两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式考点与提醒归纳
一、基础知识
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β. T (α±β)：tan(α±β)＝
tan α±tan β1?tan αtan β?
?
??α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z .
两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反.
2．二倍角公式 S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.
C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.
T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α??
??α≠k π＋π2且α≠k π2＋π4，k ∈Z . 二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α
2
的二倍角．
二、常用结论
(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α
2
.
(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)．
(4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2
＋b 2
sin(x ＋φ)?
????其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.
考点一 三角函数公式的直接应用
[典例] (1)已知sin α＝35，α∈????π2，π，tan β＝－1
2，则tan(α－β)的值为( ) A ．－2
11
B.211
C.112
D ．－11
2
(2)(2019·呼和浩特调研)若sin ()π－α＝13，且π
2≤α≤π，则sin 2α的值为( )
A ．－22
9
B ．－42
9
C.229
D.429
[解析] (1)因为sin α＝3
5，α∈????π2，π， 所以cos α＝－
1－sin 2α＝－4
5
，
所以tan α＝sin αcos α＝－3
4.
所以tan(α－β)＝
tan α－tan β
1＋tan αtan β＝－2
11.
(2)因为sin(π－α)＝sin α＝13，π
2≤α≤π，
所以cos α＝－
1－sin 2α＝－22
3
，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×????
－223＝－429.
[答案] (1)A (2)B
[解题技法] 应用三角公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． [题组训练]
1．已知sin α＝13＋cos α，且α∈????0，π2，则cos 2αsin ????α＋π4的值为( ) A ．－
2
3
B.
23
C ．－13
D.13
解析：选A 因为sin α＝13＋cos α，所以sin α－cos α＝1
3，
所以cos 2α
sin ????α＋π4＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4
＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α)＝－1
32
2
＝－2
3.
2．已知sin α＝4
5，且α∈????π2，3π2，则sin ????2α＋π3的值为________． 解析：因为sin α＝4
5，且α∈????π2，3π2，所以α∈????π2，π， 所以cos α＝－
1－sin 2α＝－
1－????452＝－35
. 因为sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝－7
25.
所以sin ????2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝－24＋7350. 答案：－24＋73
50
考点二 三角函数公式的逆用与变形用
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________. [解析] (1)∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，②
∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，
∴sin αcos β＋cos αsin β＝－1
2，
∴sin(α＋β)＝－1
2
.
(2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋ 3 t an 25°·tan 35°＝ 3 (1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝ 3. [答案] (1)－1
2 (2)3
[解题技法]
两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)公式的一些常用变形： sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β； cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β； 1±sin α＝????sin α2±cos α
22； sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α
tan 2α＋1；
cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α
1＋tan 2α.
[提醒]
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．
(3)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，3
2， 3等这些数值时，一定要考虑引入特
殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
[题组训练]
1.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝2
2(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，
b ，
c 的大小关系是( )
A ．a >b >c
B ．b >a >c
C ．c >a >b
D ．a >c >b
解析：选D 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，
b ＝22 (sin 56°－cos 56°)＝22 s in 56°－2
2 c os 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝
1－sin 239°cos 2
39°1＋sin 239°
cos 2
39°＝cos 239°－sin 2
39°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x ，x ∈????0，π2为增函数，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b .
2.已知cos ????α－π6＋sin α＝435，则sin ????α＋π6＝________. 解析：由cos ????α－π6＋sin α＝435， 可得
32cos α＋12sin α＋sin α＝435
， 即32sin α＋32cos α＝435
， ∴3sin ????α＋π6＝435，即sin ????α＋π6＝45. 答案：45
3.化简sin 2????α－π6＋sin 2????α＋π
6－sin 2α的结果是________． 解析：原式＝1－cos ????2α－π32＋1－cos ?
???2α＋π
32－sin 2α
＝1－12????cos ????2α－π3＋cos ????2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π
3－sin 2α
＝1－cos 2α2－1－cos 2α2
＝1
2. 答案：12
考点三 角的变换与名的变换
考法(一) 三角公式中角的变换
[典例] (2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ????－35，－45.若角β满足sin(α＋β)＝5
13
，则cos β的值为________． [解析] 由角α的终边过点P ????－35，－4
5， 得sin α＝－45，cos α＝－3
5
.
由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±12
13
.
由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝16
65.
[答案] －5665或16
65
[解题技法]
1．三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
2．常见的配角技巧
2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2
＝????α＋β2－???
?α2＋β等． 考法(二) 三角公式中名的变换
[典例] (2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－5
5.
(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．
[解] (1)因为tan α＝43，tan α＝sin α
cos α，
所以sin α＝4
3cos α .
因为sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝9
25
，
所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－
725
.
(2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－5
5
，所以α＋β∈????π2，π. 所以sin(α＋β)＝
1－cos 2(α＋β)＝255
，
所以tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝4
3
，
所以 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－24
7.
所以tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)] ＝
tan 2α－tan (α＋β)
1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.
[解题技法] 三角函数名的变换技巧
明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
[题组训练]
1．已知tan θ＋1
tan θ＝4，则cos 2????θ＋π4＝( ) A.1
2 B.13
C.14
D.15
解析：选C 由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θ
sin θ＝4，即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，∴sin θcos θ＝
14，∴cos 2????θ＋π4＝1＋cos ????2θ＋π22＝1－sin 2θ2＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14
.
2．(2018·济南一模)若sin ????A ＋π4＝7210，A ∈????π4，π，则sin A 的值为( ) A.3
5 B.45
C.35或45
D.34
解析：选B ∵A ∈????π4，π，∴A ＋π4∈????π2，5π4， ∴cos ???
?A ＋π
4＝－ 1－sin 2????A ＋π4＝－2
10
，
∴sin A ＝sin ???
?????A ＋π4－π4
＝sin ????A ＋π4cos π4－cos ????A ＋π4sin π4＝4
5
. 3．已知sin α＝－4
5，α∈????3π2，2π，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝( ) A.6
13 B.136
C ．－613
D ．－13
6
解析：选A ∵sin α＝－45，α∈????3π2，2π， ∴cos α＝3
5.
又∵sin (α＋β)cos β
＝2，
∴sin(α＋β)＝2cos [(α＋β)－α]．
展开并整理，得65cos(α＋β)＝13
5sin(α＋β)，
∴tan(α＋β)＝6
13
.
[课时跟踪检测]
A 级
1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1 B.12
C.32
D ．－1
2
解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12
.
2．若2sin x ＋cos ????
π2－x ＝1，则cos 2x ＝( ) A ．－89
B ．－7
9
C.79
D ．－7
25
解析：选C 因为2sin x ＋cos ????π2－x ＝1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝1
3，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝7
9
.
3．(2018·山西名校联考)若cos ????α－π6＝－3
3，则cos ????α－π3＋cos α＝( ) A ．－22
3
B ．±22
3
C ．－1
D ．±1
解析：选C cos ????α－π3＋cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝32cos α＋3
2sin α＝3cos ????α－π6＝－1.
4．tan 18°＋tan 12°＋3
3
tan 18°tan 12°＝( ) A.3 B.2 C.2
2
D.
33
解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝tan 18°＋tan 12°1－tan 18°tan 12°＝3
3，
∴tan 18°＋tan 12°＝
33(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝33
. 5．若α∈????π2，π，且3cos 2α＝sin ????π
4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－1
18
B.118
C ．－1718
D.1718
解析：选C 由3cos 2α＝sin ????π4－α，可得3(cos 2α－sin 2α)＝2
2
(cos α－sin α)，又由α∈????π2，π，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118
，故sin
2α＝－1718
.
6．已知sin 2α＝1
3，则cos 2????α－π4＝( ) A ．－1
3
B.13
C ．－23
D.23
解析：选D cos 2???
?α－π4＝1＋cos ?
???2α－π
22
＝12＋12sin 2α＝12＋12×13＝2
3
. 7．已知sin ????π2＋α＝1
2，α∈????－π2，0，则cos ????α－π3的值为________． 解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－3
2，
所以cos ????α－π3＝12cos α＋32sin α＝－1
2. 答案：－1
2
8．(2019·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan α
tan β＝________.
解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝1
2，sin αcos β－cos
αsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝sin αcos β
cos αsin β
＝5.
答案：5
9．(2017·江苏高考)若tan ????α－π4＝1
6，则tan α＝________. 解析：tan α＝tan ???
?????α－π4＋π
4
＝tan ????α－π4＋tan π41－tan ????α－π4tan π4＝1
6＋11－16＝75.
答案：7
5
10．化简：sin 235°－
1
2
cos 10°cos 80°
＝________.
解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°
＝－1
2
cos 70°
12sin 20°＝－1.
答案：－1 11．已知tan α＝2. (1)求tan ????α＋π
4的值； (2)求
sin 2α
sin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1
的值．
解：(1)tan ????α＋π4＝tan α＋tan
π
41－tan αtan
π4＝2＋11－2
＝－3. (2)sin 2α
sin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos α
sin 2α＋sin αcos α－(2cos 2
α－1)－1 ＝
2sin αcos α
sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α
＝
2tan α
tan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2
＝1.
12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－1
3.
(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．
解：(1)∵α，β∈????0，π2，∴－π2<α－β<π
2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π
2<α－β<0.
∴sin(α－β)＝－
1010
. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝310
10.
∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝4
5
.
∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×????－1010＝910
50
. B 级
1．(2019·广东五校联考)若tan ????π2－θ＝4cos(2π－θ)，|θ|<π
2，则tan 2θ＝________. 解析：∵tan ????π2－θ＝4cos(2π－θ)，∴cos θ
sin θ＝4cos θ， 又∵|θ|<π2，∴sin θ＝1
4
，
∴0<θ<π2，cos θ＝154，tan θ＝sin θcos θ＝1
15
，
从而tan 2θ＝
2tan θ1－tan 2θ
＝15
7.
答案：
157
2．(2018·江西新建二中期中)已知A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－24
25，sin ????B ＋π3＝35，则cos ???
?A －π
3＝________. 解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－24