课前热身
什么是格点多边形？
一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”。
水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。
格点多边形：多边形的边必须是直线段，顶点要在格点上。
火眼金睛
下面哪个图形是格点多边形？
计算下图面积并完成表格。(每个小正方形面积是1)
计算下面各图形面积。(每个小正方形面积是1)
格点与割补
(★★★)
(★★★)
(★★★★)
计算下面各图形面积。(每个小正三角形面积是1)
计算下面各图形面积。(每个小正三角形面积是1)
正六边形ABCDEF的面积是180平方厘米。M是AB中点，N是CD中点，
P是EF 中点。问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？
如图，正六边形的面积为24平方厘米，那么阴影部分的面积是多少?
如图阴影部分的小正六角星形面积是20平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？
(★★★★)
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(★★★★)
(★★★★★)
课后练习题
题1：观察下图，其内点、边界点、面积分别是( )
A：10 B：20 C：30 D：40
题2：计算下面图形的面积是( )。(每个小正方形面积是1)
A：15 B：16 C：17 D：18
题3：下面图形面积是( )。(每个小正三角形面积是1)
A：30 B：35 C：36 D：40
题4：下面图形面积是( )。(每个小正三角形面积是1)
A：20 B：24 C：25 D：30
题5：正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米。M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点。问：三角形MNP的面积是( )平方厘米。
A：1.25 B：1.75 C：2.25 D：2.75
题6：图中正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，则阴影四边形CEPQ的面积是( )。
A：30 B：31 C：32 D：33
题7：如图所示是一个正六边形的图案，已知正六边形的面积为54平方厘米，则阴影部分的面积是_____________平方厘米。
A：16 B：18 C：25 D：27
正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题．通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题． 1．如图6-1，每一个小方格的面积都是l平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米? 【分析与解】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L 2 -1)×单位正方形面 积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数． 有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：（4+7 2 -1)×1=6.5(平方厘米) 方法二：如下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=1.5， ②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为 1.5+l+1+1+1+1+3=9.5，而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9.5=6.5平方厘米．
2．如图6-2，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米? 【分析与解】方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数． 有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)． 方法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为lO+2+1+4+3=20(平方厘米)． 3.如果图6-3是常见的一副七巧板的图，图6-4是用这副七巧板的7块板拼成的小房子图，那么，第2块板的面积等于整幅图的面积的几分之几?第4块板与第7块板面积的和等于整幅图的面积的几分之几?
学科：奥数 教学内容：格点与面积 生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。同样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”。这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。先来介绍什么是“格点”。见下图： 这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。图中带阴影的小方格就是一个面积单位。 借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。 例1 计算下图中各图形的面积： 分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法。显然第一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位即可。而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形面积来求这些图形面积。 解答： （1）图中长方形包括3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6。 （2）将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形面积，所以平行四边形的面积为3×2=6。 （3）将图中三角形用虚线分成3块，它包含有1个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积为2。 （4）图中将三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3。 （5）将图中梯形的互相平行的一组对边延长，补出一个和原来梯形方向颠
第19讲??格点与割补 内容概述 明确格点多边形的概念，学会通过分割和添补的方法计算其面积；学会利用割补法计算不规则图形的面积;掌握格点多边形的面积计算公式. 典型问题 兴趣篇 1.图１9-ｌ中相邻两格点问的距离均为1厘米．三个多边形的面积分别是多少平方厘米? 答案：4平方厘米２平方厘米8平方厘米 【分析】方法:正方形格点阵中多边形面积公式:（N+L 2 -1)×单位正方形 面积,其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数． 有N＝0，L＝１0,则用粗线围成图形的面积为:(0+1０÷2－1)×１=４（平方厘米) 有Ｎ＝0，Ｌ=10,则用粗线围成图形的面积为:（1＋4÷2-１)×1=2(平方厘米） 有N=5,L=8,则用粗线围成图形的面积为:(5+8÷２－1)×１=8(平方厘米) 2．图１９－2中相邻两格点问的距离均为l厘米．三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米? 答案：5平方厘米5平方厘米0.５平方厘米 【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式:(N+L 2 －1）×单位正方 形面积，其中N为图形内格点数，Ｌ为图形周界上格点数. 有Ｎ=4,L=4,则用粗线围成图形的面积为：（4+４÷２-1)×1=５(平方厘米) 有Ｎ=4,L=4，则用粗线围成图形的面积为:(4+4÷２－1)×1=５(平方厘米）有N=０,L=3，则用粗线围成图形的面积为:（0+3÷2－１）×１=0.５(平方厘米) 3．图１9-3中每个小正方形的面积均为２平方厘米.阴影多边形的面积是多少平方厘米?
答案:19平方厘米 【分析】方法:交点组成了正方形格点,正方形格点阵中多边形面积公式: （N+L 2 -１)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数. 有N=7，L=１7,则用粗线围成图形的面积为：(7+7÷2-1)×2＝19(平方厘米) 4．图1９-４是一个三角形点阵,其中能连出的最小的等边三角形的面积为ｌ平方厘米.三个多边形的面积分别为多少平方厘米? 答案:6平方厘米６平方厘米14平方厘米 【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：（2N+L－２)x单位正三角形面积,其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数． 有N=0,L=８,所以用粗线围成的图形的面积为:(０×2+８-2)×１=6(平方厘米). 有Ｎ＝２，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(2×2+4-2)×1＝6(平方厘米）. 有N=４，L=7,所以用粗线围成的图形的面积为：（4×2+7－2）×1＝１4(平方厘米).５．如图19-５所示,如果每个小等边三角形的面积都是１平方厘米．四边形ABCD和三角形EFＧ的面积分别是多少平方厘米? 答案：20平方厘米10平方厘米 【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式:（2N＋Ｌ-２)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数． 有N＝9,L=4,所以用粗线围成的图形的面积为：（９×2+4-2)×1=２0(平方厘米)． 有N＝4,L=4，所以用粗线围成的图形的面积为:（4×2+4-2）×1=1０(平方厘米）． ６．图１９－6中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积.（单位：厘米)
第19讲格点与割补 内容概述 明确格点多边形的概念，学会通过分割和添补的方法计算其面积；学会利用割补法计算不规则图形的面积；掌握格点多边形的面积计算公式. 典型问题 兴趣篇 1．图19-l中相邻两格点问的距离均为1厘米．三个多边形的面积分别是多少平方厘米? 2．图19-2中相邻两格点问的距离均为l厘米．三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米? 3．图19-3中每个小正方形的面积均为2平方厘米．阴影多边形的面积是多少平方厘米? 4．图19-4是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为l平方厘米．三个多边形的面积分别为多少平方厘米? 5．如图19-5所示，如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米．四边形ABCD和三角形EFG的面积分别是多少平方厘米? 6．图19-6中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积．(单位：厘米)
7．如图19-7所示，在正方形ABCD内部有一个长方形．EFGH．已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米．求长方形EFGH的面积． 8．如图19-8所示，四边形ABCD是长方形，长AD等于7厘米，宽AB等于5厘米，四边形CDEF是平行四边形．如果BH的长是3厘米，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米? 9．如图19-9所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连．请问：图中 阴影部分的面积总和等于多少平方厘米? 10．在图19-10中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积． 拓展篇 1. 图19-11中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为l平方厘米．这三个多边形的面积分别是多少平方厘米?
格点与面积 知识要点： 毕克定理：格点多边形面积=图内格点个数+周界格点数÷2-1 （1）正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形. 正方形格点问题：多边形面积=边÷2＋内－1 （2）所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形. 三角形格点问题：多边形面积=（边÷2＋内－1）×2 三角形格点问题 所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形． 关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S表示面积，N表示图形内包含的格点数，L表示图形周界上的格点数，那么有22 =?+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点 S N L 数的2倍与周界上格点数的和减去2． 例1：计算下列各图的面积。
总结：面积= (注：内部点，外部点关系)（毕克定理） 例2：判断下列图形哪些是格点多边形？ 例3：如图，计算各个格点多边形的面积． ⑴ ⑵ ⑶
例4：求下列各个格点多边形的面积． 例5：我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？ 例6：右图是一个812 面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．例7：右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？ ⑵ ⑴⑷ ⑶ H G F E D C A
例8：求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)． 例9：右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形, 试计算ABC 的面积. 例10：右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角 形,试计算四边形DEFG 的面积. ⑴ ⑵ ⑶
第19讲格点与割补 兴趣篇 1、图中相邻两个点间的距离均为1厘米。三个多边形的面积分别是多少平方厘米？ 2、图中相邻两格点间的距离均为1厘米。三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？ 3、图中每个小正方形的面积均为2平方厘米。阴影多边形的面积是多少平方厘米？
4、图是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为1平方厘米。三个多边 形的面积分别为多少平方厘米？ 5、如图所示，如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米。四边形ABCD和三角形EFG 的面积分别是多少平方厘米？ 6、图中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积。（单位：厘米）
7、如图所示，在正方形ABCD内部有一个长方形EFGH。已知正方形ABCD的边长是6厘 米，图中线段AE AH 、都等于2厘米。求长方形EFGH的面积。 8、如图所示，四边形ABCD是正方形，长AD等于7厘米，宽AB等于5厘米，四边形CDEF 是平行四边形。如果BH的长是3厘米，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米？
9、如图所示，大正方形的边长为10厘米。连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将 小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连。请问：图中阴影的面积总和等于多少平方厘米？ 10、在图中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积。 拓展篇 1、图中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为1平方厘米。这三个多边形的面 积分别是多少平方厘米？
2、（1）图1中每个小正方形的面积是2平方厘米。阴影部分面积是多少平方厘米？ （2）图2中每个小正三角形的面积是4平方厘米。阴影部分面积是多少平方厘米？ 3、图中每个小正方形的边长是1厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米？ 4、如图1和图2，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点。 已知图1中阴影部分的面积是394平方分米。请问：图2中的阴影部分面积是多少平方分米？
第 19 讲 格点与割补 内容概述 明确格点多边形的概念， 学会通过分割和添补的方法计算其面积； 学会利用割补法计算不规 则图形的面积；掌握格点多边形的面积计算公式 . 典型问题 兴趣篇 4．图 19-4 是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为 多边形的面积分别为多少平方厘米 ? 6．图 19-6 中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积． 1．图 19-l 中相邻两格点问的距离均为 1 厘米．三个多边形的面积分别是多少平方厘米 2．图 19-2 中相邻两格点问的距离均为 l 厘米．三个阴影图形的面积分别是多少 平方厘米 3．图 19-3 中每个小正方形的面积均为 2 平方厘米． 阴影多边形的面积是多少平方厘米 5．如图 19-5 所示，如果每个小等边三角形的面积都是 形 EFG 的面积分别是多少平方厘米 ? 1 平方厘米．四边形 ABCD （单位：厘米 ） l 平方厘和三
7．如图 19-7 所示，在正方形 ABCD 内部有一个长方形．是 6 厘米，图中线段 AE、AH 都等于 2 厘米．求长方形 EFGH ．已知正方形 ABCD 的边长 EFGH 的面 积． 8．如图 19-8 所示，四边形 ABCD 是长方形，长 AD 等于 7 厘米，宽 AB 等于 5 厘米，四边 形 CDEF 是平行四边 形．如果 9．如图 19-9 所示，大正方形的边长为 10 厘米．连接大正方形的各边中点得 到一个小正方 形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连．请问：阴影部分的面积总和等于多少平方厘米 ? 图中 10．在图 19-10 中，五个小正方形的边长都是2 厘米，求三角形 拓展 篇 1. 图 19-11 中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为 的面积分别是多少平方 厘米
第19讲 格点与割补 兴趣篇 1、图中相邻两个点间的距离均为1厘米。三个多边形的面积分别是多少平方厘米？ 【分析】利用三角形面积公式，易知三个图形的面积分别为：4平方厘米，2平方厘米，8平方厘米 2、图中相邻两格点间的距离均为1厘米。三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？ 【分析】根据格点面积公式： 12 L N +- 第一个阴影图形的面积为：4 4152+ -=(平方厘米)； 第二个阴影图形的面积为：4 4152+-=（平方厘米）； 第三个阴影图形的面积为：3 010.52 +-=（平方厘米）；；
3、图中每个小正方形的面积均为2平方厘米。阴影多边形的面积是多少平方厘米？ 【分析】阴影部分的面积为： 7 71219 2 ?? +-?= ? ?? （平方厘米）。 4、图是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为1平方厘米。三个多边 形的面积分别为多少平方厘米？ 【分析】根据题意，有①图形的面积为6个小的等边三角为6平方厘米； 根据图②知， 4 2126 2 S ?? =+-?= ? ?? （平方厘米）； 根据图③知， 8 41214 2 S ?? =+-?= ? ?? （平方厘米）； 5、如图所示，如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米。四边形ABCD和三角形EFG 的面积分别是多少平方厘米？
【分析】根据毕克定理可知924220 ABCD S=?+-= 四边形 （平方厘米）； 424210 EFG S=?+-= 三角形 （平方厘米） 6、图中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积。（单位：厘米） 【分析】将图形补充完整，则可知这个多边形面积为：674221421032 ?-?-?=-= 4 3 2 2 1 5 7、如图所示，在正方形ABCD内部有一个长方形EFGH。已知正方形ABCD的边长是6厘 米，图中线段AE AH 、都等于2厘米。求长方形EFGH的面积。 【分析】由于2 AE AH ==,所以三角形AEH为等腰直角三角形，所以三角形EBF也为等
学科：奥数教学内容：格点与面积 生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。同样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”。这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。先来介绍什么是“格点”。见下图： 这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。图中带阴影的小方格就是一个面积单位。 借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。禾I」用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。 例1计算下图中各图形的面积： 分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法。显然第一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位即可。而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形面积来求这些图形面积。 解答： (1)图中长方形包括3X2=6 (个)面积单位，所以它的面积为6。 (2)将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3X 2=6,而平行四边形的面积等于长方形面积，所以平行四边形的面积为3X 2=6。 (3)将图中三角形用虚线分成3块，它包含有1个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积为2。 (4)图中将三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3X2=6,而三角形 面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3。 (5)将图中梯形的互相平行的一组对边延长，补出一个和原来梯形方向颠