习 题 一
13. 设A ∈ C n n ?是Hermite 矩阵。证明A 是Hermite 正定矩阵的充分必要条件是，存在Hermite 正定矩阵B ，使得A=B 2。
解：若A 是Hermit 正定矩阵,则由定理1.24可知存在n 阶酉矩阵U , 使得
U H AU =????
??
?
?
?n λλλO
2
1, i λ﹥0, I =1, 2, ,Λn . 于是
A =U ??
???
??
??n λλλO 21U H
= U ??????? ??n λλλO 2
1U H U ??????
?
?
?n λλλO
2
1U H 令
B =U ??????
?
?
?n λλλO
2
1
U H 则 A =B 2.
反之,当 A =B 2且B 是Hermit 正定矩阵时,则因Hermit 正定矩阵的乘积仍为Hermit 正定矩阵,故A 是Hermit 正定的.
14. 设A ∈ C n n ?是Hermite 矩阵，则下列条件等价:（1）A 是Mermit 半正定矩阵。（2）A 的特征值全为非负实数。（3）存在矩阵P ∈ C n n ?,使得A=P H
P
解：(1)?(2). 因A 是Hermit 矩阵,则存在酉矩阵U,使得
U H AU =diag(n λλλ,,,21Λ)
令x =Uy , 其中 y =e k . 则 x ≠0. 于是
x H Ax =y H (U H AU )y =k λ≧0 (k =1, 2, ,Λn ).
(2)?(3). A =U diag(n λλλ,,,21Λ)U H =U diag(n λλλ,,,21Λ)diag(n λλλ,,,21Λ)U H 令 P =diag(n λλλ,,,21Λ)U H , 则 A =P H P . (3)?(1). 任取x ≠0, 有
x H Ax =x H P H Px =22
Px ≧0. 习 题 二
1.求向量x=（1+i ，-2,4i ，1,0）的1、2、∞范数。
解：1x =01i 42i 1+++-++=7+2, 2x =1i)4i(4)2(i)1i)(1(2+-+-+-+=23,
∞x =max {}1i 42i 1,,,-+=4.
2. 设1ω，2ω…..n ω是一组给定的正数，对任意x=（1ξ,2ξ…..n ξ）T ∈ C n , 规定x =
∑=n
k k
k 1
2
ξω 。证明x
是C n 上的一种向量范数。
解：当 x ≠0时, 有 x ﹥0; 当 x ﹦0时, 显然有 x =0. 对任意∈λC , 有
x λ=
x n
k
k k n
k
k k λξωλ
λξω==∑∑==1
2
1
2
.
为证明三角不等式成立,先证明Minkowski 不等式:
设 1≦p ﹤∞, 则对任意实数 x k ,y k (k =1, 2, ,Λn )有
p
n
k p
k k y x 11
)(∑=+≦∑∑==+n
k p
p
k n
k p
p
k y x 1
11
1)()(
证 当 p =1时，此不等式显然成立. 下设 p ﹥1, 则有
∑=+n
k p
k
k y x 1
≦∑∑=-=-+++n
k p k
k k n
k p k
k k y x y y x x 1
1
1
1
对上式右边的每一个加式分别使用H ?lder 不等式, 并由 (p －1)q =p , 得
∑=+n
k p
k
k
y x
1
≦q
n
k q p k
k p
n
k p
k q
n
k q p k
k p
n
k p
k y x y y x x 1
1
)1(11
1
1)1(11
)()()()(∑∑∑∑=-==-=+++
=q
n
k p
k k p
n
k p
k p
n
k p k y x y x 11
11
11)]()()[(∑∑∑===++
再用 q
n
k p k k y x 11)(∑=+ 除上式两边,即得 Minkowski 不等式.
现设任意 y =(n ηηη,,,21Λ)T ∈C n , 则有
∑=+=
+n
k
k
k k y x 1
2
ηξω=
∑=+n
k k k k 12
)(
ηξω≦
∑=+n
k k k k k 1
2
)(
ηωξω
≦
∑∑==+
n
k j
k n
k k k 1
2
1
2
()(ηωξω=y x +.
3. 设·a ，·b 是C n 上的两种向量范数，又1k ，2k 是正常数，证明下列函数是C n 上的向量范数。 (1) 函数的非负性与齐次性是显然的,我们只证三角不等式.利用最大函数的等价定
义:
max(A , B )=)(2
1b a b a -++
max(),b a y x y x ++≦max(b b a a y x y x ++,)
=)(2
1b b a a b a b a y x y x y y x x --+++++ ≦)(2
1b a b a b a b a y y x x y y x x -+-++++ =)(2
1)(2
1b a b a b a b a y y y y x x x x -+++-++
=max( b a x x ,)+max( b a y y ,) (2) 只证三角不等式.
k 1a y x ++k 2b y x +≦k 1a x +k 1a y +k 2b x +k 2b y =( k 1a x +k 2b x )+( k 1a y +k 2b y ) .
4. 218132i 453i 11
m +=+++++++=A ;
66132i 453i 1222
222F =+++++++=A ; 15m =∞
A ;
=1A 列和范数(最大列模和)=27+;∞A =行和范数(最大行模和)=9 ;
5. 已知·m 是C n n ?上的矩阵范数，S 是n 阶可逆矩阵。对任意A ∈ C n n ?，规定
A =m
1AS S - ，证明·是C n n ?上的一种矩阵范数。
解：非负性: A ≠O 时S 1-AS ≠O , 于是 m 1AS S A -=＞0. A =O 时, 显然 A =0; 齐次性: 设λ∈C , 则 λλλ==-m
1)(S A S A m 1AS
S -=λA ;
三角不等式: m
11m
1)(BS
S AS S S
B A S B A ---+=+=+ ≦
B A BS S AS
S +=+--m
1m
1;
相容性: m
11m
1)(BS ASS S S
AB S AB ---==≦m
1m
1BS
S AS
S --=A B .
6. 证明：对C n n ?上的任意矩阵范数·均有n I ≧1。
因为I n ≠O , 所以n I ＞0.从而利用矩阵范数的相容性得:
n n n I I I =≦n I n I ,即n I ≧1.
7. 证明C n n ?上的m ∞
范数与C n 上的1、2范数相容。
解：设 A =(A ij )∈C n n ?, x =∈ξξξT 21),,,(n ΛC n , 且 A =ij j
i a ,max , 则
∑∑=i
k
k ik Ax ξa 1≦∑∑i
k
k ik a ξ=∑∑k
i
ik k a ][ξ≦n A ∑k
k ξ=∞
m A 1x ;
∑∑=i
k
k ik
Ax 2
2ξa
≦
∑∑i
k
k ik
a
2][ξ=
∑∑i
k
k
a 22][ξ
=n A 2x ≦n A =∞
m A 2x .
10. 设U 是n 阶酉矩阵，证明12
=U
解：利用定理2.12得
12
2
H 2
===n
I U
U U
.
12．设·为C n n ?上的矩阵范数，λ为A ∈ C n n ?的特征值，证明λ≦m m A .
解：设x 是对应于λ的特征向量, 则A x x m m λ=.又设 v ?是C n 上与矩阵范数?相容的向量范数,那么
v
m v m v m
x A x x ==λλ≦v m x A 因 v x ＞0, 故由上式可得 m
λ≦m A ?λ≦m m A .
习 题 三
4.我们用用两种方法求矩阵函数e A : 相似对角化法. 22a λλ+=-A I , a -a i ,i =λ
当 =λi a 时, 解方程组 (i a －A )x =0, 得解向量 p 1=(i, 1)T . 当 λ=－i a 时, 解方程组 (i a +A )x =0, 得解向量 p 2=(－i, 1)T .令
P =???
?
??-11i i , 则P 1
-=???? ??-i 1i 1i 21, 于是 e A =P ????
??-a a
i 00i P 1-=?
??
? ??a a a -a cos sin sin cos . 利用待定系数法. 设e λ=(2λ+a 2)q (λ)+r (λ), 且 r (λ)=b 0+b 1λ, 则由
???=-=+-a
a
a b b a b b i 10i 10e
i e i ?b 0=cos a , b 1=a
1
sin a .于是
e A =b 0I +b 1A =cos a ???? ??11+a 1sin a ???? ??
-a a =???? ?
?-a a a a cos sin sin cos . 后一求法显然比前一种方法更简便, 以后我们多用待定系数法. 设
f (λ)=cos λ, 或 sin λ
则有
??
?=-=+a -a b b a a b b sini i sini i 1010 与 ???=-=+a a b b a
a b b i cos i i cos i 1
010 由此可得
??
?
??-==a a b b sini i 010 与 ??
?==0i cos 10b a b 故
(a 2i
sini a )A =???? ??-0isini isini 0a a =sin A 与 (cosi a )I =???
? ??a a cosi 00cosi =cos A .
5.对A=????? ??--013013111求得P = ????? ??--013013111, P 1-=????? ??-24633011061, P 1
-AP =????
? ??-211
e At =P diag(e t -,e t ,e t 2)P 1
-=?????
??+--++---------t
t t t t t t t t t t t t t e 3e 3e 3e 30e 3e 3e 3e 30e e 3e 2e e 3e 4e 661222t
sin A =P diag(sin(－1),sin1,sin2)P 1
-=????
?
??--01sin 601sin 6001sin 42sin 21sin 22sin 42sin 61
8. 证明：对任意A ∈C n n ?,有：
（1） s in 2A +cos `2A =I;（2） sin(A +2πI )= sin A;
（3）cos(A +2πI )= cos A;（4）e I A i π2+ =e A
(1) sin 2A +cos `2A =[
)e (e i 21i i A A --]2=[)(e 2
1
i i A A e -+]2 =)e e e (e 4
1
)e e e (e 41i 2i 2i 2i 2O O A A O O A A ++++--+---
=e O =I
(2) sin(A +2πI )=sin A cos(2πI )+cos A sin(2πI )
=sin A [I －
!21(2πI )2+!41(2πI )4－…]+cos A [2πI －!31(2πI )3+!51
(2πI )5－…] = sin A [1－!21(2π)2+!41(2π)4－…]I +cos A [2π－!31(2π)3+!
51
(2π)5－…]I
=sin A cos2π+cos A sin2π
（3）的证明同上.
(4) 因为 A （2πi I ）=(2πi I )A ,所以根据定理3.10可得 e I A i π2+=e A e I πi 2=e A [I +(2πI )+
!21(2πi I )2+!
31
(2πi I )3+…] =e A {[1－!21(2π)2+!41(2π)4－…]+i[2π－!31(2π)3+!
51
(2π)5－…]}I
=e A {cos2π+isin2π}I
=e A
此题还可用下列方法证明:
e I A πi 2+=e ?A e I i π2=e ?A P ??????
?
?
?i π2i
π2πi 2e e e O
P 1-=e ?A PIP 1-=e A
用同样的方法可证: e I A πi 2-=e A e I πi 2-.
10.证明：若A 为反对称矩阵，则e A 是正交矩阵。
A T =－A , 根据第7题的结果得 (e A )T =e T
A =e A -, 于是有
e A (e A )T =e A e T
A =e A A -=e O =I
习 题 四
9. 求下列矩阵的Hermite 标准形和所用的变换矩阵S,并求满秩分解： (1) 对A 施行初等行变换
????? ??----1004242010112
0001032
1～?????
? ??---1420000021
02121100111201 S=,1420210011?????
? ??-- A =???? ??-????? ??-2121101201422021
10.求下列矩阵的奇异值分解：(1)???
?
??=002001A ;
(1) ???
?
?
??=000000005T A A 的特征值是5，0，0. 分别对应特征向量321,,e e e ,从而V=I,
),(11p V = ∑=(5), 11AV U =∑1
-=???
? ??2151. 令,12512???? ??-=U ()21U U U =, 则 I U A ???
?
?
?=000
005
11，设A ∈ C n
?m r
（r>0）, i σ (i = 1,2,3,..,r)是A 的非零奇异值，证明 2
F A =∑=r
i i 1
2σ
证明：根据第一章定理1.5, A A H 的特征值之和为其迹，而由第二章2.7 F －范数的定
义
A A A A A H
H
2
F )tr(==的特征值之和=∑=r
i i 1
2σ
2012矩阵论复习题 1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ),(112211y x y x y x y x +++=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2 )1(,(2121x k k kx kx x k -+=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='= 证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有 j i i T +=)( j i j T -=2)( 1)确定T 在基},{j i 下的矩阵; 2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=
第 1 页 共 6 页 （A 卷） 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式：闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷（A ） 适用专业：2016级硕士研究生 考试日期：2017.1.09 时间：120 分钟 共 8页 一、填空选择题（每小题3分，共30分） 1-5题为填空题： 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ，则1||||A =。 2. 设线性变换1T ，2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3．在3R 中，基T )2,1,3(1--=α，T )1,1,1(2-=α，T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β， T )3,2,1(2=β，T )1,0,2(3=β的过度矩阵为A = 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ，则 5432333A A A A A -++-= . 5．??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 01)(2A 的Smith 标准形为 6-10题为单项选择题： 6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是 （ ）. (A) A 一定可以对角化； （B ）?=H A A A 的特征值全为实数； (C) 若E AA H =，则 1=A ； （D ）?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7．设矩阵A 的谱半径1)( 《矩阵论》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号： xxxxx 课程中文名称：矩阵论 课程英文名称：Matrix Theory 课程性质：学位课 考核方式：考试 开课专业：工科各专业 开课学期：1 总学时：36学时 总学分： 2学分 二、课程目的和任务 矩阵论是线性代数的后继课程。在线性代数的基础上，进一步介绍线性空间与线性变换、欧氏空间与酉空间以及在此空间上的线性变换，深刻地揭示有限维空间上的线性变换的本质与思想。为了拓展高等数学的分析领域，通过引入向量范数和矩阵范数在有限维空间上构建了矩阵分析理论。 从应用的角度，矩阵代数是数值分析的重要基础，矩阵分析是研究线性动力系统的重要工具。为了矩阵理论的实用性，对于矩阵代数与分析的计算问题，利用Matlab计算软件实现快捷的计算分析。 三、教学基本要求（含素质教育与创新能力培养的要求） 通过本课程的学习，使学生在已掌握本科阶段线性代数知识的基础上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识。并着重培养学生将所学的理论知识应用于本专业的实际问题和解决实际问题的能力。 本课程还要求学生从理论上掌握矩阵的相关理论，会证明简单的一些命题和结论，从而培养逻辑思维能力。要求掌握一些有关矩阵计算的方法，如各种标准型、矩阵函数等，为今后在相关专业中实际应用打好基础。 四、教学内容与学时分配 (一) 线性空间与线性变换 8学时 1. 理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式； 2. 掌握子空间与维数定理，了解线性空间同构的含义； 3. 理解线性变换的概念，掌握线性变换的矩阵表示。 (二) 内积空间 6学时 1. 理解内积空间的概念，掌握正交基及子空间的正交关系； 2. 了解内积空间的同构的含义，掌握判断正交变换的方法； 3. 理解酉空间的概念，会判定一个空间是否为酉空间 4. 掌握酉空间与实内积空间的异同； 5. 掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质。 (三) 矩阵的对角化与若当标准形 6学时 1. 掌握矩阵相似对角化的判别方法； 2. 理解埃尔米特二次型的含义； 3. 会求史密斯标准形； 4. 会求若当标准型。 (四) 矩阵分解4学时 1. 会求矩阵的三角分解和UR分解； 2. 会求矩阵的满秩分解和单纯矩阵的谱分解； 3. 了解矩阵的奇异值和极分解。 (五) 向量与矩阵的重要数字特征4学时 1. 理解向量范数、矩阵范数； 2. 有限维线性空间上向量范数的等价性； 3. 向量范数与矩阵范数的相容性。 (六) 矩阵分析 4学时 1. 理解向量和矩阵的极限的概念； 2. 掌握矩阵幂级数收敛的判定方法； 3. 理解矩阵的克罗内克积； 4. 会求矩阵的微分与积分。 (七) 矩阵函数 4学时 1. 理解矩阵多项式的概念； 2. 掌握由解析函数确定的矩阵函数； 3. 掌握矩阵函数的计算方法。 五、教学方法及手段（含现代化教学手段） 本课程的所有授课内容，均使用多媒体教学方式，教案采用PowerPoint编写，教师使 南京航空航天大学2012级硕士研究生 二、(20分)设三阶矩阵，，. ????? ??--=201034011A ????? ??=300130013B ???? ? ??=3003003a a C (1) 求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan 标准形； A (2) 利用矩阵的知识，判断矩阵和是否相似，并说明理由. λB C 解答: (1)的行列式因子为;…(3分)A 2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλD D D 不变因子为; …………………(3分)2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλd d d 初等因子为;……………………(2分) 2)1(,2--λλJordan 标准形为. ……………………(2分) 200011001J ?? ?= ? ??? (2) 不相似,理由是2阶行列式因子不同; …………………(5分) 0,a = 相似,理由是各阶行列式因子相同. …………………(5分) 0,a ≠共 6 页 第 4 页 三、(20分)已知线性方程组不相容. ?? ???=+=+++=++1,12,1434321421x x x x x x x x x (1) 求系数矩阵的满秩分解； A (2) 求广义逆矩阵； +A (3) 求该线性方程组的极小最小二乘解. 解答:(1) 矩阵,的满秩分解为 ???? ? ??=110021111011A A . …………………(5分)10110111001101A ??????=?????????? (2) . ……………………(10分)51-451-41-52715033A +?? ? ?= ? ??? (3) 方程组的极小最小二乘解为. …………(5分)2214156x ?? ? ?= ? ??? 共 6 页 第 5 页 武汉理工大学研究生考试试题(2010） 课程 矩阵论 （共６题,答题时不必抄题,标明题目序号） 一，填空题（１５分） 1、已知矩阵A 的初级因子为223 ,(1),,(1)λλ-λλ-，则其最小多项式为 ２、设线性变换T 在基123,,εεε的矩阵为A ,由基123,,εεε到基123,,ααα的过渡矩阵为P ,向量β在基123,,εεε下的坐标为x ,则像()T β在基123,,ααα下的坐标 3、已知矩阵123411102101,,,00113311A A A A -????????==== ? ? ? ?--???????? ,则由这四个矩阵所生成的子空间的维数为 4、已知0100001000011 000A ?? ? ?= ? ???,则1068A A A -+= 5、已知向量(1,2,0,)T i α=--，21i =-,则其范数 1α= ;2α= ;∞α= ； 二，（20）设1112112121220a a V A a a a a ??????==-=?? ?????? ?为22?R 的子集合, 1、证明：V 是22?R 的线性子空间; ２、求V 的维数与一组基； 3、对于任意的1112111221222122,a a b b A B a a b b ????== ? ????? V ∈，定义 2222212112121111234),(b a b a b a b a B A +++= 证明:),(B A 是V 的一个内积; 4、求V 在上面所定义的内积下的一组标准正交基。 三、（15分)设{} 23210[](),0,1,2i F t f t a t a t a a R i ==++∈=为所有次数小于3的实系数 多项式所成的线性空间,对于任意的22103()[]f t a t a t a F t =++∈，定义: 习题二 1．化下列矩阵为Smith 标准型： （1）222211λλλλ λλλλλ?? -?? -????+-?? ; （2）2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ?? ?? -? ? ??-?? -?? ; （3）2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-????+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---?? . 解：（1）对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→? ??? ????-++???? ， 则该矩阵为Smith 标准型为 ???? ? ?????+)1(1λλλ； （2）矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为 2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? ??-????-?? -??； （3）对矩阵作初等变换 故该矩阵的Smith 标准型为 ?? ?? ??????+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换 在最后的形式中，可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1 0000 010 0000100000(1)00 00 0(1)λλλλ?????????? -?? ??-?? . 2.求下列λ-矩阵的不变因子： （1） 21 0021002λλλ--????--????-??； （2）100 1000 λαββλα λαββ λα+????-+? ???+??-+?? ； 这个帖子对于矩阵论学的不够好的同学很有帮助，对学的好的人也有益处。具体我就不说了，看完自有体会。如果觉得好，就赞一个吧！学习过线性代数的朋友也可以看看，也能从中受益的。 帖子的内容是对矩阵论的一个串讲，个人觉得还不错，能够帮助梳理知识点。加深理解。 矩阵论主要研究的是线性空间以及在线性空间中的一些操作，主要是线性变换。当然书中主要是针对有限维的情况来讨论的，这样的话就可以用向量和矩阵来表示线性空间和线性变换，同其他的数学形式一样，矩阵是一种表达形式（notation），而这一方面可以简洁地表达出我们平时遇到的如线性方程和协方差关系的协方差矩阵等，另一方面又给进一步的研究或者问题的简化提供了一个平台。如特征值分析、稳定性分析就对应着诸如统计分布和系统稳定性等实际问题。而一系列的分解则可以方便方程的数值计算。作为矩阵论的学习，我们需要了解具体的一些计算究竟是怎么算的，但更关键的是要知道各个概念和方法的实际意义，各个概念之间的关系。 首先介绍的是线性空间，对于线性空间中的任意一个向量的表示由基（相当于度量单位）和坐标（相当于具体的尺度），基既然作为度量标准了，当然要求对每一个向量都适用，同时这个标准本身也应该尽可能的简洁，那么就得到了基定义的两点约束１、基的组成向量线性无关；２、线性空间中的任一个向量都可以由基的线性表示。 基作为一种“计量标准”，当然可能会存在多种形式，只要满足上面的两点条件，因而就有必要解决不同的度量标准之间的转换关系，从而得到过渡矩阵的概念，同时可以使用这种转换关系（过渡矩阵）去完成度量量（坐标）之间的转换。 在完成了线性空间这一对象的认识和表达之后，下面需要研究对象和对象之间的关系。这里主要是线性变换，线性变换针对于实际对象主要完成类似于旋转和尺度变换方面的操作，而这种操作也牵涉到表达的问题。为了保持与空间的一致性，我们也同样是在在特定的基下来表示，从而线性变换就具体化为一个变换矩阵，并且，在不同的基下对应的变换矩阵当然也不相同，这里的不同的变换矩阵的关系就是相似的概念。 到此，我们完成了空间中向量的表示和线性变换的矩阵表达。这里涉及了基、坐标、过渡矩阵、变换矩阵、相似矩阵这几个重要的概念。上面算是内涵上的认识，下面我们需要知道线性空间里究竟有些什么东西，它是如何组成的，各个组成成分之间的关系，也就是空间的结构性方面的东西。 首先认识子空间（空间的组成部分），当然既然也是空间，也就要满足空间的加法和数乘的封闭性，要满足那八条定律。后者可以由父空间保证，前面的就要子空间自身素质了。同时要看子空间之间的并、交、直和运算和相应的秩的关系。这里提到了维数，就要多说几句了，空间中的元素往往是连续过渡的，但是对于有限空间而言还有离散的性质，那就是维数，我称其为“不伸则已，一伸则增一”，从这也就说明了为什么可以用若干个子空间的直和可以等价于原线性空间。 子空间的形式很多，有生成子空间、值域空间、零空间和特征子空间等等，我们重点看看特征子空间。一个空间可以划分为若干个特征子空间的直和形式，而每个特征子空间的共同特征就是具有相同的特征值，范围就是对应着这个特征值的若干特征向量的生成子空间。 习题三 1．证明下列问题： （1）若矩阵序列{}m A 收敛于A ，则{}T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A ； （2）若方阵级数∑∞ =0m m m A c 收敛，则∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 证明：（1）设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m 则 ,)()(n n m ji T m a A ?=,)()(n n m ij m a A ?=,,2,1 =m 设 ,)(n n ij a A ?= 则 n n ji T a A ?=)(，,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim ， 则 ji m ji m a a =∞ →)(lim ，ij m ij m a a =∞ →)(lim ，n j i ,,2,1, =， 故{} T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A . (2)设方阵级数 ∑∞ =0 m m m A c 的部分和序列为 ,,,,21m S S S ， 其中m m m A c A c c S +++= 10. 若 ∑∞ =0 m m m A c 收敛，设其和为S ，即 S A c m m m =∑∞ =0 ，或S S m m =∞ →lim ， 则 T T m m S S =∞ →lim . 而级数∑∞ =0 )(m m T m A c 的部分和即为T m S ，故级数∑∞ =0 )(m m T m A c 收敛，且其和为T S ， 即 ∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ，且{} 1-m A ，1 -A 都存在，证明： （1）A A m m =∞ →lim ；（2）{}1 1 lim --∞ →=A A m m . 证明：设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim . (1) 由于对任意的n j j j ,,,21 ，有 ,lim ) (k k kj m kj m a a =∞ → n k ,,2,1 =， 故 ∑-∞ →n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a 2121)()(2)(1) ()1(lim τ ＝ ∑-n n n j j j nj j j j j j a a a 21212121) ()1(τ ， 而 ∑-= n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a A 2121) ()(2)(1)()1(τ，矩阵论课程教学大纲
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