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高中数学:分段函数的四大类型

高中数学:分段函数的四大类型
高中数学:分段函数的四大类型

高中数学:分段函数的四大类型

函数是高中数学的核心内容,分段函数是其中重要的一类,它能有效的考查函数的概念、符号及性质,分段函数也有自己的特点并在生活实际中有着广泛的应用。下面就分段函数常见的形式进行归纳整理。

一、常数型

常数分段函数就是指所给的每段上都是常数,这看似简单却有着自己特殊的功能。

例1、已知则不等式的解集是__________。

分析:对于要解的不等式,关键是要解决的问题。原分段函数实际上是对x的一种分类讨论。原不等式等价不等式组:

,原不等式的解为:

二、解析型

所谓分段函数中最常见的形式,它在不同的范围内定义了不同的解析式,这类问题的解决,主要是要求要逐段的思考分析。

例2、设函数则使得的自变量x的取值范围为()

A.

B.

C.

D.

分析:此题涉及两个不等式,它已知了解析式,我们可以分段来求解。等价于不等式组:

,解得:,故选A。

三、关系型

所谓关系型分段函数就是所给的某个区间是一个确定的关系式,但同时在其他区间上是一组关系式,解决它的问题需要不同区间上的关系互相转化。

例3、设,若有且只有两个实数解,则实数a的取值范围是()

A.

B.

C.

D.

分析:由于问题涉及参数的问题,又是一个周期模型,所以我们用草图1来分析。根据条件:

时,将图像进行上下的平移,而在上是一周期为1的周期函数,且函数在(0,1)与(-1,0)的图像相同。注意图像特点恰好经过A、B两点,结合直线可将点(0,1)下移至(0,-1)即可。解得:

。故选A。

四、情景型

有些分段函数例4、某服装厂生产一种服装,每件服装成本为40元,出厂单价为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100件时,每多订购一件,订购的全部服装的出厂单价降低0.02元,根据市场调查,销售商一次订购量不会超过500件。

(1)设一次订购量为x件,服装的实际出厂价为p 元,写出函数的表达式;

(2)当销售商一次订购450件时,该服装厂获得的利润是多少元?(服装厂售出一件的利润=实际出厂价-成本)

分析:(1)当时,;当时,

所以,

(2)设销售商的一次购量为x()件时,工厂获得利润L元,则,那么,

,当时,L=5850。

因此,当销售商一次订购450件时,该服装厂获得的利润是5850元。

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高中数学解题四大思想方法

思想方法一、函数与方程思想 姓名: 方法1 构造函数关系,利用函数性质解题 班别: 根据题设条件把所求的问题转化为对某一函数性质的讨论,从而使问题得到解决,称为构造函数解题。通过构造函数,利用函数的单调性解题,在解方程和证明不等式中最为广泛,解题思路简洁明快。 例1 (10安徽)设232555322(),(),(),555 a b c ===则,,a b c 的大小关系是( ) ....A a c b B a b c C c a b D b c a >>>>>>>> 例2 已知函数21()(1)ln , 1.2 f x x ax a x a =-+-> (1) 讨论函数()f x 的单调性; (2) 证明:若5,a <则对任意12121212 ()(),(0,),, 1.f x f x x x x x x x -∈+∞≠>--有 方法2 选择主从变量,揭示函数关系 含有多个变量的数学问题中,对变量的理解要选择更加合适的角度,先选定合适的主变量,从而揭示其中的函数关系,再利用函数性质解题。 例3 对于满足04p ≤≤的实数p ,使2 43x px x p +>+-恒成立的x 的取值范围是 . 方法3 变函数为方程,求解函数性质 实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界,充斥着等式和不等式,我们知道,哪里有等式,哪里就有方程;哪里有公式,哪里就有方程;求值问题一般是通过方程来实现的……函数与方程是密切相关的。列方程、解方程和研究方程的特性,都是应用方程思想时需要重点考虑的。 例4 函数()2)f x x π=≤≤的值域是( ) 11111122.,.,.,.,44332233A B C D ????????----?????????? ??????

高中数学四大思想

高中数学四大思想 1.数形结合思想 数形结合,“数”与“形”结合,相互渗透,把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合,使代数问题、几何问题相互转化,使抽象思维和形象思维有机结合。 实质:将抽象的数学语言与直观图形结合起来;将抽象思维和形象思维结合起来。抽象问题具体化,复杂问题简单化。 应用数形结合的思想,应注意以下数与形的转化: (1)集合的运算及韦恩图; (2)函数及其图象; (3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象; (4)方程(多指二元方程)及方程的曲线. 以形助数常用的有:借助数轴;借助函数图象;借助单位圆;借助数式的结构特征;借助于解析几何方法. 以数助形常用有:借助于几何轨迹所遵循的数量关系;借助于运算结果与几何定理的结合. 2.分类讨论思想 分类讨论思想,即根据所研究对象的性质差异,分各种不同的情况予以分析解决. 原则:化整为零,各个击破。无重复、无遗漏、最简。 步骤: 1)明确讨论对象,确定对象范围; 2)确定分类标准,进行合理分类,做到不重不漏; 3)逐类讨论,获得阶段性结果; 4)归纳总结,得出结论。 常见的分类情形有:按数分类;按字母的取值范围分类;按事件的可能情况分类;按图形的位置特征分类等.

3.函数与方程思想 函数思想,即将所研究的问题借助建立函数关系式或构造中间函数,结合初等函数的图象与性质,加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题; 方程思想,即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决. 运用函数与方程的思想时,要注意函数,方程与不等式之间的相互联系和转化,应做到: (1)深刻理解函数f(x)的性质(单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换),熟练掌握基本初等函数的性质。 (2)密切注意一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式等问题;掌握二次函数基本性质,二次方程实根分布条件,二次不等式的转化策略。 4.转化与化归思想 转化与化归思想,就是在研究和解决数学问题时采用某种方式,借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将,问题通过变换加以转化,进而达到解决问题的思想。 转化,是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程; 化归,是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题. 转化有等价转化与不等价转化。等价转化后的新问题与原问题实质是一样的;不等价转化则部分地改变了原对象的实质,需对所得结论进行必要的修正。 原则:化难为易、化生为熟、化繁为简,尽量是等价转化. 常见的转化有:正与反的转化、数与数的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化.

高中数学典型例题详解和练习- 求分段函数的导数

求分段函数的导数 例 求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导数 分析:当0=x 时因为)0(f '存在,所以应当用导数定义求)0(f ',当 0≠x 时,)(x f 的关系式是初等函数x x 1 sin 2,可以按各种求导法同求它的导数. 解:当0=x 时,01sin lim 1 sin lim ) 0()(lim )0(0200 ===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当 ≠x 时, x x x x x x x x x x x x x x x f 1 cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明:如果一个函数)(x g 在点0x 连续,则有)(lim )(0 0x g x g x x →=,但如 果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续,不能认为 )(lim )0(0 x f f x →='. 指出函数的复合关系 例 指出下列函数的复合关系. 1.m n bx a y )(+=;2.32ln +=x e y ; 3.)32(log 322+-=x x y ;4.)1sin(x x y +=。 分析:由复合函数的定义可知,中间变量的选择应是基本函数的结构,解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次,一般是从最外层开始,由外及里,一层一层地分析,把复合函数分解成若干个常

见的基本函数,逐步确定复合过程. 解:函数的复合关系分别是 1.n m bx a u u y +==,; 2.2,3,ln +===x e v v u u y ; 3.32,log ,322+-===x x v v u y u ; 4..1,sin ,3x x v v u u y +=== 说明:分不清复合函数的复合关系,忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式,而最内层可以是关于自变量x 的基本函数,也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数,导致陷入解题误区,达不到预期的效果. 求函数的导数 例 求下列函数的导数. 1.43)12(x x x y +-=;2.2 211x y -= ; 3.)3 2(sin 2π +=x y ;4.21x x y +=。 分析:选择中间变量是复合函数求导的关键.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的复合关系.要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体,这个暂时的整体,就是中间变量.求导时需要记住中间变量,注意逐层求导,不遗漏,而其中特别要注意中间变量的系数.求导数后,要把中间变量转换成自变量的函数.

高中数学函数最值问题的常见求解方法

一、配方法 例1:当01≤≤-x 时,求函数x x y 4322 ?-=+的最大值和最小值. 解析:34)3 22(32 + --=x y ,当01≤≤-x 时,122 1≤≤x .显然由二次函数的性质可得1min =y ,3 4max = y . 二、判别式法 对于所求的最值问题,如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题,则常可利用判别式求得函数的最值. 例2:已知012442 2 =-++-x x xy y ,求y 的最值. 解析:由已知,变形得0)1()12(242 2 =-+--y x y x ,R x ∈,则0≥?,即有 0)1(16)12(422≥---y y 故 4 5≤ y . 因此 4 5 max = y ,无最小值. 例3:若x 、R y ∈且满足:022 2 =-+++y x xy y x ,则m ax x = min y = 解析:由已知,变形得:0)()12(2 2 =++-+x x y x y ,R y ∈,则0≥?,即有 0)(4)12(22≥+--x x x ,于是018≥+-x ,即 81≤ x .即 8 1max =x . 同理,0)()12(2 2 =-+++y y x y x ,R x ∈,则0≥?,即有 0)(4)12(22≥--+y y y ,于是018≥+y ,即 81-≥y .即 8 1 min -=y . 注意:关于x 、y 的有交叉项的二元二次方程,通常用此法 例4:已知函数1 1 3452 2+++=x x x y ,求y 的最值. 解析:函数式变形为:0)1(34)5(2 =-+--y y x y ,R x ∈,由已知得05≠-y , 0)1)(5(4)34(2≥----=?∴y y ,即:0762≤--y y ,即:71≤≤-y . 因此 7max =y ,1min -=y . 例5:已知函数)(1 2R x x b ax y ∈++=的值域为]4,1[-,求常数b a , 解析: 01 2 22 =-+-?+=+?++= b y ax yx b ax y yx x b ax y

“函数思想”在高中数学中的教学及意义

“函数思想”在高中数学中的教学及意义 【内容摘要】函数在高中数学的全部体系中,具有极其重要的地位,拥有起承转合的功能,为了给学习更多的函数及导数、极限与积分打下稳固的根基,在高中数学学习中要重点学习函数的奇偶性、单调性还有周期性等性质。此文特别研究“函数思想”的教育与突出意义,希望得到师生的看重。 【关键词】高中数学函数思想意义 一、学习函数的重要性 关于函数的定义,在初中时会学到,但是在高中还会在初中数学的根基下继续拓展新的含义,重点是关于映射的理论,这些新概念需要学生加深对函数理论、思维、含义的掌握,必须明白之中的关联,找出函数思想的真义,才可以在遇到实际问题时灵活多变

地利用函数思想处理难题。“函数思想”体现了认识来源于实践这一哲学认识论,它来源于我们的社会活动,而函数中变量的概念也印证了人类社会在量变和质变统一中的永久性变化,所以,关于量变的一些实际问题能够用“函数思想”来解决。 德国的克莱因和英国的贝利,是函数出现在中学阶段的数学教材的关键人物。克莱因的观点是,函数概念和思想是数学教育的一部分,他说过函数是数学教育的主题,需要将所有的数学教学内容都放置在函数概念四周,综合运用。中学数学教学任务与函数思想紧密连接,在高中数学中灌输函数思想需要一线数学老师的研究,本文章就是浅议函数思想。 在函数思想讲解的初级阶段,老师起初要引出学生对函数思想的兴趣,了解函数的初步含义,调动学生的热情。教师需要分层讲解函数思想的定义,使学

生掌握函数思想的重点,全面认识函数思想的深度含义,接着,教师再概括归纳出逻辑性性强的函数定义。函数关系可以看作是通向两个变量间的路,通过特定的数学关系把两者连接在一起。 对于高中函数思想的教学来说,具有四个关键意义,有函数的知识导向功能、考试导向功能、应用导向功能和教育导向功能。知识导向功能表示的是函数思想作为高中数学的主体,在高中数学中所占份额很大,是打造高中数学全部知识的框架,因此掌握好函数有益于理解其它知识点,提升眼界,锻炼数学思维。函数的应用导向功能是指通过函数思想解决日常生活中的实际问题。函数思想的考试导向是指高考数学卷中有关函数的题型比例大。函数思想的教育导向功能是指学生创设和运用函数模型,来解决生活中的数学的实际问题,提升学生的综合素质,比如思考意识和

数学七大思想方法

数学七大思想方法 1 函数与方程思想 (1)函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象,概括与提炼,在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时,起着重要作用。 (2)方程思想是解决各类计算问题的基本思想,是运算能力的基础。高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查。 2 数形结合思想 (1)数学研究的对象是数量关系和空间形式,即数与形两个方面。 (2)在一维空间,实数与数轴上的点建立一一对应关系; 在二维空间,实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系。 数形结合中,选择、填空侧重突出考查数到形的转化,在解答题中,考虑推理论证严密性,突出形到数的转化。 3 分类与整合思想 (1)分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。 (2)从具体出发,选取适当的分类标准。 (3)划分只是手段,分类研究才是目的。 (4)有分有合,先分后合,是分类整合思想的本质属性。 (5)含字母参数数学问题进行分类与整合的研究,重点考查学生思维严谨性与周密性。 4 化归与转化思想 (1)将复杂问题化归为简单问题,将较难问题化为较易问题,将未解决问题化归为已解决问题。 (2)灵活性、多样性,无统一模式,利用动态思维,去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。 (3)高考重视常用变换方法:一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。 5 特殊与一般思想 (1)通过对个例认识与研究,形成对事物的认识。 (2)由浅入深,由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论。 (3)由特殊到一般,再由一般到特殊的反复认识过程。 (4)构造特殊函数、特殊数列,寻找特殊点、确立特殊位置,利用特殊值、特殊方程。 (5)高考以新增内容为素材,突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向。 6 有限与无限的思想 (1)把对无限的研究转化为对有限的研究,是解决无限问题的必经之路。 (2)积累的解决无限问题的经验,将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向。 (3)立体几何中求球的表面积与体积,采用分割的方法来解决,实际上是先进行有限次分割,再求和求极限,是典型的有限与无限数学思想的应用。 (4)随着高中课程改革,对新增内容考查深入,必将加强对有限与无限的考查。 7 或然与必然的思想 (1)随机现象两个最基本的特征,一是结果的随机性,二是频率的稳定性。 (2)偶然中找必然,再用必然规律解决偶然。 (3)等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点。

(完整版)高一数学分段函数练习题

高一数学函数的定义与分段函数测试题 1、给出函数?????<+≥=)4()1()4()21()(x x f x x f x ,则=)3(f ( ) A.823- B. 111 C. 19 1 D. 241 2、若f(x)=???≥)0()0(2πx x x x ???<-≥=) 0()0()(2x x x x x ?,则当x<0时,f[?(x)]=( ) A. -x B. -x 2 C.x D.x 2 3、下列各组函数表示同一函数的是( ) ①f(x)=|x|,g(x)=???<-≥) 0()0(x x x x ② f(x)=242--x x ,g(x)=x+2 ③f(x)=2x ,g(x)=x+2 ④f(x)=1122-+ -x x g(x)=0 x ∈{-1,1} A.①③ B.① C.②④ D.①④ 4、设f(x)=?????>+≤--1||111||,2|1|2x ,x x x ,则f[f(21)]=( ) A. 21 B.134 C. -59 D.4125 5、设函数3,(10)()((5)),(10)x x f x f f x x -≥?=?+≤+)2(,2)2(,22x x x x 则f(-4)=___________,若f(x 0)=8,则x 0=________ 6.、函数y =+的定义域为( ) A . {x |x ≤1} B . {x |x ≥0} C . {x |x ≥1或x ≤0} D . {x |0≤x ≤1} 7、.函数f (x )=的定义域为( ) A . [1,2)∪(2,+∞) B . (1,+∞) C . [1,2) D . [1,+∞) 8、函数 的定义域是( ) A . B . C . D .

高中数学常见思想方法总结

高中常见数学思想方法 方法一 函数与方程的思想方法 函数是中学数学的一个重要概念,它渗透在数学的各部分内容中,一直是高考的热点、重点内容.函数的思想,就是用运动变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,建立函数特征,重在对问题的变量的动态研究,从变量的运动变化、联系和发展角度拓宽解题思路.方程的思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解. 函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的. 【例1】 设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ,已知3121312,0,0a S S =><. (1)求公差d 的取值范围; (2)指出1S 、2S 、…、12S 中哪一个值最大,并说明理由. 【分析】 (1)利用公式n a 与n S 建立不等式,容易求解d 的范围;(2)利用n S 是n 的二次函数,将n S 中哪一个值最大,变成求二次函数中n 为何值时n S 取最大值的函数最值问题. 【解】(1) 由3a =12a d +=12,得到1a =12-2d , 所以12S =121a +66d =12(12-2d )+66d =144+42d >0, 13S =131a +78d =13(12-2d )+78d =156+52d <0. 解得:2437 d -<<-. (2)解法一:(函数的思想) n S =21115(1)(12)222 na n n d dn d n ++=+- =22 124124552222d d n d d ????????---- ? ????????????? 因为0d <,故212452n d ????-- ???????最小时,n S 最大.

1-1函数的表示方法与分段函数

函数的表示方法与分段函数 一、选择题 1.已知A={x|x=n2,n∈N},给出下列关系式:①f(x)=x;②f(x)=x2;③f(x)=x3;④f(x)=x4;⑤f(x)=x2+1,其中能够表示函数f:A→A的个数是() A.2 B.3 C.4 D.5 2.函数() y f x =的图象与直线1 x=的公共点数目是() A.1B.0C.0或1D.1或2 3.如图所示,能表示“y是x的函数”的有( ). ① A.1个B.2个C.3个D.4个 4.下列对应中有几个是映射?() ①②③④A.1个B.2个C.3个D.4个 5.已知集合{} 04 A x x =≤≤,{} 02 B y y =≤≤,下列从A到B的对应f不是映射的是A. 1 : 2 f x y x →=B. 1 : 3 f x y x →=C. 2 : 3 f x y x →=D.2 1 : 8 f x y x →= 6. 函数y=+) 2 ln(x -的自变量x的取值范围是() A.) ,0[+∞B.)2, (-∞C.)2,0[D.)2,1( )1,0[ 7.下列各组函数中,表示同一个函数的是() A.y=x-1和y= x2-1 x+1 B.y=x0和y=1 C.f(x)=x2和g(x)=(x+1)2 D.f(x)= x 2 x和g(x)= x x 2

8设()12 32, 2()log 1,2 x e x f x x x -?的解集是( ) A.),3()1,3(+∞?- B.),2()1,3(+∞?- C.),3()1,1(+∞?- D.)3,1()3,(?--∞ 11.函数y = 2 x -1 的定义域是(-∞,1)∪[2,5),则其值域是( ) A .(-∞,0)∪???? 12,2 B .(-∞,2] C.? ???-∞,1 2∪[2,+∞) D .(0,+∞) 12.函数f (x )=???? ? sin (πx 2),-10},f :x →y =|x |,其对应是从A 到B 的映射.

高中数学函数常用函数图形及其基本性质

高中数学函数常用函数图形及其基本性质 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

常见函数性质汇总 常数函数f (x )=b (b ∈R) 图象及其性质:函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合(垂直于y 轴) 的直线 一次函数f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R)|k|越大,图象越陡;|k|越小,图象越平缓; 图象及其性质:直线型图象。b=0;k>0;k<0 定义域:R 值域:R 单调性:当k>0时,当k<0时 奇偶性:当b =0时,函数f (x )为奇函数;当b ≠0时,函数f (x )没有奇偶性; 反函数:有反函数。K=±1、b=0的时候 周期性:无 补充:一次函数与其它函数之间的lianxi 1、与一元一次函数之间的联系 2、与曲线函数的联合运用 反比例函数f (x )= x k (k ≠0,k 值不相等永不相交;k 越大,离坐标轴越远) 图象及其性质:永不相交,渐趋平行;当k>0时,函数f (x )的图象分别在第 一、第三象限;当k<0时,函数f (x )的图象分别在第二、第四象限; 双曲线型曲线,x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线; 既是中心对成图形也是轴对称图形 定义域:),0()0,(+∞-∞ 值域:),0()0,(+∞-∞ 单调性:当k>0时;当k<0时 奇偶性:奇函数反函数:原函数本身周期性:无 x y b O f (x )=b x y O f (x )=kx +b x y O f (x )=x k

补充:1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用(常考查有无交点、交点围城图行的面积)——入手点常有两个— —⑴直接带入,李永二次函数判别式计算未知数的取值;⑵利用斜率,数形结合判断未知数取值(计算面积基本方法也基于此) 3、反函数变形(如右图)f (x )= d cx b ax ++(c ≠0且d ≠0) (对比标准反比例函数,总结各项内容) 二次函数 一般式:)0()(2≠++=a c bx ax x f 顶点式:)0()()(2≠+-=a h k x a x f 两根式:)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质:①图形为抛物线,对称轴为,顶点坐标为 ②当0>a 时,开口向上,有最低点当00时,函数图象与x 轴有两个交点();当<0时,函数图象与x 轴有一个交点();当=0时,函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2≠++=a c bx ax x f 关系)0()(2≠=a ax x f 定义域:R 值域:当0>a 时,值域为();当0a 时;当0

(完整版)高中数学四大思想方法

高中数学四大思想方法 ————读《什么是数学》笔记 《什么是数学》这本书是一本数学经典名著,它收集了许多闪光的数学珍品。它的目标之一是反击这样的思想:"数学不是别的东西,而只是从定义和公理推导出来的一组结论,而这些定义和命题除了必须不矛盾外,可以由数学家根据他们的意志随意创造。"简言之,这本书想把真实的意义放回数学中去。但这是与物质现实非常不同的那种意义。数学对象的意义说的是"数学上'不加定义的对象'之间的相互关系以及它们所遵循的运算法则"。数学对象是什么并不重要,重要的是做了什么。这样,数学就艰难地徘徊在现实与非现实之间;它的意义不存在于形式的抽象中,也不存在于具体的实物中。对喜欢梳理概念的哲学家,这可能是个问题,但却是数学的巨大力量所在--我们称它为,所谓的"非现实的现实性"。数学联结了心灵感知的抽象世界和完全没有生命的真实的物质世界。我根据自己在数学方面的兴趣,基于已有的数学背景知识,选取一部分和高中有关的内容进行舒心愉快的阅读。重新总结了高中数学中的数学四大思想方法:函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合;函数与方程 函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是:实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界,充斥着等式和不等式。我们知道,哪里有等式,哪里就有方程;哪里有公式,哪里就有方程;求值问题是通过解方程来实现的……等等;不等式问题也与方程是近亲,密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别,如函数y=f(x),就可以看作关于x、y的二元方程f(x)-y=0。可以说,函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性,都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征,建立函数关系型的数学模型,从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地,函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题,经常利用的性质是:f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等,要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原型。另外,方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题,即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是:遇到变量,构造函数关系解题;有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题,利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问题中,选定合适的主变量,从而揭示其中的函数关系;实际应用问题,翻译成数学语言,建立数学模型和函数关系式,应用函数性质或不等式等知识解答;等差、等比数列中,通项公式、前n项和的公式,都可以看成n的函数,数列问题也可以用函数方法解决。 等价转化等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范

高中数学-分段函数的几种常见题型及解法

分段函数常见题型及解法 【解析】 3 ?求分段函数的最值 4x 3 (x 0) 例3?求函数f(x) x 3 (0 x 1)的最大值 x 5 (x 1) 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内 有不同的对应法则的函数 它是一个函数,却又常常被学生误认为是几个函数 ;它的定义域是各段函数定义域的并 集,其值域也是各段函数值域的并集 ?由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知 识的程度的考察上有较好的作用 ,时常在高考试题中“闪亮”登场,笔者就几种具体的题 型做了一些思考,解析如下: 1 ?求分段函数的定义域和值域 例1.求函数f(x) 值域? 【解析】 2x 2 x [ 1,0]; 1 x x (0,2);的定义域、 3 x [2,); 作图, 利用“数形结合”易知f (x)的定义域为 [1,),值域为(1,3]. 2 ?求分段函数的函数值 |x 1| 2,(|x| 例2 . ( 05年浙江理)已知函数 f(x) 1 1 x 2 (|x| 1) 1) 求f[? 因为 f(i) 11 1| 2 所以 f[f(b] f( 1 4 1 ( i) 2 13

【解析】当 X 0 时,f max (X ) f(0) 3,当 0 X 1 时,f max (X ) f(1) 4, 当 X 1 时, X 5 15 4,综上有 f max (x) 4. 4 ?求分段函数的解析式 例4 .在同一平面直角坐标系中,函数y f (X )和y g(X )的图象关于直线 y X 对 称,现将y g(x)的图象沿x 轴向左平移2个单位,再沿y 轴向上平移1个单位,所得 的图象是由两条线段组成的折线(如图所示) ,则函数f (x)的表达式为() 5 ?作分段函数的图像 例5?函数y e IM |X 1|的图像大致是() 2x 2 (1 X 0) A. f(x) 2 X 2 (0 X 2) 2x 2 (1 X 0) B. f(x) 2 X 2 (0 X 2) 2x 2 (1 X 2) C. f(x) X 2 1 ( 2 X 4) 2x 6 (1 X 2) D. f(x) X 2 3 (2 X 4) 【解析】 将其图象沿X 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下 平移 1 个单位 得解析式为y 今(x 2) 1 1 4 1 f(x) 2x 2 (x [ 1,0]),当 x [0,1]时, y 2x 1,将其图象沿x 轴向右平移2 个单位,再沿y 轴向下平移 1个单位, 得解析式y 2(x 2) 1 1 2x 4, 所以 f(x) 2x 2 (x [0,2]) 综上可得f(x) 2x 2 ( 1 x 0) ■2 2 (0 x 2) 故选A 当 X [ 2,0]时,y 1 x 1

高中数学常见函数图像

高中数学常见函数图像 1.指数函数: 定义 函数 (0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数 图象 1a > 01a << 定义域 R 值域 (0,)+∞ 过定点 图象过定点(0,1),即当0x =时,1y =. 奇偶性 非奇非偶 单调性 在R 上是增函数 在R 上是减函数 2.对数函数: 定义 函数 log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数 图象 1a > 01a << 定义域 (0,)+∞ 值域 R 过定点 图象过定点(1,0),即当1x =时,0y =. 奇偶性 非奇非偶 单调性 在(0,)+∞上是增函数 在(0,)+∞上是减函数 x a y =x y (0,1) O 1 y =x a y =x y (0,1) O 1 y =x y O (1,0) 1 x =log a y x =x y O (1,0) 1 x =log a y x =

3.幂函数: 定义形如αx y=(x∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数. 图像 性质过定点:所有的幂函数在(0,) +∞都有定义,并且图象都通过点(1,1).单调性:如果0 α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,) +∞上为增函数.如果0 α<,则幂函数的图象在(0,) +∞上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x轴与y轴.

4. 函数 sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当 22 x k π π=+ () k ∈Z 时, max 1y =; 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时,min 1y =-. 当()2x k k π =∈Z 时, max 1y =; 当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时,min 1y =-. 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 2,222k k ππππ? ?-+???? ()k ∈Z 上是增函数;在 32,222k k π πππ? ?++??? ? ()k ∈Z 上是减函数. 在[]() 2,2k k k πππ-∈Z 上 是 增 函 数 ; 在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数. 在,2 2k k π ππ π? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数. 对称性 对称中心 ()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ??+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π =∈Z 对称中心(),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴

中学数学中四种重要思想方法

中学数学中四种重要思想方法 一、函数方程思想 函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系,从而解决问题的一种思维方式,是很重要的数学思想. 1.函数思想:把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来,并研究这些量间的相互制约关系,最后解决问题,这就是函数思想; 2.应用函数思想解题,确立变量之间的函数关系是一关键步骤,大体可分为下面两个步骤:(1)根据题意建立变量之间的函数关系式,把问题转化为相应的函数问题;(2)根据需要构造函数,利用函数的相关知识解决问题;(3)方程思想:在某变化过程中,往往需要根据一些要求,确定某些变量的值,这时常常列出这些变量的方程或(方程组),通过解方程(或方程组)求出它们,这就是方程思想; 3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念,它们之间相互渗透,很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决,很多函数的问题也需要用方程的方法的支援,函数与方程之间的辩证关系,形成了函数方程思想. 二、数形结合思想 数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一,对于所研究的代数问题,有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决(以形助数);或者对于所研究的几何问题,可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决(以数助形),这种解决问题的方法称之为数形结合. 1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性,发挥数的思路的规范性与严密性,两者相辅相成,扬长避短. 2.恩格斯是这样来定义数学的:“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”.这就是说:数形结合是数学的本质特征,宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一.因此,数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂. 3.数形结合的本质是:几何图形的性质反映了数量关系,数量关系决定了几何图形的性质. 4.华罗庚先生曾指出:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万事非.”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形:或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系. 5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中,历年高考的解答题都有关于这个方面的考查(即用代数方法研究几何问题).而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现. 6.我们要抓住以下几点数形结合的解题要领: (1) 对于研究距离、角或面积的问题,可直接从几何图形入手进行求解即可; (2) 对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题,可通过函数的图象求解(函数的零点,顶点是关键点),作好知识的迁移与综合运用; (3) 对于以下类型的问题需要注意:可分别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点及余弦定理进行转化达到解题目的. 三、分类讨论的数学思想 分类讨论是一种重要的数学思想方法,当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结果,最终综合各类结果得到整个问题的解答. 1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决,引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种: (1)涉及的数学概念是分类讨论的; (2)运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的;

专题三 五大数学思想方法 第四节

专题三5大数学思想方法 第四节方程思想与函数思想 类型十五方程思想在实际生活中的应用 (2018·台湾中考)某商店将巧克力包装成方形、圆形礼盒出售,且每盒 方形礼盒的价钱相同,每盒圆形礼盒的价钱相同.阿郁原先想购买3盒方形礼盒和7盒圆形礼盒,但他身上的钱会不足240元,如果改成购买7盒方形礼盒和3盒圆形礼盒,他身上的钱会剩下240元.若阿郁最后购买10盒方形礼盒,则他身上的钱会剩下多少元?( ) A.360 B.480 C.600 D.720 【分析】设每盒方形礼盒x元,每盒圆形礼盒y元,根据阿郁身上的钱数不变列出方程,再根据阿郁最后购买10盒方形礼盒求解即可. 【自主解答】 17.(2018·新疆中考)某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支,第二次又用 600元购进该款铅笔,但这次每支的进价是第一次进价的5 4 倍,购进数量比第一 次少了30支.则该商店第一次购进的铅笔,每支的进价是______元.

类型十六 方程思想在几何中的应用 (2018·湖南湘潭中考)如图,AB 是以O 为圆心的半圆的直径,半径 CO⊥AO,点M 是AB ︵ 上的动点,且不与点A ,C ,B 重合,直线AM 交直线OC 于点D ,连结OM 与CM. (1)若半圆的半径为10. ①当∠AOM=60°时,求DM 的长; ②当AM =12时,求DM 的长. (2)探究:在点M 运动的过程中,∠DMC 的大小是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 【分析】(1)①当∠AOM=60°时,△AMO 是等边三角形,从而可知∠MOD=30°,∠D=30°,所以DM =OM =10; ②过点M 作MF⊥OA 于点F ,设AF =x ,OF =10-x ,利用勾股定理即可求出x 的值.易证明△AMF∽△ADO,从而可知AD 的长度,进而可求出MD 的长度. (2)根据点M 的位置分类讨论,然后利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求出答案. 【自主解答】

高中数学阶段常见函数性质汇总

高中阶段常见函数性质汇总 函 数 名 称:常数函数 解析式 形 式:f (x )=b (b ∈R) 图象及其性质:函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合(垂直于y 轴)的直线 定 义 域:R 值 域:{b} 单 调 性:没有单调性 奇 偶 性:均为偶函数[当b =0时,函数既是奇函数又是偶函数] 反 函 数:无反函数 周 期 性:无周期性 函 数 名 称:一次函数 解析式 形 式:f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 图象及其性质:直线型图象。|k|越大,图象越陡;|k|越小,图象越平缓; 当b =0时,函数f (x )的图象过原点; 当b =0且k =1时,函数f (x )的图象为一、三象限角平分线; 当b =0且k =-1时,函数f (x )的图象为二、四象限角平分线; 定 义 域:R 值 域:R 单 调 性:当k>0时,函数f (x )为R 上的增函数; 当k<0时,函数f (x )为R 上的减函数; 奇 偶 性:当b =0时,函数f (x )为奇函数;当b ≠0时,函数f (x )没有奇偶性; 反 函 数:有反函数。[特殊地,当k =-1或b =0且k =1时,函数f (x )的反函数为原函数f (x )本身] 周 期 性:无 函 数 名 称:反比例函数 解析式 形 式:f (x )= x k (k ≠0) 图象及其性质:图象分为两部分,均不与坐标轴相交,当k>0时,函数f (x )的 图象分别在第一、第三象限;当k<0时,函数f (x )的图象分别在第二、第四象限; 双曲线型曲线,x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线; 图象成中心对称图形,对称中心为原点; 图象成轴对称图形,对称轴有两条,分别为y =x 、y =-x ; 定 义 域:),0()0,(+∞-∞Y 值 域:),0()0,(+∞-∞Y 单 调 性:当k>0时,函数f (x )为)0,(-∞和),0(+∞上的减函数; 当k<0时,函数f (x )为)0,(-∞和),0(+∞上的增 函数; 奇 偶 性:奇函数 反 函 数:原函数本身 b

高中数学解题的思想方法

高中数学解题的思想方法(经典) 美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查: ① 常用数学方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等; ② 数学逻辑方法:分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等; ③ 数学思维方法:观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等; ④ 常用数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助大家掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,咱们就先介绍高考中常用的数学基本方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题。 在每一个方法,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现,示范性题组进行详细的解答和分析,对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用。每个题组中习题的选取,又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。 一、配方法 从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。

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