数项级数的敛散性开题报告记录
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怀化学院本科毕业论文(设计)任务书论文题目数项级数的敛散性
学生姓名系别数学系专业数学与应用数学指导老师姓名职称
题目来源1.科学技术□ 2.生产实践□ 3.社会经济□4.自拟■ 5.其他□
毕业论文（设计）内容要求：
1选题内容符合专业培养目标要求.
2主题突出，层次清晰，结构合理，无科学性错误，并能做一些适当的创新.
3文字简练、通顺，格式符合规范要求.
主要参考资料:
[1]华东师范大学数学系.数学分析(下册)(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2001.
[2]同济大学应用数学系.高等数学(下册)(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2002.
[3]同济大学,天津大学,重庆大学等.高等数学(第四版)[M].北京:教育出版社,2003.
[4]彭砚,陈铿羽.级数敛散性的根值判别法的推广[J].高等数学研究.2008,11(3):35～37.
[5]汪晓勤.19世纪上半叶的无穷级数敛散性判别法[J].高等数学研究.2004:127～134.
[6]李世金,赵洁.数学分析解题方法600例[M].上海:华东师范大学出版社.1992.
毕业论文（设计）工作计划：
1、2012.11.15 接受毕业论文任务；
2、2012.11.16-11.30 查阅文献资料,收集素材,完成开题报告书；
3、2012.12.1-2013.2.30 查阅论文所需的资料和文献,并进行论文的撰写工作，完成论文初稿；
4、2013.3.1-4.30 在指导老师的指导下修改、完善论文,论文定稿；
5、2013.5.1-5.10 深入专研论文，为论文答辩做好准备。
接收任务日期 2012 年 11 月 15 日要求完成任务日期 2013 年 4 月 30 日
学生（签名）年月日
指导教师（签名）年月日
系主任（签名）年月日
说明：本表为学生毕业论文（设计）指导性文件，由指导教师填写，一式两份，一份交系（部）存档备查，一份发给学生。
本科生毕业论文（设计）开题报告书
题目数项级数的敛散性
学生姓名
学号
系别数学与应用数学系
专业数学与应用数学
指导教师
2012年 11 月 17 日
论文(设计)题目数项级数的敛散性
一、选题的目的、意义及相关研究动态和自己的见解：
数项级数是数学分析中的重要内容，正确理解、判定数项级数的敛散性是学习无穷级数的前提与关键。然而，数项级数敛散性的判别是数学分析中的一个难点，主要是因为级数的敛散性与数列的极限联系在了一起，它是数学分析中两个难点的结合。但是掌握好了数项级数的敛散性对我们学习函数项级数、幂级数和傅里叶级数都有着极大的帮助，而且数项级数的敛散性在很多实际问题中也有着广泛的作用。因此，熟练掌握并准确应用数项级数的概念、性质、判定定理判别其敛散性具有重要的意义。
近年来，已有许多数学工作者对数项级数的敛散性进行了深入地探究，如张守田的“数项级数审敛的思路与技巧”，周卫春的“数项级数敛散性讨论方法解析”，王静的“判别数项级数敛散性的一些方法和技巧”等，本文也将对这一问题进行系统的探究。
二、课题的主要内容：
本文首先简单介绍数项级数的概念及其所包括的正项级数和一般项级数，然后重点介绍级数的各种判别法，如柯西准则、比较判别法、比值判别法、根式判别法、莱布尼茨判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法等七种基本的判别方法和高斯判别法、对数判别法、柯西积分法、等价量法、拆项法、利用不等式及利用泰勒展开式等七种具有一定技巧的特殊判别方法，对各种判别法都给予举例说明。这些判别数项级数敛散性的方法及技巧可以帮助我们快速准确地选取最合适的判别法来判别数项级数的敛散性，从而进一步加深我们对数项级数敛散性的理解，把对数项级数敛散性的研究推向更高层次。最后对本论文进行归纳总结。
三、研究方法、设计方案或论文撰写提纲：
研究方法：文献资料法、举例论证法。
设计方案：明确数项级数的敛散性，选取相应的判别法对数项级数的敛散性进行判别，且以实例加以说明和归纳，对其中有特点的例题进行分析和点评。
论文撰写提纲：摘要，关键字（中，英文）
1、引言
2、明确数项级数的敛散性，应用相关定理及判别方法对数项级数的敛散性进
行判别
3、归纳出七种基本判别方法
4、总结出一些判别技巧
5、结论，参考文献，致谢
四、完成期限和预期进度：
1、2012.11.15 接受毕业论文任务；
2、2012.11.16-11.30 查阅文献资料,收集素材,完成开题报告书；
3、2012.12.1-2013.2.30 查阅论文所需的资料和文献,并进行论文的撰写工作，完成论文初稿；
4、2013.3.1-4.30 在指导老师的指导下修改、完善论文,论文定稿；
5、2013.5.1-5.10 深入专研论文，为论文答辩做好准备。
五、主要参考文献（不少于10篇）：
[1]华东师范大学数学系.数学分析(下册)(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2001.
[2]同济大学应用数学系.高等数学(下册)(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2002.
[3]同济大学,天津大学,重庆大学等.高等数学(第四版)[M].北京:教育出版社,2003.
[4]彭砚,陈铿羽.级数敛散性的根值判别法的推广[J].高等数学研究.2008,11(3):35～37.
[5]汪晓勤.19世纪上半叶的无穷级数敛散性判别法[J].高等数学研究.2004:127～134.
[6]李世金,赵洁.数学分析解题方法600例[M].上海:华东师范大学出版社，1992.
[7]张永明.数项级数审敛法的改进及应用[J].北京印刷学院学报.2001,9(4):20～23.
[8]张永明.正项级数收敛性的一种新的判别法[J].数学的实践与认识.2004,34(1):173～176.
[9]花树忠.柯西根值判别法的推广[J].高等数学研究.2004,7(3):19～20.
[10]张永明,田益民,王丹.正项级数审敛法的研究进展[J].北京印刷学院学报.2006,14(2):38～39.
[11]杨钟玄.双比值判别法与对数判别法的比较[J].四川师范大学学报.2004,(1):57～60.
[12]杨丽.有关级数敛散性的几个问题[J].锦州师范学院学报.,2003,24(2):63～64.
六、指导教师意见：
签名：年月日
七、开题报告会纪要
时
地点
间
姓名职务（职称）姓名职务（职称）
与
会
人
员
会议记录摘要：
问：选这个题目的目的是什么？
答：我们在数学分析这门课程中学习了数项级数的敛散性，在学习过程中我发现判别数项级数的敛散性具有重要的意义，对后续学习函数项级数、幂级数和傅里叶级数起着积极的作用。因此，我选择这个题目。
问：你打算怎样完成这个选题？
答：首先我对我们学习中最常用到的七种判别方法进行归纳总结，然后有针对性的去参阅数项级数敛散性相关知识的文献资料，加深知识理解；再阅读大量期刊文章，整理资料；最后进行总结归纳与探究分析，确定写这篇论文的主要目的和意义；在指导老师指导下进行初步的论文写作。
问：本论文的创新点在哪？
答：本文的创新之处在于：它在七种基本判别方法的基础上进一步探究得到七种具有一定技巧的判别方法，通过大量的例题予以说明，并讨论其中的数学思想，对数学分析的后续学习具有一定的帮助。
会议主持人：
会议记录人：
年月日
八、开题答辩小组意见：
负责人签名：
年月日
九、系(部)意见：
负责人签名：
单位（盖章）
年月日
正项级数敛散性的判别方法 摘要:正项级数是级数容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。 关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用 1引言 数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。 2正项级数敛散性判别法 2.1判别敛散性的简单方法 由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数 1 n n u ∞ =∑收敛 ?0,,,,N N n N p N ε+?>?∈?>?∈有12n n n p u u u ε+++++ +<。取特殊的1p =，可 得推论：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =。 2.2比较判别法 定理一（比较判别法的极限形式）： 设 1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑为两个正项级数，且有lim n n n u l v →∞=，于是 （1）若0l <<+∞，则 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑同时收敛或同时发散。 （2）若0l =，则当 1 n n v ∞ =∑收敛时，可得 1 n n u ∞ =∑收敛。
数学与统计学院应用数学系 综合课程设计成绩评定书设计题目：正项级数收敛的判别方法
摘要： 各项都由正数组成的级数称为正项级数，它是数项级数的特例。本文主要考虑正项级数的收敛问题，通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法，并结合相关实例，判断所给级数的敛散性。 关键字：正项级数 收敛 比较原则 比式判别法 根式判别法 积分判别法 1基本概念 1.1 数项级数及其敛散性 在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质，下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。 定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++ （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为数项级数的通项。 数项级数(1)的前n 项之和，记为1 n n k k S u == ∑，称为（1）的前n 项部分和。 定义2：若（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即lim n n S S →∞ =），则称数项级数（1）收 敛，并称S 为（1）的和，记为1 n n S u ∞ == ∑，若{}n S 为发散数列，则称数列（1）发散。 根据级数（1）的收敛性，可以得到收敛级数的一些性质： (i) 收敛级数的柯西收敛准则 级数（1）收敛的充要条件是：0ε?>，0N ?>，n N ?>，p Z + ?>，有 12||.n n n p u u u ε++++++< (ii) 级数收敛的必要条件：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =. (iii)去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。 (iv) 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数也满足）。 (v) 运算性质： 若级数 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑都收敛，c d 是常数，则 1 ()n n n cu dv ∞ =+∑收敛，且满足
华北水利水电学院 数项级数敛散性判别法。（总结） 课程名称：高等数学（下） 专业班级： 成员组成 联系方式： 2012年5月18日
摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后，再给出题目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭每一种方法，虽然也可行。但是对于同一个级数，用不同的方法判断敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后，得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。 关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。 英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series,we all know which way to go.But wait until all of the methods after completing their studies are given topics,everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible.But for one series,using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect,but if the hanging has chosen the wrong way,may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong.So we need to sum up to determine the convergence and divergence,and to understand their characteristics,in order to make better use of them. Key words:A number of series,convergence and divergence of judgment. 引言：以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理，并通过一些例题，讲解它们各自的适用范围。并总结出判断敛散性的一般思维过程。
正项级数敛散性的判断及其应用 摘要 级数是高等数学教学中的一个重要内容，而正项级数又是级数的重要组成部分,敛散性问题级数理论的一个基本问题，判别正项级数敛散性的方法很多.本文总结了正项级数的各种敛散性判别法,主要有比较判别法及其推广、积分判别法及其推广、导数判别法和一般项级数敛散性判别法;简单介绍了它们强弱性关系,给出了典型例题验证上述判别法的有效性. 关键词 正项级数；判别法；敛散性 The Convergence Tests and Application for Series of Positive Terms ! Abstract Higher Mathematics series is an important part of teaching, The series of positive terms is an important series Part, Positive identification of Convergence and Divergence of many paper has summarized a variety of convergence judge methods for positive terms series, including comparison principle and its extension, integrated judge method and its extension, derivate judge method and judge methods of general series, some famous tests such as Cauchy Test, D’Alembert Test, Kummer Test and Gauss Test come from Comparison principle; given a brief introduction of their week and strong relationship of convergence, set examples for identifying the effectiveness of these judge methods. Key words positive terms series; judge methods; convergence
2016考研数学数项级数敛散性判定解题思路总结 数项级数敛散性判定是考研数学一数三考试的重点题型，而且是考试的难点，为了便于同学们解题，文都考研高端数学老师帮大家总结了此种题型的解题思路和常用结论，希望对大家的学习有帮助。 1.解题思路 若有两个收敛，则第三个收敛; 若其中一个收敛，另一个发散，则第三个发散;
若有两个发散，则第三个敛散性不确定; 若有两个绝对收敛，则第三个绝对收敛; 若其中一个绝对收敛，另一个条件收敛，则第三个条件收敛; 若有两个条件收敛，则第三个收敛，但不能判断它是绝对收敛还是条件收敛。
1.林黛玉：三生石畔，灵河岸边，甘露延未绝，得汝日日倾泽。离恨天外，芙蓉潇湘，稿焚情不断，报汝夜夜苦泪。 2.薛宝钗：原以为金玉良缘已成，只待良辰，奈何君只念木石前盟，纵然艳冠群芳牡丹姿，一心只怜芙蓉雪。 3.贾元春：贤孝才德，雍容大度，一朝宫墙春不再，一夕省亲泪婆娑。昙花瞬息，红颜无罪，到底无常。 4.贾探春：虽为女流，大将之风，文采诗华，见之荡俗。诗社杏花蕉下客，末世悲剧挽狂澜，抱负未展已远嫁。 5.史湘云：醉酒卧石，坦荡若英豪，私情若风絮，嫁与夫婿博长安，终是烟销和云散，海棠花眠乐中悲。 6.妙玉：剔透玲珑心，奈何落泥淖，青灯古佛苦修行，高洁厌俗袅亭亭。可惜不测之风云，玉碎冰裂，不瓦全。 7.贾迎春：沉默良善，见之可亲，深宅冷暖，累遭人欺，腹中无诗情风骚，膺内缺气概魄力。空得金黄迎春名，可怜一载赴黄泉。 8.贾惜春：高墙白曼陀，冷水伴空门。孤寒寂立一如霜，如何能得自全法？狠心舍弃近身人。侯门金簪冰雪埋，海灯僻冷长弃世。 9.王熙凤：毒酒甘醇，罂粟灿艳，锦绣华衣桃花眼，眼明刀锋吊梢眉。何幸七窍玲珑心，只惜冷硬霜凝集。千机算尽，反误性命。
数项级数敛散性的判别法毕业论文
关于数项级数敛散性的判别法 摘要：级数是数学分析中的主要内容之一.我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种,如柯西(Cauchy)判别法、达朗贝尔（D ’Alembert ）判别法、拉阿贝(Raabe)判别法、高斯(Gauss)判别法、狄里克莱(Dirichlet)判别法、莱布尼兹(Leibniz)判别法、阿贝尔(Abel)判别法等.对数项级数敛散性判别法进行归纳,使之系统化. 关键词：数项级数; 正项级数 ; 变号级数; 敛散性; 判别法 1 引言 设数项级数 ++++=∑∞ =n n n a a a a 211 的n 项部分和为: 12n S a a =++ +1 n n i i a a ==∑ 若n 项部分和数列{} n S 收敛,即存在一个实数S,使 lim n n S S →∞ =. 则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情况下，我们称S 为级数的和.可见，无穷级数是否收敛，取决于lim n n S →∞ 是否存在.从而由数列的柯西(Cauchy )收敛准则, 可得到级数的柯西(Cauchy )收敛准则[1]:
数项级数1 n n a ∞ =∑收敛0,N N ε+ ??>?∈,对,n N p N + ?>?∈有 12n n n p a a a ε ++++++<. 2 正项级数敛散性判别法 设数项级数1n n a ∞ =∑为正项级数(n a ≥0).则级数的n 项部分和数列{}n S 单调递 增,由数列的单调有界公理,有 定理2.1[1] 正项级数1n n u ∞ =∑收敛?它的部分和数列{}n S 有上界. 由定理2.1可推得 定理2.2 [2] ：设两个正项级数1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑,存在常数c 0 >及正整数N ，当n ＞N 时有 n u ≤c n v ,则 （i ）若级数1 n n u ∞=∑收敛，则级数1 n n v ∞ =∑也收敛； （ii ）若级数1 n n u ∞=∑发散，则级数1 n n v ∞ =∑也发散. 一般常及其极限形式: 定理2.2’（比较判别法的极限形式） [2] ：设1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑是两个正项级数且有 lim n n n u v →∞=λ， （i ）若0＜λ＜＋∞，则两个级数同时敛散； （ii ）若 λ＝0，级数1 n n v ∞ =∑收敛，则级数1 n n u ∞ =∑也收敛； （iii ）若 λ＝＋∞，级数1 n n v ∞=∑发散，则级数1 n n u ∞ =∑也发散. 由比较判别法可推得:
数项级数的敛散性的练习题及解析 一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．若lim 0n n U →∞=则常数项级数1n n U ∞=∑（ D ） A ．发散 B.条件收敛 C ．绝对收敛 D .不一定收敛 解：1lim 0n n →∞=，但11n n ∞=∑发散；21lim 0n n →∞=，但211n n ∞=∑收敛 选D 2．设 1n n U ∞=∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ B ） A ． 1n n U ∞=∑ B.()12008n n U ∞=∑ C ．()10.001n n U ∞ =+∑ D ．11n u U ∞=∑ 解： ()12008n n U ∞=∑＝20081n n U ∞=∑ 1 n n U ∞=∑收敛∴由性质()12008n n U ∞ =∑收敛 3．下列级数中一定收敛的是…( A ) A ．21014n n ∞ =-∑ B ．10244n n n n ∞=-∑ C ．101n n n n ∞=?? ?+?? ∑ D +… 解：214n U n =- 0n ≥21n = lim 1n n n U V →∞=，且2101n n ∞=∑收敛，由比较法21014n n ∞=-∑收敛 4．下列级数条件收敛的是……（ C ） A ．11n n n ∞=+∑n （－1） B ．()211n n n ∞=-∑ C ．1n n ∞=- D ．()1312n n n ∞=??- ???∑ 解：（ 1 ）n ∞∞=n=1发散（112p =<）（ 2）1 1n n ∞=-为莱布尼兹级数收敛，选C 5．级数() 1 11cos n n k n ∞=??-- ???∑ （k>0）…（ B ） A ．发散 B ．绝对收敛 C ．条件收敛 D ．敛散性与K 相关 解：11(1)(1cos )1cos n n n k k n n ∞ ∞-=??--=- ???∑∑
关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1数项级数收敛的定义 数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛?数项级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S . 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{} n S 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2数项级数的性质 （1）若级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛，则对任意常数c,d, 级数 ∑∞ =+1 )(n n n dv cu 亦收敛，且 ∑∑∑∞ =∞ =∞ =+=+1 1 1)(n n n n n n n v d u c dv cu ;相反的，若级数∑∞ =+1 )(n n n dv cu 收敛，则不能够推出级数∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛. 注：特殊的，对于级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v ，当两个级数都收敛时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 必收敛；当其中一个 收敛，另一个发散时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 一定发散；当两个都发散时，∑∞ =±1 )(n n n v u 可能收敛也可能发散. 例1 判定级数∑∞ =+1)5131(n n n 与级数∑∞ =+1)21 1(n n n 的敛散性. 解：因为级数∑∞ =131n n 与级数∑∞=15 1n n 收敛，故级数∑∞ =+1)51 31(n n n 收敛.
常数项级数敛散性判别法总结 摘要：本文简要阐述了常数项级数敛散性判别法。由于常数项级数敛散性判别法较多，学生判定级数选择判别法时比较困难，作者结合级数判别法的使用条件及特点对判别法进行分析，使学生更好的掌握级数判别法。 关键词：常数项级数；级数敛散性判别法；判别法使用条件及特点 无穷级数是微积分学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种非常有用的数学工具。无穷级数的中心内容是收敛性理论，因而级数敛散性的判别在级数研究中极其重要。在学习常数项级数敛散性判别法时，学生按照指定的判别法很容易判定级数的敛散性，但是学习多种判别法后，选择判别法时比较困难。主要原因是学生对所学判别法的使用条件及特点不够熟悉，本文针对这种情况对常数项级数敛散性判别法加以归纳总结。 1 级数收敛的概念 给定一个数列{un}，称 u1+u2+...+un+ (1) 为常数项无穷级数，简称常数项级数，记为.级数（1）的前n项之和记为Sn，即Sn=u1+u2+…+un，称它为级数（1）的部分和。若部分和数列{Sn}有极限S，即，则称级数（1）收敛。若部分和数列{Sn}没有极限，则称级数（1）发散。 注意：研究级数的收敛性就是研究其部分和数列是否存在极限，因此级数的收敛性问题是一种特殊形式的极限问题。极限是微积分学的基础概念，也是学生比较熟系的概念，因此在研究级数收敛性时，联系极限概念，学生易于理解。 借助级数的性质与几何级数，调和级数的敛散性可以判别级数的敛散性。例如，由性质（1）和当|q|0时，01，则发散。 当级数含有阶乘、n次幂或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比值判别法。比值判别法不需要与已知的基本级数进行比较，在实用上更为方便。 例2：判别级数的敛散性。 解：因为 由比值判别法知级数收敛。 2.3 根植判别法
级数敛散性判别方法的归纳 （西北师大） 摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。 关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散 一. 级数收敛的概念和基本性质 给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21 ① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21 ② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发 散。 研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理： 定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数)(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性 定理 3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。 由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。
关于正项级数敛散性的判别法 作者: 学号： 单位： 指导老师 摘要：级数是数学分析中的主要内容之一，我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种，柯西（Cauchy ）判别法、达朗贝尔（D'Alembert ）判别法、高斯（Gause ）判别法、莱布尼兹（Leibniz ）判别法、阿贝尔（Abel ）判别法等，对数项级数敛散性判别法进行归纳，使之系统化. 关键词：正项级数；敛散性；判别法 1引言 设数项级数 121...++... n n n a a a a ∞ +==+∑的n 项部分和为： 121 ......n n n i i S a a a a ==++++= ∑.若n 项部分和数列为{n S }收敛，即存在一个实数 S ，使lim n x S S →∞ =.则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情 况下，我们称S 为级数的和，可见无穷级数是否收敛，取决于lim n x S →∞ 是否存在， 从而由数列的柯西（Cauchy ）收敛准则，可得到级数的柯西（Cauchy ）收敛准则[1]: 数项级数 1 n n a ∞ =∑收敛? 0,, , N N n N p N ε+ + ?>?∈ ?>?∈对，有 +1+2+ +...+ 设数项级数 1 n n a ∞ =∑为正项级数( ) 0n a ≥，则级数的n 项部分和数列{}n S 单调递 增，由数列的单调有界定理，有 定理2.1：正项级数n 1u n ∞ =∑收敛?它部分和数列{}n S 有上界. 证明：由于,...), 2,1(0u i =>i 所以{n S }是递增数列.而单调数列收敛的充要条 件是该数列有界（单调有界定理），从而本定理得证 . 由定理2.1可推得 定理2.2（比较判别法）： 设两个正项级数n 1 u n ∞ =∑和n 1 n v ∞ =∑，且 , n ,N N N ≥?∈?+ 有n n cv u ≤，c 是正常数， 则 1）若级数n 1 n v ∞ =∑收敛，则级数n 1 u n ∞ =∑也收敛; 2）若级数n 1 u n ∞ =∑发散，则级数n 1 n v ∞ =∑也发散. 证明：由定理知，去掉，增添或改变级数n 1 u n ∞ =∑的有限项，，则不改变级数n 1 u n ∞ =∑的敛散性.因此，不妨设 , + ∈?N n 有 n n cv u ≤，c 是正常.设级数n 1 n v ∞=∑与n 1 u n ∞ =∑的n 项部分和分部是n B A 和n ，有上述不等式有， n n n n cB v v v c cv cv cv u A =+++=++≤+++=)...(......u u 212121n . 1)若级数n 1 n v ∞ =∑收敛，根据定理1，数列{n B }有上届，从而数列{n A }也有上届， 再根据定理1，级数n 1 u n ∞ =∑收敛; 2)若级数n 1 u n ∞ =∑发散，根据定理1，数列{n A }无上届，从而数列{n B }也无上届， 2016考研数学:无穷级数的敛散性判断方法无穷级数是高等数学的重要章节，是考研数学一和数学三的必考内容，其主要考点包括两个方面，一个是关于无穷级数的收敛或发散的判断，另一个是无穷级数的求和。关于级数的敛散性(即收敛或发散)判断，由于其方法较多，很多同学在学习和复习中感到有些困惑，为了帮助大家掌握好这些方法，文都网校的蔡老师对其做些分析总结，供各位参考，下面首先对用无穷级数的部分和来判断级数的敛散性方法做些分析。 一、通过部分和来判断级数的敛散性 通过无穷级数的部分和来判断级数的敛散性，是判断敛散性的最基本方法之一，因为按照级数收敛性的定义，收敛就是指其部分和的极限存在;对于正项级数而言，由于其部分 和是单调增加的数列，所以只要其部分和是有界的，则部分和数列就是收敛的，因此级数就是收敛的. 无穷级数中有一类常见的级数，就是正负项相间的级数，即交错级数，交错级数的敛散性判断有多种方法，包括：莱布尼茨判别法、绝对值判别法以及部分和判别法，下面我们对这些方面及其典型题型做些分析总结，供各位同学参考。 一、交错级数的敛散性判别法 对于交错级数的敛散性判别，使用得较多的是莱布尼茨判别法。 从上面的例题我们看到，并非所有的交错级数都是收敛的，即使级数的通项趋于零也不一定收敛，但如果通项趋于零且通项是单调的，则级数是收敛的;有些级数表面上看不是交错级数，但经过恒等变形后却是交错级数，这时就可以利用上面方法进行判断; 如果一个交错级数不满足莱布尼茨条件，但每项取绝对值后的级数是收敛的，即绝对收敛，则原交错级数是收敛的。 正项级数是无穷级数的一种基本类型，其敛散性的判断方法有多种，包括：比较判别法、比值判别法、根值判别法(数一要求)等，在不同的条件下，需要根据具体情况使用不同的判别法，下面我们来分析一下比较判别法及其典型题型，供广大考生参考。 一、正项级数的比较判别法 正项级数的比较判别法是一种基本的、常用的判别法，其基本用法如下： 华北水利水电 大学 课题 : 数项级数敛散性判别方法（总结） 专业班级:水利港航39班 成员组成:丁哲祥 201203901 联系方式: 2012.05.23 数项级数敛散性判别法（总结） 摘要：数项级数是逼近理论中的重要内容之一，也是高等数学的重要组成部分。本章我们先介绍数项级数的一些基本性质和收敛判别方法然后讨论函数的幂级数展开和三角级数展开。我们这学期学习过的数项级数敛散性判别法有许多，本文对数项级数敛散性的判别方法进行了分析归纳总结，得到的解题方法。以便我们更好的掌握它。 关键词：数项级数敛散性判别方法总结 Several series gathered of the criterion scattered method (summary) Abstract：The sequence series is one of the main contents in the mathematical analysis. We learn this semester the several series gathered of the criterio n has many scattered method, this paper folding a series of logarithm scat tered discriminant method is analyzed sum-up, get the problem solving m ethod. Key words: Several series; Gathered scattered sex; Identifying method; a nalysis summary 级数敛散性判别方法的归纳-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 级数敛散性判别方法的归纳 （西北师大） 摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。 关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散 一. 级数收敛的概念和基本性质 给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21 ① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21 ② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发散。 研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理： 定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数 )(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性 定理3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。 由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。 二 正项级数的收敛判别 各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{n s }有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n 有n s ＜M 。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法 1 比较判别法 设∑n u 和∑n v 是两个正项级数,如果存在某正数N ，对一切n ＞N 都有 n n v u ≤，则 （i ）级数∑n v 收敛，则级数∑n u 也收敛； （ii ）若级数∑n u 发散，则级数∑n v 也发散。 例 1 . 设∑∞ =1 2 n n a 收敛，证明：∑ ∞ =2 ln n n n n a 收敛（n a >0）. 证明：因为 0<∑∞ =1 2 n n a <)ln 1(212 2n n a n + 第六讲 数项级数的敛散性判别法 §1 柯西判别法及其推广 比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理： 比较原理I ：设 1 n n u ∞=∑，1 n n v ∞ =∑都是正项级数，存在0c >，使 (1,2,3,...)n n u cv n ≤= （i ） 若 1 n n v ∞ =∑收敛，则 1 n n u ∞ =∑也收敛；（ii ） 若 1 n n u ∞ =∑发散，则 1 n n v ∞ =∑也发散． 比较原理II （极限形式）设 1 n n u ∞ =∑，1 n n v ∞ =∑均为正项级数，若 lim (0,)n n n u l v →∞=∈+∞ 则 1 n n u ∞=∑、1 n n v ∞ =∑同敛散． 根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它 级数的敛散性．柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而 得到的审敛法．下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法． 定理1（柯西判别法1）设 1 n n u ∞ =∑为正项级数， （i ）若从某一项起（即存在N ，当n N > 1q ≤<（q 为常数）， 则 1 n n u ∞ =∑收敛； （ii 1≥，则1 n n u ∞ =∑发散． 证（i ）若当n N > 1q ≤<，即n n u q ≤，而级数 1 n n q ∞ =∑收敛， 根据比较原理I 知级数 1 n n u ∞ =∑也收敛． （ii ） 1≥，则1n u ≥，故l i m 0n n u →∞ ≠，由级数收敛的必要条件知 1 n n u ∞ =∑ 发散．定理证毕． 定理2（柯西判别法2） 设 1 n n u ∞ =∑ 为正项级数，n r =， 则：（i ）当1r <时，1 n n u ∞ =∑收敛；（ii ） 当1r >（或r =+∞）时，1 n n u ∞ =∑发散；（iii ）当1r =时，法则失效． 例1 判别下列正项级数的敛散性 23123(1)()()()357 21 n n n +++ +++；n n n e ∞ -∑n=1 (2) n n x α∞ ∑n=1 (3) （α为任何实数，0x >）． 解 (1) 因为11 2 n r ==<，所以原级数收敛． (2) 因为lim n n n r e →∞===∞，所以原级数发散． (3) 对任意α，n r x ==．当01x <<时收敛；当1x >时发散；当1x =时， 此时级数是p -级数，要对p α=-进行讨论，当1α->，即1α<-时收敛；当1 α- ≤时，即1α ≥-时发散． 例2 判别级数11[(1)]3 n n n n ∞ =+-∑的敛散性． 解 由于 (1)lim 3 n n n n →∞-== 不存在，故应用定理2 无法判别级数的敛散性．又因为 (1)1133 n q -==≤=< 由定理1（柯西判别法1）知原级数收敛． 例3（98考研）设正项数列{}n a 单调减少，且1(1)n n n a ∞ =-∑发散，试问级数111n n n a ∞ =?? ?+?? ∑是否收敛？并说明理由． 正项级数敛散性判别 Prepared on 22 November 2020 正项级数敛散性的判别 刘 兵 军 无穷级数是高等数学的重要内容，是表示函数、研究函数的性质以及进 行数值计算的一种工具。正项级数在无穷级数中占据了较大的比重，其题型丰富且灵活。本文给出了正项级数敛散性的各种判别方法，通过典型例题的讲解，使学员能以尽快掌握正项级数敛散性的判断问题。 一． 常数项级数的概念 所谓无穷级数就是把无穷多个数按照一定的顺序加起来，所得的和式。 对于数列 ,,,,21n u u u ，由此数列构成的表达式 +++++n u u u u 321 叫做无穷级数，简称级数，记为∑∞ =1 n n u ，即 +++++=∑∞ =n n n u u u u u 3211 ， (1) 其中第n 项n u 叫做级数(1)的一般项。 级数(1)的前n 项的和构成的数列 n n u u u s +++= 21， ,3,2,1=n (2) 称为级数(1)的部分和数列。 根据部分和数列可得级数敛散性及和的定义。 定义 如果级数(1)的部分和数列n s 有极限，即存在常数s ，使得=∞ →n n s lim s ，则称 级 数(1)收敛，极限s 称为级数(1)的和；否则称级数(1)发散。 级数收敛的必要条件 如果级数(1)收敛，则其一般项n u 趋于零。 二． 正项级数敛散性的判别 由正数和零构成的级数称为正项级数。 比较审敛法是判别正项级数敛散性的一种常用且非常有效的方法。 比较审敛法 如果正项级数∑∞ =1n n v 收敛，且满足),3,2,1( =≤n v u n n ，则 ∑∞ =1 n n u 收敛； 如果正项级数∑∞=1 n n v 发散，且满足),3,2,1( =≥n v u n n ，则∑∞ =1 n n u 发散； 比较审敛法只适用于正项级数敛散性的判别，而寻求合适的级数∑∞ =1 n n v 是 解题的关键。 几何级数∑∞ =-11 n n aq 和p-级数∑∞ =11 n p n 常用来充当比较审敛法中的级数∑∞ =1 n n v 。 例１ 证明级数∑∞ =+122 1 n n 是收敛的。 证 由于2 22n n >+，所以22121n n <+，而级数∑∞ =121n n 为p=2 的p-级数 且收敛， 故由比较审敛法，级数∑∞ =+1221 n n 是收敛的。 例2 判别下列级数∑∞ =+122 2n n n 的敛散性。 分析 这是一个典型的例题，通项2 22+n n 是关于n 的一个有理分式。应注意 分母和分子中n 的最高幂次之差，通项为关于n 的一个有理分式的级数和相应 的p-级数有相同的敛散性。本题中这一差数为１，故应和p=1的p-级数∑∞ =11 n n 做 比较。 解 n n n n n n n 1 322222222?=++≥+，而级数∑∞=?1)132(n n 与∑∞ =1 1n n 有相同的敛散性，即 同时发散，故由比较审敛法，级数∑∞ =+1 222n n n 是收敛的。 在例２中，由于级数的通项比较复杂，使得敛散性的判别过程较为复杂，为使比较审敛法的应用更为方便，给出其极限形式。 一、 正项级数敛散性的判别 设∑∞ =1 n n u 是正项级数，若 0lim ≠∞ →n n u ,则∑∞ =1 n n u 发散。 若0lim =∞ →n n u ,则∑∞ =1 n n u 可能收敛也可能发散。 可按照下面的思路判别其敛散性。 (1)如果通项n u 包含有n ！之类的因子，或关于n 的若干因子连乘形式，则 用比值判别法，即ρ=+→∞ n n n u u 1lim ，则当1<ρ时∑ ∞ =1n n u 收敛，当1>ρ时∑ ∞ =1 n n u 发散。如果n n n u u 1 lim +∞→不易计算，或不存在，或存在为1，则适当放大n u ,使得n n v u ≤，并对∑∞ =1 n n v 应用比值判别法，如果∑∞ =1 n n v 收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛；或者适当缩小n u ，使 得0>≥n n v u ，并对应用比值判别法，如果∑∞=1 n n v 发散，则∑∞ =1 n n u 发散。 (2)如果通项n u 包含有n 或关于n 的函数为指数的因子，则用根值判别法， 即ρ=∞→n lim n n u ，则当1<ρ时∑∞=1n n u 收敛，当1>ρ时∑∞ =1 n n u 发散。如果n lim n n u →∞ 不易计算，或不存在，或存在为1，则适当放大n u ,使得n n v u ≤，并对∑∞ =1 n n v 应用根值 判别法，如果∑∞=1 n n v 收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛；或者适当缩小n u ，使得0>≥n n v u ，并 对应用根值判别法，如果∑∞=1 n n v 发散，则∑∞ =1 n n u 发散。 (3)当n u 不是以上情形时，寻找∞→n 时n u 的等价无穷小，可利用等价无穷小的常用公式和麦克劳林展开式，得到)0(~ >C n C u n α，等价的通项，两级数应具第八讲 常数项级数敛散性的判别 正项级数敛散性的判别 刘 兵 军 无穷级数是高等数学的重要内容，是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。正项级数在无穷级数中占据了较大的比重，其题型丰富且灵活。本文给出了正项级数敛散性的各种判别方法，通过典型例题的讲解，使学员能以尽快掌握正项级数敛散性的判断问题。 一． 常数项级数的概念 所谓无穷级数就是把无穷多个数按照一定的顺序加起来，所得的和式。 对于数列 ,,,,21n u u u ，由此数列构成的表达式 +++++n u u u u 321 叫做无穷级数，简称级数，记为∑∞ =1 n n u ，即 +++++=∑∞ =n n n u u u u u 3211， (1) 其中第n 项n u 叫做级数(1)的一般项。 级数(1)的前n 项的和构成的数列 n n u u u s +++= 21， ,3,2,1=n (2) 称为级数(1)的部分和数列。 根据部分和数列可得级数敛散性及和的定义。 定义 如果级数(1)的部分和数列n s 有极限，即存在常数s ，使得=∞ →n n s lim s ，则称级 数(1)收敛，极限s 称为级数(1)的和；否则称级数(1)发散。 级数收敛的必要条件 如果级数(1)收敛，则其一般项n u 趋于零。 二． 正项级数敛散性的判别 由正数和零构成的级数称为正项级数。 比较审敛法是判别正项级数敛散性的一种常用且非常有效的方法。 比较审敛法 如果正项级数∑∞=1n n v 收敛，且满足),3,2,1( =≤n v u n n ，则∑∞ =1n n u 收敛； 如果正项级数∑∞=1n n v 发散，且满足),3,2,1( =≥n v u n n ，则∑∞ =1n n u 发散； 比较审敛法只适用于正项级数敛散性的判别，而寻求合适的级数∑∞=1n n v 是解题的关键。 几何级数∑∞=-11n n aq 和p-级数∑∞ =11n p n 常用来充当比较审敛法中的级数∑∞=1n n v 。 关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1数项级数收敛的定义 数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛?数项级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S . 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{} n S 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2数项级数的性质 （1）若级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛，则对任意常数c,d, 级数 ∑∞ =+1 )(n n n dv cu 亦收敛，且 ∑∑∑∞ =∞ =∞ =+=+1 1 1 )(n n n n n n n v d u c dv cu ;相反的，若级数∑∞ =+1 )(n n n dv cu 收敛，则不能够推出级数∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛. 注：特殊的，对于级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v ，当两个级数都收敛时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 必收敛；当其中一个 收敛，另一个发散时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 一定发散；当两个都发散时，∑∞ =±1 )(n n n v u 可能收敛也可能发散. 例1 判定级数∑∞ =+1)5131(n n n 与级数∑∞ =+1)21 1(n n n 的敛散性. 解：因为级数∑∞ =131n n 与级数∑∞=15 1n n 收敛，故级数∑∞ =+1)51 31(n n n 收敛.2016考研数学：无穷级数的敛散性判断方法
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(完整版)关于数项级数敛散性的判定
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