两角和与差的正弦、余弦和正切公式
教学目标 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
知 识 梳 理
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. cos(α?β)＝cos αcos β±sin αsin β.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α.
cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.
3.有关公式的逆用、变形等
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β).
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ?
?
???α±π4.
4.函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α
＋φ)? ????其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)?
?
???其中tan φ＝a b .
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
精彩PPT 展示
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β
＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )
解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2
＋k π，k ∈Z .
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2.(2016·全国Ⅲ卷)若tan θ＝－1
3，则cos 2θ＝( )
A.－45
B.－15
C.15
D.45
解析 cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2
θ＝4
5
. 答案 D
3.(2015·重庆卷)若tan α＝13，tan(α＋β)＝1
2
，则tan β等于( )
A.17
B.16
C.57
D.56
解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α
1＋tan （α＋β）·tan α
＝12－131＋12×13＝17，故选A.
答案 A
4.(2017·广州调研)已知sin α＋cos α＝13，则sin 2?
????π4－α＝( ) A.1
18
B.1718
C.89
D.
29
解析 由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－8
9，
所以sin 2
? ????π4－α＝1－cos ? ???
?
π2－2α2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718，故选B.
答案 B
5.(必修4P137A13(5)改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________.
解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°
＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝
2
2
.
答案
22
考点一 三角函数式的化简
【例1】 (1)(2016·合肥模拟)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( )
A.sin(α＋2β)
B.sin α
C.cos(α＋2β)
D.cos α
(2)化简：（1＋sin α＋cos α）·?
?
??
?cos α2－sin α22＋2cos α(0<α<π)＝________.
解析 (1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos
α.
(2)原式＝
?
????2cos 2α
2＋2sin α2cos α2·? ???
?cos α2－sin α24cos 2
α2
＝cos α2? ????
cos 2α2－sin 2α2??????cos α2＝cos α2
cos α
?????
?cos α2.
因为0<α<π，所以0<
α2<π2
，所以cos
α2
>0，所以原式＝cos α.
答案 (1)D (2)cos α
【训练1】 (1)2＋2cos 8＋21－sin 8的化简结果是________.
(2)化简：2cos 4α－2cos 2
α＋
12
2tan ? ????π4－αsin 2? ?
??
?π4＋α＝________.
解析 (1)原式＝4cos 24＋2（sin 4－cos 4）2 ＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|，
因为54π<4<3
2π，所以cos 4<0，且sin 4 所以原式＝－2cos 4－2(sin 4－cos 4)＝－2sin 4. (2)原式＝1 2 （4cos 4α－4cos 2α＋1）2×sin ? ??? ?π4－αcos ? ????π4－α·cos 2? ? ?? ?π4－α ＝（2cos 2α－1）24sin ? ????π4－αcos ? ????π4－α＝cos 22α 2sin ? ??? ?π2－2α ＝cos 22α2cos 2α＝12 cos 2α. 答案 (1)－2sin 4 (2)1 2cos 2α 考点二 三角函数式的求值 【例2】 (1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280＝________. (2)已知cos ? ????π4＋α＝35，17π 12<α<7π4，则sin 2α＋2sin 2α1－tan α的值为________. (3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－1 7，则2α－β的值 为________. 解析 (1)原式＝(2sin 50°＋sin 10°· cos 10°＋3sin 10° cos 10° )· 2sin 80°＝(2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋3 2 sin 10°cos 10°)· 2cos 10°＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)] ＝22sin(50°＋10°)＝22× 3 2 ＝ 6. (2)sin 2α＋2sin 2α1－tan α＝2sin αcos α＋2sin 2α1－ sin α cos α ＝2sin αcos α（cos α＋sin α）cos α－sin α ＝sin 2α1＋tan α1－tan α＝sin 2α·tan ? ?? ?? π4＋α. 由17π12<α<7π4得5π3<α＋π4<2π，又cos ? ????π4＋α＝3 5， 所以sin ? ????π4＋α＝－45，tan ? ?? ?? π4＋α＝－43. cos α＝cos ?????? ? ????π4＋α－π4＝－210，sin α＝－7210，sin 2α＝725. 所以sin 2α＋2sin 2α1－tan α＝－28 75 . (3)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β 1－tan （α－β）tan β ＝12－171＋12×17 ＝13>0， 又α∈(0，π)，∴0<α< π2 ， 又∵tan 2α＝ 2tan α 1－tan 2α ＝ 2× 13 1－? ?? ??132＝3 4>0， ∴0<2α< π2 ， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β 1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×1 7＝1. ∵tan β＝－17<0，∴π 2 <β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－ 3π 4 . 答案 (1) 6 (2)－2875 (3)－3π 4 【训练2】 (1)4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B. 2＋3 2 C. 3 D.22－1 (2)已知sin ? ? ???α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos α的值为________. (3)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314(0<β<α<π 2 )，则tan 2α＝________， β＝________. 解析 (1)原式＝4sin 40°－ sin 40° cos 40° ＝4cos 40°sin 40°－sin 40°cos 40° ＝2sin 80°－sin 40°cos 40° ＝2sin （120°－40°）－sin 40°cos 40° ＝ 3cos 40°＋sin 40°－sin 40° cos 40° ＝3cos 40°cos 40°＝3，故选C. (2)由sin ? ? ???α＋π3＋sin α＝－435， 得32sin α＋32cos α＝－435，sin ? ? ???α＋π6＝－45. 又－π2<α<0，所以－π3<α＋π6<π 6， 于是cos ? ? ???α＋π6＝35. 所以cos α＝cos ??????? ? ???α＋π6－π6＝33－410. (3)∵cos α＝17，0<α<π 2 ， ∴sin α＝ 43 7 ，tan α＝43， ∴tan 2α＝ 2tan α1－tan 2α＝2×431－48＝－83 47 . ∵0<β<α< π2，∴0<α－β<π2 ， ∴sin(α－β)＝ 33 14 ， ∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12 ， ∴β＝ π 3 . 答案 (1)C (2)33－410 (3)－8347 π 3 考点三 三角变换的简单应用 【例3】 已知△ABC 为锐角三角形，若向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )与向量q ＝(sin A －cos A ，1＋sin A )是共线向量. (1)求角A ； (2)求函数y ＝2sin 2 B ＋cos C －3B 2 的最大值. 解 (1)因为p ，q 共线，所以(2－2sin A )(1＋sin A ) ＝(cos A ＋sin A )(sin A －cos A )，则sin 2A ＝3 4 . 又A 为锐角，所以sin A ＝ 32，则A ＝π3 . (2)y ＝2sin 2 B ＋cos C －3B 2＝2sin 2B ＋cos ? ? ? ??π－π3－B －3B 2 ＝2sin 2B ＋cos ? ?? ?? π3－2B ＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋ 32sin 2B ＝32sin 2B －12cos 2B ＋1＝sin ? ? ???2B －π6＋1. 因为B ∈? ? ???0，π2，所以2B －π6∈? ????－π6，5π6，所以当2B －π6＝π2时，函数y 取 得最大值，此时B ＝ π 3 ，y max ＝2. 【训练3】 (2017·合肥模拟)已知函数f (x )＝(2cos 2 x －1)·sin 2x ＋1 2cos 4x . (1)求f (x )的最小正周期及单调减区间； (2)若α∈(0，π)，且f ? ????α4－π8＝22，求tan ? ? ???α＋π3的值. 解 (1)f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋1 2cos 4x ＝cos 2x sin 2x ＋1 2 cos 4x ＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝22sin ? ? ???4x ＋π4， ∴f (x )的最小正周期T ＝ π 2 . 令2k π＋ π2≤4x ＋π4≤2k π＋3 2 π，k ∈Z ， 得 k π2＋π16 ≤x ≤ k π2＋5π16 ，k ∈Z . ∴f (x )的单调减区间为?????? k π2＋π16，k π2＋5π16，k ∈Z . (2)∵f ? ????α4－π8＝22，即sin ? ? ???α－π4＝1. 《两角和与差的余弦公式》教学设计 一、教材地位和作用分析： 两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公式。 二、教学目标： 1、知识目标： ①、使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式； ②、使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导； ③、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。 2、能力目标： ①、培养学生逆向思维的意识和习惯； ②、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识； ③、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标： ①、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美； ②、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。 三、教学重点和难点： 教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用。 教学难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用。 四、教学方法： 创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性。从而体现教师主导作用和学生主体作用的 和谐统一。 由此我决定采用以下的教学方法：创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。 学法指导： 1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。) 2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。 五、教学过程 一、知识回顾 1、填表:(表一） 角α ?0 ?30 ?45 ?60 ?90 ?120 ?135 ?150 ?180 角α的弧度制 αsin αcos 2、两角和与差的正余弦公式 （ 1 ） 差 角 的 正 余 弦 : ｓ ｉ ｎ ( = ;)cos(βα-= ; (２）和角的正余弦 ：s ｉn(（ = ；ｃｏs ( = ; 3、牛刀小试(不查表求下列式子的值) (1）sin15; (２)cos 75； (3)sin 75 问题１:你能由两角差的余弦公式推出两角和的余弦公式吗? [] cos()cos ()cos cos()sin sin()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ +=--=-+-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ∴+=- C αβ+ 问题2 ：你能由两角和与差的余弦公式推出两角和与差的正弦公式吗？ sin()cos ()cos ()22cos( )cos sin()sin 22sin cos cos sin ππαβαβαβππ αβαβ αβαβ ???? +=-+=-+???? ???? =-+-=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ∴+=+ S αβ+ []sin()sin ()sin cos()cos sin()sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=- sin()sin cos cos sin αβαβαβ∴-=- S αβ- 二、知识应用 1． 已知3cos 5α=-，(,)2παπ∈,求cos()4 π α-的值。 2. 已知sin α=＼f(2,3)，α∈(错误!,π)，cos β=－错误!，β∈(π，错误!)．求si ｎ(α－β），cos(α＋β），t ａn(α＋β）. ３． 已知 4π<α<4π3，0＜β<4π，cos(4π+α)＝-53,s ｉn （4π3+β）=13 5， 求si ｎ(α+β）的值． ４． 已知2π<α<β＜4π3，cos(α－β)=1312，si ｎ（α+β）＝-5 3,求sin2α的值. 《两角和与差的正弦、余弦函数》教学设计 商州区中学秦明伟 一、学情分析 本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。在学习本节课之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角和与差的正弦、余弦公式建立了良好的知识基础。 二、教学内容分析 本节内容是北师大版教材必修4第三章《三角恒等变换》第二节，推导得到两角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源头。 由于向量工具的引入，教材选择了两角差的余弦公式作为基础，这样处理使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算，大大地降低了思考的难度，也更易于学生接受。 从知识产生的角度来看，在学习了《三角函数》及《平面向量》后再学习由这些知识推导出的新知识也更符合知识产生的规律，符合人们认知的规律。从知识的应用价值来看，重视数学知识的应用，是新教材的显著特点，课本中丰富的生活实例为学生用数学的眼光看待生活、体验生活即数学理念，体验用数学知识解决实际问题，有助于增强学生的数学应用意识。 基于上述分析，本节课的教学重点是引导学生通过合作、交流，探索两角差的余弦公式，进而推导得到其余的和差公式，为后续简单的恒等变换的学习打好基础。 三、教学三维目标 1、知识目标 通过两角差的余弦公式的探究，让学生探索、发现并推导其他和（差）角公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题。 2、能力目标 通过利用向量推导两角和与差的正弦、余弦公式及公式的具体运用，使学生深刻体会联系变化的观点，让学生自觉的利用联系的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力及学生逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标 使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。 四、教学重点、难点 重点：探索得到两角差的余弦公式，理解两角和与差的正弦、余弦公式的推导。 难点：探索过程的组织和适当引导，并能灵活运用公式。 五、教学过程 导入新课 两角和差正余弦公式的证明 两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。 由角, 的三角函数值表示的正弦或余弦值, 这正是两角和差的正余弦公式的功能。换言之, 要推导两角和差的正余弦公式, 就是希望能得到一个等式或方程, 将或与, 的三角函数联系起来。 根据诱导公式, 由角的三角函数可以得到的三角函数。因此, 由和角公式容易得到对应的差 角公式, 也可以由差角公式得到对应的和角公式。又因为 , 即原角的余弦等于其余角的正弦, 据此, 可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。因此, 只要解决这组公式中的一个, 其余的公式将很容易得到。 (一) 在单位圆的框架下推导和差角余弦公式 注意到单位圆比较容易表示, 和, 而且角的终边与单位圆的交点坐标可 与, 的三角以用三角函数值表示, 因此, 我们可以用单位圆来构造联系 函数值的等式。 1. 和角余弦公式 使, 和, 并作角, 中作单位圆在直角坐标系, 如图所示1) 方法( 于点A, 终边交于点B；角始边为, 终边交的始边为角, 交 于点。从而点始边为A, B, 终边交, C和于点C；角D的坐标分别为 ,。, , 由两点间距离公式得 ； 。 注意到, 因此。 注记：这是教材上给出的经典证法。它借助单位圆的框架, 利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段, 从而得到我们所要的等式。注意, 公式中的和为任意角。 2. 差角余弦公式 仍然在单位圆的框架下, 用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段, 也可以得到我们希望的三角等式。这就是 (方法2) 如图所示, 在坐标系中作单位圆, 并作角和, 使角和 终边交于点。, , , 的始边均为交于点C角终边交于点A角从而 。的坐标为B, A点,． 由两点间距离公式得 。 由余弦定理得 。 从而有。 注记：方法 2 中用到了余弦定理, 它依赖于是三角形的内角。因此, 还需 的情形。容易验证要补充讨论角和的终边共线, 以及大于, 公式在以上情形中依然成立。 在上边的证明中, 用余弦定理计算的过程也可以用勾股定理来进行。也可以用向量法来证明。 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式专题复习 一、知识要点： 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)():sin()sin cos cos cos S αβαβαβαβ±±=±； (2)():cos()cos cos sin sin C αβαβαβαβ±±=； (3)()tan tan :tan()1tan tan T αβαβαβαβ ±±±=. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)(2):sin 22sin cos S αααα=α； (2)2222(2):cos2cos sin 2cos 112sin C αααααα=-=-=-； (3)(2)22tan :tan 21tan T αααα =-. 3．常用的公式变形 (1)tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±； (2)221cos 21cos 2cos ,sin 22 αααα+-==； (3)221sin 2(sin cos ),1sin 2(sin cos )αααααα+=+-=-,sin cos )4π ααα±=±. 4．函数()sin cos (,f x a x b x a b =+为常数),可以化为())),f x x x ?θ=+=-其中()?θ可由,a b 的值唯一确定． 两个技巧 (1)拆角、拼角技巧：(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等． 【双基自测】 1．(人教A 版教材习题改编)下列各式的值为14 的是( )． A ．22cos 112π- B ．20 12sin 75- C.0 202tan 22.51tan 22.5- D ．00sin15cos15 2．0000 sin 68sin 67sin 23cos68-=( ) A ．2- B.2．1 3．(2011·福建)若tan 3,α=则2sin 2cos αα =( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 4．已知2sin ,3 α=则cos(2)πα-=( )． A ．．19- C.195．(2011·辽宁)设1sin(),43 πθ+=则sin 2θ= ( )． A ．79- B ．19- C.19 D.79 6．0000tan 20tan 4020tan 40++=________. 7．若2tan(),45 πα+=则tan α=t________. 考向一 三角函数式的化简与求值 [例1] 求值：①00 00cos15sin15cos15sin15 -+；②00sin 50(1). [例2] 已知函数()2sin(),36 x f x x R π=-∈. 两角和与差的正弦余弦正切公式教学目标 1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用．(重点) 2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(难点) 3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、易错点) [基础·初探] 教材整理1两角和与差的余弦公式 阅读教材P128“思考”以下至“探究”以上内容，完成下列问题. cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于________． 【解析】逆用两角和的余弦公式可得 cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝cos 90°＝0. 【答案】0 教材整理2两角和与差的正弦公式 阅读教材P128“探究”以下内容，完成下列问题． 1．公式 2.重要结论－辅助角公式 y＝a sin x＋b cos x x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos sin θ θ (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．() (2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．() (3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．() (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.() 解：(1)√.根据公式的推导过程可得． (2)√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β. (3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)√.因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24° 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 教学目标 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。 知 识 梳 理 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. cos(α?β)＝cos αcos β±sin αsin β. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α. cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. 3.有关公式的逆用、变形等 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β). (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ? ? ???α±π4. 4.函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α ＋φ)? ????其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)? ? ???其中tan φ＝a b . 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β ＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( ) 解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2 ＋k π，k ∈Z . 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2.(2016·全国Ⅲ卷)若tan θ＝－1 3，则cos 2θ＝( ) A.－45 B.－15 C.15 D.45 解析 cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2 θ＝4 5 . 答案 D 3.(2015·重庆卷)若tan α＝13，tan(α＋β)＝1 2 ，则tan β等于( ) 【课题】 1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式（一） 【教学目标】 知识目标： 理解两角和与差的正弦公式与余弦公式，能正确运用各个公式进行简单的三角函数式的计算和化简． 能力目标： 学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高． 【教学重点】 本节课的教学重点是两角和与差的正弦公式与余弦公式． 【教学难点】 难点是公式的推导和运用． 【教学设计】 在介绍新知识之前，首先利用特殊角的三角函数值，让学生认识到 cos(6030)cos60cos30?-?≠?-?， 然后提出如何计算cos()αβ-的问题．利用矢量论证cos()αβ-的公式，使得公式推导过程简捷．教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向与反向的应用上．例1和例2 都是两角和与差的余弦公式的应用，教学中要强调公式的特点．推广π sin()cos 2αα-=时， 用到了换元的思想，培养学生的整体观念和变换的思维．公式sin()αβ+的推导过程是，首 先反向应用例3中的结论π cos()sin 2αα-=，然后再利用公式cos()αβ-，最后整理得到公 式．教学关键是引导学生将()αβ+看做整体，这样才能应用公式π cos()2α-．逆向使用公式， 培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，在不同的例题和不同知识层面的教学上引起足够的重视．得到这些公式后，要强调公式cos()αβ-是最基本的公式，要求学生理解其他公式的推导过程，同时将公式sin()αβ±和公式cos()αβ±相对比进行记忆．要帮助学生总结公式中角α和角β以及函数名称排列的特点和符号的特点，教会学生利用这些特点记忆公式．抓住特点进行强化记忆的记忆能力培养是数学课程的一项重要任务．例4利用156045?=?-?求解，还可以利用154530?=?-?求解．例5通过逆向使用公式来巩固知识， 这种方法在三角式的变形中经常使用．例6是三角证明题．教材给出了两种证明方法，体现了正向与逆向使用公式的思路．教学中要强调这两种使用方法，通过具体例题的分析，使得学生明白正向和反向应用公式的原因，培养学生的数学思维能力． 【教学备品】 教学课件．两课时 【课时安排】 归纳与技巧：两角和与差的正弦、余弦和正切公式 基础知识归纳 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β； (6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α； (2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α 1－tan 2α. 3．常用的公式变形 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ????α±π 4. 基础题必做 1． 若tan α＝3，则sin 2α cos 2α的值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 解析：选D sin 2αcos 2α＝2sin αcos α cos 2α ＝2tan α＝2×3＝6. 2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( ) 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 民族中学 王克伟 [教学目标] 知识与技能目标：理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法， 体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用. 过程与方法目标：让学生亲身经历“从已知入手，研究对象的性质，再联系所学知识，推导 出相应公式。”这一研究过程，培养他们观察、分析、联想、归纳、推理的 能力。通过阶梯性的强化练习，培养学生分析问题、解决问题的能力。 情感态度与价值观目标：通过对两角和与差的三角恒等变换特点的研究，培养学生主动探索、 勇于发现的求索精神；使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的 好习惯。 [教学重难点] 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用； 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. [教学过程] 一.新课引入 创设情境 引入课题： 想一想： cos15?= 由上一节所学的两角差的余弦公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，同学们很容易想到： 那 这节课我们就来学习两角和与差的正弦、余弦、正切的公式： 二.、讲授新课 探索新知一 两角和的余弦公式 思考：由cos()cos cos sin sin αβαβ αβ-=+，如何求cos()?αβ-= 26cos15cos(4530)cos 45cos30sin 45sin 304+=-=+= cos75= cos(3045)? += cos75?= 分析：由于加法与减法互为逆运算，()αβαβ+=--，结合两角差的余弦公式及诱导公式，将上式中以-β代β得 cos[()]cos cos()sin sin cos()cos cos sin sin ()ααβαβαααββββ=--=-+--=+ 1、 上述公式就是两角和的余弦公式，记作()c αβ+。 由两角和的余弦公式：()c αβ+，我们现在完成课前的想一想： 探索新知二 思考：前面我们学习了两角和与差的余弦，请同学们猜想一下：会不会有两角和与差的正弦公式呢？如果有，又该如何推导呢？ 在第一章中，我们学习了三角函数的诱导公式，同学们是否还记得如何实现由余弦到正弦的转化呢？ cos()sin 2 παα-= 结合()c αβ+与()c αβ-，我们可以得到 cos[()]cos[()]cos()cos sin()sin 22sin )2(2ππππαβαβααβββα=-++=--=-+- sin cos sin cos αββα=+ 2、 上述公式就是两角和的正弦公式，记作()s αβ+。 那sin()?αβ-= 将上式sin()αβ-sin cos sin cos αββα=+中以-β代β得 sin[()]sin cos()sin()cos sin cos sin cos αβαββααββα+-=-+-=-cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β sin )sin cos cos sin αβαβαβ ++=(cos30cos45sin30sin 45=- cos75= cos(3045)+ 两角和差正余弦公式的证明 北京四中数学组皇甫力超 论文摘要： 本文对两角和差的正余弦公式的推导进行了探讨。在单位圆的框架下 , 我们得到了和角余弦公式 ( 方法 1) 与差角余弦公式 ( 方法 2)。在三角形的框架下 , 我们得到了和角正弦公式 ( 方法 3 ~11 ) 与差角正弦公式 ( 方法 12,13)。 关键词： 两角和差的正余弦公式 正文： 两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。 由角, 的三角函数值表示的正弦或余弦值 , 这正是两角和差的正余弦公式的功能。换言之 , 要推导两角和差的正余弦公式 , 就是希望能得到一个等式或方程 , 将或与, 的三角函数联系起来。 根据诱导公式 , 由角的三角函数可以得到的三角函数。因此 , 由和角公式容 易得到对应的差角公式, 也可以由差角公式得到对应的和角公式。又因为 , 即原角的余弦等于其余角的正弦 , 据此 , 可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。因此 , 只要解决这组公式中的一个 , 其余的公式将很容易得到。 (一) 在单位圆的框架下推导和差角余弦公式 注意到单位圆比较容易表示, 和, 而且角的终边与单位圆的交点坐标可 以用三角函数值表示 , 因此 , 我们可以用单位圆来构造联系与, 的三角函数值的等式。 1. 和角余弦公式 (方法 1) 如图所示, 在直角坐标系中作单位圆, 并作角, 和, 使 角的始边为, 交于点A, 终边交于点B；角始边为, 终边交 于点C；角始边为, 终边交于点。从而点A, B, C和D的坐标分别为, ,,。 由两点间距离公式得 ； 。 注意到, 因此。 注记：这是教材上给出的经典证法。它借助单位圆的框架 , 利用平面内两点间距离公 式表达两条相等线段, 从而得到我们所要的等式。注意, 公式中的和为任意角。 2. 差角余弦公式 仍然在单位圆的框架下 , 用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段, 也可以得到我们希望的三角等式。这就是 讲课教师 班级 讲课时间 讲课内容 两角和与差的正弦、余弦公式（二） （《几何画板》） （1）两角和与差的余弦公式的复习： 引导学生复习两角和与差的余弦公式，利用“哭哭笑笑”的口诀帮助记忆； 给出练习题进行复习巩固： cos123°cos63°+sin57°sin63°; sin(x+15°)cos(45°-x)+cos(x+15°)sin(45°-x) 在三角形ABC 中，已知sinA=4/5,cosB=-5/13，求cosC （判断cosA 值的正负，利用三角形只有一个钝角的性质，计算出答案） （2）两角和与差的正弦公式的引入 提问：利用上述公式你能导出两角和与差的正弦公式吗？ （利用角的余弦值等于其补角的正弦值这一个性质进行推导） 提问：推导出两角差的正弦公式之后，现在怎么推出两角和的公式？除了用上述推导方法，还有其他的方法吗？ （给学生一定的时间来记住刚学的知识点） (3)巩固与练习 例题1：求下列各式的值 sin72°cos42°-cos72°sin42°;(指出72°和42°分别相互对应，可以使用哪个公式) cos20°cos70°-sin20°sin70°; (cos34°-cos30°sin4°)/cos34°+sin30°sin4°; 例题2：化简下列各式 1 、Cos30°cosx-sin30°sinx; ) 21 6sin ,236cos 2 13cos ,233sin (sin 21cos 232====-ππππ或者利用、x x x x sin cos 33-、 教学模式 启发模式 通过启发，导入新课。 通过利用两角和与差的 余弦公式导出两角和与差的正弦公 式 巩固新课 通过练习，加强学生对新知识点的掌握 类比启发式 通过类比， 层层递进、深入，通过 正用逆用公 式，使学生正确掌握 教学方法 讲授法 通过回顾，对两角和与差的余弦公式进行复习 层层深入 启发法 利用两角和与差的余弦公式导出两角和与差的正弦公式 练习法 通过习题，使学生对公式进一步理解、巩固 启发法 多方法讲解 讲授法 通过学生黑板演练，对错误进行讲解 一、知识回顾 1、填表：（表一） 2、两角和与差的正余弦公式 （1）差角的正余弦：sin( = ；)cos(βα-= ； （2）和角的正余弦 ：sin(( = ；cos ( = ； 3、牛刀小试（不查表求下列式子的值） （1）sin15； （2）cos 75； （3）sin 75 问题1 ：你能由两角差的余弦公式推出两角和的余弦公式吗？ [] cos()cos ()cos cos()sin sin()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ +=--=-+-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ∴+=- C αβ+ 问题2 ：你能由两角和与差的余弦公式推出两角和与差的正弦公式吗？ sin()cos ()cos ()22cos( )cos sin()sin 22sin cos cos sin ππαβαβαβππ αβαβ αβαβ ???? +=-+=-+???? ???? =-+-=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ∴+=+ S αβ+ []sin()sin ()sin cos()cos sin()sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=- sin()sin cos cos sin αβαβαβ∴-=- S αβ- 二、知识应用 1. 已知3cos 5α=-，(,)2παπ∈，求cos()4 π α-的值。 2. 已知sin α＝23，α∈(π2，π)，cos β＝－34，β∈(π，3π 2)．求sin(α－β)，cos(α＋β)，tan(α＋β)． 3. 已知 4π＜α＜4π3，0＜β＜4π，cos （4 π+α）=－53，sin （4π3+β）=135， 求sin （α+β）的值． 4. 已知2 π ＜α＜β＜4π3，cos （α－β）=1312，sin （α+β）=－53，求sin2α的值． 都是两角和与差的余弦公式的应用，教学中要强调公式的特点．推广sin( - α) = cos α 时， 先反向应用例 3 中的结论 cos( - α ) = sin α ，然后再利用公式 cos(α - β ) ，最后整理得到公 式．教学关键是引导学生将 (α + β ) 看做整体，这样才能应用公式 cos( - α ) ．逆向使用公式， 【课题】 1．1 两角和与差的正弦公式与余弦公式（一） 【教学目标】 知识目标： 理解两角和与差的正弦公式与余弦公式，能正确运用各个公式进行简单的三角函数式的 计算和化简． 能力目标： 学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高． 【教学重点】 本节课的教学重点是两角和与差的正弦公式与余弦公式． 【教学难点】 难点是公式的推导和运用． 【教学设计】 在介绍新知识之前，首先利用特殊角的三角函数值，让学生认识到 cos(60? - 30?) ≠ cos60 ? - cos30 ? ， 然后提出如何计算 cos(α - β ) 的问题．利用矢量论证 cos(α - β ) 的公式，使得公式推导过 程简捷．教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向与反向的应用上．例 1 和例 2 π 2 用到了换元的思想，培养学生的整体观念和变换的思维．公式sin(α + β ) 的推导过程是，首 π 2 π 2 培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，在不同的例题和不同知识层面的教学 上引起足够的重视．得到这些公式后，要强调公式cos(α - β ) 是最基本的公式，要求学生理 解其他公式的推导过程，同时将公式 sin(α ± β ) 和公式 cos(α ± β ) 相对比进行记忆．要帮助 学生总结公式中角 α 和角 β 以及函数名称排列的特点和符号的特点，教会学生利用这些特 点记忆公式．抓住特点进行强化记忆的记忆能力培养是数学课程的一项重要任务．例 4 利用 15? = 60? - 45? 求解，还可以利用15? = 45? - 30? 求解．例 5 通过逆向使用公式来巩固知识， 这种方法在三角式的变形中经常使用．例 6 是三角证明题．教材给出了两种证明方法，体现 了正向与逆向使用公式的思路．教学中要强调这两种使用方法，通过具体例题的分析，使得 学生明白正向和反向应用公式的原因，培养学生的数学思维能力． 【教学备品】 教学课件．两课时 【课时安排】 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式考点与提醒归纳 一、基础知识 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β. T (α±β)：tan(α±β)＝ tan α±tan β1?tan αtan β? ? ??α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z . 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反. 2．二倍角公式 S 2α：sin 2α＝2sin αcos α. C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α?? ??α≠k π＋π2且α≠k π2＋π4，k ∈Z . 二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α 2 的二倍角． 二、常用结论 (1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α 2 . (2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)． (4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2 ＋b 2 sin(x ＋φ)? ????其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2. 考点一 三角函数公式的直接应用 [典例] (1)已知sin α＝35，α∈????π2，π，tan β＝－1 2，则tan(α－β)的值为( ) A ．－2 11 B.211 C.112 D ．－11 2 (2)(2019·呼和浩特调研)若sin ()π－α＝13，且π 2≤α≤π，则sin 2α的值为( ) A ．－22 9 B ．－42 9 C.229 D.429 [解析] (1)因为sin α＝3 5，α∈????π2，π， 所以cos α＝－ 1－sin 2α＝－4 5 ， 所以tan α＝sin αcos α＝－3 4. 所以tan(α－β)＝ tan α－tan β 1＋tan αtan β＝－2 11. (2)因为sin(π－α)＝sin α＝13，π 2≤α≤π， 所以cos α＝－ 1－sin 2α＝－22 3 ， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×???? －223＝－429. [答案] (1)A (2)B [解题技法] 应用三角公式化简求值的策略 (1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”． (2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(整理)《两角和与差的余弦公式》教学设计.
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