第八章 组合变形
内容提要
一、组合变形综述
组合变形：拉伸、压缩、弯曲、剪切、扭转称为基本变形。构件同时产生两种或两种以上的基本变形时称为组合变形。
组合变形的计算方法：在小变形且材料在线弹性范围内工作时，将组合变形分解成几种基本变形，分别计算各基本变形时的应力和位移，将其各自叠加，可得到组合变形时的应力和位移。
二、斜弯曲
斜弯曲的概念：在横力弯曲时，设梁上的横向力通过横截面的弯曲中心(梁不产生扭转变形)。当横向力的方向和横截面的形心主轴平行时，梁产生平面弯曲，即外力作用面和挠曲面平行；当横向力方向和横截面的形心主轴不平行时，梁产生斜弯曲，即外力作用面和挠曲面不平行。斜弯曲时，外力和中性轴不垂直，挠度仍垂直于中性轴。
斜弯曲的计算方法：将横向力向两个形心主轴方向分解，在两个形心主轴方向的横向力作用下，梁在两个形心主惯性平面内分别发生平面弯曲。分别计算两个平面弯曲时的应力和位移，将其各自叠加，就得到斜弯曲时的应力和位移。
▲正多边截面梁，不会产生斜弯曲。
▲横截面具有外棱角(例如工字形、矩形、角形等)时，危险点位于危险截面的角点处，该处为单向应力状态，其强度条件为
[]max σσ≤ (8-1)
▲圆截面梁，不会产生斜弯曲，且圆截面对任一形心轴的弯曲截面系数均为3
32
d W π=
(d 为圆截面的直径)。于是
max M M
W σ?
=?
?=?
?
(8-2) 式中，y M 、z M 分别为绕y 、z 轴的弯矩，M 为总弯矩，M 的矢量方向为中性轴，max
σ发生在图中的a 和b 点处。
三、拉伸(压缩)与弯曲
Ⅰ、构件发生拉伸(压缩)与弯曲组合变形时，分别计算其中拉伸(压缩)与弯曲时的应力，并将其叠加就得到组合变形的应力。
II 、构件受偏心拉伸(压缩)荷载作用时，将偏心力向横截面的形心简化，得到一轴向荷载以及绕横截面的形心主轴弯曲的弯矩y M 和z M 。偏心拉伸(压缩)仍然是拉伸(压缩)与弯曲的组合变形问题。
1、横截面具有外棱角(例如工字形、矩形等)时，危险点在横截面的外角点处，该点处于单向应力状态，只需计算出最大正应力，便可建立强度条件。
2、横截面没有外棱角时，如图8-2截面，y 、z 为形心主轴，需首先确定中性轴位置，才能确定危险点位置，中性轴方程为
00
2210 F F y z
z z y y i i +
+= (8-3) 式中，F y 、F z 为偏心力的偏心矩，0y 、0z 为中性轴任一点的坐标，y i 、z i 为截面的惯性半径。中性轴为不通过形心的直线，其截矩公式为
2
z y F i a y =-，2y z F
i a z =- (8-4)
III 、截面核心
当偏心力作用在截面形心附近的一个封闭区域的边界上时，中性轴和截面周边相切，这个封闭区域称为截面核心。
例如图8-3所示为任意形状截面，y 、z 为形心主轴，当偏心力
分别作用在1、2、3、4点时，对应的中性轴为切线①、②、③、④。
1、偏心力作用在截面核心时，截面只产生一种应力，偏心拉伸时为拉应力，偏心压缩时为压应力。
2、砖、石、混凝等材料的拉伸强度较低，这类材料的偏心受压杆，最好是偏心压力作用在截面核心上。
3、确定截面核心的方法：作一系列和截面周边相切的切线作为中性轴，中性轴的截矩
y a 、z a 为已知，由中性轴的截距公式得
2
i i
z F y i y a =-，2i i y F z i z a =- ()12i n =、
(8-5) 由i F y 、 i F z 可得到截面核心边界上一系列的点,这些点的连线即为截面核心边界。要特别强调，截面周边的切线一定不能穿过截面。例
如图8-3所示截面中不能用凹进去的曲线的切线作为中性轴，又如不能用图8-4所示的角形截面的DE 和EF 边作为中性轴，因为它们穿过截面。
四、弯扭组合变形
以图8-5所示圆截面钢杆为例，横截面上的内力为弯矩y M 、
z M 、扭矩T 。其第三和第四强度理论的强度条件分别为
[]
[]3
4
r r σσσσ??=
=
≤?
???
=
=
≤?
(8-6) 式中， 3
32
d
W π=
，M =注：第三和第四强度理论各有三种形式： ① []313r σσσσ=-≤
[]4
r σσ=
②
[]3r σ
σ=≤
[]4
r σσ=≤
③
[]3r W
σσ=≤
[]4r σσ=≤
其中：①为原始公式，
适用于所有应力状态(图8-6a )。 ②仅适用于图示的特殊平面应力状态(有一个正交
方向的正应力等于零)(图8-6b )。 ③仅适用于圆截面杆的弯扭组合变形(图8-6c )。
小结：以上对几种典型的组合变形进行了分析，工程中还会遇到更复杂的组合变形问题，例如，拉伸(压缩)与斜弯曲的组合变形；偏心拉伸(压缩)与弯曲的组合变形；弯曲与扭转及拉伸(压缩)的组合变形等等。不论组合变形多么复杂，只要认真进行分析，弄清楚组合变形是哪几种基本变形的组合，分别计算每一种基本变形的应力，再利用叠加法计算组合变形的应力，确定危险点的应力状，从而建立相应的强度条件。
例8-1 图示矩形截面杆，受力F 1和F 2作用，已知，15kN F =，2100kN F =，50mm b =，
100mm h =，1m l =，200GPa E =，0.3ν=。试求：
1、杆中的最大拉应力和最大压应力，并指出它们的作用点位置；
2、k 点处沿45°方向的线应变45o ε
解：1、求,m a x t σ和,max c σ
本题为斜弯曲和轴向拉伸的组合变形。将1F 沿形心主轴y 、z 方向分解为
11cos30o y F F =
()50.866 4.33kN =?=↓
()11sin 3050.5 2.5kN o z F F ==?=
A 截面的内力为
2100kN N F F ==
1 4.331 4.33kN m z y M F l ==?=? 1 2.51 2.5kN m y z M F l ==?=?
最大拉应力和最应力分别为
333
,max
62929
100106 4.33106 2.510132MPa 501001050100101005010y N z t z y M F M A W W σ---?????=++=++=??????,max 92MPa y
N z c z y
M F M A W W σ=
--=- ,max t σ和,max c σ分别发生在A 截面的1点和3点。
2、求k 点处的线应变45o ε k 点处的应力为
33
629
1001060.5 2.51050MPa 50100101005010y N k y M F A W σ--????=+=+=????
3
16
33 4.3310 1.3MPa 225010010
y k F A τ-?===?? k 点的应力状态如图b 所示，k 点处沿45°方向的线应变为
()
()454545666
91122123.7100.326.31079.01020010o
o o E E σσεσνστντ--??
????=
-=-++ ? ???????????=?-?=??
??
例8-2 图a 所示悬臂梁，由200mm 200mm 20mm ??的等边角钢组成，在自由端受集
中力F 作用，F 力的作用线通过等边角钢竖直肢的中心线，F =20kN ，l =1m 。试求梁的最
30
1
F 45
()
a
大拉应力和最大压应力。
解：等边角钢的弯曲中心位于两肢中线的交点处，y 和z 轴为形心主轴，F 力通过弯曲中心，梁不会产生扭转，F 力和形心主轴方向不平行，梁产生斜弯曲。
将F 力沿形心主轴y 、z 方向分解为
2sin 45y z F F
F ===
在两个形心主惯性平面内的弯矩分别为
20114.14kN m 2
y z M F l ==
?=? 14.14kN m z y M F l ==?
在y M 作用下，y 为中性轴，最大拉应力和最大压应力分别发生在A 截面的a(c)和b 点处；在z M 作用下，z 为中性轴，最大拉应力和最大压应力分别发生在A 截面的a 和c 两点处。
角钢的几何性质为 6411.8010mm y I =?，645.5510mm z I =?，形心C 的坐标已示于图中，b 点和a (
c )点坐标的绝对为
0b y =
，56.980.5mm b z =
200141.1mm 2a y =
=，20080.560.6mm 2
a z =?-= a 、
b 、
c 三点的应力分别为
3333
612612
14.141060.61014.1410141.11011.80101045.551010y a z a a y z M z M y I I σ----??????=
+=+
???? ()72.6MPa+43.8MPa=116.4MPa =拉应力
()336
14.141080.51096.5MPa 11.8010
y b b y
M z I σ--???=
==?压应力 3333
66
14.141060.61014.1410141.11011.801045.5510
y c z c c y z M z M y I I σ----??????=
-=-?? ()72.6MPa 43.8MPa=28.8MPa =-拉应力
故 ,m a x 116.4M P a t σ=， ,max 96.5MPa c σ=
例8-3 图示16号工字钢简支梁，因强度不足，在紧靠支座处焊上钢板，并设置钢拉杆对梁进行加固。试求加固后梁的最大正应力减小的百分数。已知，13kN m q =，4m l =，
120mm a =，工字钢的212160mm A =，6411.3010mm z I =?，3314110mm z W =?，拉杆的横
截面面积22400mm A =，梁和拉杆的弹性模量均为200GPa E =。
223max
39
111341088184.4MPa 1411010z ql W σ-???'===?? 加固后为超静定问题，取拉杆为多余约束，相当系统如图b 所示，变形的几何关系为，梁在A 和B 处相对水平移AB ?等于拉杆的伸长量2l ?，即
2AB l ?=? (1)
将N F 力向梁两端的轴线简化，得轴向压力N F ，弯矩N M F a =，梁的轴向缩短为
11
N F l
l EA -?=
A 截面的转角为
()()()33
2436242N N N
A F a l F a l F a l ql ql EI EI EI EI EI
θ=--=- A 和B 处的相对水平位移为
()2311212N N A F l F a l
ql a AB l a EA EI EI
θ-?=?+=+-
(2) 拉杆的伸长量为
22
N F l
l EA ?=
(3) 将(2)和(3)式代入(1)式，化简后得
22
121211N ql a I F a A A I
=++ 将已知数据代入上式得
43.44kN N F =
加固后梁的最大正应力为
2
max 118127.5MPa N N z
ql F a F A W σ-''=-+=
184.4127.5
100%31%184.4
-?=
可见加固后梁的最大正应力减小
例8-4 图a 所示矩形截悬臂梁受均匀分布的切向荷载q 作用，试求自由端下边缘处的竖直位移和水平位移。梁的弹性模量为E 。
解：将q 向梁的轴线处平移(图b)，梁的内力为
()N F x q x
= ()1
2
M x mx qhx =-=-
梁的轴向伸长量为
()2
002l
l N F x dx qx ql l dx EA EA Ebh
?===??
A 截面的转角和挠度，可用积分法求出，即
1
2EIw qhx ''=
21
4EIw qhx C '=+
31
12
EIw qhx Cx D =++
由x l =，0w '=，0w =得
214C qhl =- 31
6
D q h l =
()2
2
3 A ql Ebh
θ=- ()3
22A ql w Ebh =↓
A 截面下边缘的竖直位移和水平位移分别为
()3
22y A ql w Ebh
?==↓ ()2
2x A ql
h l Ebh
θ?=?-=-→
例8-5 矩形截面铸铁立柱，受偏心压力F 作用，F 力的作用点可以在立柱顶面上，以形心O 为圆心，R 为半径的圆上移动。立柱的强度由拉应力控制，许用拉应力[]30MPa t σ=。
150mm b =，200mm h =，60mm R =。
(1)F 力作用在圆上何处时,立柱的许用荷载值最
小?并求[]min F 。
(2)F 力作用在圆上何处时,立柱的许用荷载值最大?并求[]max F 。
解：该题是偏心受压问题，当F 力移动到圆上的某点时，若立柱中产生的最大拉应力为最大时，则立柱的许用荷载为最小；若立柱中产生的最大拉应力为最小，则立柱的许用荷载为最大。
1、求[]min F
设F 力作用于圆上任一点k ，将F 力向截形心简化，内力为
N F F =-, sin y M FR α=, cos z M FR α=
A 点处的拉应力为
,max
22
6sin 6cos y z t y z M M F F FR FR A W W bh bh bh
αα
σ=-++=-++ (1) 令
(),m a x
22
6cos 6sin 00t d FR FR d bh bh
σαα
α
=+
-= 得 150
tan 0.75200
b h α=
== 36.87α=
或18036.87216.87α=+= (2) A 点处的最大拉应力为
()
,max 22
max
6sin 36.876cos36.87
t F FR FR bh bh bh σ
=-
++ 33
62929
6361064810150200101502001020015010
F F F -----???=-++?????? []66.7 30MPa t F σ=≤= (3)
得 []m i n 45kN F = (2)求[]max F
由(1)式可见，当()0180α=或()90270α=时，A 点的拉应力可能为最小,注意到
h b >，所以()90270α=，A 点的拉应力为最小。
()
[]3min
,max 2629
66601026.7 30MPa
1502001015020010t t F FR F F F bh bh σ
σ---??=-+=-+=≤=????
得 []m a x 1123.6k N
F = 例8-6 材料分别为①和②的两根杆，其两端固结于刚
性块上，如图所示。两种材料的弹性模量分别为E 1和E 2，且E 1>E 2。若要两杆发生均匀拉伸，试求两杆内力和偏心
距e 。
解:本题为两种材料的偏心拉伸问题。因为要使两杆均发生均匀伸长，故两杆只能有轴力，受力图如图b 所示，未知量有1N F 、2N F 和e 共三个，所以为一次超静定问题，变形相容条件为12l l ?=?。
由平衡方程得
12N N F F F += (1)
由12l l ?=?,得
1212N N F l F l E A
E A
=
, 121
2
N N E F F E =
(2) 由(1)和(2)式得
1112N E F F E E =
+ , 22
12
N E F F E E =+
由00M =∑,得
2122N N b b F e F e ????+=- ? ????? ()
()
12122
N N N N b
e F F F F +=
- ()
12
12121222N N N N F F E E b
e b F F E E --=
?=++
例8-7 折杆ABC ，由材料不同的圆管①和实心杆②紧密套在一起，如图a 所示。材料 的弹性模量、切变模量和许用应力分别为13E E =、13G G =、[][]12σσ=；2E E =、2G G =、
[][]2σσ=。试按第三强度理论写出折杆的强度条件。
解:折杆的AB 杆为弯扭组合变形，A 截面的弯矩为22M Fl =，扭矩为T Fl =-，所以A 为危险截面。求A 截面处两种材料组合杆各自的弯矩及扭矩，是超静定问题，弯曲变形的几何关系为两杆的曲率相等，扭转变形的几何关系为两杆的单位长度的扭转角相等。
Ⅰ、求两杆A 截面的最大弯曲正应力
设①和②杆A 截面的弯矩分别为1M 和2M ，有
12M M M += (1)
由两杆的曲率相等，即
12
12
12z z M M E I E I =
得 12
1122z z E I M M E I =
(2)
由(1)和(2)式，得
1
12
2
12
11122212 z z z z z z E I M M
E I E I E I M M E I E I ?=
?
+?
??
=?+? (3)
两杆的最大弯曲正应力分别为
1
2
11,max 2
2,max
2z z M d I M d I σσ==
将 ()
14
4
4
21564
6464
z d d d I πππ=
-=
，2464z d I π=，13E E =，2E E =，2M Fl =代入上式得
1,max 3
2,max
3
1922332 23Fl d Fl d σπσπ?
=????=??
(4)
II 、求两杆A 截面处的最大扭转切应力 设两杆A 截面处的扭矩分别为1T 和2T ，有
12 T T T += (5)
由两杆单位长度的扭转角相等，即
12
1212p p T T
G I G I = 得 12
1122 p p G I T T G I =
(6)
由(5)和(6)式，得
1
12
2
12
11122212 p p p p p p G I T T
G I G I G I T T G I G I ?=
?
+?
??
=?+? (7)
两杆的最大扭转切应力分别为
1
2
11,max 2
2,max
2p p T d I T d I ττ?=?=
将()
14
4
4
21532
3232
p d d d I πππ=
-=
，2432p d I π=，13G G =，2G G =，T Fl =代入上式得 1,max 3
2,max
3
4823 8 23Fl d Fl d τπτπ?
=????=??
(8)
III 、两杆的强度条件
①、②两杆的危险点位于A 截面处的a (b )及c (d )点，a 、c 点的应力状态如图b 所示。两杆按第三强度理论的强度条件分别为
()
[]3139.32r Fl
d
σσπ==≤
(
)[]3231.56r Fl
d
σσπ==≤
例8-8 槽形截面的核面核心为四边形abcd ，若集中力F 作用在ab 和dc 延长线的交点K 时，求相应的中性轴位置。
解：与截面核心的a 、b 、c 、d 四点对应的中性轴分别为①、②、③、④。当中性轴①绕B 点逆时针旋转到中性轴②时，有无数条中性轴通过B 点，但始终均未进入截面之内，将B 点坐标(),B B y z 代入中性轴方程
2210B B
F F y z
z y z y i i +
+= 可见，中性轴绕B 点旋转过程中，偏心力作用点(),F F y z 的轨迹为直线(式中，y i 、z i 为截面的惯性半径)。即a 、b 两点间的连线为直线。集中F 沿ab 移动时，中性轴始终通过B
点。同理集中力F 沿dc 移动时， 中性轴始终通过D 点，所以集中力F 作用在ab 和dc 延长线的交点K 时，中性轴为B 、D 两点的连线。
例8-9 图a 所示刚架的各杆均为直径100mm d =的圆截面钢杆，长度1m l =，许用应力[]170MPa σ=。试用第三强度理论确定刚架的许用荷载。
解：刚架的内力图如图b 所示，可见A 为危险截面，其内力分别为
()N m A M ===?
()N N F F = ()N m T Fl F ==?
危险点的应力分别为
()240.0145MPa N A F M F F A W d σπ=
+== ()3
160.0051MPa p T F
F W d τπ=
== 危险点的应力状态如图c 所示，由第三强度理论的强度条件
[]3
0.0177170MPa
r F σσ==
=≤=得 170
9.6kN 0.0177
F ≤
=
[] 9.6kN F ∴=
例8-10 图a 所示圆截面立柱，受偏心力F 和扭转力偶矩e M 联合作用，测得a 、b 两点的纵向线应变分别为εa =520×10-6
，εb =-9.5×10-6
。已知100mm d =，10kN m e M =?，200GPa E =，
0.3ν=，[]160MPa σ=。试求：
1、偏心力F 和偏心距e ；
2、C 点处沿45°方向的线应变；
3、用第三强度理论校核立柱强度。 解：1、求F 和e a 、b 两点的应力状态如图b 所示，切应力
不会产生x 方向的线应变，a 、b 两点的正应力分别为
a a F Fe E A W σε=+= (1)
b b F Fe E A W
σε=-= (2)
由(1)和(2)可得
()()9266
620010*********.51010401kN 224a b E F A πεε---?=+=?-???= ()()936693
20010100520109.5101013mm 224011032
a b E e W F εεπ----?==?+???=?? 2、求C 点处的45o ε
C 点的应力状态如图b 所示，其应力为
3
26
44011051MPa 10010C F A σπ-??===?
3
29
16101050.9MPa 10010
e C p M W τπ-??===? ()
()4545456696
11221
76.4100.325.41020010
420.110o
o o E E σσεσνστντ--??????=
-=+-- ? ???????????=?--????=? 3、校核立柱强度
危险点为a 点，其应力为
45
a
b
3332639
44011040110131032104.1MPa 1001010010
a F Fe A W σππ---??????=+=+=?? 33
101032
50.9MPa 0.1a τπ??==?
[]3
145.6MPa r σσ===<
立柱满足强度条件。
例8-11 刚架AB 、BC 杆的直径为150mm d =，CD 杆的直径210mm d =，其材料均为Q235钢，200GPa E =，80GPa G =，[]160MPa σ=， 1.6kN F =，1m l =。试校核该刚架的强度。
解：取相当系统如图b 所示，变形的几何关系为
Cy CD l ?=? (1)
将C F 力向B 截面平移(图c)，则B 截面的挠度和扭转角分别为
()33C By
F F l EI
-?=
， ()C AB p
F l l GI ?=
C 截面的挠度为
()3
33333
23333312C C C C C C Cy
By AB p F F l F l F l F l F l F l l EI EI GI EI EI EI
?-?=?--=--=-
(2) CD 杆的缩短量为
C C
D F l
l EA
?=
(3) 由(1)、(2)、(3)式，得
2
2
41223C Al F F I Al =+
其中 4
34
50306.810mm 64
I π=
=?，2
21078.5mm 4
A π=
=
2
32
478.51000 1.6kN=278N 12306.8102378.51000C F ??=??+??
A 截面的内力分别为
()160027811322N m A M =-?=?
2781278N m T =?=?
第三强度理论的强度条件为
[]39110MPa<1032
r σσ-===? CD 杆的压应力为
()
[]2
2784
3.5MPa 0.01σσπ?=
=<
例8-12 ()3n n ≥根圆杆固定在相距l 的两刚性夹支板上，其支点沿半径为R 的圆周上均匀分布，各杆的材料和尺寸相同，两夹支板上分别作用着大小相等方向相反的扭力偶M 。求两夹支板的相对扭转角。
解：设顶板相对于底板的扭转角为?，并产生水平位移R ??=，如图b 所示，且各杆端部的弯曲转角为零，所以端部相应的内力有扭矩T 、剪切s F 、弯矩M 。如图c 所示。
202s F l Ml EI EI
θ=-=，12s M F l =，2
33123212s s s F l l F l F l R EI EI EI ??? ????==-=
312 s EI
F R l
?=
(1) p
Tl
GI ?=
p GI T l
?=
(2)
将杆上端的s F 、M 、T 反作用在顶板上。(图d )
0x
M
=∑，s e nT nF R M +=
()s e n T F R M += (3)
将(1)和(2)代入(3)，得
()
3
22
12e p M l n EIR GI l ?=+ (4) 也可用能量法，求?
1
2
e M V ε?= 其中 []31222p s GI n n EI V F T R R l l ε???????????
=
?+=+?? ? ???????
22311222p e GI n EI
M R l l ????=+????
∴ ()
322
12e p M l n EIR GI l ?=+
第八章组合变形构件的强度习题 一、填空题 1、两种或两种以上基本变形同时发生在一个杆上的变形,称为（）变形。 二、计算题 1、如图所示的手摇绞车，最大起重量Q=788N，卷筒直径D=36cm,两轴承间的距离l=80cm,轴的许用应力[]σ=80Mpa。试按第三强度理论设计轴的直径d。 2、图示手摇铰车的最大起重量P=1kN，材料为Q235钢，[σ]=80 MPa。试按第三强度理论选择铰车的轴的直径。 3、图示传动轴AB由电动机带动，轴长L=1.2m,在跨中安装一胶带轮，重G=5kN,半径R=0.6m,胶带紧边张力F1=6kN,松边张力F2=3kN。轴直径d=0.1m，材料许用应力[σ]=50MPa。试按第三强度理论校核轴的强度。 4、如图所示，轴上安装有两个轮子，两轮上分别作用有F=3kN及重物Q，该轴处于
平衡状态。若[σ]=80MPa。试按第四强度理论选定轴的直径d。 5、图示钢质拐轴，AB轴的长度l AB=150mm, BC轴长度l BC=140mm，承受集中载荷F 的作用，许用应力[σ]=160Mpa，若AB轴的抗弯截面系数W z=3000mm3，。试利用第三强度理论，按AB轴的强度条件确定此结构的许可载荷F。(注：写出解题过程) 6、如图所示，由电动机带动的轴上，装有一直径D=1m的皮带轮，皮带紧边张力为2F=5KN，松边张力为F=2.5KN，轮重F P=2KN，已知材料的许用应力[σ]=80Mpa，试按第三强度理论设计轴的直径d。 7、如图所示，有一圆杆AB长为l，横截面直径为d，杆的一端固定，一端自由，在自由端B处固结一圆轮，轮的半径为R，并于轮缘处作用一集中的切向力P。试按第三强度理论建立该圆杆的强度条件。圆杆材料的许用应力为[σ]。
组合变形练习题 一、选择 1、应用叠加原理的前提条件是：。 A：线弹性构件； B：小变形杆件； C：线弹性、小变形杆件； D：线弹性、小变形、直杆； 2、平板上边切h/5，在下边对应切去h/5，平板的强度。 A：降低一半； B：降低不到一半； C：不变； D：提高了； 3、AB杆的A处靠在光滑的墙上，B端铰支，在自重作用下发生变形， AB杆发生变形。 A：平面弯曲 B：斜弯； C：拉弯组合； D：压弯组合； 4、简支梁受力如图：梁上。 A：AC段发生弯曲变形、CB段发生拉弯组合变 形 B：AC段发生压弯组合变形、CB段发生弯曲变形 C：两段只发生弯曲变 形 D：AC段发生压弯组合、CB段发生拉弯组合变形 5、图示中铸铁制成的压力机立柱的截面中，最合理的是。
6、矩形截面悬臂梁受力如图，P2作用在梁的中间截面处，悬臂梁根部截面上的最大应力为：。 A:σ max =(M y 2+M z 2)1/2/W B：σ max =M y /W y +M Z /W Z C：σ max =P 1 /A+P 2 /A D：σ max =P 1 /W y +P 2 /W z 7、塑性材料制成的圆截面杆件上承受轴向拉力、弯矩和扭矩的联合作用，其强度条件是。 A：σ r3 =N/A+M/W≤|σ| B:σ r3 =N/A+(M2+T2)1/2/W≤|σ| C:σ r3 =[(N/A+M/W)2+(T/W)2]1/2≤|σ| D:σ r3 =[(N/A)2+(M/W)2+(T/W)2]1/2≤|σ| 8、方形截面等直杆，抗弯模量为W，承受弯矩M，扭矩T，A点处正应力为σ，剪应力为τ，材料为普通碳钢，其强度条件为：。 A：σ≤|σ|，τ≤|τ| ； B: (M2+T2)1/2/W≤|σ| ； C：(M2+0.75T2)1/2/W≤|σ|； D：(σ2+4τ2)1/2≤|σ| ； 9、圆轴受力如图。该轴的变形为： A：AC段发生扭转变形，CB段发生弯曲变形 B：AC段发生扭转变形，CB段发生弯扭组合变形 C：AC段发生弯扭组合变形，CB段发生弯曲变形
第八章 组合变形及连接部分的计算 习题解 [习题8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知m l 8.0=，kN F 5.21=， kN F 0.12=，试求危险截面上的最大正应力。 解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压 性能相同，故只计算最大拉应力： 式中，z W ，y W 由14号工字钢，查型钢表得到3 102cm W z =，3 1.16cm W y =。故 MPa Pa m m N m m N 1.79101.79101.168.0100.11010228.0105.2363 63363max =?=???+?????=--σ [习题8-2] 受集度为 q 的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 030=α，如图所示。已知该梁材料的弹性模量 GPa E 10=；梁的尺寸为 m l 4=，mm h 160=，mm b 120=；许用应力MPa 12][=σ；许用挠度150/][l w =。试校核梁的强度和刚度。
解：（1）强度校核 )/(732.1866.0230cos 0m kN q q y =?== （正y 方向↓） )/(15.0230sin 0m kN q q z =?== （负z 方向←） )(464.34732.181 8122m kN l q M y zmaz ?=??== 出现在跨中截面 )(24181 8122m kN l q M z ymaz ?=??== 出现在跨中截面 )(51200016012061 61322mm bh W z =??== )(3840001201606 1 61322mm hb W y =??== 最大拉应力出现在左下角点上： y y z z W M W M max max max + = σ MPa mm mm N mm mm N 974.1138400010251200010464.33 636max =??+??=σ 因为 MPa 974.11max =σ，MPa 12][=σ，即：][max σσ< 所以 满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的。 （2）刚度校核 =
第十章 组合变形 10-2 图a 所示板件，b =20mm ， =5mm ，载荷F = 12 kN ，许用应力[] = 100 MPa ， 试求板边切口的允许深度x 。 题10-2图 解：在切口处切取左半段为研究对象（图b ），该处横截面上的轴力与弯矩分别为 F F =N )(a b F M -= (a) 显然， 2 22x b x b a -=-= (b) 将式(b)代入式(a)，得 2 Fx M = 切口段处于弯拉组合受力状态，该处横截面上的最大拉应力为 2 2N max 432(2a)6 22a Fx a F Fx a F W M A F δδδδσ+ =+=+= 根据强度要求，在极限情况下， ][4322 σδδ=+a Fx a F 将式(b)与相关数据代入上式，得 01039.61277.042=?+--x x 由此得切口的允许深度为 m m 20.5=x
10-3 图示矩形截面钢杆，用应变片测得上、下表面的纵向正应变分别为a ε=×10 -3 与b ε=×10-3 ，材料的弹性模量E =210GPa 。试绘横截面上的正应力分布图，并求拉力F 及其偏心距e 的数值。 题10-3图 解：1.求a σ和b σ 截面的上、下边缘处均处于单向受力状态，故有 MPa 84Pa 104.010210 MPa 210Pa 100.1102103 9 39=???===???==--b b a a E εσE εσ 偏心拉伸问题，正应力沿截面高度线性变化，据此即可绘出横截面上的正应力分布图，如图10-3所示。 图10-3 2．求F 和e 将F 平移至杆轴线，得 Fe M F F ==，N 于是有 a z a E εW Fe A F σ=+= E εW Fe A F σz b =-= 代入相关数据后，上述方程分别成为 26250240=+Fe F 10500240=-Fe F
第八章 组合变形构件的强度习题答案 一、填空题 1、组合 二、计算题 1、解：31 7888010157.610(N mm)4M =???=?? 336 78810141.8410(N mm)2T =??=?? 33 800.1r d σ= =≤ 解得 d ≥30mm 2 、解：(1) 轴的计算简图 画出铰车梁的内力图： 险截面在梁中间截面左侧,P T P M 18.02.0max == (2) 强度计算 第三强度理论:() ()[]σπσ≤+=+= 2 2 322318.02.032 P P d W T M Z r []()()()() mm m d 5.320325.010118.01012.010 8032 10118.01012.032 3 2 32 36 32 32 3==??+????=??+??≥πσπ 所以绞车的轴的最小直径为32.5mm 。 3、解：
m kN 8.1? m kN 2.4? （1）外力分析，将作用在胶带轮上的胶带拉力F 1、F 2向轴线简化，结果如图b ． 传动轴受竖向主动力： kN 1436521=++=++=F F G F ， 此力使轴在竖向平面内弯曲。 附加力偶为： ()()m kN 8.16.03621?=?-=-=R F F M e ， 此外力偶使轴发生变形。 故此轴属于弯扭组合变形。 （2）内力分析 分别画出轴的扭矩图和弯矩图如图（c ）、（d ） 危险截面上的弯矩m kN 2.4?=M ，扭矩m kN 8.1?=T （3）强度校核 ()() []σπσ≤=??+?= += MPa W T M Z r 6.4632 1.0108.110 2.43 2 32 32 23 故此轴满足强度要求。 4、解：1）外力分析 kN F Q Q F 625 .01==∴?=?Θ 2）内力分析，做内力图
习 题 [8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知m l 8.0=，kN F 5.21=， kN F 0.12=，试求危险截面上的最大正应力。 解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因 钢材的拉压性能相同，故只计算最大拉应力： y z y y z z W l F W l F l F W M W M 211max 2++? =+= σ 式中，z W ，y W 由14号工字钢，查型钢表得到3102cm W z =，31.16cm W y =。故 MPa Pa m m N m m N 1.79101.79101.168.0100.11010228.0105.2363 63363max =?=???+?????=--σ [8-2] 矩形截面木檩条的跨度m l 4=，荷载及截面尺寸如图所示，木材为杉木，弯曲许用正应力MPa 12][=σ，GPa E 9=，许可挠度200/][l w =。试校核檩条的强度和刚度。
图 习题?-2 8 解：（1）受力分析 )/(431.13426cos 6.1cos '0m kN q q y ===α )/(716.03426sin 6.1sin '0m kN q q z ===α (2)内力分析 )(432.14716.081 8122max ,m kN l q M z y ?=??=== )(864.24432.18 1 8122max ,m kN l q M y z ?=??=== （3）应力分析 最大的拉应力出现在跨中截面的右上角点，最大压应力出现在左下角点。 z z y y W M W M max ,max ,max + = + σ 式中，32 232266*********mm hb W y ≈?== 32 24693336 1601106mm bh W z ≈?== MPa mm mm N mm mm N 54.1046933310864.232266710432.13 636max =??+??=+ σ （4）强度分析 因为MPa 54.10max =+σ，MPa 12][=σ，即][max σσ<+，所以杉木的强度足够。 （5）变形分析 最大挠度出现在跨中，查表得： z y cy EI l q w 38454 = ，y z cz EI l q w 38454 =
8-2 人字架及承受的荷载如图所示。试求m-m 截面上的最大正应力和A 点的正应力。 m 解：（1）外力分析，判变形。由对称性可知，A 、C 两处的约束反力为P/2 ，主动力、约束反力均在在纵向对称面内，简支折将发生压弯组合变形。引起弯曲的分力沿y 轴，中性轴z 过形心与对称轴y 轴垂直。 截面关于y 轴对称，形心及惯性矩 1122123 122 32 8444 A A 20010050200100(100100) 125A +A 200100+200100 200100200100(12550)12100200100200(300125100)12 3.0810 3.0810C z z z y y y I I I -+??+??+= ==???=+=+??-?++??--=?=?mm mm m (2)内力分析，判危险面：沿距B 端300毫米的m-m 横截面将人字架切开，取由左边部分为研究对象，受力如图所示。梁上各横截面上轴力为常数： ,m-m 250(1.80.3sin )(1.80.3202.5(k 22250cos =100(k ) 22y N P M P F ??= ?-=?-=?=?=N m) N (3)应力分析，判危险点，如右所示图 ①m-m 截面上边缘既有比下边缘较大的弯曲压应力，还有轴力应力的压应力，故该面上边缘是出现最大压应力。
m m max 33410010202.510(0.30.125)(Pa) 2.5115.06MPa 117.56MPa 2(0.20.1) 3.0810 N z F M y A I σ ---= +?-??=-?-=--=-???上② A 点是压缩区的点，故 m m 334 10010202.510(0.30.1250.1)(Pa) 2.549.31MPa 51.83MPa 2(0.20.1) 3.0810N a a z F M y A I σ--= +?-??=-?--=--=-???注意：最大拉应力出现在下边缘 m m max 3 3 4 10010202.510 0.125(Pa) 2.582.18MPa 79.68MPa 2(0.20.1) 3.0810N z F M y A I σ ---=+?-??= +?=-+=???下 8-3 图示起重机的最大起吊重量为W=35kN ，横梁AC 由两根NO.18槽钢组成。 材料为Q235，许用应力[σ]=120MPa 。试校核横梁的强度。 (a ) Ay (b) 解：〈1〉外力分析：外力在纵向对称面内与轴斜交，故梁AC 发生压弯组合变形。对C 取矩BA 杆所受拉力为： 70(3.5) ()0sin 30 3.535(3.5)070203.5 C AB AB x m F F x F x ?-=→?-?-=→= -∑=kN 2〉内力分析： 轴力、弯矩均是x 的函数
第十一章组合变形 2.5 组合变形 一、教学目标 1、掌握组合变形的概念。 2、掌握斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的概念和区分、危险截面和危险点的确定、应力计算、强度计算、变形计算、中性轴的确定等。 3、正确区分斜弯曲和平面弯曲。 4、了解截面核心的概念、常见截面的截面核心计算。 二、教学内容 1、讲解组合变形的概念及组合变形的一般计算方法：叠加法。 2、举例介绍斜弯曲和平面弯曲的区别。 3、讲解斜弯曲的应力计算、中性轴位置的确定、危险点的确立、强度计算、变形计算。 4、讲解弯曲和扭转组合变形内力计算，确定危险截面和危险点，强度计算。 5、讲解拉伸(压缩)和弯曲组合变形的危险截面和危险点分析、强度计算。 6、讲解偏心拉伸(压缩)组合变形的危险截面和危险点分析、应力计算、强度计算。 7、简单介绍截面核心的概念和计算。 三、重点难点 重点：斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的应力和强度计算。 难点： 1、解决组合变形问题最关键的一步是将组合变形分解为两种或两种以上的基本变形： 斜弯曲——分解为两个形心主惯性平面内的平面弯曲； 弯曲和扭转组合变形——分解为平面弯曲和扭转；
拉伸（压缩）和弯曲组合变形——分解为轴向拉伸（压缩）和平面弯曲（因剪力较小通常忽略不计）； 偏心拉伸（压缩）组合变形——单向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和一个平面弯曲，双向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和两个形心主惯性平面内的平面弯曲。 2、组合变形的强度计算，可归纳为两类： ⑴危险点为单向应力状态：斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）组合变形的强度计算时只需求出危险点的最大正应力并与材料的许用正应力比较即可； ⑵危险点为复杂应力状态：弯扭组合变形的强度计算时，危险点处于复杂应力状态，必须考虑强度理论。 四、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 五、学时:2学时 六、讲课提纲 (一)斜弯曲 斜弯曲梁的变形计算 仍以矩形截面的悬臂梁为例：
第八章组合变形 目录 第八章组合变形 (2) §8.1 组合变形和叠加原理 (2) 一、组合变形的概念 (2) 二、组合变形的计算方法 (2) §8.2 斜弯曲 (2) 一、斜弯曲的概念 (2) 二、斜弯曲的应力计算 (2) §8.4 扭转与弯曲的组合 (4) 一、基本概念 (4) 二、扭转与弯曲的组合的应力计算 (4) 三、强度条件 (5) §8.3 拉伸或压缩与弯曲的组合 (8) 一、基本概念 (8) 二、拉伸或压缩与弯曲的组合的应力计算 (8)
第八章 组合变形 §8.1 组合变形和叠加原理 一、组合变形的概念 由两种或两种基本变形的组合而成的变形。 例如：转扬机，牛腿，水坝，烟囱等。 二、组合变形的计算方法 由于应力及变形均是荷载的一次函数，所以采用叠加法计算组合变形的应力和变形。 §8.2 斜弯曲 一、斜弯曲的概念 若梁作用的载荷的荷载不在同一平面内或虽在同一平面但并不位于梁的一个形心主惯性矩内，这时梁发生非平面弯曲。这种非平面弯曲可分解为两个平面弯曲。两个互相垂直平面弯曲的组合，构成斜弯曲或双向弯曲。 二、斜弯曲的应力计算 1. 外力的分解 对于任意分布横向力作用下的梁，先将任意分布的横向力向梁的两相互垂直的形心主惯性矩平面分解，得到位于两形心主惯性矩平面内的两组力。位于形心主惯性平面内的每组外力都使梁发生平面弯曲。如上所示简支梁。 2. 内力计算 形心主惯性平面xOy 内所有平行于y 轴的外力将引起横截面上的弯矩z M ，按弯曲内力的计算方法可以列出弯矩方程z M 或画出z M 的弯矩图。同样，形心主惯性平面xOz 内所有平行于z 轴的外力将引起横截面上的弯矩y M ，也可列出
第八章 组合变形 内容提要 一、组合变形综述 组合变形：拉伸、压缩、弯曲、剪切、扭转称为基本变形。构件同时产生两种或两种以上的基本变形时称为组合变形。 组合变形的计算方法：在小变形且材料在线弹性范围内工作时，将组合变形分解成几种基本变形，分别计算各基本变形时的应力和位移，将其各自叠加，可得到组合变形时的应力和位移。 二、斜弯曲 斜弯曲的概念：在横力弯曲时，设梁上的横向力通过横截面的弯曲中心(梁不产生扭转变形)。当横向力的方向和横截面的形心主轴平行时，梁产生平面弯曲，即外力作用面和挠曲面平行；当横向力方向和横截面的形心主轴不平行时，梁产生斜弯曲，即外力作用面和挠曲面不平行。斜弯曲时，外力和中性轴不垂直，挠度仍垂直于中性轴。 斜弯曲的计算方法：将横向力向两个形心主轴方向分解，在两个形心主轴方向的横向力作用下，梁在两个形心主惯性平面内分别发生平面弯曲。分别计算两个平面弯曲时的应力和位移，将其各自叠加，就得到斜弯曲时的应力和位移。 ▲正多边截面梁，不会产生斜弯曲。 ▲横截面具有外棱角(例如工字形、矩形、角形等)时，危险点位于危险截面的角点处，该处为单向应力状态，其强度条件为 []max σσ≤ (8-1) ▲圆截面梁，不会产生斜弯曲，且圆截面对任一形心轴的弯曲截面系数均为3 32 d W π= (d 为圆截面的直径)。于是 max M M W σ? =? ?=? ? (8-2) 式中，y M 、z M 分别为绕y 、z 轴的弯矩，M 为总弯矩，M 的矢量方向为中性轴，max σ发生在图中的a 和b 点处。 三、拉伸(压缩)与弯曲 Ⅰ、构件发生拉伸(压缩)与弯曲组合变形时，分别计算其中拉伸(压缩)与弯曲时的应力，并将其叠加就得到组合变形的应力。 II 、构件受偏心拉伸(压缩)荷载作用时，将偏心力向横截面的形心简化，得到一轴向荷载以及绕横截面的形心主轴弯曲的弯矩y M 和z M 。偏心拉伸(压缩)仍然是拉伸(压缩)与弯曲的组合变形问题。 1、横截面具有外棱角(例如工字形、矩形等)时，危险点在横截面的外角点处，该点处于单向应力状态，只需计算出最大正应力，便可建立强度条件。
第八章组合变形 8.1 组合变形和叠加原理 一、组合变形的概念 1. 简单基本变形：拉、压、剪、弯、扭。 2. 组合变形：由两种或两种基本变形的组合而成的变形。 例如：烟囱、传动轴、吊车梁的立柱等。 烟囱：自重引起轴向压缩+ 水平方向的风力而引起弯曲； 传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲+ 扭转 立柱：荷载不过轴线，为压缩= 轴向压缩+ 纯弯曲
P h g 水坝 q P h g 二、组合变形的计算方法 1. 由于应力及变形均是荷载的一次函数，所以采用叠加法计算组合变形的应力和变形。 2. 求解步骤
①外力分解和简化 ②内力分析——确定危险面。 ③应力分析：确定危险面上的应力分布，建立危险点的强度条件。 §8.2 斜弯曲 一、 斜弯曲的概念 1. 平面弯曲：横向力通过弯曲中心，与一个形心主惯性轴方向平行,挠曲线在纵向对称面内。 2. 斜弯曲：横向力通过弯曲中心，但不与形心主惯性轴平行挠曲线不位于外力所在的纵向平面内。 二、斜弯曲的应力计算 1. 外力的分解 对于任意分布横向力作用下的梁，先将任意分布的横向力向梁的两相互垂直的形心主惯性矩平面分解，得到位于两形心主惯性矩平面内的两组力。位于形心主惯性平面内的每组外力都使梁发生平面弯曲。如上所示简支梁。 2. 内力计算 形心主惯性平面xOy 内所有平行于y 轴的外力将引起横截面上的弯矩z M ，按弯曲内力的计算方法可以列出弯矩方程z M 或画出z M 的弯矩图。同样，形心主惯性平面xOz 内所有平行于z M 矩方程y M 或画出其弯矩图。 合成弯矩：2 Z 2y M M M += 合成弯矩矢量M 与y 轴的夹角为： y z M M tan =? 以上弯矩z M 和y M 均取绝对值计算， 由力偶的矢量表示法可知，合成弯矩M 3. 计算 x