《矩阵论》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号: xxxxx 课程中文名称:矩阵论 课程英文名称:Matrix Theory 课程性质:学位课 考核方式:考试 开课专业:工科各专业 开课学期:1 总学时:36学时 总学分: 2学分 二、课程目的和任务 矩阵论是线性代数的后继课程。在线性代数的基础上,进一步介绍线性空间与线性变换、欧氏空间与酉空间以及在此空间上的线性变换,深刻地揭示有限维空间上的线性变换的本质与思想。为了拓展高等数学的分析领域,通过引入向量范数和矩阵范数在有限维空间上构建了矩阵分析理论。 从应用的角度,矩阵代数是数值分析的重要基础,矩阵分析是研究线性动力系统的重要工具。为了矩阵理论的实用性,对于矩阵代数与分析的计算问题,利用Matlab计算软件实现快捷的计算分析。 三、教学基本要求(含素质教育与创新能力培养的要求) 通过本课程的学习,使学生在已掌握本科阶段线性代数知识的基础上,进一步深化和提高矩阵理论的相关知识。并着重培养学生将所学的理论知识应用于本专业的实际问题和解决实际问题的能力。 本课程还要求学生从理论上掌握矩阵的相关理论,会证明简单的一些命题和结论,从而培养逻辑思维能力。要求掌握一些有关矩阵计算的方法,如各种标准型、矩阵函数等,为今后在相关专业中实际应用打好基础。 四、教学内容与学时分配 (一) 线性空间与线性变换 8学时 1. 理解线性空间的概念,掌握基变换与坐标变换的公式;
2. 掌握子空间与维数定理,了解线性空间同构的含义; 3. 理解线性变换的概念,掌握线性变换的矩阵表示。 (二) 内积空间 6学时 1. 理解内积空间的概念,掌握正交基及子空间的正交关系; 2. 了解内积空间的同构的含义,掌握判断正交变换的方法; 3. 理解酉空间的概念,会判定一个空间是否为酉空间 4. 掌握酉空间与实内积空间的异同; 5. 掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质。 (三) 矩阵的对角化与若当标准形 6学时 1. 掌握矩阵相似对角化的判别方法; 2. 理解埃尔米特二次型的含义; 3. 会求史密斯标准形; 4. 会求若当标准型。 (四) 矩阵分解4学时 1. 会求矩阵的三角分解和UR分解; 2. 会求矩阵的满秩分解和单纯矩阵的谱分解; 3. 了解矩阵的奇异值和极分解。 (五) 向量与矩阵的重要数字特征4学时 1. 理解向量范数、矩阵范数; 2. 有限维线性空间上向量范数的等价性; 3. 向量范数与矩阵范数的相容性。 (六) 矩阵分析 4学时 1. 理解向量和矩阵的极限的概念; 2. 掌握矩阵幂级数收敛的判定方法; 3. 理解矩阵的克罗内克积; 4. 会求矩阵的微分与积分。 (七) 矩阵函数 4学时 1. 理解矩阵多项式的概念; 2. 掌握由解析函数确定的矩阵函数; 3. 掌握矩阵函数的计算方法。 五、教学方法及手段(含现代化教学手段) 本课程的所有授课内容,均使用多媒体教学方式,教案采用PowerPoint编写,教师使
华北电力大学硕士研究生课程考试试题(A 卷) 2013~2014学年第一学期 课程编号:50920021 课程名称:矩阵论 年 级:2013 开课单位:数理系 命题教师: 考核方式:闭卷 考试时间:120分钟 试卷页数: 2页 特别注意:所有答案必须写在答题册上,答在试题纸上一律无效 一、判断题(每小题2分,共10分) 1. 方阵 A 的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。 见书52页,代数重数指特征多项式中特征值的重数,几何重数指不变子空间的维数,前者加起来为n ,后者小于等于n 2. 设12,,,m αααL 是线性无关的向量,则12dim(span{,,,})m m ααα=L . 正确,线性无关的向量张成一组基 3.如果12,V V 是V 的线性子空间,则12V V ?也是V 的线性子空间. 错误,按照线性子空间的定义进行验证。 4. n 阶λ-矩阵()A λ是可逆的充分必要条件是 ()A λ的秩是n . 见书60页,需要要求矩阵的行列式是一个非零的数 5. n 阶实矩阵A 是单纯矩阵的充分且必要条件是A 的最小多项式没有重根. 二、填空题(每小题3分,共27分) (6)210021,003A ?? ?= ? ???则A e 的Jordan 标准型为223e 1 00e 0 ,00 e ?? ? ? ?? ?。 首先写出A e 然后对于若当标准型要求非对角元部分为1. (7)301002030λλλ-?? ?+ ? ?-??的Smith 标准型为10003000(3)(2)λλλ?? ?- ? ?-+?? 见书61-63页,将矩阵做变换即得
南京航空航天大学2012级硕士研究生
二、(20分)设三阶矩阵,,. ????? ??--=201034011A ????? ??=300130013B ???? ? ??=3003003a a C (1) 求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan 标准形; A (2) 利用矩阵的知识,判断矩阵和是否相似,并说明理由. λB C 解答: (1)的行列式因子为;…(3分)A 2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλD D D 不变因子为; …………………(3分)2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλd d d 初等因子为;……………………(2分) 2)1(,2--λλJordan 标准形为. ……………………(2分) 200011001J ?? ?= ? ??? (2) 不相似,理由是2阶行列式因子不同; …………………(5分) 0,a = 相似,理由是各阶行列式因子相同. …………………(5分) 0,a ≠共 6 页 第 4 页
三、(20分)已知线性方程组不相容. ?? ???=+=+++=++1,12,1434321421x x x x x x x x x (1) 求系数矩阵的满秩分解; A (2) 求广义逆矩阵; +A (3) 求该线性方程组的极小最小二乘解. 解答:(1) 矩阵,的满秩分解为 ???? ? ??=110021111011A A . …………………(5分)10110111001101A ??????=?????????? (2) . ……………………(10分)51-451-41-52715033A +?? ? ?= ? ??? (3) 方程组的极小最小二乘解为. …………(5分)2214156x ?? ? ?= ? ??? 共 6 页 第 5 页
习题二 1.化下列矩阵为Smith 标准型: (1)222211λλλλ λλλλλ?? -?? -????+-?? ; (2)2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ?? ?? -? ? ??-?? -?? ; (3)2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-????+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---?? . 解:(1)对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→? ??? ????-++???? , 则该矩阵为Smith 标准型为 ???? ? ?????+)1(1λλλ; (2)矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为
2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? ??-????-?? -??; (3)对矩阵作初等变换 故该矩阵的Smith 标准型为 ?? ?? ??????+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换 在最后的形式中,可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1 0000 010 0000100000(1)00 00 0(1)λλλλ?????????? -?? ??-?? . 2.求下列λ-矩阵的不变因子: (1) 21 0021002λλλ--????--????-??; (2)100 1000 λαββλα λαββ λα+????-+? ???+??-+?? ;
习题三 1.证明下列问题: (1)若矩阵序列{}m A 收敛于A ,则{}T m A 收敛于T A ,{} m A 收敛于A ; (2)若方阵级数∑∞ =0m m m A c 收敛,则∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 证明:(1)设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m 则 ,)()(n n m ji T m a A ?=,)()(n n m ij m a A ?=,,2,1 =m 设 ,)(n n ij a A ?= 则 n n ji T a A ?=)(,,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ,即对任意的n j i ,,2,1, =,有 ij m ij m a a =∞ →) (lim , 则 ji m ji m a a =∞ →)(lim ,ij m ij m a a =∞ →)(lim ,n j i ,,2,1, =, 故{} T m A 收敛于T A ,{} m A 收敛于A . (2)设方阵级数 ∑∞ =0 m m m A c 的部分和序列为 ,,,,21m S S S , 其中m m m A c A c c S +++= 10.
若 ∑∞ =0 m m m A c 收敛,设其和为S ,即 S A c m m m =∑∞ =0 ,或S S m m =∞ →lim , 则 T T m m S S =∞ →lim . 而级数∑∞ =0 )(m m T m A c 的部分和即为T m S ,故级数∑∞ =0 )(m m T m A c 收敛,且其和为T S , 即 ∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ,且{} 1-m A ,1 -A 都存在,证明: (1)A A m m =∞ →lim ;(2){}1 1 lim --∞ →=A A m m . 证明:设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ,即对任意的n j i ,,2,1, =,有 ij m ij m a a =∞ →) (lim . (1) 由于对任意的n j j j ,,,21 ,有 ,lim ) (k k kj m kj m a a =∞ → n k ,,2,1 =, 故 ∑-∞ →n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a 2121)()(2)(1) ()1(lim τ = ∑-n n n j j j nj j j j j j a a a 21212121) ()1(τ , 而 ∑-= n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a A 2121) ()(2)(1)()1(τ,
这个帖子对于矩阵论学的不够好的同学很有帮助,对学的好的人也有益处。具体我就不说了,看完自有体会。如果觉得好,就赞一个吧!学习过线性代数的朋友也可以看看,也能从中受益的。 帖子的内容是对矩阵论的一个串讲,个人觉得还不错,能够帮助梳理知识点。加深理解。 矩阵论主要研究的是线性空间以及在线性空间中的一些操作,主要是线性变换。当然书中主要是针对有限维的情况来讨论的,这样的话就可以用向量和矩阵来表示线性空间和线性变换,同其他的数学形式一样,矩阵是一种表达形式(notation),而这一方面可以简洁地表达出我们平时遇到的如线性方程和协方差关系的协方差矩阵等,另一方面又给进一步的研究或者问题的简化提供了一个平台。如特征值分析、稳定性分析就对应着诸如统计分布和系统稳定性等实际问题。而一系列的分解则可以方便方程的数值计算。作为矩阵论的学习,我们需要了解具体的一些计算究竟是怎么算的,但更关键的是要知道各个概念和方法的实际意义,各个概念之间的关系。 首先介绍的是线性空间,对于线性空间中的任意一个向量的表示由基(相当于度量单位)和坐标(相当于具体的尺度),基既然作为度量标准了,当然要求对每一个向量都适用,同时这个标准本身也应该尽可能的简洁,那么就得到了基定义的两点约束1、基的组成向量线性无关;2、线性空间中的任一个向量都可以由基的线性表示。 基作为一种“计量标准”,当然可能会存在多种形式,只要满足上面的两点条件,因而就有必要解决不同的度量标准之间的转换关系,从而得到过渡矩阵的概念,同时可以使用这种转换关系(过渡矩阵)去完成度量量(坐标)之间的转换。 在完成了线性空间这一对象的认识和表达之后,下面需要研究对象和对象之间的关系。这里主要是线性变换,线性变换针对于实际对象主要完成类似于旋转和尺度变换方面的操作,而这种操作也牵涉到表达的问题。为了保持与空间的一致性,我们也同样是在在特定的基下来表示,从而线性变换就具体化为一个变换矩阵,并且,在不同的基下对应的变换矩阵当然也不相同,这里的不同的变换矩阵的关系就是相似的概念。 到此,我们完成了空间中向量的表示和线性变换的矩阵表达。这里涉及了基、坐标、过渡矩阵、变换矩阵、相似矩阵这几个重要的概念。上面算是内涵上的认识,下面我们需要知道线性空间里究竟有些什么东西,它是如何组成的,各个组成成分之间的关系,也就是空间的结构性方面的东西。 首先认识子空间(空间的组成部分),当然既然也是空间,也就要满足空间的加法和数乘的封闭性,要满足那八条定律。后者可以由父空间保证,前面的就要子空间自身素质了。同时要看子空间之间的并、交、直和运算和相应的秩的关系。这里提到了维数,就要多说几句了,空间中的元素往往是连续过渡的,但是对于有限空间而言还有离散的性质,那就是维数,我称其为“不伸则已,一伸则增一”,从这也就说明了为什么可以用若干个子空间的直和可以等价于原线性空间。 子空间的形式很多,有生成子空间、值域空间、零空间和特征子空间等等,我们重点看看特征子空间。一个空间可以划分为若干个特征子空间的直和形式,而每个特征子空间的共同特征就是具有相同的特征值,范围就是对应着这个特征值的若干特征向量的生成子空间。
2017—2018学年第一学期《矩阵论》试卷 (17级专业硕士) 专业 学号 姓名 得分 一.判断题(每小题3分,共15分) 1.线性空间V 上的线性变换A 是可逆的当且仅当零的原像是零, 即ker A =0。( ) 2.实数域上的全体n 阶可逆矩阵按通常的加法与数乘构成一个 线性空间。( ) 3.设A 是n 阶方阵,则k A ),2,1( =k 当∞→k 时收敛的充分 必要条件是A 的谱半径1)( 4. 设1][-n x P 是数域K 上次数不超过1-n 的多项式空间,求导算子D 在基12,,,,1-n x x x 以及基12)! 1(1,,!21, ,1--n x n x x 下的矩阵分别为 , 。 5.设A 是复数域上的正规矩阵,则A 满足: ,并 写出常用的三类正规矩阵 。 三.计算题(每小题12分,共48分) 1.在3R 中,试用镜像变换(Householder 变换)将向量T )2,2,1(-=α 变为与T e )1,0,0(3=同方向的向量,写出变换矩阵。 。2016矩阵论试题A20170109 (1)