九年级上册·课本亮题拾贝
课本中的例、习题是经过编者反复琢磨，认真筛选后精心设置的，具有一定的探究性．在教学的过程
中要立足课本，充分发挥课本例、习题的教学功能，可以有效地避免题海战术，不但有利于巩固基础知识，而且还能增强同学们的应变能力，发展创新思维，提高数学素养．
21．1 二次根式
题目 计算：2)3
2(-．（人教课本P 8 2（4）题） 解 原式=3
2)32()32(22==-． 点评 大家知道，当a ≥0时，2a 有意义，且a a =2．而当a ＜0时，2a 也有意义，此时||2a a =，进一步的，则等于－a （－a ＞0）．为了预防解题粗心出错（如
3
2)32(2-=-），通常是根据平方（或立方）的意义，先处理掉（好）符号，再按有关顺序和规定运算．
演变
变式1 填空：（1）
94= ；（2）412= ．（答案：（1）32 （2）2
3） 变式2 当x 时，式子2
31-x 在实数范围内有意义？ （答案：＞32） 变式3 若23-n 是整数，求正整数n 的值（至少写出3个）．
（答案：n = 1，2，9，17等．）
变式4 是否存在正整数n ，使得2
31+n 是有理数？若存在，求出一个n 的值；若不存在，请说明理由．
解 假设存在正整数n ，使2
31+n 是有理数，则因为3n + 2是正整数，所以3n + 2应该是一个完全平方数．
假设3n + 2等于k （k ≥3，k 是正整数）的平方，则k = 3p 或者3p + 1或者3p + 2，也就是说k 除以3余0或者1或者2，而（3p ）2 除以3余0，（3p + 1）2 = 9p 2 + 6p + 1，（3p + 2）2 = 9p 2 + 12p + 4 除以3都余1，所以没有数的平方除以3余2．表明3n + 2
不是完全平方数，从而假设不成立，因此，不存在正整数n ，使2
31+n 是有理数． 21．2 二次根式的乘除 题目 计算：65027÷?．（人教课本P 15 6（4）题）
解 原式=6)23(15625336253322÷?=÷?=÷???= 15．
另法 原式=152596
5027=?=?．
点评 进行二次根式的乘除运算时，根据乘法、除法规定（ab b a =?（a 、b ≥0），b a b
a =（a ≥0，
b ＞0）），可以从左往右正向使用（如另法），也可以从右往左逆向使用（法一），往往可视其具体题目的数字特点和结构特征，灵活选用．一般情况是尽可能先把根式化简，大数化小，遇到字母开平方时，必须注意字母的正、负性（或讨论）．
演变
变式1 填空：（1）50276?÷= ；
（2）65027?÷= ． （答案：（1）310 （2）5
9） 因为原式=)32(25323?÷??，2 + 3 = 5，
所以设2 = a ，3 = b ，则 5 = a + b ，题目可演变成如下形式：
变式2 化简：ab b a a b ÷+?23)(．
解 原式=)(])([b a a b a b b ?÷+?= b （a + b ）= ab + b 2．
若赋予a 一些不同的值（相应的可得到b 的值），则可得到一组二次根式的乘法除法试题．
变式3 甲、乙两同学在化简 xy x y x 5253÷? 时，采用了不同的方法：
甲： 因为x ，y 是二次根式的被开方数，且在分母上，所以x ＞0，y ＞0，
于是令 x = 1，y = 1，代入可得，原式=55125=÷?．
乙： 原式=xy y x x y x x 55)5(522=???÷???．
从而得出了不同的结果．请指出甲、乙同学的做法是否正确？说明理由．
解 甲，乙两同学的做法都不正确． 甲同学犯了以特殊代替一般的错误，虽然最终结果是5． 乙同学对题目形式上的意义理解错误，通常xy y 5是一个整体，是被除式．
正确解法是：原式=5)5()5()5(522=?÷?=÷???y x x y x x xy x y x x ．
21．3 二次根式的加减
题目 已知13+=x ，13-=y ，求下列各式的值：
（1）x 2 + 2xy + y 2； （2）x 2－y 2． （人教课本P 21 6题）
解 ∵ 13+=x ，13-=y ，
∴ 32=+y x ，x －y = 2，xy = 2．
于是 x 2 + 2xy + y 2 =（x + y ）2 =12)32(2=，
x 2－y 2 =（x + y ）（x －y ）=34232=?．
点评 本题属于“给值求值”类型，一般不宜直接代入算值．通常的思路是：先把已知
式和待求式进行适当的等价变形化简，充分挖掘出已知式和待求式之间的内在联系，然后再看情况灵活地代入，往往能简捷而巧妙地求值．
演变
变式1 已知21+=a ，21-=b ，求：（1）22222b
a b ab a -++，（2）a b b a -的值． 解 由已知可得a + b = 2，22=-b a ，ab =－1．
（1）原式=2
2222))(()(2==-+=-++b a b a b a b a b a ． （2）原式=241
222))((22-=-?=-+=-ab b a b a ab b a ． 变式2 如果实数a ，b 满足a 2 + 2ab + b 2 = 12，3422=-b a ，求
b
b a -的值． 解 显然b ≠0，于是由已知，得33412))(()(222222==-+=-++=-++b a b a b a b a b a b
a b ab a ， ∴ )(3b a b a -=+，即 b a )13()13(+=-， 有32)
13)(13()13(13132+=+-+=-+=b a ，因此311)32(1+=-+=-=-b a b b a ． 说明 上述解法，既抓住了已知式的特征（两个等式的左边有公因式，约后能降次，但
要注意是否为0啰！），又避免了解方程组的难点．本题还可以进一步求出a 、b 的值．
∵ 13+=x ，∴（x －1）2 = 3，得x 2－2x = 2，结合x ≠0，两边除以x ， 得22=-x x ，注意到x y 2-=，则2222)2()2(22x x x x y xy x -+-?+=++=4222-+x
x ，22224x
x y x -=-，得 变式3 若实数x 满足22=-x x ，试求：（1）224x x +；（2）x x 2+；（3）224x
x -的值． （答案 （1）8 （2）32± （3）142±）
22.2 降次 —— 解一元二次方程
题目 无论p 取何值时，方程（x －3）（x －2）－p 2 = 0总有两个不等的实数根吗？给
出答案并说明理由．（人教课本P 4612题）
解 原方程可化为x 2－5x + 6－p 2 = 0．
方程根的判别式为 △=（－5）2－4（6－p 2）= 1 + 4p 2，
对任何实数值p ，有1 + 4p 2＞0，
∴ 方程有两个实数根 x 1 =24152p ++，x 2 =2
4152p +-，且两个根不相等． 另法 由 p 2 =（x －3）（x －2）= x 2－5x + 6 =4
1)25()25(6])25(5[2222--=-++-x x x ， 得 41)25(22+=-p x ，无论p 取何值412+p ≥4
1，因此41252+±=p x ． 点评 解一元二次方程有配方法，公式法或因式分解法．一般来说，公式法对于解任何
一元二次方程都适用，是解一元二次方程的主要方法，但在具体解题时，应具体分析方程的特点，选择适当的方法．
（1）要判定某个二次方程是否有实数解及有几个解时，常常只须考查方程根的判别式．
（2）见到含字母系数的二次方程，在实数范围内，首先应有△≥0；若字母在二次项系
数中，则还应考虑其是否为0．
（3）关于一元二次方程有实数根问题，一般有三种处理方式（何时选择那种方式要根据
具体题目的特点来确定）：① 利用求根公式求出根来；② 利用根与系数的关系将这两个根的
和与积表达出来：x 1 + x 2 =a b 2- x 1x 2 =a
c ，以便后继作整体代换；③ 将根代入方程中进行整体处理．
演变
变式1 分别对p 赋值0，2，2
3-
等，可得如下确定的方程： 解方程：（1）x 2－5x + 6 = 0；（2）x 2－5x + 1 = 0；（3）4x 2－20x + 21 = 0．
变式2 当x 取什么范围内的值时，由方程（x －3）（x －2）－p 2 = 0确定的实数p 存
在？请说明理由．
解 对任意实数p ，有p 2≥0，所以只需p 2 =（x －3）（x －2）≥0，利用同号相乘得正
的原理，得x 应满足 ???≥-≥-,02,03x x 或 ?
??≤-≤-,02,03x x 解得x ≥3或x ≤2． 表明，当x 取x ≤2或x ≥3范围内的实数时，由方程（x －3）（x －2）－p 2 = 0确定的
实数p 存在．
变式3 指出方程（x －3）（x －2）－p 2 = 0的实数根所在的范围？
解 ∵ 方程有两个不相等的实数根x 1 =2412125p ++，x 2 =2412
125p +-， 且对任意实数p ，有1 + 4p 2≥1，∴ 有x 1≥32125=+，x 2≤22
125=-， 即方程的实数根所在的范围是x ≤2或x ≥3．
变式4 试求y =（x －3）（x －2）的最小值．
解 由 y =（x －3）（x －2）= x 2－5x + 6 =4
1)25()25(6])25(5[2222--=-++-x x x ， 得 y 的最小值为41，当2
5=x 时取得． 22.3 实际问题与一元二次方程
题目 如图，要设计一幅宽20 cm ，长30 cm 的图案，其中
有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3:2，如果要使彩条
所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（精确
到0.1 cm ）？（人教课本P 5310题）
分析 结合图形，阅读理解题意（数形结合）．矩形图案中，长30 cm ，宽20 cm ．现
设计了横、竖彩条各2条，且其宽度比为3:2，于是设横彩条宽为3x cm ，则竖彩条的宽就为2x cm ，其长与矩形图案的长宽相关．等量关系式为“使彩条所占面积是图案面积的四分之一”．
解 根据题意，设横向彩条的宽为3x ，则竖向彩条的宽为2x ，于是，
建立方程，得 20304
123422023302??=??-??+??x x x x ， 化简，得 12x 2－130x + 75 = 0． 解得 611.012
133565≈-=x ．
因此横向彩条宽1.8 cm ，竖向彩条宽1.2 cm ．
另法 如图，建立方程，得
203041)620(4630??=
-+?x x x ． 法三 如图，建立方程，得 20304
3)620)(430(??=--x x ． 点评 列一元二次方程解应用题的一般步骤为：
（1）设：即设好未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位；
（2）列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致；
（3）解：解所列方程；
（4）验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解；
（5）答：即答题，怎么问就怎么答，注意不要漏写单位．
演变
变式1 矩形图案的长、宽不变，但设计的两横两竖彩条的宽度相同，如果彩条的面积
是图案面积的四分之一，求彩条的宽． （答案：
2
19525-） 变式2 矩形图案的长、宽不变，现设计一个正中央是与整个矩形长宽比例相同的矩形，其面积是整个矩形面积的四分之三，上下边等宽，左右等宽，应如何设计四周的宽度？
解 因为矩形图案的长、宽比为30: 20 = 3:2，所以中央矩形的长、宽之比也应为3:2，
设其长为3x ，则宽为2x ，所以 20304
332??=?x x ，得 35=x ，从而上、下边宽为 )32(5105.0)220(-=-=?-x x ，左、右宽为 2
)32(155.0)330(-=?-x ． 变式3 如图，一边长为30 cm ，宽20 cm 的长方形铁皮，四角各截去一个大小相同
的正方形，将四边折起，可以做成一个无盖长方体容器．求所得容器的容积V 关于截去的小正方形的边长x 的函数关系式，并指出x 的取值范围．
解 根据题意可得，V 关于x 的函数关系式为：
V =（30－2x ）（20－2x ）x ．
即 V = 4x 3－100x 2 + 600x ， x 的取值范围是0＜x ＜10．
变式4 在一块长30 m 、宽20 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占的
面积为荒地面积的一半．
小明的设计方案如图甲所示，其中花园四周小路的宽度都相等．小明通过列方程，并解
方程，得到小路的宽为2.5 m 或22.5 m ．
小亮的设计方案如图乙所示，其中花园每个角上的扇形（四分之一圆弧）都相同．
解答下列问题：
（1）小明的结果对吗？为什么？
（2）请你帮小亮求出图乙中的x ？
（3）你还有其他设计方案吗？
甲 乙
解 （1）小明的设计方案：由于花园四周小路的宽度相等，设其宽为x 米．
则根据题意，列出方程，得 20302
1)220)(230(??=--x x ，即 x 2－25x + 75 = 0，解得x =213525+或x =213525-．由于矩形荒地的宽是20 m ，故舍去x =2
13525+，得花园四周小路宽为2
13525-m ，所以小明的结果不对． （2）小亮的设计方案：由于其中花园的四个角上均为相同的扇形，所以设扇形的半径为
x 米，列方程得 203021
2??=x π，所以ππ
π310310==x m ．（3）略．
23.1 图形的旋转
题目 如图，△ABD ，△AEC 都是等边三角形．BE 与DC 有什么关系？你能用旋转
的性质说明上述关系成立的理由吗？（人教课本P 679题） 解 ∵ △ABD 是等边三角形， ∴ AB = AD ，∠BAD = 60．
同理AE = AC ，∠EAC = 60． ∴ 以点A 为旋转中心将△ABE 顺时针旋转60 就得到△CAD ，
∴ △ABE ≌△ADC ，从而 BE = DC ．
另法 ∵ △ABD ，△AEC 都是等边三角形，
∴ AB = AD ，AE = AC ，∠BAD =∠EAC = 60，
于是 ∠CAD =∠CAB +∠BAD =∠CAB +∠EAC =∠EAB ．
从而有 △CAD ≌△EAB ，
∴ DC = BE ．
点评 由于旋转是刚体运动，旋转前、后的图形全等，所以藉此可以在较复杂的图形中
发现等量（或全等）关系，或通过旋转（割补）图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，疏通解题突破口．
演变 变式1 如图，△ABC 和△ECD 都是等边三角形， △EBC 可以看作是△DAC 经过什么图形变换得到的？
说明理由．（人教课本P 805题） 说明：如上题图，去掉BC ，把D ，A ，E 放在一直线上即得． 本题经过下列各种演变，原来的结论仍保持不变．
（1）△ABC 与△CDE 在BC 的异侧． （2）点C 在BD 的延长线上． （3）C 点在BD 外．
（4）△ACD 与△BDE 在BD 的异侧， 且D 点在BC 的延长线上．
（5）△ABC 与△CDE 都改为顶角相等的等腰三角形，即AB = AC ，CE = DE ，∠BAC
B C D A E C B A
E D A C B E D C A B E D
=∠CED ．
变式2 如图，四边形ABCD ，ACFG 都是正方形，则BG 与CE 有什么关系？说明理由． 变式3 如图，△ABD ，△AEC 都是等腰直角三角形，则
BE 与DC 有什么关系？
24.1 圆 题目 如图，⊙O 的直径AB 为10 cm ，弦AC 为6 cm ，
∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD ，BD 的长．
（人教课本P 93例2） 解 ∵ AB 是直径，∴ ∠ACB =∠ADB = 90．
在Rt △ABC 中，BC 2 = AB 2－AC 2 = 102－62 = 82，即 BC = 8． ∵ CD 平分∠ACB ， ∴ AD
⌒=BD ⌒，于是AD = BD ． 又在Rt △ABD 中，AD 2 + BD 2 = AB 2，
∴ 25102
222=?==
=AB BD AD ． 点评 在涉及圆中的有关弧，弦（直径），角（圆心角，圆周角）等问题中，垂径定理，同圆中的关系（在同圆或等圆中，圆心角相等 弧相等 弦相等 弦心距相等 圆周角相等）是转化已知，沟通结论的纽带．
其中半圆（或直径）所对的圆周角是直角还联结了勾股定理（将出现代数等式）．
演变
变式1 在现有已知条件下，可进一步的，求四边形ACBD 的面积等于多少？
解 由例题及解答可知，△ACB ，△ADB 都是直角三角形，于是四边形ACBD 的面积
等于4925252
186212121=??+??=?+?=+??BD AD BC AC S S ADB ACB cm 2． 变式2 求内角平分线CE 的长？
抽取出图形中的基本图Rt △ABC ，因为AC :BC :AB = 3:4:5，于是，
斜边上的高5
24=?=AB BC AC CD ，外接圆半径R = 5（也即斜边上的中线）． 设∠ACB 的平分线为CE ，过E 向两直角边作垂线，则其长相等， 设为x ，于是x CE 2=，由 BC AC BC x AC x ?=?+??2
12121，得 7248686=+?=+?=BC AC BC AC x ， ∴ 7224=CE ． 变式3 如图，AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分线，AD 与
三角形的外接圆交于点D ，求证：BD = CD ．
D E B C
A D E
B
C A O
A D
E C B
A E D
B
C A E
D
解 因为圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角
都等于它的内对角，所以有∠DAE =∠DCB ，而∠DAC =∠DBC
（同CD ⌒所对的圆周角相等），结合题设AD 是∠EAC 的平分线，
则有∠DCB =∠DBC ，所以 BD = CD ．
变式4 如图，点A 、B 、C 、D 在同一个圆上，四边形ABCD 的对角线把4个内角分
成8个角，这些角中哪些是相等的角？（课本P 93练习第1题）
解 ∠1 =∠4，∠2 =∠7，∠3 =∠6，∠5 =∠8．
变式5 如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上的四点，∠APC =∠CPB = 60
，判断△ABC 的形状并证明你的结论．（课本P 95第11题）
解 ∵ ∠BAC =∠BPC = 60
，∴ ∠ABC =∠APC = 60，因而△ABC 是等边三
角形． 变式6 （托勒密定理）AC · BD = AB · CD + AD · BC （见上图）．
24.2 与圆有关的位置关系
题目 如图，△ABC 中，∠ABC = 50，∠ACB = 75，点O 是内心，求∠BOC
的度数．（人教课本P 1061题）
解 ∵ O 是△ABC 内切圆的圆心（内心），
∴ OB ，OC 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线．
∵ ∠ABC = 50，∠ACB = 75， ∴ ∠OBC = 25，∠OCB = 37.5， 因此 ∠BOC = 180－25－37.5 = 117.5．
点评 抓住“内心与各顶点连线平分每一个内角，且到三条边的距离相等”这些事实，
很容易促进角或线段的转化，突破关键，解决问题．
演变
变式1 已知周长为l 的△ABC 的内切圆半径等于r ，求△ABC 的面积．
解 设内心为O ，连接OA ，OB ，OC ，则OA 、OB 、OC 把△ABC 分割成三个易求的B C O A 5 4 3 2 1 7 8 A C D B
6 O P C A B O D B C A E
小三角形，其面积的和为：
r CA r BC r AB S S S S ACO BCO ABO ABC ?+?+??=
++=????212121=lr CA BC AB 2
1)(21=++． 变式2 如图，点O 是△ABC 的内心，则A BOC ∠+?=∠2
190． 解 ∵ C B BOC ∠-∠-?=∠2121180 =)180(2
1180)(21180A C B ∠-?-?=∠+∠-?， ∴ A BOC ∠+?=∠2
190． 说明 变式2有多种不同的解法，如连结AO 并延长，或延长BO 交AC 于D 等等，
请读者探究，收获定当不少． 变式3 如图，△ABC 中，∠B ＜∠C ，O 在∠A 的平分线上，
求证：AB + OC ＞AC + OB ．
证明 ∵ ∠B ＜∠C ，∴ AB ＞AC ，于是在AB 上取点D ， 使AD = AC ，连结OD ，则由已知和作图，可得 △AOC ≌△AOD ，进而OC = OD ．
在△OBD 中，有 BD + OD ＞OB ，
∴（AB + OC ）－（AC + OB ）=（AB －AD ）+ OD －OB = BD + OD －OB ＞0，
故 AB + OC ＞AC + OB ．
变式4 如图，△ABC 中，∠B ，∠C 的平分线相交于点O ，
过O 的直线DE ∥BC ，DE 分别交AB 、AC 于D 、E ， 求证：DE = BD + CE ． 解 由已知DE ∥BC ，BD 、CO 分别平分∠B 、∠C ，可以发
现△BDO 和△CEO 是等腰三角形，于是有BD = DO ，CE = OE ，
因此BD + CE = DO + OE = DE ． 变式5 如图，B 、C 在射线AD 、AE 上，BO 、CO 分别是∠DBC 和∠ECB 的角平
分线．
（1）若∠A = 60
，则∠O 为多少度？ （2）若∠A = 90，120 时，∠O 分别是多少度？ （3）求∠A 与∠O 的关系式． 解 ∵ BO 、CO 是∠DBC 和∠ECB 的平分线，
∴ ∠DBC = 2∠2，∠ECB = 2∠3，
∴ ∠ABC = 180－2∠2，∠ACB = 180－2∠3．
在△ABC 中，∠A +∠ABC +∠ACB = 180，
∴ ∠A + 180－2∠2 + 180－2∠3 = 180， B C O A D B C O A D B C O A E A B D O E C 4
3 2 1
即∠2 +∠ 3 = 90 + 12∠A ． 在△BOC 中，∠ 2 +∠3 +∠O = 180
， ∴ ∠O = 90－12∠A ． （1）当∠A = 60 时，∠O = 90－12× 60 = 60． （2）当∠A = 90 时，∠O = 90
－12× 90 = 45．当∠A = 120 时，∠O = 90－12
× 120 = 30． （3）∠A 与∠O 的关系式为∠O +12
∠A = 90．24.3 正多边形与圆 题目 画一个正五边形，再作出它的对角线，
得到如图所示的五角星．（人教课本P 1172题）
解 先画一个圆，将圆五等分，分点依次为A ，B C ，D ，E ，顺次连结这些点，得正五边形ABCDE ，再作
出正五边形的对角线AC ，AD ，BD ，BE ，CE ，即得如图所示的五角星．
点评 正多边形与圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧（或把圆心角分
成一些相等的角），就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆，如上所示作出的是一个正五角星．
演变 变式1 求五角星中五个角的和．
解 ∵ ∠AMN =∠B +∠D ，∠ANM =∠C +∠E ， ∴ ∠A +∠B +∠C +∠D +∠E =∠A +∠AMN +∠ANM = 180．
表明正五角星中五个角的和为180．
另法 连结CD ，则在△AEF 和△CDF 中， 有 ∠B +∠E = 180－∠BFE = 180－∠CFD =∠CDF +∠DCF ． 在△ACD 中，∠A +∠ACD +∠ADC = 180，
即 ∠A +∠ACE +∠DCF +∠ADB +∠CDF = 180． ∴ ∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180． 说明 正五角星中每个角都是36．
变式2 如变式1的图，在正五角星中存在黄金分割数，
可以证明
2
15-===BE BM BM BN NB MN （参见人教版课本46页“阅读与思考 —— 黄金分割数”），此结论待同学们学习了相似形的有关知识后即可证明．
变式3 如图，是将不规则的五角星改为退化的五角星，
则其五个角的和等于多少？ 解 如图，将其转化为不规则的五角星，问题立即获解，
五个角的和等于180，或连结两个顶点后利用三角形内角和 定理即可解决．
变式4 六角星，七角星，甚至n 角星的各个顶角之和等于多少？ C B A D E F
C B A
D E
C
B A D E M N
C B A
D E
解 都等于180．
说明 解答星型n 边形顶角和的问题关键是根据“三角形的内角和为180及其推
论”，设法将分散的角归结到某个三角形或四边形中，这是解答此类题目的金钥匙．
24．4 弧长和扇形面积
题目 如图，从一个直径是1 m 的圆形铁皮中剪出一个圆心角为90 的扇形，求被剪掉的部分的面积；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是多少？（人教课本P 1259题）
解 连结BC ，因为扇形的圆心角为90，所以BC 过圆心O
（即BC 是直径），于是在等腰直角三角形ABC 中， 2222==
BC AB ，扇形的面积为8
412ππ=?AB ， 扇形的弧长为 42241ππ=??AB ，因此被剪掉的部分的面积为8
8)21(2πππ=-BC （m 2）． 将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径r 满足 422ππ=r ，得8
2=r （m ）． 点评 求解图形（阴影部分）的面积时，通常是利用等积变换，分割、重叠等，把求图
形（阴影部分）的面积转化为求圆，扇形，弓形，三角形或多边形等基本图形的面积．
演变 变式1 求所围成的圆锥的高h 和体积V ． 解 8
30)82()22(2222=-=-=r AB h ， 76830830)82(313122πππ=?=?=h r V ． 变式2 如图，AC ，BD 是⊙O 中两条互相垂直的直径，以A 为圆心AB 为半径画弧BD
⌒，求证：月牙形阴影部分的面积等于△ABD 的面积．
解 设圆的半径为R ，则222
1R R R S ABD =??=?． 以A 为圆心，AD 为半径画出的扇形ABED 的面积222
1360290R R S ππ==）（扇形，弓形BED 的面积为2221R R -π，所以月牙形阴影部分的面积等于2222)2
1(21R R R R =--ππ，即与△ABD 的面积相等．
变式3 如图，从一个半径是r 的圆形铁皮中剪出一个圆心角为 的扇形，求扇形的
面积；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求圆锥底面圆的半径．
解 连结OA ，OB ，OC ，则OA = OB = OC = r ，∠BOC = 2∠BAC ，OA 平分∠BAC ，即2α
=∠OAB ，∠BOC = 2．过O 作OD ⊥AB 于D ，则OD 平分AB ，于是AB = 2AD ．
在Rt △ADO 中，2cos
cos αr OAB OA AD =∠?=，∴ 2cos 2αr AB = 因此，扇形ABC 的面积为2cos 90360222απαπαr AB S =??=扇形， O A D
l r h C A B O
C D
A B O E
BC 弧长为9023602r r παπα=?． ∵ BC
⌒所对的圆心角为2， ∴ 将扇形围成圆锥，则圆锥底面圆的半径r 1 满足2r 1 =BC ⌒=90r
πα，得1801r
r πα=．
25．1 概率
题目 已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7．如果宇宙中飞来一块陨石落在
地球上，“落在海洋里”与“落在陆地上”哪个可能性更大？（人教课本P 1391题）
解 落在海洋里的可能性更大．
点评 可能性是指能成为事实的属性．然而世界上有很多事情具有偶然性，人们不能事
先判断这些事情是否会发生．概率就是从数量上用来描述（刻画）随机事件发生的可能性的大小．对这一问题，需要充分把陨石抽象成随机地散落，地球也是必须抽象成平辅的面，与生活中通常所看到的质点只能正面地落在面上（不可能弯曲行进而落在背面上）．我们生活的地球，脚下大地的形状并不是无边无际的辽阔平面，而是大致接近于球面．
演变
变式1 已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7．如果宇宙中飞来一块陨石落
在地球上，则“落在海洋里”与“落在陆地上”的概率各是多大？
解 落在海洋里的概率为107737=+，落在陆地上的概率为10
3733=+． 变式2 小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针
扎到正三角形的内切圆（即阴影部分）区域的概率为（ ）．
A ．21
B ．
π63 C ．π93 D ．π
33 解 设正三角形的边长为单位1，则正三角形的面积为4
3，正三角形的内切圆半径 6330tan 21=?=r ，内切圆的面积为12
)63(2ππ=，针扎到正三角形的内切圆（即阴影部分）区域的概率为ππ9
34312=÷，选C ． 变式3 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人
一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率． 解 以x 和y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人
能够会面的条件是∣x －y ∣≤15．在平面直角坐标系中，点（x ，y ）
的所有可能结果是边长为60的正方形，而可能会面的时间由图中的 阴影部分所表示，所以两人能会面的概率为1676045602
22=-=P ． 说明 把上述问题抽象成如下模型是：设在面积为S 的区域中有任意一个小区域A ，小
区域的面积为S A ，则任意投点，点落入A 中的可能性大小与S A 成正比，而与A 的位置及形
状无关，为S
S P A =． 注意，如果是在一个线段上投点，那么面积则改为长度；如果是一个立方体内投点，则
60 x y
O 60 15 15
面积就改为体积．
25.2 用列举法求概率
题目 在6张卡片上分别写有1－6的整数．随机地抽取一张放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？（P 154练习第1题）
解 设第一次随机地取出的数字为a ，第二次随机地取出的数字为b ，则（b ，a ）共有
36种情况．
从上表可知，b 能够整除a 的情况有（1，1），（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（6，
1），（2，2），（4，2），（6，2），（3，3），（6，3），（4，4），（5，5），（6，6），共14种．
因此，所求的概率为
18
73614=． 点评 用列表或画树状图的方法，可以不重不漏的列举事件发生的所有结果，我们把这
两种方法统称为列举法；列举法只适用于等可能事件；等可能事件的特点是：出现的结果是有限多个，各结果发生的可能性相等．
用列举法求概率的一般步骤是：（1）用列表或画树状图的方法，列举出事件所有可能出
现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否相等；（2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果个数n 及所求事件出现的结果个数m ；（3）利用公式计算所求事件A 的概率，即
n
m A P =)(． 列表或画树状图都可以清晰地、不重不漏的表示出某个事件发生的所有可能结果，从而
很方便地求出某些事件发生的概率．
当试验包含两步时，列表法比较方便，也可以用画树状图法；当试验在三步或三步以上
时，用画树形图的方法方便．
演变
变式1 求第二次取出的数字小于第一次取出的数字的概率是多少？（答案：12
5） 变式2 把第一次取出的数字作分母，第二次取出的数字做分母，所求得分数是真分数的概率？（答案：36
11） 变式3 求两次取出的数字和大于8的概率？（答案：
18
5） 变式4 同时抛掷两枚均匀的正方体骰子．求：（1）掷得两个6的概率；（2）两枚骰子
的点数之和为奇数的概率；（3）两枚骰子的点数之积为奇数的概率；（4）所得两个点数之和大于9的概率．（答案：（1）（2）（3）（4））
变式5 已知关于x 的不等式ax －3＜0（其中a ≠0）．（1）当a = 2时，求此不等式
的解，并在数轴上表示此不等式的解集；（2）在6张卡片上分别写有1－6的整数，从中任意抽取一张，以卡片上的数作为不等式中的系数a ，求使该不等式没有．．正整数解的概率． （答案：（1）23<
x ，在数轴上的表示略 （2）3
2） 变式6 小明和小颖做抽取卡片（6张卡片上分别写有1－6的整数）游戏，规则如下：
① 游戏前，每人选一个数字； ② 每次各抽取1张卡片； ③ 如果同时抽取的1张卡
片点数之和，与谁所选数字相同，那么谁就获胜．
（1）列出同时抽取的卡片数字所有可能出现的结果；
（2）已知小明选的数字是5，小颖选的数字是6．如果你也加入游戏，你会选什么数字，使自己获胜的概率比他们大？请说明理由．
（答案：（1）略 （2）同时抽取两张卡片，可能出现的结果有36种，它们出现的可能
性相同．所有的结果中，满足两张卡片点数和为5（记为事件A ）的结果有4种，即（1，4），
（2，3），（3，2），（4，1），所以小明获胜的概率为9
1364)(==A P ．满足两张卡片点数和为6（记为事件B ）的结果有5种，即（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），所以小颖获胜的概率为36
5)(=B P ．要想使自己获胜的概率比他们大，必须满足两张卡片点数和出现的结果多于5种，由所列表格可知，只有两张卡片点数和为7（记为事件C ）的结果多于5种，
有6种，即（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），所以6
1366)(==C P ．因此，要想使自己获胜的概率比他们大，所选数字应为7．）
变式7 A 箱中装有3张相同的卡片，它们分别写有数字1，2，4；B 箱中也装有3张
相同的卡片，它们分别写有数字2，4，5．现从A 箱、B 箱中各随机地取出1张卡片，请你用列表或画树状图的方法求：（1）取出的两张卡片数字恰好相同的概率；（2）如果取出A 箱中卡片上的数字作为十位上的数字，取出B 箱中卡片上的数字作为个位上的数字，求两张卡
片组成的两位数能被3整除的概率．（答案：（1）91 （2）9
5）
说明由于两次取出来的数字互有较强的关系，所以可以据此编出有关这两次数字的加法、减法、乘法、除法、乘方、开平方、不等式、指数、对数，甚至函数的概率问题．
初中数学中的几道变式训练题一、已知：点O是等边△ABC内一点, OA=4，OB=5，OC=3 求∠AOC的度数。 变式1：在△ABC中，AB=AC，∠ OA=4，OB=6，OC=2 求∠AOC的度数。 变式2：如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°, ∠BOC=135°试问:(1)以OA、OB、OC为边能否构成一个三角形?若能,请求出三角形各内角的度数;若不能,请说明理由. (2)如果∠AOB的大小保持不变,那么当∠BOC等于多少度时, 以OA、 OB、OC为边的三角形是一个直角三角形? 二、已知：C为AB上一点，△ACM和△CBN为等边三角形（如图所示） 求证：AN=BM A B C O A C A B C O
（分析：如对此题多做一些引申，既可以培养学生的探索能力，又可培养学生的创新素质） 探索一：设CM 、CN 分别交AN 、BM 于P 、Q ，AN 、BM 交于点R 。问此题中还有其他的边相等以及特殊角、特殊图形吗？给予证明。 探索二：△ACM 和△BCN 如在AB 两旁，其它条件不变，AN=BM 成立吗？ 探索三：△ACM 和△BCN 分别为以AC 、BC 为底且顶角相等的等腰三角形，其它条件不变，AN=BM 成立吗？ 探索四：A 、B 、C 三点不在一条直线上时，其它条件不变，AN=BM 成立吗？ 三、轴对称：已知直线l 及同侧两点A 、B ，试在直线l 上选一点C ，使点C 到点A 、B 的距离和最小。 变式1：如图，请你设计出两种方案的路线和最短的行走路线（画图 并说明理由） 方案1：小华由家先去河边，再去姥姥家； M A C B B A l
初中数学教学疑难问题 问题一：关于计算器的使用 数学能力的培养很重要的一个方面就是运算能力的培养。但在七上就开始学习了计算器的使用，很多同学对有理数的运算和后面的实数的运算就都使用计算器来进行，这对学生运算能力的培养有很大的负面影响，很多学生有的连简单的加减乘除都使用计算器，但是实数的很多运算不使用计算器，又得不出答案，那么在什么情况下使用计算器，什么情况下不准使用计算器呢？这一点老师很难把握。计算器的使用给学生运算能力的提高产生很大的负面影响，而在七上就使用计算器，是不是学生手头的运算能力有小学的水平就可以了？(潘树峰提供) 问题二：关于合作学习 合作学习是新课标倡导的学习方式之一，能充分体现教学民主，培养学生的合作意识和交流能力，因此被越来越多的老师引入课堂。但是，有些内容过于简单，不需要合作学习学生也能回答，书本把它作为合作学习的内容，那么合作学习还有必要吗？还有合作学习跟小组讨论有什么区别呢？另外，在“小组学习”中还会遇到一些问题，如：有些学生就是不配合，合作讨论时乘机讲话，提不出什么问题，解决不了问题，形式上几个同学围在一起讨论很热闹，但实际上课堂中缺乏有效的交往和互动。教师该如何调动他们参与的积极性呢？教师对活动如何进行有效的监控和及时引导呢？在汇报讨论结果时，优秀学生的想法和意见往往代替了组内其他同学的意见，而那些性格内向、胆子较小或学习落后的学生发言的机会较少，这样会造成两极分化。还有在合作的时间上也很难把握，有的问题展开讨论需要很长时间，草草收场，达不到所需要的效果，时间过长又怕影响上课内容与任务完不成，那么该怎样来控制合作讨论的时间呢？(潘树峰提供) 问题三：课本例题怎么用？ 课本例题一般没有思路分析过程，解题步骤也是比较精练的，需要教师作进一步的剖析，所以我会让学生自己先阅读，同时把题目抄到黑板上，再进行深入分析。但遗憾的是我发现，有很多学生并没有认真听我的思路分析并回答我的提问，而是有口无心的照搬照读课本，甚至答非所问。还有些学生因为能看懂，索性不听。所以难以达到《数学教学建议》中提到例题教学要求。（关注过程，促进内化：在例题教学中，让学生参与分析题意寻求解体题思路的过程，体验分析解决问题的方法。）(潘树峰提供) 问题四：如何解决教学内容增多与课时不足的矛盾？
课题名称：初中数学概念的变式教学研究阶段报告 研究容：初三阶段数学概念的变式教学研究 关键词：数学概念变式教学 一、问题提出： （一）问题提出的背景： 十年来，我一直担任初中数学的教学工作，也做了很多全国各地中考题和辅导书上的练习题，慢慢发现很多题实际上考查的知识点都是同一个容，只是题目的立意，创设的情景不同而已。在平时的教学中，我们认为学生已经很熟知的知识，但只要对问题的背景或情景做一些改变，学生就做不出来了。现在社会需要的是创新人才，需要有独立解决问题能力的人才，为了培养学生思维习惯，提高学生的应变能力，我在实际的教学中进行了“关于初中数学概念的变式教学研究”的课题研究。 针对以上背景，也为了进一步提高我校数学教师的整体教学水平，为进一步适应时代的要求，着眼学生的终身学习，着眼学生的发展，让学生积极主动地参与学习活动，在主动参与的过程中掌握学习的方法与技能，进一步提高学生数学的综合素养，我们组全体成员以饱满的热情、高度的责任感和使命感，围绕这一研究课题展开工作。 （二）研究的目的、意义 1、研究的目的： （1）学生能够更好的理解数学中的重要概念以及相关概念的联系和区别，熟悉概念在解题中的运用。 （2）提高我校初三学生的自主探究能力，优化学生的思维能力，提高课堂教学质量。同时，提高教师的专业水平。 2、研究的意义： 数学概念的学习是学生学习数学知识的起点，变式教学是提高学生解题能力的一种重要途径，而数学概念的变式教学能够更好的帮助学生理解所学的知识，以及利用概念来解决相关的问题，使教学过程成为一种有利于学生积极探究的过程，提高学生的学习效能。 传统的数学教学模式早已不适合现代的教学节奏，一些有识之士已经对于数学变式教学进行过研究。如：形式变式、容变式和方法变式等。结合我校实际，我的研究课题，力求在数学概念的变式教学研究中，找到符合知识体系，符合学生发展认知规律的课堂教学模式。 （三）、概念界定： 1、变式教学是指在教学过程过变更概念非本质的特征、改变问题的条件或
初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 轴 对 称 最 值 图形 l P B A N M l B A A P B l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直 线，P为直线l上的一 个动点，求AP+BP的 最小值 A，B为定点，l为定直线， MN为直线l上的一条动线 段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动 点，求|AP-BP|的最大值转化 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N 重合，然后作其中一个定 点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 折 叠 最 值 图形 B' N M C A B 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折， B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为． 【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD ∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．
初中数学教案问题调查报告 ——从学案设计中体会教案 国际中学于晶 我校在进行生命化课题研究的过程中，对各备课组也提出了要有自己小课题的要求，当时我们备课组主要着眼点是研究如何利用学案指导学生进行学习，当时采用这一课题的思路是希望以“学案导学”来带动教师的教案方式的转变、帮助学生完成学习方式的改变这样的一种教改思路。学案主要呈现的是学生在自主学习、小组合作、交流展示中所要完成的教案内容，这也是依照生命化课堂三分之一教案模式的标准去落实的。随着活动的开展，我们的教案也在悄悄的发生着变化，走入每位老师的课堂，审视每位老师的学案设计，各有各的特点，但凸现的问题也是整个教案层面上普遍存在的现象。下面我就以一篇学案开始来谈谈自己的看法，以供同仁商榷。 课堂诊断《一次函数图象》 ——课堂中的问题设置的思考 一、自主探究 自学课本P104页—105页做一做以上的部分，回答下列问题。 1、函数图像的定义：(在书上找出来> 作函数图象的一般步骤是： 2、所列表格中x的值是任意取的吗？y的值是如何得到的，表 格中的省略号表示什么意思？ 3、描点：是以作为点的坐标 4、连线得到的函数图象有什么特点？ 评：这里的解决方式是让学生自己看书，进行自主学习，把答案写在工作单中，然后由学生口答所写答案，我想学生照书机
械的记下来会在脑子里留下多深的痕迹呢？另外他写下来说出来他就会了吗？ 二、学以致用： 1、运用所学步骤作出一次函数y=-x+1的图象。 <1） <2） <3） 2、在所作的图象上取几个点，找出 它们的横坐标和纵坐标，并验证 它们是否都满足关系式y=-x+1？ 评：绘制图像时采用了电脑屏幕演示画法， 与黑板演示画法PK，我觉得丢了原生态的东 西。 3、思考： (1>、满足关系式y=-x+1的x、y所对应的
初中数学变式教学策略 从小学到高中，数学都是一门非常重要的学科，数学来源于生活，同时也在生活中有很广泛的应用，学好数学是非常重要的．不过，数 学的计算过程复杂，知识抽象性很强，尤其在初中阶段，学生的抽象 思维尚且不够完善，学习起来困难很大．变式教学是一门重要且效率 极大的数学教学方法，值得教师推广应用． 无论应用怎样的教学方法，教师都需要先了解其理论基础．数学 变式教学同样具备其独有的理论基础．对于人类的生长周期，我们能 够应用逻辑学中的“运算”实行划分，其中，人类的智力成长周期能 够分为四个阶段，依次是感触规律阶段、规律探索阶段、运算作用阶段、运算规律操作阶段．根据智力成长的周期特性，我们不难发现， 学习其实是需要准备的，尤其是对数学知识这种抽象性很强的知识， 更需要学生做出充分的准备和积极的探究．初中生的智力成长正在运 算作用阶段，逐渐向运算规律操作阶段发展，当然，这不是绝对的， 每个学生都不一样，有些学生水平较强已经发展到运算规律操作阶段，而有些学生则还处于规律探索阶段．所以，初中阶段，学生的思维水 平正在发展，对于学生理解水平的培养是非常重要的．数学中有很多 概念和符号都比较抽象，学生在理解时会出现很大难度，难以快速地 形成系统的知识框架．当前，很多初中数学教师在课堂教学中，应用 文字讲解加符号教学的方式实行教学，这对学生知识理解的协助作用 是微乎其微的．学生在难以理解知识的情况下，智力成长也会受到防
碍，从而导致学习效率无法提升，初中数学教学失去意义．在初中数 学变式教学中，其教学活动是围绕着培养学生理解水平这个主题展开的，通过教学知识的理论与应用，将传统的理论教学变成应用教学． 二、发挥变式教学的作用 在明确变式教学的理论基础后，还需要在实际的教学过程中实行 应用，充分发挥其作用．变式教学的基本教学思路是，在教学中增加 一题多变、一法多用、一题多解等模式的应用，通过培养学生的思维 理解水平，提供教学有效性．在初中数学变式教学中，对于某一知识 难点的理解，教师不能沿用过去硬性灌输的低效方法，理应将理论与 应用相结合，围绕同一理论知识，设计多种类型的题目，然后引导学 生在解题的过程中，理解其中蕴含的数学理论知识，这样学生能够对 数学理论知识有非常透彻的理解，将来无论遇到什么样的题型，学生 都能发掘其理论知识本质，从根本找出解决的方法．在变式教学中需 要用到非常多的例题，看起来与题海战术有相似之处，但两者的本质 是完全不同的，变式教学引用例题，不是为了让学生见到更多题型， 按套路解题，而是在教学抽象理论知识的时候，通过灵活多变的题目，将枯燥乏味的理论知识演绎出来，让学生运算规律操作得到充分的锻炼．在初中数学中应用变式教学，能够有以下三个作用． 其一，数学理论知识的变式突显教学的重点．变式教学能够很好 的促动数学理论知识教学．在初中数学变式教学中，对于数学抽象理 论知识的教学，无论是定理、概念、性质还是公式，都能够与其应用
初中数学10大解题方法及典型例题详解 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 例题： 用配方法解方程x2+4x+1=0，经过配方，得到( ) A．(x+2) 2=5 B．(x－2) 2=5 C．(x－2) 2=3 D．(x+2) 2=3 【分析】配方法：若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算。【解】将方程x2+4x+1=0， 移向得：x2+4x=－1， 配方得：x2+4x+4=－1+4， 即(x+2) 2=3； 因此选D。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 例题： 若多项式x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3），则m的值为（）A．-2 B．2 C．0 D．1 【分析】根据因式分解与整式乘法是相反方向的变形，先将（x-1）（x+3）乘法公式展开，再根据对应项系数相等求出m的值。
【解】∵x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3）， 即x2+mx-3=（x-1）（x+3）， ∴x2+mx-3=（x-1）（x+3）=x2+2x-3， ∴m=2； 因此选B。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 例题： 已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8，则x2+y2的值为（） A．-5或1 B．1 C．5 D．5或-1 【分析】解题时把x2+y2当成一个整体来考虑，再运用因式分解法就比较简单【解】设x2+y2=t，t≥0，则原方程变形得 (t+1)(t+3)=8，化简得： (t+5)(t-1)=0， 解得：t 1=-5，t 2 =1 又t≥0 ∴t=1 ∴x2+y2的值为只能是1． 因此选B． 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求
一、教材分析 1．教材的地位和作用： 定义与命题的知识在贯穿于整个初中数学知识体系,但作为单独的章节进行学习,还是首次,在设计上体现了对数学本原的思考,关注的是数学知识的产生和发展过程,目的就是为了通过本节课以及后续知识的学习,使学生感受整个数学体系的建立和完善的过程,是由实验几何向推理几何过渡的重要章节。而作为本章节的第一课时,为学生在本章节中更好的开展学习起着至关重要的作用。 2．学情分析：本节课针对的是八年级下学期的学生,他们在数学学习上已经有了一定的积累,但从数学知识的产生和发展的角度来学习和理解数学中最基本的概念,对学生来说也是第一次,在教学设计上要考虑学生对知识的可接受程度。另外,上课学校是一所知名学校,学生在学习上,应该具备一定的能力和水平,通过努力应该可以达到相应的教学要求。 二、教学目标 知识技能目标： 了解定义的含义,了解命题的含义,掌握区分命题的条件和结论,会将一些命题改写为“如果…,那么…”的形式。 过程与方法目标： 学生通过本节课内容的学习,使学生经历定义的产生过程,感受定义的必要性。同时对命题的含义有初步的体验。体验区分命题的条件和结论的重要性和必要性。 情感、态度与价值观目标： 通过与学生的交流互动,营造愉快、和谐的课堂氛围,积极鼓励学生参与和活动,使学生感受到学习数学的快乐,培养学生主动探索数学知识的积极态度。三、教学重点、难点 1．教学重点：命题的概念。 2．教学难点：命题的结构认识和改写。 四、教法与教具选择 1．教学方法：启发式教学。 2．教具选择：多媒体、其他教具。
五、教学过程 教学 环节 教学程序师生互动设计意图创设 情境“硬广告”的问题 引导学生参与 课堂交流 使学生感受到为了 进行有效的交流必 须引入定义。 新课 定义 1．定义的含义 一般地,能清楚地规定某一名称 或术语的意义的句子叫做该名称或术 语的定义。 定义的核心功能是能清楚地规定 名称和术语的意义。 2．对定义的强化巩固 （1）举出几个数学中的定义； （2）举出其他学科名称的定义。 3．如何定义 观察下列多项式的特征．给以名称,并 作出定义： x2–2x–1 2x2+3x+1 x2–2xy+2y2 4a2–4ab+b2 4．定义的价值 例题：校园中,并不令人在意的教室墙 角,却让我产生了兴趣。 问题1：按我们的生活经验,墙角的线 AO与BO 问题2：如何判断（验证）垂直？ 强调定义 的功能。 学生自由发言, 组织学生评价, 捕捉学生反馈 的信息,适时地 引导学生感受 数学定义的严 密性和简洁性 等。 师生交流，老师 引导，强调“次、 项”。 与学生交流，教 师归纳。 教给学生获取知识 的方法和途径,让学 生的学习可持续发 展。 从定义出发来判断, 解决问题．既体现定 义的价值,有可作为 定义到命题的情境 过渡。 从定义出发思考问 题的解决。 引例：比较下列句子在表述形式上,哪 些对事情作了判断？哪些没有对事情 作出判断？ （1）鸟是动物。学生自主完成。 突出语句的判断功 能。 针对学生在命题理A
第一讲：实数与代数专题典型例题讲解 一实数 1. 例：在14-和15 -之间，请写出两个有理数： . 2. 有理数2 2 3 1 2, (2), 2, 2 ---- 按从小到大的顺序排列是（ ） A ．322122< (2) 2-<--<-， B . 223 12< (2) 22 -<--<- C . 22312< (2) 22-<--<-, D . 232 12< 2(2)2 -<--<- 3. 将一刻度尺如图所示放在数轴上 （数轴的单位长度是1CM ），刻度尺上的“0cm ”和 “15cm ”分别对应数轴上的－3.6和x ，则（ ） A ．9＜x ＜10； B ．10＜x ＜11； C ．11＜x ＜12； D ．12＜x ＜13； 4. 下列说法正确的是（ ） A ．互为相反数的两个数一定不相等； B ．互为倒数的两个数一定不相等； C ．互为相反数的两个数的绝对值相等； D ．互为倒数的两个数的绝对值相等； 5. 若3x -和7x -是某个实数的平方根，则x = . 6. 若函数()f x 、()g x 满足()()0f x g x +=，当2()f x x x =-+，则函数()g x 的最小值为： 7. 有理数A 、B 、C 在数轴上的位置如图所示，则式子|A |+|B |+|A +B |+|B -C |化简结果为.[ ]. .A ．2A +3B -C...B ．3B -C..C ．B +C....D ．C -- 8. 若|A -2|＝2-A ，求A 的取值范围。 9. 已知：|x -2|+x -2＝0，.求：(1)x +2的最大值； 10. 单项式3x y π - 的系数是_______，次数是_____。 11. 如果21 13 m n a b +--与5 4a b 的同类项，则M =_____，N =_________。 12. 如图．在正方形ABCD 的边长为3，以A 为圆心，2为半径作圆弧．以D 为圆心， 3为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分为S 1、S 2．则S 1-S 2= . 13. 以Rt △ACB 两条直角边为直径向外作半圆，如图，其面积分别为1S 和2S ，若△ABC 的面积为S ，则12,S S 与S 的关系为 . 14. 若2 2(3)16x m x +-+是完全平方式，则m 的值为： . 15. 若m 2+m -1=0，求m 3+2m 2+2015的值． 16. 若0,0,x xy <<则15y x x y -+---=
初中数学人教版七年级下册教材变式题 学号： 班级： 姓名： 一、选择题 1、如图，用量角器画∠AOB 的平分线OC ，在OC 上任取一点P ， 过点P 画PE ⊥OB ，重足为E ，过P 画FG ∥OB 交OA 于F ， 并指出与∠OPE 互余的角有（ ）个 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 2、某市市区内出租车的收费标准是：起步价（在3千米以内的收费）是1人4元，2人以上5元，超过3千米以后每增加1千米加收1元，（不足1千米按1千米计算）小红在市区乘出租车从甲地到乙地共用去8元，设甲地到乙地的路程为x 千米，那么x 的取值范围（ ） A 、5≤x ＜6 B 、5＜x ≤6 C 、6≤x ＜7 D 、6＜x ≤7 3、把二元一次方程的每组解可看成是平面直角坐标系内一点的坐标。如方程53=+y x 的解：x=2,y=－1则其坐标为（2，－1），试判断下列各点的坐标是方程53=+y x 的解的是（ ） A.（1，－2） B.（－1,2） C.（0,5） D.（2,0） 4、关于x 的不等式03>-a x 只有3个负整数解，则a 的取值范围是（ ） A. 912<≤-a B.912≤<-a C.34-≤<-a D. 34-<≤-a 5、用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。现有36张白铁皮，用多少张制盒身，用多少张制盒底可使盒身与盒底正好配套？设制盒身x 张，制盒底y 张，可列方程组为（ ） A ．?? ?==+y x y x 402536B ．???==+y x y x 254036C ．???=?=+y x y x 4025236 D ．????==+y x y x 4022536 6、一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐变行驶角度后，仍在原来的方向上平行前行，那么两次拐变的角度是（ ） (A)第一次右拐50°,第二次左拐30° （B ）第一次左拐50°,第二次右拐30° （C ）第一次左拐50°,第二次左拐130° （D ）第一次右拐50°,第二次右拐50 7、如图所示，两个完全重叠的直角三角形，将其中一个直角沿BC 方向平移得到△DEF ，如果AB=8cm ，BE=4cm ，DH=3cm ，则图中阴影部分面积为( ) （A ）16cm 2 （B ） 2350cm （C ）26cm 2 （D ）2320 cm 8、不等式组??? ??≤<-15112x x x 的解集在数轴上表示正确的是 （ ） 二、填空题 9、若点P （2a －3，1+a ）到两坐标轴的距离相等等，则点P 的坐标为_________。 10、已知：线段MN 的两个端点坐标分别是M （－4，－1），N （0，3）。将线段MN 平移后得到线段M’N’，若点M 的对应点M’为（－2，2），则线段M’N 的中点Q 的坐标为______。 11、一辆匀速行驶的汽车在11：10距李庄60千米，现在因有紧急任务，要在12:00前赶到李庄，车速应满足的条件是 12、若不等式组?? ?>-<-3 21 2b x a x 的解集为21<<-x ，那么（a －1）(b+1)的值是 。 13、已知A （－2，4）过点A 的直线AB ∥x ，且AB=3，则点B 的坐标为___________。 14、已知点M （2a+b,4）和N(－3，3a+b)关于y 轴对称，则a=____，b=_______。 15、某商品的售价为150元，商家售出一件这种商品可获得的利润率预计要在10%~20%范围内，则进价的范围是____________。 16、售货员李阿姨在一次糖果销售中误将单价为3元/千克的甲种糖果m 千克与单价为5元/千克的乙种糖果n 千克混装在一起，已知n m >，现决定将混装糖果以4元/千克的单价出售，试问在此次销售中时盈利还是亏损？______（填“盈利”或“亏损”） 17、关于x 的不等式组? ??>-≥-1250 x a x 只有四个整数解，则a 的取值范围是___________。 18、苹果的进价为每千克1.5元，销售中估计有5%的苹果正常损耗。为避免亏本，商家应把售价至少 定为 元； 19、一条船顺流航行，每小时行20km ；逆流航行，每小时行16km ，求轮船在静水中的速度和水流速 度。设船在静水中的速度为x km/h ，水流速度为y km/h ，则所列的方程组为 。 20、已知N （1－2m ，m －2）是第三象限内的整数点，则点N 的坐标为____________。 21、若b a <，则a b 23 1 ______231----（用“>”或“<”填空） 三、解答题 22、解方程组：（1）4(1)3(1)2223x y y x y --=--???+=?? （2）2313424575 6 15 u v u v ?+=????+=? ? 23、已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，当MN 与EF 满足什么条件时，AB 平行于CD ，请说明理由。
初中数学教学中典型的最迫切需要解决的教学问题 ------课堂教学中的“改革”与“创新” 昆明实验中学杜晓峰 新课改背景下，给数学教师的课堂教学带来了前所未有的挑战，“改革”成为现代教育的热门话题。从何处变革怎么变革这是每个教师最关心的。“创新”是变革之魂，创新教育的基本要求是个性化、自主性、探索性、开放性、民主性、实践性、启发性的对于一线的教师而言，换句话说，就是要激发学生的兴趣，调动学生的积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性，要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。 针对教师们在贯彻党的新课改教育方针中存在的问题，结合自己在一线从教28年的工作心得，本人拟就数学教学中教师们最需要考虑的问题及其解决策略提提自己的看法。 一、关注教学的实效性，提高教学质量 任何有生命力的改革都是在前人基础上的创新，不是对旧有经验的全盘否认，而是扬弃的过程。经过对课改的冷思考，教育界从上至下已达成共识：轰轰烈烈的课改，必须坚持“质量是教学的生命线，是教育教学永恒不变的主题”的宗旨，即要讲求教学的实效性。 有专家提出，新课程的课堂评价指标是：①能否营造一种激发学生学习热情的氛围;②目标是否明确清晰；③师生精神是否饱满；④榜样树立是否有代表性；⑤思路是否宽广。 教材新，教法新，评价指标新，呼唤教师必须更新思想头脑、更新知识体系、更新工作观念。一本教科书一根教鞭传承文明的教学已不符合时代的节拍，知识的
局限性、视野的狭窄让很多教师苦于“巧妇难为无米之炊”，既要中看又要中用的好课需要教师在课前做好充分准备，在课后做好冷静的反思。我认为，钻研和解读教材是教师永远的基本功。具体如下： 1.狠抓备课关，不打无准备之仗。 在备课时要努力做到：一看，除了看教科书外，还要研究课标、参看相关教辅资料等，拓宽教学内容的覆盖面，教学中，广闻才能博引，要用新意吸引学生的眼球；二划，在教科书上划出重、难点，对教材的把握做到心中有数；三谈，与同年级教师交谈教法、困惑，实现同伴互助；四记，熟记教学提纲和脉络，杜绝照本宣科教学，杜绝教条主义；五改，在往年备课的基础上修改，层层提高，省时高效。 2.准备好讲授内容。 包括引入材料、例题与习题的精选、知识规律的总结、备用的格言与故事等。比如有一位教师在教学“倒数”的概念时是这样设计教学引入的：我国的汉字内涵博大精深，“音”字上下颠倒就变成了“昱”字，“显”字上下颠倒就变成了“晋”字……我们数学课中也有如此有趣的现象，比如3/5，以分数线为界，分数线上下的数字颠倒，就变成了另外一个分数5/3,6/7变成7/6等等，像这样的数我们把它叫做倒数。这样引入新课，学生对倒数的结构已经有了感性的认识，案例也很有吸引力。 3.组织好讲课的语言。 包括导语、提问用语、每个内容承上启下的过渡语等。 4.准备好教辅工具。 自己制作教具、图片，或借助远教资源、电化教育手段。 5.调动学生积极主动听课。
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/5313805469.html, 初中数学变式教学的运用 作者：赖秀芬 来源：《中学教学参考·理科版》2015年第07期 [摘要]初中数学教学中采用变式教学的模式，可以在一定程度上提高学生学习数学的效率.变式数学是一种根据教学目的，对相关命题进行合理转化的教学模式.变式教学必须从一个或 几个原则进行重点考虑：有效原则、目标指导原则、创新性原则.主要分析了对初中数学变式 教学的认识与研究，为数学教学提供参考. [关键词]初中数学变式数学应用分析 [中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）200011 数学是一门最基础的学科，到了初中，学生对这门课程早已经不陌生了.它可以开拓学生 的思维，使学生的逻辑性更强，思维更宽广.然而，数学也是一门很枯燥的学科，学生学习数 学时并没有什么兴趣.因此，在初中数学教学过程中，应适当地采用一些合理有效的方式来提 高学生学习数学的效率.经过专家的不懈努力，变式教学的模式应运而生，并且在实际教学中 的应用得到了广大师生的肯定.可仍然有教师在数学教学中对变式教学模式不是很熟悉，没有 真正地去理解变式教学的具体含义和教学方式，在数学教学中没有充分发挥出变式教学模式的作用.因此，本文将探讨变式教学模式在初中数学教学中的应用研究，使其能更好地得到推广. 一、数学变式教学的含义 以往的数学教学工作，总是完全围绕课本或教学大纲进行.现如今，在新课程标准的引导下，数学的教学模式发生了改变，数学不再是完全局限在一个封闭的课本知识领域，而是让学生在对所学知识有了一定的理解后，运用变式教学的方法，进一步深化学习.这里所说的变 式，指的是教师要有目的地对数学概念和例题进行合理的转化，在保留概念或例题的本质内容的情况下，教师将其进行不断的变换.如变换内容、形式和结果等，从而让学生既学习、掌握 了该数学的概念，又让学生更好地掌握它的本质内容. 二、变式教学的分类应用 数学概念有很多，初中数学教学的秩序一般都是先从概念入手.教师进行概念的讲解，学 生学好数学的关键就是能否正确地理解数学的概念.所以，变式教学在数学概念教学中的应用 相对还是比较常见的.将变式教学方式运用到数学的概念教学中，学生的想象空间会更宽泛.学生明白了数学概念的同时，还可以与数学的变式知识联系到一起，这样学生在做数学题时的思维会更开放，对解数学题有很好的帮助，从而达到实现变式教学，提高初中生学习数学的兴趣和效率的目的.数学的魅力就在于难题被解开的那一瞬间，学生获得的成就感，这种成就感可 以增强学生的自信.对学生提高数学学习能力也是一种帮助.
初中数学中的几道变式训练题 一、 已知：点O 是等边△ABC 内一点, OA=4，OB=5，OC=3 求∠AOC 的度数。 变式1： 在△ABC 中，AB=AC ，∠ OA=4，OB=6，OC=2 求∠AOC 的度数。 变式2：如图,点O 是等边△ABC 内一点,∠AOB=110°, ∠BOC=135° 试问:(1)以OA 、OB 、OC 为边能否构成一个三角形?若能,请求出三角 形各内角的度数;若不能,请说明理由. (2)如果∠AOB 的大小保持不变,那么当∠BOC 等于多少度时, 以OA 、 OB 、OC 为边的三角形是一个直角三角形? 二、已知：C 为AB 上一点，△ACM 和△CBN 为等边三角形（如图所示） 求证：AN=BM （分析：如对此题多做一些引申，既可以培养学生的探索能力，又可 A B C O A C A B C O M A C B
培养学生的创新素质） 探索一：设CM、CN分别交AN、BM于P、Q，AN、BM交于点R。问此题中还有其他的边相等以及特殊角、特殊图形吗？给予证明。 探索二：△ACM和△BCN如在AB两旁，其它条件不变，AN=BM成立吗？ 探索三：△ACM和△BCN分别为以AC、BC为底且顶角相等的等腰三角形，其它条件不变，AN=BM成立吗？ 探索四：A、B、C三点不在一条直线上时，其它条件不变，AN=BM 成立吗？ 三、轴对称：已知直线l及同侧两点A、B，试在直线l上选一点C，使点C到点A、B的距离和最小。 变式1：如图，请你设计出两种方案的路线和最短的行走路线（画图并说明理由） 方案1：小华由家先去河边，再去姥姥家； 方案2：小华由家先去姥姥家，再去河边； 小华家 河流 B A l
初中数学知识要点及典型例题 第一章实数 第一讲实数的有关概念 【回顾与思考】 知识点：有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值 课标要求： 1．使学生复习巩固有理数、实数的有关概念． 2．了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。 3．会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小 4．画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。 考查重点： 1．有理数、无理数、实数、非负数概念； 2．相反数、倒数、数的绝对值概念； 3．在已知中，以非负数a2、|a|、 a (a≥0)之和为零作为条件，解决有关问题。 实数的有关概念
(1)实数的组成 {} ?????????????????????????????????正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数 (2)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴 时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)，实数与数轴上的点是一 一对应的。数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数， (3)相反数 实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反 数，零的相反数是零)． 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称． (4)绝对值 ?? ???<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a 从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离 (5)倒数 实数a(a ≠0)的倒数是a 1(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)； 零没有倒数． 【例题经典】 理解实数的有关概念
浅谈初中数学例题教学的策略 李翠霞数学与应用数学2013级 摘要：在数学学习当中，总不乏能把运算公式、运算法则、图像的性质、判定定理等基础知识娓娓道来，但独自去解答问题时却一筹莫展的学生。这一困局的出现大都是在例题学习这一环节掉链子了，因为例题学习起着上承基础知识下接实际运用的重要作用。可见例题教学的质量直接影响学生思维的培养、智力的开发。本文从挑选例题、分析解题思路、示范书写过程、总结规律四个方面来阐述初中数学例题教学的策略。 Abstract：In mathematics study，there is no lack of total can the computing formula ,algorithm , the nature of the image , Theorem on basics such as drawing, But the students to answer questions cannot alone.The emergence of this dilemma is mostly studied in sample this link drop chain, for example learning pick up with the basic knowledge and the important role of practical application. Visible example teaching directly influences the quality of the cultivation of students' thinking, and translation service. In this paper, from the selected sample, analysis of the problem solving thinking, demonstration of the writing process, Summary law from four aspects to elaborate the strategy of junior middle school mathematics teaching examples. 关键词：例题教学，思路，书写过程 Key words：Examples of teaching, train of thought, translations into writing process 1.前言 1.1研究数学例题教学的目的。 数学例题是知识由产生过渡到应用的纽带。恰如其分的例题教学既能够加深学生对新知识的理解，规范学生的解题过程，又能够训练学生的思维，在潜移默化中使学生形成分析问题和解决问题的能力。 1.2研究数学例题教学的意义。 数学例题教学不但有助于学生吸取新的知识，而且还能巩固所学知识，促进学生对基础知识的渗透的理解，明确知识间的联系，基本技能的形成和数学能力的提高。例题教学在数学课堂教学中的作用是极其突出的，为此探寻行之有效的例题教学的方式方法是每一位数学教师义不容辞的职责。
初中几何证明题 经典题（一） 1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF．（初二） .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150． 求证：△PBC是正三角形．（初二） .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 A P C D B A F G C E B O D
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 经典题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 B
初中数学变式题与应用题的研究 桦南四中王玉光 初中数学变式题和应用题不但是学习的重点。而且是学习的难点，很多同学对几何变式证明题。不知从何着手，一部分学生虽然知道答案，但叙述不清楚，说不出理由，对逻辑推理的证明过程几乎不会写，这样，导致大部分的学生失去了几何学习的信心，虽然新的课程理念要求，推理的过程不能过繁。一切从简，但证明的过程要求做到事实准确、道理严密，证明过程方能完整，教学中怎样才能把几何变式证明题的求解过程叙述清楚呢?根据教学经验，我在教学中是这样做的，希望与大家一起探讨。 一、“读”——读题 如何指导学生读题,仁者见仁、智者见智，我们课题组结合我们的研究和本校学生的实际，将读题分为三步:第一步，粗读(类似语文阅读的浏览)。快速地将题目从头到尾浏览一遍，大致了解题目的意思和要求;第二步，细读。在大致了解题目的意思和要求的情况下，再认真地有针对性地读题，弄清题目的题设和结论，搞清已知是什么、需要证明的是什么,并尽可能地将已知条件在图形中用符号简明扼要地表示出来(如哪两个角相等，哪两条线段相等，垂直关系，等等)，若题中给出的条件不明显的(即有隐含条件的)，还要指导学生如何去挖掘它们、发现它们;第三步，记忆复述。在前面粗读和细读的基础上，先将已知条件和要证明的结论在心里默记一遍，再结合图形中自己所标的符号将原题的意思复述出来。到此读题这一环节，才算完成。对于读题这一环节，我们之所以要求这么复杂，是因为在实际证题的过程中，学生找不到证明的思路或方法，很多时候就是由于漏掉了题中某些已知条件或将题中某些已知条件记错或想当然地添上一些已知条件，而将已知记在心里并能复述出来就可以很好地避免这些情况的发生。
初中数学例题教学的反思 初中数学例题教学的反思 【内容摘要】巩固题做了千万遍，数学成绩却迟迟得不到提高!这应该引起我们的反思了。诚然，出现上述情况涉及方方面面，但其中的例题教学值得反思，数学的例题是知识由产生到应用的关键一步，即所谓“抛砖引玉”，然而很多时候只是例题继例题，解后并没有引导学生进行反思，因而学生的学习也就停留在例题表层，出现上述情况也就不奇怪了 【关键词】例题教学反思探究 我们常有这样的困惑：不仅是讲了，而且是讲了多遍，可是学生的解题能力就是得不到提高!也常听见学生这样的埋怨：巩固题做了千万遍，数学成绩却迟迟得不到提高!这应该引起我们的反思了。诚然，出现上述情况涉及方方面面，但其中的例题教学值得反思，数学的例题是知识由产生到应用的关键一步，即所谓“抛砖引玉”，然而很多时候只是例题继例题，解后并没有引导学生进行反思，因而学
生的学习也就停留在例题表层，出现上述情况也就不奇怪了 新课程强调以创新精神和实践能力的培养为重点,倡导以“主动、探究、合作”为特征的学习方式。教学活动是师生的双边活动,它是以教材为中心,教师教的活动和学生学的活动的相互作用,使学生获取数学知识、技能和能力,发展学生思维品质,培养创新意识,并形成良好的学习习惯。 我国最早的教育著作《学记》中说:“学然后知不足,教然后知困。知不足,然后能自反也;知困,然后能自强也。”任何一个学生,不论其学习能力起点如何,都有必要通过多种途径对自己的学习进行反思。在当前风风火火的课改实验中,如何真实培养学生的反思习惯和能力,构建起师生互动的反思模式是初中数学教学反思的核心,这也是我们教师应重点反思的地方。 孔子云：学而不思则罔。“罔”即迷惑而没有所得，把其意思引申一下，我们也就不难理解例题教学为什么要进行解后反思了。事实上，解后反思是一个知识小结、方法提炼的过程；是一个吸取教训、逐步提高的过程；是一个收获希望的过程。从这个