突破练(一)
1．已知函数f (x )＝32sin ωx －1
2cos ωx －1(ω＞0)的周期T ＝π.
(1)若直线y ＝m 与函数f (x )的图象在x ∈???
???0，π2时有两个公共点，其横坐标分别
为x 1，x 2，求f (x 1＋x 2)的值；
(2)已知三角形ABC 的内角A 、B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且c ＝3，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值． 解 (1)∵f (x )＝32sin ωx －1
2cos ωx －1 ＝sin (ωx －π
6)－1， ∴T ＝
2π
ω
＝π，∴ω＝2， ∴f (x )＝sin (2x －π
6)－1，
又∵y ＝f (x )的图象关于x ＝π3对称，所以当x ∈???
???0，π2时，
y ＝m 与函数f (x )图象的交点关于x ＝π
3对称，
∴x 1＋x 2＝2π3，∴f (x 1＋x 2)＝f (2π3)＝－3
2. (2)由(1)知f (C )＝sin (2C －π
6)－1＝0， ∴C ＝π3.
又∵m ∥n ，∴2sin A －sin B ＝0， ∴2a ＝b ，
又a 2＋b 2－2ab cos C ＝c 2，c ＝3， 解得：a ＝3，b ＝2 3.
2．某市教育主管部门为了弘扬民族文化，在全市各中学开展汉字听写大赛，某学校经过七轮选拔，最后选出甲、乙两名选手代表本校参加市里决赛，甲、乙两名选手七轮比赛得分情况如下表所示：
(1)
(2)从甲选手的7次成绩中随机抽取两次成绩，求抽出的两次成绩的分数差距至
少是3分的概率．
解(1)由题意得x
甲＝
86＋94＋89＋88＋91＋90＋92
7＝90，
x乙＝88＋89＋90＋91＋93＋92＋87
7＝90，
s2甲＝1
7[(86－90)
2＋(94－90)2＋(89－90)2＋(88－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋
(92－90)2]＝6；
s2乙＝1
7[(88－90)
2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2＋(92－90)2＋
(87－90)2]＝4；
因为6＞4，所以乙选手成绩更稳定．
(2)从甲选手的七次成绩中随机抽取2次的所有基本事件为：(86,94)(86,89)，(86,88)，(86,91)，(86,90)，(86,92)，(94,89)，(94,88)，(94,91)，(94,90)，(94,92)，(89,88)，(89,91)，(89,90)，(89,92)，(88,91)，(88,90)，(88,92)，(91,90)，(91,92)，(90,92)共21种情况，则抽取的两次分数差距至少3分的事件包含：(86,94)(86,89)，(86,91)，(86,90)，(86,92)，(94,89)，(94,88)，(94,91)，(94,90)，(89,92)，(88,91)，(88,92)共12种情况．则抽取的两次成绩差距至少3分的概率
P＝12
21＝
4
7.
3．数列{a n}的前n项和为S n，若a n＋1＝－4S n＋1，a1＝1，
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设b n＝na n，求数列{b n}的前n项和T n.
解(1)当n≥2时，a n＝－4S n
－1＋1，又a n
＋1
＝－4S n＋1，
∴a n ＋1－a n ＝－4a n ，即a n ＋1
a n ＝－3，n ≥2，
又a 2＝－4a 1＋1＝－3，a 1＝1，
∴数列{a n }是首项为a 1＝1，公比为q ＝－3的等比数列， ∴a n ＝(－3)n －1.
(2)由(1)可得b n ＝n ·(－3)n －1，
T n ＝1·(－3)0＋2·(－3)1＋3·(－3)2＋…＋(n －1)·(－3)n －2＋n ·(－3)n －1， －3T n ＝1·(－3)1＋2·(－3)2＋…＋(n －2)·(－3)n －2＋(n －1)·(－3)n －1＋n (－3)n . ∴4T n ＝1＋(－3)1＋(－3)2＋…＋(－3)n －1－n ·(－3)n . 所以，T n ＝1－(4n ＋1)(－3)n 16
.
4．如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面三角形P AD 是等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，且AD ∥BC ，AD ⊥CD ，平面P AD ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点，M 是棱PC 上一点，且AD ＝2BC ＝4，CD ＝2 3. (1)试确定点M 的位置，使得PE ∥平面BDM ，并证明； (2)在(1)的条件下，求三棱锥P －MBD 的体积．
解 (1)点M 是PC 的中点．连接BE ，因为BC ∥AD ，DE ＝BC ，所以四边形BCDE 为平行四边形，连接EC 交BD 于O ，连接MO ，则MO ∥PE ，又MO ?平面BDM ，PE ?平面BDM ，所以PE ∥平面BDM .
(2)由题意V P －MBD ＝V P －DBC －V M －DBC ，由于平面P AD ⊥底面ABCD ，三角形P AD 是等边三角形，所以PE ⊥AD ，所以PE ⊥底面ABCD . 则PE 是三棱锥P －DBC 的高， 由题意P A ＝AD ＝PD ＝4， 所以PE ＝23，
由(1)知MO 是三棱锥M －DBC 的高， MO ＝3，S △DBC ＝23，
所以V P －DBC ＝4，V M －DBC ＝2，则V P －MBD ＝2.
5．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为锐角的直线l ，l 与抛物线的一个交点为A ，与抛物线的准线交于点B ，且AF →＝FB →.
(1)求以AB 为直径的圆被抛物线的准线截得的弦长；
(2)平行于AB 的直线与抛物线相交于C 、D 两点，若在抛物线上存在一点P ，使得直线PC 与PD 的斜率之积为－4，求直线CD 在y 轴上截距的最大值． 解 (1)过A 作y 2＝4x 准线的垂线AH ，垂足为H ，
则|AH |＝|AF |＝1
2|AB |，所以直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，
所以B (－1，－23)，|BF |＝4，所以以AB 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝16， 所以，截得的弦长为4 3.
(2)设直线CD ：y ＝3x ＋m ，P ? ????y 204，y 0，C ? ??
??
y 214，y 1，
D ? ??
??
y 2
24，y 2， 把y ＝3x ＋m 代入y 2
＝4x ，消去x ，得3y 2
－4y ＋4m ＝0，则y 1＋y 2＝4
3
，y 1·y 2
＝
4m 3
， Δ＝16－163m ＞0，所以m ＜3
3， 所以，k PC ·k PD ＝
4y 1＋y 0·4
y 2＋y 0
＝－4， 所以y 1·y 2＋y 0(y 1＋y 2)＋y 20＝－4， 所以y 20＋
4y 03＋4m
3
＝－4， 所以3y 2
0＋4y 0＋(4m ＋43)＝0.
所以，Δ＝16－43(4m ＋43)≥0，所以m ≤－23 3. 当m ＝－233时，直线CD ：y ＝3x －2
33， 所以直线在y 轴上截距最大值为－2
3 3..
6．已知函数f(x)＝ln x.
(1)求证：当0＜x＜1时，f(1＋x)＞
4x
x＋6
；
(2)若
1
f(x＋1)
＜
x＋1
ax在[1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．
(1)证明设g(x)＝ln(x＋1)－
4x
x＋6
，
则g′(x)＝
1
x＋1
－
24
(x＋6)2
＝
x2－12x＋12
(x＋1)(x＋6)2
.
当x∈(0,1)时，g′(x)＞0.∴g(x)在区间(0,1)上是增函数．∴g(x)＞g(0)＝0，
∴ln(x＋1)＞
4x
x＋6
.即当0
4x
x＋6
.
(2)解由已知，对?x∈[1，＋∞)，有
1
ln(x＋1)
＜
x＋1
ax恒成立．∵ln(x＋1)＞0，
∴a＞0.
从而，a＜x＋1
x ln(x＋1)在区间[1，＋∞)上恒成立．
令h(x)＝x＋1
x ln(x＋1)，
则h′(x)＝1
x2[x－ln(x＋1)]．
再令t(x)＝x－ln(x＋1)，则t′(x)＝1－
1
x＋1
＝
x
x＋1
＞0.∴t(x)在区间[1，＋∞)上
递增，从而t(x)≥t(1)＝1－ln 2＞0.∴h′(x)＞0在区间[1，＋∞)上恒成立．∴h(x)在区间[1，＋∞)上递增．
h(x)min＝h(1)＝2ln 2，∴0＜a＜2ln 2.