正项级数敛散性的判别方法
摘要:正项级数是级数容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。 关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用
1引言
数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。
2正项级数敛散性判别法
2.1判别敛散性的简单方法
由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数
1
n
n u
∞
=∑收敛
?0,,,,N N n N p N ε+?>?∈?>?∈有12n n n p u u u ε+++++
+<。取特殊的1p =，可
得推论：若级数
1
n
n u
∞
=∑收敛，则lim 0n n u →∞
=。
2.2比较判别法
定理一（比较判别法的极限形式）： 设
1
n n u ∞=∑和1
n n v ∞
=∑为两个正项级数，且有lim
n
n n
u l v →∞=，于是
（1）若0l <<+∞，则
1
n
n u
∞
=∑与
1
n
n v
∞
=∑同时收敛或同时发散。
（2）若0l =，则当
1
n
n v
∞
=∑收敛时，可得
1
n
n u
∞
=∑收敛。
（3）若l =+∞，则当
1
n
n v
∞
=∑发散时，可得
1
n
n u
∞
=∑发散。
正项级数敛散性的判别法在高等数学课本中所涉及的主要有：比较判别法、比值判别法和根植判别法。由于比值法与根值法的固定模式，其使用较为方便。但比较判别法在应用时，由于需要对原有级数进行适当的放缩，选择与之比较的对象级数，学生学习时都感到难度较人。
2.2.1当所求级数的通项中出现关于n 的有理式时，将借助无穷小量(无穷大量)阶的概念来分析比较判别法的使用，进而给出如何选择比较对象的快捷方法。 由于lim 0n n u →∞
≠时，级数
1
n
n u
∞
=∑必发散。从而，只需考虑lim 0n n u →∞
=时，正项级数
1
n
n u
∞
=∑的敛
散性判别。借助“无穷小量阶的比较”，即无穷小量趋丁零速度的比较这一概念，上述的（1）、（2）、（3）可以等价理解为 （1）当0l <<+∞，即n u 与n v 是同阶无穷小量（n →∞）时，
1
n
n u
∞
=∑与
1
n
n v
∞
=∑同敛散。
（2）当0l =且
1
n
n v
∞
=∑收敛，即n u 是较n v 的高阶无穷小量（n →∞）时，必有
1
n
n u
∞
=∑收敛。
（3）若l =+∞且
1
n
n v
∞
=∑发散，即n u 是较n v 的低阶无穷小量（n →∞）时，可得
1
n
n u
∞
=∑发
散。
这表明正项级数收敛与否最终取决于其通项趋于零的速度，即无穷小量阶的大小。因此可以通过无穷小量(或者无穷大量)阶的比较，简化
1
n
n u
∞
=∑的通项n u 或对n u 进行适当放缩，进
而利用已知级数的敛散性来判别
1
n
n u
∞
=∑的敛散。
例1、判别级数21ln n n n ∞
=∑和1
2n n n
n ∞
=-∑的敛散性。
分析：在实际题目中，常见的无穷大量有ln n ，()()0,1a
n n a a a >>等。其发散的速度：
在n →∞时，()()ln 01a
n n n
a a a <<><<>。
从而，（1）()()()2221ln 11
,0,;2,1,2a a n
a a n n n n
a n a n n n n n n n
n
--<=>→∞<>→∞--。结合比较判别法的使用。故（1）中的比较对象
21a
n
-的a 的取值应保证21a ->，即01a <<。
（2）中的比较对象
1
1
a n -的a 的取值应保证11a ->，即2a >。 解：（1）可取12a =，有23
2
ln lim 01n n
n n →∞=。又312
1n n ∞=∑收敛，则由比较判别法可知21ln n n n ∞=∑也收
敛。
（2）可取3a =，有22lim 01n n n
n n
→∞-=。又211n n ∞=∑收敛，则由比较判别法可知12n
n n n
∞=-∑也收敛。
使用正项级数比较判别法时需要熟记P-级数11p n n ∞
=∑以及等比级数()1
1
0,0n n aq a q ∞
-=≠≠∑的
敛散性，再结合本文给出的利用阶的概念对级数通项进行放缩的方法．便能较快捷地选定常
用作比较对象的P-级数或等比级数的具体形式，准确判别出正项级数的敛散性。[1]同样，我们可以利用等价无穷小来判断正项级数的敛散性，仍需熟记P-级数
1
1
p n n ∞
=∑的敛散性。[2] 2.2.2当所求级数通项中出现正弦函数或对数函数时，利用不等式选取适当的比较对象。 例2：判别级数
1
2sin
3
n n
n π
∞
=∑的敛散性。
分析：考虑当0x >时，sin x x <，
则2sin ,2sin 233333n
n
n
n n n n ππππ
π??<<= ???，而123n
n π∞=??
???
∑是公比2
13
q =
<的收敛级数，故原级数收敛。 2.3根值判别法以及两个推广
定理一（根值判别法的极限形式）： 有正项级数
1
n
n u
∞
=∑
，若n l =，则
（1）当1l <时，级数
1n
n u
∞
=∑收敛。
（2）当1l >时，级数1
n
n u
∞
=∑发散。
2.3.1一般的情况
例1：判别级数121n
n n n ∞
=?? ?+?
?∑的敛散性。
解：
由于1lim 1212n n n n n →∞===<+，根据柯西判别法的推论，可得级数121n
n n n ∞
=??
?+?
?∑收敛。
2.3.2
根值判别法推广，若将判别极限n
n
n 在一定条件下将比原判别方法更为精细，且应用围也有所推广。 引理一：如果()101,2,n n u u n +≥≥=，则级数1
n n u ∞=∑收敛当且仅当级数1
n
n m
n m u ∞
=∑收敛。
[3] 引理二：设
1
n
n u
∞
=∑与
1
n
n v
∞
=∑为两个正项级数，且存在正整数N ，当n N >时，不等式
()1
0,1,2,
,1n n n n
m i m i u v i m
m +++≤=--成立，则若级数1
n n v ∞=∑收敛必有级数1
n n u ∞
=∑收敛；
若级数
1
n
n u
∞
=∑发散必有级数
1
n
n v
∞
=∑发散。
定理二：设
1
n
n u
∞
=∑为正项级数，m 为大于1的自然数。若级数通项满足
()11,2,3,
,lim n n n n u v n u ρ+→∞
≤==，则当1m ρ<
时级数收敛；当1
m
ρ>级数发散；而当1
m
ρ=
时，级数的敛散性不能判定。[4] 定理三：设
1
n
n u
∞
=∑为正项级
数，m 为大于1的自然数。如果n ρ=其中
10,1,2,
,1n n i m m +=--，则当1m ρ<
时级数收敛；当1
m ρ>级数发散；而当1
m
ρ=时，级数的敛散性不能判定。[4]
定理二、三给出的判别法较根值判别法更为精细。定理的应用不再详细举例，比如对级数
1
n e ∞
=∑及()3
1
13n
n
n n n ∞
=?
-?
?∑，值或根值判别法不能判别其敛散性，但用本文的定理二或定理三其敛散性即可判别。
2.4达朗贝尔判别法(比值判别法)及其推广 定理三（比值判别法的极限形式）：有正项级数
1n n u ∞
=∑（0n u >）
，且1
lim n n n
u l u +→∞=
1）当1l <时，级数
1n
n u
∞
=∑收敛。
2）当1l >时，级数
1
n
n u
∞
=∑发散。
2.4.1一般的情况
例1：判别级数的敛散性。
解：由于()()1
1!11
1
!111
lim
lim lim lim 11n n n
n n n n n n n n n n n n u n u n ε++++??
→∞→∞→∞→∞+ ?????????????====< ?+????????
?
?
，所以根据达朗贝尔判别法的推论知，级数
1
!
n n n n ∞
=∑收敛。 2.4.2比值判别法的推广，在借鉴比值判别法的基础上，通过对构成正项级数的解析式进行
分析给出了判断正项级数敛散性的一种方法。 定理一：设()y f x =是取值为正且可导的函数。
1）如果存在负数a ，使得当x 足够大时有()
()f x a f x '<，则正项级数()0n f n ∞
=∑收敛；
2）如果存在正数b ，使得当x 足够大时有()
()f x b f x '>，则正项级数()0
n f n ∞=∑发散；
3）如果不存在满足以上条件的实数，则正项级数
()0
n f n ∞
=∑可能收敛，也可能发散。[5]
定理一的应用不再详细举例，比如对级数12n n n ∞
=∑、1
3ln n
n n ∞=∑和()1ln n
n n n ∞=∑的敛散性则可用上述的定理。[5]
2.5比式与根式审敛法的推广 正项级数的审敛法有很多种，其中以达朗贝尔比值审敛法与柯西根值审敛法是最基础也是使用频率最高的两种方法。一般情况下，这两种审敛法都是分开来使用，事实上将这两种方法结合在一起也可以得到一种新的审敛法。 定理一：设(),0,01,2,
n n n n n w u v u v n =?≥≥
=。若1
,lim
n
n n n v u v v →∞-==。则
1）当1uv <时，级数
1n
n w
∞
=∑收敛；
2）当1uv >时，级数
1
n
n w
∞
=∑发散；[6]
例1：判定级数()11
1tan 221n
n n n n n π∞
-=?
?
+ ?+??∑的敛散性。
解：设()1,1tan 212n
n n n n u v n n π-??==+ ?+??
。则1lim 212n n n n →∞==+ ()()
111
1tan
1122lim lim lim
2tan
22
n n n n n n n n
n n n v
v n n π
π
π
π++→∞→∞
→∞
-++===? 由于1111224?=<，所以原级数()11
1tan 221n
n n n n n π∞
-=??+ ?+??∑收敛。[6] 上述判别法的出现，极拓宽了级数敛散性的判别围，简化了级数的问题。 2.6积分判别法
定理 一(积分判别法)：设f 为[]1,+∞上非负减函数，那么正项级数()f n ∑与反常积分同
时收敛或同时发散。 例1：证明调和级数
1
1
n n ∞
=∑发散。 解：将原级数
11n n
∞
=∑换成积分形式11dx x +∞?，由于111ln |0dx x x +∞+∞
==+∞-=+∞?，即1
1
dx x +∞
?
发散，根据积分判别法可知，调和级数11n n
∞
=∑发散。 2.7拉贝判别法以及其推广
定理一（拉贝判别法的极限形式）：设1n
n u ∞
=∑为正项级数，且极限1lim 1n n n u n r u +→∞??
-= ??
?存在，则
1）当1r >时，级数
1n
n u
∞
=∑收敛；
2）当1r <时，级数
1
n
n u
∞
=∑发散。
2.7.1活用拉贝判别法
例1、判断级数()()2
11321242n n n ∞
=??
???-??????
?∑的敛散性。