正），（反，正）}。 2.设31)(=A P ，2 1)(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ： （1）AB =?，（2）B A ?，（3）81)(=AB P 解: （1）5.0)()()()()(==-=-=B P AB P B P AB B P A B P （2）6/13/15.0)()()()()()(=-=-=-=-=A P B P AB P B P AB B P A B P （3）375 .0125.05.0)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P 3.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他 拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少 解: 记H 表拨号不超过三次而能接通。 Ai 表第i 次拨号能接通。 注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。 10 3819810991109101) |()|()()|()()()(2131211211321211=??+?+= ++=∴ ++=A A A P A A P A P A A P A P A P H P A A A A A A H 三种情况互斥 Θ 如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B ）问题变为在B 已发生的条件下，求H 再发生的概率。 吉林大学网络教育 大作业 1.仪器中有三个元件,它们损坏的概率都是0.2,并且损坏与否相互独立.当一个元件损坏时, 仪器发生故障的概率为0.25,当两个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.6,当三个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.95, 当三个元件都不损坏时,仪器不发生故障.求：（1）仪器发生故障的概率；（2）仪器发生故障时恰有二个元件损坏的概率. (1)解：设A 表示事件“仪器发生故障”，i=1,2,3 P(A)= )/()(3 1 B B i i i A P P ∑=, P(B1)=3*0.2*0.80.2=0.384,P(B2)=3*0.22*0.8=0.096,P(B3)=0.23=0.008 所以P(A)=0.384*0.25+0.096*0.6+0.008*0.95+0.1612 (2) P(B 2/A)= ) ()(2A P A p B =0.96*0.6/0.1612=0.3573 2．设连续型随机变量X 的分布函数为 0, ,()arcsin ,,(0)1, ,x a x F x A B a x a a a x a ≤-??? =+-<<>?? ≥?? 求：（1）常数A 、B ．（2）随机变量X 落在,22a a ?? - ??? 内的概率．（3）X 的概率密度函数． 解：（1）F （a+0）=A-2πB=0，F （a-0） =A+2πB=1 所以A=0.5 B=π 1 (2)P{-2a 习题2 2.1 （2）抛掷一颗匀称质骰子两次， 以X 表示前后两次出现点数之和，求X 的概率分布，并验证其满足（2.2.2）式。 2.1解：样本空间为{})6,6(),....,1,2(),16(),...,2,1(),1,1(=Ω，且每个样本点出现的概率均为 36 1 ，X 的所有可能的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，且有 {}{}{}363 )2,2(),1,3(),3,1()4(,36 2)1,2(),2,1()3(,361)1,1()2(= ====== ==P X P P X P P X P 类似地,365)6(,364)5(====X P X P ,365)8(,366)7(====X P X P ,363)10(,364)9(====X P X P ,36 1 )12(,362)11(====X P X P X 的概率分布为 36 118112191365613659112118136112111098765432k p X 满足： 136 2/652636543212366)(12 2 =??+=+++++= =∑=k k X P 2.2设离散随机变量X 的概率分布为 {}k P X k ae -==， k=1，2,…，试确定常数.a 2.2解：由于111 1 1)(1--∞ =-∞=-==== ∑∑e e a ae k X P k k k ，故111 1 -=-=--e e e a 2.3 甲、乙两人投篮，命中率分别为0.7,和0.4，今甲、乙两人各投篮两次，求下列事件的概率： （1）两人投中的次数相同 ； （2）甲比乙投中的次数多。 2.3解：设Y X ,分别为甲、乙投中的次数，则有)4.0,2(~),7.0,2(~B Y B X ，因此有 2,1,0,)6.0()4.0()(,)3.0()7.0()(2222=====--k C k Y P C k X P k k k k k k （1） 两人投中次数相同的概率为 ∑======2 3142.0)()()(k k Y P k X P Y X P 学习中心/函授站_ 姓 名 学 号 西安电子科技大学网络与继续教育学院 2018学年上学期 《概率论与数理统计》期末考试试题 （综合大作业） 考试说明： 1、大作业于2018年4月19日下发，2018年5月5日交回，此页须在答卷中保留； 2、考试必须独立完成，如发现抄袭、雷同均按零分计； 3、答案须手写完成，要求字迹工整、卷面干净。 一、选择题（每题3分，共30分） 1．设A 、B 、C 是随机事件，且AB C ?，则（ ）。 A ．C A B ? B ．A C ?且B C ? C ．C AB ? D ．A C ?或B C ? 2．设一盒子中有5件产品，其中3件正品，2件次品。从盒子中任取2件，则取出的2件产品中至少有1件次品的概率为（ ）。 A ． 310 B ．510 C ．710 D ．1 5 3．设()F x 是随机变量X 的分布函数，则（ ）。 A ．()F x 一定连续 B ．()F x 一定右连续 C ．()F x 是单调不增的 D ．()F x 一定左连续 4．设连续型随机变量X 的概率密度为()x ?，且()()x x ??-=，()F x 是X 的分布函数，则对任何的实数a ，有（ ）。 A ．0()1()a F a x dx ?-=- ? B ．0 1 ()()2 a F a x dx ?-=-? C ．()()F a F a -= D ．()2()1F a F a -=- 5．设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合概率密度为 22 6 (,), , x y f x y Ae x y +- =-∞<<+∞-∞<<+∞ 则常数A =（ ）。 A ． 12π B ．112π C ．124π D ．16π 6．设随机变量X 、Y 相互独立，且分别服从参数为1和参数为4的指数分布，则 ()P X Y <=（ ） 。 A. 15 B.13 C.25 D.4 5 7．有10张奖券，其中8张2元，2张5元，今某人从中随机地抽取3张，则此人得奖 金额的数学期望为（ ）。 A ．6 B ．12 C ．7.8 D ．9 8. 设连续型随机变量X 的概率密度为 , 01 ()0, a bx x f x +< 1. 设随机变量X 的数学期望()E X μ=，方差2 ()D X σ=，则由契比雪夫不等式 {}≤ ≥-σμ3X P 1 9 。 2. 设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，相关系数为0.5，则根据契比雪夫不等式{} ≤ ≥-6Y X P 1 12 。 3. 在一次试验中，事件A 发生的概率为2 1 ， 利用契比雪夫不等式估计是否可以用大于0.97的概率确信，在1000次独立重复试验中，事件A 发生的次数在400～600的范围内？ 解： X 表示在1000次重复独立试验中事件A 发 生的次数,则1~1000,2X B ? ? ?? ?.于是: 1 ()1000500, 2E X np ==?=11 ()100025022 D X =??= (400600)(500100)P X P X <<=-< 2 250 (100)10.975100 P X EX =-<≥-=.因此可以用大于0.97的概率确信，在1000次独立重复试验中，事件A 发生的次数在400～600的范围内. 4.用契比雪夫不等式确定当掷一均匀铜币时，需投多少次，才能保证使得正面出现的频率在0.4和0.6 之间的概率不小于90%？ 解：设n μ表示掷n 次铜币正面出现的次数，则1(,)2n B n μ，1()2n E n μ=，1()4 n D n μ= {0.40.6}{ 0.50.1}n n P P n n μμ≤ ≤=-≤ 2() 25110.90.1n D n n μ≥- =-≥250n ?≥ 注：事实上，由中心极限定理 {0.40.6}{0.40.6}n n P P n n n μμ ≤ ≤=≤≤≈ Φ-Φ (210.9=Φ-≥ (()0.95 1.96Φ≥=Φ 1.96≥ 解之得 96.0365n ≥，所以，至少需投掷97次，才能保证使得正面出现的频率在0.4和0.6 之间的概率不小于90%。 5.一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成，在整个运行期间，每个部件损坏的概率为0.1，为了使整个系统起作用，至少需85个部件工作，求整个系统工作的概率。 解：设整个系统中有X 个部件能正常工作， 则()~100,0.9X B ，系统工作的概率为 ()()85 184P X P X ≥=-≤ 1≈-Φ ()()1220.9772=-Φ-=Φ= 6.设 ,,,,21n X X X 为独立随机变量序列，且(1,2, )i X i =服从参数为λ的指数分 布，试求：??? ? ??? ???????≤-∑=∞ →x n n X P n i i n 1lim λ。 解：因i X 服从参数为λ的指数分布,故: 《概率论与数理统计》练习题2答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、A 、B 任意二事件，则A B -=( )。 A 、B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案：D 2、设袋中有6个球，其中有2个红球，4个白球，随机地等可能地作无放回抽样，连续抽两次，则使P A ()= 1 3 成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球，第二次抽得红球， 答案：B 3、函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ 答案：D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立，且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =，又 12,,,,n c k k k ，为1n +个任意常数，则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()11 1n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案：C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )2 6 2x x ?-= C 、()312 x x e ?-= D 、()() 42 1 1x x ?π= + 答案：D 7、设随机变量的数学期望和方差均是1m +(m 为自然数)，那么 (){}041P m ξ<<+≥( )。 A 、 11m + B 、1m m + C 、0 D 、1m 答案：B 8、设1, , n X X 是来自总体2(, )N μσ的样本， 2211 11, (),1n n i n i i i X X S X X n n --==--∑∑则以下结论中错误的是( )。 A 、X 与2 n S 独立 B 、 ~(0, 1)X N μ σ - C 、 2 22 1 ~(1)n n S X n σ-- D ~(1)n t n - 答案：B 9、容量为n =1的样本1X 来自总体~(1,)X B p ，其中参数01p <<，则下述结论正 学习概率论的体会 在刚刚开始学习概率论的时候，了解了一些有关概率论起源和发展的历史。概率论起源于16世纪的赌博，促使概率论产生的强大动力来自社会实践.首先是保险事业,保险的对象都是偶然性事件．为了保证保险公司赢利，又使参加保险的人愿意参加保险，就需要根据对大量偶然现象规律性的分析，去创立保险的一般理论．于是，一种专门适用于分析偶然现象的数学工具也就成为十分必要了． 而18世纪是概率论的正式形成和发展时期,在名著《推想的艺术》中，贝努利明确指出了概率论最重要的定律之一――“大数定律”，并且给出了证明，这使以往建立在经验之上的频率稳定性推测理论化了，从此概率论从对特殊问题的求解，发展到了一般的理论概括．这就使得概率论从研究特殊现象转变到能够研究一般问题的一个数学分支，概率论也就得到了广泛的应用。 但这似乎对于我们的生活没有什么关系，看看，我们又有那些需要用到概率论的。玩游戏，不需要，知道输赢就行；购物，更不需要，明白多少钱就行。如此一来，概率论似乎学与不学对于我们的生活没有多大的影响。但概率论的历史彰示着：概率论的发展离不开生活，而它的发展也必将服务与生活，它影响到生活的每一点一滴。 太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100％,或者说是，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨，买东西买到次品，同班同学生日相同概率，碰运气能否通过计算机等级考试VISUAL BASIC的笔试，彩票等等，这类事件的概率就介于O和100％之间，或者说0和1之间。在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。 现在就用生活中的一个具体的例子来说明。其中就要涉及到概率统计中随机变量分布的应用。以计算机等级考试VASUAL BA—SIC笔试为例，因为到时候我们要考计算机二级证。计算机等级考试VASUAL BA—SIC笔试试卷100分制，一共50题，其中35道单选题，15道填空题，每题两分。60分以上为通过。填空题是无法猜测的，就排除在外，也就是说我们只能在选择题上用猜测的方法。在35道选择题中，每题答对的概率为P=0．25，若要答对6O 分以上必须在35题中选对30题以上。这就看作是一个35重的伯努利试验设随机变量x为答对的题数，则x～ b(k；35，0．25)，其分布为：P(X：k)=C35(取k)O．25k ×0．75(35－k)，k=1，2，. .35若要通过则k≥30，其概率为P(X＝k≥30)=Σc35(取k)O．25k X0．75(35－k)，k ＝30，31，. .35 ≈3．23 × 10－1 5=0．0000O00000000O3 由此可见这个概率是非常之小的，相当于在1000亿个碰运气的考生中只有0．00000323个人才能过，而地球上只有60亿人。因此不要存在侥幸心里通过碰运气考过，这是基本上没有可能的。其实，概率学与运气之间的关系，实质上是科学与运气的关系。可以这么说，概率学对碰运气是有帮助的，而关键在于如何应用和理解。概率是以科学为基础的，而运气是在对解释不清的事物所作的一种解释，或者说是概率学的一种随机现象。 人们在生活和工作中，无论做什么事都要脚踏实地，对生活中的某些偶然事件要理性的分析、对待。一位哲学家曾经说过：“概率是人生的真正指南”。随着生产的发展和科学技术水平的提高，概率已渗透到我们生活的各个领域。总之，由于随机现象在现实世界中大量存在，概率必将越来越显示出它巨大的威力。是以，我们要善于利用概率的知识去解决生活和工作中的问题，概率论就会对我们的生活产生积极的影响。 但是，概率也仅仅是个数字，它或许会代表着什么，会给我们的行为有些指导作用。面对这它的时候，切莫太过大意，也更莫失去自信。就比如有四张彩票供三个人抽取，其中只有一张彩票有奖。第一个人去抽，他的中奖概率是25％，结果没抽到。第二个人看了，心里有些踏实了，他中奖的概率是33％，可结果他也没抽到。第三个人心里此时乐开了花，一来其他的人都失败了，觉得自己很幸运。二来自己中奖的机率高达50％。可结果他同样没中奖。这1％的概率和99％的概率有区别吗？有，概率有大小之分，但那不应该是针对个体而言，而是从一个群体出发，因为不同的人有不同的信念，有不同的做事方法。把地球给撬起来，这在大多数人眼里是绝对不可能的。但在牛人亚里士多德眼里，他觉得成功做这事的概率那是100％——绝对没问题，只要你给他一个支点和足够长的杠杆。在自己没做一件事之前，不要在外界评价的“容易”和“困难”之间对号入座。要对自己有个清楚的认识，不要膨胀了“自信”，更不要埋没了自己的“潜质”。不要被“绝对有希望”所蒙蔽，也不要被“希望渺茫”所打垮。 概率与数理统计 习题五 答案 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10 根据独立同分布的中心极限定理得 0.8n i X n P ??-??≤≤???? ∑ 0.9,=Φ-Φ≥ 整理得 0.95,10?Φ≥ ?? 查表 1.64,≥ n ≥268.96, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定各 机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问 至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足 而影响生产. 【解】设需要供应车间至少15m ?个单位的电能，这么多电能最多能 同时供给m 部车床工作，我们的问题是求m 。 把观察一部机床是否在工作看成一次试验，在200次试验中， 用X 表示正在工作的机床数目，则~(200,0.7)X B , ()2000.7140, ()(1)2000.70.342,E X np D X np p ==?==-=??= 根据题意，结合棣莫弗—拉普拉斯定理可得 0.95{}P X m P =≤=≤=Φ 查表知 1.64,= ,m =151. 所以供应电能151×15=2265（单位）. 概率论与数理统计作业 第一章随机事件与概率 1?将一枚均匀的硬币抛两次，事件代B,C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件A,B,C中的样本点。 解：舄」正正、正反、反正、反反］ A=.正正、正反/, B =「正正1, C =:正正、正反、反正 / 2.设P(A)二3，P(B)二2，试就以下三种情况分别求P(BA): 3 2 (1)AB=必，(2)A B，( 3)P(AB)=1 8 解： (1)P(BA) =P(B — AB) =P(B) — P(AB) =P(B) =0.5 (2)P(BA)二P(B —AB)二P(B) —P(AB)二P(B) 一P(A) = 0.5 -1/3 = 1/6 (3)P(BA)二P(B — AB)二P(B) —P(AB) =0.5 —0.125 =0.375 3.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 解：记H表拨号不超过三次而能接通。 Ai表第i次拨号能接通。 注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。 寫H = A +瓦人 2 +瓦入2民三种情况互斥 二P(H) =P(A)+P(AjP(A2 |瓦)+ 卩(瓦)卩(入2丨A I)P(A3 1A1A2) 19 19 8 13 =—+—X —+ —X —X —=— 10 10 9 10 9 8 10 如果已知最后一个数字是奇数(记为事件B)问题变为在B已发生的条件下，求H再发 生的概率。 P(H |B) =PA |B A A2 |B A1A2A3| B) = P(A!|B) P(A1| B)P(A2|BA1) P(A1| B)P(A2| BA!)P(A3 |B^A2) 14 14 3 13 = ---- i ----- 4 --- I ------ A. ---- A. --- = ------ 5 5 4 5 4 3 5 4?进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为，试求以下事件的概率： (1)直到第r次才成功; (2)在n次中取得r(「乞r乞n)次成功； 解：(1) P=(1—p)rJL p (2) P =C：p r(1 一p)^ 5.设事件A, B的概率都大于零，说明以下四种叙述分别属于那一种：(a)必然对，(b) 必然错，(c)可能对也可能错，并说明理由。 (1)若A，B互不相容，则它们相互独立。 (2)若A与B相互独立，则它们互不相容。 (3)P(A)二P(B) =0.6，则 A与 B互不相容。 (4)P(A)二P(B) =0.6，则 A与 B相互独立。 解:(1)b, 互斥事件，一定不是独立事件 (2)c, 独立事件不一定是互斥事件， (3)b, P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)若 A与 B互不相容，则P(AB) = 0 而P(A B) =P(A) P(B) - P(AB) =1.2 1 ⑷a, 若A与B相互独立,则P(AB) = P(A)P(B) J 这时P(A B)二P(A) P(B) -P(AB) =1.2 -0.36 =0.84 6.有甲、乙两个盒子，甲盒中放有 3个白球，2个红球；乙盒中放有4个白球，4个红球，现从甲盒中随机地取一个球放到乙盒中，再从乙盒中取出一球，试求： (1)从乙盒中取出的球是白球的概率； ⑵若已知从乙盒中取出的球是白球，则从甲盒中取出的球是白球的概率。 解:(1)记A, A分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋” 习 题 二 1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率. 解 设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =， 所求概率为 13133() (|)() P A A P A A P A =， 因为 312 A A A =+ 所以 312()()()0.6 0.30.9 P A P A P A =+=+= 131()()0. 6P A A P A == 故 1362 (|)93 P A A = =. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率. 解 设A =‘所取两件中有一件是不合格品’ i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则 12A B B =+ 112 464 122 21010 ()()()C C C P A P B P B C C =+=+， 所求概率为 2 242112 464()1 (|)()5 P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率. 解 设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+， 所求概率为 33 6113333 611511/()()2 (|)()()//3 C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率. 解 设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =， 则 345A B B B =++， 所求概率为概率论大作业讲解
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