双曲线的标准方程及其简单的几何性质
1.平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( )
A .双曲线
B .一条直线
C .一条线段
D .两条射线 2.已知方程x 21+k -y 2
1-k
=1表示双曲线,则k 的取值范围是( )
A .-1 B .k >0 C .k ≥0 D .k >1或k <-1 3.动圆与圆x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x +12=0都相外切,则动圆圆心的轨迹为( )A .双曲线的一支 B .圆 C .抛物线 D .双曲线 4.以椭圆x 23+y 2 4 =1的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程 是( )A.x 23-y 2=1 B .y 2-x 2 3=1 C.x 23-y 24 =1 D.y 23-x 2 4 =1 5.“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 6.已知双曲线的两个焦点为F 1(-5,0)、F 2(5,0),P 是此双曲线上的一点,且PF 1⊥PF 2,|PF 1|·|PF 2|=2,则该双曲线的方程是( ) A.x 22-y 2 3 =1 B.x 23-y 22=1 C.x 24 -y 2 =1 D .x 2-y 2 4 =1 7.点F 1(-4,0)和F 2(4,0),曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6,则曲线方程为( )A.x 29-y 27=1 B.x 29-y 27=1(y >0) C.x 29-y 27=1或x 27-y 29=1 D.x 29-y 2 7=1(x >0) 8.已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2,在左支上过F 1的弦AB 的长为5,若2a =8,那么△ABF 2的周长是( ) A .16 B .18 C .21 D .26 9.双曲线与椭圆x 29+y 225=1共焦点,它们的离心率之和为14 5,双曲线的方程是( ) A.x 212-y 24=1 B.x 24-y 212=1 C .-x 212+y 24=1 D .-x 24+y 2 12=1 10.焦点为(0,±6)且与双曲线x 22 -y 2=1有相同渐近线的双曲线方程是( ) A.x 212-y 2 24=1 B.y 212-x 224=1 C.y 224-x 2 12=1 D.x 224-y 2 12 =1 11.若0 b 2=1有( ) A .相同的实轴 B .相同的虚轴 C .相同的焦点 D .相同的渐近线 12.中心在坐标原点,离心率为5 3的双曲线的焦点在y 轴上,则它的渐近线方 程为( ) A .y =±5 4 x B .y =±45x C .y =±43x D .y =±3 4 x 13.双曲线x 2b 2-y 2 a 2=1的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率为( ) A .2 B. 3 C. 2 D.32 14.双曲线x 29-y 2 16=1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( ) A. 3 B .3 C .4 D .2 15.双曲线的焦点在x 轴上,且经过点M (3,2)、N (-2,-1),则双曲线标准方程是________. 16.过双曲线x 23-y 2 4=1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________. 17.如果椭圆x 24+y 2a 2=1与双曲线x 2a -y 2 2=1的焦点相同,那么a =________. 18.双曲线x 24+y 2 b =1的离心率e ∈(1,2),则b 的取值范围是________. 19.椭圆x 24+y 2a 2=1与双曲线x 2a 2-y 2 =1焦点相同,则a =________. 20.双曲线以椭圆x 29+y 2 25=1的焦点为焦点,它的离心率是椭圆离心率的2倍,求 该双曲线的方程为? 双曲线的标准方程及其简单的几何性质(答案) 1、[答案] D 2、[答案] A [解析] 由题意得(1+k )(1-k )>0,∴(k -1)(k +1)<0,∴-1 3、[答案] A [解析] 设动圆半径为r ,圆心为O , x 2+y 2=1的圆心为O 1,圆x 2+y 2-8x +12=0的圆心为O 2, 由题意得|OO 1|=r +1,|OO 2|=r +2, ∴|OO 2|-|OO 1|=r +2-r -1=1<|O 1O 2|=4, 由双曲线的定义知,动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支. 4、[答案] B [解析] 由题意知双曲线的焦点在y 轴上,且a =1,c =2, ∴b 2 =3,双曲线方程为y 2 -x 2 3 =1. 5、[答案] C [解析] ab <0?曲线ax 2+by 2=1是双曲线,曲线ax 2+by 2=1是双曲线?ab <0. 6、[答案] C [解析] ∵c =5,|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2, ∴(|PF 1|-|PF 2|)2+2|PF 1|·|PF 2|=4c 2,∴4a 2=4c 2-4=16,∴a 2=4,b 2=1. 7、[答案] D [解析] 由双曲线的定义知,点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点, 实轴长为6的双曲线的右支,其方程为:x 29-y 2 7 =1(x >0) 8、[答案] D [解析] |AF 2|-|AF 1|=2a =8,|BF 2|-|BF 1|=2a =8, ∴|AF 2|+|BF 2|-(|AF 1|+|BF 1|)=16,∴|AF 2|+|BF 2|=16+5=21, ∴△ABF 2的周长为|AF 2|+|BF 2|+|AB |=21+5=26. 9、[答案] C [解析] ∵椭圆x 29+y 225=1的焦点为(0,±4),离心率e =4 5, ∴双曲线的焦点为(0,±4),离心率为145-45=105=2, ∴双曲线方程为:y 24-x 2 12 =1. 10、[答案] B [解析] 与双曲线x 22-y 2=1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22-y 2 =λ(λ≠0), 又因为双曲线的焦点在y 轴上, ∴方程可写为y 2-λ-x 2 -2λ =1. 又∵双曲线方程的焦点为(0,±6),∴-λ-2λ=36.∴λ=-12. ∴双曲线方程为y 212-x 2 24=1. 11、[答案] C [解析] ∵0 12、[答案] D [解析] ∵c a =53,∴c 2a 2=a 2+b 2 a 2=259,∴ b 2a 2=169,∴b a =43,∴a b =3 4 . 又∵双曲线的焦点在y 轴上,∴双曲线的渐近线方程为y =±a b x ,∴所求双曲线的渐近线方程为y =±3 4x . 13、[答案] C [解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直,则渐近线方程为:y =±x , ∴b a =1,∴b 2a 2=c 2-a 2 a 2=1,∴c 2=2a 2,e =c a = 2. 14、[答案] C [解析] ∵焦点坐标为(±5,0),渐近线方程为y =±43x ,∴一个焦点(5,0)到渐近线y =43x 的距离为4. 15、[答案] x 273-y 275 =1 [解析] 设双曲线方程为:x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0) 又点M (3,2)、N (-2,-1)在双曲线上,∴??? 9a 2-4b 2 =14a 2 -1 b 2 =1 ,∴??? a 2= 73 b 2 =7 5 . 16、[答案] 83 3 [解析] ∵a 2=3,b 2=4,∴c 2=7,∴c =7, 该弦所在直线方程为x =7,由????? x =7x 23-y 24=1 得y 2=163,∴|y |=433,弦长为83 3 . 17、[答案] 1 [解析] 由题意得a >0,且4-a 2=a +2,∴a =1. 18、[答案] -12 4-b 2 ∈(1,2),∴-12 19、[答案] 6 2[解析]由题意得4-a 2=a2+1,∴2a2=3,a=6 2. 焦点为(0,±4),离心率e=c a= 4 5,∴双曲线的离心率e1=2e= 8 5, ∴c1 a1= 4 a1= 8 5,∴a1= 5 2,∴b 2 1 =c21-a21=16- 25 4= 39 4,∴双曲线的方程为 y2 25 4 - x2 39 4 =1. 20、[答案]y2 25 4 - x2 39 4 =1 [解析]椭圆 x2 9 + y2 25 =1中,a=5,b=3,c2=16, 双曲线专题 一、学习目标: 1.理解双曲线的定义; 2.熟悉双曲线的简单几何性质; 3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目. 二、知识点梳理 定 义 1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长(小于 2 1F F )的点的轨迹 2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e e e (>1)的点的轨迹 标准方程 -2 2a x 22 b y =1()0,0>>b a -22a y 22 b x =1()0,0>>b a 图 形 性质 范围 a x ≥或a x -≤,R y ∈ R x ∈,a y ≥或a y -≤ 对称性 对称轴: 坐标轴 ;对称中心: 原点 渐近线 x a b y ± = x b a y ± = 顶点 坐标 ()0,1a A -,()0,2a A ()b B -,01,()b B ,02 ()a A -,01,()a A ,02()0,1b B -,()0,2b B 焦点 ()0,1c F -,()0,2c F ()c F -,01,()c F ,02 轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2 离心率 1>= a c e ,其中22b a c += 准线 准线方程是c a x 2 ±= 准线方程是c a y 2 ±= 三、课堂练习 1.椭圆x 24+y 2a 2=1与双曲线x 2a -y 2 2=1有相同的焦点,则a 的值是( ) A.1 2 B .1或-2 C .1或1 2 D .1 2.已知F 是双曲线x 24-y 2 12=1的左焦点,点A (1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF |+|P A |的最小值为________. 3.已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 2-y 2=1的左、右焦点,点P 在C 上,∠F 1PF 2=60°,则|PF 1||PF 2|=( ) A .2 B .4 C .6 D .8 4.已知双曲线的两个焦点F 1(-10,0),F 2(10,0),M 是此双曲线上的一点,且MF 1→·MF 2→=0,|MF 1→|·|MF 2→|=2,则该双曲线的方程是( ) A.x 29-y 2 =1 B .x 2-y 29=1 C.x 23-y 2 7=1 D.x 27-y 2 3=1 5.若F 1,F 2是双曲线8x 2-y 2=8的两焦点,点P 在该双曲线上,且△PF 1F 2是等腰三角形,则△PF 1F 2的周长为________. 6.已知双曲线x 26-y 2 3=1的焦点为F 1,F 2,点M 在双曲线上,且MF 1⊥x 轴,则F 1到直线F 2M 的距离为( ) A.365 B.566 C.65 D.56 双曲线及其标准方程习题 一、 单选题(每道小题 4分 共 56分 ) 1. 命题甲:动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA|?|PB|│=2a(a ?0);命题乙; P 点轨迹是双曲线,则命题甲是命题乙的 [ ] A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件 D .既非充分也非必要条件 2. 3. 4. 5. 如果方程x 2 sin ??y 2cos ?=1表示焦点在y 轴上的双曲线,那么角?的终边在 [ ] A .第四象限 B .第三象限 C .第二象限 D .第一象限 6. 7. 若a ·b ?0,则ax 2 ?ay 2 =b 所表示的曲线是 [ ] A .双曲线且焦点在x 轴上 B .双曲线且焦点在y 轴上 C .双曲线且焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上 D .椭圆 8. 9. 10. 11. 12. 13. 已知ab ?0,方程y=?2x ?b 和bx 2 ?ay 2 =ab 表示的曲线只可能是图中的 [ ] 14. 二、 填空题(每道小题 4分 共 8分 ) 1. 2. 双曲线的标准方程及其简单的几何性质 1.平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A .双曲线 B .一条直线 C .一条线段 D .两条射线 2.已知方程x 21+k -y 2 1-k =1表示双曲线,则k 的取值范围是( ) A .-1 x y o x y o x y o x y o 高二数学双曲线同步练习 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 ( ) A .椭圆 B .线段 C .双曲线 D .两条射线 2.方程1112 2=-++k y k x 表示双曲线,则k 的取值范围是 ( ) A .11<<-k B .0>k C .0≥k D .1>k 或1- 双曲线的标准方程及其简单的几何性质 一、选择题 1.平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A .双曲线 B .一条直线 C .一条线段 D .两条射线 2.已知方程x 21+k -y 2 1-k =1表示双曲线,则k 的取值范围是( ) A .-1 一、选择题(每小题只有一个正确答案,每题6分共36分) 1. 椭圆22 1259 x y +=的焦距为。 ( ) A . 5 B. 3 C. 4 D 8 2.已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线的方程为 ( ) A . 221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 22 1610x y -= 3.双曲线22 134 x y -=的两条准线间的距离等于 ( ) A C. 185 D 165 4.椭圆22 143 x y +=上一点P 到左焦点的距离为3,则P 到y 轴的距离为 ( ) A . 1 B. 2 C. 3 D 4 5.双曲线的渐进线方程为230x y ±=,(0,5)F -为双曲线的一个焦点,则双曲线的方程为。 ( ) A . 22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6.设12,F F 是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点,若双曲线上存在点A ,使1290F AF ? ∠=且 123AF AF =,则双曲线的离心率为 ( ) A . 2 B. 2 C. 2 7.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2 =ax (a ≠0)的焦点F ,且和y 轴交于点A ,若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ) A .y 2 =±4 B .y 2 =±8x C .y 2 =4x D .y 2 =8x 8.已知直线l 1:4x -3y +6=0和直线l 2:x =-1,抛物线y 2 =4x 上一动点P 到直线 l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A .2 B .3 9.已知直线l 1:4x -3y +6=0和直线l 2:x =-1,抛物线y 2 =4x 上一动点P 到直线 双曲线经典练习题总结(带答案) 一、选择题 1.以椭圆x 216+y 2 9=1的顶点为顶点,离心率为2的双曲线方程为( C ) A .x 216-y 2 48=1 B .y 29-x 2 27 =1 C .x 216-y 248=1或y 29-x 2 27=1 D .以上都不对 [解析] 当顶点为(±4,0)时,a =4,c =8,b =43,双曲线方程为x 216-y 2 48=1;当顶点为(0, ±3)时,a =3,c =6,b =33,双曲线方程为y 29-x 2 27=1. 2.双曲线2x 2-y 2=8的实轴长是( C ) A .2 B .22 C .4 D .42 [解析] 双曲线 2x 2-y 2=8 化为标准形式为x 24-y 2 8 =1,∴a =2,∴实轴长为2a =4. 3.(全国Ⅱ文,5)若a >1,则双曲线x 2a 2-y 2 =1的离心率的取值范围是( C ) A .(2,+∞) B .(2,2 ) C .(1,2) D .(1,2) [解析] 由题意得双曲线的离心率e =a 2+1 a . ∴c 2=a 2+1a 2=1+1a 2. ∵a >1,∴0<1a 2<1,∴1<1+1 a 2<2,∴1双曲线专题经典练习及答案详解
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