《两角和与差的余弦公式》教学设计 一、教材地位和作用分析： 两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公式。 二、教学目标： 1、知识目标： ①、使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式； ②、使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导； ③、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。 2、能力目标： ①、培养学生逆向思维的意识和习惯； ②、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识； ③、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标： ①、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美； ②、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。 三、教学重点和难点： 教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用。 教学难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用。 四、教学方法： 创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性。从而体现教师主导作用和学生主体作用的
和谐统一。 由此我决定采用以下的教学方法：创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。 学法指导： 1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。) 2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。 五、教学过程
《3.1.1两角差的余弦公式》教案 玉林高中数学科 授课人：饶蔼 教学目标 1. 知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”，通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础. 2. 过程与方法：在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题、合作交流的能力；通过两角差的余弦公式的简单运用,掌握不同方法求值. 3. 情感态度：通过课题背景的设计，增强学生的探究、应用意识，认识到数学来源于生活，激发学生的学习积极性. 教学重、难点 1. 重点：两角差余弦公式的探究、证明过程和公式的初步应用. 2. 难点：探究过程的组织和适当引导. 学情分析 学生已经掌握了利用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数，也学习了同角三角函数式的变换；理解了平面向量及其运算的意义，并能用数量积表示两个向量的夹角，经历了用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，具有一定的推理能力、运算能力和解决实际问题的能力，但利用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式时，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误，教学时需要引导学生搞清楚两角差与相应向量夹角的联系与区别. 教法、学法 1. 教法：问题驱动、引导发现、合作探究相结合的教学方法展开教学. 2. 学法：课前预习、小组探究、反思小结等. 教学过程 （一）创设情境，引入课题 金城超市电梯长度约为8米，坡度（与地面夹角）约为30度，请问当我们上完电梯后，在水平方向上前进了多少米？ 设前进量为x 米，则3430cos 8=?=x 米 提问：当电梯坡度为45度时，其他不变，x 等于多少？
§3.1.1 《两角差的余弦公式》教学设计 主讲教师：卫金娟教学目标 1、知识目标： 通过两角差的余弦公式的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用其解决简单的数学问题，为后面推导其他和（差）角公式打好基础。 2、能力目标： 通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，让学生体会利用联系的观点来分析问题、解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力 3、情感目标： 使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。 学情分析： 1、知识分析：必修4前两章刚学习了《平面向量》和《三角函数》的知识，学生对前两章知识尚记忆深刻，为第三章第一节“两角差的余弦公式”的学习做了充足的知识准备； 但”两角差的余弦公式”中所涉及的用三角函数线推导公式部分比较难，学生独立探究有一定的困难，需要老师合理引导、并让学生小组讨论合作学习来完成. 2、能力分析：从平时的课堂教学中，我已经培养学生具备了一定的小组讨论和探究合作学习的能力，但由于部分学生学习基础薄弱，课堂参与程度不高，所以我合理分组，让学习基础较好且课堂积极活跃的学生带动小组内其他学生一起完成新课学习； 从学生的归纳总结和语言表达能力来看，学生具有了一定的归纳总结的能力，但对数学中逻辑严密的一般结论，还不能用严格的数学语言来表达. 3、学习习惯与态度：所带班级属于文科班，学习纪律性比较好，听课认真，动笔演算等能力比较好，但作为文科班女生胆子小，回答问题方面不是很活跃，需要合理分组合作学习. 教学重点：通过探究得到两角差的余弦公式。 教学难点：两次探究过程的组织和引导。 教学方法：讲授法与讨论法相结合，探究学习与合作学习相结合 知识准备：平面向量的数量积、三角函数线、诱导公式 教学准备：多媒体、圆规，三角板 教学流程：
一、知识回顾 1、填表:(表一） 角α ?0 ?30 ?45 ?60 ?90 ?120 ?135 ?150 ?180 角α的弧度制 αsin αcos 2、两角和与差的正余弦公式 （ 1 ） 差 角 的 正 余 弦 : ｓ ｉ ｎ ( = ;)cos(βα-= ; (２）和角的正余弦 ：s ｉn(（ = ；ｃｏs ( = ; 3、牛刀小试(不查表求下列式子的值) (1）sin15; (２)cos 75； (3)sin 75 问题１:你能由两角差的余弦公式推出两角和的余弦公式吗? [] cos()cos ()cos cos()sin sin()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ +=--=-+-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ∴+=- C αβ+ 问题2 ：你能由两角和与差的余弦公式推出两角和与差的正弦公式吗？ sin()cos ()cos ()22cos( )cos sin()sin 22sin cos cos sin ππαβαβαβππ αβαβ αβαβ ???? +=-+=-+???? ???? =-+-=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ∴+=+ S αβ+
[]sin()sin ()sin cos()cos sin()sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=- sin()sin cos cos sin αβαβαβ∴-=- S αβ- 二、知识应用 1． 已知3cos 5α=-，(,)2παπ∈,求cos()4 π α-的值。 2. 已知sin α=＼f(2,3)，α∈(错误!,π)，cos β=－错误!，β∈(π，错误!)．求si ｎ(α－β），cos(α＋β），t ａn(α＋β）. ３． 已知 4π<α<4π3，0＜β<4π，cos(4π+α)＝-53,s ｉn （4π3+β）=13 5， 求si ｎ(α+β）的值． ４． 已知2π<α<β＜4π3，cos(α－β)=1312，si ｎ（α+β）＝-5 3,求sin2α的值.
从变换的角度赏析“两角差的余弦公式”之推导 近期观看了科幻大片《星际穿越》，影片中出现了虫洞、黑洞、第五维空间等一些星际概念，让人感觉宇宙中充满了奇妙的变换.宇宙的研究当然离不开数学，数学是一切自然科学之王，而数学中也充满了各种奇妙的、令人着迷的变换.三角变换就是其中之一，有些人认为三角学是古老的数学，应该弱化.但从现行高中数学教材来看，仍是对三角学比较重视，确实三角学属于经典数学中的知识，之所以经典有其原因所在，三角学中的各种变换蕴含了丰富的数学思想，是开启学生数学智慧之门，引起学生数学探究欲望的良好素材. 数学变换方法有着深刻的哲学思想基础，这是因为辩证法告诉我们：任何事物都不是孤立、静止和一成不变的，而是在不断地发展变化[1].由于数学变换方法充分体现了联系、运动、转化的观点，它对数学教育研究必然是有启发性的. 下面以“两角差的余弦公式”推导为例，从变换的视角赏析其生成方式. 1公式推导前奏――两锐角差的余弦公式 从学生认知特点的角度出发，从特殊到一般是比较符合学生认知规律的.所以一般可以考虑从两锐角差的余弦着手，
比如cos（45°-30°）=？有各种变换方法可以求出此三角函数值. 1.1数学动手实验中的变换 明代学者与军事家王守仁说：“知是行之始，行是知之成.”而陶行知老先生说：“行是知之始，知是行之成.”“墨辩”提出三种知识：亲知、闻知、说知.亲知是亲身得来的，就是从“行”中得来的，闻知是从旁人那儿得来的，或由师友口传，或由书本传达.说知是推想出来的知识.陶老先生拿“行是知之始”来说明知识之来源，并不是否认闻知和说知，乃是承认亲知为获取一切知识之根本.闻知与说知必须安根 于亲知里面方能发生效力.古今中外第一流的真知灼见无一 不是从“做”中得来，也就是说“教学”要以“做”为主. 浙江省高中数学特级教师冯寅老师也曾经强调“动手”与“动脑”图1并重的观点.我们可以尝试让学生在动手操作数学实验的过程中推导出两锐角差的余弦公式. （1）你能用这两块三角板（如图1）拼出哪些角度呢？ （2）你能用它们拼出15°的角吗？ （3）你能否利用所拼出的图形（如图2或如图3）求出cos15°的值呢？ （4）若将上面的45°和30°角分别改成锐角α和β，那么会有怎样的结论？cos（α-β）=？ 1.2物理学做功中的变换
《两角和与差的正弦、余弦函数》教学设计 商州区中学秦明伟 一、学情分析 本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。在学习本节课之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角和与差的正弦、余弦公式建立了良好的知识基础。 二、教学内容分析 本节内容是北师大版教材必修4第三章《三角恒等变换》第二节，推导得到两角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源头。 由于向量工具的引入，教材选择了两角差的余弦公式作为基础，这样处理使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算，大大地降低了思考的难度，也更易于学生接受。 从知识产生的角度来看，在学习了《三角函数》及《平面向量》后再学习由这些知识推导出的新知识也更符合知识产生的规律，符合人们认知的规律。从知识的应用价值来看，重视数学知识的应用，是新教材的显著特点，课本中丰富的生活实例为学生用数学的眼光看待生活、体验生活即数学理念，体验用数学知识解决实际问题，有助于增强学生的数学应用意识。 基于上述分析，本节课的教学重点是引导学生通过合作、交流，探索两角差的余弦公式，进而推导得到其余的和差公式，为后续简单的恒等变换的学习打好基础。
三、教学三维目标 1、知识目标 通过两角差的余弦公式的探究，让学生探索、发现并推导其他和（差）角公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题。 2、能力目标 通过利用向量推导两角和与差的正弦、余弦公式及公式的具体运用，使学生深刻体会联系变化的观点，让学生自觉的利用联系的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力及学生逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标 使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。 四、教学重点、难点 重点：探索得到两角差的余弦公式，理解两角和与差的正弦、余弦公式的推导。 难点：探索过程的组织和适当引导，并能灵活运用公式。 五、教学过程 导入新课
两角和差正余弦公式的证明 两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。 由角, 的三角函数值表示的正弦或余弦值, 这正是两角和差的正余弦公式的功能。换言之, 要推导两角和差的正余弦公式, 就是希望能得到一个等式或方程, 将或与, 的三角函数联系起来。 根据诱导公式, 由角的三角函数可以得到的三角函数。因此, 由和角公式容易得到对应的差 角公式, 也可以由差角公式得到对应的和角公式。又因为 , 即原角的余弦等于其余角的正弦, 据此, 可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。因此, 只要解决这组公式中的一个, 其余的公式将很容易得到。 (一) 在单位圆的框架下推导和差角余弦公式 注意到单位圆比较容易表示, 和, 而且角的终边与单位圆的交点坐标可 与, 的三角以用三角函数值表示, 因此, 我们可以用单位圆来构造联系 函数值的等式。 1. 和角余弦公式 使, 和, 并作角, 中作单位圆在直角坐标系, 如图所示1) 方法( 于点A, 终边交于点B；角始边为, 终边交的始边为角, 交 于点。从而点始边为A, B, 终边交, C和于点C；角D的坐标分别为 ,。, , 由两点间距离公式得 ； 。 注意到, 因此。 注记：这是教材上给出的经典证法。它借助单位圆的框架, 利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段, 从而得到我们所要的等式。注意, 公式中的和为任意角。 2. 差角余弦公式
仍然在单位圆的框架下, 用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段, 也可以得到我们希望的三角等式。这就是 (方法2) 如图所示, 在坐标系中作单位圆, 并作角和, 使角和 终边交于点。, , , 的始边均为交于点C角终边交于点A角从而 。的坐标为B, A点,． 由两点间距离公式得 。 由余弦定理得 。 从而有。 注记：方法 2 中用到了余弦定理, 它依赖于是三角形的内角。因此, 还需 的情形。容易验证要补充讨论角和的终边共线, 以及大于, 公式在以上情形中依然成立。 在上边的证明中, 用余弦定理计算的过程也可以用勾股定理来进行。也可以用向量法来证明。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式专题复习 一、知识要点： 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)():sin()sin cos cos cos S αβαβαβαβ±±=±； (2)():cos()cos cos sin sin C αβαβαβαβ±±=； (3)()tan tan :tan()1tan tan T αβαβαβαβ ±±±=. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)(2):sin 22sin cos S αααα=α； (2)2222(2):cos2cos sin 2cos 112sin C αααααα=-=-=-； (3)(2)22tan :tan 21tan T αααα =-. 3．常用的公式变形 (1)tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±； (2)221cos 21cos 2cos ,sin 22 αααα+-==； (3)221sin 2(sin cos ),1sin 2(sin cos )αααααα+=+-=-,sin cos )4π ααα±=±. 4．函数()sin cos (,f x a x b x a b =+为常数),可以化为())),f x x x ?θ=+=-其中()?θ可由,a b 的值唯一确定． 两个技巧 (1)拆角、拼角技巧：(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等． 【双基自测】
1．(人教A 版教材习题改编)下列各式的值为14 的是( )． A ．22cos 112π- B ．20 12sin 75- C.0 202tan 22.51tan 22.5- D ．00sin15cos15 2．0000 sin 68sin 67sin 23cos68-=( ) A ．2- B.2．1 3．(2011·福建)若tan 3,α=则2sin 2cos αα =( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 4．已知2sin ,3 α=则cos(2)πα-=( )． A ．．19- C.195．(2011·辽宁)设1sin(),43 πθ+=则sin 2θ= ( )． A ．79- B ．19- C.19 D.79 6．0000tan 20tan 4020tan 40++=________. 7．若2tan(),45 πα+=则tan α=t________. 考向一 三角函数式的化简与求值 [例1] 求值：①00 00cos15sin15cos15sin15 -+；②00sin 50(1). [例2] 已知函数()2sin(),36 x f x x R π=-∈.
两角和与差的正弦余弦正切公式教学目标 1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用．(重点) 2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(难点) 3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、易错点) [基础·初探] 教材整理1两角和与差的余弦公式 阅读教材P128“思考”以下至“探究”以上内容，完成下列问题. cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于________． 【解析】逆用两角和的余弦公式可得 cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝cos 90°＝0. 【答案】0
教材整理2两角和与差的正弦公式 阅读教材P128“探究”以下内容，完成下列问题． 1．公式 2.重要结论－辅助角公式 y＝a sin x＋b cos x x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos sin θ θ (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．() (2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．() (3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．() (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.() 解：(1)√.根据公式的推导过程可得． (2)√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β. (3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)√.因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°
两角差的余弦公式 教学目标 1．掌握两角差的余弦公式．(重点) 2．会利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．(难点) 3．两角差的余弦和两角余弦的差．(易混点) [基础·初探] 教材整理两角差的余弦公式 阅读教材P124～P126例1以上内容，完成下列问题． cos(α－β)＝cos α·cos β＋sin α·sin β． (1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角． (2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.() (2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．() (3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．() (4)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.() 解：(1)×.cos(60°－30°)＝cos 30°≠cos 60°－cos 30°. (2)×.当α＝－45°，β＝45°时，cos(α－β)＝cos(－45°－45°)＝cos(－90°)＝0，cos α－cos β＝cos(－45°)－cos 45°＝0，此时cos(α
－β)＝cos α－cos β. (3)√.结论为两角差的余弦公式． (4)√.cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝cos(120°－30°)＝cos 90°＝0. 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ [小组合作型] 利用两角差的余弦公式化简求值 (1)cos 345°的值等于( ) A ．2－6 4 B ．6－24 C ．2＋64 D ．－2＋6 4 (2)2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( ) A ．12 B ．3 2 C ． 3 D ． 2 (3)化简下列各式： ①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)； ②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°. (1)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解． (2)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．
第三章三角恒等变换 3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3．1.1两角差的余弦公式 [A组学业达标] 1．cos 27°cos 57°－sin 27°cos 147°等于() A. 3 2B．－ 3 2 C. 1 2D．－ 1 2 解析：原式＝cos 27°cos 57°－sin 27°cos(180°－33°)＝cos 27°·cos 57°＋sin 27°cos 33°＝cos 27°cos 57°＋sin 27°sin 57°＝cos(57°－27°)＝cos 30°＝ 3 2.故 选A. 答案：A 2．cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)等于() A.1 2B．－ 1 2 C. 3 2D．－ 3 2 解析：原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°) －(α＋15°)]＝cos(－60°)＝1 2. 答案：A 3．cos 555°的值是() A. 6 4＋ 2 4B．－ 6 4－ 2 4 C. 6 2－ 2 2 D. 2 2－ 6 2 解析：∵cos 555°＝cos 195°＝－cos 15°＝－cos(45°－30°)＝－ 2 2× 3 2－ 2 2 ×1 2＝－ 6＋2 4.故选B. 答案：B
4．若cos α＝117，cos(α＋β)＝－47 51，且α，β都是锐角，则cos β的值为( ) A ．－17 B.13 C.403867 D ．－403867 解析：∵β＝(α＋β)－α， 又∵cos α＝117，cos(α＋β)＝－47 51，α，β都是锐角， ∴α＋β是钝角，∴sin α＝ 12217，sin(α＋β)＝142 51. ∵cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， ∴cos β＝－4751×117＋14251×12217＝－47＋33651×17＝28951×17＝1 3. 答案：B 5．已知sin ? ????π6＋α＝35，π 3<α<5π6，则cos α的值是 ( ) A.3－4310 B.4－3310 C. 23－35 D. 3－235 解析：∵π3<α<5π6，∴π2<π 6＋α<π. ∴cos ? ?? ?? π6＋α＝－ 1－sin 2? ?? ?? π6＋α＝－45. ∴cos α＝cos ??????? ????π6＋α－π6＝cos ? ????π6＋αcos π6＋sin ? ???? π6＋α·sin π6＝－45×32＋35×12 ＝3－43 10. 答案：A 6．计算cos 45°·cos 15°＋sin 45°sin 15°＝________． 解析：cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°＝cos ()45°－15°＝cos 30°＝3 2. 答案：32
两角和与差的正弦、余弦和正切公式 教学目标 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。 知 识 梳 理 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. cos(α?β)＝cos αcos β±sin αsin β. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α. cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. 3.有关公式的逆用、变形等 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β). (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ? ? ???α±π4.
4.函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α ＋φ)? ????其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)? ? ???其中tan φ＝a b . 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β ＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( ) 解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2 ＋k π，k ∈Z . 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2.(2016·全国Ⅲ卷)若tan θ＝－1 3，则cos 2θ＝( ) A.－45 B.－15 C.15 D.45 解析 cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2 θ＝4 5 . 答案 D 3.(2015·重庆卷)若tan α＝13，tan(α＋β)＝1 2 ，则tan β等于( )
【课题】 1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式（一） 【教学目标】 知识目标： 理解两角和与差的正弦公式与余弦公式，能正确运用各个公式进行简单的三角函数式的计算和化简． 能力目标： 学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高． 【教学重点】 本节课的教学重点是两角和与差的正弦公式与余弦公式． 【教学难点】 难点是公式的推导和运用． 【教学设计】 在介绍新知识之前，首先利用特殊角的三角函数值，让学生认识到 cos(6030)cos60cos30?-?≠?-?， 然后提出如何计算cos()αβ-的问题．利用矢量论证cos()αβ-的公式，使得公式推导过程简捷．教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向与反向的应用上．例1和例2 都是两角和与差的余弦公式的应用，教学中要强调公式的特点．推广π sin()cos 2αα-=时， 用到了换元的思想，培养学生的整体观念和变换的思维．公式sin()αβ+的推导过程是，首 先反向应用例3中的结论π cos()sin 2αα-=，然后再利用公式cos()αβ-，最后整理得到公 式．教学关键是引导学生将()αβ+看做整体，这样才能应用公式π cos()2α-．逆向使用公式， 培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，在不同的例题和不同知识层面的教学上引起足够的重视．得到这些公式后，要强调公式cos()αβ-是最基本的公式，要求学生理解其他公式的推导过程，同时将公式sin()αβ±和公式cos()αβ±相对比进行记忆．要帮助学生总结公式中角α和角β以及函数名称排列的特点和符号的特点，教会学生利用这些特点记忆公式．抓住特点进行强化记忆的记忆能力培养是数学课程的一项重要任务．例4利用156045?=?-?求解，还可以利用154530?=?-?求解．例5通过逆向使用公式来巩固知识， 这种方法在三角式的变形中经常使用．例6是三角证明题．教材给出了两种证明方法，体现了正向与逆向使用公式的思路．教学中要强调这两种使用方法，通过具体例题的分析，使得学生明白正向和反向应用公式的原因，培养学生的数学思维能力． 【教学备品】 教学课件．两课时 【课时安排】
一、教学目标 1、知识与技能： （1）理解两角差的余弦公式式意义； （2掌握两角差的余弦公及运算律； 2、过程与方法 掌握用两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 3、情态与价值观 通过两角差的余弦公式解决问题的思想的学习，使学生加深认识数学知识之间的联系，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，培养起学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗。 二、教学重、难点 1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式； 2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题， 还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等. 三、教学过程： （一）新课导入： 我们在初中时就知道，，由此我们能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？ 根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式 （二）新课讲授： 在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为，等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示。 思考1：怎样构造角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.） 思考2：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？ （1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？ （2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？ 两角差的余弦公式： β α αsin β β α + ? - = cos(? ) cos sin cos （三）例题讲解 例1、利用和、差角余弦公式求、的值. 解：分析：把构造成两个特殊角的差.
3.1.1两角差的余弦公式 教学分析 本节首先引导学生对cos（α-β)的结果进行探究，让学生充分发挥想象力,进行猜想，给出所有可能的结果，然后再去验证其真假.这也展示了数学知识的发生、发展的具体过程,最后提出了两种推导证明“两角差的余弦公式”的方案.方案一，利用单位圆上的三角函数线进行探索、推导，让学生动手画图,构造出α—β角,利用学过的三角函数知识探索存在一定的难度,教师要作恰当的引导。方案二,利用向量知识探索两角差的余弦公式时，要注意推导的层次性:①在回顾求角的余弦有哪些方法时,联系向量知识，体会向量方法的作用；②结合有关图形，完成运用向量方法推导公式的必要准备;③探索过程不应追求一步到位，应先不去理会其中的细节，抓住主要问题及其线索进行探索，然后再反思,予以完善;④补充完善的过程，既要运用分类讨论的思想，又要用到诱导公式. 本节是数学公式的教学,教师要遵循公式教学的规律，应注意以下几方面：①要使学生了解公式的由来;②使学生认识公式的结构特征，加以记忆；③使学生掌握公式的推导和证明；④通过例子使学生熟悉公式的应用,灵活运用公式进行解答有关问题。 三维目标 1。通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”，了解单角与复
角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练，加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质。 2.通过两角差的余弦公式的运用，会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力. 3.通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣，认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法。 重点难点 教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式。 教学难点:探索过程的组织和适当引导. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路2.（复习导入）我们在初中时就知道cos45°=2 2,cos30°=23,由此我们能否得到cos15°=cos(45°—30°）=？这里是不是等于cos45°-cos30°呢？教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢？cos （α—β)等于什么呢？这时学生急于知道答案,由此展开新课:我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”.这是全章公式的基础。 推进新课 新知探究 提出问题 ①请学生猜想cos(α-β）=? ②利用前面学过的单位圆上的三角函数线，如何用α、β的三角函数来表示cos(α-β)呢? ③利用向量的知识，又能如何推导发现cos(α-β)=?
归纳与技巧：两角和与差的正弦、余弦和正切公式 基础知识归纳 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β； (6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α； (2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α 1－tan 2α. 3．常用的公式变形 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ????α±π 4. 基础题必做 1． 若tan α＝3，则sin 2α cos 2α的值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 解析：选D sin 2αcos 2α＝2sin αcos α cos 2α ＝2tan α＝2×3＝6. 2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( )
两角差的余弦公式(基础) 【学习目标】 1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用. 2．通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 3.通过教学活动，使学生经历发现、猜想、论证的数学化的过程，并体验到数学学习的严谨、求实的科学态度，逐步培养学生探索问题的精神。 【要点梳理】 1．两角差的余弦公式的推导： （1）如图，在平面直角坐标系xoy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角,αβ，它们的终边与单位圆O 的交点分别为,A B ，则(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ== 由向量数量积的概念，有 ||||cos()cos()OA OB OA OB αβαβ?=-=-，结合向量数量积的坐标表示，有 cos cos sin sin OA OB αβαβ?=+ 所以cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ （*） （2）由以上的推导过程可知，,αβ是任意角，则αβ-也应为任意角，但由两个向量数量积的意义，（*）中的αβ-[]0,π∈。为此，我们讨论如下： 由于αβ-是任意角，由诱导公式，总可以找到一个角[]0,2θπ∈，使c o s c o s (θαβ=-。 ①若[)0,θπ∈，则cos cos()OA OB θαβ?==-。 ②若[),2θππ∈，则(]20,πθπ-∈，且c o s (2 )c o s c o s ()O A O B πθθαβ?=-==- 由以上的讨论可知，对于任意的,αβ，都有： cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ ()C αβ- 2．公式的记忆 右端为,αβ的同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反。 要点诠释： (1)公式中的αβ、都是任意角。 (2)差角的余弦公式不能按分配律展开，即()cos cos cos αβαβ-≠-。 (3)要正确地识记公式结构，公式右端的两部分为同名三角函数积，左端为两角差的余
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 民族中学 王克伟 [教学目标] 知识与技能目标：理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法， 体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用. 过程与方法目标：让学生亲身经历“从已知入手，研究对象的性质，再联系所学知识，推导 出相应公式。”这一研究过程，培养他们观察、分析、联想、归纳、推理的 能力。通过阶梯性的强化练习，培养学生分析问题、解决问题的能力。 情感态度与价值观目标：通过对两角和与差的三角恒等变换特点的研究，培养学生主动探索、 勇于发现的求索精神；使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的 好习惯。 [教学重难点] 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用； 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. [教学过程] 一.新课引入 创设情境 引入课题： 想一想： cos15?= 由上一节所学的两角差的余弦公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，同学们很容易想到： 那 这节课我们就来学习两角和与差的正弦、余弦、正切的公式： 二.、讲授新课 探索新知一 两角和的余弦公式 思考：由cos()cos cos sin sin αβαβ αβ-=+，如何求cos()?αβ-= 26cos15cos(4530)cos 45cos30sin 45sin 304+=-=+= cos75= cos(3045)? += cos75?=
分析：由于加法与减法互为逆运算，()αβαβ+=--，结合两角差的余弦公式及诱导公式，将上式中以-β代β得 cos[()]cos cos()sin sin cos()cos cos sin sin ()ααβαβαααββββ=--=-+--=+ 1、 上述公式就是两角和的余弦公式，记作()c αβ+。 由两角和的余弦公式：()c αβ+，我们现在完成课前的想一想： 探索新知二 思考：前面我们学习了两角和与差的余弦，请同学们猜想一下：会不会有两角和与差的正弦公式呢？如果有，又该如何推导呢？ 在第一章中，我们学习了三角函数的诱导公式，同学们是否还记得如何实现由余弦到正弦的转化呢？ cos()sin 2 παα-= 结合()c αβ+与()c αβ-，我们可以得到 cos[()]cos[()]cos()cos sin()sin 22sin )2(2ππππαβαβααβββα=-++=--=-+- sin cos sin cos αββα=+ 2、 上述公式就是两角和的正弦公式，记作()s αβ+。 那sin()?αβ-= 将上式sin()αβ-sin cos sin cos αββα=+中以-β代β得 sin[()]sin cos()sin()cos sin cos sin cos αβαββααββα+-=-+-=-cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β sin )sin cos cos sin αβαβαβ ++=(cos30cos45sin30sin 45=- cos75= cos(3045)+
§3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3．1.1两角差的余弦公式 学习目标
1.了解两角差的余弦公式的推导过程. 2.理解用向量法导出公式的主要步骤. 3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算． 知识点两角差的余弦公式 C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. (1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角． (2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反．
1．存在角α，β，使得cos(α－β)＝cos α－cos β.(√) 2．任意角α，β，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.(×) 3．任意角α，β，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(√) 4．任意角α，β，cos α－cos β＝cos(α－β)．(×) 题型一利用两角差的余弦公式化简求值 例1计算： (1)cos(－15°)； (2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°. 考点两角差的余弦公式 题点利用两角差的余弦公式化简求值 解(1)方法一原式＝cos(30°－45°)
＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45° ＝3 2× 2 2 ＋1 2× 2 2 ＝ 6＋2 4. 方法二原式＝cos 15°＝cos(45°－30°) ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝2 2× 3 2 ＋2 2× 1 2 ＝ 6＋2 4. (2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0. 反思感悟利用两角差的余弦公式求值的一般思路 (1)把非特殊角转化为特殊角的差，利用公式直接求解． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值． 跟踪训练1(2018·广安期末)cos 80°·cos 35°＋sin 80°·cos 55°的值是() A. 2 2B．－ 2 2 C. 1 2D．－ 1 2 考点两角差的余弦公式 题点利用两角差的余弦公式化简、求值 答案 A 解析cos 80°·cos 35°＋sin 80°·cos 55°＝cos 80°·cos 35°＋sin 80°·sin 35° ＝cos(80°－35°)＝cos 45°＝2 2. 题型二给值求值 例2(1)已知sin α－sin β＝1－ 3 2，cos α－cos β＝ 1 2，则cos(α－β)等于() A．－ 3 2B．－ 1 2 C. 1 2 D. 3 2 考点两角差的余弦公式 题点给值利用两角差的余弦公式求值答案 D 解析因为sin α－sin β＝1－ 3 2 ，cos α－cos β＝1 2 ， 所以(cos α－cos β)2＝1 4，(sinα－sin β)2＝7 4 － 3.