关于数项级数敛散性的判定
1、问题的提出
数项级数敛散性的判别问题,是数学分析的一个重要部分.数项级数,从形式上看,就是无穷多个项的代数和,它是有限项代数和的延伸,因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起,其判别方法多样,技巧性也强,有时也需要多种方法结合使用,同时,无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域,成为数学理论和应用中不可缺少的工具,所以研究数项级数的判定问题是很重要的.
2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理
2.1数项级数收敛的定义
数项级数
∑∞
=1
n n
u
收敛?数项级数
∑∞
=1
n n
u
的部分和数列{}n S 收敛于S .
这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{}
n S 的极限是否存在的问题的讨论,但由于求数列前n 项和的问题比较困难,甚至可能不可求,因此,在实际问题中,应用定义判别的情况较少.
2.2数项级数的性质
(1)若级数
∑∞
=1n n
u
与
∑∞
=1
n n
v
都收敛,则对任意常数c,d, 级数
∑∞
=+1
)(n n n
dv cu
亦收敛,且
∑∑∑∞
=∞
=∞
=+=+1
1
1)(n n n n n n n
v d u c dv cu
;相反的,若级数∑∞
=+1
)(n n n dv cu 收敛,则不能够推出级数∑∞
=1
n n u 与
∑∞
=1
n n
v
都收敛.
注:特殊的,对于级数
∑∞
=1n n
u
与
∑∞
=1
n n
v
,当两个级数都收敛时,
∑∞
=±1
)(n n n
v u
必收敛;当其中一个
收敛,另一个发散时,
∑∞
=±1
)(n n n
v u
一定发散;当两个都发散时,∑∞
=±1
)(n n n v u 可能收敛也可能发散.
例1 判定级数∑∞
=+1)5131(n n n 与级数∑∞
=+1)21
1(n n n
的敛散性.
解:因为级数∑∞
=131n n 与级数∑∞=15
1n n 收敛,故级数∑∞
=+1)51
31(n n n 收敛.
因为级数∑∞
=11n n 发散,级数∑∞=12
1n n 收敛,故级数∑∞
=+1)21
1(n n n 发散.
(2)改变、增加或去掉级数的有限个项不会改变原级数的敛散性.
(3)在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的敛散性,也不改变它的和.即收敛的级数在不改变各项顺序的情况下,对它的各项任意加括号后,得到的新级数还是收敛的;加括号后得到的新级数发散,那么原级数也是发散的.
例2 判定级数
ΛΛ++-
-+
++1
11
11
21-
1
-21n n 的敛散性.
解:先考察级数∑∞
=????
??+--1111
1n n n ,因为12
11
11-=+--=
n n n u n ,而级数∑∞
=-1
12n n 发
散,由于加括号后得到得新级数发散,则原级数发散. (4)级数收敛的必要条件 若级数
∑∞
=1
n n
u
收敛,则0lim =∞
→n n u .若0lim ≠∞
→n n u ,则级数
∑∞
=1
n n
u
发散.
2.3判定定理
2.3.1级数收敛的柯西准则
级数
∑∞
=1
n n
u
收敛?0>?ε,*
N
N ∈?,使得当m N >以及*
N
p ∈?,都有
ε<++++++p m m m u u u Λ21.
例1 用柯西准则判别级数∑n
n
2
2sin 的敛散性. 证明:由于
p
m p m m m m m p
m m m u u u ++++++++++
++=+++22sin 22sin 22sin 221121ΛΛ
m
p m m p m m m 21
21212121212
1
<
-=
+++
<
++++Λ 因此,对于任意的0>ε.取???
??
?
=ε1log 2N 使得当N m >及任意的*
∈N p ,由上式就有
ε<++++++p m m m u u u Λ21成立,故由柯西准则可推出原级数收敛. 2.3.2正项级数判别法
(1)正项
∑∞
=1
n n
u
收敛?它的部分和数列{}n S 有界.
(2)比较判别法 如果
∑∞
=1
n n
u
和
∑∞
=1
n n
v
是正项级数,若存在某整数N ,对一切N n >都有n n v u ≤
(i)若级数
∑∞
=1
n n
v
收敛,则级数
∑∞
=1
n n
u
也收敛;(ii )若级数
∑∞
=1
n n
u
发散,则级数
∑∞
=1
n n
v
也发散.
等比级数和P-级数的敛散性 ①等比级数∑∞
=+++++=12n n
n aq aq aq a aq ΛΛ,当1 ②P-级数 ∑∞ =1 1 n p n ,当1≤p 时,发散;当1>p 时,收敛. 例2 判别级数 () ∑ ∞ +114 n n 的敛散性. 解:因为() 2 5 4 4 1111n n n n n u n = ?< +=,而且P-级数 ∑ ∞ 2 51n 收敛,由比较判别法知该级数收 敛. (3)比较判别法的极限形式 如果 ∑∞=1 n n u 和∑∞ =1 n n v 是正项级数)0(≠n v ,如果l v u n n n =∞→lim ,则 (i )当+∞< ∑∞ =1 n n u 和 ∑∞ =1n n v 同时收敛或发散;(ii )当0=l 时, ∑∞ =1 n n v 收敛时, ∑∞ =1 n n u 也收敛;(iii )当+∞=l 时, ∑∞ =1 n n v 发散时, ∑∞ =1 n n u 也发散. 例3 判别级数 ( ) ()∑>-11a a n 的敛散性. 解:因为a a a t a n t n a t t t t n n ln 1ln lim 1lim 111lim 00==-=-→→∞ →令,而正项级数∑n 1 发散,由比较原则 的极限形式知原级数发散. (4)比式判别法 如果 ∑∞ =1 n n u 为正项级数,且 ρ=+n n u u 1 , (i )若10<<ρ,则 ∑∞ =1 n n u 收敛;(ii )若1≥ρ, ∑∞ =1 n n u 发散. 例4判别级数 ()∑ +n n 10!1的敛散性. 解:因为()()+∞=+=+?+=∞→+∞→+∞→102 lim !11010!2lim lim 11n n n u u n n n n n n n ,所以由比式判别法知原级数发散. (5)比式判别法的极限形式 如果 ∑∞ =1 n n u 为正项级数,且ρ=+∞→n n n u u 1 lim ,则 (i )若1<ρ,则 ∑∞ =1 n n u 收敛;(ii )若1>ρ或+∞=ρ时, ∑∞ =1 n n u 发散. 例5 判别级数∑?n n n n ! 3的敛散性. 解:因为()()13 113lim !31!13lim lim 111>=?? ? ??+=?++=∞→++∞→+∞→e n n n n n u u n n n n n n n n n n ,所以由比式判别法的极限形式知原级数发散. (6)根式判别法 如果 ∑∞ =1 n n u 为正项级数,(i )如果1<≤ ρn n u ,则∑∞ =1 n n u 收敛; (ii )若1≥n n u ,则级数 ∑∞ =1 n n u 发散. (7)根式判别法的极限形式 如果 ∑∞ =1 n n u 为正项级数,还有ρ=∞→n n n u lim , (i )当1<ρ时,则 ∑∞ =1 n n u 收敛;(ii )当1>ρ时,则 ∑∞ =1 n n u 发散. 例6 判别级数∑?? ? ??+n n n 12的敛散性. 解:因为12112lim 12lim <=+=?? ? ??+∞→∞→n n n n n n n n ,所以由比式判别法极限形式知原级数收敛. (8)积分判别法 若)(x f 为),1[+∞上的非负减函数,那么正项级数 ∑)(n f 与反常积分? +∞ 1 )(dx x f 同时 收敛或同时发散. 例7 判别级数 ∑+11 2n 的敛散性. 解:设()112+=x x f ,则()x f 在),1[+∞上为非负单调递减函数,而?+∞=+1241π x dx 故由积分判别法知原级数收敛. (9)Raabe 判别法 设0>n u ,Λ,2,1,11=??? ? ??-=+n u u n R n n n . (i)若存在1>q 及正整数N ,使得当N n ≥时有q R ≥n ,则级数 ∑∞ =1 n n u 收敛; (ii )若存在正整数N ,使得当N n ≥时有1≤n R ,则级数 ∑∞ =1 n n u 发散. (10) Raabe 判别法的极限形式 设 ∑∞ =1 n n u 是正项级数,且有r R n n =∞ →lim , (i )若1>r ,则级数 ∑∞ =1n n u 收敛; (ii )若1 ∑∞ =1 n n u 发散. 例8 判别级数 ()()∑∞ +?-1 21!!2!!12n n n 的敛散性. 解:容易验证,因为()∞→→n 1ρ这个级数用比式判别法和根式判别法都失效,这时可以用Raabe 判别法.此时,()() ()()() ()∞→→++=???? ? ?-+++=???? ??-=+n n n n n n n n u u n R n n n 23 1256122322212 2 1.由Raabe 判别法知原级数收敛. 正项级数的判别方法有很多种,下面总结一下这几种方法的选择顺序:①若n n u ∞ →lim 易于求的,考察 n n u ∞ →lim 的值:0lim ≠∞ →n n u ,则依据级数收敛的必要条件,知级数发散;②若0lim =∞ →n n u ,不能直接判断 级数是收敛还是发散,此时用比式判别法或根式判别法,当1<ρ时,级数收敛;若1>ρ或+∞=ρ时,级数发散;③当1=ρ时,级数可能收敛也可能发散,此时用比较判别法,找出一个已知敛散性的级数与之比较,然后根据比较判别法或其极限形式判定级数的敛散性,当然,对于一些具体问题,我们应该根据其特点分析,找到更简便的判别方法. 2.3.3一般项级数的判别方法 (1)交错级数判别法 Leibniz 判别法 若交错级数n n n u 1 1) 1(+∞ =-∑(0>n u ) ,满足下述两个条件:(i )数列{}n u 单调递减;(ii )0lim =∞ →n n u ,则级数收敛. 注:用Leibniz 判别法判定1+>n n u u 时,可以用以下几种方法:①比值法:考察是否有 11 >+n n u u ;②差值法:考察是否有01>-+n n u u ;③导数法:即建立一个连续可导的函数)(x f ,使 ),2,1()(K ==n u n f n ,考察是否有0)(<'n f . 例9 判定级数 () ∑∞ =-+++-1 1 1ln )1(1 )1(n n n n n 的敛散性. 解:因为此级数为交错级数 ,设()() 1ln 11+++= n n n u n ,易证()()01ln 11 lim lim =+++=∞→∞→n n n u n n n ,下面判定1+>n n u u ,下面我们用导数的知识判定数列{}n u 单调递减.设()() 1ln 11 )(+++= =n n n u n f n , 则()()()()() 1ln 11ln 22++-+= ' ='n n n n u n f n ,又设()()n n n g -+=1ln ,则()011 1 <-+= 'n n g ,()n g ∴单调递减,()()0g n g < ,()0<'∴n f ,()n f 单调递减,1+>n n u u ,由Leibniz 判别法,知原级数发散. (2)绝对收敛 若级数 ∑∞ =1 n n u 各项绝对值组成的级数 ∑∞ =1 n n u 收敛,则原级数绝对收敛. 性质:绝对收敛的级数一定收敛.此定理的逆命题不成立,即:若 ∑∞ =1 n n u 收敛,不能判定 ∑∞ =1 n n u 也 收敛. (3)Abel 判别法 若{}n a 为单调有界数列,且级数 ∑n b 收敛,则级数 ∑n n b a 收敛. 例10 判定级数()()()∑∞ =-??? ??+-2 arctan 411ln 11n n n n n n 的收敛性. 解:根据Leibniz 判别法知级数()∑∞ =2ln 11-n n n 收敛.因为?? ??????????? ??+n n 11递增有界,故由Abel 判别法 知级数()()∑∞ =??? ??+-2 11ln 11n n n n n 收敛,又因{}n arctan 4-递减有界,再由Abel 判别法知原级数收敛. (4)Dirichlet 判别法 正项级数敛散性的判别方法 摘要:正项级数是级数容中的一种重要级数,它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多,但是用起来仍有一定的技巧,归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法,比较这些方法的不同特点,总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别,才能事半功倍。 关键词:正项级数;收敛;方法;比较;应用 1引言 数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题,最初的问题可以追溯到公元前五世纪,而到了公元前五世纪,而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家Gregory J (1638—1675)给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究,得到了一系列数项级数的判别法。因而,判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理,但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时,常会有这些感觉:有时不知该选用哪种方法比较好;有时用这种或那种方法时,根本做不出来,也就是说,定理它本身存在着一些局限性。因此,我们便会去想,我们常用的这些定理到底有哪些局限呢?定理与定理之间会有些什么联系和区别呢?做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢?这就是本文所要讨论的。 2正项级数敛散性判别法 2.1判别敛散性的简单方法 由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数 1 n n u ∞ =∑收敛 ?0,,,,N N n N p N ε+?>?∈?>?∈有12n n n p u u u ε+++++ +<。取特殊的1p =,可 得推论:若级数 1 n n u ∞ =∑收敛,则lim 0n n u →∞ =。 2.2比较判别法 定理一(比较判别法的极限形式): 设 1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑为两个正项级数,且有lim n n n u l v →∞=,于是 (1)若0l <<+∞,则 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑同时收敛或同时发散。 (2)若0l =,则当 1 n n v ∞ =∑收敛时,可得 1 n n u ∞ =∑收敛。 华北水利水电学院 数项级数敛散性判别法。(总结) 课程名称:高等数学(下) 专业班级: 成员组成 联系方式: 2012年5月18日 摘要:在学习数项级数的时候,对于单一的方法所出的例题,大家都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后,再给出题目,大家似乎一头雾水,不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭每一种方法,虽然也可行。但是对于同一个级数,用不同的方法判断敛散性的难易程度不同,如果选用合适的方式,可以到到事半功倍的效果,但是如果悬选择了错误的方法,可能费了九牛二虎之力之后,得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方法,了解它们的特性,才能更好地运用它们。 关键词:数项级数,敛散性,判断,方法。 英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series,we all know which way to go.But wait until all of the methods after completing their studies are given topics,everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible.But for one series,using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect,but if the hanging has chosen the wrong way,may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong.So we need to sum up to determine the convergence and divergence,and to understand their characteristics,in order to make better use of them. Key words:A number of series,convergence and divergence of judgment. 引言:以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理,并通过一些例题,讲解它们各自的适用范围。并总结出判断敛散性的一般思维过程。 数学与统计学院应用数学系 综合课程设计成绩评定书设计题目:正项级数收敛的判别方法 摘要: 各项都由正数组成的级数称为正项级数,它是数项级数的特例。本文主要考虑正项级数的收敛问题,通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法,并结合相关实例,判断所给级数的敛散性。 关键字:正项级数 收敛 比较原则 比式判别法 根式判别法 积分判别法 1基本概念 1.1 数项级数及其敛散性 在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质,下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。 定义1:给定一个数列{}n u ,对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++ (1) 称为数项级数或无穷级数(简称级数),其中n u 称为数项级数的通项。 数项级数(1)的前n 项之和,记为1 n n k k S u == ∑,称为(1)的前n 项部分和。 定义2:若(1)的部分和数列{}n S 收敛于S (即lim n n S S →∞ =),则称数项级数(1)收 敛,并称S 为(1)的和,记为1 n n S u ∞ == ∑,若{}n S 为发散数列,则称数列(1)发散。 根据级数(1)的收敛性,可以得到收敛级数的一些性质: (i) 收敛级数的柯西收敛准则 级数(1)收敛的充要条件是:0ε?>,0N ?>,n N ?>,p Z + ?>,有 12||.n n n p u u u ε++++++< (ii) 级数收敛的必要条件:若级数 1 n n u ∞ =∑收敛,则lim 0n n u →∞ =. (iii)去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。 (iv) 在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和(正项级数也满足)。 (v) 运算性质: 若级数 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑都收敛,c d 是常数,则 1 ()n n n cu dv ∞ =+∑收敛,且满足 数项级数敛散性的判别法毕业论文 关于数项级数敛散性的判别法 摘要:级数是数学分析中的主要内容之一.我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种,如柯西(Cauchy)判别法、达朗贝尔(D ’Alembert )判别法、拉阿贝(Raabe)判别法、高斯(Gauss)判别法、狄里克莱(Dirichlet)判别法、莱布尼兹(Leibniz)判别法、阿贝尔(Abel)判别法等.对数项级数敛散性判别法进行归纳,使之系统化. 关键词:数项级数; 正项级数 ; 变号级数; 敛散性; 判别法 1 引言 设数项级数 ++++=∑∞ =n n n a a a a 211 的n 项部分和为: 12n S a a =++ +1 n n i i a a ==∑ 若n 项部分和数列{} n S 收敛,即存在一个实数S,使 lim n n S S →∞ =. 则称这个级数是收敛的,否则我们就说它是发散的.在收敛的情况下,我们称S 为级数的和.可见,无穷级数是否收敛,取决于lim n n S →∞ 是否存在.从而由数列的柯西(Cauchy )收敛准则, 可得到级数的柯西(Cauchy )收敛准则[1]: 数项级数1 n n a ∞ =∑收敛0,N N ε+ ??>?∈,对,n N p N + ?>?∈有 12n n n p a a a ε ++++++<. 2 正项级数敛散性判别法 设数项级数1n n a ∞ =∑为正项级数(n a ≥0).则级数的n 项部分和数列{}n S 单调递 增,由数列的单调有界公理,有 定理2.1[1] 正项级数1n n u ∞ =∑收敛?它的部分和数列{}n S 有上界. 由定理2.1可推得 定理2.2 [2] :设两个正项级数1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑,存在常数c 0 >及正整数N ,当n >N 时有 n u ≤c n v ,则 (i )若级数1 n n u ∞=∑收敛,则级数1 n n v ∞ =∑也收敛; (ii )若级数1 n n u ∞=∑发散,则级数1 n n v ∞ =∑也发散. 一般常及其极限形式: 定理2.2’(比较判别法的极限形式) [2] :设1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑是两个正项级数且有 lim n n n u v →∞=λ, (i )若0<λ<+∞,则两个级数同时敛散; (ii )若 λ=0,级数1 n n v ∞ =∑收敛,则级数1 n n u ∞ =∑也收敛; (iii )若 λ=+∞,级数1 n n v ∞=∑发散,则级数1 n n u ∞ =∑也发散. 由比较判别法可推得: 任意项级数敛散性判断 下列级数是否收敛,说明是绝对收敛还是条件收敛 1、 () ∑ ∞ =--1 1 11n n n 2、 ()∑∞=--1131n n n n 3、 () ∑∞=+121sin n n na 4、 ()()011>-∑∞=a na n n n 5、 ∑∞=??? ?? +2ln 1sin n n n π 6、 Λ+-+-+- 332210 3 211032110321 7、 ()()()∑∞=+-+-+11 2 212 12121n n n n n 8、 ()() [] ()01111 >-+-∑∞=-p n n p n n 答 解:1、() ∑ ∞ =--1 1 11n n n 取绝对值 ()∑ ∑∞=∞ =-=-1 11 1 1n n n n n >∞ ( 2 1 =p 的p 级数) 而原级数是交错级数 且: 01lim 1 111==<+=∞ →+n u n n u n n n 由莱布尼兹定理,原级数收敛。所以是条件收敛。 2、()∑∞ =--113 1n n n n 13111lim 313 31lim lim 11<=??? ??+=+=∞→-∞→+∞→n n n u u n n n n n n n正项级数敛散性地判别方法
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