2021年高考数学函数的概念与基本初等函数多选题专项练习含答案
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2021年高考数学函数的概念与基本初等函数多选题专项练习含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题
1.函数
()()
1
x
f x
x R
x
=∈
+,以下四个结论正确的是()
A.()
f x的值域是()
1,1
-
B.对任意x∈R,都有
()()
12
12
f x f x
x x
-
>
-
C.若规定()()()()
()
11
,
n n
f x f x f x f f x
+
==,则对任意的()
,
1
n
x
n N f x
n x
*
∈=
+ D.对任意的[]1,1
x∈-,若函数()21
2
2
f x t at
≤-+恒成立,则当[]1,1
a∈-时,2
t≤-或2
t≥
【答案】ABC
【分析】
由函数解析式可得函数图象即可知其值域、单调性;根据C中的描述结合数学归纳法可推得结论成立;由函数不等式恒成立,利用变换主元法、一元二次不等式的解法即可求参数范围.
【详解】
由函数解析式可得
1
1,0
1
()
1
1,0
1
x
x
f x
x
x
⎧
-≥
⎪⎪+
=⎨
⎪-<
⎪-
⎩
,有如下函数图象:
∴()
f x的值域是()1,1-,且单调递增即()()
12
12
f x f x
x x
-
>
-
(利用单调性定义结合奇偶性也可说明),即有AB正确;
对于C,有()
11
x
f x
x
=
+,若
()
1
,
1(1)
n
x
n N f x
n x
*
-
∈=
+-,
∴当2n ≥时,11(1)||()(())1||1||1(1)||
n n x
x n x f x f f x x n x n x -+-===+++-,故有
(),1n x
n N f x n x
*∈=
+.正确. 对于D ,[]1,1x ∈-上max 1()(1)2
f x f ==
,若函数()2
122f x t at ≤-+恒成立,即有
211
222
t at -+
≥,220t at -≥恒成立,令2()2h a at t =-+,即[]1,1a ∈-上()0h a ≥, ∴0t >时,2(1)20h t t =-+≥,有2t ≥或0t ≤(舍去);
0t =时,()0h a 故恒成立;
0t <时,2(1)20h t t -=+≥,有2t ≤-或0t ≥(舍去);
综上,有2t ≥或0t =或2t ≤-;错误. 故选:ABC 【点睛】 方法点睛:
1、对于简单的分式型函数式画出函数图象草图判断其值域、单调性.
2、数学归纳法:当1n =结论成立,若1n -时结论也成立,证明n 时结论成立即可.
3、利用函数不等式恒成立,综合变换主元法、一次函数性质、一元二次不等式解法求参数范围.
2.设函数cos2cos2()22x x f x -=-,则( ) A .()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递增
B .()f x 的值域为33,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦ C .()f x 的一个周期为π D .4f x π⎛
⎫+ ⎪⎝⎭的图像关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称
【答案】BC 【分析】
根据余弦函数及指数函数的单调性,分析复合函数的单调区间及值域,根据周期定义检验所给周期,利用函数的对称性判断对称中心即可求解. 【详解】
令cos2t x =,则12222t
t
t t y -=-=-
,显然函数12222t t t
t
y -=-=-为增函数,
当0,
2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时,cos2t x =为减函数, 根据复合函数单调性可知,()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递减,
因为cos2[1,1]t x =∈-, 所以增函数12222t
t
t t
y -=-=-
在cos2[1,1]t x =∈-时,33
22
y -≤≤, 即()f x 的值域为33,22⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦; 因为cos2()
cos2(cos2c )os222
)(2()2x x x x x x f f πππ+-+-=-=+-=,
所以()f x 的一个周期为π,
因为sin 2sin 2224x x f x π-⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭,令sin 2sin 22(2
)x x h x --=, 设(,)P x y 为sin 2sin 22(2)x x h x --=上任意一点, 则(,)2P x y π
'--为(,)P x y 关于,04π⎛⎫
⎪⎝⎭对称的点, 而sin 2(sin 2()
)
2
2
sin 2sin 2(
)2
2
2
22x x x x h y x y π
π
π
-----=-==≠--,
知点(
,)2
P x y π
'--不在函数图象上,
故()h x 的图象不关于点,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称,即4f x π⎛
⎫+ ⎪⎝⎭的图像不关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称.
故选:BC 【点睛】
本题主要考查了余弦函数的性质,指数函数的性质,复合函数的单调性,考查了函数的周期性,值域,对称中心,属于难题.
3.已知定义在R 上的函数()f x 满足:()()0f x f x +-=,且当0x ≥时,
()x f x e x b =+-.若((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤.在x ∈R 上恒成立,则k 的可能取
值为( ) A .1 B .0
C .1-
D .2-
【答案】CD 【分析】
先判断函数的奇偶性和单调性,得到sinx ≥k (2+sinx ), 再根据题意,利用检验法判断即可. 【详解】
因为定义在R 上的函数()f x 满足:()()0f x f x +-=, 所以()f x 为奇函数,
0x ≥时,()x f x e x b =+-,
显然()f x 在[0,)+∞上单调递增, 所以()f x 在R 上单调递增,