高考新题型——数学函数的概念与基本初等函数多选题专项练习及
答案
一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．下列命题正确的有（ ） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1
222
a b -<<
B ．34a b ==a b
ab
+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-
D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是
1
(,2)(2,)4
-+∞ 【答案】ACD 【分析】
由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求
a b ab
+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3
y x x =-有三个交点，即可知2
()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】
A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1
222
a b -<<；
B 选项，34a b ==log a =4log b =121211
2(log 3log 4)2a b ab a b
+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、
121
3
x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，
所以22
12121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；
D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2
()h x x x k =--有两个零点即可 ∴140(1)20
k h k ∆=+>⎧⎨
-=-≠⎩，解得1
(,2)(2,)4k ∈-+∞
故选：ACD 【点睛】
本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范
围，属于难题.
2．狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷函数
()1,0,x Q f x x Q ∈⎧=⎨∉⎩
（Q 是有理数集）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，
从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质、结构”．关于()f x 的性质，下列说法正确的是（ ）
A ．函数()f x 是偶函数
B ．函数()f x 是周期函数
C ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=
D ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x ⋅= 【答案】ABC 【分析】
利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；验证()()1f x f x +=，可判断B 选项的正误；分1x Q ∈、1x Q ∉两种情况讨论，结合函数()f x 的定义可判断C 选项的正误；取
20x =，1x Q ∉可判断D 选项的正误.
【详解】
对于A 选项，任取x Q ∈，则x Q -∈，()()1f x f x ==-； 任取x Q ∉，则x Q -∉，()()0f x f x ==-.
所以，对任意的x ∈R ，()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，A 选项正确； 对于B 选项，任取x Q ∈，则1x Q +∈，则()()11f x f x +==； 任取x Q ∉，则1x Q +∉，则()()10f x f x +==.
所以，对任意的x ∈R ，()()1f x f x +=，即函数()f x 为周期函数，B 选项正确； 对于C 选项，对任意1x Q ∈，2x ∈Q ，则12x Q x +∈，()()1211f x x f x +==； 对任意的1x Q ∉，2x ∈Q ，则12x x Q +∉，()()1210f x x f x +==. 综上，对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=，C 选项正确； 对于D 选项，取20x =，若1x Q ∉，则()()()12101f x x f f x ⋅==≠，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键在于根据已知函数的定义依次讨论各选项，分自变量为无理数和有理数两种情况讨论，对于D 选项，可取1x Q ∉，20x =验证.
3．定义在R 上的函数()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--,若()f x 在区间
[1,)-+∞上为增函数,且存在20t -<<,使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式一定成立的是( )
A ．2
1(1)()2
f t t f ++> B ．(2)0()f f t ->> C ．(2)(1)f t f t +>+
D ．(1)()f t f t +>
【答案】ABC 【分析】
先由()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--推出()f x 关于1x =-对称，然后可得出B 答案成立，对于答案ACD ，要比较函数值的大小，只需分别看自变量到对称轴的距离的大小即可 【详解】
因为()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--
所以(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+= 所以()f x 关于1x =-对称，所以(0)(2)f f =- 又因为()f x 在区间[1,)-+∞上为增函数，20t -<< 所以(0)(2)()f f f t =-> 因为(0)()0f f t ⋅<
所以()0,(2)(0)0f t f f <-=> 所以选项B 成立
因为2
2
311
20224
t t t ⎛⎫++-=++> ⎪⎝⎭
所以21t t ++比
1
2
离对称轴远 所以2
1(1)()2
f t t f ++>，所以选项A 成立 因为()()2
2
32250t t t +-+=+>
所以32t t +>+，所以2t +比1t +离对称轴远 所以(2)(1)f t f t +>+，即C 答案成立
因为20t -<<，所以()()2
2
2123t t t +-+=+符号不定 所以2t +，1t +无法比较大小，所以(1)()f t f t +>不一定成立 所以D 答案不一定成立 故选：ABC 【点睛】
本题考查的是函数的性质，由条件得出()f x 关于1x =-对称是解题的关键.
4．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定
义了一个“奇怪的函数” ()1,0,R x Q
y f x x C Q ∈⎧==⎨∈⎩
其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函
数()f x 有如下四个命题,正确的为( ) A ．函数()f x 是偶函数
B ．1x ∀,2R x
C Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立 C ．任取一个不为零的有理数T ,f x T
f x 对任意的x ∈R 恒成立
D ．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()
33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形 【答案】ACD 【分析】
根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可． 【详解】
对于A ，若x Q ∈，则x Q -∈，满足()()f x f x =-；若R x C Q ∈，则R x C Q -∈，满足()()f x f x =-；故函数()f x 为偶函数，选项A 正确；
对于B ，取12,R R x C Q x C Q ππ=∈=-∈，则()()1201f x x f +==，
()()120f x f x +=，故选项B 错误；
对于C ，若x Q ∈，则x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；若R x C Q ∈，则
R x T C Q +∈，满足()()f x f x T =+，故选项C 正确；
对于D ，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：
①直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上，此时点B ，点C 的横坐标为无理数，则BC 中点的横坐标仍然为无理数，那么点A 的横坐标也为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；
②直角顶点A 在1y =上，斜边不在x 轴上，此时点B 的横坐标为无理数，则点A 的横坐标也应为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；
③直角顶点A 在x 轴上，斜边在1y =上，此时点B ，点C 的横坐标为有理数，则BC 中点的横坐标仍然为有理数，那么点A 的横坐标也应为有理数，这与点A 的纵坐标为0矛盾，故不成立；
④直角顶点A 在x 轴上，斜边不在1y =上，此时点A 的横坐标为无理数，则点B 的横坐标也应为无理数，这与点B 的纵坐标为1矛盾，故不成立．
综上，不存在三个点()()
11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()
33C x f x ，，使得ABC ∆为等腰直角三角形，故选项D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】
本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．
5．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=，且当0x ≥时，
()x f x e x b =+-.若((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤.在x ∈R 上恒成立，则k 的可能取
值为( ) A ．1
B ．0
C ．1-
D ．2-
【答案】CD 【分析】
先判断函数的奇偶性和单调性,得到sinx ≥k (2+sinx ), 再根据题意，利用检验法判断即可. 【详解】
因为定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=, 所以()f x 为奇函数，
0x ≥时，()x f x e x b =+-，
显然()f x 在[0,)+∞上单调递增， 所以()f x 在R 上单调递增，
由((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤恒成立， 可得(sin )((2sin ))f x f k x +在R 上恒成立， 即sin (2sin )x k x +， 整理得：(1)sin 2k x k -
当1k =时，02≥，不恒成立，故A 错误; 当0k =时，sin 0x ≥，不恒成立，故B 错误; 当1k =-时，sin 1x ≥-，恒成立，故C 正确； 当2k =-时，4
sin 3
x ≥-，恒成立，故D 正确. 故选：CD 【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.
6．下列命题正确的是（ ）
A ．已知幂函数21()(1)m f x m x --=+在(0,)+∞上单调递减则0m =或2m =-
B ．函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个充分不必要条件是1m <-．
C ．已知函数3
1()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫
=++
⎪-⎝⎭
，若(21)0f a ->，则a 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
D ．已知函数()f x 满足()()2f x f x -+=，1
()x g x x
+=，且()f x 与()g x 的图像的交点为()()()112288,,,,x y x y x y 则128128x x x y y y ++⋯++++⋯+的值为8
【答案】BD 【分析】
根据幂函数的性质，可判定A 不正确；根据二次函数的性质和充分条件、必要条件的判
定，可得判定B 是正确；根据函数的定义域，可判定C 不正确；根据函数的对称性，可判定
D 正确，即可求解. 【详解】
对于A 中，幂函数2
1
()(1)m f x m x
--=+，可得11m +=±，解得0m =或2m =-，
当0m =时，函数1()f x x -=在(0,)+∞上单调递减；当2m =-时，函数()f x x =在
(0,)+∞上单调递增，所以A 不正确；
对于B 中，若函数2
()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0，
则满足(0)30f m =<，解得0m <，
所以1m <-是函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0的充分不必要条件，所以B 是正确； 对于C 中，由函数31()sin ln(
)1x f x x x x +=++-，则满足101x
x
+>-，解得11x -<<， 即函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以不等式(21)0f a ->中至少满足1211a -<-<， 即至少满足01a <<，所以C 不正确；
对于D 中，函数()f x 满足()()2f x f x -+=，可得函数()y f x =的图象关于(0,1)点对称， 又由11
()x x g x x x
-+--=
=-，可得()()2g x g x -+=，所以函数()y g x =的图象关于(0,1)点对称，则1281280428x x x y y y ++⋯++++⋯+⨯+==，所以D 正确.
故选：BD. 【点睛】
本题主要考查了以函数的基本性质为背景的命题的真假判定，其中解答中熟记函数的基本性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
7．设函数g (x )=sinωx (ω＞0)向左平移5π
ω
个单位长度得到函数f (x )，已知f (x )在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）
A ．f (x )的图象关于直线2
x π=
对称
B ．f (x )在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f (x )在(0，2π)上有且只有2个极小值点
C ．f (x )在(0,
)10
π
上单调递增 D ．ω的取值范围是[1229,510
) 【答案】CD
【分析】
利用正弦函数的对称轴可知，A 不正确；由图可知()f x 在(0,2)π上还可能有3个极小值点，B 不正确；由2A B x x π≤<解得的结果可知，D 正确；根据()f x 在3(0,)10π
ω
上递增，且
31010π
π
ω
<
，可知C 正确. 【详解】
依题意得()()5f x g x πω=+
sin[()]5x πωω=+sin()5
x πω=+， 2T πω=，如图：
对于A ，令5
2
x k π
π
ωπ+=+
，k Z ∈，得310k x π
π
ω
ω
=
+
，k Z ∈，所以()f x 的图象关于直线310k x π
π
ω
ω
=
+
(k Z ∈)对称，故A 不正确； 对于B ，根据图象可知，2A B x x π≤<，()f x 在(0,2)π有3个极大值点，()f x 在(0,2)π有2个或3个极小值点，故B 不正确， 对于D ，因为5522452525A x T ππππωωωω
=-
+=-+⨯=，22933555B x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，所以2429255πππωω
≤<，解得1229
510ω≤<，所以D 正确；
对于C ，因为1123545410T ππππωωωω-+=-+⨯=，由图可知()f x 在3(0,)10π
ω上递增，因为29310ω<
<，所以33(1)0101010πππωω
-=-<，所以()f x 在(0,)10π上单调递增，故C 正确；
故选：CD. 【点睛】
本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.
8．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，
()1f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，
()()2f x x x =--，则（ ）
A ．()f x 是周期为2的函数
B ．()()201920201f f +=-
C ．()f x 的值域为[-1，1]
D ．()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点 【答案】BCD 【分析】
对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得()()4f x f x =-，则()f x 是
周期为4的周期函数，可判断A ；
对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，
()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．
对于C ，当(]
01
x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[
)10
x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，构造函数()()cos g x f x x =-，利用导数法求出单调区间，结合零点存在性定理，即可判断D ． 【详解】 根据题意，
对于A ，()f x 为R 上的奇函数，
()1f x +为偶函数，
所以()f x 图象关于1x =对称，(2)()()f x f x f x +=-=- 即(4)(2)()f x f x f x +=-+= 则()f x 是周期为4的周期函数，A 错误； 对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，
()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；
当(]
0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，
则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-， 则()()201920201f f +=-；故B 正确．
对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x ≤＜，
又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10
x ∈-，时，()10f x -≤＜， (0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[11]-，．
故C 正确． 对于D ，
(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，
[0,1],()(2)x f x x x ∴∈=--，
[1,2],2[0,1],()(2)(2)x x f x f x x x ∴∈-∈=-=--， [0,2],()(2)x f x x x ∴∈=--，
()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+， ()f x 的周期为4，[2,4],()(2)(4)x f x x x ∴∈=--，
[4,6],()(4)(6)x f x x x ∴∈=---， [6,2],()(6)(8)x f x x x π∴∈=--，
设()()cos g x f x x =-，
当2
[0,2],()2cos x g x x x x ∈=-+-，
()22sin g x x x '=-++，
设()(),()2cos 0h x g x h x x =''=-+<在[0,2]恒成立，
()h x 在[0,2]单调递减，即()g x '在[0,2]单调递减，
且(1)sin10,(2)2sin20g g '=>'=-+<， 存在00(1,2),()0x g x ∈'=，
0(0,),()0,()x x g x g x ∈'>单调递增， 0(,2),()0,()x x g x g x ∈'<单调递减，
0(0)1,(1)1cos10,()(1)0,(2)cos20g g g x g g =-=->>>=->，
所以()g x 在0(0,)x 有唯一零点，在0(,2)x 没有零点， 即2(]0,x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点，
当[]24x ∈，
时，，()()2
cos 6+8cos x x g x f x x x =-=--， 则()26+sin g x x x '=-，()()26+sin x x h x g x ='=-，
则()2+cos >0h x x '=，所以()g x '在[]24，
上单调递增， 且()()3sin3>0,22+sin20g g '='=-<，
所以存在唯一的[][]12324x ∈⊂，
，，使得()0g x '=， 所以()12,x x ∈，()0g x '<，()g x 在()12,x 单调递减，
()14x x ∈，，()>0g x '，()g x 在()14x ，单调递增，
又()31cos30g =--<，所以()1(3)0g x g <<， 又()()2cos2>0,4cos4>0g g =-=-，
所以()g x 在()12,x 上有一个唯一的零点，在()14x ，
上有唯一的零点， 所以当[]24x ∈，
时，()f x 的图象与曲线cos y x =有2个交点，， 当[]
46x ∈，
时，同[0,2]x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点， 当[6,2],()(6)(8)0,cos 0x f x x x y x π∈=--<=>，
()f x 的图象与曲线cos y x =没有交点，
所以()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点，故D 正确；
故选：BCD ． 【点睛】
本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、两函数图像的交点，属于较难题.
9．已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】AD 【分析】
根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()x
x f x e e -=+为偶函数，
当1k =-时，()x
x f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．
【详解】
由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当1k =时，()x x f x e
e -=+为偶函数，
当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t
=+在1) [,t ∈+∞上单调递增， 故函数()x
x f x e
e -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误；
当1k =-时，()x
x f x e e -=-为奇函数，
当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t
=-在1) [,t ∈+∞上单调递减， 故函数()x
x f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误.
故选:AD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知1k =或1k =-，再判断函数的单调性.
10．已知函数21,01()(1)1,1
x x f x f x x ⎧-≤<=⎨-+≥⎩，方程()0f x x -=在区间0,2n
⎡⎤⎣⎦
(*n N ∈)上的所有根的和为n b ，则（ ） A ．()20202019f = B ．()20202020f = C ．21
12
2n n n b --=+
D ．(1)
2
n n n b +=
【答案】BC 【分析】
先推导出()f x 在[)(
)*
,1n n n N
+∈上的解析式，然后画出()f x 与y x =的图象，得出
()f x x =时，所有交点的横坐标，然后得出n b .
【详解】
因为当[)0,1x ∈时，()21x
f x =-，所以当[)1,2x ∈
时，[)10,1x -∈，
则()1
12
1x f x --=-，故()()11112112x x f x f x --=-+=-+=，
即[
)10,1x -∈时，[
)10,1x -∈，()1
2x f x -= 同理当[)2,3x ∈时，[)11,2x -∈，()()2
1121x f x f x -=-+=+；
当[)3,4x ∈时，[)12,3x -∈，则()()3
1122x f x f x -=-+=+；
………
故当[
),1x n n ∈+时，()()2
1x n
f x n -=+-，
当21,2n n
x ⎡⎤∈-⎣⎦
时，()()
()21
222n
x n f x --=+-.
所以()20202020f =，故B 正确；
作出()f x 与y x =的图象如图所示，则当()0f x x -=且0,2n
⎡⎤⎣⎦时，x 的值分别为：
0,1,2,3,4,5,6,
,2n
则()()121122101222221222
n n n n n n n n b ---+=+++++=
=+=+，故C 正确.
故选：BC.
【点睛】
本题考查函数的零点综合问题，难度较大，推出原函数在每一段上的解析式并找到其规律是关键.
11．已知()()()52
log 1,1
22,1
x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程12f x a x ⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
()1a <的实根
个数可能为（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】ABC 【分析】
画出()f x 的图像，由1a <，可分类讨论01a <<，0a =，0a <三种情况，令
1
2t x x =+
-，并画出图像，结合两个函数图像以及12f x a x ⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
，判断出实根个数
构成的集合. 【详解】
画出()f x 的图像如图所示，令1
2t x x
=+
-，画出图像如图所示. 由()5log 11t -=，解得：4544,5
t t =-=
，由()2
221t --+=，解得671,3t t ==.. 由()5log 10t -=，解得：80t =，由()()2
2201t t --+=≥，解得922t = （1）当01a <<时，()f t a =，有3解，且40t -<<或4
05
t <<或322t <<+合12t x x =+
-的图像可知，40t -<<时没有x 与其对应，4
05
t <<或322t <<每个t 都有2个x 与其对应，故此时12f x a x ⎛
⎫
+
-= ⎪⎝
⎭
有4个实数根.
（2）当0a =时，()f t a =，有2解，且0t =或22t =+，0t =有一个1x =与其对应，22t =+有两个x 与其对应，故此时12f x a x ⎛⎫
+
-= ⎪⎝
⎭
有3个实数根. （3）当0a <时，()f t a =，有1解，且22t >+，结合1
2t x x
=+
-的图像可知，每个t 有两个x 与其对应，故此时1
2f x a x ⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
有2个实数根.
综上所述，关于x 的方程12f x a x ⎛
⎫
+-= ⎪⎝
⎭
的实根个数构成的集合为{2,3,4}. 故选：ABC
【点睛】
方法点睛：本题考查分类讨论参数，求函数零点个数问题，讨论函数零点个数常用方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，考查学生的数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，2()2f x x x =-+，下列说法正确的是（ ）
A ．(0,)x ∈+∞时，函数解析式为2()2f x x x =-
B ．函数在定义域R 上为增函数
C ．不等式(32)3f x -<的解集为(,1)-∞
D ．不等式2()10f x x x -+->恒成立 【答案】BC 【分析】
对于A ，利用奇函数定义求(0,)x ∈+∞时，函数解析式为2
()2f x x x =+；对于B ，研究当(,0)x ∈-∞时，()f x 的单调性，结合奇函数图像关于原点对称，知()f x 在R 上的单调性；对于C ，求出(1)3f =，不等式(32)3f x -<，转化为(32)(1)f x f -<，利用单调性解不等式；对于D ，分类讨论(0,)x ∈+∞与(,0)x ∈-∞两种情况是否恒成立. 【详解】
对于A ，设(0,)x ∈+∞，(,0)x -∈-∞，则2
()2f x x x -=--，
又()f x 是奇函数，所以2
()()2f x f x x x =--=+，
即(0,)x ∈+∞时，函数解析式为2
()2f x x x =+，故A 错；
对于B ，2
()2f x x x =-+，对称轴为1x =，所以当(,0)x ∈-∞时，()f x 单调递增，由
奇函数图像关于原点对称，所以()f x 在R 上为增函数，故B 对；
对于C ，由奇函数在R 上为增函数，则(0,)x ∈+∞时，2
()23f x x x =+=，解得11x =，
23x =-（舍去），即(1)3f =，
所以不等式(32)3f x -<，转化为(32)(1)f x f -<， 又()f x 在R 上为增函数，得321x -<，解得1x <， 所以不等式的解集为(,1)-∞，故C 对； 对于D ，当(,0)x ∈-∞时，2
()2f x x x =-+
2222()121231(21)(1)0f x x x x x x x x x x x -+-=-+-+-=-+-=-+-<，
当(0,)x ∈+∞时，2
()2f x x x =+
222()12131f x x x x x x x x -+-=+-+-=-不恒大于0，故D 错；
故选：BC 【点睛】
方法点睛：考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是： （1）把不等式转化为[][]()()f g x f h x >的模型；
（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.
考查了利用奇偶性求函数解析式，求函数解析式常用的方法： （1）已知函数类型，用待定系数法求解析式； （2）已知函数奇偶性，用奇偶性定义求解析式；
（3）已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法； （4）若()f x 与1()f x
或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解；
13．下列结论正确的是（ ）
A ．函数()y f x =的定义域为[]
1,3，则函数()21y f x =+的定义域为[]0,1 B ．函数()f x 的值域为[]1,2，则函数
()1f x +的值域为[]2,3
C ．若函数24y x ax =-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1，则a 的取值范围是
()0,3
D ．已知函数()2
3,f x x x x R =+∈，若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数
根，则实数a 的取值范围为()()0,19,⋃+∞ 【答案】ACD 【分析】
根据抽象函数定义域及代换的方法可求函数的定义域，判断A ，利用函数图象的平移可判断函数值域的变换情况，判断B ，利用数形结合及零点的分布求解判断C ，作出函数
()23f x x x =+与1y a x =-的图象，数形结合即可判断D.
【详解】
对于A, ()y f x =的定义域为[]
1,3，则由1213x ≤+≤可得()21y f x =+定义域为
[]0,1，故正确；
对于B ，将函数()f x 的图象向左平移一个单位可得函数()1f x +的图象，故其值域相
同，故错误；
对于C, 函数2
()4y g x x ax ==-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1只需
(2)0
(1)0
g g >⎧⎨
->⎩，解得0<<3a ，故正确； 对于D, 作出函数()2
3f x x x =+与1y a x =-的图象，如图，
由图可以看出，0a ≤时，不可能有4个交点，找到直线与抛物线相切的特殊位置1a =或
9a =，观察图象可知，当01a <<有4个交点，当9a <时，两条射线分别有2个交点，
综上知方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根时，()()0,19,a ∈+∞正确.
故选：ACD 【点睛】
关键点点睛：对于方程实根问题，可转化为函数图象交点问题，本题中，()2
3f x x x
=+图象确定，而1y a x =-是过(1,0)关于1x =对称的两条射线，参数a 确定两射线张角的大小，首先结合图形找到关键位置，即1a =时左边射线与抛物线部分相切，9a =时右边射线与抛物线相切，然后观察图象即可得出结论.
14．函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[],m n D ⊆使()f x 在区间[]
,m n 上的值域也是[],m n ，则称区间[]
,m n 为函数()f x 的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（ ） A ．()f x x =B ．()222f x x x =-+
C ．()1f x x x
=+
D ．()1f x x
=
【答案】ABD 【分析】
根据题意，可知若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[]
,m n ，则()f x 存在“和谐区间”[]
,m n ，且m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨
=⎪⎩或()()
f m n
f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，再对各个选项进行运算求解
,m n ，即可判断该函数是否存在“和谐区间”.
【详解】
解：由题得，若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[]
,m n ，则()f x 存在“和谐区间”[]
,m n ，
可知，m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m n
f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，
A ：(
))0f x x =≥，若(
)(
)f m m
f n n
⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得：01m n =⎧⎨=⎩，
所以(
)f x =
“和谐区间”[]0,1；
B ：()()2
22f x x x x R =-+∈，若 ()()2
2
2222f m m m m
f n n n n ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩
，解得：12m n =⎧⎨=⎩， 所以()2
22f x x x =-+存在“和谐区间” []1,2；
C ：()()10f x x x x =+≠，若()()11f m m m m f n n n n ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，得1010
m
n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故无解；
若()()11f m m n
m
f n n m
n
⎧
=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩
，即 21111m n m m m n n m n ⎧
+=⎪⎪⎪=⎨+⎪⎪+=⎪⎩
，化简得：22
10(1)m m m m ++=+， 即210m m ++=，由于2141130∆=-⨯⨯=-<，故无解； 若()0112,m n f m m <<<∴=∴= 不成立 所以()1
f x x x
=+
不存在“和谐区间”； D ：()()10f x x x =≠，函数在()()0+-0∞∞，，，
单调递减，则 ()()11f m n m
f n m
n ⎧
==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩
， 不妨令122
m n ⎧
=⎪
⎨⎪=⎩， 所以()1f x x =
存在“和谐区间”1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
； 综上得：存在“和谐区间”的是ABD. 故选：ABD.
【点睛】
关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.
15．已知函数()()(
)2
2
2
24x x f x x x m m e
e --+=-+-+（e 为自然对数的底数）有唯一零
点，则m 的值可以为（ ） A ．1 B ．1-
C ．2
D ．2-
【答案】BC 【分析】
由已知，换元令2t x =-，可得()()f t f t -=，从而f t 为偶函数，()f x 图象关于
2x =对称，结合函数图象的对称性分析可得结论. 【详解】
∵22222222()4()()(2)4()()x x x x f x x x m m e e x m m e e --+--+=-+-+=--+-+， 令2t x =-，则2
2
()4()()t
t
f t t m m e e -=-+-+，定义域为R ，
22()()4()()()t t f t t m m e e f t --=--+-+=，故函数()f t 为偶函数，
所以函数()f x 的图象关于2x =对称， 要使得函数()f x 有唯一零点，则(2)0f =， 即2
482()0m m -+-=，解得1m =-或2 ①当1m =-时，2()42()t t f t t e e -=-++ 由基本不等式有2t t e e -+≥，当且仅当0t =时取得
2()4t t e e -∴+≥
故2
()42()0t
t
f t t e e -=-++≥，当且仅当0t =取等号 故此时()f x 有唯一零点2x =
②当2m =时，2()42()t t f t t e e -=-++，同理满足题意. 故选：BC ． 【点睛】
方法点睛：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.
②()y f x =的图象关于直线x a =对称 ()()f a x f a x ⇔-=+()()2f x f a x ⇔-=+
16．设函数ln(2),2
()1,2
x x f x x x ->⎧=⎨+≤⎩，g （x ）＝x 2-（m ＋1）x ＋m 2-2，下列选项正确的有
（ ）
A ．当m ＞3时，f [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根
B ．当m ＝0时，g [g （x ）]＝m 有4个不相等的实根
C ．当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根
D ．当m ＝2时，g [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根 【答案】BCD 【分析】
作出函数()f x 的图象，利用函数()f x 的图象和函数()g x 的图象分析可解得结果. 【详解】
作出函数()f x 的图象：
令()f x t =，得[()]()f f x f t m ==；
当3m >时，()f x m =有两个根：31242e t t <->+，
，方程1()f x t =有1个根，方程2()f x t =有2个根，所以A 错误；
②当0m =时，2 ()2g x x x =--，[()]0g g x =，令()g x t =，
由()0g t =，得1221t t ==-，， 由2122t x x ==--12117117
x x -+⇒=
由22341515
12t x x x x -+=-=--⇒=
=所以B 正确； ③令()g x t =，()f t m =∴，因为01m <<，所以()f t m =有3个实根根123,,t t t ，
设123t t t <<，所以12311ln(2)t m t m t m --=+=-=，，
， 2
2
()(1)2g x x m x m =-++-221329()24m m m x +--=-+2329
4
m m --≥
， 221329329144m m m m t m -----=---2325
4
m m --+=
， 因为2325m m --+在(0,1)上递减，所以23253250m m --+>--+=， 所以2132504m m t --+->，所以21325
4
m m t --+>
， 即方程()f t m =的最小根1t 大于()g x 的最小值，
所以1()g x t =、2()g x t =、3()g x t =都有2个不等实根，且这6个实根互不相等， 所以当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根，所以C 正确； ④令()f x t =，则()g t m =，
当2m =时，方程()2g t =化为230t t -=，得1230t t ==，；
高中数学函数的概念与基本初等函数多选题复习题附解析 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数1(),f x x x =+2 21()g x x x =+则下列结论中正确的是（ ） A ．()()f x g x +是奇函数 B ．()()f x g x ?是偶函数 C ．()()f x g x +的最小值为4 D ．()()f x g x ?的最小值为2 【答案】BC 【分析】 利用奇偶性的定义可得A 错B 对；利用均值不等式可得C 对；利用换元求导可得D 错. 【详解】 2211()()f x g x x x x x +=+ ++ () 22 221111()()()f x g x x x x x x x x x ∴-+-=-+ +-+=+++-- ()()()()f x g x f x g x ∴+=-+- ()()f x g x ∴+是偶函数， A 错； 221(1)()x x x f x x g x ? ?+ ?+ ?? ?=? ()()22221 111()()f x x x x x g x x x x x ??? ?-+ ?-+=+?+ ? ? ?-? ?-?∴-?-=? ()()()()f x g x f x g x ∴-?-=? ()()f x g x ∴?是偶函数，B 对； 2211()()224f x g x x x x x +=+ ++≥+=，当且仅当1 x x =和221=x x 时，等号成立，即当且仅当21x =时等号成立，C 对； 221 (1)()x x x f x x g x ? ?+ ?+ ?? ?=? 令1 t x x =+ ()2t ≥，则()23()()22f t t g t t x x ?-=-?= []232()()f x g x t '∴=-?，令2320t -> ，得t > t <2t ∴≥时，()()f x g x ?单调递增 ∴当2t =有最小值，最小值为4，D 错 故选：BC. 【点睛】
甘肃省武威第一中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数()sin sin x x f x e e =+，以下结论正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 最小值为2 C ．()f x 在区间,2ππ⎛ ⎫ -- ⎪⎝ ⎭ 上单调递减 D ．()()2 g x f x x π =- 的零点个数为5 【答案】ABD 【分析】 去掉绝对值，由函数的奇偶性及周期性，对函数分段研究，利用导数再得到函数的单调性，再对选项进行判断. 【详解】 ∵x ∈R ，()()f x f x -=，∴()f x 是偶函数，A 正确； 因为()()2f x f x π+=，由函数的奇偶性与周期性，只须研究()f x 在[]0,2π上图像变 化情况.()sin sin sin 2,01 ,2x x x e x f x e x e πππ⎧≤≤⎪ =⎨+<≤⎪ ⎩ ， 当0x π≤≤，()sin 2cos x f x xe '=，则()f x 在0, 2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2ππ⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ 上单调递减，此时()[] 2,2f x e ∈； 当2x ππ≤≤时，()()sin sin cos x x f x x e e -'=-，则()f x 在3,2x ππ⎡⎤∈⎢ ⎥⎣⎦上单调递增，在3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 上单调递减，此时()12,f x e e ⎡ ⎤∈+⎢⎥⎣⎦，故当02x π≤≤时，()min 2f x =， B 正确. 因()f x 在,2x ππ⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭上单调递减，又()f x 是偶函数，故()f x 在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝ ⎭上单调递 增，故C 错误. 对于D ，转化为()2 f x x π=根的个数问题.因()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递增，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3, 2 ππ⎛ ⎫ ⎪⎝ ⎭ 上单调递增，在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.当(),x π∈-∞时，()2f x ≥，2 2x π <，()2 f x x π= 无实根.()3,x π∈+∞时， ()max 2 62x e f x π >>=，()2 f x x π = 无实根，3, 2x ππ⎡ ⎤ ∈⎢⎥⎣ ⎦ ，显然x π=为方程之根.()sin sin x x f x e e -=+，
高考新题型——数学函数的概念与基本初等函数多选题专项练习及 答案 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．设[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函 数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ） A ．x R ∀∈，[][]22x x = B ．,x y R ∀∈，若[][]x y =，则1x y ->- C ．x R ∀∈，[][]122x x x ⎡⎤ ++ =⎢⎥⎣⎦ D ．不等式[][]2 230x x --≥的解集为{|0x x <或}2x ≥ 【答案】BCD 【分析】 通过反例可得A 错误，根据取整函数的定义可证明BC 成立，求出不等式2230t t --≥的解后可得不等式[][]2 230x x --≥的解集，从而可判断D 正确与否. 【详解】 对于A ， 1.5x =-，则[][][]()233,2224x x =-=⨯--==-，故[][] 22x x ≠，故A 不成立. 对于B ，[][] x y m ==，则1,1m x m m y m ≤<+≤<+， 故1m y m --<-≤-，所以1x y ->-，故B 成立. 对于C ，设x m r =+，其中[ ),0,1m Z r ∈∈， 则[]11222x x m r ⎡ ⎤⎡⎤++ =++⎢⎥⎢⎥⎣ ⎦⎣⎦ ，[][]222x m r =+， 若102r ≤< ，则102r ⎡⎤ +=⎢⎥⎣⎦，[]20r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣ ⎦； 若 112r <<，则112r ⎡⎤ +=⎢⎥⎣⎦，[]21r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣ ⎦，故C 成立. 对于D ，由不等式[][]2 230x x --≥可得[] 1x ≤-或[]3 2 x ≥， 故0x <或2x ≥，故D 正确. 故选：BCD 【点睛】 本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题.
高三数学函数的概念与基本初等函数多选题知识点-+典型题及答案一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数 123,12 ()1 ,2 22 x x f x x f x ⎧--≤≤ ⎪ =⎨⎛⎫ > ⎪ ⎪ ⎝⎭ ⎩ ，则下列说法正确的是（） A．若函数() =- y f x kx有4个零点，则实数k的取值范围为 11 , 246 ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ B．关于x的方程* 1 ()0() 2n f x n N -=∈有24 n+个不同的解 C．对于实数[1,) x∈+∞，不等式2()30 xf x-≤恒成立 D．当1 [2,2](*) n n x n N - ∈∈时，函数() f x的图象与x轴围成的图形的面积为1 【答案】AC 【分析】 根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A，C利用数形结合进行判断，对于B，D利用特值法进行判断. 【详解】 当 3 1 2 x ≤≤时，()22 f x x =-；当 3 2 2 x <≤时，()42 f x x =-； 当23 x <≤，则 3 1 22 <≤ x ， 1 ()1 222 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f； 当34 x <≤，则 3 2 22 <≤ x ， 1 ()2 222 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f； 当46 x <≤，则23 2 <≤ x ， 11 () 2242 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f； 当68 x <≤，则34 2 <≤ x ， 1 ()1 224 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f； 依次类推，作出函数() f x的图像：
对于A ，函数()=-y f x kx 有4个零点，即()y f x =与y kx =有4个交点，如图，直线y kx =的斜率应该在直线m , n 之间，又16m k = ，124=n k ，11,246⎛⎫ ∴∈ ⎪⎝⎭ k ，故A 正确； 对于B ，当1n =时，1 ()2 f x = 有3个交点，与246+=n 不符合，故B 错误； 对于C ，对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立，即3 ()2≤f x x 恒成立，由图知函数()f x 的每一个上顶点都在曲线3 2y x = 上，故3()2≤f x x 恒成立，故C 正确； 对于D ， 取1n =，[1,2]x ∈，此时函数()f x 的图像与x 轴围成的图形的面积为 11 1122⨯⨯=，故D 错误； 故选：AC 【点睛】 方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 2．若实数2a ≥，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．21(1)(2)a a a a +++>+ B ．1log (1)log (2)a a a a ++>+ C ．1 log (1)a a a a ++< D ．12 log (2)1 a a a a +++< + 【答案】ABD 【分析】 对于选项A ：原式等价于 ()() ln 1ln 212 a a a a ++> ++，对于选项C ：1 log (1)a a a a ++< ()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a +⇔< +，对于选项D ：变形为()()ln 2ln 121 a a a a ++< ++，构造函数()ln x f x x =，通过求导判断其在(),x e ∈+∞上的单调性即可判断； 对于选项B ：利用换底公式：1log (1)log (2)a a a a ++>+()() () ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔ >+， 等价于()()2 ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，利用基本不等式2 2a b ab +⎛⎫ ≤ ⎪⎝⎭ ，再结合放缩法即可 判断；
新高考新题型——数学函数的概念与基本初等函数多选题专项练习 含答案 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[],m n D ⊆使()f x 在区间[],m n 上的值域也是 [],m n ，则称区间[],m n 为函数()f x 的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是 （ ） A ．( )f x =B ．()222f x x x =-+ C ．()1f x x x =+ D ．()1f x x = 【答案】ABD 【分析】 根据题意，可知若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[] ,m n ，则()f x 存在“和谐区间”[] ,m n ，且m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨ =⎪⎩或()() f m n f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，再对各个选项进行运算求解 ,m n ，即可判断该函数是否存在“和谐区间”. 【详解】 解：由题得，若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[] ,m n ，则()f x 存在“和谐区间”[] ,m n ， 可知，m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m n f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ， A ：( ))0f x x =≥，若( )( )f m m f n n ⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得：01m n =⎧⎨=⎩， 所以( )f x = “和谐区间”[]0,1； B ：()()2 22f x x x x R =-+∈，若 ()()2 2 2222f m m m m f n n n n ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩， 所以()2 22f x x x =-+存在“和谐区间” []1,2； C ：()()10f x x x x =+≠，若()()11f m m m m f n n n n ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，得1010 m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故无解；
函数的概念与基本初等函数多选题知识点总结及答案 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数()()2 2 14sin 2 x x e x f x e -= +，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()y f x =是偶函数，且在(),-∞+∞上不单调 B ．函数()y f x '=是奇函数，且在(),-∞+∞上不单调递增 C ．函数()y f x =在π,02⎛⎫ - ⎪⎝⎭ 上单调递增 D ．对任意m ∈R ，都有()()f m f m =，且()0f m ≥ 【答案】AD 【分析】 由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A 、B 、C 、D. 【详解】 解：对A ， ()() 2 22 11 4sin =2cos 2x x x x e x e f x x e e -+= +-， 定义域为R ，关于原点对称， ()2211 =2cos()2cos()()x x x x e e f x x x f x e e --++---=-=， ()y f x ∴=是偶函数，其图像关于y 轴对称， ()f x ∴在(),-∞+∞上不单调，故A 正确； 对B ，1 ()2sin x x f x e x e '=- +， 11()2sin()=(2sin )()x x x x f x e x e x f x e e --''-=- +---+=-， ()f x '∴是奇函数， 令1 ()2sin x x g x e x e =-+， 则1 ()+ 2cos 2+2cos 0x x g x e x x e '=+≥≥， ()f x '∴在(),-∞+∞上单调递增，故B 错误； 对C ，1 ()2sin x x f x e x e '=- +，且()'f x 在(),-∞+∞上单调递增， 又 (0)0f '=， π,02x ⎛⎫ ∴∈- ⎪⎝⎭ 时，()0f x '<，
新高考数学的函数的概念与基本初等函数多选题含解析 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数1(),f x x x =+2 21()g x x x =+则下列结论中正确的是（ ） A ．()()f x g x +是奇函数 B ．()()f x g x ⋅是偶函数 C ．()()f x g x +的最小值为4 D ．()()f x g x ⋅的最小值为2 【答案】BC 【分析】 利用奇偶性的定义可得A 错B 对；利用均值不等式可得C 对；利用换元求导可得D 错. 【详解】 2211()()f x g x x x x x +=+ ++ () 22 221111()()()f x g x x x x x x x x x ∴-+-=-+ +-+=+++-- ()()()()f x g x f x g x ∴+=-+- ()()f x g x ∴+是偶函数， A 错； 221(1)()x x x f x x g x ⎛ ⎫+ ⋅+ ⎪⎝ ⋅=⎭ ()()22221 111()()f x x x x x g x x x x x ⎛⎫⎛ ⎫-+ ⋅-+=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝ ⎭-⎝∴-⋅-=⎭ ()()()()f x g x f x g x ∴-⋅-=⋅ ()()f x g x ∴⋅是偶函数，B 对； 2211()()224f x g x x x x x +=+ ++≥+=，当且仅当1 x x =和221=x x 时，等号成立，即当且仅当21x =时等号成立，C 对； 221 (1)()x x x f x x g x ⎛ ⎫+ ⋅+ ⎪⎝ ⋅=⎭ 令1 t x x =+ ()2t ≥，则()23()()22f t t g t t x x ⋅-=-⋅= []232()()f x g x t '∴=-⋅，令2320t -> ，得t > t <2t ∴≥时，()()f x g x ⋅单调递增 ∴当2t =有最小值，最小值为4，D 错 故选：BC. 【点睛】
2021年高考新题型——数学函数的概念与基本初等函数多选题专项 练习含答案 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．下列命题正确的有（ ） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1 222 a b -<< B ．34a b ==a b ab += C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6- D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是 1 (,2)(2,)4 -+∞ 【答案】ACD 【分析】 由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求 a b ab +；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3 y x x =-有三个交点，即可知2 ()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】 A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1 222 a b -<<； B 选项，34a b ==log a =4log b =121211 2(log 3log 4)2a b ab a b +=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、 121 3 x x =-，即12,x x 为y 两个极值点， 所以22 12121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-； D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2 ()h x x x k =--有两个零点即可 ∴140(1)20 k h k ∆=+>⎧⎨ -=-≠⎩，解得1 (,2)(2,)4k ∈-+∞ 故选：ACD 【点睛】 本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范
函数的概念与基本初等函数多选题知识点-+典型题及解析 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知53a =，85b =，则（ ） A ．a b < B ． 11 2a b +> C ．11a b a b + <+ D ．b a a a b b +<+ 【答案】ABD 【分析】 根据条件求得,a b 表达式，根据对数性质结合放缩法得A 正确，根据不等式性质得B 正确，通过作差法判断C 错，结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确． 【详解】 解：∵53a =，85b =， ∴35log a =，5 8log b =， 因为33 4443 5533535log 3log 54 <⇒<⇒<=， 又由3 3 444 3 883 5858log 5log 84 >⇒>⇒>= ，所以a b <，选项A 正确； 35lo 01g a <=<，5 80log 1b <=<，则 11a >，11b >，所以11 2a b +>，选项B 正确； 因为a b <，01a b <<<，则0b a ->， 1 1ab >，此时111()()10b a a b a b b a a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+ -+=-+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， 所以11 a b a b +>+，故选项C 不正确； 由 1324a <<和3 14 b <<知()x f x a =与()x g x b =均递减， 再由a ，b 的大小关系知b b a b a b a a b b a b a a b b <<⇒<⇒+<+，故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】 本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法． 2．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()lg f x x =.记 ()sin ()cos g x x f x x =+⋅，下列结论正确的是（ ） A ．()g x 为奇函数 B ．若()g x 的一个零点为0x ，且00x <，则()00lg tan 0x x --= C ．()g x 在区间,2ππ⎛⎫ - ⎪⎝⎭ 的零点个数为3个
新高中数学函数的概念与基本初等函数多选题100及解析 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．设[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函 数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ） A ．x R ∀∈，[][]22x x = B ．,x y R ∀∈，若[][]x y =，则1x y ->- C ．x R ∀∈，[][]122x x x ⎡⎤ ++ =⎢⎥⎣⎦ D ．不等式[][]2 230x x --≥的解集为{|0x x <或}2x ≥ 【答案】BCD 【分析】 通过反例可得A 错误，根据取整函数的定义可证明BC 成立，求出不等式2230t t --≥的解后可得不等式[][]2 230x x --≥的解集，从而可判断D 正确与否. 【详解】 对于A ， 1.5x =-，则[][][]()233,2224x x =-=⨯--==-，故[][] 22x x ≠，故A 不成立. 对于B ，[][] x y m ==，则1,1m x m m y m ≤<+≤<+， 故1m y m --<-≤-，所以1x y ->-，故B 成立. 对于C ，设x m r =+，其中[ ),0,1m Z r ∈∈， 则[]11222x x m r ⎡ ⎤⎡⎤++=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，[][]222x m r =+， 若102r ≤< ，则102r ⎡⎤ +=⎢⎥⎣⎦，[]20r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣ ⎦； 若 112r <<，则112r ⎡⎤ +=⎢⎥⎣⎦，[]21r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣ ⎦，故C 成立. 对于D ，由不等式[][]2 230x x --≥可得[] 1x ≤-或[]3 2 x ≥， 故0x <或2x ≥，故D 正确. 故选：BCD 【点睛】 本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题. 2．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.
一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．若实数2a ≥，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．21(1)(2)a a a a +++>+ B ．1log (1)log (2)a a a a ++>+ C ．1 log (1)a a a a ++< D ．12 log (2)1 a a a a +++< + 【答案】ABD 【分析】 对于选项A ：原式等价于 ()() ln 1ln 212 a a a a ++> ++，对于选项C ：1 log (1)a a a a ++< ()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a +⇔< +，对于选项D ：变形为()()ln 2ln 121 a a a a ++< ++，构造函数()ln x f x x =，通过求导判断其在(),x e ∈+∞上的单调性即可判断； 对于选项B ：利用换底公式：1log (1)log (2)a a a a ++>+()() () ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔ >+， 等价于()()2 ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，利用基本不等式2 2a b ab +⎛⎫≤ ⎪ ⎝⎭ ，再结合放缩法即可 判断； 【详解】 令()ln x f x x = ，则()21ln x f x x -'=0<在()3,x ∈+∞上恒成立，所以函数() ln x f x x =在(),x e ∈+∞上单调递减， 对于选项A ：因为2a ≥，所以 21(1)(2)a a a a +++>+()()()()2ln 11ln 2a a a a ⇔++>++， 即原不等式等价于 ()() ln 1ln 212 a a a a ++> ++，因为12a a +<+，所以()()ln 1ln 212a a a a ++> ++，从而可得2 1(1)(2)a a a a +++>+，故选项A 正确； 对于选项C ：1 log (1)a a a a ++<()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a +⇔< +， 由于函数()ln x f x x =在(),e +∞上单调递减，所以()()43f f <，即ln 4ln 3 43 <， 因为 ln 42ln 2ln 2442==，所以ln 2ln 3 23<，取2a =，则()ln 1ln 1a a a a +>+，故选项C 错
一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数 123,12 ()1 ,2 22 x x f x x f x ⎧--≤≤ ⎪ =⎨⎛⎫ > ⎪ ⎪ ⎝⎭ ⎩ ，则下列说法正确的是（） A．若函数() =- y f x kx有4个零点，则实数k的取值范围为 11 , 246 ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ B．关于x的方程* 1 ()0() 2n f x n N -=∈有24 n+个不同的解 C．对于实数[1,) x∈+∞，不等式2()30 xf x-≤恒成立 D．当1 [2,2](*) n n x n N - ∈∈时，函数() f x的图象与x轴围成的图形的面积为1 【答案】AC 【分析】 根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A，C利用数形结合进行判断，对于B，D利用特值法进行判断. 【详解】 当 3 1 2 x ≤≤时，()22 f x x =-；当 3 2 2 x <≤时，()42 f x x =-； 当23 x <≤，则 3 1 22 <≤ x ， 1 ()1 222 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f； 当34 x <≤，则 3 2 22 <≤ x ， 1 ()2 222 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f； 当46 x <≤，则23 2 <≤ x ， 11 () 2242 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f； 当68 x <≤，则34 2 <≤ x ， 1 ()1 224 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f； 依次类推，作出函数() f x的图像：
对于A ，函数()=-y f x kx 有4个零点，即()y f x =与y kx =有4个交点，如图，直线y kx =的斜率应该在直线m , n 之间，又16m k = ，124=n k ，11,246⎛⎫ ∴∈ ⎪⎝⎭ k ，故A 正确； 对于B ，当1n =时，1 ()2 f x = 有3个交点，与246+=n 不符合，故B 错误； 对于C ，对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立，即3 ()2≤f x x 恒成立，由图知函数()f x 的每一个上顶点都在曲线3 2y x = 上，故3()2≤f x x 恒成立，故C 正确； 对于D ， 取1n =，[1,2]x ∈，此时函数()f x 的图像与x 轴围成的图形的面积为 11 1122⨯⨯=，故D 错误； 故选：AC 【点睛】 方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 2．一般地，若函数()f x 的定义域为[] ,a b ，值域为[] ,ka kb ，则称为的“k 倍跟随区间”；若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正 确的是（ ） A ．若[] 1,b 为()2 22f x x x =-+的跟随区间，则2b = B ．函数()1 1f x x =+ 存在跟随区间 C ．若函数()f x m =1,04m ⎛⎤ ∈- ⎥⎝⎦ D ．二次函数()2 12 f x x x =-+存在“3倍跟随区间” 【答案】ABCD 【分析】 根据“k 倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可. 【详解】 对A, 若[] 1,b 为()2 22f x x x =-+的跟随区间,因为()2 22f x x x =-+在区间[] 1,b 为增 函数,故其值域为2 1,22b b ⎡⎤-+⎣⎦,根据题意有2 22b b b -+=,解得1b =或2b =,因为1 b >故2b =.故A 正确；
一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．一般地，若函数()f x 的定义域为[] ,a b ，值域为[] ,ka kb ，则称为的“k 倍跟随区间”；若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正 确的是（ ） A ．若[] 1,b 为()2 22f x x x =-+的跟随区间，则2b = B ．函数()1 1f x x =+ 存在跟随区间 C ．若函数( )f x m =1,04m ⎛⎤ ∈- ⎥⎝⎦ D ．二次函数()2 12 f x x x =-+存在“3倍跟随区间” 【答案】ABCD 【分析】 根据“k 倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可. 【详解】 对A, 若[] 1,b 为()2 22f x x x =-+的跟随区间,因为()2 22f x x x =-+在区间[] 1,b 为增 函数,故其值域为2 1,22b b ⎡⎤-+⎣⎦,根据题意有2 22b b b -+=,解得1b =或2b =,因为1 b >故2b =.故A 正确； 对B,因为函数()11f x x =+ 在区间(),0-∞与()0,+∞上均为减函数,故若()1 1f x x =+存在跟随区间[],a b 则有11+11+a b b a ⎧=⎪⎪⎨ ⎪=⎪⎩, 解得：12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ . 故存在, B 正确. 对C, 若函数( )f x m =[] ,a b ,因为( )f x m =,故由 跟随区间的定义可知b m a b a m ⎧=-⎪⇒-=⎨ =⎪⎩a b < 即( )()()11a b a b a b -=+-+=-,因为a b <, 1=. 易得01≤ <. 所以(1a m m =-=--, 令t = 20t t m --=, 同理 t =20t t m --=,即20t t m --=在区间[]0,1上有两根不相等的实数根.