Harbin Institute of Technology
超静定梁中的极限荷
载的研究
课程名称：结构力学
院系：土木工程学院
班级：1433111
姓名：李渊
学号： 1143310120
摘要：大多数工程材料，特别是钢材，受力后发生变形，一般都存在线性弹性阶段、屈服阶段和强化阶段。因此，随着荷载的增加，结构截面上应力大的点首先达到屈服强度，发生屈服，结构将进入弹塑性状态。这时虽然截面部分材料已进入塑性状态，但尚有相当大的部分材料仍处于弹性范围，因而结构仍可继续加载。当荷载增加到一定程度，结构中进入塑形的部分不断扩展直至完全丧失承载能力，导致结构崩溃(或倒塌)。因此研究结构极限状态下的极限荷载，是十分有必要的，对于结构安全储备的考虑的依据提供有重要意义。
正文：
一、极限荷载的有关意义
定义：结构出现塑性变形直到崩溃时所能承受的最大荷载，称为极限荷载，它是考虑结构安全储备设计依据的因素之一，且按极限状态设计结构比弹性设计更经济。 通过对弹性设计方法及其许用应力设计法的研究，并在其方面进行了探讨，得到弹性设计方法及其许用应力设计法的最大缺陷是以某一截面上的max σ达到[σ]作为衡量整个结构破坏的标准。事实上，由塑性材料组成的结构（特别是超静定结构）当某一局部的max σ达到了屈服应力时，结构还没有破坏，还能承受更大的荷载。因此弹性设计法不能充分的利用结构的承载能力，是不够经济的。
塑性分析考虑了材料的塑性性质，其强度要求以结构破坏时的荷载作为标准：
max []Pu
P p u
F F F k ≤=
其中，Pu F 是结构破坏时荷载的极限值，即极限荷载。u k 是相应的安全系数。
对结构进行塑性分析时仍然要用到平衡条件、几何条件、平截面假定，这与弹性分析时相同。另外还要采用以下假设：
图1
（1）材料为理想弹塑性材料。其应力与应变关系如图所示。（图1）
（2）比例加载：全部荷载可以用一个荷载参数P 表示，不会出现卸载现象。 （3）结构的弹性变形和塑性变形都很小。
从应力与应变图中看出，一旦进入塑性阶段（AB 段），应力与应变不再是一一对应的关系，
D
s
σσ
只有了解全部受力变形过程才能得到结构的弹塑性解答。但塑性分析法只考虑结构破坏状态时对应的极限荷载，所以比弹塑性分析法要简单的多。 值得注意的是，塑性分析只适用于延性比较好的弹塑性材料组成的结构，而不适用于脆性材料组成的结构，也不适用于对变形条件要求较严的结构。
二、相关概念
1、 极限弯矩
（1）屈服弯矩:随着M 的增大，截面最外层纤维处的应力达到屈服应力s σ时，截面承受的弯矩称作弹性极限弯矩或者屈服弯矩。
e s M W σ=,式中，W 是弹性弯曲截面系数。
（2）极限弯矩: M 不断增大，整个截面的应力达到屈服应力s σ时，截面承受的弯矩称作极限弯矩。
u s s M W σ=,s W 是塑性截面系数，
其值为等截面轴上、下部分面积对该轴的静矩。可见，纯弯曲时，M 只与材料的屈服应力s σ和截面的几何尺寸、形状有关。剪力和轴力对M 的影响可以忽略不计。
2.塑性铰
（1）概念：当整个截面应力达到屈服极限时，保持极限弯矩不变，两个无限靠近的截面可以发生有限的相对转动，这样的截面称为塑性铰。 （2）塑性较的特点：
①塑性铰可以承受极限弯矩。②塑性铰是单向铰。
③卸载时塑性铰消失。④随着荷载分布的不同，塑性铰可以出现在不同的位置。
3.破坏机构
结构在极限荷载作用下，由于出现足够多的塑性铰而形成的机构叫做破坏机构。破坏机构可以在整体结构中形成，比如简支梁；也可以在结构上的某一局部形成，比如多跨连续梁。同一结构荷载不同时，破坏机构一般也不同。 静定结构在弯矩峰值截面形成一个塑性铰后，就形成破坏机构而丧失承载能力。对于超静定结构，因为有多余约束，要形成足够多的塑性铰才能丧失承载能力，这也是我们在做结构时，要设计成超静定结构的重要原因之一。
三、判定极限荷载时的一般定理
1.极限状态应满足的条件
（1）平衡条件：在结构的极限受力状态中，结构整体及其任一局部都能维持平衡。 （2）屈服条件：在结构的极限受力状态中，任一截面的弯矩绝对值都不会超过其极限弯矩，
即u M M ≤。
（3）单向机构条件：在极限受力状态下，结构已形成足够多的塑性铰而成为机构，能够沿荷载作正功的方向作单向运动。 2.两个定义
（1）可破坏荷载：对于任一破坏机构，由平衡条件求得的荷载。用P F +表示。
（2）可接受荷载：取结构的弯矩分布，使所有截面弯矩都满足屈服条件，用平衡条件求得的荷载。用P F -表示 3.四个定理
（1）基本定理：P F +≥P F -。
（2）上限定理：极限荷载是可破坏荷载中的最小值。 （3）下限定理：极限荷载是可接受荷载中的最大值。 （4）唯一性定理：一个结构的极限荷载值是唯一确定的。
应当指出的是，极限荷载是唯一的，而其相应的极限内力状态可能不唯一。
四、计算超静定梁的极限荷载的一般方法
1.超静定梁结构极限荷载的计算有以下三个特点：
（1）如能事先判断出超静定梁的破坏机构，就无须考虑结构的弹塑性变形的发展过程，直接利用机构的平衡条件求F Pu 。
（2）超静定结构极限荷载的计算, 只需考虑平衡条件，而无须考虑变形协调条件。因而计算比弹性计算简单。
（3）超静定结构极限荷载,不受温度改变,支座移动等因素的影响。 （4）假定等截面单跨超静定梁破坏机构的原则：
①跨中塑性铰只能出现在集中力作用点处或分布荷载分布范围内剪力为零处。 ②当梁上荷载同为向下作用时，负塑性铰只可能出现在固定端处。
2.超静定梁极限荷载的计算方法：
（1）极限平衡法：取破坏机构作为分析对象，让塑性铰处的截面弯矩等于极限弯矩，根据极限状态结构的内力分别情况，利用平衡条件求极限荷载。 在建立破坏机构的平衡条件时，可以直接建立静力平衡条件，也可以采用虚功方程建立平衡。利用虚功方程时，将破坏机构看作刚体系，令其沿荷载作正功的方向发生虚位移，塑性铰截面处的极限弯矩看作外力，并且它与塑性铰转角的转向始终相反，则虚功方程为：
0u i P M θ?-=∑
（2）穷举法（基于上限定理）：列出结构所有可能的破坏机构，利用平衡条件或者虚功方程一一求出所对应的可破坏荷载，然后取其中的最小值，就是极限荷载。 （3）试算法（基于唯一性定理）选择一个破坏机构，利用极限平衡法求出相应的破坏荷载，作出弯矩图检查各个截面弯矩是不是满足屈服条件。如果满足，所得到得破坏荷载就是极限荷载。
应用试算法计算时，应选择外力功较大，极限弯矩做功相对较小的破坏机构进行试算。由这样的破坏机构所求得的可破坏荷载较小，有可能成为极限荷载。
五、举例说明求解梁的极限荷载的一般步骤和方法
【例1】 求图2示单跨超静定梁的极限荷载 FPu 。 解：此梁出现两个塑性铰即成为破坏机构（极限状态）；第二个塑性铰C 形成时的状态即为极限状态。
C 点的具体位置可用如下方法确定。
图（b ）为一破坏机构，用机动法确定其极限荷载，由虚功方程：（如图所示）
【例1】已知，EI =C i （），max max (M )()AB BC u M M ++==，max ()2CD u M M +
=，max max () 1.2()M M -+=。求图3a 所示多跨连续梁的极限荷载。
分析：如果连续梁在每跨内为等截面，各跨的横截面可以不相同，同时荷载的作用方向相同，并按比例加载时，其破坏机构只能在各跨内独立形成，不可能各跨联合形成破坏机构。 解：（穷举法）：可能出现的破坏机构有三种。
（1）AB 跨出现塑性铰，单独破坏。虚位移图如图5.1（b ）所示，由虚功方程：
0.5
0.5l
l
0.75l
0.75l
A
B
C
D 图3a
图2
[]1() 1.2()0u A B u B q l M M θθθ+?+-++-=
又 0.5A B l θθ?==
得： 126.4u M q l
+
=
（1） BC 跨出现塑性铰，单独破坏。虚位移图如图3c 所示，由虚功方程：
[]21() 1.2()() 1.2()02
u B u B C u C q l M M M θθθθ+?+-+-++-= 又 0.5B C l θθ?
==
得： 2217.6u M q l
+
=
（3）CD 跨出现塑性铰，单独破坏。虚位移图如图5.1（d ）所示，由虚功方程可：
[]31.5 1.2()2() 2.4()0u C u C D u D q l M M M θθθθ+
?+-+-++-=
又 0.75C D l θθ?
==
得： 326.756u M q l
+
=
综上所述，极限荷载}
{
1232
min ,, 6.4u
u M q q q q l +++
==
五、结论
（1）结构全弹性设计除特别的重要结构外，是极部经济的。在理想弹塑性、比例加载、只关心到破坏为止所能承受的荷载大小时，可用极限平衡法计算结构的极限荷载。对简单结构实际上这是一种试算法，首先分析确定可能的破坏形式，根据极限状态的平衡、局限和单向机构条件进行试算，同时满足三条件的就是计算状态，对应的荷载就是极限荷载。
u
u
M 3q l
+
+
图3c
u
2q l
+
+
图3b
u
1q l
++图3d
第17章 极限荷载 【17-1】 验证：（a ）工字形截面的极限弯矩为)41(2 12δδδσb h bh M s u + =。 （b ）圆形截面的极限弯矩为63 D M s u σ=。 （c ）环形截面的极限弯矩为????? ?--=33 )21(16 D D M s u δσ。 【解】 （a ）工字形截面的等面积轴位于中间。 静距计算公式：202 1 d xy y xy S y ==? 考虑上半部分面积对等面积轴的静距（大矩形静距减两个小矩形静距）： )41(21)4(21)2)((21)2(21211212222121122 222 212bh b b h h bh h h b bh h b h b S δδδδδδδδδδδδδδδδ+-+-=+-+-=---= 去除高阶小量后)41(212 1 2δδδb h bh S + = 因此极限弯矩为)41()(2 1 2δδδσσb h bh S S M s s u +=+= （b ）静距计算公式：202 1d xy y xy S y = =?
6 3 2 2d 2) )2 (d(21)2(4d )2(43 )2(0 23)2(0 20222220 2 222D u u u y D y D y y y D S D D D D = ?=?=-?-=?-=? ?? 关/注；公，众。号：倾听细雨因此极限弯矩为63 D S M s s u σσ== （c ）圆的静距为6 3 D S = 则圆环的静距为????? ?--=-= 33 33)21(166)2(-6D D D D S δδ 因此极限弯矩为?? ????--==33 )21(16 D D S M s s u δσσ 【17-2】 试求图示两角钢截面的极限弯矩u M 。设材料的屈服应力为s σ。 【解】 设等面积轴距上顶面距离为xmm 。 由面积轴两侧面积相等，也即面积轴以上面积等于总面积的一半，得 405550))50(2 1 (22?+?=-+x x x ，解得mm x 723.4=。 单个角钢上下截面面积矩： 3 232323223 3214879mm ])723.440(20)723.440(3 1 )723.445(20)723.445(3 1 [)723.445(521723.431723.4)723.445(21540mm 723.431 723.4)723.450(21=+?++?-+?-+?-+??+?-?-?==?+?-?=S S 由此得截面极限弯矩s s s u S S M σσσ10838)4879540(2)(221=+?=+= 【17-3】 试求图示各梁的极限荷载。 【解】 （1）塑性铰可能出现在竖直支座处 记塑性铰处转角为θ ，则杆端竖
第十一章 结构的极限荷载 一、判断题： 1、 静定结构只要产生一个塑性铰即发生塑性破坏， n 次超静定结构一定要产生 n +1 个塑性铰才产生塑性破坏。 2、 塑性铰与普通铰不同，它是一种单向铰，只能沿弯矩增大的方向发生相对转动。 3、 超静定结构的极限荷载不受温度变化、支座移动等因素影响。 4、 结构极限荷载是结构形成最容易产生的破坏机构时的荷载。 5、 极限荷载应满足机构、内力局限和平衡条件。 6、塑性截面系数 W s 和弹性截面系数 W 的关系为W s W 。 、计算题: 7、设M u 为常数。求图示梁的极限荷载 M u 及相应的破坏机构。 B f M ------------------------------------------D 丄 l &设极限弯矩为 M u ，用静力法求图示梁的极限荷载。 l/3 9、图示梁各截面极限弯矩均为 M u ，欲使A 、B 、D 三处同时出现塑性铰。确定铰 C 的位置，并求此时的极限荷载 P u 。 10、画出下列变截面梁极限状态的破坏机构图。 1 a _______ -一 b -J l A X . P B 2l/3
11、图示简支梁，截面为宽b高h的矩形，材料屈服极限 12、图示等截面梁，截面的极限弯矩为M u 90kN m M u 13、图示等截面梁，截面的极限弯矩M u 90 kN m， (b) —/ 3M u M u I 1/3 1/3 1/3 ------ b ------- ----------- 14、求图示梁的极限荷载P u。已知极限弯矩为 y。确定梁的极限荷载P u。 ，确定该梁的极限荷载P u。 2m 2m 2m 求极限荷载P u。
第十一章 结构的极限荷载 一、判断题： 1、静定结构只要产生一个塑性铰即发生塑性破坏，n 次超静定结构一定要产生n +1个塑性铰才产生塑性破坏。 2、塑性铰与普通铰不同，它是一种单向铰，只能沿弯矩增大的方向发生相对转动。 3、超静定结构的极限荷载不受温度变化、支座移动等因素影响。 4、结构极限荷载是结构形成最容易产生的破坏机构时的荷载。 5、极限荷载应满足机构、力局限和平衡条件。 6、塑性截面系数s W 和弹性截面系数W 的关系为W W s 。 二、计算题： 7、设u M 为常数。求图示梁的极限荷载u M 及相应的破坏机构。 l M 8、设极限弯矩为u M ，用静力法求图示梁的极限荷载。 B 2l /3 l /3 9、图示梁各截面极限弯矩均为u M ，欲使A 、B 、D 三处同时出现塑性铰。确定铰 C 的位置，并求此时的极限荷载u P 。 a l b 10、画出下列变截面梁极限状态的破坏机构图。
0.3l 0.35l 0.35l ( )b l /3 l /3 l /3 ( )c ( ) a 11、图示简支梁，截面为宽b 高h 的矩形，材料屈服极限y σ。确定梁的极限荷载u P 。 l l l /3/3/3 12、图示等截面梁，截面的极限弯矩为m kN 90u ?=M ，确定该梁的极限荷载u P 。 2m 2m 13、图示等截面梁，截面的极限弯矩m kN 90u ?=M ，求极限荷载u P 。 2m 4m 14、求图示梁的极限荷载u P 。已知极限弯矩为u M 。
15、图示梁截面极限弯矩为u M 。求梁的极限荷载u P ，并画出相应的破坏机构与M 图。 0.5l 0.5l 0.5l 0.5l 0.5l 16、求图示梁的极限荷载u q 。 17、求图示结构的极限荷载u P 。A C 段及C E 段的u M 值如图所示。 P 2m 2m 2m 2m 18、求图示结构的极限荷载u P ，并画极限弯矩图。各截面u M 相同。 23m 1.5 1.51m 19、求图示结构的极限荷载u P ，并画极限弯矩图。=u M 常数。 l 2l l 2l l l
极限荷载 一、选择题：（将选中答案的字母填入括弧内） 1、图示等截面梁发生塑性极限破坏时，梁中最大弯矩发生在：（ ） A ．梁中点a 处； B ．弹性阶段剪力等于零的b 点处； C ．a 与b 之间的c 点处； D ．a 左侧的d 点处。 q 2、图示单跨变截面梁，已知M u2>3M u1,其极限状态为：（ ） a a a M u1 3、图示四种同材料、同截面型式的单跨梁中，其极限荷载值最大的为：（ ） A ． P/l l B ． /2l /2 l C ．/2 l /2 l D ．l 4、图示等截面梁的截面极限弯矩M u kN m =?120，则其极限荷载为（ ）。 A ．120kN ； B ．100kN ； C ．80kN ； D ．40kN 。 3m 3m 5、塑性截面系数W s 和弹性截面系数W 的关系为： A ．W W s =； B ．W W s ≥； C ．W W s ≤； D ．W s 可能大于，也可能小于W 。
三、填充题：（将答案写在空格内） 1、对图示工字形截面来说，极限弯矩是屈服弯矩的_________倍。已知b =30cm ，t =10cm 。 b t t 2、图示简支梁，截面为宽b 高h 的矩形，材料屈服极限y σ。则梁的极限荷载__________=u P 。 l l l /3/3/3 四、计算题： 1、图示梁各截面M u 相同。求P 的最不利位置，亦即x 为何值时，P u 最小。 2、用静力法求图示结构的极限荷载P u 。 12m 2m 3、试计算图示结构在给定荷载作用下达到极限状态时，其所需的截面极限弯矩值M u 。
第12章 结构的极限荷载
12.1 概述
结构分析方法 弹性分析 塑性分析
结构设计方法 弹性设计 塑性设计
结构的弹性分析和设计：
基本假定：第一，结构的材料服从虎克定律，应力与应变成正比； 第二，结构的变形和位移都是微小的。
内力计算和位移计算都可以应用叠加原理
弹性设计时的强度条件：σ max
≤ [σ ]
=
σy
ky
材料屈服极限
偏于保守！
容许应力
安全系数
12.1 概述
结构的弹性分析和设计：
弹性设计时的强度条件：σ max
≤ [σ ]
=
σy
ky
材料屈服极限
偏于保守！
容许应力
安全系数
结构的塑性分析和设计：
塑性设计时的强度条件：
FP
≤ [FP ]
=
FP u ku
结构极限荷载
更合理、经济
容许荷载
安全系数
充分估计由弹塑性材料组成的超静定结构在超越材料屈服极限 以后的承载能力。
12.1 概述
结构的塑性分析和设计：
结构塑性分析 的主要任务
塑性设计时的强度条件：
FP
≤ [FP ]
=
FP u ku
结构极限荷载
更合理、经济
容许荷载
安全系数
极限状态与极限荷载： 结构变形随荷载增加而增大。当荷载达到某一临界值时，不
再增加荷载变形也会继续增大，这时结构丧失了进一步的承载能 力，这种状态称为结构的极限状态，此时的荷载称为极限荷载。
. 第十一章 结构的极限荷载 一、判断题： 1、静定结构只要产生一个塑性铰即发生塑性破坏，n 次超静定结构一定要产生n +1个塑性铰才产生塑性破坏。 2、塑性铰与普通铰不同，它是一种单向铰，只能沿弯矩增大的方向发生相对转动。 3、超静定结构的极限荷载不受温度变化、支座移动等因素影响。 4、结构极限荷载是结构形成最容易产生的破坏机构时的荷载。 5、极限荷载应满足机构、内力局限和平衡条件。 6、塑性截面系数s W 和弹性截面系数W 的关系为W W s 。 二、计算题： 7、设u M 为常数。求图示梁的极限荷载u M 及相应的破坏机构。 l M 8、设极限弯矩为u M ，用静力法求图示梁的极限荷载。
. 9、图示梁各截面极限弯矩均为u M ，欲使A 、B 、D 三处同时出现塑性铰。确定铰 C 的位置，并求此时的极限荷载u P 。 l 10、画出下列变截面梁极限状态的破坏机构图。 ( )b l /3 l /3 l /3 ( )c ( ) a 11、图示简支梁，截面为宽b 高h 的矩形，材料屈服极限y σ。确定梁的极限荷载 u P 。 l l l /3/3/3 12、图示等截面梁，截面的极限弯矩为m kN 90u ?=M ，确定该梁的极限荷载u P 。 2m 2m
. 13、图示等截面梁，截面的极限弯矩m kN 90u ?=M ，求极限荷载u P 。 2m 4m 14、求图示梁的极限荷载u P 。已知极限弯矩为u M 。 l 15、图示梁截面极限弯矩为u M 。求梁的极限荷载u P ，并画出相应的破坏机构与 M 图。 0.5l 0.5l 0.5l 0.5l 0.5l 16、求图示梁的极限荷载u q 。 2 17、求图示结构的极限荷载u P 。A C 段及C E 段的u M 值如图所示。 P 2m 2m 2m 2m
Harbin Institute of Technology 超静定梁中的极限荷 载的研究 课程名称：结构力学 院系：土木工程学院 班级：1433111 姓名：李渊 学号： 1143310120
摘要：大多数工程材料，特别是钢材，受力后发生变形，一般都存在线性弹性阶段、屈服阶段和强化阶段。因此，随着荷载的增加，结构截面上应力大的点首先达到屈服强度，发生屈服，结构将进入弹塑性状态。这时虽然截面部分材料已进入塑性状态，但尚有相当大的部分材料仍处于弹性范围，因而结构仍可继续加载。当荷载增加到一定程度，结构中进入塑形的部分不断扩展直至完全丧失承载能力，导致结构崩溃(或倒塌)。因此研究结构极限状态下的极限荷载，是十分有必要的，对于结构安全储备的考虑的依据提供有重要意义。 正文： 一、极限荷载的有关意义 定义：结构出现塑性变形直到崩溃时所能承受的最大荷载，称为极限荷载，它是考虑结构安全储备设计依据的因素之一，且按极限状态设计结构比弹性设计更经济。 通过对弹性设计方法及其许用应力设计法的研究，并在其方面进行了探讨，得到弹性设计方法及其许用应力设计法的最大缺陷是以某一截面上的max σ达到[σ]作为衡量整个结构破坏的标准。事实上，由塑性材料组成的结构（特别是超静定结构）当某一局部的max σ达到了屈服应力时，结构还没有破坏，还能承受更大的荷载。因此弹性设计法不能充分的利用结构的承载能力，是不够经济的。 塑性分析考虑了材料的塑性性质，其强度要求以结构破坏时的荷载作为标准： max []Pu P p u F F F k ≤= 其中，Pu F 是结构破坏时荷载的极限值，即极限荷载。u k 是相应的安全系数。 对结构进行塑性分析时仍然要用到平衡条件、几何条件、平截面假定，这与弹性分析时相同。另外还要采用以下假设： 图1 （1）材料为理想弹塑性材料。其应力与应变关系如图所示。（图1） （2）比例加载：全部荷载可以用一个荷载参数P 表示，不会出现卸载现象。 （3）结构的弹性变形和塑性变形都很小。 从应力与应变图中看出，一旦进入塑性阶段（AB 段），应力与应变不再是一一对应的关系， D s σσ
结构的稳定计算、结构的极限荷载 (总分：100.00，做题时间：90分钟) 一、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：5，分数：12.50) 1.如下图所示等截面梁的极限弯矩M u=60kN·m，则其极限荷载F Pu=______。 （分数：2.50） 填空项1:__________________ （正确答案：40kN） 解析： 2.下图所示结构的稳定自由度为______。 （分数：2.50） 填空项1:__________________ （正确答案：3个） 解析：此题当中结点处抵抗转动的弹簧位移不独立。 3.超静定结构极限荷载的计算，只需考虑 1条件，而无需考虑 2条件，因而比弹性计算简单。（分数：2.50） 填空项1:__________________ （正确答案：静力平衡） 填空项1:__________________ （正确答案：变形协调） 解析： 4.结构的极限荷载应同时满足 1条件、 2条件和 3条件。 （分数：2.50） 填空项1:__________________ （正确答案：平衡） 填空项1:__________________ （正确答案：屈服） 填空项1:__________________ （正确答案：单向机构） 解析： 5.在同向竖向荷载作用下，连续梁的极限状态通常是 1。 （分数：2.50） 填空项1:__________________ （正确答案：在各跨独立形成破坏机构） 解析： 二、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：11，分数：27.50) 6.下图所示弹性支承刚性压杆体系的稳定自由度为______。 ? A.1 ? B.2 ? C.3 ? D.4 （分数：2.50） A. B. √ C. D. 解析：
第17章 结构的极限荷载 17.1 复习笔记 一、概述 1．弹性设计方法 利用弹性计算的结果，以许用应力为依据确定截面的尺寸或进行强度验算的作法。 2．塑性设计方法 考虑材料塑性变形，确定结构破坏时所能承担的荷载，以此为依据得到容许荷载的方法。 3．基本假设 （1）材料是理想的弹塑性材料； （2）满足平面截面假定； （3）忽略剪力和轴力对极限弯矩的影响。 二、极限弯矩、塑性铰和极限状态 1．极限弯矩和极限状态 以图17-1理想弹塑性材料的矩形截面梁处于纯弯矩状态为例：
图17-1 （1）图（b）：弹性阶段，弯矩M为：——屈服弯矩； （2）图（c）：弹塑性阶段，部分为弹性区； （3）图（d）：塑性流动阶段，。弯矩M为：——极限弯矩。2．塑性铰 塑性铰是指弯矩达到极限弯矩时的截面。 三、超静定梁的极限荷载 1．超静定梁的破坏过程和极限荷载的特点 （1）静定梁 只要一个截面出现塑性铰，梁就成为机构，丧失承载力以致破坏。 （2）超静定梁 具有多余约束，必须出现足够多的塑性铰，才能使其成为机构，丧失承载力以致破坏。（3）以图17-2等截面梁来说明
图17-2 图（b）为弹性阶段（）的M图，A截面弯矩最大；后，塑性区在A附近形成并扩大，在A截面形成第一个塑性铰，M图如（c）图；继续增加，荷载增量引起的弯矩增量图相应于简支梁的弯矩图，如图（d），第二个塑性铰出现在C截面，梁变成机构。 由平衡条件可知 得极限荷载 另外，极限荷载也可以利用虚功原理求得，图（e）为破坏机构一种可能位移。 外力作功为： 内力作功为： 由虚功原理得
（4）超静定结构极限荷载计算的特点 ①只需考虑最后的破坏机构； ②只需考虑静力平衡条件； ③不受温度变化和支座位移等的影响。 2.连续梁的极限荷载 （1）条件 ①梁的每一跨度内为等截面； ②荷载的作用方向相同，并按比例增加。 （2）结论 ①连续梁只可能在各跨独立形成破坏机构，如图17-3（a ）、 （b ）； ②不可能由相邻几跨联合形成一个破坏机构，如图17-3（c ）。 图17-3 （3）连续梁极限荷载的计算方法 ①对每一单跨破坏机构分别求出相应的破坏荷载；
第十一章 结构的极限荷载 一、判断题： 1、静定结构只要产生一个塑性铰即发生塑性破坏，n 次超静定结构一定要产生n +1个塑性铰才产生塑性破坏。 2、塑性铰与普通铰不同，它是一种单向铰，只能沿弯矩增大的方向发生相对转动。 3、超静定结构的极限荷载不受温度变化、支座移动等因素影响。 4、结构极限荷载是结构形成最容易产生的破坏机构时的荷载。 5、极限荷载应满足机构、内力局限和平衡条件。 6、塑性截面系数s W 和弹性截面系数W 的关系为W W s 。 二、计算题： 7、设u M 为常数。求图示梁的极限荷载u M 及相应的破坏机构。 l M 8、设极限弯矩为u M ，用静力法求图示梁的极限荷载。 2l /3 l /3 9、图示梁各截面极限弯矩均为u M ，欲使A 、B 、D 三处同时出现塑性铰。确定铰C 的位置，并求此时的极限荷载u P 。 l 10、画出下列变截面梁极限状态的破坏机构图。
( )b l /3 l /3 l /3 ( )c ( ) a 11、图示简支梁，截面为宽b 高h 的矩形，材料屈服极限y σ。确定梁的极限荷载u P 。 l l l /3/3/3 12、图示等截面梁，截面的极限弯矩为m kN 90u ?=M ，确定该梁的极限荷载u P 。 2m 2m 13、图示等截面梁，截面的极限弯矩m kN 90u ?=M ，求极限荷载u P 。 2m 4m 14、求图示梁的极限荷载u P 。已知极限弯矩为u M 。 15、图示梁截面极限弯矩为u M 。求梁的极限荷载u P ，并画出相应的破坏机构与M 图。 0.5l 0.5l 0.5l 0.5l 0.5l
不得用于商业用途 第十一章 结构的极限荷载 一、判断题： 1、静定结构只要产生一个塑性铰即发生塑性破坏，n 次超静定结构一定要产生n +1个塑性铰才产生塑性破坏。 2、塑性铰与普通铰不同，它是一种单向铰，只能沿弯矩增大的方向发生相对转动。 3、超静定结构的极限荷载不受温度变化、支座移动等因素影响。 4、结构极限荷载是结构形成最容易产生的破坏机构时的荷载。 5、极限荷载应满足机构、内力局限和平衡条件。 6、塑性截面系数s W 和弹性截面系数W 的关系为W W =s 。 二、计算题： 7、设u M 为常数。求图示梁的极限荷载u M 及相应的破坏机构。 8、设极限弯矩为u M ，用静力法求图示梁的极限荷载。 9、图示梁各截面极限弯矩均为u M ，欲使A 、B 、D 三处同时出现塑性铰。确定铰C 的位置，并求此时的极限荷载u P 。 10、画出下列变截面梁极限状态的破坏机构图。 11、图示简支梁，截面为宽b 高h 的矩形，材料屈服极限y σ。确定梁的极限荷载u P 。 12、图示等截面梁，截面的极限弯矩为m kN 90u ?=M ，确定该梁的极限荷载u P 。 13、图示等截面梁，截面的极限弯矩m kN 90u ?=M ，求极限荷载u P 。 14、求图示梁的极限荷载u P 。已知极限弯矩为u M 。 15、图示梁截面极限弯矩为u M 。求梁的极限荷载u P ，并画出相应的破坏机构与M 图。 16、求图示梁的极限荷载u q 。 17、求图示结构的极限荷载u P 。A C 段及C E 段的u M 值如图所示。 18、求图示结构的极限荷载u P ，并画极限弯矩图。各截面u M 相同。