学科：奥数
教学内容：格点与面积
生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。同样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”。这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。先来介绍什么是“格点”。见下图：
这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。图中带阴影的小方格就是一个面积单位。
借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。
例1 计算下图中各图形的面积：
分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法。显然第一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位即可。而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形面积来求这些图形面积。
解答：
（1）图中长方形包括3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6。
（2）将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形面积，所以平行四边形的面积为3×2=6。
（3）将图中三角形用虚线分成3块，它包含有1个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积为2。
（4）图中将三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3。
（5）将图中梯形的互相平行的一组对边延长，补出一个和原来梯形方向颠
倒，但面积一样的梯形，形成一个大的长方形。长方形的面积为（2＋4）×3=18，而梯形的面积为长方形的面积的一半。所以梯形的面积为：（2＋4）×3÷2=9。
（6）将图中梯形用虚线分成3块，它包含有5个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有6个面积单位，所以它的面积为6。
例2 计算下面这个格点多边形的面积。
分析：这是一个不规则的多边形，不能直接求出它的面积。可用长方形的面积减去4个直角三角形的面积，如图1所示；另外还可将该四边形分割成几块，如图2。
解答：
方法一：
3×4－（2×1÷2＋2×1÷2＋2×2÷2＋3×1÷2）=6.5（面积单位）
方法二：
1×2÷2＋1×3÷2＋1×1÷2＋3×1÷2＋1×2=6.5（面积单位）
例3 相邻四点连成的小正方形面积为1平方厘米。
分别连接各点，组成下面12个图形，你发现有什么排列的规律？
算出各图形的面积。找出图形外面一周的点子数、中间的点子数与面积三者之间的关系。
分析：仔细观察图形：
横看，从左往右图形一周的格点数逐渐增多，中间的格点数不变；
竖看，从上往下图形一周的格点数不变，中间的格点数逐渐增多。
图形一周的格点数、中间的格点数与面积究竟有什么关系呢？我们可以将图形按中间没有个点、中间有一个格点和中间有两个格点进行分组列表分析。
1－1）
2－1）
解答：（1）中间格点数相同时，图形的面积随着一周的格点数增加而增加；当一周的格点数相同时，图形的面积同样随着中间的格点数增加而增加。
（2）各图形的面积见表格。
各图形面积的大小与一周的格点数、中间的格点数都有关系，格点图形的面积计算公式是：
图形面积=图形一周的格点数÷2＋（中间格点数－1）
说明：格点图形的面积求法很灵活，不要死记公式，要具体题目具体研究。
例4 下图是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积：
分析：这是一个组合图形，面积可分成几个部分来求。本图可分为两个三角形和一个长方形三部分。每一部分面积的求法，因图而异。如两个三角形需要扩展成长方形再求面积，而长方形只要直接数单位面积即可。
解答：左边三角形面积=4×4－1×2÷2－4×3÷2－4×2÷2=5；
右边三角形面积=4×4－1×3÷2×2－4×4÷2－1×1=4；
长方形的面积为6×2=12；
所以礼盒面积为：5＋4＋12=21
说明：此题还可以直接用公式，请你自己试一试。
例5 在下图中有21个点，每相邻三点构成一个单位面积的等边三角形，计算三角形ABC的面积。
分析：此题是一个三角形格点图。每三个相邻的格点构成一个正三角形，为一个面积单位。三角形格点图形面积的计算类似于正方形格点图形面积的计算，可以直接数图形所包含的面积单位，也可将之转化为几个易求的三角形，在通过加减运算得到。此题中三角形ABC的面积不能通过直接数格点面积来求，可以把它扩展成三一个大三角形，再减；也可以把它分成几个小的三角形，然后再加。
解答：
方法一：给三角形ABC添加Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ部分小的三角形，则得到由25个单位三角形构成的大三角形，现在只要分别求出Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ三个小三角形的面积即可。
三角形Ⅰ是一个平行四边形的面积的一半，如图4中的虚线平行四边形。这个平行四边形包含6个面积单位，所以他的面积为6，三角形Ⅰ的面积为：6÷2=3
同理，三角形Ⅱ及Ⅲ的面积分别为4和8，所以三角形ABC的面积为：
25－3－4－8=10（面积单位）
方法二：将三角形分成几个易求面积的三角形（如图3）。Ⅰ的面积为1×3=3，Ⅱ的面积可直接数为1，Ⅲ的面积为1×2=2，Ⅳ的面积为2×2=4，于是三角形ABC的面积为：3＋1＋2＋4=10。
想一想：以三角形Ⅰ为例，为什么这里三角形的面积可以用1×3计算？可联系方法一中三角形Ⅰ面积的求法。
说明：关于三角形格点多边形的面积也有类似于正方形格点多边形的面积计算公式。可以按照例3的方法归纳总结，就可以得到三角形格点多边形面积的计算公式：
三角形格点多边形的面积=多边形内包含的格点数×2＋多边形周界上的格点数－2。
例6 在下图中有45个正方形格点，过图中三点连一个三角形，并且至少有一条边水平或垂直。问共有多少个这样的格点三角形？
分析：如果要在图中找一个面积为8的格点三角形很容易，但是要求出有多少个这样的格点三角形就有些困难，不过功夫不负有心人，一定能找到方法。注意到待计数的格点三角形的底与高的乘积为16，所以可以分类计数。
解答：因为16=4×4=2×8=8×2，所以可以分为以下几类来计数：
（1）每个4×4的正方形中有4个直角三角形符合要求，总数为4×5=20（个）；
（2）每个2×8的长方形中也有4个直角三角形符合要求，总数为4×3=12（个）；
（3）符合要求的不是直角三角形的三角形有：
4×4，状的有：5×7=35（个）；
状的有：35个；
状的有：5×3=15（个）；
状的有：15个；
8×2，状的有：3×7=21（个）；
状的有：21个；
2×8，状的有：3×3=9（个）；
状的有：9个；
共有：（35＋15＋21＋9）×2=160（个）
所以符合要求的三角形一共有：20＋12＋160=192（个）
阅读材料
有形状的数
最早把自然数和几何图形联系在一起的是古希腊数学家毕达哥拉斯。毕达哥拉斯把数描绘成沙滩上的小石子，又按小石子所能排列的形状，寻找自然数与正三角形、正方形、正五边形……之间的关系。
毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、3、6、10等数时，小石子都能摆成正三角形，他把这些数叫做三角形数；当小石子的数目是1、4、9、16等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫做正方形数；当小石子的数目是1、5、12、22等数时，小石子都能摆成正五边形，他把这些数叫做
正五边形数……
毕达哥拉斯还摆出了其它多边形数。有趣的事，他还进一步发现了各种“形数之间的内在联系”。比如，每个大于1的正方形数都可以表示成两个相邻三角形数的和。
4=1+3，9=3+6，16=6+10，……
反过来，任意两个相邻的三角形数相加，必然是一个正方形数，也就是平方数。
这从下面的图形中可以得到证实。
毕达哥拉斯借助生动的几何直观发现，第n个三角形数等于1+2+3+…+n，第n个正方形数等于2n，……根据这些规律，人们就可以写出很多很多的形数了。
练习题
1．计算下图中各多边形的面积（点与点之间的距离都是1厘米）
分析与解答：
（1）直接计数，图1中包含5个面积单位，所以它的面积为5；
（2）直接计数，图2中包含6个面积单位，所以它的面积为6；
（3）将图3分为上下两部分，上面的长方形包含有6个面积单位，下面的平行四边形可以转化为一个1×2的长方形，所以面积为2。图3的面积为6＋2=8（面积单位）；
（4）图中包含2个面积单位和4个单位面积的一半，所以图4的面积为4；
（5）将图5按下图分割为上下两部分，上面的包含3.5个面积单位，下面的面积为3×1÷2=1.5（面积单位），所以图5的面积为5；
（6）直接计数，图6中包含7个面积单位，所以它的面积为7。
2．下图中喇叭、小猫、小狗的面积各是多少？
分析与解答：
（1）喇叭图中包含2个面积单位和2个面积单位的一半，所以它的面积为3；
（2）将小猫图分为左右两部分，头与身子部分的面积为（可直接计数）10，尾巴部分是一个平行四边形，它的面积与一个单位面积相同，所以小猫图的面积为11。
（3）小狗图面积的求法与小猫图形面积的求法相同，它的面积为6。
说明：此题还有其他的分割方法，请你自己想一想。
想一想：请你用格点图形面积的计算公式试求每一个图形的面积，你发现了什么？是不是每个图都可以用公式计算，哪个可以，哪个不可以，为什么？
3．求下图中梯形的面积。
分析与解答：这个梯形图的一周共有6个格点，中间共有16个格点，运用正方形格点图形的面积公式的：6÷2＋16－1=18（面积单位）
想一想：还有其他方法吗？请你试做。
4．下图中三角形的面积
分析与解答：
方法一：这个三角形图的一周共有6个格点，中间共有13个格点，运用正方形格点图形的面积公式的：6÷2＋13－1=15（面积单位）。
方法二：将三角形扩展成一个6×6的正方形时，增加了三个直角三角形，因为直角三角形的面积简单易求，所以我们将求三角形ABC的面积转化为求正方形的面积和直角三角形的面积，然后求差即可。
正方形的面积为36，左上角的直角三角形的面积为2×6÷2=6（面积单位），右下角的直角三角形的面积为3×6÷2=9（面积单位），右上角的直角三角形的面积为4×3÷2=6（面积单位），由此可得三角形ABC的面积：
36－6－9－6=15（面积单位）
5．下面图中有21个点，其中相邻的三点所形成的等边三角形的面积为1，试计算四边形的面积。
分析与解答：
方法一：这个四边形图的一周共有4个格点，中间共有5个格点，运用三角形格点图形的面积公式的：5×2＋4－2=12（面积单位）。
方法二：加一条辅助线，将四边形分成下图中的2个三角形，左上的三角形面积为4×1=4，右下的三角形面积为4×2=8，所以四边形的面积为4＋8=12。
6．计算下面三角形格点多边形的面积
分析与解答：
这个六边形图的一周共有7个格点，中间共有8个格点，运用三角形格点图形的面积公式：8×2＋7－2=21（面积单位）。
7．计算下面三角形格点中多边形的面积。
分析与解答：
方法一：这个多边形图的一周共有10个格点，中间共有9个格点，运用三角形格点图形的面积公式的：9×2＋10－2=26（面积单位）。
方法二：加辅助线将这个多边形分成如下图所示的三个三角形和一个平行四边形。左下角的三角形为一个面积为10的平行四边形面积的一半是5，右上角的三角形的面积为3（请你自己找出它所在的平行四边形），中间的等边三角形的面积为4×4=16，小平行四边形的面积为2，因此多边形的面积为：5＋3＋16＋2=26（面积单位）
8．下图中有16个格点，以图中三点为顶点连一个三角形，并且至少有一条边水平或垂直。问共有多少个这样的格点三角形，面积分别是多少？
分析与解答：以这16个格点中任意三点为顶点连成的三角形面积最多为整个图形面积的一半，即任一三角形的面积至多为3×3÷2=4.5（面积单位）。
面积为4.5的直角三角形有4个；
面积为4.5的非直角三角形有2×4=8（个）；
面积为3×2÷2=3的直角三角形有4×4=16（个）；
面积为3×2÷2=3的非直角三角形有6×4=24（个）；
面积为2×2÷2=2的直角三角形有4×4=16（个）；
面积为2×2÷2=2的非直角三角形有8×4=32（个）；
面积为3×1÷2=1。5的直角三角形有4×6=24（个）；
面积为3×1÷2=1。5的非直角三角形有4×6=24（个）；
面积为2×1÷2=1的直角三角形有4×12=48（个）；
面积为2×1÷2=1的非直角三角形有（4＋8＋8＋4）×2=48（个）；
面积为1×1÷2=0。5的直角三角形有4×9=36（个）；
面积为1×1÷2=0。5的非直角三角形有（6＋12＋12＋6）×2=72（个）；
所以图中共有
4＋8＋16＋24＋16＋32＋24＋24＋48＋48＋36＋72=352（个）格点三角形。
9．在下图中含有多少个格点正方形？
分析与解答：这个问题可分类讨论：
面积为1个单位面积的格点正方形共有3×3=9个；
面积为2个单位面积的格点正方形共有2×2=4个；
面积为4个单位面积的格点正方形共有2×2=4个；
面积为5个单位面积的格点正方形共有2个；
面积为9个单位面积的格点正方形只有1个。
所以图中共有格点正方形9＋4＋4＋2＋1=20（个）。
10．你知道下图中共有多少个三角形吗？每个三角形的面积各是多少？
分析与解答：图中共有8个三角形，每个三角形的面积分别为：三角形ADE、BED的面积为4×3÷2=6；
三角形ADC、BCD的面积为4×4÷2=8；
三角形ACE、BCE的面积为6＋8=14；
三角形ADB的面积为6×2=12；
三角形ABC的面积为14×2=28。
四年级奥数知识点：速算与巧算(一) 例1计算9+99+999+9999+99999 解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成100 0—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧. 9+99+999+9999+99999 =(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1) +(100000-1) =10+100+1000+10000+100000-5 =111110-5 =111105. 例2计算199999+19999+1999+199+19 解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.(如 199+1=200) 199999+19999+1999+199+19 =(19999+1)+(19999+1)+(1999+1)+(199+1) +(19+1)-5 =200000+20000+2000+200+20-5
=222220-5 =22225. 例3计算(1+3+5+...+1989)-(2+4+6+ (1988) 解法2：先把两个括号内的数分别相加，再相减.第一个括号内的数相加的结果是： 从1到1989共有995个奇数，凑成497个1990，还剩下995，第二个括号内的数相加的结果是： 从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990. 1990×497+995—1990×497=995. 例4计算 389+387+383+385+384+386+388
解法1：认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数. 389+387+383+385+384+386+388 =390×7—1—3—7—5—6—4— =2730—28 =2702. 解法2：也可以选380为基准数，则有 389+387+383+385+384+386+388 =380×7+9+7+3+5+4+6+8 =2660+42 =2702. 例5计算(4942+4943+4938+4939+4941+4943)÷6 解：认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数. (4942+4943+4938+4939+4941+4943)÷6 =(4940×6+2+3—2—1+1+3)÷6 =(4940×6+6)÷6(这里没有把4940×6先算出来，而是运
正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题．通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题． 1．如图6-1，每一个小方格的面积都是l平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米? 【分析与解】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L 2 -1)×单位正方形面 积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数． 有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：（4+7 2 -1)×1=6.5(平方厘米) 方法二：如下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=1.5， ②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为 1.5+l+1+1+1+1+3=9.5，而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9.5=6.5平方厘米．
2．如图6-2，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米? 【分析与解】方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数． 有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)． 方法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为lO+2+1+4+3=20(平方厘米)． 3.如果图6-3是常见的一副七巧板的图，图6-4是用这副七巧板的7块板拼成的小房子图，那么，第2块板的面积等于整幅图的面积的几分之几?第4块板与第7块板面积的和等于整幅图的面积的几分之几?
学科：奥数 教学内容：格点与面积 生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。同样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”。这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。先来介绍什么是“格点”。见下图： 这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。图中带阴影的小方格就是一个面积单位。 借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。 例1 计算下图中各图形的面积： 分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法。显然第一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位即可。而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形面积来求这些图形面积。 解答： （1）图中长方形包括3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6。 （2）将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形面积，所以平行四边形的面积为3×2=6。 （3）将图中三角形用虚线分成3块，它包含有1个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积为2。 （4）图中将三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3。 （5）将图中梯形的互相平行的一组对边延长，补出一个和原来梯形方向颠
速算与巧算 引导： 1、计算（凑十法）1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 2、计算（凑整法）1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 2+13+25+44+18+37+56+75 3、计算（用已知求未知）1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15 5+6+7+8+9+10 4、计算（改变运算顺序）10-9+8-7+6-5+4-3+2-1 5、计算（带着“+”、“-”号搬家）1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11 一、凑十法：利用个位数相加之和都等于10的技术 题1、计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 这种逐步相加的方法，好处是可以得到每一步的结果，但 缺点是麻烦、容易出错；而且一步出错，以后步步都错。若是 利用凑十法，就能克服这种缺点。 二、凑整法：同学们还知道，有些数相加之和是整十、整百的数，如： 巧用这些结果，可以使那些较大的数相加又快又准。像10、20、30、40、50、60、70、80、90、100等等这些整十、整百的数就是凑整的目标。 题2、计算1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 解：这是求1到19共10个单数之和，用凑整法做：
题3、计算 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 解：这是求2到20共10个双数之和，用凑整法做： 题4、计算 2+13+25+44+18+37+56+75 解：用凑整法： 三、用已知求未知 利用已经获得较简单的知识来解决面临的更复杂的难题这是人们认识事物的一般过程，凑十法、凑整法的实质就是这个道理，可见把这种认识规律用于计算方面，可使计算更快更准。题5、计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20 解：由例2和例3，已经知道从1开始的前10个单数之和及从2开始的前10个双数之和，巧用这些结果计算这道题就容易了。 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20 =（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）+（2+4+6+8+10+12+14+16+18+20）=100+110（这步利用了例2和例3的结果）=210 题6、计算：5+6+7+8+9+10 解：可以利用前10个自然数之和等于55这一结果。 5+6+7+8+9+10=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）-（1+2+3+4）=55-10=45 四、改变运算顺序 在只有加减运算的算式中，有时改变加、减的运算顺序可使计算显得十分巧妙！ 题7、计算：10-9+8-7+6-5+4-3+2-1 解：改变一下运算顺序，先减后加，就使运算显得非常“漂亮”。 10-9+8-7+6-5+4-3+2-1=(10-9)+(8-7)+(6-5)+(4-3)+(2-1)=1+1+1+1+1=5
第19讲??格点与割补 内容概述 明确格点多边形的概念，学会通过分割和添补的方法计算其面积；学会利用割补法计算不规则图形的面积;掌握格点多边形的面积计算公式. 典型问题 兴趣篇 1.图１9-ｌ中相邻两格点问的距离均为1厘米．三个多边形的面积分别是多少平方厘米? 答案：4平方厘米２平方厘米8平方厘米 【分析】方法:正方形格点阵中多边形面积公式:（N+L 2 -1)×单位正方形 面积,其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数． 有N＝0，L＝１0,则用粗线围成图形的面积为:(0+1０÷2－1)×１=４（平方厘米) 有Ｎ＝0，Ｌ=10,则用粗线围成图形的面积为:（1＋4÷2-１)×1=2(平方厘米） 有N=5,L=8,则用粗线围成图形的面积为:(5+8÷２－1)×１=8(平方厘米) 2．图１９－2中相邻两格点问的距离均为l厘米．三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米? 答案：5平方厘米5平方厘米0.５平方厘米 【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式:(N+L 2 －1）×单位正方 形面积，其中N为图形内格点数，Ｌ为图形周界上格点数. 有Ｎ=4,L=4,则用粗线围成图形的面积为：（4+４÷２-1)×1=５(平方厘米) 有Ｎ=4,L=4，则用粗线围成图形的面积为:(4+4÷２－1)×1=５(平方厘米）有N=０,L=3，则用粗线围成图形的面积为:（0+3÷2－１）×１=0.５(平方厘米) 3．图１9-3中每个小正方形的面积均为２平方厘米.阴影多边形的面积是多少平方厘米?
答案:19平方厘米 【分析】方法:交点组成了正方形格点,正方形格点阵中多边形面积公式: （N+L 2 -１)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数. 有N=7，L=１7,则用粗线围成图形的面积为：(7+7÷2-1)×2＝19(平方厘米) 4．图1９-４是一个三角形点阵,其中能连出的最小的等边三角形的面积为ｌ平方厘米.三个多边形的面积分别为多少平方厘米? 答案:6平方厘米６平方厘米14平方厘米 【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：（2N+L－２)x单位正三角形面积,其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数． 有N=0,L=８,所以用粗线围成的图形的面积为:(０×2+８-2)×１=6(平方厘米). 有Ｎ＝２，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(2×2+4-2)×1＝6(平方厘米）. 有N=４，L=7,所以用粗线围成的图形的面积为：（4×2+7－2）×1＝１4(平方厘米).５．如图19-５所示,如果每个小等边三角形的面积都是１平方厘米．四边形ABCD和三角形EFＧ的面积分别是多少平方厘米? 答案：20平方厘米10平方厘米 【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式:（2N＋Ｌ-２)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数． 有N＝9,L=4,所以用粗线围成的图形的面积为：（９×2+4-2)×1=２0(平方厘米)． 有N＝4,L=4，所以用粗线围成的图形的面积为:（4×2+4-2）×1=1０(平方厘米）． ６．图１９－6中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积.（单位：厘米)
小学三年级速算与巧算奥数练习题 奥数对学生起到的并不仅仅是数学方面的作用，通常比普通数学要深奥些，快来做做奥数题来锻炼自己吧!下面是为大家收集到的三年级速算与巧算奥数练习题，供大家参考。 计算时间：正确率： (1)146000÷125=(2)211211÷211=(3)7500÷25÷4= (4)264264÷7÷11÷13=(5)(130+65)÷13= (6)798÷125+202÷125=(7)432÷(8×9)= (8)21×15÷5=(9)(54×24)÷(9×4)= (10)(2×3×5×7×11×13×17×19)÷(38×51×65×77)=(11)1÷(2÷3)÷(3÷4)÷(4÷5)÷(5÷6)= (12)(110+77+88+99)÷11= 参考答案 (1)146000÷125(2)211211÷211 (3)7500÷25÷4 =146×1000÷125 =211×1001÷211 =7500÷(25×4)=146×8 =1001 =7500÷100 =1168 =75 (4)264264÷7÷11÷13 (5)(130+65)÷13 =264×1001÷(7×11×13) =130÷13+65÷13 =264×1001÷1001 =10+5 =264 =15 (6)798÷125+202÷125(7)432÷(8×9) =(798+202)÷125 =432÷8÷9 =1000÷125 =54÷9
=8 =6 (8)21×15÷5 (9)(54×24)÷(9×4) =21×3 =54×24÷9÷4 =63 =54÷9×24÷4 =6×6 =36 (10)(2×3×5×7×11×13×17×19)÷(38×51×65×77)=(2×19÷38)×(3×17÷51)×(5×13÷65)×(7×11÷77)=1 (11)1÷(2÷3)÷(3÷4)÷(4÷5)÷(5÷6) =1÷2×3÷3×4÷4×5÷×6 =1÷2×6 =3 (12)(110+77+88+99)÷11 =110÷11+77÷11+88÷11+99÷11 =10+7+8+9 =34
四年级奥数举一反三第二十一周速算 与巧算（二） 专题简析； 乘、除法的巧算方法主要是利用乘、除法的运算定律和运算性质以及积、商的变化规律，通过对算式适当变形，将其中的数转化成整十、整百、整千…的数，或者使这道题计算中的一些数变得易于口算，从而使计算简便。
例1；计算325÷25 分析与解答；在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。利用这一性质，可以使这道计算题简便。 325÷25 =（325×4）÷（25×4） =1300÷100 =13 练习一 计算下面各题。 1，450÷25 2，525÷25 3，3500÷125 4，10000÷625 5，49500÷900 6，9000÷225
例2；计算25×125×4×8 分析与解答；经过仔细观察可以发现；在这道连乘算式中，如果先把25与4相乘，可以得到100；同时把125与8相乘，可以得到1000；再把100与1000相乘就简便了。这就启发我们运用乘法交换律和结合律使计算简便。 25×125×4×8 =（25×4）×（125×8） =100×1000 =100000 练习二 计算下面各题。 125×15×8×4 25×24 25×5×64×125 125×25×32 75×16 125×16
例3；计算（1）（360+108）÷36 （2）（450－75）÷15 分析与解答；两个数的和（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数，再求出两个商的和（或差）。利用这一性质，可以使这道题计算简便。 （1）（360+108）÷36 （2）（450－75）÷15 =360÷36+108÷36 =450÷15－75÷15 =10+3 =30－5 =13 =25 练习三 计算下面各题。 1．（720+96）÷24 2．（4500－90）÷45 3．6342÷21 4．8811÷89 5．73÷36+105÷36+146÷36 6．（10000－1000－100－10）÷10
速算与巧算 １、填空。 a×b×c=a×( ×) a×(b＋c)= ×＋× a÷b÷c=a÷( ×) a－b－c=a－( ＋) ２、在下面的里填上适当的运算符号，里填上适当的数。 93×47=47 427＋99＝427100 653－98＝653100 25×19×4＝() ×19 62×45＋38×45＝() 45 48÷5÷4＝480() 398－45－155＝398() １、计算。 ⑴946－(246＋65) ⑵378－144＋222－56 ２、计算。 ⑴67×99 ⑵67×99＋99 ⑶85×101 ⑷85×101－85 ⑸57×63－57＋38×57 ⑹44×56＋22×88
⑺125×32×25 ⑻25×44 ⑼7800÷25÷4 通过本次学习，我觉得在进行简便运算时，要注意凑整，运用运算定律和性质，从简单的想起，找规律，还有 。 第一部分必做题 １、(☆)直接写得数。 15×8＝25×8＝ 463－98＝3×8×125＝ 25×13×4＝310－101＝ 324＋157＋676＝158－72－28＝ 376－(176＋150)＝874－125＋126－375＝ 73×19＋27×19＝51×121－51×21＝ 480÷(8×4)＝270÷18＝ ２、(☆)在□里填上合适的数，使计算简便。 457－63－137××25 826＋－727000÷15÷
３、计算。 ⑴(☆)378－144＋222－56⑵(☆)1308－（308＋149）⑶(☆)863＋(245＋137) ⑷(☆☆)726－(391－174) ４、计算。 ⑴(☆)77×99 ⑵(☆)53×101 ⑶(☆)93×49＋93 ⑷(☆)87×201－87 ⑸(☆)125×56 ⑹(☆)88×125 ⑺(☆☆)13×25－25 ⑻(☆)98000÷125÷8 ⑼(☆)25×32×125 ⑽(☆)7200÷15÷6 ⑾(☆)4500÷25÷4 ⑿(☆)5000÷125÷8 ⒀(☆)5400÷45 ⒁(☆)4200÷28
四则混合运算的巧算 【基础再现】 四则混合运算要算得好、算得巧，既合理又灵活，就要掌握一定的方法技巧： 当四则混合运算中有括号时，运算顺序是“先算括号内的，后算括号外的；先乘除，后加减”。在具体计算过程中，我们还应该注意根据算式中运算符号及数字的特征，运用运算定律、性质以使运算简捷。 【重难考点】 掌握四则混合运算的运算法则 【知识扩展】 1、加减法运算的性质 ①a+b-c=a-c+b ②a+（b-c）=a+b-c ③a-b-c=a-c-b ④a-(b+c)=a-b-c ⑤a-(b-c)=a-b+c=a+c-b 2、乘除法运算的性质 ①a÷b÷c=a÷c÷b=a÷（b×c） ②a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a ③（a×b）÷c=a÷c×b=b÷c×a） ④a×（b÷c）=a×b÷c ⑤a÷（b÷c）=a÷b×c=a×c÷b ⑥a÷b=（a×n）÷（b×n）=(a÷n）÷（b÷n）（n≠0） 3、乘除分配的性质 ①（a-b）×c=a×c-b×c ②（a+b）÷c=a÷c+b÷c （a-b）÷c=a÷c-b÷c 【典型例题】 例一、计算。 1、843+78-43 2、843-86+157 例二、计算下列各题。 1、25×96×125 2、75000÷125÷5
3、81+791×9 4、53×50+50×47 5、395×27+395×72+395 例三、计算下列各题。 1、（56+64）÷8 2、105÷72+456÷72+447÷72 3、（150-45）÷15 4、2280÷34-648÷34+476÷34 例四、计算下列各题。 1、32+64+128+256 2、1+2+3+......+98+99+100 3、125×24 4、68×101 5、1001×374 6、210÷6÷5 【即时训练】 ×× 2、48×29+13×16 3、（9999+8100）÷9-111 4、1999×× 5、85000÷125÷8 2、48×29+13×16 3、（9999+8100）÷9-111 4、1999×× 5、999×778+333×666 6、265×480+7350×48
第19讲格点与割补 内容概述 明确格点多边形的概念，学会通过分割和添补的方法计算其面积；学会利用割补法计算不规则图形的面积；掌握格点多边形的面积计算公式. 典型问题 兴趣篇 1．图19-l中相邻两格点问的距离均为1厘米．三个多边形的面积分别是多少平方厘米? 2．图19-2中相邻两格点问的距离均为l厘米．三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米? 3．图19-3中每个小正方形的面积均为2平方厘米．阴影多边形的面积是多少平方厘米? 4．图19-4是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为l平方厘米．三个多边形的面积分别为多少平方厘米? 5．如图19-5所示，如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米．四边形ABCD和三角形EFG的面积分别是多少平方厘米? 6．图19-6中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积．(单位：厘米)
7．如图19-7所示，在正方形ABCD内部有一个长方形．EFGH．已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米．求长方形EFGH的面积． 8．如图19-8所示，四边形ABCD是长方形，长AD等于7厘米，宽AB等于5厘米，四边形CDEF是平行四边形．如果BH的长是3厘米，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米? 9．如图19-9所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连．请问：图中 阴影部分的面积总和等于多少平方厘米? 10．在图19-10中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积． 拓展篇 1. 图19-11中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为l平方厘米．这三个多边形的面积分别是多少平方厘米?
四年级剑桥奥数暑假班速算与巧算 速算与巧算 计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。 我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。 例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下： 86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。 求这10名同学的总分。 分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下： 6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。于是得到 总和=80×10＋（6-2-3＋3-11）＝800＋9＝809。 实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。为了清楚起见，将这一过程表示如下： 通过口算，得到差数累加为9，再加上80×10，就可口算出结果为809。 例1所用的方法叫做加法的基准数法。这种方法适用于加数较多，而且所有的加数相差不大的情况。作为“基准”的数（如例1的80）叫做基准数，各数与基准数的差的和叫做累计差。由例1得到： 总和数=基准数×加数的个数+累计差，平均数=基准数+累计差÷加数的个数。 在使用基准数法时，应选取与各数的差较小的数作为基准数，这样才容易计算累计差。同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百的数。 例2 某农场有10块麦田，每块的产量如下（单位：千克）： 462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均每块麦田的产量。 解：选基准数为450，则 累计差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11＝50， 平均每块产量=450＋50÷10＝455（千克）。 答：平均每块麦田的产量为455千克。 求一位数的平方，在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知，如7×7＝49（七七四十九）。对于两位数的平方，大多数同学只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。有没有什么窍门，能够迅速算出两位数的平方呢？这里向同学们介绍一种方法——凑整补零法。所谓凑整补零法，就是用所求数与最接近的整十数的差，通过移多补少，将所求数转化成一个整十数乘以另一数，再加上零头的平方数。下面通过例题来说明这一方法。 例3 求292和822的值。解：292=29×29＝（29＋1）×（29-1）＋12＝30×28＋1＝840+1＝841。 822＝82×82＝（82－2）×（82＋2）＋22＝80×84＋4＝6720+4＝6724。 由上例看出，因为29比30少1，所以给29“补”1，这叫“补少”；因为82比80多2，所以从82中“移走”2，这叫“移多”。因为是两个相同数相乘，所以对其中一个数“移多补少”后，还需要在另一个数上“找齐”。本例中，给
速算与巧算（一） 知识点梳理 一、加法的运算规律及法则 （1）加法交换率 两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。即：a+b=b+a （2）加法结合率 三个数相加，先把前两个数相加再上第三个数，或者先把后两 数相加再加上第一个数，它们的和不变。即：(a+b)+c=a+(b+c) （3）去括号和添括号的法则（重难点） 在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“＋”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是“-”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都要改变，“+”变“-”，“-”变“+”。 即：a＋（b＋c＋d）＝a＋b＋c＋d a-（b＋a＋d）＝a-b-c-d a-（b-c）＝a-b+c 二、乘除法的运算定律积运算性质： （1）乘法交换律 两个乘数交换位置，积不变。 用字母表示是：a×b＝。 （2）乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不 用字母表示是：（a×b）×c＝。 （3）乘法分配律： a×（b+c）＝。（重难点） 注意：四则混合运算法则：先算括号，再乘除后加减，同级间依次计算 加法中的巧算 1.什么叫“补数”？
两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。 如：1+9=10，3+7=10，2+8=10，4+6=10，5+5=10。 又如：11+89=100，33＋67=100，22+78=100，44+56=100，55+45=100， 在上面算式中，1叫9的“补数”；89叫11的“补数”，11也叫89的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。 对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢？一般来说，可以这样“凑”数：从最高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。 如：87655→12345，46802→53198，87362→12638，… 下面讲利用“补数”巧算加法，通常称为“凑整法”。 1、互补数先加。 例1巧算下面各题： ①36+87+64②99+136＋101 ③ 1361＋972＋639＋28 解：①式=（36＋64）＋87 =100＋87=187 ②式= ③式= 2、拆出补数来先加 例2 ①188＋873 ②548＋996 ③9898＋203 解：①式=（188+12）+（873-12）（熟练之后，此步可略） ＝200+861=1061 ②式= ③式=
格点与面积 知识要点： 毕克定理：格点多边形面积=图内格点个数+周界格点数÷2-1 （1）正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形. 正方形格点问题：多边形面积=边÷2＋内－1 （2）所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形. 三角形格点问题：多边形面积=（边÷2＋内－1）×2 三角形格点问题 所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形． 关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S表示面积，N表示图形内包含的格点数，L表示图形周界上的格点数，那么有22 =?+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点 S N L 数的2倍与周界上格点数的和减去2． 例1：计算下列各图的面积。
总结：面积= (注：内部点，外部点关系)（毕克定理） 例2：判断下列图形哪些是格点多边形？ 例3：如图，计算各个格点多边形的面积． ⑴ ⑵ ⑶
例4：求下列各个格点多边形的面积． 例5：我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？ 例6：右图是一个812 面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．例7：右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？ ⑵ ⑴⑷ ⑶ H G F E D C A
例8：求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)． 例9：右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形, 试计算ABC 的面积. 例10：右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角 形,试计算四边形DEFG 的面积. ⑴ ⑵ ⑶
四年级奥数专题：速算与巧算 【试题1】计算9＋99＋999＋9999＋99999 【试题2】计算199999＋19999＋1999＋199＋19 【试题3】计算(2+4+6+…+996+998+1000)－－(1+3+5+…+995+997+999)【试题4】计算9999×2222＋3333×3334 【试题5】56×3+56×27+56×96-56×57+56 【试题6】计算98766×98768－98765×98769
四年级奥数专题：速算与巧算答案 【解析1】在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法。例如将999化成1000—1去计算。这是小学数学中常用的一种技巧。 9＋99＋999＋9999＋99999 ＝(10－1)＋(100-1)＋(1000－1)＋(10000-1)＋(100000-1) ＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5 ＝111110-5 ＝111105 【解析2】此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法。不过这里是加1凑整。(如199＋1＝200) 199999＋19999＋1999＋199＋19 ＝(19999＋1)＋(19999＋1)＋(1999＋1)＋(199＋1)＋(19＋1)－5 ＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5 ＝222220-5 ＝22225 【分析3】：题目要求的是从2到1000的偶数之和减去从1到999的奇数之和的差，如果按照常规的运算法则去求解，需要计算两个等差数列之和，比较麻烦。但是观察两个扩号内的对应项，可以发现2－1=4－3=6－5=…1000－999=1，因此可以对算式进行分组运算。解：解法一、分组法 (2+4+6+…+996+998+1000)－(1+3+5+…+995+997+999) =(2－1)+(4－3)+(6－5)+…+(996－995)+(998－997)+(1000－999) =1+1+1+…+1+1+1(500个1) =500 解法二、等差数列求和 (2+4+6+…+996+998+1000)－(1+3+5+…+995+997+999) =(2+1000)×500÷2－(1+999)×500÷2 =1002×250－1000×250 =(1002－1000)×250 =500 【分析4】此题如果直接乘，数字较大，容易出错。如果将9999变为3333×3，规律就出现了。 9999×2222＋3333×3334 ＝3333×3×2222＋3333×3334 ＝3333×6666＋3333×3334
速算与巧算 一、寓言小故事：朝三暮四 从前，宋国有一个老人，他在家中养了许多猴子。老人每天都会给每只猴子八颗栗子，早 晚各四颗。后来，猴子越来越多，老人也越来越穷，所以他想每天只给猴子七颗栗子， 于是他就和猴子们商量：“从今天开始，我每天早上给你们四颗粟子，晚上给你们三颗 栗子，行不行？” 猴子们想了一想，晚上怎么少了一颗呢？于是大叫起来，非常不 愿意。老人一看，连忙说：“那么我早上给你们三颗，晚上再给你们四颗，可以了吧？” 猴子们听了，以为晚上的栗子已经由三个变成四个，跟以前一样，就高兴地同意了。老人也偷着乐了！ 计算：3+4=4+3= 操场上28 个男生在跳绳，17 个女生在跳绳，问：操场上一 共有多少人在跳绳？ 计算：28+17= 17+28= 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，他们的和不变，这叫加法交换律。 用字母表示：a+b=b+a; 推广：多个数相加，任意改变加数的顺序，它们的和不变。 例如：1+2+3+4=1+3+2+4=…… 身边的数学问题： 操场上28 个男生在跳绳，17 个女生在跳绳，23 个女生在踢毽子。 问：（1）参加跳绳的有多少人？ （2）参加活动的有多少人？ （3）参加活动的女生有多少人？ （4）参加跳绳和踢毽子的一共有多少人？ 从以上的计算结果我们可以得到一个等式： 先计算，再比较大小： 1、（13+28）+1213+（28+12） 2、（16+17）+1316+（17+13） 根据以上的例子，你能发现在加法运算中，有什么规律吗？ 加法结合律：三个数相加，先把前面两个数相加，再加上第三个数，或者先把后两个数相加，再和
用字母表示：(a+b)+c=a+(b+c) 说明：一般地，多个数相加（三个数以上），可以先对其中几个数相加，再与其它几个数相加。 把加法交换律与加法结合律综合起来应用，就能得到加法的一些巧算方法。 1、凑整法： 在进行加减法运算时，先把加在一起为整十、整百、整千……的数加起来，然后再与其它的 数相加，这样计算比较方便。补数：如果两个数的和正好凑成整十、整百、整千……的数，那么这两个数互为补数。如 48+52=100，其中52 和48 互为补数。互为补数的两个数，我们称为“好朋友” 填空： （1）在括号内写出下列个数凑成“10”的补数： 123456789 （）（）（）（）（）（）（）（）（） （2）在括号内写出下列个数凑成“100”的补数： 12233546576879 （）（）（）（）（）（）（） 总结：通过上面的例子我们可以发现，两个能凑成“100”的补数，它们的个位相加等于，他们的十位相加等于_. （2）在括号内写出下列个数凑成“1000”的补数： 312423535 6 41758869 （）（）（）（）（）（） 总结：通过上面的例子我们可以发现，两个能凑成“1000”的补数，它们的个位相加等于，他们的十位相加等于，百位相加等于 例题1、 计算：（1）24+44+56 （2）53+36+47 （3）991+119+9+881 说明：做题之前，要先观察式子的特点，找到能凑成整数的好朋友，先加起来。 计算： （1）18+28+72（2）87+15+13
六年级奥数速算与巧算 训练A卷 1．直接写出得数。 (1) 8240÷5＝ (2) 21300÷25＝ (3) 72000÷125＝ (4) 36024×125= (5) 3724×11= (6) 387×101= (7) 5432×15= (8) 37×48×625= (9) 564-（387-136）= (10)（72＋63）÷9= 2.用简便方法计算下列各题。 (1) 372÷162×54 (2) 132×288÷(24×11) (3) 616÷36×18÷22 (4) 14×44×104 (5) 8100÷5÷90×15 (6) 7777×3333÷1111 (7)(4＋7+……+25＋28)-(2＋5＋……+23+26) (8)199+1999＋19999+ 199999 3．一个数扩大 5倍后，再减去6得39。那么这个数减去6后，再扩大 5倍，结果是多少？
4．两个数的和是572，其中一个加数个位上的数是0，去掉0，就与第二个加数相同。这两个加数各是多少？ 5．小强在计算“25-△×3”时，按从左向右依次计算，算出的结果与正确答案相差多少？ 6．小林在计算有余数的除法时，把被除数171错写成117，结果商比原来小3，但余数恰好相同。这道题的除数是多少？余数应该是几？ 7．有一群鸡和兔，腿的总数比头的总数的2倍多18只，兔有几只？ 8．如果被乘数增加15，乘数不变，积就增加18O；如果被乘数不变，乘数增加4，那么积就增加120。原来两个数相乘的积是多少？ 9．编一本695页的故事书的页码，一共要用多少个数字？其中数字“5”用去了几个？ 10．编一本辞典一共用去了6889个数字，这本辞典共有几页？
第19讲格点与割补 兴趣篇 1、图中相邻两个点间的距离均为1厘米。三个多边形的面积分别是多少平方厘米？ 2、图中相邻两格点间的距离均为1厘米。三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？ 3、图中每个小正方形的面积均为2平方厘米。阴影多边形的面积是多少平方厘米？
4、图是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为1平方厘米。三个多边 形的面积分别为多少平方厘米？ 5、如图所示，如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米。四边形ABCD和三角形EFG 的面积分别是多少平方厘米？ 6、图中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积。（单位：厘米）
7、如图所示，在正方形ABCD内部有一个长方形EFGH。已知正方形ABCD的边长是6厘 米，图中线段AE AH 、都等于2厘米。求长方形EFGH的面积。 8、如图所示，四边形ABCD是正方形，长AD等于7厘米，宽AB等于5厘米，四边形CDEF 是平行四边形。如果BH的长是3厘米，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米？
9、如图所示，大正方形的边长为10厘米。连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将 小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连。请问：图中阴影的面积总和等于多少平方厘米？ 10、在图中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积。 拓展篇 1、图中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为1平方厘米。这三个多边形的面 积分别是多少平方厘米？
2、（1）图1中每个小正方形的面积是2平方厘米。阴影部分面积是多少平方厘米？ （2）图2中每个小正三角形的面积是4平方厘米。阴影部分面积是多少平方厘米？ 3、图中每个小正方形的边长是1厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米？ 4、如图1和图2，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点。 已知图1中阴影部分的面积是394平方分米。请问：图2中的阴影部分面积是多少平方分米？
一、加法中的巧算 1.什么叫“补数”？ 两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。 如：1+9=10，3+7=10， 2+8=10，4+6=10， 5+5=10。 又如：11+89=100，33＋67=100， 22+78=100，44+56=100， 55+45=100， 在上面算式中，1叫9的“补数”；89叫11的“补数”，11也叫89的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。 对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢？一般来说，可以这样“凑”数：从最高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。 如：87655→12345，46802→53198， 87362→12638，… 下面讲利用“补数”巧算加法，通常称为“凑整法”。 2.互补数先加。 例1 巧算下面各题： ①36+87+64②99+136＋101 ③ 1361＋972＋639＋28 解：①式=（36＋64）＋87 =100＋87=187
②式=（99＋101）＋136 =200+136=336 ③式=（1361＋639）＋（972＋28） =2000+1000=3000 3.拆出补数来先加。 例2 ①188＋873 ②548＋996 ③9898＋203 解：①式=（188+12）+（873-12）（熟练之后，此步可略）＝200+861=1061 ②式=（548-4）＋（996＋4） =544+1000=1544 ③式=（9898＋102）＋（203-102） =10000+101=10101 4.竖式运算中互补数先加。 如： 二、减法中的巧算 1.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。例3① 300-73-27 ② 1000-90-80-20-10
第 19 讲 格点与割补 内容概述 明确格点多边形的概念， 学会通过分割和添补的方法计算其面积； 学会利用割补法计算不规 则图形的面积；掌握格点多边形的面积计算公式 . 典型问题 兴趣篇 4．图 19-4 是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为 多边形的面积分别为多少平方厘米 ? 6．图 19-6 中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积． 1．图 19-l 中相邻两格点问的距离均为 1 厘米．三个多边形的面积分别是多少平方厘米 2．图 19-2 中相邻两格点问的距离均为 l 厘米．三个阴影图形的面积分别是多少 平方厘米 3．图 19-3 中每个小正方形的面积均为 2 平方厘米． 阴影多边形的面积是多少平方厘米 5．如图 19-5 所示，如果每个小等边三角形的面积都是 形 EFG 的面积分别是多少平方厘米 ? 1 平方厘米．四边形 ABCD （单位：厘米 ） l 平方厘和三
7．如图 19-7 所示，在正方形 ABCD 内部有一个长方形．是 6 厘米，图中线段 AE、AH 都等于 2 厘米．求长方形 EFGH ．已知正方形 ABCD 的边长 EFGH 的面 积． 8．如图 19-8 所示，四边形 ABCD 是长方形，长 AD 等于 7 厘米，宽 AB 等于 5 厘米，四边 形 CDEF 是平行四边 形．如果 9．如图 19-9 所示，大正方形的边长为 10 厘米．连接大正方形的各边中点得 到一个小正方 形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连．请问：阴影部分的面积总和等于多少平方厘米 ? 图中 10．在图 19-10 中，五个小正方形的边长都是2 厘米，求三角形 拓展 篇 1. 图 19-11 中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为 的面积分别是多少平方 厘米