材料力学(金忠谋)第六版答案第08章
288
习 题
8-1 构件受力如图所示。（1）确定危险点
的位置；（2）用单元体表示危险点的应力状态。 解：(a) 在任意横截面上，任意一点
σ
σ
2
4
P
d
σπ=
段的外表面处
2
4
P
d
σπ
=
3
316
M
d
τπ
=
τ
σ
(c)A 截面的最上面一点
σ
τ
σ
3
32
Pl
d
σπ=
3
16
M
d
τπ=
288
288
C
τ40
20000 1.5
1.5
320510
C C Q MPa A στ-=?===??
3σ1
σσ
τ
A <>点130
60
90σσ===o
1
σ3σσ
τ
B <>
点130.16830.16885.7σσα==-=o
σ
τ
1
σ3σC <>
点133345σσα==-=-o
8-3 主应力单元体各面上的应力如图所
289
示，试用解析法或图解法计算指定斜截面上的正应力α
σ和剪应力α
τ，并找出最大剪应力值及方位（应力单位：MPa ）。
解：(a)
()()1212
205205cos 2cos 6013.752222
MPa α
σσσσ
σα+---+-=+=+=o
()
12
205sin 2sin 6010.8252
2
MPa
ασστα---=
==o
()
max 20512.52
MPa τ--=
=
45α=o （与1
20
σ
=方向夹角）
(b)
()()
()12
12
20102010cos 2cos 135 5.60622
22
MPa ασσσσσα+---+-=
+
=
+-=-o ()()12
2010sin 2sin 13510.60622MPa
ασστα---==-=-o
()max 2010152
MPa
τ--==
45α=o （与1
σ方向夹角）或135o
（与水平方向
交角）
290
(c)
()12
12
40104010
cos 2cos 12017.52
2
22
MPa ασσσσσα+-+-=
+
=
+-=o
()12
4010
sin 2sin 12013.02
2
MPa α
σστ
α--=
=
-=-o
max
4010152
MPa
τ
-==
45α=o
（与1
40σ=方向夹角） (d)
()1
2
1
2
20202020
cos 2cos 45202222MPa α
σσσσσα+-+-=+=+=o
0ατ= max
0τ=
8-4 单元体各面的应力如图示（应力单位为MPa ），试用解析法和图解法计算主应力的大小及所在截面的方位，并在单元体内注明。
291
解：(a)
2
12
32
2
12
252.426402*********.426222122.52
x y
x y xy
xy
x y MPa
tg σσσσσττασσ-+-??=
±+ ???
-+??=±+= ?-??
?
?
=-
= ?
?
-??
o
σ
τ
1
σ3σ
(b)
材料力学(金忠谋)第六版答案第02章 习题2-1 一木柱受力如图示，柱的横截面为边长20cm的正方形，材料服从虎克定律，其弹性模量E??105MPa．如不计柱自重，试求：作轴力图；各段柱横截面上的应力；各段柱的纵向线应变；柱的总变形．解：轴力图AC段应力???100??260????106?a????a CB 段应力?????106?a????a AC段线应变???4N- 图??????10??105CB段线应变????????10?4 5??10 总变形??????10?4???10?4???10?3m 2-2 图(a)所示铆接件，板件的受力情况如图所示．已知：P＝7 kN，t＝，b1＝，b2=，b3=。试绘板件的轴力图，并计算板内的最大拉应力。解: 轴力
图?1?1???22?73?2??107?1 0?6???a ??2?107?10?6???a ?3? 7?107?10?6???a ??2最大拉应力?max??3???a 2-3 直径为１cm 的圆杆，在拉力P＝10 kN的作用下，试求杆内最大剪应力，以及与横截面夹角为?＝30o的斜截面上的正应力与剪应力。解: 最大剪应力?max??2?12?2?107?6??10?10???a 221?d??14 ??30?界面上的应力???????2?1?cos2????3???a 2?sin2???sin30????a ?22-4 图示结构中ABC与CD均为刚性梁，C与D均为铰接，铅垂力P＝20kN作用在C铰，若杆的直径d1=1cm，杆的直径d2=2cm，两杆的材料相同，E＝200Gpa，其他尺寸如图示，试求两杆的应力；C点的位移。解1杆的应力?(1)??1?d1244?20??12?107?10?6???a 2杆的应力?(2)?2?1?d2422?20??22?107?10? 6???a ?l1? C点的位
附录I 截面图形的几何性质 I-1 求下列截面图形对z 轴的静矩与形心的位置。 解：（a ）)2 )2((2)2(2 h t h b t h ht t h bt s z ++=? ++= h b h t h b h b t h t h b t A s y z c +++=+++==2)2()()2)2((2 2 （b ） 3223 32219211)}2)4 ()43()41 ()43(32(])4()43[(2{4442D D D D D D D D D D s z =--?-+??-=ππ D D D D D D A s y z c 1367.0])2 ()43[(2)44(219211223 =-?+?==π （c ） ]22)[(22)(2 h t t b t h ht t t t b s z + ?-=?+??-= ) (2)(2 t b h h t t b A s y z c -++-== I-2 试求（1）图示工字形截面对形心轴 y 及 z 的惯性矩z I 与I y 。 （2）图示 T 字形截面对形心轴的惯矩z I 与I y 。 t b
解(a) 12 )2)((12)2)((123 333t h t b bh t h t b bh J z ---=---= 12))2(2(12))(2(1222333t t h b t t t h tb J y -+=-+= (b) cm y c 643.9) 520515(2) 515(552522=?+?-?+?= 4 3 34 232 3161512 1551252010186520)643.91025(12 205515)5.2643.9(12515cm J cm J y z =?+?==??--+?+??-+?= I-3 求图示椭圆截面对长轴的惯矩、惯性半径与对形心的极惯矩。 解： θθcos , sin ?=?=a z b y θθd b dy cos = ??--?==∴ b b b b z zdy y dA y J 222 322 223 224 cos sin 2cos cos sin 2ab d ab d b a b J b b z π θθθθθθθπ π==?= ?? -- (a) b
习题2-1一木柱受力如图示，柱的横截面为边长20cm 的正方形，材料服从虎克定律，其弹性模量E0.10 10 5MPa．如不计柱自重，试求： （1）作轴力图； （2）各段柱横截面上的应力； （3）各段柱的纵向线应变； （4）柱的总变形． 解： （1）轴力图 （2） AC 段应力 100 10 3 2.5 10 6 a 2.5 a 0.2 2 CB 段应力 260 10 3 6.5 10 6 a 6.5a 0.2 2 （ 3）AC 段线应变 0.12.5 2.510 4N- 图105 CB 段线应变 0.16.5 6.510 4 105 （ 4）总变形 2.510 4 1.5 6.5 10 4 1.5 1.35 103 m 2-2图 (a) 所示铆接件，板件的受力情况如图（ｂ）所示．已知：P＝ 7 kN ， t＝ 0.15cm， b1＝ 0.4cm，b2 =0.5cm， b3=0.6cml 。试绘板件的轴力图，并计算板内的最大拉应力。 解: （1）轴力图
1 7 （2） 1 3 10 7 10 6 194.4 a 0.4 0.15 2 2 7 3 10 7 10 2 0.5 0.15 2 3 0.15 7 107 10 0.6 2 6 6 311.1 a 388.9 a 最大拉应力 max3388.9 a 2-3 直径为１ cm 的圆杆， 在拉力 P ＝ 10 kN 的作用下， 试求杆内最大剪应力， 以及与横截面夹角为 ＝ 30o 的斜截面上的正应力与剪应力。 解 : （ 1） 最大剪应力 max 1 2 2 （ 2） 30 界面上的应力 2 10 10 7 10 6 63.66 a 41 d 2 12 1 cos 2 63.66 3 95.49 a 2 2 sin 2 63.66 sin 30 55.13 a 2 2-4 图示结构中 ABC 与 CD 均为刚性梁， C 与D 均为铰接，铅垂力 P ＝ 20kN 作用在 C 铰，若（ 1）杆的 直径 d 1=1cm ，（ 2）杆的直径 d 2=2cm ，两杆的材料相同， E ＝ 200Gpa ，其他尺寸如图示，试求（ 1）两杆 的应力；（ 2） C 点的位移。 解 （ 1） 1 杆的应力 (1) 4 20 10 7 10 6 254.6 a 41 d 1 2 12 2 杆的应力 (2) 2 2 20 10 7 10 6 127.3 a 41 d 2 2 22 （ 2） C 点的位移 l 1 l 1 254.6 2 2.546 10 3 m 0.2546cm (1) 200 10 3
第五章 弯曲内力 5-1 试求下列各梁在指定1、2、3截面上的剪力和弯矩值． 解：（a ） 01=Q a M Q 202= a M Q 20 3= 01M M -= 02M M -= 2 3M M - = （b ） ql Q =1 ql Q =2 ql Q =3 2123ql M - = 2223ql M -= 232 3ql M -= （c ） qa Q -=1 qa Q -=2 qa Q 4 3 3= 01=M 2 2qa M -= 23qa M -= （d ） l q Q 0161= l q Q 02241= l q Q 033 1-=
01=M 20216 1 l q M = 03=M （e ） KN Q 51= KN Q 51-= KN Q 51-= 01=M 02=M 03=M （f ） KN Q 101= KN Q 102= KN Q 103= m KN M ?=51 m KN M ?=52 m KN M ?-=103 5-2 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图，确定|F max |和|M max |。 解：（a ） l M x Q 03)(= 00 3(x ) M x l M M -= l M Q 0 max 3= 0m a x 2M M = （b ） 0)(1=x Q pa x M =)(1 p x Q -=)(2 )()(2a x p pa x M --=
p Q =max pa M =max （c ） p x Q -=)(1 px x M -=)(1 p x Q 21)(2= )(2 3 )(2a x p px x M ---= p Q =max pa M =max （a ）Q 图 （b ）Q 图 （c ）Q 图 02M 0M P a （a ）M 图 （b ）M 图 （c ）M 图 4/qa （d ）Q 图 （e ）Q 图 （f ）Q 图 2 2 ql 22ql 22ql 2 2 ql （d ）M 图 （e ）M 图 （f ）M 图
第九章 强度理论 习 题 9-1 脆性材料的极限应力+b σ＝40MPa ，- b σ＝130MPa ，从受力物体内取下列三个单元 体(a)、(b)、(c)，受力状态如图示。试按（1）第一强度理论，（2）第二强度理论，判断何者已到达危险状态，设30.0=μ。 解：按第一强度理论 （a ）：114540xd σσ==>，危险。其余安全。 按第二强度理论 （b ）()2 12335120350.312071xd b σσμσσμσ+ =-+=+?=+?=>，危险。其余安全。 9-2 塑性材料的极限应力σs ＝200 MPa ，从受力物体内取下列三个单元体（a ）、（b ）、（c ），受力状态如图示。试按（1）第三强度理论，（2）第四强度理论，判断何者已达到危险状态。 解：按第三强度理论： （a ）3 1316060220xd s σσστ=-=+=>危险。其余安全。 按第四强度理论：按下列公式计算 4xd σ= 全部都不安全。
9-3 工字钢梁受载荷时，某一点处的受力情况表示如下： σ=120MPa ，τ=40MPa 。若[σ]=140MPa ，试按第四强度理论作强度校核。 解： [] 4138xd MPa σσ=< 所以安全。 9-4 某梁在平面弯曲下，已知危险截面上作用有弯矩M ＝50.9 m kN ?，剪力F S ＝134.6 kN ，截面为No. 22b 工字钢，[σ]＝160 MPa ，试根据第三强度理对梁作主应力校核。 解：A 点： 3 max 6 31350.910156.6232510 156.62xd M MPa W MPa σσσσ-?===?=-= C 点： [] 2 42 2 26 4 1.5xd pD t t p MPa σσσ= ?==≤???= ==3 23 3134.61075.7618.7109.510 2151.53xd QS MPa Jt MPa τστ--?===???== B 点： 题 9-3 图
习 题 2-1 一木柱受力如图示，柱的横截面为边长20cm 的正方形，材料服从虎克定律，其弹性模量51010.0?=E MPa ．如不计柱自重，试求： （1） 作轴力图； （2） 各段柱横截面上的应力； （3） 各段柱的纵向线应变； （4） 柱的总变形． 解： （1） 轴力图 （2） AC 段应力 a a MP P σ5.2105.22.01010062 3 -=?-=?-= CB 段应力 a a MP P σ5.6105.62.010260623 -=?-=?-= （3） AC 段线应变 45 105.2101.05.2-?-=?-==E σε N-图CB 段线应变 45105.610 1.05.6-?-=?-==E σε （4） 总变形 m 3441035.15.1105.65.1105.2---?=??-??-=AB ? 2-2 图(a)所示铆接件，板件的受力情况如图（ｂ）所示．已知：P ＝7 kN ，t ＝0.15cm ，b 1＝0.4cm ，b 2=0.5cm ，b 3=0.6cml 。试绘板件的轴力图，并计算板内的最大拉应力。 解:
（2）a MP σ4.19410102 4.01 5.07673 11=?????=- a MP σ1.311101025.015.0767322=?????=- a MP σ9.38810102 6.015.07673=????=- 最大拉应力a MP σσ9.3883m ax == 2-3 直径为１cm 的圆杆，在拉力P ＝10 kN 的作用下，试求杆内最大剪应力，以及与横截面夹角为α＝30o 的斜截面上的正应力与剪应力。 解: （1） 最大剪应力a d MP ππP σ τ66.631010110221 267224 1m ax =????===- （2） ?=30α界面上的应力 ()a MP ασσα49.952366.632cos 12=?=+= a MP ασ τα13.5530sin 66.632sin 2 =?=?=? 2-4 图示结构中ABC 与CD 均为刚性梁，C 与D 均为铰接，铅垂力P ＝20kN 作用在C 铰，若（1）杆的直径d 1=1cm ，（2）杆的直径d 2=2cm ，两杆的材料相同，E ＝200Gpa ，其他尺寸如图示，试求（1）两杆的应力；（2）C 点的位移。 解 （1） 1杆的应力 a d MP ππP σ6.254101012046722 141)1(=????=- 2杆的应力 a d MP ππP σ3.1271010220226722241)2(=????=- （2） C 点的位移 cm m l l 2546.010546.22102006 .254331)1(1=?=??==-E σ?
第十章 组合变形的强度计算 10-1图示为梁的各种截面形状，设横向力P 的作用线如图示虚线位置，试问哪些为平面弯曲？哪些为斜弯曲？并指出截面上危险点的位置。 （a ） (b) (c) (d) 斜弯曲 平面弯曲 平面弯曲 斜弯曲 ? 弯心 （） （）弯心 ? ? 弯心 （）（） 斜弯曲 弯扭组合 平面弯曲 斜弯曲 “×”为危险点位置。 10-2矩形截面木制简支梁AB ，在跨度中点C 承受一与垂直方向成?＝15°的集中力P ＝10 kN 作用如图示，已知木材的弹性模量MPa 100.14 ?=E 。试确定①截面上中性轴的
位置；②危险截面上的最大正应力；③C 点的总挠度的大小和方向。 解：66.915cos 10cos =?== ?P P y KN 59.215sin 10sin =?== ?P P z KN 43 1012 2015=?=z J 4cm 3310cm W z = 33 562512 1520cm J y =?= 3 750cm W y = 25.74 3 66.94 max =?= = l P M y z KN-M 94.14 3 59.24max =?== l P M z y KN-M M P a W M W M y y z z 84.9107501094.110101025.763633max max max =??+??=+ =--σ 中性轴： 47.2515tan 562510tan tan tan 411=??? ? ??-=?? ?? ??-=--?αy z J J 2 849333105434.010 1010104831066.948--?=??????== z y y EJ l P f m 2 8 933310259.010 562510104831059.248--?=??????==y z z EJ l P f m 602.0259.05434.022=+=f cm 方向⊥中性轴： 47.25=α
第五章 弯曲力 5-1 试求下列各梁在指定1、2、3截面上的剪力和弯矩值． 解：（a ） 01=Q a M Q 202= a M Q 20 3= 01M M -= 02M M -= 2 3M M - = （b ） ql Q =1 ql Q =2 ql Q =3 2123ql M - = 2223ql M -= 232 3 ql M -= （c ） qa Q -=1 qa Q -=2 qa Q 4 3 3= 01=M 2 2qa M -= 23qa M -= （d ） l q Q 0161= l q Q 02241= l q Q 033 1-=
01=M 20216 1 l q M = 03=M （e ） KN Q 51= KN Q 51-= KN Q 51-= 01=M 02=M 03=M （f ） KN Q 101= KN Q 102= KN Q 103= m KN M ?=51 m KN M ?=52 m KN M ?-=103 5-2 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图，确定|F max |和|M max |。 解：（a ） l M x Q 03)(= 00 3(x)M x l M M -= l M Q 0 max 3= 0max 2M M = （b ） 0)(1=x Q pa x M =)(1 p x Q -=)(2 )()(2a x p pa x M --=
p Q =max pa M =max （c ） p x Q -=)(1 px x M -=)(1 p x Q 21)(2= )(2 3 )(2a x p px x M ---= p Q =max pa M =max （a ）Q 图 （b ）Q 图 （c ）Q 图 02M 0M P a （a ）M 图 （b ）M 图 （c ）M 图 qa ql 4/qa （d ）Q 图 （e ）Q 图 （f ）Q 图 2 2 ql 22ql 22ql 2 2 ql （d ）M 图 （e ）M 图 （f ）M 图
习 题 8-1 构件受力如图所示。（1）确定危险点的位置；（2）用单元体表示危险点的应力状态。 解：(a) 在任意横截面上，任意一点 σ σ 2 4 P d σπ= 2 4 P d σπ = 3 316 M d τπ = τ σ (c)A 截面的最上面一点 σ τ σ 3 32 Pl d σπ= 3 16 M d τπ= 8-2 图示悬臂粱受载荷P =20kN 作用，试绘单元体A 、B 、C 的应力图，并确定主应力的大小及方位。
解： σ σ 26 20100060520 106A M MPa W σ--?= ==-?? B σB σB τ2 38 6 2 82 2000051030520106 20000557.5102250 2.25520105106 B B B M y MPa J KPa MPa στ-----??===-??????===???? C τ40 20000 1.5 1.5 320510 C C Q MPa A στ-=?===?? 3σ1 σσ τ A <>点130 60 90 σσα=== 1 σ3σσ τ B <> 点130.16830.16885.7 σσα==-=
σ τ 1 σ3 σC <> 点133345 σσα==-=- 8-3 主应力单元体各面上的应力如图所示，试用解析法或图解法计算指定斜截面上的正应力ασ和剪应力ατ，并找出最大剪应力值及方位（应力单位：MPa ）。 解：(a) ()() 12 12 205205cos 2cos 6013.752 2 22 MPa ασσσσσα+---+-= + = +=
材料力学（金忠谋）第六版答案- 附录
2 ] 附录I 截面图形的几何性质 I-1求下列截面图形对 z 轴的静矩与形心的位 —置。 (b ) 解：（a ） S z bt(h 2) ht t(b(h 2)号) y c t(b(h 2) h) t(b b(h 2) b h
3D 2 {2 [( 〒 D 2 (7)] (2 邑 (3 (3 D)2 字金卫D 3 /D 、2 〃 192 (7) S z y c ~A H D 3 ________ 192 D D 3D 2 2( ) — [( )2 4 4 2 4 0.1367D (c) + h + S z (b t) t 2 ht h t[(b t) 2
s z _ (b-t)t + h2 7 - 2(/? + /,-/) 1-2试求(1)图示工字形截面对形心轴y及的惯性矩厶与厶。 (2)图示卩字形截面对形心轴的惯矩与厶。 _hh3 (h-t)(h-2t)3胡3_(—2川 一12 一\2 2tb3 (h - 2t)(t)y t(2b3 +(h-2t)t2) F --- =-------------- 12 12 12 252 X5+52X(15-5) 2(15x5 + 20x5) (b) =9.643c/?? 2]
4 1- 3 3 3 15 53 2 5 203 2 J z(9.643 2.5) 15 5 (25 10 9.643) 20 5 12 12 3 3 20 5 5 15 4 --------- ------------ 1615cm 10186cm J y 12 12 求图示椭圆截面对长轴的惯矩、惯性半径 与对形心的极惯 矩。解: y b sin , z cos dy bcos d J z b y2dA b :y2 2zdy J z b 2 2 2b sin a cos bcos d b 2ab32sin 2 cos2 d4ab3 i z ab3 4 ab J p J z J y(ab3a3b) ab(a2b2) 4 4
材料力学(金忠谋)第六版答案第16章
15-1 两端为球铰的压杆，当它的横截面为图示各种不同形状时，试问杆件会在哪个平面内失去稳定（即在失稳时，杆的截面绕哪一根轴转动）？ 解：(a),(b),(e)任意方向转动，(c),(d),(f)绕图示Z 轴转动。 15-2 图示各圆截面压杆，横截面积及材料都相同，直径d ＝1.6cm ，杆材A 3钢的弹性模量E =200MPa ，各杆长度及支承形式如图示，试求其中最大的与最小的临界力之值。 解：(a) 柔度： 230 1500.4λ?==
() ej MPa σ ej z σσ= 338 1.22ej σλ =- 22ej E πσλ = 274 274 225 216 137 87 λ 52.5≤ 52.5 92.6 100 120 150 15-4 6120型柴油机挺杆为45钢制成的空心圆截面杆，其外径和内径分别为，12mm 和10mm ，杆长为383mm ，两端为铰支座，材料的E ＝210GPa ，P σ=288MPa ，试求此挺杆的临界力cr P 。若实际作用于挺杆的最大压缩力P =2.33kN ，规定稳定安全系数W n =2~5。试校核此挺杆的稳定性。
解：(1) () () () 3 44 44 2222 22 21010 84.33 288 64 11 641210 3.905 44 4 1383 9884.83 3.905 p p p E J D d D d J i D d mm A D d l i λππ σ π π π μ λλ ? === =- - ===+=+= - ? ===>= 该压杆属大柔度杆 () () 2229 22 222 3 21010 0.0120.01 984 7.4610 cr EJ E P A l N ππππ λ μ ?? ===?+ =? （2）7.46 3.2 2.33 cr w P n n ===> 工作P 该杆的稳定性足够。 15-5 设图示千斤顶的最大承载压力为P＝150kN，螺杆内径d＝52mm，l=50cm．材料为A3钢，E=200GPa。稳定安全系数规定为3= W n。试校核其稳定性。
习 题 8-1 构件受力如图所示。（1）确定危险点的位置；（2）用单元体表示危险点的应力状态。 解：(a) 在任意横截面上，任意一点 (b) 在BC 段的外表面处 24P d σ π = 3316M d τπ = τσ (c)A 截面的最上面一点 8-2 图示悬臂粱受载荷P =20kN 作用，试绘单元体A 、B 、C 的应力图，并确定主应力的大小及方位。 解： 8-3 主应力单元体各面上的应力如图所示，试用解析法或图解法计算指定斜截面上的正应力ασ和剪应力ατ，并找出最大剪应力值及方位（应力单位：MPa ）。
解：(a) ()()1 2 12205205cos 2cos 6013.7522 22 MPa ασσσσσα+---+-=+=+=o 45α=o （与120σ=方向夹角） (b) ()()()121220102010cos 2cos 135 5.60622 22 MPa ασσσσσα+---+-=+=+-=-o ()()122010sin 2sin 13510.60622 MPa ασστα---==-=-o 45α=o （与1σ方向夹角）或135o （与水平方向交角） (c) 45α=o （与140σ=方向夹角） (d) 8-4 单元体各面的应力如图示（应力单位为MPa ），试用解析法和图解法计算主应力的大小及所在截面的方位，并在单元体内注明。 解：(a) (b) (c) (d) 8-5 作出图示单元体的三向应力图，并求出主应力和最大剪应力，画出主单元体。 解： (a) (b) (c ) (d) (e) 8-6 已知矩形截面梁某截面上的弯矩和剪力分别为M ＝10kN ·m ，F S ＝120kN ，试绘出截面上1、2、3、4各点单元体的应力状态，并求其主应力。 解： 8-7 在棱柱形单元体的AB 面上以及与ABC 面平行的前后面上（与纸平面平行的面），均无应力作用。在AC 面和BC 面上的正应力均为-15MPa ，试求AC 和BC 面上的剪应力与此单元体主应力的大小和方向。 解：0 15x MPa τ==∑ 1230;30MPa σσσ∴===- （方向平行于AB ）
材料力学金忠谋第六版 答案第章 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
习 题 8-1 构件受力如图所示。（1）确定危险点的位置；（2）用单元体表示危险点的应力状态。 解：(a) 在任意横截面上，任意一点 (b) 在BC 段的外表面处 24P d σπ = 3316M d τπ = τσ (c)A 截面的最上面一点 8-2 图示悬臂粱受载荷P =20kN 作用，试绘单元体A 、B 、C 的应力图，并确定主应力的大小及方位。 解： 8-3 主应力单元体各面上的应力如图所示，试用解析法或图解法计算指定斜截面上的正应力ασ和剪应力ατ，并找出最大剪应力值及方位（应力单位：MPa ）。
解：(a) ()()1212205205cos 2cos 6013.752222MPa ασσσσσα+---+-= += += 45α= （与120σ=方向夹角） (b) ()()()121220102010cos 2cos 135 5.60622 22 MPa ασσσσσα+---+-=+=+-=-()()122010sin 2sin 13510.60622 MPa ασστα---==-=- 45α= （与1σ方向夹角）或135（与水平方向交角） (c) 45α= （与140σ=方向夹角） (d) 8-4 单元体各面的应力如图示（应力单位为MPa ），试用解析法和图解法计算主应力的大小及所在截面的方位，并在单元体内注明。 解：(a) (b) (c) (d) 8-5 作出图示单元体的三向应力图，并求出主应力和最大剪应力，画出主单元 体。 解： (a) (b) (c ) (d) (e) 8-6 已知矩形截面梁某截面上的弯矩和剪力分别为M ＝10kN ·m ，F S ＝120kN ，试 绘出截面上1、2、3、4各点单元体的应力状态，并求其主应力。 解： 8-7 在棱柱形单元体的AB 面上以及与ABC 面平行的前后面上（与纸平面平行的 面），均无应力作用。在AC 面和BC 面上的正应力均为-15MPa ，试求AC 和BC 面上的剪应力与此单元体主应力的大小和方向。
材料力学(金忠谋)第六版答案-附录
附录I 截面图形的几何性质 I-1 求下列截面图形对z 轴的静矩与形心的位置。 解：（a ）)2)2((2)2(2 h t h b t h ht t h bt s z ++=?++= h b h t h b h b t h t h b t A s y z c +++=+++==2)2()()2)2((2 2 （b ） 3223 322192 11)}2)4 ()43()41 ()43(32(])4()43[(2{4442D D D D D D D D D D s z =--?-+??-=ππ D D D D D D A s y z c 1367.0])2 ()43[(2)44(219211223 =-?+?==π （c ） ] 2 2)[(22)(2h t t b t h ht t t t b s z +?-=?+??-= t b
4 3 34 232 3161512 1551252010186520)643.91025(12205515)5.2643.9(12515cm J cm J y z =?+?==??--+?+??-+?= I-3 求图示椭圆截面对长轴的惯矩、惯性半径与对形心的极惯矩。 解： θ θcos ,sin ?=?=a z b y θ θd b dy cos = ??--?==∴ b b b b z zdy y dA y J 222 3 22 2 23 2 2 4 cos sin 2cos cos sin 2ab d ab d b a b J b b z π θθθθθθθπ π==?=??-- ) (4 )(4 2 4 22333 b a ab b a ab J J J b ab ab A J i y z p z z += += +== == π π ππ y y
附录I 截面图形的几何性质 I-1 求下列截面图形对z 轴的静矩与形心的位置。 解：（a ）)2 )2((2)2(2 h t h b t h ht t h bt s z ++=? ++= h b h t h b h b t h t h b t A s y z c +++=+++==2)2()()2)2((2 2 （b ） 3223 32219211)}2)4 ()43()41 ()43(32(])4()43[(2{4442D D D D D D D D D D s z =--?-+??-=ππ D D D D D D A s y z c 1367.0])2 ()43[(2)44(219211223 =-?+?==π （c ） ]22)[(22)(2 h t t b t h ht t t t b s z + ?-=?+??-= ) (2)(2 t b h h t t b A s y z c -++-== I-2 试求（1）图示工字形截面对形心轴 y 及 z 的惯性矩z I 与I y 。 （2）图示 T 字形截面对形心轴的惯矩z I 与I y 。 t b
解(a) 12 )2)((12)2)((123 333t h t b bh t h t b bh J z ---=---= 12))2(2(12))(2(1222333t t h b t t t h tb J y -+=-+= (b) cm y c 643.9) 520515(2) 515(552522=?+?-?+?= 4 3 34 232 3161512 1551252010186520)643.91025(12 205515)5.2643.9(12515cm J cm J y z =?+?==??--+?+??-+?= I-3 求图示椭圆截面对长轴的惯矩、惯性半径与对形心的极惯矩。 解： θθcos , sin ?=?=a z b y θθd b dy cos = ??--?==∴ b b b b z zdy y dA y J 222 322 223 224 cos sin 2cos cos sin 2ab d ab d b a b J b b z π θθθθθθθπ π==?= ?? -- (a) b
材料力学(金忠谋)第六版答案第08章
288 习 题 8-1 构件受力如图所示。（1）确定危险点 的位置；（2）用单元体表示危险点的应力状态。 解：(a) 在任意横截面上，任意一点 σ σ 2 4 P d σπ= 段的外表面处 2 4 P d σπ = 3 316 M d τπ = τ σ (c)A 截面的最上面一点 σ τ σ 3 32 Pl d σπ= 3 16 M d τπ=
288
288 C τ40 20000 1.5 1.5 320510 C C Q MPa A στ-=?===?? 3σ1 σσ τ A <>点130 60 90σσ===o 1 σ3σσ τ B <> 点130.16830.16885.7σσα==-=o σ τ 1 σ3σC <> 点133345σσα==-=-o 8-3 主应力单元体各面上的应力如图所
289 示，试用解析法或图解法计算指定斜截面上的正应力α σ和剪应力α τ，并找出最大剪应力值及方位（应力单位：MPa ）。 解：(a) ()()1212 205205cos 2cos 6013.752222 MPa α σσσσ σα+---+-=+=+=o () 12 205sin 2sin 6010.8252 2 MPa ασστα---= ==o () max 20512.52 MPa τ--= = 45α=o （与1 20 σ =方向夹角） (b) ()() ()12 12 20102010cos 2cos 135 5.60622 22 MPa ασσσσσα+---+-= + = +-=-o ()()12 2010sin 2sin 13510.60622MPa ασστα---==-=-o ()max 2010152 MPa τ--== 45α=o （与1 σ方向夹角）或135o （与水平方向 交角）
第一章 绪论 1-1 求图示杆在各截面（I ）、（II ）、（III ）上的内力，并说明它的性质． 解：（a ）I-I 截面： N = 20KN (拉) II-II 截面： N = -10KN （压） III-III 截面： N = -50KN (压) （b ）I-I 截面： N = 40KN （拉） II-II 截面： N = 10KN (拉) III-III 截面： N = 20KN （拉） 1-2 已知P 、M 0、l 、a ，分别求山下列图示各杆指定截面（I ）、(II)上的内力 解：（a ）：（I ）截面：内力为零。 （II ）截面：M = Pa （弯矩） Q = -P （剪力） （b ）：（I ）截面：θsin 3 1P Q = θs i n 6 1PL M = （II ）截面：θsin 3 2P Q = θs i n 9 2PL M =
（c ）：（I ）截面：L M Q 0 - = 02 1M M = （II ）截面：L M Q 0 - = 03 1M M = 1-3 图示AB 梁之左端固定在墙内，试求（1）支座反力，（2）1-1、2-２、3-3各横截面上的内力（1-1，2-2是无限接近集中力偶作用点．） 解：10110=?=A Y （KN ） 1055.110-=+?-=A M （KN-M ） （1-1） 截面：10110=?=Q （KN ） 52 1110-=? ?-=M （KN-M ） （2-2）截面：10=Q （KN ） 055=-=M （KN-M ） （2-3）截面：10=Q （KN ）
551110-=+??-=M （KN-M ） 1-4 求图示挂钩AB 在截面 1-1、2-2上的内力． 解：（1-1）截面：P N 32= a P M ?= 4 3 （2-2）截面：P Q 32= a P M ?= 32 1-5 水平横梁AB 在A 端为固定铰支座，B 端用拉杆约束住，求拉杆的内力和在梁1-1截面 上的内力． 解：（1）拉杆内力T ： 1 230sin 0 ?=??=∑P T M A 10030 sin 2100=?= T （KN ）（拉） （2）（1-1）截面内力：Q 、N 、M ： 5030 sin -=-= T Q （KN ） 6.8630 cos -=-= T N （KN ）（压） ( )2550.030 sin =?= T M （KN-M ）
15-1 两端为球铰的压杆，当它的横截面为图示各种不同形状时，试问杆件会在哪个平面内失去稳定（即在失稳时，杆的截面绕哪一根轴转动）？ 解：(a),(b),(e)任意方向转动，(c),(d),(f)绕图示Z 轴转动。 15-2 图示各圆截面压杆，横截面积及材料都相同，直径d ＝1.6cm ，杆材A 3钢的弹性模量E =200MPa ，各杆长度及支承形式如图示，试求其中最大的与最小的临界力之值。 解：(a) 柔度： 230 1500.4 λ?= = 相当长度：20.30.6l m μ=?= (b) 柔度： 150 1250.4 λ?== 相当长度：10.50.5l m μ=?= (c) 柔度： 0.770 122.50.4 λ?== 相当长度：0.70.70.49l m μ=?= (d) 柔度： 0.590 112.50.4 λ?== 相当长度：0.50.90.45l m μ=?= (e) 柔度： 145 112.50.4 λ?== 相当长度：10.450.45l m μ=?= 由E=200Gpa 及各柔度值看出：各压杆的临界力可用欧拉公式计算。即：() 22 cr EJ P l πμ=各压杆的EJ 均相同，故相当长度最大的压杆(a)临界力最小，压杆(d)与(e)的临界力最大，分别为： () 2948 2 2 2 320010 1.610640.617.6410cr EJ P l N π ππμ-??? ??= ==?
() 2948 2 2 2 320010 1.610640.4531.3010cr EJ P l N π ππμ-??? ??= ==? 15-3 某种钢材P σ=230MPa ，s σ=274MPa ，E =200GPa ，直线公式λσ22.1338-=cr ，试计算该材料压杆的P λ及S λ值，并绘制1500≤≤λ范围内的临界应力总图。 解： 9 6 2001092.6 2301033827452.51.22 p p s s E a b λππσσλ?===?--=== () ej MPa σ ej z σσ= 338 1.22ej σλ=- 22ej E πσλ = 274 274 225 216 137 87 λ 52.5≤ 52.5 92.6 100 120 150 15-4 6120型柴油机挺杆为45钢制成的空心圆截面杆，其外径和内径分别为，12mm 和10mm ，杆长为383mm ，两端为铰支座，材料的E ＝210GPa ，P σ=288MPa ，试求此挺杆的临界力cr P 。若实际作用于挺杆的最大压缩力P =2.33kN ，规定稳定安全系数W n =2~5。试校核此挺杆的稳定性。 解：(1)
弯曲应力 6-1 求图示各梁在m －m 截面上A 点的正应力和危险截面上最大正应力。 题 6-1图 解：（a ）m KN M m m ?=-5.2m KN M ?=75.3max 488 44 108.49064 101064 m d J x --?=??= = ππ MPa A 37.20108.490104105.28 2 3=????=--σ （压）
MPa 2.3810 8.4901051075.38 23max =????=--σ （b ）m KN M m m ?=-60m KN M ?=5.67max 488 331058321210181212m bh J x --?=??== MPa A 73.6110583210610608 2 3=????=--σ （压） MPa 2.10410 5832109105.678 23max =????=--σ （c ）m KN M m m ?=-1m KN M ?=1max 48106.25m J x -?= 36108.7m W x -?= cm y A 99.053.052.1=-= MPa A 67.38106.251099.01018 2 3=????=--σ （压） MPa 2.12810 6.251018 3 max =??=-σ 6-2 图示为直径D ＝6 cm 的圆轴，其外伸段为空心，内径d ＝4cm ，求轴内最大正应力。
解：)1(32 43 1απ-= D W x ??? ? ? -???= -463 )64(11032 6π 361002.17m -?= 346 33 21021.2132 10632 m D W x --?=??= = ππ MPa 88.521002.17109.06 3 1=??=-σ MPa 26.551021.2110172.16 3 1=??=-σ MPa 26.55max =σ 6-3T 字形截面铸铁梁的尺寸与所受载荷如图示。试求梁内最大拉应力与最大压应力。已 知I z =10170cm 4 ，h 1=9.65cm ，h 2=15.35cm 。 解：A 截面： Mpa 95.371065.910 101701040283 1 max =????=--σ （拉）
习 题 14-1 195-2c 型柴油机连杆大头螺栓如图示，工作时所受最大拉力P max =9.58 kN ，P min ＝8.71 kN ，螺栓最小直径d =8.5mm 。试求其应力幅a σ，平均应力m σ和循环特征r ，并作出t -σ曲线。 解: ()()MPa A P P A P a a 67.710 5.814.34 12/10 71.858.92//6 23 min max =???? ?-=-==-σ ()()MPa A P P A P m m 16110 5.814.34 12/10 71.858.92//6 2 3 min max =???? ?+=+==-σ 91 .0max min == σ σr 14-2 某阀门弹簧如图所示，当阀门关闭时,最小工作载荷P min ＝200N ， 当阀门顶开时最大工作载荷P max ＝500N 。设簧丝的直径d ＝5mm ，弹簧外径mm D 361=，试求平均应力m τ，应力振幅a τ，循环特性r ，并作出t -τ曲线。 解: 4 .14/==d D C ∴()()09 .134/24=-+=C C K ∴MPa d D P K m m 28010 514.310 2 362 500 2001609.12 /169 3 3 3 =???? +? ? ==--πτ MPa d D P K a a 12010 514.310 2 362 200 5001609.12 /169 3 3 3 =???? -? ? ==--πτ 4.0/max min ==P P r
14-3 阶梯轴如图所示。材料为铬镍合金钢， MPa b 920=σ，MPa 4201=-σ，MPa 2501=-τ。轴的尺寸 d =40mm ，D ＝50mm ，r =5mm 。试计算弯曲和 扭转时的有效应力集中系数和尺寸系数。 解: 由已知条件 25 .1=d D ， 125 .0=d r 查图表14-12（c ）可得57.1=σK 由图表14-16，当d=40mm 时 对MPa b 500=σ的钢材，84.0=σε 对MPa b 1200=σ的钢材，73.0=σε 对MPa b 920=σ的钢材， ()774 .073.084.0500 1200920120073.0=-?--+ =σ ε 14-4 图示为一货车车轴，轴上的载荷P =110kN ，轴的材料为碳钢，MPa b 550=σ， MPa 2401=-σ，mm a 118=，mm l 1435=，mm d 133=，mm D 146=，mm r 20=， 轴表面经磨削加工，规定安全系数8.1=n 。试校核此轴1-1截面（d 同D 段交界处）的疲劳强度。 解： 1-1截面处的弯矩m KN Pa M ?=???==-13101181011033 1.1133/146/==d D 15.0133/20/==d r 查图表14-12（a ）得24.1=σK 查图表14-16 对MPa b 500=σ的钢材 68.0=σε 对MPa b 1200=σ的钢材 61.0=σε ∴对MPa b 550=σ的碳钢 675 .0)61.068.0(500 1200550120061.0=-?--+ =σε 由轴表面经磨削加工 ∴1=β 故工作安全系数 max 1σ σβ εσ σσ-? ?= K n