第1章反比例函数1.1 反比例函数
例3小明家离学校1.5 km，小明步行上学需x min，
则小明的步行速度y(m/min)可以表示为y＝1500
x
；水平地面上重1500 N的物体与地面的接触面积为x m2，那么该物体
对地面的压强y(N/m2)可以表示为y＝1500
x
；…，函数表达
式y＝1500
x
还可以表示许多不同情境中变量之间的关系，请你再举1例：____________________．实生活的一种常见的模型.
活动四：课堂总结反思【当堂训练】
1．下列函数哪些是反比例函数，指出其中k的值．
(1)y＝
x
3
；(2)5xy＝1；(3)y＝1
x
；
(4)y＝4x＋2；(5)y＝
k2＋2
x.
2．马兰一中到台儿庄古城的距离为15千米，那么小明
从马兰一中到台儿庄古城所用时间t(时)与平均速度v(千米/
时)之间的函数表达式是()
A．t＝15v B．t＝v＋15
C．t＝
15
v D．t＝
v
15
3．若y＝
m－1
x
是反比例函数，则m的取值范围是
________．
4．若y＝
m（m＋2）
x
是反比例函数，则m的取值范围
是________．
5．教材P3练习T1，T2.
6．教材P4习题1.1中的T1，T2，T3，T4.
学以致用，当
堂检测及时获知学
生对所学知识的掌
握情况，并最大限度
地调动全体学生学
习数学的积极性，使
每个学生都能有所
收益、有所提高，明
确哪些学生需要在
课后加强辅导，达到
全面提高的目的. 【知识网络】
提纲挈领，重点
突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
本节课的主要任务是通过设计问题，经历抽象反比例函数概
反思，更进一步提
升.
《反比例函数的图像与性质》教案 教学目标 1、体会并了解反比例函数的图象的意义. 2、能描点画出反比例函数的图象. 3、通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质 教学重点. 本节教学的重点是反比例函数的图象及图象的性质. 教学难点 由于反比例函数的图象分两支，给画图带来了复杂性是本节教学的难点. 教学过程 1、情境创设 可以从复习一次函数的图象开始：你还记得一次函数的图象吗？在回忆与交流中，进一步认识函数图象的直观有助于理解函数的性质.转而导人关注新的函数——反比例函数的图象研究：反比例函数的图象又会是什么样子呢？ 2、探索活动 探索活动1反比例函数x y 6= 的图象． 由于反比例函数x y 6=的图象是曲线型的，且分成两支．对此，学生第一次接触有一定的难度，因此需要分几个层次来探求： (1)可以先估计——例如：位置(图象所在象限、图象与坐标轴的交点等)、趋势(上升、下降等)； (2)方法与步骤——利用描点作图； 列表：取自变量x 的哪些值？ ——x 是不为零的任何实数，所以不能取x 的值的为零，但仍可以以零为基准，左右均匀，对称地取值. 描点：依据什么(数据、方法)找点？ 连线：怎样连线？ ——可在各个象限内按照自变量从小到大的顺序用两条光滑的曲线把所描的点连接起来. 探索活动2反比例函数x y 6-=的图象． 可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动： (1)可以用画反比例函数x y 6= 的图象的方式与步骤进行自主探索其图象； (2)可以通过探索函数x y 6=与x y 6-=之间的关系，画出x y 6-=的图象．
探索活动3 反比例函数x y 6-=与x y 6=的图象有什么共同特征？ 引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征． 反比例函数x k y =(k ≠0)的图象是由两个分支组成的曲线.当0>k 时，图象在一、三象限：当0 第1章 反比例函数 1．2017·郴州已知反比例函数y ＝k x 的图象过点A (1，－2)，则k 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－1 2．2017·镇江a ，b 是实数，点A (2，a )，B (3，b )在反比例函数y ＝－2 x 的图象上，则( ) A ．a ＜b ＜0 B ．b ＜a ＜0 C ．a ＜0＜b D ．b ＜0＜a 3．2017·广东如图1－Y －1，在同一平面直角坐标系中，直线y ＝k 1x (k 1≠0)与双曲线y ＝k 2x (k 2≠0)相交于A ，B 两点，已知点A 的坐标为(1，2)，则点B 的坐标为( ) A ．(－1，－2) B ．(－2，－1) C ．(－1，－1) D ．(－2，－2) 图1－Y －1 图1－Y －2 .2016·株洲已知一次函数y 1＝ax ＋b 与反比例函数y 2＝k x 的图象如图1－Y －2所示，当 y 1＜y 2时，x 的取值范围是( ) A ．x ＜2 B ．x ＞5 C ．2＜x ＜5 D ．0＜x ＜2或x ＞5 5．2017·张家界在同一平面直角坐标系中，函数y ＝mx ＋m (m ≠0)与y ＝m x (m ≠0)的图象可能是( ) 图1－Y － 图1－Y －4 6．2017·海南如图1－Y －4，△ABC 的三个顶点分别为A (1，2)，B (4，2)，C (4，4)．若反比例函数y ＝k x 在第一象限内的图象与△ABC 有交点，则k 的取值范围是( ) A ．1≤k ≤4 B．2≤k ≤8 C ．2≤k ≤16 D．8≤k ≤16 7．2017·青岛一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象经过A (－1，－4)，B (2，2)两点，P 为反比例函数y ＝kb x 图象上一动点，O 为坐标原点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为C ，则△PCO 的面积为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．不确定 8．2017·威海如图1－Y －5，正方形ABCD 的边长为5，点A 的坐标为(－4，0)，点B 在y 轴上，若反比例函数y ＝k x (k ≠0)的图象过点C ，则该反比例函数的表达式为( ) A ．y ＝3x B ．y ＝4x C ．y ＝5x D ．y ＝6x 图1－Y －5 图1－Y －6 .2017·怀化如图1－Y －6，A ，B 两点在反比例函数y ＝k 1x 的图象上，C ，D 两点在反比例函数y ＝k 2x 的图象上，AC ⊥y 轴于点E ，BD ⊥y 轴于点F ，AC ＝2，BD ＝1，EF ＝3，则k 1－k 2的值是( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 1.1建立反比例函数模型 【目标「与方法】 1.掌握反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是函数关 系，，进而识别其中的反比例函数. 2.会从实际问题中列举反比例函数的实例，从而认识反比例函数是刻 画现实世界的一种有效的数学模型. 3.进一步学会用变化的观点去认识世界.解决问题. 【基「础与巩固】 1.在函数y=--b y二丄，.y二x= y二丄中，y是x的反比例函数的有 x x+1 2x （）. （A） 1 个（B） 2 个（C） 3 个（D） 4 个 2.己知一个函数满足下表（x为自变量）： 则这个函数的表达式为（）. (A) y=- (B) y=-(C) y二-丄(D) y=-- 6 x 6 x 3.己知函数尸(m+1)严2是反比例函数，则m的值为(?). (A) 1 (B) -1, (C) 1 或-1 (D)任意实数 4._____________________________________ 反比例函数y二-亠x 的比例系数k是____________________________ 3 5?设矩形而积为60,长为x,宽为厂则y与x之间的函数关系式是 6.己知力F所做的功是18J,则力F与物体在力的方向上通过的距离s之 间的?函数关系式是___________ . 7?若y与x成反比例，且x=-3时，y=7,则y与x的函数关系式为 8.关系式y二竺可以表示的实际意义为_________ r_. X 9.己知三角形的而积"为100cm2,求三角形的边长y （cm）与该边上的高「X （cm）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围. 10.举出生活中变量具有反比例函数关系的实例（1?2例「）. 【拓展与延伸】 11.下图中有一面围墙（可利用的最大长度为100m）,现打算沿墙围成 一个面积为120m‘的.长方形花辅.设花辅的一边AB二x （m）,另一边为y （m）,求y与x的函数关系式，并指出其中自"变量的取值范围. .4 -------------- B 12.如图"在边长为2的正方形ABCD中，P为BC边上的任意一点（点P与B.C不重合），且D「Q丄AP,垂足为Q,设AP二x, DQ二y. （1）_________________________________________ 如果连接DP,那么AADP的面积等于___________________________ ; （2）当点P为BC上的一个动点时，线「段DQ也随之变化，若 —,求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围. AD DQ 参考答案 湘教版九上数学第1章反比例函数 1.1 反比例函数 【知识与技能】 理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式. 【过程与方法】 经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力. 【情感态度】 培养观察、推理、分析能力，体会由实际问题转化为数学模型，认识反比例函数的应用价值. 【教学重点】 理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式. 【教学难点】 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想. 一、情境导入，初步认识 1.复习小学已学过的反比例关系，例如： (1)当路程s一定，时间t与速度v成反比例，即vt=s(s是常数) (2)当矩形面积一定时，长a和宽b成反比例，即ab＝S(S是常数) 2.电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U＝IR，当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗？ 【教学说明】对相关知识的复习，为本节课的学习打下基础. 二、思考探究，获取新知 探究1：反比例函数的概念 （1）一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时，各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系？并写出它们之间的关系式. （2）利用（1）的关系式完成下表： （3）随着时间t的变化，平均速度v发生了怎样的变化？ （4）平均速度v是所用时间t的函数吗？为什么？ （5）观察上述函数解析式，与前面学的一次函数有什么不同？这种函数有什么特点？ 【教学说明】一般地，如果两个变量x，y之间可以表示成 k y x =（k为常数 且k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数.其中x是自变量，常数k称为反比例函数的比例系数. 【教学说明】先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数，了解所讨论的函数的表达形式． 探究2：反比例函数的自变量的取值范围 思考：在上面的问题中，对于反比例函数 3000 v t =，其中自变量t可以取哪 些值呢？ 分析：反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数，但是在实际问题中，应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.由于t代表的是时间，且时间不能为负数，所有t的取值范围为t>0. 【教学说明】教师组织学生讨论，提问学生，师生互动． 三、运用新知，深化理解 1.见教材P3例题. 2.下列函数关系中，哪些是反比例函数？ (1)已知平行四边形的面积是12cm2，它的一边是a cm，这边上的高是h cm，则a与h的函数关系； (2)压强p一定时，压力F与受力面积S的关系； (3)功是常数W时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系． (4)某乡粮食总产量为m吨，那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数 探究内容：1.2反比例函数的图象与性质（第3课时） 目标设计：1、能够求反比例函数与一次函数的解析式及其交点坐标； 2、培养学生自主探究知识的能力。 重点难点：根据已知条件求函数解析式。 探究准备：作图工具、小黑板等。 探究过程： 一、复习导入： 1、一次函数y kx b =+ （0k ≠）与x 轴、y 轴交点： x 轴：（,0b k -） y 轴：（0,b ） 反比例函数与x 轴、y 轴无交点。 2、当0k >时，一次函数图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；反比例函数图象分两支在一、三象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而减小。 当0k <时，类似。 二、新知探究： 题例： 1、如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数的图象交于M 、N 两点。 ⑴求反比例函数和一次函数的解析式； ⑵根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围。 分析： ⑴∵点N （-1，-4）在反比例函数k y x =的图象上 ∴41 k -= - 即 4k = ∴反比例函数的解析式为4y x =。 又∵点M （2，M ）也在双曲线上 ∴4 22 m == ∴点M 的坐标为（2，2）。 又∵点M （2，2），点N （-1，-4）均在y ax b =+的图象上 N ∴224a b a b +=?? -+=-? 解得 2 2a b =??=-? ∴一次函数的解析式为22y x =-。 ⑵由图象可知，当02x <<或1x <-时，反比例函数值大于一次函数的值。 解析如下： ∵422y y x x =>=- ∴422x x >- 即21x x >- ① 分两种情况讨论： ①当0x >时，①式可化为220x x --< 即()()210x x -+< ∴2010x x ->?? +? 即21x x >??<-? 或2 1x x -? ∴02x << ②当0x <时，①式可化为220x x --> 即()()210x x -+> ∴2010x x ->?? +>?或2010x x -??>-? 或2 1x x 【关键字】教案、情况、方法、条件、认识、问题、难点、加深、提出、掌握、了解、规律、位置、关键、思想、重点、关系、分析、引导、帮助、巩固、提高、中心 九年级数学下册1.2 反比例函数的图象和性质教案二湘教 版 一、教学目标 1．会用描点法画反比例函数的图象 2．结合图象分析并掌握反比例函数的性质 3．体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法 二、重点、难点 1．重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质 2．难点：正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质 3．难点的突破方法： 画反比例函数图象前，应先让学生回忆一下画函数图象的基本步骤，即：列表、描点、连线，其中列表取值很关键。反比例函数x k y （k ≠0）自变量的取值范围是x ≠0，所以取值时应对称式地选取正数和负数各一半，并且互为相反数，通常取的数值越多，画出的图象越精确。连线时要告诉学生用平滑的曲线连接，不能用折线连接。教学时，老师要带着学生一起画，注意引导，及时纠错。 在探究反比例函数的性质时，可结合正比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象和性质，来帮助学生观察、分析及归纳，通过对比，能使学生更好地理解和掌握所学的内容。这里要强调一下，反比例函数的图象位置和增减性是由反比例系数k 的符号决定的；反之，双曲线的位置和函数性质也能推出k 的符号，注意让学生体会数形结合的思想方法。 三、例题的意图分析 教材第48页的例2是让学生经历用描点法画反比例函数图象的过程，一方面能进一步熟悉作函数图象的方法，提高基本技能；另一方面可以加深学生对反比例函数图象的认识，了解函数的变化规律，从而为探究函数的性质作准备。 补充例1的目的一是复习巩固反比例函数的定义，二是通过对反比例函数性质的简单应用，使学生进一步理解反比例函数的图象特征及性质。 补充例2是一道典型题，是关于反比例函数图象与矩形面积的问题，要让学生理解并掌握反 九年级上册反比例函数测试题姓名___________一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列函数，①y＝2x，②y＝x，③y＝x－1，④y ＝ 1 1 x+ 是反比例函数的个数有（ ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．反比例函数y＝2 x 的图象位于（） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限3．已知矩形的面积为10，则它的长y与宽x之间的关系用图象表示大致为( ） 4．已知关于x的函数y＝k(x+1）和y＝－k x (k≠0)它们在同一坐标系中的大致图象是(? ) 5．已知点(3,1）是双曲线y＝k x (k≠0)上一点，则下列各点中在该图象上的点是（ ) A．（1 3 ，－9） B．(3，1) C．(－1，3） D．(6,－ 1 2 ) 6．某气球充满一定质量的气体后，当温度不变时，气球内的气体的气压P（kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于140kPa时，气球将 爆炸，为了安全起见，气体体积应( ) A．不大于24 35 m3 B．不小于 24 35 m3 C．不大于24 37 m3 D．不小于 24 37 m3 7．某闭合电路中，电源电压为定值，电流I A．与电阻R(Ω)成反比例，如右图所表示的是该电路 中电流I与电阻R之间的函数关系的图象，则用电阻R表示电流I?的函数解析式为（ )． A．I＝ 6 R B．I＝－ 6 R C．I＝ 3 R D．I＝ 2 R 8．函数y＝ 1 x 与函数y＝x的图象在同一平面直角坐标系内的交点个数是( ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 9．若函数y＝（m+2）｜m｜－3是反比例函数，则m的值是( ）． A．2 B．－2 C．±2 D．≠－2 10．已知点A(－3，y1)，B(－2，y2）,C(3，y3）都在反比例函数y＝ 4 x 的图象上,则( ）． A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 二、填空题（每题3分,共24分） 11．一个反比例函数y＝ k x (k≠0）的图象经过点P（－2，－1），则该反比例函数的解析式是________．12．已知一次函数y＝kx+1和反比例函数y＝ 6 x 都经过点（2，m），则一次函数的解析式是________．13．一批零件300个，一个工人每小时做15个,用关系式表示人数x?与完成任务所需的时间y之间的函数关系式为________． 14．正比例函数y＝x与反比例函数y＝ 1 x 的图象相交于A、C两点，AB⊥x轴于B,CD?⊥x轴于D，如图所示,则四边形ABCD的为_______． 15．如图,P是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF的面积为8,则反比例函数的表达式是_________． 第7题第14题第15题 16．反比例函数y＝ 2 10 39 n n x- - 的图象每一象限内，y随x的增大而增大,则n＝_______． 17．已知一次函数y＝3x+m与反比例函数y＝ 3 m x - 的图象有两个交点，当m＝_____时，有一个交点的纵坐标为6． 课题：1.1反比例函数(2) 教学目标: 1.会用待定系数法求反比例函数的解析式. 2.通过实例进一步加深对反比例函数的认识,能结合具体情境,体会反比例函数的意义,理解比例系数的具体的意义. 3.会通过已知自变量的值求相应的反比例函数的值.运用已知反比例函数的值求相应自变量 的值解决一些简单的问题. 重点: 用待定系数法求反比例函数的解析式. 难点:例3要用科学知识,又要用不等式的知识,学生不易理解. 教学过程： 一. 复习 1、反比例函数的定义： 判断下列说法是否正确(对”√”,错”×”) 2、思考:如何确定反比例函数的解析式? (1)已知y 是x 的反比例函数,比例系数是3,则函数解析式是_______ (2)当m 为何值时，函数 是反比例函数，并求出其函数解析式． 关键是确定比例系数! 二.新课 1. 例2：已知变量y 与x 成反比例，且当x=2时y=9，写出y 与x 之间的函数解析式和自变 量的取值范围。 小结：要确定一个反比例函数x k y =的解析式，只需求出比例系数k 。如果已知一对自变量与函数的对应值，就可以先求出比例系数，然后写出所要求的反比例函数。 2.练习：已知y 是关于x 的反比例函数，当x=43- 时，y=2，求这个函数的解析式和自变量的取值范围。 3.说一说它们的求法: (1)已知变量y 与x-5成反比例，且当x=2时 y=9,写出y 与x 之间的函数解析式. (2)已知变量y-1与x 成反比例，且当x=2时 y=9,写出y 与x 之间的函数解析式. 4. 例3、设汽车前灯电路上的电压保持不变,选用灯泡的电阻为R(Ω)，通过电流的强度为 I(A)。 （1）已知一个汽车前灯的电阻为30 Ω，通过的电流为0.40A ，求I 关于R 的函数解析式， 并说明比例系数的实际意义。 （2）如果接上新灯泡的电阻大于30 Ω，那么与原来的相比，汽车前灯的亮度将发生什么 变化？ . )/()(,1200)6(.)5(.)4(.)3(.)2(.)()(,20)1(22的反比例函数是每日铺轨量则铺轨天数计划修建铁路例定时，商和除数成反比当被除数（不为零）一的反比例函数是为常量时，，当其体积，高为方形的边长为一个正四棱柱的底面正的反比例函数是为常量时，，当，周长为，宽为矩形的长为成正比例与中，圆的面积公式的反比例函数是变量，变量和相邻的两条边长分别为一矩形的面积为d km x d y km x y V y x b a C C b a r s r s x y cm y cm x cm π=224-=m x y 第一章反比例函数单元测试 一、选择题 1.下列函数中，是反比例函数的是() A. y＝ B. 3x＋2y＝0 C. xy－＝0 D. y＝ 2.已知函数y＝(m＋1) 是反比例函数，且其图象在第二、四象限内，则m的值是( ) A. 2 B. －2 C. ±2 D. － 3.M、N两点都在同一反比例函数图象上的是（） A. M（2，2），N（－1，－1） B. M（－3，－2），N（9，6） C. M（2，－1），N（1，－2） D. M（－3，4），N（4，3） 4.若与都是反比例函数图象上的点，则a的值是（） A. 4 B. -4 C. 2 D. -2 5.反比例函数y＝（x＜0）的图象位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6.已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( ) A. y= B. y=﹣ C. y= D. y=﹣ 7.已知点，，都在反比例函数的图像上，且，则，，的大小关系是（） A. B. C. D. 8.在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像如图所示、则当时，自变量x的取值范围为（） A. B. C. D. 9.若点，在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是（） A. B. C. D. 或 10.反比例函数经过点，则下列说法错误的 ．．．是（） A. B. 函数图象分布在第一、三象限 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 11.甲、乙两地相距200千米，则汽车从甲地到乙地所用的时间y（h）与汽车的平均速度x（km/h）之间的函数表达式为（） A. y＝200x B. x＝200y C. y＝ D. y﹣200＝x 12.面积为4的矩形的长为x，宽为y，则y与x的函数关系的图象大致是（） A. B. C. D. 二、填空题 13.如果函数y＝x2m﹣1为反比例函数，则m的值是________． 14.一个物体重100N，物体对地面的压强P（单位：Pa）随物体与地面的接触面积S（单位：㎡）变化而变化的函数关系式是________. 15.若反比例函数y= 的图象经过点（﹣2，3），则k=________． 16.若正比例函数的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为________． 17.将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则（a﹣1）（b+2）＝________. 18.如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若 ＝，△AOB的面积为6，则k的值为________. 课题：反比例函数y ＝k x (k ＞0)的图象与性质 【学习目标】 1．能用描点法画出反比例函数y ＝k x (k>0)的图象． 2．通过观察、分析，理解和掌握反比例函数y ＝k x (k>0)的图象与性质． 3．体会数形结合的思想方法，学会从函数图象中获取信息． 【学习重点】 掌握画反比例函数图象的方法，理解反比例函数y ＝k x (k>0)的性质． 【学习难点】 运用反比例函数的性质解题． 一、情景导入 生成问题 回顾： (1)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是一条直线． (2)当k >0，b >0时，一次函数y ＝kx ＋b 经过第一、二、三象限，y 随x 的增大而增大． (3)画一次函数的图象最少需要确定两个点，我们能用类似的方法画反比例函数y ＝k x (k >0)的图象吗？ 二、自学互研 生成能力 知识模块一 画反比例函数y ＝k x (k ＞0)的图象 阅读教材P5～P6，完成下面的内容： 1．画反比例函数y ＝6 x 的图象时先要列表，列表时自变量x 可取哪些值？ (提示：x 是不为零的任何实数，所以可以以零为基准，左右均匀、对称地取值) 2．取值以后再描点． 3．描点之后再连线：怎样连线？可在各个象限内按照自变量从小到大的顺序用两条光滑的曲线把所描的点连接起来． 师生合作探究并归纳出y ＝k x 的图象特征． 归纳：反比例函数y ＝k x (k ＞0)的图象是两支分别分布在一、三象限的光滑曲线． 【例1】 作反比例函数y ＝2 x 的图象． 解：(1)列表：由于函数中x≠0，使得函数图象分成了两个部分． (2)描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点． (3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到函数y＝2 x的图象．(如图) 教师点拨：画反比例函数图象时应注意：①列表时，自变量x的值可以选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值．这样既可以简化计算，又便于描点；②列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描出一些点，这样方便连线． 课题：反比例函数的应用 【学习目标】 1．能灵活用反比例函数表达式解决一些实际问题． 2．能综合利用方程、反比例函数的知识解决一些实际问题． 3．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力． 【学习重点】 掌握从实际问题中构建反比例函数模型的方法． 【学习难点】 从实际问题中寻找变量之间的关系，关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型． 一、情景导入 生成问题 回顾： 1．利用数学公式建立反比例函数模型，例如当面积一定时，长方形的长与宽就是反比例函数关系；当体积一定时，长方形的底面积与高成反比例． 2．利用物理学公式建立反比例函数模型，物理学中许多公式反映物理量之间的反比例关系，例如p ＝F S (p 表 示压强，F 表示压力，S 表示受力面积)．当压力一定时，压强与受力面积成反比例．U ＝IR(U 表示电路的电压、I 表示电流、R 表示电阻)，当电压一定时，电流与电阻成反比例． 二、自学互研 生成能力 知识模块 反比例函数在实际问题中的应用 阅读教材P 14～P 15“动脑筋”，完成下面的内容： P 14动脑筋，你能解释他们这样做的道理吗？ (1)用含S 的代数式表示p 是p ＝F S ，p 是S 的反比例函数； (2)当木板面积为0.2m 2时，压强是2250Pa ； (3)如果要求压强不超过6000Pa ，木板面积至少要0.075m 2； (4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象；(略) (5)请利用图象对(2)和(3)做出直观解释，并与同伴进行交流． 归纳：在实际问题中的数量关系，通过分析，转化为数学问题中的数量关系，构建反比例函数模型，用函数的思想解决这类问题，另外还要注意学科之间知识的渗透． 2.下列图象中是反比例函数y＝－的图象的是（） A.v＝320t B.v＝ C.v＝20t D.v＝ 4.关于反比例函数y＝，下列说法正确的是（） 5.（2016·毕节中考）如图，点A为反比例函数y＝－图象上一点，过A作AB⊥x轴于 7.在同一直角坐标系中，函数y＝kx－k与y＝（k≠0）的图象大致是（） 专项训练一反比例函数 一、选择题 1.反比例函数的图象经过点（－2，3），则此函数的图象也经过点（） A.（2，－3） B.（－3，－3） C.（2，3） D.（－4，6） 2 x 3.（2016·广州中考）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时.汽车的速度v千米/时与时间t小时的函数关系是（） 32020 t t －2 x A.图象过点（1，2） B.图象在第一、三象限 C.当x＞0时，y随x的增大而减小 D.当x＜0时，y随x的增大而增大 4 x 点B，连接△OA，则ABO的面积为（） A.－4 B.4 C.－2 D.2 2 6.反比例函数y＝－x的图象上有两点P 1 （x 1 ，y 1 ），P 2 （x 2 ，y 2 ），若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（） A.y 1 ＜y 2 ＜0 B.y1＜0＜y2 C.y 1 ＞y 2 ＞0 D.y1＞0＞y2 k x 8.（2016·淄博中考）反比例函数y＝（a＞0，a为常数）和y＝在第一象限内的图象如图所示，点M在y＝的图象上，MC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点A.MD⊥y轴于点D， 9.（2016·怀化中考）已知点P（3，－2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k 数y＝（x>0）的图象交于A，B两点，利用函数图象直接写出不等式 反比例函数 一、教材分析 函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出来的数学概念，是研究现实世界变化规律的重要内容和数学模型．反比例函数在前面已经学习了“图形与坐标”、“一次函数”基础上研究一类基本函数.本专题复习在反比例函数单元复习基础上展开的，以函数图象为载体，以数形结合思想为主线，围绕“比较大小、图象法解方程与不等式、函数实际应用”核心内容进行，学生在解决问题过程中进一步领悟反比例函数的概念并积累研究函数性质的方法及用函数观点解决问题的经验，为后继学习二次函数等产生积极的影响． 反比例函数是函数的重要知识，核心知识是反比例函数的概念、图象、性质与应用.从学生学习情况分析，反比例函数的增减性与一次函数增减性容易相混，用函数观点看待方程、不等式、函数间的关系在理解上、思维方式上存在一定困难，用反比例函数解决实际问题需要建模的思想与策略，需要一定的生活背景知识，对学生有较高的要求.基于以上分析，从学习函数最本质的思想——数形结合思想为立意，设计脚手架——函数图象，在学生疑难问题解决过程中加深对反比例函数乃至对三类函数的理解. 二、设计思想 反比例函数知识点多，方法灵活，对学生的思维要求高.如何进行组织反比例函数专题复习，使教学更有效呢？笔者试图从学生认知线索与函数的核心思想为出发点，在设计中力求体现一个原则：以学生为主体原则；突出一种思想：数形结合思想；体现一个价值：数学建模的价值；渗透一个意识：应用建模意识. 1.问题情境生活化.以学生熟悉的行程问题为情境，复习反比例函数的概念、图象、性质，有利于激发学生学习热情，体会由数助形的思想. 2.知识复习图形化.知识要点复习不是简单的罗列，而是让学生在观察图形中获取信息，以形助数，梳理知识，形成网络. 3.例题设计层次化.例题设计以数形结合的数学思想为主线，以“比较大小、图象解法（方程、不等式）、应用问题”为版块，通过问题串形式，层层深入，步步逼近.为了帮助学生更好内化所学的方法，精选了两个尝试练习让学生必要的巩固与深化，促进学生体会反比例函数图象的作用与数行结合的思想，加强对函数的本质理解. 4.学生参与的多元化.在设计中调动学生的各种感官参与到学习活动中，让学生在画图、观图、析图过程中体会图象的作用，理解反比例函数本质.学生在观察、分析、比较、思考、演算过程中不只是知识技能的掌握，更是思想方法的感悟、思维的碰撞. 三、教学设计 （一）教学目标 1.理解反比例函数的概念，会求反比例函数解析式； 2.理解并掌握反比例函数图象与性质，能运用反比例函数图象与性质解决有关函数值比较大小问题； 3.会用反比例函数解决某些实际问题，体会函数的应用价值； 4.在解决问题过程中，体会数形结合思想在解决函数问题中作用，提高利用函数思想探究问题的积极性． （二）、教学重难点 重点：反比例函数的图象性质与数形结合思想 难点：反比例函数增减性的理解，反比例函数的应用 （三）、教学准备 多媒体课件，三角板 九年级数学上册第一章《反比例函数》单元测试题 一、选择题 1.下列函数中，是反比例函数的是() A. y＝ B. 3x＋2y＝0 C. xy－＝0 D. y＝ 2.已知函数y＝(m＋1) 是反比例函数，且其图象在第二、四象限内，则m的值是( ) A. 2 B. －2 C. ±2 D. － 3.M、N两点都在同一反比例函数图象上的是（） A. M（2，2），N（－1，－1） B. M（－3，－2），N（9，6） C. M（2，－1），N（1，－2） D. M（－3，4），N（4，3） 4.若与都是反比例函数图象上的点，则a的值是（） A. 4 B. -4 C. 2 D. -2 5.反比例函数y＝（x＜0）的图象位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6.已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( ) A. y= B. y=﹣ C. y= D. y=﹣ 7.已知点，，都在反比例函数的图像上，且，则，，的大小关系是（） A. B. C. D. 8.在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像如图所示、则当时，自变量x的取值范围为（） A. B. C. D. 9.若点，在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是（） A. B. C. D. 或 10.反比例函数经过点，则下列说法错误的 ．．．是（） A. B. 函数图象分布在第一、三象限 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 11.甲、乙两地相距200千米，则汽车从甲地到乙地所用的时间y（h）与汽车的平均速度x（km/h）之间的函数表达式为（） A. y＝200x B. x＝200y C. y＝ D. y﹣200＝x 12.面积为4的矩形的长为x，宽为y，则y与x的函数关系的图象大致是（） A. B. C. D. 二、填空题 13.如果函数y＝x2m﹣1为反比例函数，则m的值是________． 14.一个物体重100N，物体对地面的压强P（单位：Pa）随物体与地面的接触面积S（单位：㎡）变化而变化的函数关系式是________. 15.若反比例函数y= 的图象经过点（﹣2，3），则k=________． 16.若正比例函数的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为________． 17.将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则（a﹣1）（b+2）＝________. 18.如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若 ＝，△AOB的面积为6，则k的值为________. 湘教版九上数学第3课时反比例函数的图象与性质 的综合应用 【知识与技能】 1.会求反比例函数的表达式； 2.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题； 3.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题． 【过程与方法】 经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力. 【情感态度】 能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题，培养学生看图（象）、识图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题. 【教学重点】 1.会用待定系数法求反比例函数的表达式； 2.理解并掌握一次函数，反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题. 【教学难点】 学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质. 一、情境导入，初步认识 1.正比例函数有哪些性质？ 2.一次函数有哪些性质？ 3.反比例函数有哪些性质？ 4.我们学会了根据函数表达式画函数图象，那么你能根据一些条件求反比例函数的表达式吗？ 【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习，让学生对它们的性质有系统的了解. 二、思考探究，获取新知 1.思考：已知反比例函数k y x = 的图象经过点P （2,4） （1）求k 的值，并写出该函数的表达式； （2）判断点A （-2，-4），B(3，5)是否在这个函数的图象上； （3）这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大如何变化？ 分析： (1)题中已知图象经过点P （2，4），即表明把P 点坐标代入解析式成立，这样能求出k ，解析式也就确定了. (2)要判断A 、B 是否在这条函数图象上，就是把A 、B 的坐标代入函数解析式中，如能使解析式成立，则这个点就在函数图象上.否则不在. (3)根据k 的正负性，利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y 随x 的值的变化情况. 【归纳结论】这种求解析式的方法叫做待定系数法求解析式. 2.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P （-3,4），试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象. 解：设正比例函数，反比例函数的表达式分别为y=k 1x ，2 k y x =，其中，k 1，k 2是常数，且均不为0. 由于这两个函数的图象交于P （-3,4），则P （-3,4）是这两个函数图象上的点，即点P 的坐标分别满足这两个表达式. 因此，()2 143,43 k k =?-=- 解得，124 123 k k =- =- 所以，正比例函数解析式为43y x =-，反比例函数解析式为12 y x =-. 函数图象如下图. 《反比例函数》教案 教学目标 (一)教学知识点 1.从现实情境和已有的知识经验出发，讨论两个变量之间的相似关系，加深对函数概念的理解. 2.经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念. (二)能力训练要求 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式. 教学重点 经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念. 教学难点 领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念. 教学过程 本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设问题情境，引入新课；第二环节：新课讲解；第三环节：课堂练习；第四环节：课时小结；第五环节：课后作业. 第一环节：创设问题情境，引入新课 活动目的 给学生设置疑问，激发学生学习兴趣. 活动过程 我们在前面学过一次函数和正比例函数，知道一次函数的表达式为y ＝kx +b 其中k ，b 为常数且k ≠0，正比例函数的表达式为y ＝kx ，其中k 为不为零的常数，但是在现实生活中，并不是只有这两种类型的表达式，如从A 地到B 地的路程为1200km ，某人开车要从A 地到B 地，汽车的速度v (km ／h )和时间t (h )之间的关系式为vt ＝1200，则t ＝ v 1200 中，t 和v 之间的关系式肯定不是正比例函数和一次函数的关系式，那么它们之间的关系式究竟是什么关系式呢？这就是本节课我们要揭开的奥秘. 第二环节：新课讲解 活动目的 在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出数学概念，结合具体情境领会反比例函数作为一种数学模型. 活动过程 引入我们今天要学习的是反比例函数，它是函数中的一种，首先我们先来回忆一下什么叫函数？ 九年级上学期数学教学计 根据学校工作安排，我担任九年级班数学教学工作，本学期教学计划如下： 一、教学思想： 教育学生掌握基础知识与基本技能，培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间观念和解决简单实际问题的能力，使学生逐步学会正确、合理地进行运算，逐步学会观察分析、综合、抽象、概括。会用归纳演绎、类比进行简单的推理。使学生懂得数学来源于实践又反过来作用于实践。提高学习数学的兴趣，逐步培养学生具有良好的学习习惯，实事求是的态度。顽强的学习毅力和独立思考、探索的新思想。培养学生应用数学知识解决问题的能力。 二、学生基本情况分析： 总体来看，成绩只能算一般。整个年级已经开始出现两极分化了，对优生来说，能够透彻理解知识，知识间的内在联系也较为清楚，对后进生来说，简单的基础知识还不能有效的掌握，成绩较差，学生仍然缺少大量的推理题训练，推理的思考方法与写法上均存在着一定的困难，对几何有畏难情绪，相关知识学得不很透彻。在学习能力上，学生课外主动获取知识的能力较差，为减轻学生的经济负担与课业负担，不提倡学生买教辅参考书，学生自主拓展知识面，向深处学习知识的能力没有得到培养。在以后的教学中，对有条件的孩子应鼓励他们买一本课外参考书，不一定是教辅参考书，有趣的课外数学读物更好，培养学生课外主动获取知识的能力。学生的逻辑推理、逻辑思维能力，计算能力需要得到加强，以提升学生的整体成绩，应在合适的时候补充课外知识，拓展学生的知识面，提升学生素质；在学习态度上，绝大部分学生上课能全神贯注，积极的投入到学习中去，少数几个学生对数学处于一种放弃的心态，课堂作业，大部分学生能认真完成，少数学生需要教师督促，这一少数学生也成为老师的重点牵挂对象，课堂家庭作业，学生完成的质量要打折扣；学生的学习习惯养成还不理想，预习的习惯，进行总结的习惯，自习课专心致至学习的习惯，主动纠正(考试、作业后)错误的习惯，比较多的学生不具有，需要教师的督促才能做，陶行知说：教育就是培养习惯，这是本期教学中重点予以关注的。九年级数学 反比例函数练习题新版湘教版
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