浅谈初中数学习题变式训练
东营市利津县陈庄镇中学闫如明
数学教学的最根本目的是培养学生能够独立思考问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新意识以及创造性的逻辑思维方式。数学教学不局限于一个狭隘的课本知识领域里，理解课本的内容知识不是教学的最终目的，更重要的是让学生在学习中如何运用课本知识，通过课本例题起到“窥一斑知全貌”“举一例能反三”的教学效果；因此调动学生学习的积极性和主动性，组织学生善于发挥自己的主观意识，学会独立自主的去探究和研究数学科学领域，是数学教师的首要任务，这就要求每位数学教师要善于去领会和研究课本例题和习题，设计出好的例题变式题。
翻阅历年的中考试卷可以发现，历年的中考试题都源于课本，都是课本习题的变式，那如何进行课本习题的变式教学？这是我们每一个数学教师必须认真思考的问题。我觉得教师所选用的习题应“源于课本”，然后对它进行变式，并紧扣考试说明，“以考为纲”，使它“高于课本”。这就要求教师们要善于利用变式教学，使数学教学“变教为诱，变学为思”。
一、变式教学在数学教学中所起的作用有如下几个方面：
1.帮助克服思维定势消极影响，培养思维的科学性。
思维定势心理学解释为是先于一定活动并指向一定活动的一种动力准备状态。它表现为在认识活动的方向选择上带有“经验型”的倾向性。其消极方面是受制于先前某种经验影响，生搬硬套、因循守旧，形成思维的惰性，对知识掌握产生一种负迁移的不良作用。例如学生在学习不等式a>b，c>d，a+c>b+d的性质后学生容易产生a>b，c>d，a-c>b-d的错误认识。在教学中讲解了正确推理a>b，c>d，a-c>b-d后，再通过语言变式把这一推理解释为“大数少减就一定大于小数多减”，学生就能真正体会推理的含义，消除负迁移形成的错误认识。因此，数学教学中如能够适当地运用变式教学，对防止此类不良定式的产生，克服思维定式的消极作用，使学生养成科学的思维习惯是十分有用的。
2.有利于培养发散和概括能力，提高思维的变通性。
变式教学在转换事物非本质特征的时候呈现了事物表象的多样性，使得我们可以动态地认识事物许多的鲜明特征，有助于拓展思维的宽度，培养思维的发散能力。但是变式教学的最终目的是为了突出事物本质的特征，舍弃问题的非本质因素，把复杂问题转换成简单问题，最后通过概括使认识达到新的高度。
3、丰富学生的感性经验，提高学生对知识理解的准确性。
理解是指个体运用已有知识经验去认识未知事物的联系关系，直至揭露其本质和规律的一种思维活动。它通过教材的直观和概括两个认识环节实现，在直观这一环节上，直观对象变式对直观效果有着重要的影响。数学教学中运用图像变式、语言变式等手段适当变更对象非本质因素，这对抓住本质要素进行准确的概括是十分重要的。如讲“角”的定义，若仅列举锐角、直角、钝角情形，学生就有可能形成角就是两条直线的交叉的错误认识。若把平角、周角展示给学生，这就能使学生准确理解到“从一点出发的两条射线组成图形”的真正含义。
4.排除非本质因素影响，培养思维的深刻性。
思维的深刻性是教学中追求的目标之一，在掌握知识的应用阶段尤为明显。要不被千变万化的表象所迷惑，抓住本质的东西，变式教学是一种可以运用于教学的有效办法。通过利用练习变式训练学生的思维，使学生在多变的问题中受到磨练，举一反三，加深理解。
变式教学作为教学的方法之一，在实际工作中有重要作用，这是应该肯定的，那如何对习题进行变式教学呢？习题变式教学应遵守哪些原则呢？
二、习题变式训练应遵守以下3个原则：
1.针对性原则
习题变式教学，不同于习题课的教学，它贯穿于新授课、习题课和复习课，与新授课、习题课和复习课并存，一般情况下不单独成课。因此对于不同的授课，对习题的变式也应不同。例如：新授课的习题变式应服务于本节课的教学目的；习题课的习题变式应以本章节内容为主，适当渗透一些数学思想和数学方法。复习课的习题变式不但要渗透数学思想和数学方法还要进行纵向与横向的联系，同时变式习题要紧扣考纲。在习题变式教学时，要根据教学目标和学生的学习现状，切忌随意性和盲目性。
2.可行性原则
选择课本习题进行变式，不要“变”得过于简单，过于简单的变式题，会让学生认为是简单的“重复劳动”，影响学生思维的质量；难度“变”大的变式习题易挫伤学生的学习积极性，使学生难以获得成功的喜悦，长此以往，将使学生丧失信心，因此，在选择课本习题变式时，要变的有“度”。
3.参与性原则
在习题变式教学中，教师要让学生主动参与，不要总是教师“变”，学生“练”。要鼓励学生大胆的“变”，培养学生的创新意识和创新精神。
三、实施“变式”教学三步曲
1.课前预习，强化自学
例题的变式教学，预习是必不可少的重要环节，是提出疑问、独立思考、提高分析和解决问题能力的环节；让学生带着疑问学习，是要求预习的根本目的，通过对新课的全面预习，提高了学生的自觉能力和实践能力，促进课堂效益，为例题变式教学的实施起着不可忽视的作用；因此，教师必须重视学生的预习，做好预习笔记，正确引导学生课前预习，“巧立名目”，精心设疑，让不同层次的学生在“山穷水疑无路”的时候，忽然“柳暗花明又一村”，激发学生的学习兴趣。
2.课堂初试牛刀
课堂教学是学生得以“解惑”的主渠道，是教师与学生进行沟通、传播知识的重要途径，是例题变式教学的关键；学生经历了预习，新课内容已胸有成竹，教师在教学中起好主导的作用，循循善诱，引导学生在错综复杂的数量关系，千头万绪的理论辨证中寻觅，总结科学的解题经验。
3.练习变式，借题发挥：
例题毕竟有限，要进一步提高“变”的魅力，练习题正是学生用武之地，练习变式是例题变式教学的最后环节。将练习题自由演变，一题多变，借题发挥，提升学生的思维能力和解题能力，巩固记忆，完善自我的应变能力、应试技巧。使整节课前后贯通，紧密相连，形成一个知识网络体系。
四、结束语：
变式教学是对数学中的问题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，以暴露问题的本质特征，揭示不同知识点的内在联系的一种教学设计方法。通过变式教学，使一题多解，多题重组，常给人以新鲜感，能唤起学生的好奇心和求知欲，因而能产生主动参与的动力，保持其参与教学过程的兴趣和热情。若能重视对课本习题进行变式训练，不但可以抓好双基，便于搞清问题的内涵和外延，而且还可以提高数学能力。总之，在课堂教学中，通过变式教学引导学生通过多侧面、多角度、多渠道的思考问题，让学生多探讨、多争论，能有效的训练学生思维的完整性、深刻性和创造性，大大的激发学生的兴趣，从而培养学生的创新能力。我们应在理论和实践中努力的探索，勇于进取，努力使变式教学不断走向深入，走向成功。
初中数学中的几道变式训练题一、已知：点O是等边△ABC内一点, OA=4，OB=5，OC=3 求∠AOC的度数。 变式1：在△ABC中，AB=AC，∠ OA=4，OB=6，OC=2 求∠AOC的度数。 变式2：如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°, ∠BOC=135°试问:(1)以OA、OB、OC为边能否构成一个三角形?若能,请求出三角形各内角的度数;若不能,请说明理由. (2)如果∠AOB的大小保持不变,那么当∠BOC等于多少度时, 以OA、 OB、OC为边的三角形是一个直角三角形? 二、已知：C为AB上一点，△ACM和△CBN为等边三角形（如图所示） 求证：AN=BM A B C O A C A B C O
（分析：如对此题多做一些引申，既可以培养学生的探索能力，又可培养学生的创新素质） 探索一：设CM 、CN 分别交AN 、BM 于P 、Q ，AN 、BM 交于点R 。问此题中还有其他的边相等以及特殊角、特殊图形吗？给予证明。 探索二：△ACM 和△BCN 如在AB 两旁，其它条件不变，AN=BM 成立吗？ 探索三：△ACM 和△BCN 分别为以AC 、BC 为底且顶角相等的等腰三角形，其它条件不变，AN=BM 成立吗？ 探索四：A 、B 、C 三点不在一条直线上时，其它条件不变，AN=BM 成立吗？ 三、轴对称：已知直线l 及同侧两点A 、B ，试在直线l 上选一点C ，使点C 到点A 、B 的距离和最小。 变式1：如图，请你设计出两种方案的路线和最短的行走路线（画图 并说明理由） 方案1：小华由家先去河边，再去姥姥家； M A C B B A l
初中数学教学中变式训练的实践与思考的研究 课题总结报告 初中数学教学中变式训练的实践与思考的研究课题总结报告 一、本课题研究的背景与课题的提出背景 1、对当前教育形式和“变式教育”的认识新课程标准提出：“教育应该面向全体学生，让每个孩子都成为对社会有用的人才”。所以现代教育过程中根据学生个性差异因材施教，促进学生个性发展，尊重学生个性的独创性教育显得分重要。教育者要为每一位学生提供同样的学习机会，也要帮助每一位学生充分发展。究其核心就是要尊重学生个性差异，运用各种方法、创造各种条件引导学生主动探究和创造学习。“有效的数学学习活动不能单纯地模仿和记忆”，“学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程”。数学教学是需要在学生形成初步知识和技能后加以应用的实践训练，即解题。以其来加深和巩固已获知识，那么怎样的问题训练可以既帮助学生提高数学素质和数学能力，而又不重蹈“题海”呢？“变式教学”是很好的载体，符合时代的要求。 有效教学追求的是学生对知识的内化，能够把所学的知识积极转化为自己的知识结构的一部分，数学课堂的“变式教学”，既让学生理解数学知识、数学思想与数学方法，又能深刻体会数
学思想的核心作用，提高数学能力。“变式教学”围绕一两道数学问题中所需反映的数学实质进行一系列的问题变化，使学生得以掌握与提高，是培养学生举一反 三、灵活转换、独立思考能力，从而减轻学生学业负担，培养创新能力的有益途径之一。 2、对教学现状的考虑从初中数学现状来看，“教师教，学生学；教师讲，学生听”仍是主导模式，基本上是“狂轰乱炸”的“题海”战术“淹没”了生动活泼的数学思维过程，这种“重复低效”的数学课堂教学，使相当一部分学生“丧失”了数学学习的兴趣。思维变的狭窄，对所学知识往往只注重数学表象，而忽视了数学知识的核心数学思想。这些促使我们思考：实施怎样的数学课堂教学，既能让学生理解数学知识、数学思想与数学方法，又能深刻体会数学思想的核心作用，提高数学能力呢？ 课题的提出针对以上背景，也为了进一步提高我校数学教师的整体教学水平，为进一步适应时代的要求，着眼学生的终身学习，着眼学生的发展，让学生积极主动地参与学习活动，在主动参与的过程中掌握学习的方法与技能，进一步提高学生数学的综合素养，自xx年3月我们小组开始承担了区教研室的教研课题《数学教学中变式训练的实践与思考的研究》这项工作以来，组内全体成员以饱满的热情、高度的社会责任感和使命感，井然有序地围绕这一研究课题展开工作。
初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 轴 对 称 最 值 图形 l P B A N M l B A A P B l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直 线，P为直线l上的一 个动点，求AP+BP的 最小值 A，B为定点，l为定直线， MN为直线l上的一条动线 段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动 点，求|AP-BP|的最大值转化 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N 重合，然后作其中一个定 点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 折 叠 最 值 图形 B' N M C A B 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折， B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为． 【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD ∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．
课题名称：初中数学概念的变式教学研究阶段报告 研究内容：初三阶段数学概念的变式教学研究 关键词：数学概念变式教学 一、问题提出： （一）问题提出的背景： 十年来，我一直担任初中数学的教学工作，也做了很多全国各地中考题和辅导书上的练习题，慢慢发现很多题实际上考查的知识点都是同一个内容，只是题目的立意，创设的情景不同而已。在平时的教学中，我们认为学生已经很熟知的知识，但只要对问题的背景或情景做一些改变，学生就做不出来了。现在社会需要的是创新人才，需要有独立解决问题能力的人才，为了培养学生思维习惯，提高学生的应变能力，我在实际的教学中进行了“关于初中数学概念的变式教学研究”的课题研究。 针对以上背景，也为了进一步提高我校数学教师的整体教学水平，为进一步适应时代的要求，着眼学生的终身学习，着眼学生的发展，让学生积极主动地参与学习活动，在主动参与的过程中掌握学习的方法与技能，进一步提高学生数学的综合素养，我们组内全体成员以饱满的热情、高度的责任感和使命感，围绕这一研究课题展开工作。 （二）研究的目的、意义 1、研究的目的： （1）学生能够更好的理解数学中的重要概念以及相关概念的联系和区别，熟悉概念在解题中的运用。 （2）提高我校初三学生的自主探究能力，优化学生的思维能力，提高课堂教学质量。同时，提高教师的专业水平。 2、研究的意义： 数学概念的学习是学生学习数学知识的起点，变式教学是提高学生解题能力的一种重要途径，而数学概念的变式教学能够更好的帮助学生理解所学的知识，以及利用概念来解决相关的问题，使教学过程成为一种有利于学生积极探究的过程，提高学生的学习效能。 传统的数学教学模式早已不适合现代的教学节奏，一些有识之士已经对于数学变式教学进行过研究。如：形式变式、内容变式和方法变式等。结合我校实际，我的研究课题，力求在数学概念的变式教学研究中，找到符合知识体系，符合学生发展认知规律的课堂教学模式。 （三）、概念界定： 1、变式教学是指在教学过程中通过变更概念非本质的特征、改变问题的条
初中数学10大解题方法及典型例题详解 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 例题： 用配方法解方程x2+4x+1=0，经过配方，得到( ) A．(x+2) 2=5 B．(x－2) 2=5 C．(x－2) 2=3 D．(x+2) 2=3 【分析】配方法：若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算。【解】将方程x2+4x+1=0， 移向得：x2+4x=－1， 配方得：x2+4x+4=－1+4， 即(x+2) 2=3； 因此选D。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 例题： 若多项式x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3），则m的值为（）A．-2 B．2 C．0 D．1 【分析】根据因式分解与整式乘法是相反方向的变形，先将（x-1）（x+3）乘法公式展开，再根据对应项系数相等求出m的值。
【解】∵x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3）， 即x2+mx-3=（x-1）（x+3）， ∴x2+mx-3=（x-1）（x+3）=x2+2x-3， ∴m=2； 因此选B。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 例题： 已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8，则x2+y2的值为（） A．-5或1 B．1 C．5 D．5或-1 【分析】解题时把x2+y2当成一个整体来考虑，再运用因式分解法就比较简单【解】设x2+y2=t，t≥0，则原方程变形得 (t+1)(t+3)=8，化简得： (t+5)(t-1)=0， 解得：t 1=-5，t 2 =1 又t≥0 ∴t=1 ∴x2+y2的值为只能是1． 因此选B． 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求
第一讲：实数与代数专题典型例题讲解 一实数 1. 例：在14-和15 -之间，请写出两个有理数： . 2. 有理数2 2 3 1 2, (2), 2, 2 ---- 按从小到大的顺序排列是（ ） A ．322122< (2) 2-<--<-， B . 223 12< (2) 22 -<--<- C . 22312< (2) 22-<--<-, D . 232 12< 2(2)2 -<--<- 3. 将一刻度尺如图所示放在数轴上 （数轴的单位长度是1CM ），刻度尺上的“0cm ”和 “15cm ”分别对应数轴上的－3.6和x ，则（ ） A ．9＜x ＜10； B ．10＜x ＜11； C ．11＜x ＜12； D ．12＜x ＜13； 4. 下列说法正确的是（ ） A ．互为相反数的两个数一定不相等； B ．互为倒数的两个数一定不相等； C ．互为相反数的两个数的绝对值相等； D ．互为倒数的两个数的绝对值相等； 5. 若3x -和7x -是某个实数的平方根，则x = . 6. 若函数()f x 、()g x 满足()()0f x g x +=，当2()f x x x =-+，则函数()g x 的最小值为： 7. 有理数A 、B 、C 在数轴上的位置如图所示，则式子|A |+|B |+|A +B |+|B -C |化简结果为.[ ]. .A ．2A +3B -C...B ．3B -C..C ．B +C....D ．C -- 8. 若|A -2|＝2-A ，求A 的取值范围。 9. 已知：|x -2|+x -2＝0，.求：(1)x +2的最大值； 10. 单项式3x y π - 的系数是_______，次数是_____。 11. 如果21 13 m n a b +--与5 4a b 的同类项，则M =_____，N =_________。 12. 如图．在正方形ABCD 的边长为3，以A 为圆心，2为半径作圆弧．以D 为圆心， 3为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分为S 1、S 2．则S 1-S 2= . 13. 以Rt △ACB 两条直角边为直径向外作半圆，如图，其面积分别为1S 和2S ，若△ABC 的面积为S ，则12,S S 与S 的关系为 . 14. 若2 2(3)16x m x +-+是完全平方式，则m 的值为： . 15. 若m 2+m -1=0，求m 3+2m 2+2015的值． 16. 若0,0,x xy <<则15y x x y -+---=
初中数学人教版七年级下册教材变式题 学号： 班级： 姓名： 一、选择题 1、如图，用量角器画∠AOB 的平分线OC ，在OC 上任取一点P ， 过点P 画PE ⊥OB ，重足为E ，过P 画FG ∥OB 交OA 于F ， 并指出与∠OPE 互余的角有（ ）个 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 2、某市市区内出租车的收费标准是：起步价（在3千米以内的收费）是1人4元，2人以上5元，超过3千米以后每增加1千米加收1元，（不足1千米按1千米计算）小红在市区乘出租车从甲地到乙地共用去8元，设甲地到乙地的路程为x 千米，那么x 的取值范围（ ） A 、5≤x ＜6 B 、5＜x ≤6 C 、6≤x ＜7 D 、6＜x ≤7 3、把二元一次方程的每组解可看成是平面直角坐标系内一点的坐标。如方程53=+y x 的解：x=2,y=－1则其坐标为（2，－1），试判断下列各点的坐标是方程53=+y x 的解的是（ ） A.（1，－2） B.（－1,2） C.（0,5） D.（2,0） 4、关于x 的不等式03>-a x 只有3个负整数解，则a 的取值范围是（ ） A. 912<≤-a B.912≤<-a C.34-≤<-a D. 34-<≤-a 5、用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。现有36张白铁皮，用多少张制盒身，用多少张制盒底可使盒身与盒底正好配套？设制盒身x 张，制盒底y 张，可列方程组为（ ） A ．?? ?==+y x y x 402536B ．???==+y x y x 254036C ．???=?=+y x y x 4025236 D ．????==+y x y x 4022536 6、一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐变行驶角度后，仍在原来的方向上平行前行，那么两次拐变的角度是（ ） (A)第一次右拐50°,第二次左拐30° （B ）第一次左拐50°,第二次右拐30° （C ）第一次左拐50°,第二次左拐130° （D ）第一次右拐50°,第二次右拐50 7、如图所示，两个完全重叠的直角三角形，将其中一个直角沿BC 方向平移得到△DEF ，如果AB=8cm ，BE=4cm ，DH=3cm ，则图中阴影部分面积为( ) （A ）16cm 2 （B ） 2350cm （C ）26cm 2 （D ）2320 cm 8、不等式组??? ??≤<-15112x x x 的解集在数轴上表示正确的是 （ ） 二、填空题 9、若点P （2a －3，1+a ）到两坐标轴的距离相等等，则点P 的坐标为_________。 10、已知：线段MN 的两个端点坐标分别是M （－4，－1），N （0，3）。将线段MN 平移后得到线段M’N’，若点M 的对应点M’为（－2，2），则线段M’N 的中点Q 的坐标为______。 11、一辆匀速行驶的汽车在11：10距李庄60千米，现在因有紧急任务，要在12:00前赶到李庄，车速应满足的条件是 12、若不等式组?? ?>-<-3 21 2b x a x 的解集为21<<-x ，那么（a －1）(b+1)的值是 。 13、已知A （－2，4）过点A 的直线AB ∥x ，且AB=3，则点B 的坐标为___________。 14、已知点M （2a+b,4）和N(－3，3a+b)关于y 轴对称，则a=____，b=_______。 15、某商品的售价为150元，商家售出一件这种商品可获得的利润率预计要在10%~20%范围内，则进价的范围是____________。 16、售货员李阿姨在一次糖果销售中误将单价为3元/千克的甲种糖果m 千克与单价为5元/千克的乙种糖果n 千克混装在一起，已知n m >，现决定将混装糖果以4元/千克的单价出售，试问在此次销售中时盈利还是亏损？______（填“盈利”或“亏损”） 17、关于x 的不等式组? ??>-≥-1250 x a x 只有四个整数解，则a 的取值范围是___________。 18、苹果的进价为每千克1.5元，销售中估计有5%的苹果正常损耗。为避免亏本，商家应把售价至少 定为 元； 19、一条船顺流航行，每小时行20km ；逆流航行，每小时行16km ，求轮船在静水中的速度和水流速 度。设船在静水中的速度为x km/h ，水流速度为y km/h ，则所列的方程组为 。 20、已知N （1－2m ，m －2）是第三象限内的整数点，则点N 的坐标为____________。 21、若b a <，则a b 23 1 ______231----（用“>”或“<”填空） 三、解答题 22、解方程组：（1）4(1)3(1)2223x y y x y --=--???+=?? （2）2313424575 6 15 u v u v ?+=????+=? ? 23、已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，当MN 与EF 满足什么条件时，AB 平行于CD ，请说明理由。
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/935387212.html, 初中数学变式教学的运用 作者：赖秀芬 来源：《中学教学参考·理科版》2015年第07期 [摘要]初中数学教学中采用变式教学的模式，可以在一定程度上提高学生学习数学的效率.变式数学是一种根据教学目的，对相关命题进行合理转化的教学模式.变式教学必须从一个或 几个原则进行重点考虑：有效原则、目标指导原则、创新性原则.主要分析了对初中数学变式 教学的认识与研究，为数学教学提供参考. [关键词]初中数学变式数学应用分析 [中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）200011 数学是一门最基础的学科，到了初中，学生对这门课程早已经不陌生了.它可以开拓学生 的思维，使学生的逻辑性更强，思维更宽广.然而，数学也是一门很枯燥的学科，学生学习数 学时并没有什么兴趣.因此，在初中数学教学过程中，应适当地采用一些合理有效的方式来提 高学生学习数学的效率.经过专家的不懈努力，变式教学的模式应运而生，并且在实际教学中 的应用得到了广大师生的肯定.可仍然有教师在数学教学中对变式教学模式不是很熟悉，没有 真正地去理解变式教学的具体含义和教学方式，在数学教学中没有充分发挥出变式教学模式的作用.因此，本文将探讨变式教学模式在初中数学教学中的应用研究，使其能更好地得到推广. 一、数学变式教学的含义 以往的数学教学工作，总是完全围绕课本或教学大纲进行.现如今，在新课程标准的引导下，数学的教学模式发生了改变，数学不再是完全局限在一个封闭的课本知识领域，而是让学生在对所学知识有了一定的理解后，运用变式教学的方法，进一步深化学习.这里所说的变 式，指的是教师要有目的地对数学概念和例题进行合理的转化，在保留概念或例题的本质内容的情况下，教师将其进行不断的变换.如变换内容、形式和结果等，从而让学生既学习、掌握 了该数学的概念，又让学生更好地掌握它的本质内容. 二、变式教学的分类应用 数学概念有很多，初中数学教学的秩序一般都是先从概念入手.教师进行概念的讲解，学 生学好数学的关键就是能否正确地理解数学的概念.所以，变式教学在数学概念教学中的应用 相对还是比较常见的.将变式教学方式运用到数学的概念教学中，学生的想象空间会更宽泛.学生明白了数学概念的同时，还可以与数学的变式知识联系到一起，这样学生在做数学题时的思维会更开放，对解数学题有很好的帮助，从而达到实现变式教学，提高初中生学习数学的兴趣和效率的目的.数学的魅力就在于难题被解开的那一瞬间，学生获得的成就感，这种成就感可 以增强学生的自信.对学生提高数学学习能力也是一种帮助.
初中数学中的几道变式训练题 一、 已知：点O 是等边△ABC 内一点, OA=4，OB=5，OC=3 求∠AOC 的度数。 变式1： 在△ABC 中，AB=AC ，∠ OA=4，OB=6，OC=2 求∠AOC 的度数。 变式2：如图,点O 是等边△ABC 内一点,∠AOB=110°, ∠BOC=135° 试问:(1)以OA 、OB 、OC 为边能否构成一个三角形?若能,请求出三角 形各内角的度数;若不能,请说明理由. (2)如果∠AOB 的大小保持不变,那么当∠BOC 等于多少度时, 以OA 、 OB 、OC 为边的三角形是一个直角三角形? 二、已知：C 为AB 上一点，△ACM 和△CBN 为等边三角形（如图所示） 求证：AN=BM （分析：如对此题多做一些引申，既可以培养学生的探索能力，又可 A B C O A C A B C O M A C B
培养学生的创新素质） 探索一：设CM、CN分别交AN、BM于P、Q，AN、BM交于点R。问此题中还有其他的边相等以及特殊角、特殊图形吗？给予证明。 探索二：△ACM和△BCN如在AB两旁，其它条件不变，AN=BM成立吗？ 探索三：△ACM和△BCN分别为以AC、BC为底且顶角相等的等腰三角形，其它条件不变，AN=BM成立吗？ 探索四：A、B、C三点不在一条直线上时，其它条件不变，AN=BM 成立吗？ 三、轴对称：已知直线l及同侧两点A、B，试在直线l上选一点C，使点C到点A、B的距离和最小。 变式1：如图，请你设计出两种方案的路线和最短的行走路线（画图并说明理由） 方案1：小华由家先去河边，再去姥姥家； 方案2：小华由家先去姥姥家，再去河边； 小华家 河流 B A l
初中数学知识要点及典型例题 第一章实数 第一讲实数的有关概念 【回顾与思考】 知识点：有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值 课标要求： 1．使学生复习巩固有理数、实数的有关概念． 2．了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。 3．会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小 4．画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。 考查重点： 1．有理数、无理数、实数、非负数概念； 2．相反数、倒数、数的绝对值概念； 3．在已知中，以非负数a2、|a|、 a (a≥0)之和为零作为条件，解决有关问题。 实数的有关概念
(1)实数的组成 {} ?????????????????????????????????正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数 (2)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴 时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)，实数与数轴上的点是一 一对应的。数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数， (3)相反数 实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反 数，零的相反数是零)． 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称． (4)绝对值 ?? ???<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a 从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离 (5)倒数 实数a(a ≠0)的倒数是a 1(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)； 零没有倒数． 【例题经典】 理解实数的有关概念
初中数学变式训练的应用研究 摘要：新课程改革以来，越来越多的中学数学教师经常用到“变式”练习，这是一种数学教学中的变换方式，通过变式练习可以让学生准确地掌握数学解题方法。同时使学生多角度地理解数学方法，使学生从“知识型”向“智力型”转换。变式训练源于课本，高于课本，循序渐进，有的放矢，纵向联系，温故知新。 关键词：变式训练；课本；分层教学 有些初中学生遇到题目就做，而不注重归纳解题的方法、解题规律，致使在问题解答过程中不能很好地将知识点纳入自己的知识体，日后一遇到复杂题目和图形也就无法从中分离出其熟悉的题型。因此，纯粹地将每个知识点以习题形式让学生翻来覆去训练，虽然也能收到一定的效果，但终究还是囿于同样类型的题目，无法跳出做题的灵活性与拓展性。通过变式训练能使学生多角度地理解数学方法，也是切实提高初中学生数学能力的重要一环，在教学过程中必须渗透，并且多多益善。 一、变式训练遵循的原则
（一）立足于课本 观察近几年的数学中考题我们可以发现，有不少题目的命题范围立足于课本，有些试题的原型来自课本。因此在教学中，教师要以传授课本上的知识为基础，有目的地以课本习题为主线，从不同角度、不同层次、不同背景对概念、性质、定理、公式以及基础问题做出变化，使其条件或结论的形式或内容发生变化，而我们要面对的很多问题虽然存在不同的层次，但其中的解题方法总有其内在的必然联系。作为初中数学教师要让学生把蕴含在教材中的数学思想与方法运用到问题解决的全过程，以期达到做一题通一类的教学效果，善于“类比”“转化”，实现最优化的学习效果。 （二）适度和梯度 在几何变式训练的过程中，既要注意由简单到复杂，由具体到抽象，有一定的梯度，同时又要有一定的深度，否则变式训练就会降格为一种低水平的重复。但又不能一味地拔高，否则大多数学生无法理解和掌握，那么就失去教学的意义。 （三）基于学生的认知规律 变式训练应用要结合教与学的需要，基于学生的认知规律而设计，从学生的认知基础出发，在一系列
初中几何证明题 经典题（一） 1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF．（初二） .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150． 求证：△PBC是正三角形．（初二） .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 A P C D B A F G C E B O D
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 经典题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 B
初中数学变式题与应用题的研究 桦南四中王玉光 初中数学变式题和应用题不但是学习的重点。而且是学习的难点，很多同学对几何变式证明题。不知从何着手，一部分学生虽然知道答案，但叙述不清楚，说不出理由，对逻辑推理的证明过程几乎不会写，这样，导致大部分的学生失去了几何学习的信心，虽然新的课程理念要求，推理的过程不能过繁。一切从简，但证明的过程要求做到事实准确、道理严密，证明过程方能完整，教学中怎样才能把几何变式证明题的求解过程叙述清楚呢?根据教学经验，我在教学中是这样做的，希望与大家一起探讨。 一、“读”——读题 如何指导学生读题,仁者见仁、智者见智，我们课题组结合我们的研究和本校学生的实际，将读题分为三步:第一步，粗读(类似语文阅读的浏览)。快速地将题目从头到尾浏览一遍，大致了解题目的意思和要求;第二步，细读。在大致了解题目的意思和要求的情况下，再认真地有针对性地读题，弄清题目的题设和结论，搞清已知是什么、需要证明的是什么,并尽可能地将已知条件在图形中用符号简明扼要地表示出来(如哪两个角相等，哪两条线段相等，垂直关系，等等)，若题中给出的条件不明显的(即有隐含条件的)，还要指导学生如何去挖掘它们、发现它们;第三步，记忆复述。在前面粗读和细读的基础上，先将已知条件和要证明的结论在心里默记一遍，再结合图形中自己所标的符号将原题的意思复述出来。到此读题这一环节，才算完成。对于读题这一环节，我们之所以要求这么复杂，是因为在实际证题的过程中，学生找不到证明的思路或方法，很多时候就是由于漏掉了题中某些已知条件或将题中某些已知条件记错或想当然地添上一些已知条件，而将已知记在心里并能复述出来就可以很好地避免这些情况的发生。
《山区初中数学变式训练教学策略研究》 课题实施方案 2015年3月——2016年6月 一、指导思想 本年课题进入全面实施阶段，按照课题研究方案，既要全面关注课题研究内容，又要抓住重点，逐步推进。以科学研究方法为指导，重视课题的过程管理， 提高研究工作的绩效，为课题中期评估和圆满结题奠定良好的基础。 二、研究目标 以“变式教学”为研究平台，全面贯切新课程标准的教育理念。以培养学生 的创新精神和探究问题、解决问题的能力为目的。让学生充分展示个性和潜力， 激发学生潜能多元化发展，让全体学生都能最终成为对全社会有用的人。 研究要解决的具体问题是如何利用学校现有的各种资源，发挥学生主体作 用，充分尊重学生的主观能动性，通过创设数学变式，引导学生主动参与教学活动，在获取知识的同时，激发他们强烈的求知欲和创造欲，从而得到提高数学课堂教育效益的目的，增加数学实践的本领的同时而获得可持续发展能力——创新 能力和自我发展能力。在严格控制学生活动总量，减轻学习负担的前提下，使全体学生数学素质获得更为全面的发展，数学基本知识、基本能力有所提高。 三、研究的重点 1、研究学生：着力通过数学变式来培养学生创新能力来加以克服，试图发 现一种科学的教学体系来提高初中数学课堂教学效益。 2、研究教法：给出不同条件时如何引导学生联系旧知识解决新问题，培养 学生能以不变应万变，把握数学知识的核心部分，提高思考问题、解决问题能力。 3、研究教学：不同的课型该用哪种模式体现“变式教学”的精神。 四、研究的难点 1、通过变式教学，对数学问题多角度、多方位、多层次的讨论和思考，帮 助学生打通关节，建构有价值的变式探索研究，展示数学知识发生、发展和应用
九年级上册·课本亮题拾贝 课本中的例、习题是经过编者反复琢磨，认真筛选后精心设置的，具有一定的探究性．在教学的过程 中要立足课本，充分发挥课本例、习题的教学功能，可以有效地避免题海战术，不但有利于巩固基础知识，而且还能增强同学们的应变能力，发展创新思维，提高数学素养． 21．1 二次根式 题目 计算：2)3 2(-．（人教课本P 8 2（4）题） 解 原式=3 2)32()32(22==-． 点评 大家知道，当a ≥0时，2a 有意义，且a a =2．而当a ＜0时，2a 也有意义，此时||2a a =，进一步的，则等于－a （－a ＞0）．为了预防解题粗心出错（如 3 2)32(2-=-），通常是根据平方（或立方）的意义，先处理掉（好）符号，再按有关顺序和规定运算． 演变 变式1 填空：（1） 94= ；（2）412= ．（答案：（1）32 （2）2 3） 变式2 当x 时，式子2 31-x 在实数范围内有意义？ （答案：＞32） 变式3 若23-n 是整数，求正整数n 的值（至少写出3个）． （答案：n = 1，2，9，17等．） 变式4 是否存在正整数n ，使得2 31+n 是有理数？若存在，求出一个n 的值；若不存在，请说明理由． 解 假设存在正整数n ，使2 31+n 是有理数，则因为3n + 2是正整数，所以3n + 2应该是一个完全平方数． 假设3n + 2等于k （k ≥3，k 是正整数）的平方，则k = 3p 或者3p + 1或者3p + 2，也就是说k 除以3余0或者1或者2，而（3p ）2 除以3余0，（3p + 1）2 = 9p 2 + 6p + 1，（3p + 2）2 = 9p 2 + 12p + 4 除以3都余1，所以没有数的平方除以3余2．表明3n + 2 不是完全平方数，从而假设不成立，因此，不存在正整数n ，使2 31+n 是有理数． 21．2 二次根式的乘除 题目 计算：65027÷?．（人教课本P 15 6（4）题） 解 原式=6)23(15625336253322÷?=÷?=÷???= 15． 另法 原式=152596 5027=?=?．
中考数学最值问题总结 考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。 （2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题） 问题原型：饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型： 条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使PA PB +的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A B'交l于 点P，则PA PB A B' +=的值最小 例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三 角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小； ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由； （3）当AM+BM+CM的最小值为 时，求正方形的边长。 A B A' ′ P l
例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0） （1）求抛物线的解析式 （2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由. （3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.
初中数学课堂变式训练的有效性研究 在初中数学教学中，变式训练指在不改变本质特征的基础上，对数学概念与性质、数学公式与定理等从多个角度与层次予以适当改变，使其在形式或条件上有所变化，形成新情境，诱使学生进行多向思索，强化探究与思维能力，做到触类旁通但在具体实施过程中，有些变式训练没有针对性，盲目贪多，学生应接不暇；忽视学生个体差异，超出学生最近发展区，学生参与度不高，未能积极思考等等，这些都会导致变式训练陷入低效或无效境地所以，初中数学课堂教学中，进行变式训练时，教师要注意有效性目标，切忌为“变式”而变式为此，笔者根据实践进行了一些研究，提出了一些思考与看法 一、有导向性的设计变式，巩固强化 在习题训练中，变式练习是十分普遍的形式但有的教师为面面俱到，使课堂上充斥着大量的变式习题，却缺乏针对性与目标性，浮光掠影，反而失去了变式训练原本的教育意义因为变式太多，重点问题就可能被众多题目淹没了，师生也没有充足的时间来分析与探讨关键问题，教学难点也无法得以解决与突破再者，学生面对变式题目，也需要思考与内化的过程，倘若变式太多，就会应接不暇，给课堂变式训练
带来消极影响所以，教师要明确教学应达到的目标，设计具有导向性、典型性、发散性的变式问题，让学生的思维被激活起来，思路得到拓展，掌握数学思想与方法，夯实“双基”，他们的探究能力与数学能力获得了锻炼，学习的效度得到了改善 首先，挖掘教材，适度变式，打牢基础数学基础知识是同学们进行数学解答、学好数学的前提所以，在教学过程中，教师要围绕基础知识设计变式问题，帮助学生加深理解，内化知识，巩固基础，为后续学习做好铺垫如数学概念教学时，为了让学生深刻认识概念的本质与外延，避免混淆概念，教师可借助概念的变式练习，启发同学们自主观察、发现、分析与“创造”，对比中把握概念的关键特征，加深认识例如：分析“对顶角”概念时，引导同学们观察“标准概念图形”，形成初步认识，而后教师再展示一些学生容易出错的反例变式图（如图1所示），让学生判断与分析，自主发现错误，认识概念的外延，牢固记忆并深入理解概念的本质[P4CS09IF，BP#] 其次，当学生掌握数学基础知识后，教师还可以进行一题多变或多解等变式训练方式，培养他们的发散思维与创新意识，让他们能多角度探究与思考问题，探寻不同方法，追寻最佳策略，锻炼他们思维的探索性与创新性，强化数学学习能力
初中数学变式教学原则及策略研究 发表时间：2013-09-06T15:48:43.543Z 来源：《素质教育》2013年7月总第124期供稿作者：刘传辉 [导读] 进行变式教学的主要目的不是为了节省时间，而在于提高学生的逻辑思维能力。 刘传辉贵州省贵阳市第十八中学550002 摘要：数学教学的主要目标是培养学生独立思考、分析以及解决问题的能力，为了达到这个目标，就不能仅仅局限于课本知识，个别的题型。在变式教学中通过多个思维角度的思考分析，能够让学生在“变”的过程中体会到知识的实质，扩展知识结构，加深对知识的理解，从而养成好的科学思维习惯，达到举一反三、触类旁通的效果。下面本文作者根据个人教学实践，谈谈初中数学变式教学的原则和策略。关键词：初中数学变式教学原则策略 随着教育体制的改革，变式教学在数学教学中越来越重要。因此，要提高初中数学课堂的教学效率，必须采用变式教学的方法。变式教学就是指要从不同的角度、不同的情形以及不同的背景对待一个数学问题，以找出问题的实质特点，找出不同数学知识点之间的内在联系，从而顺利解决数学问题的教学方法。在初中数学课堂中实施变式教学，不仅能够帮助学生学到很多数学知识，还能够培养他们的数学思维能力，改善学生的思维质量。 一、初中数学变式教学原则 1.循序渐进原则。由于学生的认知能力都要经过一个从低到高的过程，而初中数学知识的逻辑结构也是如此，由浅入深，由简单到复杂，所以教师在变式教学中要根据学生实际的认知水平以及教学内容，层层推进，为学生创造合适的问题情境。 2.主动参与原则。在变式教学课堂中，要鼓励全班学生主动参与到教学活动中来，充分发挥学生的主体地位，鼓励学生积极地用脑、口、手等，使他们以主动的态度，去获取新知。同时，变式问题的设计要符合学生的认知水准、心理特点等，以适应他们的接受能力。 3.启发性原则。进行变式教学的主要目的不是为了节省时间，而在于提高学生的逻辑思维能力。这就要求教师要精心设置问题情境，把遇到的各个数学问题作为展开教学活动的出发点，在学生遇到解题困惑时，及时地进行引导启发，使学生自己能够一步一步地发现问题、找出问题的关键所在，进而顺利解决问题。 4.创新的原则。教师在变式教学过程中，一定要深入挖掘教材内容，寻找新的教学方法，提高学生对数学这门学科的学习兴趣。对教学过程中遇到的新型问题，鼓励学生进行自主研究探索，并进行适度的创新。 二、初中数学变式教学策略 在新课改的背景下，要让所有的学生学会学习，必须学习，就要对课本的例题、习题等进行简单的变式处理，从而提高学生的学习兴趣和学习能力。例如：在下面这一道数学例题中，BD长为120m，CD为60m，CE为50m，求出AB的长度（AB两点中间隔一条河）。如图1所示。 在这道题中主要利用的数学知识是相似三角形的性质，已知三边的长度求出第四边的长度。该题设计的主要目的是让学生复习相似三角形的判断方法，掌握相似三角形的性质，巩固所学知识。认真分析这道题，我们可以通过改变题干的条件，设计出新的数学情境，重新假设，进而引导学生从多个角度理解相似三角形的判定方法以及性质，进一步提高学生的数学素养。 1.模仿的教学策略 模仿的方法是指对这道数学题题干中的条件或者结论进行稍微的改变，或是从其它角度设置，问题的整体情境不改变，从而使学生对核心知识能够重复训练，掌握学习过的基础知识和基本的技能。如图2所示，假设AB∥CE, BD长为120m，CD为60m，CE为50m，求AB的长度。 在这个变式中，把上述数学题的条件AB⊥BC，EC⊥BC模仿变成了AB∥CE，这样的变式对利用相似三角形的性质，给出了三边长度，求出第四条边的长度的数学知识进行了重复训练，可以促使学生更好地学习数学基本知识，掌握基本技能。 2.互换条件和结论的教学策略 把上述数学题（图1）中的条件和结论进行部分调换，例如：BC长为110m，CE为50m，AB为100m，其它条件如上图一所示，求BD 与CD的长度。这道题和上述例题是紧密联系的，但是比例题稍微有一些难度，需要学生利用已经学过的方程知识来解决问题，但是学生在解题的过程中，能够明显地察觉到例题和下面两道模仿、变换的题型具有“同源性”。 3.变换条件的教学策略 把上述例题的条件稍加变动，进而得到以后总解答数学问题的方法。如图3所示。例如：点B、C、E位于同一条直线上面，且 AB⊥BC，DC⊥BC, AE⊥ED,求△AEB∽DEC。 条件和结论相互交换的策略和交换条件的策略虽然二者的改变策略中都涉及到条件，但是二者也要区别，前者是关于条件和结论之间的组合问题，和数学概念中的逆命题关系紧密，而后者是纯粹的条件与条件之间的交换问题，是选择条件的问题。通过这两种方法的细微