.
第十一章 结构的极限荷载
一、判断题：
1、静定结构只要产生一个塑性铰即发生塑性破坏，n 次超静定结构一定要产生n +1个塑性铰才产生塑性破坏。
2、塑性铰与普通铰不同，它是一种单向铰，只能沿弯矩增大的方向发生相对转动。
3、超静定结构的极限荷载不受温度变化、支座移动等因素影响。
4、结构极限荷载是结构形成最容易产生的破坏机构时的荷载。
5、极限荷载应满足机构、内力局限和平衡条件。
6、塑性截面系数s W 和弹性截面系数W 的关系为W W s 。
二、计算题：
7、设u M 为常数。求图示梁的极限荷载u M 及相应的破坏机构。
l
M
8、设极限弯矩为u M ，用静力法求图示梁的极限荷载。
.
9、图示梁各截面极限弯矩均为u M ，欲使A 、B 、D 三处同时出现塑性铰。确定铰
C 的位置，并求此时的极限荷载u P 。
l
10、画出下列变截面梁极限状态的破坏机构图。
( )b
l /3
l /3
l /3
( )c
( )
a
11、图示简支梁，截面为宽b 高h 的矩形，材料屈服极限y σ。确定梁的极限荷载
u P 。
l l l /3/3/3
12、图示等截面梁，截面的极限弯矩为m kN 90u ?=M ，确定该梁的极限荷载u P 。
2m
2m
.
13、图示等截面梁，截面的极限弯矩m kN 90u ?=M ，求极限荷载u P 。
2m 4m
14、求图示梁的极限荷载u P 。已知极限弯矩为u M 。
l
15、图示梁截面极限弯矩为u M 。求梁的极限荷载u P ，并画出相应的破坏机构与
M 图。
0.5l
0.5l
0.5l
0.5l 0.5l
16、求图示梁的极限荷载u q 。
2
17、求图示结构的极限荷载u P 。A C 段及C E 段的u M 值如图所示。
P
2m
2m
2m 2m
.
18、求图示结构的极限荷载u P ，并画极限弯矩图。各截面u M 相同。
23m
1.5 1.51m
19、求图示结构的极限荷载u P ，并画极限弯矩图。=u M 常数。
l
2l
l
2l
l
l
20、计算图示等截面连续梁的极限荷载u P 。
l l 2
/3
/3
/2
21、求图示等截面连续梁的屈服荷载y P 和极限荷载u P 。
22、求图示梁的极限荷载u q 。
q
l
l l
.
u
/3
24、计算图示结构在给定荷载作用下达到极限状态时，其所需的截面极限弯矩值
u M 。
25、求图示梁的极限荷载u P 。
l l /2
/2
26、求图示连续梁的极限荷载u q 。
l
l
2q
27、求图示连续梁的极限荷载u P 。
.
u
29、计算图示结构在给定荷载作用下达到极限状态时，其所需截面极限弯矩值u M 。
30、图示等截面梁，其截面承受的极限弯矩cm kN 6540?=u M ，有一位置可变的荷载P 作用于梁上，移动范围在AD 内，确定极限荷载u P 值及其作用位置。
m
4m
31、图示等截面梁，截面的极限弯矩m kN 80?=u M ，求极限荷载u q 。
q
32、图示等截面的两跨连续梁，各截面极限弯矩均为u M ，确定该梁的极限荷载u q 及破坏机构。
.
q
33、求图示梁的极限荷载u q 。截面极限弯矩m kN M u ?=25.140。
34、求图示连续梁的极限荷载u P 。
A
/2a a /2
a a
2a
a
35、求图示结构的极限荷载u P 。
2m
2m
36、求图示结构的极限荷载u P 。
12m
2m
37、求图示梁的极限荷载u P 。
.
l l l /4
/2
/4
38、画出图示变截面梁的破坏机构并确定极限荷载u P 。
a 3a
3a
3
39、求图示刚架的极限荷载参数u q 并画M 图。u M 为极限弯矩。
q
l
/2l /2
l
40、图示刚架各截面极限弯矩均为u M ，欲使B , C , D , E 截面同时出现塑性铰而成机构。求P 与q 的关系并求极限荷载u u Q P ,。
l /2
l /2
.
41、讨论图示变截面梁的极限荷载u P 。已知AB 段截面的极限弯矩为u M '，BC 段截面的极限弯矩为u M ，且u
M '>u M 。 a
a
a
第十一章 结构的极限荷载
1、( X )
2、( O )
3、( O )
4、( O )
5、( O )
6、( X )
7、M M u u = （铰B 单向转动）
8、M M P
u u =2 9、x a =
2，P l
ab
M u u =
2 10、极限状态为：
( )a
( )b
( )c
11、M bh u y =σ24，P bh l
u y
=0752
.σ 12、P u kN =60
13、P M l u u
kN ==9
135 14、q M l u u
=162
15、P M l
u u
=
152。
/15
Pl 2/15
Pl 2/10
Pl /10
Pl
.
16、q M a u u
=
2
17、P u 6.25kN = 18、P u =22.1kN
20
20
20
6.85
1.4
图 M ()
kN .m
19、P M l u u 1.3=/
M u
M u
M u
M u
0.2M u
0.4
20、P M l
u u
=45.
21、( 1 )
令M M D =u 得屈服荷载948Pl M =u ，P M l
y u
=163。 ( 2 )
第17章 极限荷载 【17-1】 验证：（a ）工字形截面的极限弯矩为)41(2 12δδδσb h bh M s u + =。 （b ）圆形截面的极限弯矩为63 D M s u σ=。 （c ）环形截面的极限弯矩为????? ?--=33 )21(16 D D M s u δσ。 【解】 （a ）工字形截面的等面积轴位于中间。 静距计算公式：202 1 d xy y xy S y ==? 考虑上半部分面积对等面积轴的静距（大矩形静距减两个小矩形静距）： )41(21)4(21)2)((21)2(21211212222121122 222 212bh b b h h bh h h b bh h b h b S δδδδδδδδδδδδδδδδ+-+-=+-+-=---= 去除高阶小量后)41(212 1 2δδδb h bh S + = 因此极限弯矩为)41()(2 1 2δδδσσb h bh S S M s s u +=+= （b ）静距计算公式：202 1d xy y xy S y = =?
6 3 2 2d 2) )2 (d(21)2(4d )2(43 )2(0 23)2(0 20222220 2 222D u u u y D y D y y y D S D D D D = ?=?=-?-=?-=? ?? 关/注；公，众。号：倾听细雨因此极限弯矩为63 D S M s s u σσ== （c ）圆的静距为6 3 D S = 则圆环的静距为????? ?--=-= 33 33)21(166)2(-6D D D D S δδ 因此极限弯矩为?? ????--==33 )21(16 D D S M s s u δσσ 【17-2】 试求图示两角钢截面的极限弯矩u M 。设材料的屈服应力为s σ。 【解】 设等面积轴距上顶面距离为xmm 。 由面积轴两侧面积相等，也即面积轴以上面积等于总面积的一半，得 405550))50(2 1 (22?+?=-+x x x ，解得mm x 723.4=。 单个角钢上下截面面积矩： 3 232323223 3214879mm ])723.440(20)723.440(3 1 )723.445(20)723.445(3 1 [)723.445(521723.431723.4)723.445(21540mm 723.431 723.4)723.450(21=+?++?-+?-+?-+??+?-?-?==?+?-?=S S 由此得截面极限弯矩s s s u S S M σσσ10838)4879540(2)(221=+?=+= 【17-3】 试求图示各梁的极限荷载。 【解】 （1）塑性铰可能出现在竖直支座处 记塑性铰处转角为θ ，则杆端竖
高等数学求极限的常用 方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→? =→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了 无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ
荷载题库 （一）填空题 1.作用随时间变化可分为永久作用、可变作用、偶然作用；按空间位置变异分为固定作用、自由作用；按结构反应分类分为静态作用、动态作用。 2.造成屋面积雪与地面积雪不同的主要原因是风的飘积作用屋面形式屋面散热等。 3.在公路桥梁设计中人群荷载一般取值为3KN／m2市郊行人密集区域取值一般为3.5 KN／m2 - 4.土压力可以分为静止土压力主动土压力被动土压力。 5.一般土的侧向压力计算采用朗肯土压力理论或库仑土压力理论。 6.波浪按波发生的位置不同可分为表面波内波。 7.根据冻土存在的时间可将其分为多年冻土季节冻土瞬时冻土。 8.冻土的基本成分有四种：固态土颗粒，冰，液态水，气体和水汽。 9. 冻土是一种复杂的多相天然复合体，结构构造也是一种非均质、各向异性的多孔介质。 10.土体产生冻胀的三要素是水分土质负温度。 11.冻土的冻胀力可分为切向冻胀力法向冻胀力水平冻胀力。 12.水平向冻胀力根据它的形成条件和作用特点可以分为对称和非对称。 13.根据风对地面（或海面）物体影响程度，常将风区分为13等级。 14.我国《建筑结构荷载规定》规定以10m高为标准高度，并定义标准高度处的最大风速为基本风速。 15.基本风压是根据规定的高度，规定的地貌，规定的时距和规定的样本时间确定最大风速的概率分布，按规定的重现期（或年保证率）确定的基本风速，然后根据风速与风压的关系所定义的。 16.由风力产生的结构位移速度加速度响应等称为结构风效应。 17. 脉动风是引起结构振动的主要原因。 18.在地面粗糙度大的上空，平均风速小脉动风的幅度大且频率高。 19.脉动风速的均方差也可根据其功率谱密度函数的积分求得。 20.横向风可能会产生很大的动力效应，即风振。 21.横向风振是由不稳定的空气动力特征形成的，它与结构截面形状及雷诺数有关。 22.在空气流动中，对流体质点起主要作用的是两种力惯性力和粘性力。 23.根据气流旋涡脱落的三段现象，工程上将圆桶试结构分三个临界范围，即亚临界范围超临界范围跨临界范围。 24.地震按产生的原因，可以分为火山地震陷落地震和构造地震 25. 由于地下空洞突然塌陷而引起的地震叫陷落地震而由于地质构造运动引起的地震则称为构造地震。 26. 地幔的热对流是引起地震运动的主要原因。 27. 震中至震源的距离为震源深度，地面某处到震中的距离为震中距。 28.地震按震源的深浅分，可分为浅源地震中源地震深源地震。 29.板块间的结合部类型有：海岭海沟转换断层及缝合线。 30.震级是衡量一次地震规模大小的数量等级。 31.M小于 2 的地震称为微震M＝2～4 为有感地震M> 5 为破坏性地震。 32.将某一地址遭受一次地震影响的强弱程度定义为地震烈度。 33.地震波分为地球内部传播的体波和在地面附近传播的面波。 34.影响地面运动频谱主要有两个因素：震中距和场地条件。 35.目前国际上一般采用小震不坏中震可修大震不倒的抗震原则。 36.底部剪力法是把地震作用当作等效静力作用在结构上，以次计算结构的最大地震反应。 37.混凝土在长期作用下产生随时间而增长的变形称为徐变。 38. 可变荷载有3个代表值分别是标准值和准永久值组合值。 39.影响结构构件抗力的因素很多，主要因素有3种，分别是材料性能的不定性Xm 几何参数的不定性Xa 计算模式的不定性Xp。 40.结构的极限状态可以分为承载能力极限状态和正常使用的极限状态。 （二）名词解释 1.作用：能使结构产生效应(内力、应力、位移、应变等)的各种因素总称为作用。
【最新整理，下载后即可编辑】 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在： （1）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 （5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （1）“0 0”“∞ ∞”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成
综合试题（一卷） 一、填空题（每空1分，共20分） 1．作用按时间的变异分为:永久作用,可变作用,偶然作用_ 2．影响结构抗力的因素有：材料性能的不定性,几何参数的不定性,计算模式的不定性.. 3．冻土的四种基本成分是_固态的土颗粒,冰,液态水,气体和水汽. 4．正常使用极限状态对应于结构或者构件达到_正常使用或耐久性能_的某项规定限值. 5．结构的可靠性是_安全性,适用性,耐久性__的总称. 6．结构极限状态分为_承载能力极限状态,正常使用极限状态_. 7．结构可靠度的确定应考虑的因素,除了公众心理外,还有结构重要性,社会经济承受力,结构破坏性质 二.名词解释(10分) 1.作用：能使结构产生效应(内力,应力,位移,应变等)的各种因素总称为作用（3分） 2.地震烈度：某一特定地区遭受一次地震影响的强弱程度.（3分） 3.承载能力极限状态：结构或构件达到最大承载力或不适于继续承载的变形,这种 状态称为承载能力极限状态.（4分） 三.简答题. (共20分) 1.结构抗力的不定性的影响有哪些? 答：①结构材料性能的不定性、②结构几何参数的不定性、③结构计算模式的不定性。（每点1分） 2.基本风压的5个规定. 答：基本风压通常应符合以下五个规定。①标准高度的规定。我国《建筑结构荷载规范》规定以10m高为标准高度。②地貌的规定。我国及世界上大多数国家规定，基本风速或基本风压按空旷平坦地貌而定。③公称风速的时距。规定的基本风速的时距为10min。④最大风速的样本时间。我国取1年作为统计最大风速的样本时间。⑤基本风速的重现期。我国规定的基本风速的重现期为30年。（每点1分）(5) 3.简要回答地震震级和烈度的差别与联系(6) 答：①地震震级是衡量一次地震规模大小的数量等级。②地震烈度是某一特定地区遭受一次地震影响的强弱程度。③一次地震发生，震级只有一个，然而在不同地点却会有不同的地震烈度，但确定地点上的烈度是一定的，且定性上震级越大，确定地点上的烈度也越大。④震中一般是一次地震烈度最大的地区，其烈度与震级有关。在环境条件基本相同的情况下，震级越大，震中烈度越高⑤震中烈度与震级近似关系：；非震中区，烈度与震级的关系：。（前2点1分，后2点2分） 4.简述直接作用和间接作用的区别.(6) 答：①将能使结构产生效应得各种因素总称为作用；将作用在结构上的因素称为直接作用，②将不是作用，但同样引起结构效应的因素称为间接作用。③直接荷载为狭义的荷载，广义的荷载包括直接荷载和间接荷载。（每点2分） 四、计算题（50分）
求极限的常用方法典型例题 掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则； (2) 利用两个重要极限； (3) 利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）； (4) 利用连续函数的定义。 例 求下列极限： （1）x x x 33sin 9lim 0-+→ （2）1)1sin(lim 21--→x x x （3）x x x 1 0)21(lim -→ （4）2 22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→ （5）)1 1e (lim 0-+→x x x x 解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即 x x x 33sin 9lim 0-+→ =) 33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =3 3sin 91lim 3sin lim 00++?→→x x x x x =2 1613=? （2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 )1)(1()1sin(lim 1 )1sin(lim 121-+-=--→→x x x x x x x 11lim 1)1sin(lim 11+?--=→→x x x x x 2 11111=+?= （3）利用第二重要极限计算，即 x x x 1 0)21(lim -→＝2210])21[(lim --→-x x x 2e -=。 （4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即
222222222)sin 1(lim ]1cos 1[lim )sin 1(1cos 1lim )sin (1cos lim x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→= 1 注：其中当∞→x 时，x x x x sin 1sin =，)1(cos 11cos 2222-=-x x x x 都是无穷小量乘以有界变量，即它们还是无穷小量。 （5） 利用函数的连续性计算，即 )11e (lim 0-+→x x x x ＝11 01e 00-=-+?
《荷载与结构设计方法》试题+参考答案4 一、填空题（每空1分，共计20分） 1. 当功能函数服从 正态分布 时，可靠指标与失效概率具有一一对应关系。 2结构构件可靠度计算的一次二阶矩法包括 中心点法 和 验算点法 。 3. 结构可靠指标β 的几何意义是 随机变量空间坐标原点到极限状态曲面的最短距离。随机变量标准空间 坐标原点到极限状态曲面的最短距离。 4. 荷载简单组合是 恒荷载 与 可变荷载 的组合。 5. 确定结构目标可靠度水准的方法有 事故对比法 、 校准法 和 优化法 。 6. 荷载的代表值一般包括 标准值 、 组合值 、 频遇值 和 准永久值 。 7. 荷载效应组合规则一般有 、 、和 。 8. 我国“建筑结构可靠度设计统一标准”（GB50068—2001）将设计状况分为 、 和 。 9. 荷载效应组合问题的实质是 综合荷载效应最大值的概率分布问题 。 二、判断对错（在括号内：对的画“√”，错的画“×”） （每空2分，共计16分） 1. 可靠指标β越大，结构可靠程度越高。（ 对 ） 2. 结构可靠度设计的基准期就是结构的使用期。（ 错 ） 3. 结构的失效概率f P 等于结构抗力R 和荷载效应S 的概率密度干涉面积。（ 错 ） 4. 极限状态方程表达了结构荷载效应与抗力之间的平衡关系。（ 对 ） 5. 结构重要性系数是用来调整不同安全等级结构的目标可靠指标的。（ 对 ） 6. 延性破坏构件的目标可靠指标要大于脆性破坏构件的相应值。（ 错 ） 7. 荷载标准值是设计基准期内在结构上时而出现的较大可变荷载值。（ 错 ）（最大荷载） 8. 对于结构不同的设计状况，均应进行正常使用极限状态设计。（ 错 ） 三、简述题（每小题8分，共计24分） 1. 简述结构设计方法经历了哪几个发展阶段，并说明每个阶段结构设计方法的主要特点。 2. 简述影响结构构件抗力随机性的几类因素，并说明每一类因素主要包括哪些内容。 3. 简述结构构件可靠度设计的实用表达式包括哪些内容，并列出具体表达式。 四、（14分）已知某地区年最大风速服从极值Ⅰ型分布，通过大量观测，该地区年最大风速样本的平均值为18.903m/s ，标准差为2.485m/s 。 （1） 求出该地区50年最大风速的概率分布函数； （2） 分别计算30年和50年一遇的最大风速（即平均重现期为30年和50年的最大风速）； （3） 分别计算30年和50年一遇最大风速不被超越的概率 k p 。（设计基准期50=T 年） 已知：极值Ⅰ型概率分布函数为)]}(exp[exp{)(u x x F ---=α，
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在： （1）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 （5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： ε δεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （1）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通
极限计算方法总结 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的 极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且；5)13(lim 2 =-→x x ；???≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q n n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需 再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,) ()(lim 成立此时需≠= B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时， 不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim =→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim =→x x x ，e x x x =--→21 ) 21(lim ，e x x x =+ ∞ →3)31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：
《荷载及结构设计方法原理》复习题 一、单项选择题 1.地震按其成因可划分为四种类型，其中分布最广，危害最大的是（C ） A. 火山地震 B. 陷落地震 C. 构造地震 D. 诱发地震 2.地震作用是属于（C ） A.直接作用 B.间接作用 C 偶然作用 D.偶然荷载 3.在计算建筑结构的风荷载标准值时，下列哪种情况必须考虑风振系数？（C ） A.建筑高度为27m 、基本自振周期0.3s 、高宽比3.0； B.建筑高度为32m 、基本自振周期0.2s 、高宽比4.5； C.建筑高度为34m 、基本自振周期0.3s 、高宽比1.8； D.建筑高度为30m 、基本自振周期0.2s 、高宽比1.5； 4.设计计算时，地震作用的大小与下列哪此因素无关？（D ） A.建筑物质量 B.场地烈度 C.建筑本身动力特性 D.地震持续时间 5.极限状态设计状况不含下列哪种？（D ） A.持久状况 B.短暂状况 C.偶然状况 D.随机状况 6.下列各项中，何项不属于超过正常使用极限状态的情形？（D ） A.影响正常使用的振动 B.影响正常使用或外观的变形 C.混凝土构件的裂缝宽度超过规定的限值 D.结构构件或连接因过度变形而不适于继续承载 7.对于永久荷载效应对结构或构件的承载能力不利的情况，若永久荷载效应在极限状态设计表达式中起控制作用时，荷载分项系数取下列何种？（B ） A.4.1,2.1==Q G γγ B.4.1,35.1==Q G γγ C.3.1,35.1==Q G γγ D.3.1,2.1==Q G γγ 8.基本雪压是在下面哪种条件下确定？(C) A.当地一般空旷平坦地面上统一所得的30年一遇的最大积雪自重
《荷载与结构设计方法》试题+参考答案4 一、填空题（每空1分，共计20分） 1. 当功能函数服从正态分布时，可靠指标与失效概率具有一一对应关系。 2. 结构构件可靠度计算的一次二阶矩法包括和 。 3. 结构可靠指标 的几何意义是。 4. 荷载简单组合是与的组合。 5. 确定结构目标可靠度水准的方法有、 和。 6. 荷载的代表值一般包括、、 和。 7. 荷载效应组合规则一般有、、和。 8. 我国“建筑结构可靠度设计统一标准”（GB50068—2001）将设计状况分为、和。9. 荷载效应组合问题的实质是。 二、判断对错（在括号内：对的画“√”，错的画“×”）
（每空2分，共计16分） 1. 可靠指标 越大，结构可靠程度越高。（） 2. 结构可靠度设计的基准期就是结构的使用期。（） P等于结构抗力R和荷载效应S的概率密度干涉面积。 3. 结构的失效概率 f （） 4. 极限状态方程表达了结构荷载效应与抗力之间的平衡关系。（） 5. 结构重要性系数是用来调整不同安全等级结构的目标可靠指标的。（） 6. 延性破坏构件的目标可靠指标要大于脆性破坏构件的相应值。（） 7. 荷载标准值是设计基准期内在结构上时而出现的较大可变荷载值。（） 8. 对于结构不同的设计状况，均应进行正常使用极限状态设计。（） 三、简述题（每小题8分，共计24分） 1. 简述结构设计方法经历了哪几个发展阶段，并说明每个阶段结构设计方法的主要特点。 2. 简述影响结构构件抗力随机性的几类因素，并说明每一类因素主要包括哪些内容。 3. 简述结构构件可靠度设计的实用表达式包括哪些内容，并列出具体表达式。 四、（14分）已知某地区年最大风速服从极值Ⅰ型分布，通过大量观测，该
第十一章 结构的极限荷载 一、判断题： 1、 静定结构只要产生一个塑性铰即发生塑性破坏， n 次超静定结构一定要产生 n +1 个塑性铰才产生塑性破坏。 2、 塑性铰与普通铰不同，它是一种单向铰，只能沿弯矩增大的方向发生相对转动。 3、 超静定结构的极限荷载不受温度变化、支座移动等因素影响。 4、 结构极限荷载是结构形成最容易产生的破坏机构时的荷载。 5、 极限荷载应满足机构、内力局限和平衡条件。 6、塑性截面系数 W s 和弹性截面系数 W 的关系为W s W 。 、计算题: 7、设M u 为常数。求图示梁的极限荷载 M u 及相应的破坏机构。 B f M ------------------------------------------D 丄 l &设极限弯矩为 M u ，用静力法求图示梁的极限荷载。 l/3 9、图示梁各截面极限弯矩均为 M u ，欲使A 、B 、D 三处同时出现塑性铰。确定铰 C 的位置，并求此时的极限荷载 P u 。 10、画出下列变截面梁极限状态的破坏机构图。 1 a _______ -一 b -J l A X . P B 2l/3
11、图示简支梁，截面为宽b高h的矩形，材料屈服极限 12、图示等截面梁，截面的极限弯矩为M u 90kN m M u 13、图示等截面梁，截面的极限弯矩M u 90 kN m， (b) —/ 3M u M u I 1/3 1/3 1/3 ------ b ------- ----------- 14、求图示梁的极限荷载P u。已知极限弯矩为 y。确定梁的极限荷载P u。 ，确定该梁的极限荷载P u。 2m 2m 2m 求极限荷载P u。
1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2 =-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
. 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→
风荷载例题 下面以高层建筑为例，说明顺风向结构风效应计算。 由0k z s z W W βμμ=知，结构顺风向总风压为4个参数的乘积，即基本风压0W 、风压高度变化系数z μ、风荷载体型系数s μ、风振系数z β。因基本风压与风压高度变化系数与结构类型和体型无关，以下主要讨论高层建筑体型系数和风振系数的确定，然后通过实例说明高层建筑顺风向风效应的计算。 1．高层建筑体型系数 高层建筑平面沿高度一般变化不大，可近似为等截面，且平面以矩形为多。根据风洞试验及实验结果，并考虑到工程应用方便，一般取矩形平面高层建筑迎风面体型系数为+0.8（压力），背风面体型系数为-0.5（吸力），顺风向总体型系数为 1.3s μ=。 根据《高层建筑混凝土结构技术规程》JGJ 3-2002第3.2.5条：
2．高层建筑风振系数 高层建筑风振系数可根据《高层建筑混凝土结构技术规程》JGJ 3-2002进行计算，也可参考《建筑结构荷载规范》。 3．实例 【例1】已知一矩形平面钢筋混凝土高层建筑，平面沿高度保持不变，质量和刚度沿竖向均匀分布。100H m =，33B m =，地面粗糙度指数s α＝0.22，基本风压按粗糙度指数为0.16s α=的地貌上离地面高度s z ＝10m 处的风速确定，基本风压值为200.44/w kN m =。结构的基本自振周期1 2.5T s =。求风产生的建筑底部弯矩。 解： (1) 为简化计算，将建筑沿高度划分为5个计算区段，每个区段20m 高，取其中点位置的风载值作为该区段的平均风载值，。 (2) 体型系数 1.3s μ=。 (3) 本例风压高度变化系数 在各区段中点高度处的风压高度变化系数值分别为 10.62z μ= 21z μ= 3 1.25z μ= 4 1.45z μ= 5 1.62z μ= （4） 风振系数的确定，由 201a w T ＝0.62×0.44×2.52＝221.71/kN s m ? 查表得脉动增大系数 1.51ξ= 计算各区段中点高度处的第1振型相对位移 11?＝0.10 12?＝0.30 13?＝0.50 14?＝0.70 15?＝0.90 因建筑的高度比/3H B =，查表得脉动影响系数0.49ν=。 将上式数据代入风振系数的计算公式，得到各区段中点高度处的风振系数： 1β＝1.12 2β＝1.22 3β＝1.30 4β＝1.36 5β＝1.41 (5) 计算各区段中点高度处的风压值
求极限的方法总结 1．约去零因子求极限 例1：求极限11lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】4)1)(1(lim 1) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x 习题：2 33 lim 9x x x →-- 22121lim 1x x x x →-+- 2．分子分母同除求极限 例2：求极限13lim 3 2 3+-∞→x x x x 【说明】∞∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除．．．．．．．．x ．的最高次方；．．．．．．且一般．．．x ．是趋于无穷的．．．．．． ??????? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 习题 3232342 lim 753x x x x x →∞+++- 2324n 1lim n n n n n →∞+++- 1+13l i m 3n n n n n +→∞++（-5)（-5) n n n n n 323)1(lim ++-∞→
3．分子(母)有理化求极限 例1：求极限) 13(lim 22+-++∞→x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2222222 2+++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例2：求极限30 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】 x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 习题：2 lim 1 x x x x →∞ +-+ 12 13lim 1 --+→x x x 4.用函数的连续求极限（当函数连续时，它的函数值就是它的极限值．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ） 22 034lim 2x x x x →+++ 【其实很简单的】 5.利用无穷小与无穷大的关系求极限 例题 3 3lim 3x x x →+- 【给我最多的感觉，就是：当取极限时，分子不为 0而分母为0时 就取倒数！】 6. 有界函数与无穷小的乘积为无穷小 例题 s i n l i m x x x →∞ , arctan lim x x x →∞
《荷载与结构设计方法》试题+参考答案5 一、简答题（每小题6分，共计36分） 1. 试绘图说明结构可靠指标β的几何意义。 可靠指标β是标准空间R S ''-坐标系中坐标原点到极限状态曲面0Z =的最短距离。 2. 试绘图说明非正态随机变量当量正态化的两个基本条件，并列出当量正态化随机变量的均值和标准差的计算公式。 非正态随机变量当量正态化的两个基本条件：在设计点*i x 处， （1）当量正态分布变量与原非正态分布变量的概率分布值（尾部面积）相等，即 **()()i i X i X i F x F x '= （2）当量正态分布变量与原非正态分布变量的概率密度函数值（纵坐标）相等，即 **()()i i X i X i f x f x '= 当量正态化随机变量的均值和标准差的计算公式分别为： O R ' R
*1* ()i i i X i X i X x F x μσ-''??=-Φ?? {} 1* * ()() i i i X i X X i F x f x ?σ-' ??Φ?? = 3. 简述结构构件可靠度设计的实用表达式包括哪些内容，并列出具体表达式。 (1) 承载能力极限状态设计表达式 1 1 02 ()(,,,)i i i n G Gk Q Q k Q C Q k R k k i S S S R f a γγγγψγ=++≤∑ 01 ()(,,,)i i i n G Gk Q C Q k R k k i S S R f a γγγψγ=+≤∑ (2) 正常使用极限状态设计表达式 1) 标准组合设计表达式 112[]i i n Gk Q k C Q k i S S S f ψ=++≤∑ 2) 频遇组合设计表达式 122[]i i i n Gk f Q k q Q k i S S S f ψψ=++≤∑ i i i X i X i '
第十一章 结构的极限荷载 一、判断题： 1、静定结构只要产生一个塑性铰即发生塑性破坏，n 次超静定结构一定要产生n +1个塑性铰才产生塑性破坏。 2、塑性铰与普通铰不同，它是一种单向铰，只能沿弯矩增大的方向发生相对转动。 3、超静定结构的极限荷载不受温度变化、支座移动等因素影响。 4、结构极限荷载是结构形成最容易产生的破坏机构时的荷载。 5、极限荷载应满足机构、力局限和平衡条件。 6、塑性截面系数s W 和弹性截面系数W 的关系为W W s 。 二、计算题： 7、设u M 为常数。求图示梁的极限荷载u M 及相应的破坏机构。 l M 8、设极限弯矩为u M ，用静力法求图示梁的极限荷载。 B 2l /3 l /3 9、图示梁各截面极限弯矩均为u M ，欲使A 、B 、D 三处同时出现塑性铰。确定铰 C 的位置，并求此时的极限荷载u P 。 a l b 10、画出下列变截面梁极限状态的破坏机构图。
0.3l 0.35l 0.35l ( )b l /3 l /3 l /3 ( )c ( ) a 11、图示简支梁，截面为宽b 高h 的矩形，材料屈服极限y σ。确定梁的极限荷载u P 。 l l l /3/3/3 12、图示等截面梁，截面的极限弯矩为m kN 90u ?=M ，确定该梁的极限荷载u P 。 2m 2m 13、图示等截面梁，截面的极限弯矩m kN 90u ?=M ，求极限荷载u P 。 2m 4m 14、求图示梁的极限荷载u P 。已知极限弯矩为u M 。
15、图示梁截面极限弯矩为u M 。求梁的极限荷载u P ，并画出相应的破坏机构与M 图。 0.5l 0.5l 0.5l 0.5l 0.5l 16、求图示梁的极限荷载u q 。 17、求图示结构的极限荷载u P 。A C 段及C E 段的u M 值如图所示。 P 2m 2m 2m 2m 18、求图示结构的极限荷载u P ，并画极限弯矩图。各截面u M 相同。 23m 1.5 1.51m 19、求图示结构的极限荷载u P ，并画极限弯矩图。=u M 常数。 l 2l l 2l l l
综合试题（一卷）一、填空题（每空1分，共20分） 1．作用按时间的变异分为:永久作用,可变作用,偶然作用_ 2． 影响结构抗力的因素有：材料性能的不定性,几何参数的不定性,计算模式的不定性.. 3．冻土的四种基本成分是_固态的土颗粒,冰,液态水,气体和水汽. 4．正常使用极限状态对应于结构或者构件达到_正常使用或耐久性能_的某项规定 5． 结构的可靠性是_安全性,适用性,耐久性__的总称. 6．结构极限状态分为_承载能力极限状态,正常使用极限状态_. 7． 结构可靠度的确定应考虑的因素,除了公众心理外,还有结构重要性,社会经济承 受力,结构破坏性质 二.名词解释(10分)作用：能使结构产生效应(力,应力,位移,应变等)的各种因素总称为作用（3分） 承载能力极限状态：结构或构件达到最大承载力或不适于继续承载的变形,这种状态称为承载能力极限状态.（4分） 三.简答题. (共20分结构抗力的不定性的影响有哪些? 答：①结构材料性能的不定性、②结构几何参数的不定性、③结构计算模式的不定性。 1. 基本风压的5个规定.答：基本风压通常应符合以下五个规定。①标准高度的规定。 我国《建筑结构荷载规》规定以10m 高为标准高度。②地貌的规定。我国及世界上大多数国家规定，基本风速或基本风压按空旷平坦地貌而定。③公称风速的时距。规定的基本风速的时距为10min 。④最大风速的样本时间。我国取1年作为统计最大风速的样本时间。⑤基本风速的重现期。我国规定的基本风速的重现期为30年。（每点1分）(5) 2. 简述直接作用和间接作用的区别.(6)答：①将能使结构产生效应得各种因素总称为 作用；将作用在结构上的因素称为直接作用，②不是作用，但同样引起结构效应的因素称为间接作用。③直接荷载为狭义的荷载，广义的荷载包括直接荷载和间接荷载。（每 四、计算题（50分）设标准地貌为空旷地面，标准高度为10m ，条件下测得的 风速变化指数15.0=s α，梯度风高m H TS 365=，基本风压20/7.0m KN w =。计算某市中心3.0=a α，m H a 390=，高度为25m 处的风压。（10分） 解：根据非标准条件下风压的换算公式： `()α2???? ??=s oa a z z w z w （2分） 已知：m z 25=， m z s 10=，3.0=α，将高度为25m 处的风压换算成该地貌标准高度处的风压 则：()3.02102525???? ??=oa a w w ()oa a w w 73.125=（1）（2分） 又根据非标准地貌的风压换算公式： a s a Ts s Ts o oa z H z H w w αα22-???? ??????? ??=（2分） 已知：2/7.0m KN w o =，15.0=s α，365=Ts H ，30.0=a α，390=Ta H ，将该地貌处得基
极限荷载 一、选择题：（将选中答案的字母填入括弧内） 1、图示等截面梁发生塑性极限破坏时，梁中最大弯矩发生在：（ ） A ．梁中点a 处； B ．弹性阶段剪力等于零的b 点处； C ．a 与b 之间的c 点处； D ．a 左侧的d 点处。 q 2、图示单跨变截面梁，已知M u2>3M u1,其极限状态为：（ ） a a a M u1 3、图示四种同材料、同截面型式的单跨梁中，其极限荷载值最大的为：（ ） A ． P/l l B ． /2l /2 l C ．/2 l /2 l D ．l 4、图示等截面梁的截面极限弯矩M u kN m =?120，则其极限荷载为（ ）。 A ．120kN ； B ．100kN ； C ．80kN ； D ．40kN 。 3m 3m 5、塑性截面系数W s 和弹性截面系数W 的关系为： A ．W W s =； B ．W W s ≥； C ．W W s ≤； D ．W s 可能大于，也可能小于W 。
三、填充题：（将答案写在空格内） 1、对图示工字形截面来说，极限弯矩是屈服弯矩的_________倍。已知b =30cm ，t =10cm 。 b t t 2、图示简支梁，截面为宽b 高h 的矩形，材料屈服极限y σ。则梁的极限荷载__________=u P 。 l l l /3/3/3 四、计算题： 1、图示梁各截面M u 相同。求P 的最不利位置，亦即x 为何值时，P u 最小。 2、用静力法求图示结构的极限荷载P u 。 12m 2m 3、试计算图示结构在给定荷载作用下达到极限状态时，其所需的截面极限弯矩值M u 。