第八章杆类构件的强度与刚度设计
------- 材料力学教案
第八章杆类构件的强度与刚度设计
杆类构件包括杆、梁、轴和柱。在常温、静载荷作用下，杆、梁、轴的设计主要涉及强度设计和刚度设计；柱的设计，除了满足强度要求外还需要满足稳定性要求。
本章主要涉及杆类构件在静荷载作用下的强度和刚度设计。关于柱的稳定性设计将在以
后的章节中详细介绍，而轴的疲劳强度设计，将在专题中或其它课程中讨论。
8-1 设计原则与设计过程
1 强度设计
杆类构件在外载荷作用下，由内力分析，建立杆件横截面内力沿杆长方向分布变化的规律，绘制内力图，从内力的变化中找到内力最大的截面，从而确定可能最先发生强度失效的那些截面，称为危险截面。
通过应力分析，建立横截面上应力分布规律，确定危险截面上哪些点最先可能发生强度失效，这些点称为危险点。
强度失效不仅与应力大小有关，而且与危险点的应力状态有关。因此，根据材料性能和应力状态，首先判断可能的失效形式（屈服还是断裂）从而选择相应的设计准则；然后根据设计准则，由不同的工程要求进行下列几方面的计算（以拉伸杆件为例）：
强度校核：当外力、杆件各部分尺寸及材料许用应力均为已知时，验证危险点的应力强度是否满足设计准则。
截面设计：当外力及材料许用应力为已知时根据设计准则设计杆件横截面尺寸。确定许可载荷：当杆件各部分尺寸及材料许用应力已知时，确定构件或结构所能承受的最大载荷。
选择材料：当外力、杆件各部分尺寸已知时，根据经济安全的原则以及其它工程要求，选择合适的材料。
2 刚度设计
刚度设计就是根据工程要求，对构件进行设计，以保证在确定的外部荷载作用下，构件的弹性位移（最大位移或者指定位置处的位移）不超过规定的数值。于是
对于拉压杆，刚度设计准则为
u N u N （8-1）
式中,u N 为轴向位移；u N 为许用轴向位移。
对于梁，刚度设计准则为
w w （8-2 ）
（8-3）
式中，w和分别为梁的挠度和转角；［W］和［］分别为许用挠度和许用转角。对于受扭圆轴，刚度设计准则为
8-4)
(8-5 )
式中，和分别为圆轴两指定截面的相对扭转角和单位长度相对扭转角；和—均
l
为许用值。
需要指出的是，对于拉压杆件，强度设计是主要的，只是在一些对刚度有特殊要求的场合才要求刚度设计。
§ 8-2拉压杆件的强度设计
工程中有一些简单结构是由拉压杆通过焊接、铆接、销钉连接以至胶粘连接而成（图8-1）。为保证这类结构在确定荷载作用下安全可靠地工作，需对拉压杆及连接件（或连接部位）作强度设计。
拉压杆与连接件的强度设计差异较大，故将分别加以介绍。
拉压杆的特点是横截面上正应力均匀分布，而且各点均处于单向应力状态，故可直接应用第7章中的失效判据式，在等式右边除以安全因数，并将等号变为不等号，得到相应的设计准则，即
图8-1
F N
(8-6)
A
[] —（对韧性材料）(8-7)
（对脆性材料）
n b
上述设计也可以从第七章的屈服准则和断裂准则演变而来。
例题8 —1结构尺寸及受力如图8-2所示。设AB, CD均为刚体，BC和EF为圆截面钢杆。钢杆直径为d 25mm，二杆材料均为Q235钢，其许用应力[]160MP a。若已知荷载F p 39kN，试校核此结构的强度是否安全。
解：1•分析危险状态
该结构的强度与杆BC和EF的强度有关，在强度校核之前，应先判断哪一根杆最危险。现二杆直径及材料均相同，故受力大的杆最危险。为确定危险杆件，需先作受力分析。
研究AB、CD的平衡（图8—2b）:
M A 0
M D 0
得到
F N1 3.75m F P 3m 0
F N1 3.8m F N2 3.2msi n30°0
由此解得
39 103 3 3
F NI（）N 31.2 10 N 31.2kN
3.75
3
F N2（泊10― ）N 74.1 103N 74. IkN
1.6
(8-8 )
4
可见杆EF 为受力最大，故其为危险杆
2. 计算应力 杆EF 横截面上应力
F N 2 74.1 103 4
6
兴 (
2 討Pa 151 10 Pa 151MPa
d /4
25 10
3. 校核是否满足设计准则
因为 =160Mpa ，而b =151Mpa ，所以满足设计准则
可见杆EF 的强度是安全的，亦即整个结构的强度是安全的。
例题8-2 上例中若杆BC 和杆EF 的直径均为未知，其他条件不变。试设计二杆所需 的直径。 解：二杆材料相同，受力不同，故所需直径不同。设杆 d 2,则由设计准则有
F N1 ~2 d 1 /4
F N 2
d 22/4
应用上题中受力分析的结果，得到
例题8-3 例题8-1中的杆BC 、EF 直径均为d=30mm , [ b ]=160Mpa ，其他条件不变。 试确定此时结构所能承受的许可荷载
[Fp]。
解：根据例题8-1中的分析，杆EF 为危险杆，由平衡方程得到其受力
F N 2
应用设计准则
F N2
BC 、EF 的直径分别为 d 1和
C 4 31・2 1036 )m -3.14 160 106 4 74.1 103 3.14 160 106 )m
15.8 10 3m 24.3 10 3m
15.8mm
24.3mm
—F P — 381.9F P
(3.2 0.5)m (3.75 3.2 0.5)m
d 1
d 2
得到
1.9F P 4
d2 []是。有
F P
2 6 6
3.14 302 10 6 160 1063 ( )N 59.52 10 N 59.52kN
1.9 4
亦即结构的许可荷载
[F P]=59.52K n
§ 8-3连接件的工程假定计算
螺栓、销钉和铆钉等工程上常用的连接件以及被连接的构件在连接处的应力，都属于所谓"加力点附近局部应力”。这些局部区域，在一般杆件的应力分析与强度计算中是不予考虑的。
由于应力的局部性质，连接件横截面上或被连接构件在连接处的应力分布是很复杂的，很难作出精确的理论分析。因此，在工程设计中大都采取假定计算方法，一是假定应力分布规律，由此计算应力；二是根据实物或模拟实验，由前面所述应力公式计算，得到连接件破坏时应力值；然后，再根据上述两方面假定得到的结果，建立设计准则，作为连接件设计的依据。
1剪切假定计算
当作为连接件的铆钉、销钉、键等零件承受一对大小相等、方向相反、作用线互相平
行且相距很近的力作用时，其主要失效形式之一是沿剪切面发生剪切破坏，如图8-3所示。这时在剪切面上既有弯矩又有剪力，但弯矩极小，故主要是剪力引起的剪切破坏。利用平
衡方程不难求得剪切面上的剪力。
一个剪切面
F；=F,
二个剪切面
■F Q
片一TD1
■ 1
图8-3图8-4
这时，剪切面上的切应力分布是比较复杂的，一般假定切应力在截面上均匀分布，于 是有
(8-9)
式中，A 为剪切面面积；F Q 为作用在该面上的剪力。
相应设计准则为
(8-10)
其中，[T ]为连接件许用切应力,
(8-11 )
b 是根据连接件实物或模拟剪切破坏实验得到破坏时的 F Qb 值，再由式(8-9)算得的。
剪切假定计算中的许用切应力 [T ]与拉伸许用应力有关，对于钢材：
[T ]=(0.75~0.80)[ d ]
需要注意，在计算中要正确确定有几个剪切面，以及每个剪切面上的剪力。例如，图 8-3所示的铆钉只有一个剪切面；而图
8-4所示的则为有两个剪切面的情形。
2挤压假定计算
在承载的情形下，连接件与其所连接的构件相互接触并产生挤压，因而在二者接触面 的局部区域产生较大的接触应力，称为
挤压应力，用符号 c 表示。挤压应力是垂直于接触
面的正应力。这种挤压应力过大时，亦将在二者接触的局部区域产生过量的塑性变形，从 而导致二者失效。
挤压接触面上的应力分布同样也是比较复杂的。因此在工程计算中，也是采用简化方 法，即假定挤压应力在有效挤压面上均匀分布。有效挤压面简称挤压面，它是指挤压面面 积在垂直于总挤压力作用线平面上的投影，如图
8-5所示。若连接件直径为 d 连接板厚度
为3,，则有效挤压面面积为3 d 。于是，挤压应力为
图8-5连接件挤压假定计算示意图
F Q
A
b
n b
F
pc
A
F Pc
d
(8-12)
c
[C ]为挤压许用应力。对于钢材[d C ]=(1.7~2.0)[ d ],
其中[d ]为拉伸许用应力。
例题8-4 图8-6示的钢板铆接件中，已知钢板的拉伸许用应力[d ]=98Mpa ，挤压许用 应力[d
c ]=196Mpa ，钢板厚度
3 =10mm ，宽度b=100mm ，铆钉直径 d=17mm ，铆钉许用切 应力[]=137Mpa ，挤压许用
应力[d c ]=314Mpa 。若铆接件承受的荷载 Fp=23.5KN 。试校 核钢板与销钉的强度。
相应的强度设计准则为 F
pc
d
[c ]
(8-13)
式中，F PC 为作用在连接件上的总压力;
解：对于钢板，由于自铆钉孔边缘线至板端部的距离比较大，该处钢板纵向承受剪切的 面积较大，因而具有较高的抗剪切强度。因此，本例中只需校核钢板的拉伸强度和挤压强 度，以及铆钉的挤压和剪切强度。现分别计算如下。 1.对于钢板
拉伸强度：考虑到铆钉孔对钢板的削弱，有
F P
(b d)
[ ______
23.5 103 [(100 17) 10 3
10 10
3
]Pa
28.3 106Pa 28.3MPa
[ ] 98MPa
故钢板的拉伸强度是安全的。
挤压强度：在图中所示的受力情况下，钢板所受的总挤压力为 d 。于是有
Fp ；有效挤压面为3
F P d [ 23.5 103 I 3 (100 17) 10 10 10
138 106 Pa 138MPa [ C ] 196MPa
故钢板的挤压强度也是安全的。
2.对于销钉
剪切强度：在图8-6所示情形下，例钉有两个剪切面，每个剪切面上的剪力 于是有
51.8 106 Pa 51.8MPa
[ ] 137MPa
故铆钉的剪切强度是安全的。
挤压强度：铆钉的总挤压力与有效挤压面面积均与钢板相同，而且挤压许用应力较钢 板为高，因钢板的挤压强度已校核是安全的，故无需重复计算。
【例题8-7] 托架堂力如图8 - Jia 所示。试：
1已知控制杆心 由钢制成，其强度板限= 600 VTP 「安全因数壮=
例题 卡汁旧屯沦 1. 2一匸处的销钉由钢制成，.其刖切强度极限珂=3刃
氏卸杆的直径。 2. C 。求销钉的直径。
3.
板厚度施
M e 0, F x 0 和 F y 0,求得
F=40kN
F cX =40kN, F cY =65kN, F c =76。3kN 。
式中，F c 为F ex 与F ey 的合力
1 .确定控制杆的直径 根据拉压杆的强度设计准则
F Q =Fp/2，
F Q
F P /2 2F P
2 2
d /4 d 2
(2 23.5 103
3.14 172 10
6
)Pa
解：首先确定控制杆、销钉和支承的受力，如图 8 — 7b 所示。根据平衡方程
图8 — 7例题8 — 5图
由此解得:
( 76.3 103
(2 21.4 10 3 300 106
5.94 10 3 m 5.94mm
n b
4F d ；B
d AB
6 600 10
)m
16.74 10 3m 16.74mm
2. 计算销钉直径
销钉受力如图8- 7c 所示，它承受剪切，有两个剪切面。于是，有
F Q A
b
n b
其中，F (=F c /2，A = d C /4，代入上式后，解得
d c
2F C n b
2 76.
3 103 V 350 106 )m
0.0214m 21.4mm
3. 确定支承C 的厚度
支承承受挤压，每个挤压面上作用的挤压力为
F C /2，于是，有
F/2 d
[C ]
F C 2d[ c ]
)m
b
n b 4Fn b
3
4 40 10
3.3
§ 8-4梁的强度设计
1危险截面的确定
在一般情况下，梁的各个截面上的剪力和弯矩是不相等的。有可能在一个或几个横截面
上出现弯矩最大值或剪力最大值；也可能在同一截面上，剪力和弯矩虽然不是最大值，但数值都比较大。这些截面都是可能的危险截面。
例如图8-8所示的截面A（或B）、C分别为最大剪力和最大弯矩作用面，故为危险截面；
而图8-9所示的梁上，除F Qmax、M max作用的截面A、D夕卜，截面B由于其上的F Q、M都比较大，也可能是危险截面。
除了根据剪力图和弯矩图判断危险截面外, 有时还要根据截面的形状和尺寸以及材料的
力学性能等方面综合考虑，确定其它可能的危险截面。
大多数情形下，横截面上既有正应力
又有切应力，而且二者都是非均匀分布
的。于是，在梁内可能存在着三类危险
点：第一类是正应力最大点，这些点一般
位于弯矩最大的截面上且为距中性轴最远
的点，即截面上、下边缘上各点；第二类
是切应力最大点，这些点一般位于剪力最
大的截面上，对于常见的实心截面，这些
点位于中性轴上，对于开口薄壁截面则不
一定在中性轴上；第三类是正应力和切应
力都比较大的点，这些点一般位于F Q、M
都比较大的截面上，既不在最大正应力
处，也不在最大切应力处，而是在截面
上、下缘与中性轴之间的某个位置上，例
如工字形截面的翼缘与腹板交界处。图8-
10所示的外伸梁，
图8 - 8
除了存在危险截面外，梁强度问题的另一特点是,
支座B 的左侧截面既是|F Q |max 又是|M| max 作用面，故为危险截面。其上的点 1、5为b max 作
用点；点3为T max 作用点；点2、4为b 、T 都较大的点。
2三类危险点的的应力状态与设计准则
根据以上分析，不难确定，梁中的三类危险点分属于三种不同的应力状态，如图 8-11
所示。可见，对于这种只承受最大拉、压应力的点为单向应力状态；对于承受最大切应力
对于平面应力状态
1 2
在上述应力状态下，杆件的失效形式主要取决于材料的力学性能。 即若为脆性材料则发 生断裂；若为韧性材料则发生屈服。据此即可建立三类危险点的失效判据， 从而建立梁的强 度设计准则。
对于最大拉（压）应力作用的危险点，无论是脆性材料还是韧性材料，无论采用哪一种失 效判据，所得到的设计准则都具有相同的形式：
(8-14)
对于拉压强度不等的材料 ，则分别采用
(8-15) max
（ 8-16）
式中，[b ]+= b /n b 、[ b ]-= b /n b ； b 和b 分别为拉伸时的强度极限和压缩时的强度 极限。
的点，因为横截面上无正应力作用，
故为纯切应力状态； 对于
T 作用的点，为平面应力状态。当然，前两种应力状态也都是 应用第5
章中介绍的解析法或应力圆不难确定上述三类 危险点的主应力。
对于单向应力状态：
既有正应力b 又有切应力 平面应力状态的特例。
（最大拉应力点）
或是
min
（最大压应力点）
对于纯切应力状态
1 max ，
min
max
max
对于最大切应力作用的危险点 ，若为脆性材料，则根据最大拉应力准则
1 ，得
到设计准则为
max
(8-17)
式中,[d ]= d b /n b 为材料的拉伸强度极限。若为韧性材料，则根据最大切应力准则为
(8-20)
式中，，[d ]= d b /n b ； d b 为材料的拉伸强度极限。若为韧性材料，则对应于最大切应力准则 和畸变能密度准则，分别有
(8-21)
(8-22)
式中，[d ]= d s /n s o
3梁的强度设计程序与应用举例
对于韧性材料，由于弯曲正应力分布的不均匀性，当危险点的应力达到屈服应力时， 该点发生屈服。但其他各点的应力仍未达到屈服应为值，因而不会导致整个杆件丧失承载 能力。于是，工程上规定承弯杆件的许用正应力略高于拉伸许用应力，约高 20%~50% o 一
般取为拉伸许用应力的 1.2倍。
对于脆性材料，如铸铁等，由于材料本身的不均匀性
（如内部夹杂物、缺陷、气孔等
）,
以及弯曲正应力的非均匀分布，最大应力作用区远小于较小应力作用区。于是，缺陷在最 大应力区域内引起破坏的概率，比在低应力区的概率要小得多。因此，脆性材料弯曲许用 拉应力要比拉伸时高得多。例如，对于灰铸铁，弯曲许用拉应力要比拉伸时高
70%~110%。
.2 1
2 2
2
2
3
3
2 1
得到
1
或
max
二
2
1
max
—'
V3
(8-18)
(8-19)
对于既有正应力又有切应力作用的危险点
，若为脆性材料，则有
r3
r4
或畸变能密度准则
式中，[d ]= d s /n s ；d s 为材料的拉伸屈服应力。
4•梁的强度设计程序与应用举例
强度设计通常包含解决下列三类强度问题：
强度校核、截面形状与尺寸设计、确定许
用荷载。根据前述设计准则，强度设计一般应遵循以下计算程序。 •首先要正确地画出剪力图和弯矩图，确定 |F Q |max 、|M |max 作用面以及它们的数值，
以便确定可能危险截面。
•根据危险截面上内力的实际方向，确定应力分布以及b
max 和T max 的作用点，综合考
虑材料的力学性能，确定可能的危险点。
•根据危险点的应力状态，区分脆性材料与韧性材料，选择合适的设计准则，解决不同 类型的强度问题。
对于强度校核，只需对三类危险点验算式 (8-17)~(8-22)中相关的强度设计准则是否得以 满足。若满足则杆件强度安全；否则不安全。
对于截面尺寸设计，若材料的拉压许用应力相等，可先按照最大正应力点的设计准则式 (8-17)，确定所需的最小弯曲截面系数
对于拉压许用应力不等的脆性材料，
贝U 按式(8-15)和式(8-16)计算。进而根据截面的形状
确定截面的尺寸。确定截面尺寸之后，再对第二类和第三类危险点的强度加以校核。 若强度
满足要求，设计即告完成；否则还要改变截面或尺寸，再一次对第二、 三类危险点进行强度
校核，直至所有可能危险点都满足设计准则为止。
计算梁所能承受的最大荷载时
，也是先从最大正应力点的设计准则式
(8-14)或式(8-15)
和式(8-16)出发，计算出许可荷载值，然后再对第二类和第三类危险点按前述步骤作强度校 核。
需要指出的是，对于实心截面杆件， 在一般受力形式下， 横截面上的正应力远大于切应 力，多数情形下，只要保证最大正应力点具有足够的强度，就可以保证第二、三类危险点具 有足够的强度，因而可以不对这两类危险点进行强度校核。
对于薄壁截面，特别是非轧制型
钢的组合截面，这两类危险点都要校核其强度。
下面举例说明梁的强度设计问题。
例题8 — 6空心活塞销受力如图 8- 12a 所示。已知F p max 7000N 。销子各段可近 似视为承受均布荷载。 销子由钢材制成，许用应力[]240MPa 。试校核最大正应力与最 大切应力作用点的强度。
解：1.作销子的受力简图与剪力图、弯矩图，判断危险截面
销子在AB,BC,CD 三段都承受均布荷载作用，但段AB,CD 与段BC 的荷载方 向和荷 载集度不同。由此可以画出销子的计算简图如图
8— 12b 所示，其中，
7000
3
q 1 ( -
)N /m 140 103N /m 140kN /m
2 25 10 3
7000 3
q 2
(
3)N /m 233.3 10
-
N/m 233.3kN/m
2 15 10
W min
max
(8-23)
根据上述计算简图，可以作出如图 8- 12c 所示的剪力图和弯矩图，从图中可以看出: 销子中间截面上弯矩最大，其值为
|M 匾 7.00 10 2kNm
2•计算销子的弯曲截面系数 圆管弯曲截面系数
0.645 10 6m 3
0.645 103mm 3
3.校核最大正应力作用点的强度
最大正应力发生在最大弯矩作用面的上、下两点，其应力值为为
6
108.5 10 Pa 108.5MPa
[]
故销子上最大正应力作用点的强度足够，销子是安全的。
4•校核最大切应力作用点的强度 根据第四章，圆管截面上的最大弯曲切应力
F
Q
A
其中，F Q 为截面上的剪力。现在要进行强度校核，因而必须采用梁内的最大剪力。由剪力 图可知，B 、C 两处截面上剪力最大，其值为
|F Q |max =3.50kN
—1 32 max
2
3
| 7.00 10
10 |
0.645 10
Pa
（作用在中性轴上各点）为
max
/ 13 3\4 6 3
（刃 10
） ]
10 }m
（图 8-12）
上式中A 为圆管横截面面积，即
A —(D 2 d 2) [- (202 132) 10 6]m 2 1.81 10 4m 2 1.81 102mm 2 4 4
于是，得到销子中的最大弯曲切应力为
1
根据最大切应力失效准则式(8-18)， max
，所以销子上最大弯曲切应力作用
2
点的强度也是安全的。
从以上计算结果可以看出，最大弯矩与最大剪力不在同一横截面上；最大正应力与 最大切应力也不在同一点上，前者发生在中间截面的上、下两点，后者发生在截面 B 、
C 中性轴上各点。
例题8 — 7图8 — 13a 所示的简支梁由 No.20a 普通热轧工字钢制成。若已知工字钢材
料的许用应力[]157MPa,l 2000mm 。试求许可荷载[F P ]。
解： 因为在细长梁中，正应力对强度的影响是主要的，
所以本例中先按最大正应力作
用点的强度计算许可荷载，然后，再对最大切应力作用点进行强度校核。
1•按最大正应力作用点的强度计算许可荷载 首先,画出梁的剪力图和弯矩图分别如图 8-13b 、c 所示。 由弯矩图可以看出，C 、D 两处截面上的弯矩最大，故为危险截面，其上的弯矩值为
max
(2 3
3.50 10
1.81 102 10 6
)Pa 38.7 106
Pa 38.7MPa 图 8-13
| M |max
孚
3
由型钢表查得 No 。20a 普通热轧工字钢的弯曲截面系数为
W 237cm 3
237 10 6m 3
由此解得
1
=78.5Mpa ,故梁上最大切应力作用点的强度是
2
足够的。因此，该梁的许可荷载为
[F p ]=55.8kN
例题8 — 8由铸铁制造的外伸梁，受力及横截面尺寸如图 8 — 14a 所示，其中z 为中性轴。 已知铸铁的拉伸许用应力[d ]+=393 Mpa ,压缩许用应力为[d ]—=58.8Mpa , I z =7.65X 106mm 4。 试校核该梁强度。
于是由 man
max
，得
F p l/3 3
237 10 6
m
6
157 10 Pa
F P
(3
6
237 10
157 2000
疋)N 55.8 103 N 55.8kN
2.对于工字钢，梁内最大弯曲切应力
*
S max
max
F Q
max
max
I
* S
max
其中最大剪力由剪力图可得
F Q
max
3为工字钢腹板厚度（型钢表中为 No.20a 普通热轧工字钢，查得
3 =d=7mm
I / S max =17.2cm=0.172m
将上述数值，连同所求得的
Fp 值，代人前式中，得
I F P
d ）以及I /S ；ax （型钢表中为l/S z ）均可由型钢表查得。对于
max
2 55.8 103
3 7
10 3 0.127 Pa 30.9MPa 根据最大切应力设计准则, max
解：因为梁的截面没有水平对称轴，所以其横截面上的最大拉应力与最大压应力不相 等。同时梁的材料为铸铁，其拉伸与压缩许用应力不等。因此，判断危险截面位置时，除 弯矩图外，还应考虑上述因素。
梁的弯矩图如图8- 14b 所示。可以看出，截面 B 上的弯矩绝对值最大，为可能的危险 截面之一。在截面 D 上，弯矩虽然比截面 B 上的弯矩小，但根据该截面上的弯矩的实际方 向，如图8- 14c 所示，其上边缘的各点受压应力，下边缘各点受拉应力，并且由于受拉边 到中性轴的距离较大，拉应力也比较大，而材料的拉伸许用应力低于压缩许用应力，
所以截
面D 亦可能为危险截面。现分别校核这两个截面的强度。
对于截面B ，弯矩为负，其绝对值为
| M B | (4.5 103 1)Nm 4.5 103 Nm 4.5kNm
其方向如图8-14c 所示。由弯矩实际方向可以确定该截 面上点1受压、点2受拉，应力值分别为
6
30.6 10 Pa 30.6MPa
[]
对于被面D ，其上的弯矩为正，其值为
点2:
M B y max
(4.5
103 88 10 3 I z
(
7.65 10
6
6
51.8 10 Pa 51.8M
P a [] M x y max
4.5 103 52 10 3
7.65 10 6
)Pa 图 8-14
)Pa
I Z
3 3
M D (3.75 10 1)Nm 3.75 10 Nm 3.75kNm
其方向如图8 —14c所示。已经指出，点3受拉，点4受压，但点4的压应力要比截面B上点1的压应力小，所以只需校核点3的拉应力。
3 3
点3: M D y max(—88610)Pa 43 1 106 Pa
I Z7.65 10
43.1MPa []
因此，截面D的强度是不安全的，亦即该梁的强度不安全。
§ 8—5轴的静载强度设计
1承受弯曲与扭转的圆轴
借助于带轮或齿轮传递功率的传动轴，如图8-15所示。工作时在齿轮的轮齿上均有外力作用。将作用在轮齿上的力向轴的截面形心简化便得到相当的力和力偶，这表明轴将承受横向荷载和扭转荷载，如图8-15b所示。为简单起见，可以用轴线受力图代替图8-15b中的
受力图，如图8-23C所示。这种图称为传动轴的计算简图。
对承受弯曲与扭转组合作用下的圆轴作强度设计，一般需画出弯短图和扭矩图(剪力一
般忽略不计)并据此确定传动轴上可能的危险截面。因为是圆截面，所以当危险截面上有两个弯矩M y和M z 同时作用时，应按求矢量的方法，确定危险截面上总弯矩M的大小
与方向(图8-16a、b)。
图8-16
M y2
根据截面上的总弯矩M和扭矩M x的实际方向，以及它们分别产生的正应力和切应力
分布，即可确定承受弯曲与扭转圆轴的危险点及其应力状态，如图8-17a、b所示。截面上
的正应力和切应力分别为
式中，d为圆轴的直径。
这一应力状态与梁内第三类危险点的应力状态相同，因为轴一般由韧性材料制成，故
可用最大切应力准则和畸变能密度准则作为强度设计的依据，利用（8-21 ）、（8-22 ）式，即
r3 r4
W代入上式，并考虑到叫'便得到
引入记号
M x
W P
其中
32
W P
16
r3
M y M；
(8-24) r4
0.75M M y M；
(8-25)
图8-17
2
2
x
杆件的强度、刚度和稳定性计算 1.构件的承载能力，指的是什么 答：构件满足强度、刚度和稳定性要求的能力称为构件的承载能力。 (1)足够的强度。即要求构件应具有足够的抵抗破坏的能力，在荷载作用下不致于发生破坏。 (2)足够的刚度。即要求构件应具有足够的抵抗变形的能力，在荷载作用下不致于发生过大的变形而影响使用。 (3)足够的稳定性。即要求构件应具有保持原有平衡状态的能力，在荷载作用下不致于突然丧失稳定。 2.什么是应力、正应力、切应力应力的单位如何表示 答：内力在一点处的集度称为应力。 垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力，用σ表示；相切于截面的应力分量称切应力或切向应力，用τ表示。 应力的单位为Pa 。 1 Pa=1 N ／m 2 工程实际中应力数值较大，常用MPa 或GPa 作单位 1 MPa=106Pa 1 GPa=109Pa 3.应力和内力的关系是什么 答：内力在一点处的集度称为应力。 4.应变和变形有什么不同 答：单位长度上的变形称为应变。单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。单位横向长度上的变形称横向线应变，以ε/表示横向应变。 5.什么是线应变什么是横向应变什么是泊松比 答：（1）线应变 单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。对于轴力为常量的等截面直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为 l l ?= ε （4-2） 拉伸时ε为正，压缩时ε为负。线应变是无量纲（无单位）的量。 （2）横向应变 拉(压)杆产生纵向变形时，横向也产生变形。设杆件变形前的横向尺寸为a ，变形后为a 1，则横向变形为 a a a -=?1 横向应变ε/为 a a ?= /ε （4-3）
第八章杆类构件的强度与刚度设计 ————材料力学教案
第八章杆类构件的强度与刚度设计 杆类构件包括杆、梁、轴和柱。在常温、静载荷作用下，杆、梁、轴的设计主要涉及强度设计和刚度设计；柱的设计，除了满足强度要求外还需要满足稳定性要求。 本章主要涉及杆类构件在静荷载作用下的强度和刚度设计。关于柱的稳定性设计将在以后的章节中详细介绍，而轴的疲劳强度设计，将在专题中或其它课程中讨论。 8-1 设计原则与设计过程 1 强度设计 杆类构件在外载荷作用下，由内力分析，建立杆件横截面内力沿杆长方向分布变化的规律，绘制内力图，从内力的变化中找到内力最大的截面，从而确定可能最先发生强度失效的那些截面，称为危险截面。 通过应力分析，建立横截面上应力分布规律，确定危险截面上哪些点最先可能发生强度失效，这些点称为危险点。 强度失效不仅与应力大小有关，而且与危险点的应力状态有关。因此，根据材料性能和应力状态，首先判断可能的失效形式（屈服还是断裂）从而选择相应的设计准则；然后根据设计准则，由不同的工程要求进行下列几方面的计算（以拉伸杆件为例）： 强度校核：当外力、杆件各部分尺寸及材料许用应力均为已知时，验证危险点的应力强度是否满足设计准则。 截面设计：当外力及材料许用应力为已知时根据设计准则设计杆件横截面尺寸。确定许可载荷：当杆件各部分尺寸及材料许用应力已知时，确定构件或结构所能承受的最大载荷。 选择材料：当外力、杆件各部分尺寸已知时，根据经济安全的原则以及其它工程要求，选择合适的材料。 2 刚度设计 刚度设计就是根据工程要求，对构件进行设计，以保证在确定的外部荷载作用下，构件的弹性位移（最大位移或者指定位置处的位移）不超过规定的数值。于是对于拉压杆，刚度设计准则为 u N u N （8-1） , u N 为轴向位移；u N 为许用轴向位移。 式中 对于梁，刚度设计准则为 w w （8-2 ） （8-3）式中，w和分别为梁的挠度和转角；［w］和［］分别为许用挠度和 许用转角。 对于受扭圆轴，刚度设计准则为
建筑力学常见问题解答 4 杆件的强度、刚度和稳定性计算 1.构件的承载能力，指的是什么？ 答：构件满足强度、刚度和稳定性要求的能力称为构件的承载能力。 (1)足够的强度。即要求构件应具有足够的抵抗破坏的能力，在荷载作用下不致于发生破坏。 (2)足够的刚度。即要求构件应具有足够的抵抗变形的能力，在荷载作用下不致于发生过大的变形而影响使用。 (3)足够的稳定性。即要求构件应具有保持原有平衡状态的能力，在荷载作用下不致于突然丧失稳定。 2.什么是应力、正应力、切应力？应力的单位如何表示？ 答：内力在一点处的集度称为应力。 垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力，用ζ表示；相切于截面的应力分量称切应力或切向应力，用η表示。 应力的单位为Pa。 1 Pa=1 N／m2 工程实际中应力数值较大，常用MPa或GPa作单位 1 MPa=106Pa 1 GPa=109Pa 3.应力和内力的关系是什么？ 答：内力在一点处的集度称为应力。 4.应变和变形有什么不同？ 答：单位长度上的变形称为应变。单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。单位横向长度上的变形称横向线应变，以ε/表示横向应变。 5.什么是线应变？什么是横向应变？什么是泊松比？ 答：（1）线应变 单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。对于轴力为常量的等截面直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为 l l? = ε（4-2）拉伸时ε为正，压缩时ε为负。线应变是无量纲（无单位）的量。 （2）横向应变 拉(压)杆产生纵向变形时，横向也产生变形。设杆件变形前的横向尺寸为a，变形后为a1，则横向变形为 a a a- = ? 1
材料力学（土）笔记 第八章 组合变形及连接部分的计算 1．概 述 工程实际中，构件在荷载作用下往往发生两种或两种以上的基本变形 若几种变形所对应的应力（变形）属于同一数量级，则构件的变形成为组合变形 对于组合变形下的构件，在线弹性、小变形条件下，可按构件的原始形状和尺寸进行计算 可先将荷载简化为符合基本变形外力作用条件的外力系 分别计算构件在每一种基本变形下的内力、应力或变形 利用叠加原理，综合考虑各基本变形的组合情况 以确定构件的危险截面、危险点的位置及危险点的应力状态，并据此进行强度计算 若构件的组合变形超过了线弹性范围，或虽在线弹性范围内但变形较大 则不能按其初始形状或尺寸进行计算，不能用叠加原理 工程实际中，经常需要将构件相互连接 铆钉、螺栓、键等起连接作用的部件，统称为连接件 连接件（或构件连接处）的变形往往比较复杂，而其本身尺寸都比较小 在工程设计中，通常按照连接的破坏可能性 采用既能反映受力的基本特征，又能简化计算的假设，计算其名义应力 然后根据直接试验的结果，确定其相应的许用应力，来进行强度计算 这种简化计算的方法，称为工程实用计算法 2．两相互垂直平面内的弯曲 对于横截面具有对称轴的梁 当横向外力或外力偶作用在梁的纵向对称面内时，梁发生对称弯曲 这是，梁变形后的轴线是一条位于外力所在平面内的平面曲线 碰到双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内同时承受横向外力的作用情况 这时梁分别在水平纵对称面（Oxz 平面）和铅垂纵对称面（Oxy 平面）内发生对称弯曲 在梁的任意横截面m-m 上，由1F 和2F 引起的弯矩值依次为 1y M F x = 和 2()z M F x a =- 梁的任一横截面m-m 上任一点(,)C y z 处与弯矩y M 和z M 相应的正应力分别为 'y y M z I σ= 和 ''z z M y I σ=- 由叠加原理，在1F 和2F 同时作用下，截面m-m 上C 点处的正应力为 '''y z y z M M z y I I σσσ=+=- 式中y I 和z I 分别为横截面对于两对称轴y 和z 的惯性矩 y M 和z M 分别是截面上位于水平和铅垂对称平面内的弯矩 且其力矩矢量分别与y 轴和z 轴的正向相一致 在具体计算中，也可先不考虑弯矩和坐标的正负号，以其绝对值代入 然后根据梁在荷载分别作用下的变形情况，判断由其引起该点处正应力的正负号 为确定横截面上最大正应力点的位置，需求截面上中性轴的位置 由于中性轴上各点处的正应力均为零，令0y 、0z 代表中性轴上任一点的坐标 则由上式可得中性轴方程 000y z y z M M z y I I -=
第8章构件基本变形和强度分析 1．图示低碳钢拉伸曲线上强度极限对应于。 A．a点 B．b点 C．c点 D．d点 2．两根受相同轴向拉力作用的杆件，它们的材料和横截面面积相同，杆１的长度为杆２的２倍，试比较它们的轴力和轴向变形。正确结论为。A．两杆的轴力和轴向变形大小相同 B．两杆的轴力相同，杆１的轴向变形比杆2的小 C. 两杆的轴力相同，杆１的轴向变形比杆2的大 D. 两杆的变形相同，杆１的轴力比杆2大 3. 材料的塑性指标有。 A. σ c 和δ B. σ S 和ψ C. σ b 和δ D. δ和ψ 4. 截面上的内力大小。 A.与截面的尺寸和形状无关 B.与截面的尺寸有关，但与截面的形状无关 C.与截面的尺寸无关，但与截面的形状有关 D.与截面的尺寸和形状都有关 5. 在下列说法，是正确的。 A 内力随外力增大而增大 B 内力与外力无关 C 内力随外力增大而减小 D 内力沿杆轴是不变 6、塑性较好的材料在交变应力作用下，当危险点的最大应力远远低于材料的屈服极限时。 A、既不可能有明显塑性变形，也不可能发生断裂； B、虽可能有明显塑性变形，但不可能发生断裂； C、不仅可能有明显塑性变形，而且可能发生断裂；
D、虽不可能有明显塑性变形，但可能发生断裂。 7. 材料抵抗破坏的能力称为。 A 、强度B、硬度C、刚度 D、稳定性 8. 材料抵抗变形的能力称为。 A、强度 B 、硬度C、刚度 D、稳定性 9. 一阶梯形杆件受拉力Ｐ的作用，其截面1-1，2-2，3-3上的内力分别为N 1 ， N 2和N 3 ，三者的关系为。 A、N1≠N2≠N3 B 、N1＝N2＝N3 C、N1＝N2＞N3D、N1＝N2＜N3 10. 图示阶梯形杆，CD段为铝，横截面面积为A；BC和DE段为钢，横截面面积 均为2A。设1-1、2-2、3-3截面上的正应力分别为σ 1、σ 2 、σ 3 ，则其大小次序 为。 A、σ 1＞σ 2 =σ 3 B、σ 2 ＞σ 3 ＞σ 1 C 、σ 3＞σ 1 ＞σ 2 D、σ 2 ＞σ 1 ＞σ 3 11、在其他条件不变时，若受轴向拉伸的杆件横截面增加1倍，则杆件横截面上的正应力将减少到原来。 A、1倍 B、1/2倍 C、2/3倍 D、3/4倍。 12、在其他条件不变时，若受轴向拉伸的杆件长度增加1倍，则线应变将。
杆件的强度、刚度和稳定性计算 1.构件的承载能力，指的是什么答：构件满足强度、刚度和稳定性要求的能力称为构件的承载能力。 (1)足够的强度。即要求构件应具有足够的抵抗破坏的能力，在荷载作用下不致于发生破坏。 (2)足够的刚度。即要求构件应具有足够的抵抗变形的能力，在荷载作用下不致于发生过大的变形而影响使用。 (3)足够的稳定性。即要求构件应具有保持原有平衡状态的能力，在荷载作用下不致于突然丧失稳定。 2.什么是应力、正应力、切应力应力的单位如何表示答：内力在一点处的集度称为应力。 垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力，用6表示；相切于截面的应力分量称切应力或切向 应力，用T表示。 应力的单位为Pa。 2 1 Pa=1 N ／m2 工程实际中应力数值较大，常用MPa或GPa作单位 6 1 MPa=106Pa 9 1 G P a=109P a 3.应力和内力的关系是什么答：内力在一点处的集度称为应力。 4.应变和变形有什么不同 答：单位长度上的变形称为应变。单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以&表示。单位横向长度上的变形称横向线应变，以& /表示横向应变。 5.什么是线应变什么是横向应变什么是泊松比 答：（1）线应变 单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以&表示。对于轴力为常量的等截面直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为
_1 l （4-2 ） 拉伸时&为正，压缩时&为负。线应变是无量纲（无单位）的量。 （2）横向应变 拉（压）杆产生纵向变形时，横向也产生变形。设杆件变形前的横向尺寸为a,变形后为a i，则横向变形为 a a1a 横向应变& /为 / _a a （4-3 ） 杆件伸长时，横向减小，& /为负值；杆件压缩时，横向增大，￡/为正值。因此，拉（压）杆的线应变& 与横向应变& /的符号总是相反的。 （3）横向变形系数或泊松比 试验证明，当杆件应力不超过某一限度时，横向应变& /与线应变&的绝对值之比为一常数。此比 值称为横向变形系数或泊松比，用卩表示。 / （4-4 ） 口是无量纲的量，各种材料的口值可由试验测定。 6.纵向应变和横向应变之间，有什么联系
基础丨材料力学中的强度和刚度 多人对力学中强度和刚度的概念总是混淆，今天就来谈一下自己的理解。 前言 书中说为了保证机械系统或者整个结构的正常工作，其中每个零部件或者构件都必须能够正常的工作。工程构件安全设计的任务就时保证构件具有足够的强度、刚度及稳定性。 稳定性很好理解，受力作用下保持或者恢复原来平衡形式的能力。例如承压的细杆突然弯曲，薄壁构件承重发生褶皱或者建筑物的立柱失稳导致坍塌，很好理解。今天主要来讲一下对于刚度和强度的理解。 一、强度 定义：构件或者零部件在外力作用下，抵御破坏（断裂）或者显著变形的能力。 提取关键字，破坏断裂，显著变形。 比如说孙越把ipad当成了体重秤，站上去，ipad屏幕裂了，这就是强度不够。比如武汉每年的夏天看海时许多大树枝被风吹断，这也是强度不够。
强度是反映材料发生断裂等破坏时的参数，强度一般有抗拉强度，抗压强度等，就是当应力达到多少时材料发生破坏的量，强度单位一般是兆帕。 破坏类型 脆性断裂：在没有明显的塑形变形情况下发生的突然断裂。如铸铁试件在拉伸时沿横截面的断裂和圆截面铸铁试件在扭转时沿斜截面的断裂。 塑形屈服：材料产生显著的塑形变形而使构件丧失工作能力，如低碳钢试样在拉伸或扭转时都会发生显著的塑形变形。 强度理论 1. 最大拉应力理论： 只要构件内一点处的最大拉应力σ1达到单向应力状态下的极限应力σb，材料就要发生脆性断裂。于是危险点处于复杂应力状态的构件发生脆性断裂破坏的条件是：σ1=σb。
所以按第一强度理论建立的强度条件为：σ1≤[σ] 。 2. 最大拉应变理论： 只要最大拉应变ε1达到单向应力状态下的极限值εu，材料就要发生脆性断裂破坏。ε1=σu； 由广义虎克定律得：ε1=[σ1-u(σ2+σ3)]/E，所以σ1- u(σ2+σ3)=σb。 按第二强度理论建立的强度条件为：σ1-u(σ2+σ3)≤[σ]。 3. 最大切应力理论： 只要最大切应力τmax达到单向应力状态下的极限切应力τ0，材料就要发生屈服破坏。τmax=τ0。 依轴向拉伸斜截面上的应力公式可知τ0=σs/2（σs——横截面上的正应力）由公式得：τmax=（σ1-σ3）/2。所以破坏条件改写为σ1-σ3=σs。 按第三强度理论的强度条件为：σ1-σ3≤[σ]。 4. 形状改变比能理论： 只要构件内一点处的形状改变比能达到单向应力状态下的极限值，材料就要发生屈服破坏。 所以按第四强度理论的强度条件为： sqrt(σ1^2+σ2^2+σ3^2-σ1σ2-σ2σ3-σ3σ1)<[σ]。 二、刚度
第二篇杆件的强度、刚度和稳定性 第六章基本知识与杆件的变形形式 一、内容提要 本章是第二篇——杆件的强度、刚度和稳定性的基本知识。主要内容有变形固体及其基本假设以及杆件变形的基本形式。 变形固体在外力作用下能产生一定变形的固体 弹性变形外力解除后，变形也随之消失的变形 塑性变形外力解除后，变形并不能全部消失的变形 小变形变形量与构件本身尺寸相比特别微小的变形 变形固体的基本假设连续性假设，均匀性假设，各向同性假设 杆件变形的基本形式轴向拉伸或轴向压缩，剪切，扭转，平面弯曲 二、思考题提示或解答 6-1 什么是构件？什么是杆件？描述杆件的要素有哪些？杆件可以分为几种类型？工程中常见杆件是哪种杆？ 答：构件——组成建筑结构的单个物体。 杆件——指某一个方向（一般为长度方向）的尺寸远大于其另外两个方向尺寸的构件。 描述杆件的要素有横截面和轴线。 杆件可以分为直杆和曲杆，也可分为等裁面杆和变裁面杆。 工程中常见的杆件是等直杆。 6-2 学习第二篇杆件的强度、刚度、稳定性的主要任务是什么？ 答：在结构构件设计中，为解决安全可靠与经济节约这一矛盾，提供系统的力学计算原理和基本方法。 6-3 简述变形固体的概念，变形固体有哪些基本假设？ 答：变形固体是指在外力作用下能产生一定变形的固体。 变形固体的基本假设有连续性假设，均匀性假设和各向同性假设。 6-4 什么是杆件的强度、刚度和稳定性？ 答：强度是指构件抵抗破坏的能力。 刚度是指构件抵抗变形的能力。 稳定性是指构件保持原有平衡状态的能力。 6-5 杆件变形的基本形式有哪几种？结合生产和生活实际，列举一些产生各种基本变形的实例。 答：杆件变形的基本形式有轴向拉伸或轴向压缩、剪切、扭转和平面弯曲四种。
第九章杆件的强度分析与计算 第一节概述 一、构件的承载能力 机械或机器的每一组成部分称为构件，它是机器的运动单元，为保证构件正常工作，构件应具有足够的能力负担所承受的载荷。因此，构件应当满足以下要求： （一）、强度要求： 构件在外力作用下应具有足够的抵抗破坏的能力。在规定的载荷作用下构件不应被破坏,具有足够的强度。例如，冲床曲轴不可折断；建筑物的梁和板不应发生较大塑性变形。强度要求就是指构件在规定的使用条件下不发生意外断裂或塑性变形。 （二）、刚度要求： 构件在外力作用下应具有足够的抵抗变形的能力。在载荷作用下，构件即使有足够的强度，但若变形过大，仍不能正常工作。例如，机床主轴的变形过大，将影响加工精度；齿轮轴变形过大将造成齿轮和轴承的不均匀磨损，引起噪音。刚度要求就是指构件在规定的使用条件下不发生较大的变形。 （三）、稳定性要求： 构件在外力作用下能保持原有直线平衡状态的能力。承受压力作用的细长杆，如千斤顶的螺杆、内燃机的挺杆等应始终维持原有的直线平衡状态，保证不被压弯。稳定性要求就是指构件在规定的使用条件下有足够的稳定性。 为满足以上三方面的要求，构件可选用较好的材料和较大的截面尺寸，但这与节约和减轻构件自相矛盾。构件设计的任务就是在保证满足强度、刚度和稳定性要求的前提下，以最经济的方式，为构件选择适宜的材料、确定合理的形状和尺寸。 二、变形固体的基本假设 由各种固体材料制成的制成的构件在载荷作用下将产生变形，称为变形固体或变形体。为了便于理论分析和实际计算，对变形固体常采用的几个基本假设： （一）．连续性假设：假设在固体所占有的空间内毫无空隙地充满了物质。实际上，组成固体的粒子之间存在空隙，但这种空隙极其微小，可以忽略不计。于是可认为固体在其整个体积内是连续的。基于连续性假设，固体内的一些物理量可用连续函数表示。
第二章杆件强度、刚度和稳定的基本概念 1．我们在计算或者验算结构构件时，一定要从三个方面来计算或者验算，即杆件的强度、刚度和稳定性。 2．杆件强度的基本概念： 结构杆件在规定的荷载作用下，保证不因材料强度发生破坏的要求，称为强度要求。 即必须保证杆件内的工作应力不超过杆件的许用应力，满足公式σ＝N/A≤[σ] 3. 刚度的基本概念： 结构杆件在规定的荷载作用下，虽有足够的强度，但其变形不能过大，超过了允许的范围，也会影响正常的使用，限制过大变形的要求即为刚度要求。即必须保证杆件的工作变形不超过许用变形，满足公式 f≤[f]。 梁的挠度变形主要由弯矩引起，叫弯曲变形，通常我们都是计算梁的最大挠度，简支梁在均布荷载作用下梁的最大挠度作用在梁中，且fmax＝5ql4/384EI。 由上述公式可以看出，影响弯曲变形（位移）的因素为： （1）材料性能：与材料的弹性模量E成反比。 （2）构件的截面大小和形状：与截面惯性矩I成反比。 （3）构件的跨度：与构件的跨度L的2、3或4次方成正比，该因素影响最大。 4. 杆件稳定的基本概念： 在工程结构中，有些受压杆件比较细长，受力达到一定的数值时，杆件突然发生弯曲以致引起整个结构的破坏，这种现象称为失稳，也称丧失稳定性。因此受压杆件要有稳定的要求。 两端铰接的压杆，临界力的计算公式： 临界力的大小与下列因素有关： 1)压杆的材料：同样大的截面，钢柱的 Pij 比混凝土大，混凝土柱的Pij 比木柱大， 因为钢的弹性模量比混凝土的弹性模量大，混凝土的弹性模量比木材大。 2)压杆的截面形状与大小：截面大而导致惯性矩I大的不易失稳。 3)压杆的长度l0越大，临界力越小，越容易失稳。 4)压杆的支撑情况： 当柱的一端固定，一端自由时：l0=2l 当柱的一端固定，一端铰接时：l0=0.7l 当柱的两端铰接时： l0=l 当柱的两端固定时： l0=0.5l
轴心受力构件的强度和刚度计算 1．轴心受力构件的强度计算 轴心受力构件的强度是以截面的平均应力达到钢材的屈服应力为承载力极限状态。轴心受力构件的强度计算公式为 f A N n ≤= σ （4-1） 式中： N ——构件的轴心拉力或压力设计值； n A ——构件的净截面面积； f ——钢材的抗拉强度设计值。 对于采用高强度螺栓摩擦型连接的构件，验算净截面强度时一部分剪力已由孔前接触面传递。因此，验算最外列螺栓处危险截面的强度时，应按下式计算： f A N n ≤= ' σ （4-2） 'N =)5.01(1 n n N - （4-3） 式中： n ——连接一侧的高强度螺栓总数； 1n ——计算截面（最外列螺栓处）上的高强度螺栓数； 0.5——孔前传力系数。 采用高强度螺栓摩擦型连接的拉杆，除按式（4-2）验算净截面强度外，还应按下式验算毛截面强度 f A N ≤= σ （4-4） 式中： A ——构件的毛截面面积。 2．轴心受力构件的刚度计算 为满足结构的正常使用要求，轴心受力构件应具有一定的刚度，以保证构件不会在运输和安装过程中产生弯曲或过大的变形，以及使用期间因自重产生明显下挠，还有在动力荷载作用下发生较大的振动。 轴心受力构件的刚度是以限制其长细比来保证的，即
][λλ≤ （4-5） 式中： λ——构件的最大长细比； [λ]——构件的容许长细比。 3. 轴心受压构件的整体稳定计算 《规范》对轴心受压构件的整体稳定计算采用下列形式： f A N ≤ϕ （4-25） 式中：ϕ——轴心受压构件的整体稳定系数，y cr f σϕ= 。 整体稳定系数ϕ值应根据构件的截面分类和构件的长细比查表得到。 构件长细比λ应按照下列规定确定： （1）截面为双轴对称或极对称的构件 ⎭ ⎬⎫ ==y y y x x x i l i l //00λλ （4-26） 式中：x l 0，y l 0——构件对主轴x 和y 的计算长度； x i ，y i ——构件截面对主轴x 和y 的回转半径。 双轴对称十字形截面构件，x λ或y λ取值不得小于5.07b/t （其中b/t 为悬伸板件宽厚比）。 （2）截面为单轴对称的构件 以上讨论柱的整定稳定临界力时，假定构件失稳时只发生弯曲而没有扭转，即所谓弯曲屈曲。对于单轴对称截面，绕对称轴失稳时，在弯曲的同时总伴随着扭转，即形成弯扭屈曲。在相同情况下，弯扭失稳比弯曲失稳的临界应力要低。因此，对双板T 形和槽形等单轴对称截面进行弯扭分析后，认为绕对称轴（设为y 轴）的稳定应取计及扭转效应的下列换算长细比代替y λ [] 2 /122202022222)/1(4)()(2 1 z y z y z y yz i e λ λλλλλ λ--+++= )/7.25//(2 202ωωλl I I A i t z +=
材料力学习题 第12章 12-1一桅杆起重机，起重杆AB的横截面积如图所示。钢丝绳的横截面面积为10mm2。起重杆与钢丝的许用σ，试校核二者的强度。 力均为M Pa [= 120 ] 习题2-1图习题12-2图 12-2重物F=130kN悬挂在由两根圆杆组成的吊架上。AC是钢杆，直径d1=30mm，许用应力[σ]st=160MPa。BC是铝杆，直径d2= 40mm, 许用应力[σ]al= 60MPa。已知ABC为正三角形，试校核吊架的强度。 12-3图示结构中，钢索BC由一组直径d =2mm的钢丝组成。若钢丝的许用应力[σ]=160MPa,横梁AC单位长度上受均匀分布载荷q =30kN/m作用，试求所需钢丝的根数n。若将AC改用由两根等边角钢形成的组合杆，角钢的许用应力为[σ] =160MPa，试选定所需角钢的型号。 12-4图示结构中AC为钢杆，横截面面积A1=2cm2；BC杆为铜杆，横截面面积A2=3cm2。[σ]st = 160MPa，[σ]cop [F。 = 100MPa，试求许用载荷] 习题12-3图习题12-4图 12-5图示结构，杆AB为5号槽钢，许用应力[σ] = 160MPa，杆BC为b h= 2的矩形截面木杆，其截面尺寸为b = 5cm, h = 10cm,许用应力[σ] = 8MPa，承受载荷F = 128kN，试求： （1）校核结构强度；（2）若要求两杆的应力同时达到各自的许用应力，两杆的截面应取多大？ 习题12-5图习题12-6图 12-6图示螺栓，拧紧时产生∆l = 0.10mm的轴向变形，试求预紧力F，并校核螺栓强度。已知d1=8mm, d2=6.8mm, d3=7mm, l1=6mm, l2=29mm, l3=8mm; E=210GPa, [σ]=500MPa。 12-7图示传动轴的转速为n=500r/min，主动轮1输入功率P1=368kW，从动轮2和3分别输出功率P2=147kW 和P3=221kW。已知[σ]=212MPa，[ ϕ]=1︒/m, G =80GPa。 （1）试按第四强度理论和刚度条件确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。 （2）若AB段和BC段选用同一直径，试确定直径d。
轴心受力构件 设计轴心受拉构件时需进行强度和刚度的验算，设计轴心受压构件时需进行强度、整体稳定、局部稳定和刚度的验算。 一、轴心受力构件的强度和刚度 1．轴心受力构件的强度计算 轴心受力构件的强度是以截面的平均应力达到钢材的屈服点为承载力极限状态 f A N n ≤=σ (1) 式中 N ——构件的轴心拉力或压力设计值； n A ——构件的净截面面积； f ——钢材的抗拉强度设计值。 采用高强度螺栓摩擦型连接的构件，验算最外列螺栓处危险截面的强度时，按下式计算： f A N n ≤='σ (2) 'N =)5.01(1n n N - (3) 式中 n ——连接一侧的高强度螺栓总数； 1n ——计算截面(最外列螺栓处)上的高强度螺栓数； 0.5——孔前传力系数。 采用高强度螺栓摩擦型连接的拉杆，除按式(2)验算净截面强度外，还应按下式验算毛截面强度 f A N ≤=σ (4) 2．轴心受力构件的刚度计算 轴心受力构件的刚度是以限制其长细比保证 ][λλ≤ (5) 式中 λ——构件的最大长细比；
[λ]——构件的容许长细比。 二、 轴心受压构件的整体稳定 1．理想轴心受压构件的屈曲形式 理想轴心受压构件可能以三种屈曲形式丧失稳定： ①弯曲屈曲 双轴对称截面构件最常见的屈曲形式。 ②扭转屈曲 长度较小的十字形截面构件可能发生的扭转屈曲。 ③弯扭屈曲 单轴对称截面杆件绕对称轴屈曲时发生弯扭屈曲。 2．理想轴心受压构件的弯曲屈曲临界力 若只考虑弯曲变形，临界力公式即为著名的欧拉临界力公式，表达式为 N E =22l EI π=2 2λπEA (6) 3．初始缺陷对轴心受压构件承载力的影响 实际工程中的构件不可避免地存在初弯曲、荷载初偏心和残余应力等初始缺陷，这些缺陷会降低轴心受压构件的稳定承载力。 1）残余应力的影响 当轴心受压构件截面的平均应力p f >σ时，杆件截面内将出现部分塑性区和部分弹性区。由于截面塑性区应力不可能再增加，能够产生抵抗力矩的只是截面的弹性区，此时的临界力和临界应力应为： N cr =22l EI e π=22l EI π·I I e (7) cr σ=22λ πE ·I I e (8) 式中 I e ——弹性区的截面惯性矩(或有效惯性矩)； I ——全截面的惯性矩。 2）初弯曲的影响 具有初弯曲的轴心受压构件的承载力具有如下特点： ①具有初弯曲的压杆，压力一开始作用，杆件就产生挠曲，并随着荷载的增大而增加，开始挠度增加慢，随后迅速增长，当压力N 接近欧拉临界力时，中点挠度趋于无限大。 ②压杆的初挠度值愈大，相同压力N 情况下，杆的挠度愈大。
建筑力学问题简答（五）杆件的强度、刚度 和稳定性计算 125．构件的承载能力，指的是什么？ 答：构件满足强度、刚度和稳定性要求的能力称为构件的承载能力。 (1)足够的强度。即要求构件应具有足够的抵抗破坏的能力，在荷载作用下不致于发生破坏。 (2)足够的刚度。即要求构件应具有足够的抵抗变形的能力，在荷载作用下不致于发生过大的变形而影响使用。 (3)足够的稳定性。即要求构件应具有保持原有平衡状态的能力，在荷载作用下不致于突然丧失稳定。 126．什么是应力、正应力、切应力？ 答：内力在一点处的集度称为应力。 垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力，用σ表示；相切于截面的应力分量称切应力或切向应力，用τ表示。 127．应力的单位如何表示？ 答：应力的单位为Pa 。 1 Pa =1 N ／m 2 工程实际中应力数值较大，常用MPa 或GPa 作单位 1 MPa =106Pa 1 GPa =109Pa 128．应力和内力的关系是什么？ 答：内力在一点处的集度称为应力。 129．应变和变形有什么不同？ 答：单位长度上的变形称为应变。单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变， 以ε表示。单位横向长度上的变形称横向线应变，以ε/表示横向应变。 130．什么是线应变？ 答：单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。对于轴力为常量的等截面直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为 l l ∆=ε 拉伸时ε为正，压缩时ε为负。线应变是无量纲（无单位）的量。 131．什么是横向应变？ 答：拉(压)杆产生纵向变形时，横向也产生变形。设杆件变形前的横向尺寸为a ，变形后为a 1，则横向变形为 a a a -=∆1 横向应变ε/为 a a ∆= /ε 杆件伸长时，横向减小，ε/为负值；杆件压缩时，横向增大，ε/为正值。因此，拉(压)杆 的线应变ε与横向应变ε/的符号总是相反的。 132．什么是泊松比？
答案……………题目在后边 一、判断题 1错；2错；3错；4对；5错。 二、填空题 2 强度、刚度、稳定性； 3 运动效应、变形效应、内； 4 连续性、应力和位移等力学量； 5 弹性、塑性。 三、选择题 1C；2C；3D；4C；5D；6C；7C。 第二章杆件的内力分析 一、判断题 1对；2错；3错；4错；5错；6错；7错；8对；9错。 二、填空题 1 顺时针； 2 上凹下凸； 3 极； 4 相同、不同、相同； 5 相同、大于； 6 斜直线、抛物线、极值。 三、选择题 1A；2B；3C；4A；5A；6D；7C；8C；9A。 第三章杆件横截面上的应力应变分析 一、判断题 1错；2对；3对；5错；6错；7错；8对；9对；10错；11对；12错；13对。 二、填空题
1 法线、切线、正应力、σ、切应力、τ； 2 F/A、横截面上、0、F/2A、45度斜截面上、F/2A、F/A； 3 3、EGν、G=E/2(1+ν)、2；4略；5 高速轴所传递的扭矩比低速轴小；6 剪力为零、弯矩是常数的弯曲；7 材料服从胡克定律、杆件小变形；8 集中力作用的一侧；9 略；10 上下边缘、中性轴上。 三、选择题 1C；2D；3B；4B；5C；6C；7C；8C；9A；10B。 第四章杆件的变形分析 一、判断题 1错；2对；3对；4错；5错；6错；7错；8错；9对；10错；11对。 二、填空题 1 拉压刚度、变形、扭转刚度、变形；2略；3略；4 垂直于轴线、中性轴；5略；6 固定端的挠度和转角都为零；7 弯矩最大处；8略；9 梁材料为线弹性、梁变形为小变形；10 波纹板对其中性轴的惯性矩大于同样截面的平板。 三、选择题 1D；2D；3D；4B；5D；6D；7B；8D；9A。 第五章应力状态和应变状态分析 一、判断题 1对；2错；3错；4错；5错；6错；7对；8对；9对；10错；11对。
受弯构件的强度、整体稳定和局部稳定计算 钢梁的设计应进行强度、整体稳定、局部稳定和刚度四个方面的计算。 一、强度和刚度计算 1．强度计算 强度包括抗弯强度、抗剪强度、局部承压强度和折算应力。 （ 1） 抗弯强度 荷载不断增加时正应力的发展过程分为三个阶段，以双轴对称工字形截面为例说明如 1）弹性工作阶段 荷载较小时，截面上各点的弯曲应力均小于屈服点 加，直至边缘纤维应力达到 f y （图 1b ）。 为屈服应力 f y 。截面的中间部分区域仍保持弹性（图 1c ），此时梁处于弹塑性工作阶段。 3）塑性工作阶段 当荷载再继续增加，梁截面的塑性区便不断向内发展，弹性核心不 断变小。当弹性核心完全消失（图 1d ）时，荷载不再增加，而变形却继续发展，形成 “塑性 铰 ”，梁的承载能力达到极限。 计算抗弯强度时， 需要计算疲劳的梁， 常采用弹性设计。 若 f y ，荷载继续增 2）弹塑性工作阶段 荷载继续增加，截面上、下各有一个高度为 a 的区域，其应力 图 1 梁正
按截面形成塑性铰进行设计， 可能使梁产生的挠度过大。因此规范规定有限制地利用塑性。 梁的抗弯强度按下列公式计算： 单向弯曲时
式中 V —计算截面沿腹板平面作用的剪力设计值； S — 中和轴以上毛截面对中和轴的面积矩； I —毛截面惯性矩； t w — 腹板厚度； f v — 钢材的抗剪强度设计值。 当抗剪强度不满足设计要求时，常采用加大腹板厚度的办法来增大梁的抗剪强度。 型钢腹板较厚， 一般均能满足上式要求， 因 此只在剪力最大截面处有较大削弱时， 才需 双向弯曲时 式中 M x 、 M y —绕 x 轴和 y 轴的弯矩(对工字形和 W nx 、 W ny — 梁对 x 轴和 y 轴的净截面模量； x , y — 截面塑性发展系数，对工字形截面， x y 1.05； f — 钢材的抗弯强度设计值。 时，取 x 1.0 。 需要计算疲劳的梁，宜取 2)抗剪强度 主平面受弯的实腹梁，以截面上的最大剪应力达到钢材的抗剪屈服点为承载力极限状 态。 M x x f x W nx M x M y x f x W nx y W ny 2) H 形截面， x 轴为强轴， y 轴为弱轴)； x 1.05, y 1.20 ；对箱形截面， b 与其厚度 t 之比大于 x y 1.0。 VS It w f v 13 235/ f y ， 但不超过 15 235/ f y 3)