正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题．通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题．
1．如图6-1，每一个小方格的面积都是l平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米?
【分析与解】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L
2
-1)×单位正方形面
积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．
有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：（4+7
2
-1)×1=6.5(平方厘米)
方法二：如下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=1.5，
②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为 1.5+l+1+1+1+1+3=9.5，而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9.5=6.5平方厘米．
2．如图6-2，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米?
【分析与解】方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．
有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)．
方法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为lO+2+1+4+3=20(平方厘米)．
3.如果图6-3是常见的一副七巧板的图，图6-4是用这副七巧板的7块板拼成的小房子图，那么，第2块板的面积等于整幅图的面积的几分之几?第4块板与第7块板面积的和等于整幅图的面积的几分之几?
【分析与解】 如下图，我们在图6-3中标出图6-4中各块图形的位置．
设整个七巧板组成的正方形的边长为1，显然整幅图形的面积为1，且有第2块的面
积为12×12×12=18．
有3S =4S ，2S =5S =7S =23S ，有2、3、4、5、7五块图形的面积之和为1
2
，所以4S =IGFB S 长方形，
7S =18
．
所以第2块板的面积等于整幅图面积的1
8
，第4块板与第7块板面积和为整幅图面积
的116+18=316．
4．把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得到一个六角形．再将这个六角形的各个“角”(即小正三角形)的两边三等分，又以它们的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到图6-5所示的图形．如果这个图形面积是1，那么原来的正三角形面积是多少?
【分析与解】 方法一：如右图，我们将图6-5分成若干个大小、形状完全相同的小正三角形，由40块小正三角形组成图6-5，而由27块小正三角形组成了图中最大的正三角形．
120块小正三角形的面积为1，所以每块为1
120
，那么原来的正三角形由81块小正三
角形组成，其面积显然为27 40
．
方法二：如下图，我们把图6-5中的三角形分成A、B、C三种，设A形正三角形面积
为“1”，则B、C两种正三角形的面积依次为“1
9
”、“
1
81
”．
在图6-5中，A种、B种、C种正三角形的个数依次为1，3，12，所以图6-5中图形的
面积为1+3×1
9
+12×
1
81
=
40
27
．所以有“1”对应
27
40
，而原来的正三角形即为三角形A，所
以原来的正三角形的面积为27 40
.
5．如图6-6，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD中点，P 是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?
【分析与解】如下图，我们将图6-6分成大小、形状相同的三角形，有正六边形ABCDEF 包含有24个小正三角形，而阴影部分MNP包含有9个小正三角形．
正六边形ABCDEF的面积为6，所以每个小正三角形的面积为6÷24=1
4
，所以三角形
MNP的面积为9×1
4
=2.25(平方厘米)．
6．把同一个三角形的三条边分别五等分、七等分，适当连接这些分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图6-7中阴影部分的面积是294平方分米，那么图6-8中的阴影部分的面积是多少平方分米?
【分析与解】在图6-7中，原正三角形被分成25个小正三角形，而阴影部分含有12个小正三角形，所以每个小正三角形的面积为294÷12=24.5，所以原正三角形的面积为24.5×25=612.5(平方分米)．
而在图6-8中，原正三角形被分成49块，而阴影部分含有16块，所以阴影部分的面积为612.5÷49×16=200(平方分米)．
7．图6-9是5×5的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求选出的点中任意3点都不在同一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么所围图形的面积是多少平方厘米?
【分析与解】我们知道满足题意的7个点可以组成一个七边形，适当的切去正方形的一个角可以得到一个五边形，切出2个角可以得到一个六边形，切去3个角可以得到七边形.
为了使最后留下的七边形的面积尽可能大，那么切去的3个角面积应尽可能的小．
如下切法得到的七边形的面积最大，为25-3×0.5=23.5(平方厘米)．
8.在图6-10中，三角形ABC 和DEF 是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF 长9厘米，CF 长3厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?
【分析与解】 方法一：如图(a)，将原题中图形分为12个完全一样的小等腰三角形．
△ABC 占有9个小等腰三角形，其中阴影部分占有6个小等腰三角形，S
ABC
=9×9÷2=40.5(平方厘米)，所以阴影部分的面积为40.5÷9×6=27(平方厘米)．
方法二：如图(b)，连接IG ，有四边形ADGI 为正方形，易知FG=FC=3(厘米)，所以
DG=DF-FG=9-3=6(厘米)，于是S HIG =14×AIGD S 正方形=1
4
×26=9.
而四边形IGFB 为长方形，有BF=AD=DG=6(厘米)，GF=3(厘米)，所以IGFB S 长方形=6×3=18．
阴影部分面积为A HIG 与长方形IGFB 的面积和，即为9+18=27(平方厘米)．
方法三：如图(C)，为了方便叙述，将图6-10中某些交点标上字母． 易知三角形BIE 、CGF 、AIH 、DGH 均为等腰直角三角形．
先求出等腰直角三角形AHI 、CGF 的面积，再用已知的等腰三角形ABC 的面积与其作差，即为需求阴影部分的面积．
有S ABC =DEF S =12×EF ×DF=812，CGF S =12×CF×FG=9
2
．
因为CF=FG=3，所以DG=DF-FG=6．
如图(d)，可以将4个三角形DGH 拼成一个边长为DG 的正方形．
所以，ACD S DGH S =1
4
×DG×DG=9，而AIH S =DGH S =9，所以BFGHI S 阴影=
S ABC -CGF S -AIH S =812 -9
2
-9=27(平方厘米)．
即阴影部分的面积为27平方厘米．
9．如图6-11，在长方形ABCD 中，O 是长方形的中心，BC 长20厘米，AB 长12厘米，DE=4AE ，CF=3DF ，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?
【分析与解】 我们只用先求出四边形ADFO 的面积，再将其减去两个三角形AEO 、EFD 的面积和，即为所求阴影部分的面积．
而四边形ADFO 的面积等于两个三角形AOD 、ODF 的面积和．
由题意知AE=4，ED=16，DF=3，FC=9．
有AOD S =14ABCD S 矩形=1
4
×20×12=60，
ODF S =12×DF×(14AD)= 12×3×1
2
×20=15．
AEO S =12×AE×(12AB)= 12×4×1
2
×12=12，
EFD S =12×ED×DF=1
2
×16×3=24．
有S 阴影=(AOD
S +ODF
S
)-AEO
S
-EFD
S
=60+15-12-24=39(平方厘米)．
即阴影部分的面积为39平方厘米．
10．如图6-12，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?
【分析与解】 如下图，我们将大正方形中的所有图形分成A 、B 两种三角形．
其中含有A 形三角形8个，B 形三角形16个，其中阴影部分含有A 形三角形4个，B 形三角形8个．
所以，阴影部分面积恰好为大正方形面积的12，即为1
2
×10×10=50(平方厘米)．
11．如图6-13，ABCD 是边长为8厘米的正方形，梯形AEBD 的对角线相交于0，三角形AOE 的面积比三角形BOD 的面积小16平方厘米，则梯形AEBD 的面积是多少平方厘米?
【分析与解】如下图，将梯形AEBD 内4个三角形的面积分别记为①、②、③、④．
在梯形AEBD 中，有△EBD、△ABD 同底等高，所以有EBD
S =ABD
S
，即③+②=①+②．显
然有①=③．
由题意知BOD
S
-AOE
S
=16，即②-④=16，于是有(①+②)-(③+④)=16．已知①
+②=ABD S
=
1
2
×8×8=32，所以③+④=(①+②)-16=16．
所以有AEBD S 梯形=(①+②)+(③+④)=32+16=48(平方厘米)．
评注：在任意梯形ABCD 中，两条对角线将其分成四个部分，记它们的面积为“上”、“下”、“左”、“右”，有：
左=右；左×右=上×下；上：下=A 2D ：B 2C ．
12．如图6-14，ABCD 是长方形，长AD 等于7.2厘米，宽AB 等于5厘米，CDEF 是平行四边形．如果BH 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米?
【分析与解】 CDEF S 平行四边形=DC×BC=5×7.2=36，
HC=BC-BH=7.2-3=4.2，所以
CDH S =12×CD×HC=1
2
×5×4.2=10.5．
S 阴影=CDEF S 平行四边形-CDH
S
=36-10.5=25.5(平方厘米).
13．如图6-15，已知一个四边形的两条边的长度和三个角，那么这个四边形的面积是多少?
【分析与解】 将AD 、BC 延长交于E ，有∠EDC=45°，∠ECD=90°，所以△CDE 为等腰直角三角形，有EC=DC ．
而∠ECD =45°，∠EAB=90°，所以△ABE 也是等腰直角三角形，有EA=AB ．
有ABE S =12×AB×EA =492，EDC S =12×EC×DC=9
2
．
有ABCD S 四边形=ABE S -EDC S =492-9
2
=20．
14．图6-16是边长为1的正方形和一个梯形拼成的“火炬”．梯形的上底长1.5米，A 为上底的中点，B 为下底的中点，线段AB 恰好是梯形的高，长为0.5米，CD 长为丢米．那么图中阴影部分的面积是多少平方米?
【分析与解】 方法一：为了方便叙述．将下图中一些点标上字母．延长AB 交正方形边EF 于H 点，
我们先求出梯形JICK 与正方形IFEC 的面积和，再求出三角形AFH 与梯形AHED 的面积和，将前者与后者做差所得到的值即为所求阴影部分的面积．
JICK S 梯形=1
2×(1.5+1)×0.5=0.625，
IFEC S 正方形=1×1=1． AFH S
=
12×AH ×FH=12×（AB+BH ）×(12FE)= 12×(0.5+1)-（1
2
×1）=0.375，
AHED
S 梯形=
12
×(AH+DE)×HE=
12
×(AB+BH+CE -CD)×(
12
FE)=
12
×
(0.5+1+1-13)×(1
2×1)=1324．
有S 阴影=JICK S 梯形+IFEC S 正方形-AFH S -AHED S 梯形=0.625+l-0.375-
1324=1724
(平方米)．
即阴影部分的面积为
17
24
平方米．
方法二：如下图，连接AI 、AC ，将阴影部分分成四个部分．
△AJI 可以看作以AJ 为底，AB 的长为高的三角形；△AKC 可以看作以AK 为底，AB 的长为高的三角形；△AJF 可以看作以IF 为底，IB 的长为高的三角形；△ACD 可以看作CD 为底．CB 的长为高的三角形．
阴影部分面积为AJI
S
+AKC
S
+AIF
S
+ACD
S
=0.75×0.5÷2+O .75×O .5÷2+l×O .5÷2+1
3
×0.5÷2
=0.1875+O.1875+0.25+1
12
=17
24
（平方米)
15．从一块正方形木板锯下宽为
12米的一个木条以后，剩下的面积是65
18
平方米．问锯下的木条面积是多少平方米?
【分析与解】 我们画出示意图(a)，则剩下的木块为图(b)，将4块剩下的木块如下拼成一个正方形得到图(c)．
我们称AB为长，AD为宽，有长与宽的差为1
2
，所以图(c)中心的小正方形边长为
1
2
，
于是大正方形AEHK的面积为65
18
×4+
1
2
×
1
2
=
529
36
=
23
6
×
23
6
，所以AK长为
23
6
．
即，长+宽=23
6
，已知：长-宽=
1
2
，得长=
13
6
，于是锯去部分的木条的面积为
13
6
×
1 2=
13
12
=1
1
2
(平方米)．
正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题．通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题． 1．如图6-1，每一个小方格的面积都是l平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米? 【分析与解】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L 2 -1)×单位正方形面 积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数． 有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：（4+7 2 -1)×1=6.5(平方厘米) 方法二：如下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=1.5， ②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为 1.5+l+1+1+1+1+3=9.5，而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9.5=6.5平方厘米．
2．如图6-2，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米? 【分析与解】方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数． 有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)． 方法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为lO+2+1+4+3=20(平方厘米)． 3.如果图6-3是常见的一副七巧板的图，图6-4是用这副七巧板的7块板拼成的小房子图，那么，第2块板的面积等于整幅图的面积的几分之几?第4块板与第7块板面积的和等于整幅图的面积的几分之几?
成本、利润、价格等基本经济术语，以及它们之间的关系．各种已知数据或所求结果中包含比例与百分数的应用题，有时恰当选取较小的量作为一个单位，司以实现整数化计算． 1．迎春农机厂计划生产一批插秧机，现已完成计划的56％，如果再生产5040台，总产量就超过计划产量的16％．那么，原计划生产插秧机多少台? 【分析与解】 : 5040÷(1+16％-56％)=8400(台)． 2．圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71．5元．问圆珠笔的单价是每支多少元? 【分析与解】:设圆珠笔的价格为4，那么铅笔的价格为3，则20支圆珠笔和21支铅笔的价格为20×4+21×3=143，则单位“1”的价格为71.5÷143：0.5元． 所以圆珠笔的单价是O.5×4=2(元)． 3．李大娘把养的鸡分别关在东、西两个院内．已知东院养鸡40只；现在把西院养鸡总数的 14 卖给商店，1 3 卖给加工厂，再把剩下的鸡与东院全部的鸡相加，其和恰好等于原来东、西两院养鸡总数的50％.原来东、西两院一共养鸡多少只? 【分析与解】：方法一：设原来东西两院一共养鸡x 只，那么西院养鸡()40x -只．
依题意：．()111 40140432 x x ? ?-?- -+= ???,解出280x =. 即原来东、西两院一共养鸡280只． 方法二：50％即 12，东、西两院剩下的鸡等于东院的12加上西院的12，即20+1 2 西院原养鸡数． 有东院剩下40只鸡，西院剩下原115 14312 --=的鸡． 所以有西院原养鸡(40—20)÷15212?? - ??? =240只，即原来东、西两院一共养鸡40+240=280只． 4．用一批纸装订一种练习本．如果已装订120本，剩下的纸是这批纸的40％；如果装订了185本， 则还剩下1350张纸．这批纸一共有多少张? 【分析与解】 方法一：装订120本，剩下40％的纸，即用了60％的纸． 那么装订185本，需用185×(60％÷120)=92．5％的纸，即剩下1-92．5％=7．5％的纸，为1350张． 所以这批纸共有1350÷7．5％=18000张． 方法二：120本对应(1-40％=)60％的总量，那么总量为120÷60％=200本． 当装订了185本时，还剩下200-185：15本未装订，对应为1350张，所以每本需纸张：1350÷15=90 张，那么200本需200×90=18000张． 即这批纸共有18000张． 5．有男女同学325人，新学年男生增加25人，女生减少5％，总人数增加16人．那么现有男同学多少人? 【分析与解】男生增加25人，女生减少5％，而总人数增加了16人，说明女生减少了25-16=9人，那么女生原来有9÷5％=180人，则男生有325-180=145人． 增加25人后为145+25=170人，所以现有男同学170人． 6．有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放人16块水果糖后，奶糖就只占25％那么，这堆糖果中有 奶糖多少块? 【分析与解】方法一：原来奶糖占 45910020=，后来占2511004 =，因此后来的糖果数是奶糖的4倍，也比原来糖果多16粒，从而原来的糖果是16+(
学科：奥数 教学内容：格点与面积 生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。同样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”。这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。先来介绍什么是“格点”。见下图： 这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。图中带阴影的小方格就是一个面积单位。 借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。 例1 计算下图中各图形的面积： 分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法。显然第一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位即可。而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形面积来求这些图形面积。 解答： （1）图中长方形包括3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6。 （2）将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形面积，所以平行四边形的面积为3×2=6。 （3）将图中三角形用虚线分成3块，它包含有1个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积为2。 （4）图中将三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3。 （5）将图中梯形的互相平行的一组对边延长，补出一个和原来梯形方向颠
第19讲??格点与割补 内容概述 明确格点多边形的概念，学会通过分割和添补的方法计算其面积；学会利用割补法计算不规则图形的面积;掌握格点多边形的面积计算公式. 典型问题 兴趣篇 1.图１9-ｌ中相邻两格点问的距离均为1厘米．三个多边形的面积分别是多少平方厘米? 答案：4平方厘米２平方厘米8平方厘米 【分析】方法:正方形格点阵中多边形面积公式:（N+L 2 -1)×单位正方形 面积,其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数． 有N＝0，L＝１0,则用粗线围成图形的面积为:(0+1０÷2－1)×１=４（平方厘米) 有Ｎ＝0，Ｌ=10,则用粗线围成图形的面积为:（1＋4÷2-１)×1=2(平方厘米） 有N=5,L=8,则用粗线围成图形的面积为:(5+8÷２－1)×１=8(平方厘米) 2．图１９－2中相邻两格点问的距离均为l厘米．三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米? 答案：5平方厘米5平方厘米0.５平方厘米 【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式:(N+L 2 －1）×单位正方 形面积，其中N为图形内格点数，Ｌ为图形周界上格点数. 有Ｎ=4,L=4,则用粗线围成图形的面积为：（4+４÷２-1)×1=５(平方厘米) 有Ｎ=4,L=4，则用粗线围成图形的面积为:(4+4÷２－1)×1=５(平方厘米）有N=０,L=3，则用粗线围成图形的面积为:（0+3÷2－１）×１=0.５(平方厘米) 3．图１9-3中每个小正方形的面积均为２平方厘米.阴影多边形的面积是多少平方厘米?
答案:19平方厘米 【分析】方法:交点组成了正方形格点,正方形格点阵中多边形面积公式: （N+L 2 -１)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数. 有N=7，L=１7,则用粗线围成图形的面积为：(7+7÷2-1)×2＝19(平方厘米) 4．图1９-４是一个三角形点阵,其中能连出的最小的等边三角形的面积为ｌ平方厘米.三个多边形的面积分别为多少平方厘米? 答案:6平方厘米６平方厘米14平方厘米 【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：（2N+L－２)x单位正三角形面积,其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数． 有N=0,L=８,所以用粗线围成的图形的面积为:(０×2+８-2)×１=6(平方厘米). 有Ｎ＝２，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(2×2+4-2)×1＝6(平方厘米）. 有N=４，L=7,所以用粗线围成的图形的面积为：（4×2+7－2）×1＝１4(平方厘米).５．如图19-５所示,如果每个小等边三角形的面积都是１平方厘米．四边形ABCD和三角形EFＧ的面积分别是多少平方厘米? 答案：20平方厘米10平方厘米 【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式:（2N＋Ｌ-２)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数． 有N＝9,L=4,所以用粗线围成的图形的面积为：（９×2+4-2)×1=２0(平方厘米)． 有N＝4,L=4，所以用粗线围成的图形的面积为:（4×2+4-2）×1=1０(平方厘米）． ６．图１９－6中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积.（单位：厘米)
第22讲数论综合三 典型问题 ◇◇兴趣篇◇◇ 1.（1）求所有满足下列条件的三位数：在它左边写上40后所得的五位数是完全平方数。 （2）求满足下列条件的最小自然数：在它左边写上80后所得的数是完全平方数。 【分析】（1）设这个三位数为abc 根据题意有240abc n =，即240000abc n +=，22200(200)(200)abc n n n =-=+-当201n =时，401abc =，五位数是220140401 =当202n =时，804abc =，五位数是220240804 =当203n =时，abc 不是三位数（舍去） 所以满足条件的三位数是401，804 （2）当这个自然数是一位数时，有280a n =，229841=，228784=，因此一位数不 存在，同理两位数不存在当这个自然数是三位数时，有280abc n =，280000abc n =-，228480656=，所以最小自然数是656 2.已知!n 3 是一个完全平方数，试确定自然数n 的值。（n n !123 ） 【分析】当6n ≥时，!()n m 3331 ，不可能是完全平方数，因此n 只能取1到5间的数， 经试验1n =或3 3.一个完全平方数是四位数，且它的各位数字均小于7。如果把组成它的每个数字都加上3，便得到另外一个完全平方数。求原来的四位数。 【分析】根据题意有2abcd m =，2(3)(3)(3)(3)a b c d n ++++=，因此223333n m -=，即 ()()311101n m n m +-=??，且,n m 都是两位数，因此()()33101n m n m +-=?，所
第21讲间隔与阵列 兴趣篇 1. 社区门口有一条长为100米的马路，现在要在这条马路的一侧种树，每隔10米种一棵， 而且马路的两端都要种。一共需要种多少棵树？ 2. 学校门前有条长100米的马路，马路两侧一共种了42棵树。每侧相邻两棵树之间的距离 都相等，而且马路的两端都种了。请问：相邻两棵树之间的距离是多大？ 3. 小悦上楼，从第一层走到第三层需要上36级台阶。如果各层楼之间的台阶数相同，那么 小悦从第一层走到第六层一共需要上多少级台阶？ 4. 学校组织军训，教官让男生站一排，女生站一排。请问： （1）小悦和同班女生站成一排，她发现自己的左侧有7人、右侧有8人。女生一共有多少人？ （2）冬冬和同班男生站成一排，他发现自己是左起第7个、右起第9个。男生一共有多少人？ （3）阿奇也在男生队伍里。他发现自己是左起第4个，他的右侧应该有几个？他应该是右起第几人？ 5. 运动会闭幕式结束后，大家准备散场。班长小悦让全班同学站成一行清点人数（她自己 并不在队伍中）。她先从左往右数，发现冬冬是第25个；然后她又从右往左数，发现阿奇正好是第29个。如果队伍里一共有31人，那么冬冬和阿奇之间有几个人？ 6. 一整块大豆腐长40厘米，宽20厘米。厨师准备把它切成一些长5厘米，宽4厘米的小 块，而且每次只能沿着直线切。如果不允许移动豆腐的位置，那么厨师至少要切几次？ 7. 学校有一个圆形水池，水池的周长为40米。如果绕着水池每隔4米种一棵树，一共要种 几棵树？ 8. 50个男生沿着300米的跑道站成一圈，并且相邻两人之间的距离都相等。现在，每相邻 两个男生之间又加入了两个女生，相邻两人之间的距离还是相等。请问：一共加入了多少个女生？加入女生后，相邻两人之间的距离又是多少米？ 9. 有100个人站成一个实心方阵，那么这个方阵的最外层共有多少人？从外向里算起第二 层有多少人？从里向外算起的第三层有多少人? 10. 一个实心方阵，最外层一共有20人。请问： （1）最外层每边有多少人？这个方阵一共有多少人？ （2）如果要组成一个更大的方阵，至少需要增加多少人？ （3）如果给这个方阵最外面再增加一层，那么需要增加多杀人？
第20讲计数综合四 兴趣篇 1、在88 的方格表中，取出一个如图所示的由3个小方格组成的“L”形，共有多少种不同的取法？ 【分析】每个2×2的小方块有4种取法， ∴共有7×7×4=196种取法。 2、冬冬妈妈每天让冬冬吃1个鸡蛋或者1个鸭蛋，那么冬冬吃完家里的4个鸡蛋和4个鸭 蛋共有多少种吃法？ 答案：140种 C=70种。 【分析】总共8个蛋，选其中4个蛋为鸡蛋，4 8 3、常昊与古力两人进行围棋“棋圣”冠军争霸赛，比赛没有平局，谁先胜4局即获得比赛 的胜利。请问：比赛过程一共有多少种不同的方式？ 答案：70种 C种排序；可以常昊或古力胜利，所以共47C×【分析】7盘比赛中选4盘作为胜方，有4 7 2=70种。 4、10只相同的橘子放到3个不同的盘子里，每个盘子至少放1只，一共有多少种不同的放 法？ 答案：36种 C=36种。 【分析】利用插板法，2 9 5、一部电视连续剧共8集，电视台要在周一到周四这4天内按顺序播放，其中可以有若干 天不播，共有多少种安排播出的方法？ 答案：165种 C=165。 【分析】类似于分橘子问题，先加4集，共12集，然后插板法，3 11 6、某班40名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费塑料袋”的调查，每人均在“应 该提供”、“不应该提供”和“无所谓”三个选项中做出了选择。请问：三个选项的统计数字共有多少种不同的可能？ 答案：861种 C=861。 【分析】40个人分到3个选项中，可以有选项不选，插板法；2 42
7、海淀大街上一共有18盏路灯，区政府为了节约用电，打算熄灭其中的7盏。但为了行路 安全，任意相邻的两盏灯不能同时熄灭，请问：一共有多少种熄灯方案？ 答案：792种 【分析】其中6盏作为熄灭7盏灯的间隔先去掉，然后在12盏中选7盏灭掉，7 12792 C=。 8、数字和为9，而且不含数字0的三位数共有多少个？四位数共有多少个？ 答案：28个；56个 【分析】类似插板法，2 828 C=；3856 C=。 9、有一批规格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的5节，每节用红、黄、蓝3种颜色中的 一种来涂，相邻两节不能同色，那么可以染成多少种不同的圆棒？ 【分析】对称的3×2×2=12种， 不对称的3×2×2×2×2-12=36种， 36÷2+12=30。 10、给一个正四面体的4个面染色，每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色不相同。现 有5种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？（旋转后是一样的染色情况算是同一种方式） 【分析】5种颜色选4种，4 55 C=种， 把选中的某种颜色朝下放置，剩下3种颜色的排列有2种：顺时针和逆时针。 共5×2=10种。 拓展篇 1、在88 ?的方格棋盘中，一共可以数出多少个如图所示的由4个单位小正方形组成的“L” 形？ 答案：336个 【分析】每个2×3的长方形中，有4个“L”形， 共6×7×4=168个，两个方向：168×2=336个
第19讲格点与割补 内容概述 明确格点多边形的概念，学会通过分割和添补的方法计算其面积；学会利用割补法计算不规则图形的面积；掌握格点多边形的面积计算公式. 典型问题 兴趣篇 1．图19-l中相邻两格点问的距离均为1厘米．三个多边形的面积分别是多少平方厘米? 2．图19-2中相邻两格点问的距离均为l厘米．三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米? 3．图19-3中每个小正方形的面积均为2平方厘米．阴影多边形的面积是多少平方厘米? 4．图19-4是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为l平方厘米．三个多边形的面积分别为多少平方厘米? 5．如图19-5所示，如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米．四边形ABCD和三角形EFG的面积分别是多少平方厘米? 6．图19-6中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积．(单位：厘米)
7．如图19-7所示，在正方形ABCD内部有一个长方形．EFGH．已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米．求长方形EFGH的面积． 8．如图19-8所示，四边形ABCD是长方形，长AD等于7厘米，宽AB等于5厘米，四边形CDEF是平行四边形．如果BH的长是3厘米，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米? 9．如图19-9所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连．请问：图中 阴影部分的面积总和等于多少平方厘米? 10．在图19-10中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积． 拓展篇 1. 图19-11中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为l平方厘米．这三个多边形的面积分别是多少平方厘米?
第5讲立体几何 兴趣篇 1.一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、1厘米。若它的棱长总和等于另一个 正方体的棱长总和，则长方体与正方体的表面积之比是多少？长方体体积比正方体体积少多少立方厘米？ 【分析】该长方体的棱长总和为：() ++?=；则正方体的边长为24122 321424 ÷=； 长方体的表面积为：() ?+?+??=，体积为：3216 323121222 ??=； 正方体的表面积为：62224 ??= ??=；体积为：2228 所以长方体与正方体的表面积之比为：11:12，长方体的体积比正方体的体积少2立方厘米。 2.如图所示，将长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正 方形，然后沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的体积是多少立方厘米？如果四角去掉边长为3厘米的正方形呢？ 【分析】四个角都截去边长为2的正方形之后，长方体容器的长为1349 -=， -=；宽为945 其体积为95290 ??=（立方厘米）。 如果四个角去的都是边长为3的正方形，则新形成的长方体的长为1367 -=， -=，宽为963 高为3，则新长方体的体积为73363 ??=（立方厘米）。 3.用棱长是1厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形。这个图形的表面积是多少平方 厘米？
【分析】 三视图法： 从前往后看：7214 ?=； 从左往右看：7214 ?=； 从上往下看：9218 ?=； 则这个图形的表面积为：14141846 ++=（平方厘米）。 4.（1）如图所示，将一个棱长为6的正方体从某个角切掉一个长、宽、高分别为4、3、 5的长方体，剩余部分的表面积是多少？ （2）如图所示，将一个棱长为5的正方体，从左上方切去一个长、宽、高分别为5、4、3的长方体，它的表面积减少了百分之几？ 【分析】 （1）切去该长方体之后，整个表面积没有发生变化，则其表面积总和还为原表面积，为666216 ??=平方厘米。 （2）原正方体的表面积为655150 ??=；现在表面积减少了24324 ??=；相当于减少了16%。 5、如图所示，有一个棱长为2厘米的正方体。从正方体的上面正中向下挖一个棱长为1厘 米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长为1 2 厘米的小洞；第三个小
数学思维训练导引 主要面向在学校学有余力的学生，希望能激发学生进一步学习数学的兴趣，因此对知识的范围和难度 有所控制，目的是让数学能力突出的学生接受系统化的训练，其难度上符合大多数竞赛的要求，且具有较 深厚竞赛数学功底的学生，这里给学生提出了更高的要求，更大的挑战，激励学生进一步探索和思考。 第1讲整数计算综合 内容概述 熟练运用已学的各种方法解决复杂的整数四则运算问题；学会利用加减抵消、分组计算方法处理各种数列 的计算问题。学会处理“定义新运算”的问题，初步体会用字母表示数。 典型问题 兴趣篇 1. 计算：(1) 121×32÷8; (2) 4×(250÷8) (3) 25×83×32×125 2. 计算：(1) 56×22+56×33+56×44 (2) 222×33+889×66. 3. 计算：(1) 37×47+36×53 (2) 123×76－124×75。 4. 计算：100－99+98－97+96－95+,+12－11+10. 5. 计算：50+49－48－47+46+45－44－43+,－4－3+2+1. 6. 计算：(1+3+5+7+,+199+201) －(2+4+6+8+,+198+200). 7. 计算：1+2+3+4+,+48+49+50+49+48+,+4+3+2+1. 8. 下面是一个叫做“七上八下”的数字游戏。游戏规则是：对一个给定的数，按照由若干个7和8组成的口令进行一连串的变换。口令“7”是指在这个数中插入一个数字，使得新生成的数尽量大；口令“8”是指将这个数中的一个数字去掉，也要使新生成的数尽量大。例如：给出的数是1995，口令是“8→7，”在第一个口令“8”发出后变成995，在第二个口令“7”发出后变成9995。 如果给出数“6595”以及口令“8→7→8→7→8→8”，问：变换后依次得到的6个数的和是多少？ 9. 规定运算“”为：a b= (a+1) ×(b－1), 请计算：(1)810; (2) 108. 10. 规定运算“?”为：a?b=a×b－(a+b), 请计算： (1) 5?8; (2) 8?5; (3) (6?5)4; (4)6? (54) 拓展篇 1. 计算：(1)72×27×88÷(9×11×12); (2) 31×121－88×125÷(1000÷121). 2. 计算：(1) 555×445－556×444; (2) 42×137－80÷15+58×138－70÷15. 3. 计算：20092009×2009－20092008×2008－20092008. 4. 计算：1+2－3+4+5－6+7+8－9+,,+97+98－99. 5. 计算：100×99－99×98－98×97－97×96－96×95－95×94+,+4×3－3×2－2×1. 6. 在不大于1000的自然数中，A为所有个位数字为8的数之和，B为所有个位数字为3的数之和. A与B 的差是多少？ 7. 求图1-1中所有数的和.
格点与面积 知识要点： 毕克定理：格点多边形面积=图内格点个数+周界格点数÷2-1 （1）正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形. 正方形格点问题：多边形面积=边÷2＋内－1 （2）所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形. 三角形格点问题：多边形面积=（边÷2＋内－1）×2 三角形格点问题 所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形． 关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S表示面积，N表示图形内包含的格点数，L表示图形周界上的格点数，那么有22 =?+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点 S N L 数的2倍与周界上格点数的和减去2． 例1：计算下列各图的面积。
总结：面积= (注：内部点，外部点关系)（毕克定理） 例2：判断下列图形哪些是格点多边形？ 例3：如图，计算各个格点多边形的面积． ⑴ ⑵ ⑶
例4：求下列各个格点多边形的面积． 例5：我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？ 例6：右图是一个812 面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．例7：右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？ ⑵ ⑴⑷ ⑶ H G F E D C A
例8：求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)． 例9：右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形, 试计算ABC 的面积. 例10：右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角 形,试计算四边形DEFG 的面积. ⑴ ⑵ ⑶
四年级数学思维训练导引 第1讲整数计算综合 内容概述 熟练运用已学的各种方法解决复杂的整数四则运算问题；学会利用加减抵消、分组计算方法处理各种数列的计算问题。学会处理“定义新运算”的问题，初步体会用字母表示数。 典型问题 兴趣篇 1.计算：(1)121×32÷8; (2)4×(250÷8) (3)25×83×32×125 2.计算：(1)56×22+56×33+56×44 (2)222×33+889×66. 3.计算：(1)37×47+36×53 (2)123×76－124×75。 4.计算：100－99+98－97+96－95+…+12－11+10. 5.计算：50+49－48－47+46+45－44－43+…－4－3+2+1. 6.计算：(1+3+5+7+…+199+201)－(2+4+6+8+…+198+200). 7.计算：1+2+3+4+…+48+49+50+49+48+…+4+3+2+1. 8.下面是一个叫做“七上八下”的数字游戏。游戏规则是：对一个给定的数，按照由若干个7和8组成的
指将这个数中的一个数字去掉，也要使新生成的数尽量大。例如：给出的数是1995，口令是“8→7，”在第一个口令“8”发出后变成995，在第二个口令“7”发出后变成9995。 如果给出数“6595”以及口令“8→7→8→7→8→8”，问：变换后依次得到的6个数的和是多少？ 9.规定运算“?”为：a ?b=(a+1)×(b －1),请计算：(1)8?10;(2)10?8. 10.规定运算“?”为：a ?b=a ×b －(a+b),请计算： (1)5?8; (2)8?5; (3)(6?5)4; (4)6?(54) 拓展篇 1.计算：(1)72×27×88÷(9×11×12); (2)31×121－88×125÷(1000÷121). 2.计算：(1)555×445－556×444; (2)42×137－80÷15+58×138－70÷15. 3.计算：20092009×2009－20092008×2008－20092008. 4.计算：1+2－3+4+5－6+7+8－9+……+97+98－99. 5.计算：100×99－99×98－98×97－97×96－96×95－95×94+…+4×3－3×2－2×1. 6.在不大于1000的自然数中，A 为所有个位数字为8的数之和，B 为所有个位数字为3的数之和.A 与B 的差是多少？ 7.求图1-1中所有数的和. 8.已知平方差公式：2 2 ()()a b a b a b -=+?-，计算： 2222222220191817161521-+-+-++- 9.计算：951×949－52×48. 10.规定运算“Θ”为：a Θb=a+2b －2,计算：(1)(8Θ7)Θ6; (2)8Θ(7Θ6) 11.规定运算“”为：a b=(a+1)×(b －2).如果6(5)=91,那么方格内应该填入什么数？
第一章测试 1 【单选题】(2分) A. 变加速直线运动，加速度沿x轴正方向 B. 变加速直线运动，加速度沿x轴负方向 C. 匀加速直线运动，加速度沿x轴正方向 D. 匀加速直线运动，加速度沿x轴负方向 2 【单选题】(2分) A. 否，一般情况下于时间有关 B. 不一定 C. 是
3 【单选题】(2分) 一质点沿x轴作直线运动，已知质点的运动方程为x=1+10t-t2，在1~10s过程中质点的运动状态为（） A. 加速 B. 前5s加速后5s减速 C. 减速 D. 前5s减速后5s加速 4 【单选题】(2分) 如图，小车在轨道上滑下。当小车越过图中所标识出的位置时，小车的速度和加速度（） A. 都增加 B.
速度增加，加速度减小 C. 两者都减小 D. 都保持不变 E. 速度减小，但是加速度增加 5 【单选题】(2分) 在无风的天气里（即此时空气阻力不计），附近塔楼的脚手架上固定着一个体积小、重量大的玻璃瓶子（见图3），某时刻，玻璃瓶子自由下落，同一时刻，从水平地面（与玻璃瓶子正下方有一定距离）射出一个钢球，为了打中下落的玻璃瓶子，则射击者发射钢球时应该（） A. 题目所给条件不足 B. 瞄准瓶子下方 C. 瞄准瓶子上方 D. 直接瞄准瓶子
6 【单选题】(2分) 正在运动着的物体，如果它所受的一切外力同时消失，那么它将（） A. 沿原来的运动方向做匀速直线运动 B. 立即停下来 C. 先慢下来，然后再停下来 D. 改变运动方向 7 【单选题】(2分) 在高海拔地区称重在飞行高度为海拔6.4km（21000ft）的商务班机上，相比于在地面上的值，你重量（飞机的重量也一样）变化的百分数是多少？（球半径为r1=RE=6.37*106 m）（） A. 0.998 B. 0.556 C.
第19讲格点与割补 兴趣篇 1、图中相邻两个点间的距离均为1厘米。三个多边形的面积分别是多少平方厘米？ 2、图中相邻两格点间的距离均为1厘米。三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？ 3、图中每个小正方形的面积均为2平方厘米。阴影多边形的面积是多少平方厘米？
4、图是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为1平方厘米。三个多边 形的面积分别为多少平方厘米？ 5、如图所示，如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米。四边形ABCD和三角形EFG 的面积分别是多少平方厘米？ 6、图中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积。（单位：厘米）
7、如图所示，在正方形ABCD内部有一个长方形EFGH。已知正方形ABCD的边长是6厘 米，图中线段AE AH 、都等于2厘米。求长方形EFGH的面积。 8、如图所示，四边形ABCD是正方形，长AD等于7厘米，宽AB等于5厘米，四边形CDEF 是平行四边形。如果BH的长是3厘米，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米？
9、如图所示，大正方形的边长为10厘米。连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将 小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连。请问：图中阴影的面积总和等于多少平方厘米？ 10、在图中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积。 拓展篇 1、图中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为1平方厘米。这三个多边形的面 积分别是多少平方厘米？
2、（1）图1中每个小正方形的面积是2平方厘米。阴影部分面积是多少平方厘米？ （2）图2中每个小正三角形的面积是4平方厘米。阴影部分面积是多少平方厘米？ 3、图中每个小正方形的边长是1厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米？ 4、如图1和图2，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点。 已知图1中阴影部分的面积是394平方分米。请问：图2中的阴影部分面积是多少平方分米？
幻方和数阵图 幻方 在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。 需要掌握的幻方填写方法主要有： 1、奇数阶幻方 n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样： 把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格； (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。 这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。 口诀： 1居首行正中央, 依次右上莫相忘 上出格时往下放, 右出格时往左放. 排重便往自下放, 右上出格一个样 2、双偶阶幻方 n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……) 先说明一个定义。互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：
这个方阵的对角线，已经用颜色标出。将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字。 这里，n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。（见右上图） 对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4把它划分成k*k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。(做了解即可) 1.请你将3~11这9个数字填入下面的方格中，使横、竖、斜行三个数的和相等。
第1讲 分数数列计算 内容概述 建立抵消的思想，特别是灵话运用裂项的方法求解一些分数数列的计算问题． 典型问题 兴趣篇 1．计算：??+?+?+?+?+?+?+?+?1091981871761651541431321211 2．计算： ??++?+?+?99972752532312 3．计算： ??++?+?+?100981861641421 4．计算：.901 72156142130120112161+++++++ 5．计算：?+++++ 9700 1 130170128141 6．计算： ??++?+-?++?+-?+10910 99898878776766565 7．计算：?+-+-+-+ -9019 72175615421330112091276523 8．计算： ???++??+??+??10099982 543243223212 9．计算：?+++++ +240 239 210209************ 10．计算：?+?-??+?-?+?-)9 1 1()911()311()311()211()211( 拓展篇 1．计算：??++?+?+?+?+?200820071651541431321211 2．计算： ??++?+?+?+?101983141131183853523 3．计算： ??-?+?-?+?-?13 11241192097167512538314 4．计算：;90 1 1772115561134211130192017 1215613211)1(++++++++ ??-?-?+?++?+?-?-?+?+?-?-?+?42 408241398040387839377611920108189716861475126410538426314)2( 5．计算： ) 10921()921(10 )4321()321(4)321()21(3)21(121++++?++++++++?+++++?+++?+ 6．计算： ?++++++839 7593923113
第 19 讲 格点与割补 内容概述 明确格点多边形的概念， 学会通过分割和添补的方法计算其面积； 学会利用割补法计算不规 则图形的面积；掌握格点多边形的面积计算公式 . 典型问题 兴趣篇 4．图 19-4 是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为 多边形的面积分别为多少平方厘米 ? 6．图 19-6 中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积． 1．图 19-l 中相邻两格点问的距离均为 1 厘米．三个多边形的面积分别是多少平方厘米 2．图 19-2 中相邻两格点问的距离均为 l 厘米．三个阴影图形的面积分别是多少 平方厘米 3．图 19-3 中每个小正方形的面积均为 2 平方厘米． 阴影多边形的面积是多少平方厘米 5．如图 19-5 所示，如果每个小等边三角形的面积都是 形 EFG 的面积分别是多少平方厘米 ? 1 平方厘米．四边形 ABCD （单位：厘米 ） l 平方厘和三
7．如图 19-7 所示，在正方形 ABCD 内部有一个长方形．是 6 厘米，图中线段 AE、AH 都等于 2 厘米．求长方形 EFGH ．已知正方形 ABCD 的边长 EFGH 的面 积． 8．如图 19-8 所示，四边形 ABCD 是长方形，长 AD 等于 7 厘米，宽 AB 等于 5 厘米，四边 形 CDEF 是平行四边 形．如果 9．如图 19-9 所示，大正方形的边长为 10 厘米．连接大正方形的各边中点得 到一个小正方 形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连．请问：阴影部分的面积总和等于多少平方厘米 ? 图中 10．在图 19-10 中，五个小正方形的边长都是2 厘米，求三角形 拓展 篇 1. 图 19-11 中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为 的面积分别是多少平方 厘米
第1讲四则运算一 容概述 学习加减法运算中的各种计算技巧，例如凑整、带着符号搬家、加减相消、数的分拆与合并等等；掌握加减法运算中添、去括号的法则，并借此简化运算。 典型问题 兴趣篇 1．计算：(1)15+21+25+19； (2)70+63+81+37+30+19． 2．计算：(1)17+19+234+21+183+26； (2)(1+11+21+31)+(9+19+29+39)． 3．计算：(1)35+121-35-21； (2)152-19-13+19+223-32． 4．计算：(1)25-(25-14)-(14-7)； (2)57-(50-28)+(44-28)-(57-26)． 5．计算：(1)199+99+9； (2)9+98+397+247． 6．计算：(1)321-199； (2)456-197-98． 7．请大家先不要动笔，看能不能把下面的题目直接口算出来： (1)2580-2547；(2)1596-1296；(3)365+97；(4)365-97． 8．计算：(1)150-85-15； (2)1450-375-203-625． 9. 计算：(1)38+83-55； (2)(235+523+352)-(111+333+555)． 10．计算：(1)11-10+9-8+7-6+5-4+3-2+1； (2)100+102-104+106-108+110-112+114-116+118． 拓展篇 1．计算：(1)51+62+49+38； (2)64+127+129+23+71+136． 2．计算：(1)2+13+224+3330+6670+676+87+8； (2)73+119+231+69+381+17． 3．计算：(1)82-29-22+259； (2)375-138+247-175+139-237．
《思维训练导引》三年级第01讲计算问题第01讲加法与减法 1、计算：9998+998+99+9+6 9998+998+99+9+6 =（10000-2）+（1000-2）+（100-1）+（10-1）+6 =10000+1000+100+10+（6-2-2-1-1） =11110 2、计算：1966+1976+1986+1996+2006 1966+1976+1986+1996+2006 =（1986-21）+（1986-10）+1986+（1986+10）+（1986+20） =1986×5-（20+10-10-20） =9930 3、计算：1234+2341+3412+4123 1234+2341+3412+4123 =（1000+200+30+4）+（2000+300+40+1）+（3000+400+10+2）+（4000+100+20+3） =（1000+2000+3000+4000）+（200+300+400+100）+（30+40+10+20）+（4+1+2+3） =10000+1000+100+10 =11110 4、计算：123+234+345-456+567-678+789-890 123+234+345-456+567-678+789-890 =123+234+345+（567-456）+（789-678）-890 =123+234+345+111+111-890 =234+（123+567）-890 =234+690-890
=34+890-890 =34 5、569+384+147-328-167-529 569+384+147-328-167-529 =（569-529）+147-（147+20）+388-4-328 =40-20+56 =76 6、计算：6472-（4476-2480）+5319-（3323-1327）+9354-（7358-5362）+6839-（4843-2847） 6472-（4476-2480）+5319-（3323-1327）+9354-（7358-5362）+6839-（4843-2847） =（6480-8）+（5320-1）+（9360-6）+（6840-1）-（4476-2476-4）-（3323-1323-4）-（7358-5358-4）-（4843-2843-4） =（6480+5320）+（9360+6840）-8-1-6-1-2000+4-2000+4-2000+4-2000+4 =11800+16200-8000-16+16 =28000-8000 =20000 7、计算： 93+87+88+79+100+62+75+95+85+69+72+98+89+77+54+75+92+85+83+76+65+60+79+86 +100+49+97+97+80+78 93+87+88+79+100+62+75+95+85+69+72+98+89+77+54+75+92+85+83+76+65+60+79+86 +100+49+97+97+80+78 =90+3+90-3+90-2+80-1+100+60+2+80-5+90+5+80+5+70-1+70+2+100-2+90-11+80-3+ 50+4+80-5+90+2+80+5+80+3+80-4+70-5+60+80-1+90-4+100+50-1+100-3+100-3+80+80-2 =90×7+80×11+100×5+60×2+70×3+50×2-（1+1+1+4+1+1+3+3） =630+800+500+120+210+100-15