第三章 稳恒电流
一、判断题
1、若导体内部有电流，则导体内部电荷体密度一定不等于零
2、通过某一截面的,截面上的电流密度必为零
3、通过某一截面上的电流密度,通过该截面的电流强度必为零 √
4、如果电流是由几种载流子的定向运动形成的，则每一种载流子的定向运动对电流都有贡献 √
5、一个给定的一段导体（材料、几何尺寸已知）其电阻唯一确定
6、静电平衡时，导体表面的场强与表面垂直，若导体中有稳电流，导体表面的场强仍然与导体表面垂直
7、金属导体中，电流线永远与电场线重合 √
8、在全电路中，电流的方向总是沿着电势降落的方向
9、一个15W,12V 的灯泡接在一电源上时，能正常发光。若将另一500W ，24V 的灯泡接在同一电源上时也能正常发光
10、电源的电动势一定大于电源的路端电压 11、两只完全相同的电流表，各改装成10mV 和1000V 的电压表，一只并联在5mV 的负载两端，另一只并联在500V 的负载两端，通过两只表的电流一样大 √
12、基尔霍夫方程对非稳恒电流也适用
13、有A 、B 两种金属，设逸出功W A >W B ，其余的差异可忽略，则接触后，A 带正电，B 带负电 14、接触电势差仅来自两金属逸出功的不同 二、选择题
1、描写材料的导电性能的物理量是：
（A ）电导率 （B ）电阻R （C ）电流强度I （D ）电压U A
2、在如图所示的测量电路中，准确测量的条件是：
（A ） （B ）>>R （C ）< 3、如图所示，为一块内半径为R 1，外半径为R 2，厚为h 的金属板，它对曲率中心所张的圆心角为,假定电导率 为,两端面间所加直流电压为U ，则金属板内的电流密度为： （A ） （B ） （C ） （D ） D 4、如图所示，为一块内半径为R 1，外半径为R 2，厚为h 的金属板，它对曲率中心所张的圆心角为,假定电导率为,两端面间所加直流电压为U ，则金属板的电阻是： （A ） （B ） （C ） （D ） A 5、一半径为R （为常数，是介质中一点到球心的距离），若使导体球的电压维持在U ，则媒介质中的电场强度为： 0=I 0=j γR R A =A R A R A R θγθγ1R U θγ2R U θγh U θγr U θv 12ln R R hv R θ = θ= hv R R R 1 2 ln )(12R R hv r R -θ=2 12)(R R v h R -θ=k r A R A R εr （A ） （B ） （C ） （D ） B 6、一个功率为45w 的电烙铁，额定电压是220/110V ，其电阻 丝有中心抽头[如图（a ）所示]，当电源是220V 时，用A 、 B 两点接电源；当电源是110V 时，则将电阻丝并联后接 电源[如图（b ）所示]在这两种接法中： （A ）通过电阻丝的电流相同，电源供应的电流相同 （B ）通过电阻丝的电流相同，电源供应的电流不相同 （C ）通过电阻丝的电流不相同，电源供应的电流不相同 （D ）通过电阻丝的电流不相同，电源供应的电流相同 B 7、如图所示的由电阻组成的回路为： （A ） （B ） （C ） （D ） A 8、如图所示，图中各电阻值均为R ，为 （A ） （B ） （C ） （D ） D 9、由一对铜—康铜线所组成的热电偶， 势电偶与一电流计G 相联，当热电偶及连接导线的电阻R 1=40，电流计的电阻R 2=320,电流计中的电流 时，热电偶两接头处的温度差是： （A ） （B ） （C ） （D ） A 10、一个二维的无限延展的正方形电阻网络，如图所示，设相邻两个格点之间的电阻都是1,则A 、B 间的等效电阻是： （A ） （B ） （C ） （D ） C 11、已知一系列相同电阻R （A ） （B ） （C ） B 12R 连接，则 （A （B ）断路时，端电压等于 （C ）短路时，端电压等于 （D ）在任何情况下，端电压都不等于 B 13在如图所示的电路中， 的值分别是： 20r U R E =32 02r UR E = 0R U E = 0=E AB R Ω=75.3AB R Ω=75.4AB R Ω=25.1AB R Ω=1AB R AB R Ω=4AB R Ω=2AB R R R AB 43= R R AB 23=ΩΩA I 8 108.7-?= C 7.0 C 5.0 C 3.0 C 1.0Ω4r r 2r ∞R R AB 2=()R R AB 2 51+= R R AB 3= ∞=R εεε1ε2εA A B （A ）-7V ，-18V （B ）33V ，22V （C ）19V ，8V （D ）7V ，18V D 三、填空题 1、设通过铜导线的电流密度，铜的自由电子密度为电子的定向运动速度 ( ). 2、在（ ）条件下P=UI ，成立在（ ）条件下，P=I 2 R 成立. 任意导电介质 欧姆介质 3、电流的稳恒条件的数学表达式是（ ）. 4、如图所示，为了测量电阻两端电压，必须将电压表并联在电阻上，准确测量的条件是（ ）。 R V >>R 5、环形分流器的线路如图所示。 、 、、、各电流的关系是 ( ) 。 6、有三个一段含源电路如图所示， 在图（a ）中 =( 在图（b ）中 =( )。 在图（C ）中 =( )。 图（a ）： 图（b ）： 图（c ） 7、在范德格喇夫静电起电机里，一宽为30cm 的橡皮带以20m/s 速度运动，在下边的滚轴处给橡皮带表面输电，橡皮带上的电荷密度可以产生40v/cm 的静电场。则运动的橡皮带所产生的相应电流是（ ）。mA 4.2 8、导线中的电流随时间变化关系是i =4+2试中i 的单位为A ，t 的单位为s ，（1）从t=5s 的时间间隔内，通过此导线横截面的电荷是（ ）C ，（2）在相同的时间内输运相同的电荷量所需的恒定电流为（ ）A 。 603.3 120.7 9、两个同心的导体薄球壳，半径分别为,其间充满电阻率为的均匀介质（1）两球壳之间的电阻（ ）。（2）若两球壳之间的电压是U ，其电流密度（ ）。 10、图中两边为电导率极大的良性导体，中间两层是电导率分别为的均匀导电介质，其厚度分别为,导体的截面积为s ，通过导体的稳恒电流的强度为I ，电流方向如图所示，A 、B 、C 三个界面的面电荷密度分别是（ ）、（ ）、 ( )。 11、铜电阻的温度系数为,若时，铜的电阻率为，直径为5.00m,长为160km 铜 电话线在的电阻( )。 144.5 12、一铂电阻温度计，在时的电阻值为200.0，当把它浸入已在熔解的三氯化锑（SbCl 3）中后，阻值变为 257. 6,则三氯化锑的熔点t 是（ ）（已知铂电阻的温度系数为 ） 73.5 13、蓄电池在充电时通过的电流为3A ，此时其端电压为4.25V ，当这蓄电池放电时，流出的电流为4A ，此时端电压为3.9V ，此蓄电池的电动势是（ ）和内阻是（ ）。 4.1V 0.05 14、如图所示，在一立方体框架上，每一边 有一个电阻，阻值均为R=1.R AB =( )。 2/4.2mm A j =328/104.8m ?0 I g I 1I 2I 3I AB U AB U AB U ε-+=） （r R I U AB ）（r R I U AB +-ε=）（r R R I U AB +++ε=214 10-?2 t b a r r 和ρ21μμ、21d d 、23 /10 3.4C -? C 0m ?Ω?-8106.1 C 25ΩC 0ΩΩC /1092.33-?=αΩΩB ) (a A R B )(c A 15、 一电路如图所示，已知 则U ab =（ ） 1V 16、在如图所示的电路中， ，电流表A 的读数为0.5A 。（1） 电源电动势的大小为（ ）（2）电源 ）（设是该电源的内阻）。（3）B 、F 两点间的电势差为（ ）。 11V 5J 12V 17,使热电偶与内阻为R g =2000灵敏度为每分格的电流计相联，当热电偶的第二接头的温度T 2=15时， 电流计偏转n=25分格，则炉内的温度T 1=（ ）。 1015 18、如图所示的电路中，如果R 0R 0，则R 1的值 是（ ）。 19、可用如图所示装置：AB 是一条长为100cm 的均匀电阻线，接触点S 可在它上面滑动，已知电缆长7.8km 。设当S 滑到B 端的距离x=41cm 时，通过电流计G 的电流为零，则电缆损 坏处到B 的距离是( ) 。 6.4km 20、给你电动势为内阻为r 又可心并联，并用来在电阻R 中建立电流，如果R>r （ 串联 并联 四、问答题 1的体电荷共同激发的，在稳恒条件下，这些电荷分布不随时间改变。 2、断丝后的白炽灯泡，若设法将灯丝重新上后，通常灯泡总要比原来亮，但寿命一般不长，试解释此现象？ 答:灯泡丝烧断重新接上后，灯丝的长度L 比原来小些，又根据 ，R 比原来小些，又因为灯泡上的电压U 不变，由 知R 减小，P 便增大。所以灯泡的实际功率大于额定功率，从而比原来亮些。根据 知，当Q 不变时，P 与t 成反比，故P 增大，t 减小，灯泡寿命降低。 3、把一恒定不变的电势差加于一导线的两端，使导线中产生一稳恒电流，若突然改变导线的形状（若折屈导线），在此瞬间会发生什么现象？是什么因素保持电流稳恒？ 答:电荷的分布的最终要求是导线内部各点的场强沿着导线的方向，如果导线形状发生变化，原来的电荷分布将 不再能保证导线中各点的仍沿导线方向，于是电荷分布将自动调整，通过一个短暂的不稳定调整过程（ 秒左右）使导体内的与变化后导体的表面平行，电荷分布不发生变化进入新的稳恒状态。 4、一个电池内的电流是否会超过其短路电流？电池的路端电压是否可以超过电动势？ 答:电池在充电时，由电路端电压知， U?。所以路端电压可以超过电动势。由 知， 当 U? 时,通过电池内的电流I 就会超过其短路电流 ,因为U?,则有I? 5、一分压电路，如图所示。其作用是把电源两端电压的一部分加于负载R 两端。图中a 、b 是变阻器的两个 固定头，c 为滑动接头，调节c 的位置，就可以调节加于负载R 两端的电压，试讨论：（1）负载R 两端的电压与滑动接头a 的距离是否成正比；（2）在什么条件下，负载R 两端电压与成正比。 答:当C 滑动到某一位置时，回路总电流为 当电阻R 两端电压为 设 ，则有 由上式知,R 两端电压与x 不成正比.当. V 121=εV 92=εV 83=εΩ===1321r r r Ω ====25431R R R R Ω=32R V 41=εV 122=εΩ=233ε2R C V a /105.06-?=ΩA 810- C C εS L R ρ =R U P 2=t Q P = E 19 10-E Ir U +ε=εr U I ε -= ε2r I ε= 'ε2' 2I r r =ε =ε-ε0R x x kx R ac =2 +Kr l K 1R 3R 3 3r ε54B 1 εεε1 0R 1R A a b 6、补偿器原理如图6-1所示，其中是标准电池的电动势，它的值已准确知道， 是被测电源的电动势，G 是检流计， 是标准电阻，它的大小是根据补偿器的工作原理来选定。 也是标准电阻其上有滑动触头。测 量时先把电键K 打向a ，改变电阻，直到电流计G 中的读数为零，然后把K 打到b ，在保持不变的情况下，调节 上的活动触头，直到检流计G 中的电流为零，根据此测量，试求出 值。这种测量与电压表测电动势 有何不同？ 答:由图6-1知当K 合向a 时,调使G 为零有 ……① 当K 合向b 时不变,调 使G 为零 ……② ①式÷②式得 图6-1 ……③ 当用电压表直接测电源电动势，如图6-2所示有 电压表的示值为 图6-2 所以 ……④ 通过比较可知:补偿法测电动势时, 只与 、 、 有关.只要检流计的灵敏度、 、 准确度，就可以 准确测量出值。而用电压测电动势时不仅与电压内阻有关，而且还与自身内阻有关，测量值比实际 值小，只有当 ??时，才比较准确。 7、两只刻度都是50、内阻是3K Ω的电流表，一只改装成10mA 的毫安表，另一只改装成100A 的安培表，当两只表分别接在电路中测量电流，表头指示都是满格时，问这两只表两端的电压哪个大？为什么？ 答: 当将50表改装成10mA 表时，如图7-1所示，有 当将50 表改装成100A 表时，如图7-2所示，有 这两只表两端电压分别是 通过计算知：10mA 的毫安表两端电压大 五、证明题 1、已知一段电路的欧姆定律，试导出欧姆定律的微分形式. 证明： 设想在导体的电流场中取一小电流管，设其长度为,垂直截面为，由欧姆定律有 其中，，，将其代入上式得 所以 证毕 2证明：在导线内部任取一个很小的闭合面S 因为 所以 根据高斯定理，上式表明闭合面的S 内的电量为零，可见流过稳恒电流的均匀导线内任一点的电荷体密度为零。 3、当一稳恒电流通过由两种电导率不同的均匀材料组成的导体时，证明界面两侧沿轴方向电流密度相等。 证明：在界面上作一个垂直界面扁圆柱形高斯面，如图3-1所示根据稳恒条件有 所以 s εx εs R x R 1R 1R x R x ε1R S S S R I =ε1R x R x S x R I =εx S S x R R ε= ε) 1(V R r U +=εx εS εS R x R S R x R r εεV R r V R r U =εA μA μA μV U 1515300015 3000101031≈+???=-E j γ=l ?S ?S j I ?=?l E U ?=?S l R ?γ?= V V R εr 1 图3-1 证毕 4、试证明：在A 、B 两种金属构成的温差电偶回路中串接金属C ，只要C 两端温度相同，就不会影响回路的温差电动势 证明：A 、B 两种金属之间插入第三种金属C 成一闭合回路，则回路的温差电动势为 从而证明了当中间导体两端温度相等时，它不影响总的温差电动势 5、试证：在一个均匀导体做成的柱体中，若沿轴向流过稳恒电流，则导体内电流密度矢量必处处相等。 证明：要证明导体内的电流密度处处相等，需要分三步证明：第一步，沿轴向方向处处相等；第二步，沿径向方向处处相等；第三步，任意两点均相等。现分别证明如下： （1）电流，密度沿轴向方向处处相等 设离轴线距离相同的两点1、2，如图5-1所示其电流密度分别为根据稳恒电流条件 所以 图5-1 图5-2 （2）电流密度沿径向方向处处相等 在任一垂直于轴的矢径上有3、4两点，如图5-2所示其电流密度分别为根据稳恒电场条件 所以 （3）在导体中，任意两点的电流密度均相等 如图5-3所示，因为 所以 图5-3 6、在如图6-1所示电路中， 和是两个电源的电动势，它们的内阻皆为零，试证明检流计G 的电流为零的 充分必要条件是： 证明：必要条件的证明：因为当 所以由一段含源电路欧姆定律知 图……① ……② ①式÷②式得 充要条件的证明： 取如图图6-2所示的两个回路，由基尔霍夫方程有 回路：……③ 回路： ……④ 图6-2 ……⑤ 由③④⑤式联立得 当时 ，即 7、如图所示是一个可以测量电容的电桥，试证明：当电桥平衡时，待测电容 证明：当电桥平衡时，检流计示零，由电 容器的隔直作用得通过 和的电流为 由于与，与并联，所以 又因为 所以 六、计算题 1、两同轴铜质圆柱套管，长为L ，内圆柱的半径为a ，外圆柱半径为b ，两圆柱间充以电阻率为ρ的石墨，如图 21j j =21,j j 21j j =4 3,j j 2 1p p j j =1ε2ε2 1 21R R =εεB A U IR U =ε-+11011=-εIR 022=-IR εI )()(111g g R I R I -+-=ε-II 2 22R I R I g g +=ε-g I I I +=2101221=ε-εR R 0 =g I 12 1 C R R C x = 1R 2R 1R 1C 2R x C G 1 R 2 R 1 C x C G A B 所示，若从内圆筒作为一电极，外圆筒作为另一电极，求石墨的电阻。 解法1：由欧姆定律求电阻 由于铜的电阻率非常小，两个饿铜管可以分别作为一个等势面，电流沿着径向由一个圆筒流向另一个圆筒。 根据对称性，石墨中电流密度 是离轴距离r 的函数，通过半径为r 、长度L 的圆拄的电流 根据稳恒电流的闭合性，通过各柱面的电流是相等的，由此得 两极间的电势差为 于是电阻为 解法2：由电阻定律求电阻 当截面不均匀时有 所以内外筒间的电阻为 2、试求电源向负载输出功率为最大的条件。 解：设一闭合电路，电源的电动势为，内电阻为R ，如图所示，电路中的电流为： 可以看出，当，即所谓开路或短路时，；当R=0，即短路时 当R 很大时或很小时，输出功率都不很大，只有R 取适当值时，才能输出功率为最大。根据求极值的方法， 由此得到向负载输出功率为最大是的条件是 此式称为匹配条件，应注意，一般的化学电源的电阻r ，起内阻很大，考虑匹 配条件是很重要的。 3、电阻均匀为R 的导线，组成一立方框架，求其对角线两端a 解：设想在a 、b 两点间加一电压U ，则由对称性，立方框架各边的电流如图所示，则有 由此解得 4、求不平衡电桥通过检流计G 的电流Ig ，已知电桥四个臂的电阻分别为R 1、R 2、R 3和R 4，电源的电动势为ε，内阻为零，检流计的内阻为R g 解：由基尔霍夫方程求解。标定各支路中电流的方向如图所示。对回路ABDA 有 对回路BCDB 有 对回路ABC A 有 整理方程为行列式形式 解行列式得 5、如图所示，一电阻器形状如平截头正圆锥体，两端面的半径分别为，高是,材料的电阻率是，如果锥度很小，我们可假定，穿过任一截面的电流密度是均匀的。（1）试计算这种电阻器的电阻；（2）试证明，对于 锥度为零（）的特殊情况，答案将简化为,其中S 为圆柱形的截面积。 解：（1）如图所示，取小圆锥长为，截面积为，由于电流密度均匀，小圆锥电阻为 ……① 由图可得 所以 ……② 所以 ……③ 将③式代入①式得 于是该物体的电阻为 ……④ 将②式代入④式得 当时 6、若两个半径为的小球状电极全部深埋在电导率为的大地中，两球的间距为，试求两电极间的电阻R εR →∞0I =εb a 和l ρb a =S l ρ dx 2 r π2 r dx dR πρ=a b dl h -= x l a b h dx r -== ()? ?? ??+--= l h h a b l 1122 πρb a =a γa d >>j I 解：因为，每一极电极电流分布与孤立电极的电流分布相似，场中各点，电流密度为两极所产的电流密 度矢量和。 如图所示，以左边电极的球心为原点，M 点与原点距离为r ，则 M 点的电场强度为 两电极间的电压为 因为所以 则两极间的电阻为 7、一半径为R 的理想导体球浸没在无限大的欧姆介质中，介质的电导率为，r 是介质中任一点到球心的距离），若使导体球的电压维持在U ，试求媒质中的电场强度。 解：无限大的欧姆介质的电阻为 由欧姆定律知，介质中的电流强度为 所以 根据欧姆定律的微分形式得 8、一无限大平面金属薄膜，厚度为,电阻率为,电流I 自O 处注入，自O`处流出，两点间的距离为R 。在O 与O`的连线上有A 、B 两点，A 与O 相距r A ,B 与O`相距r B ，试求A 、B 两点间的电压U AB 解：如图所示，在A 、B 之间任找一点，该点到O 点的距离为r ，则 A 、B 两点间的电压为 9、220V 、50W 钨丝灯泡的钨丝直径为25，求钨丝的长度。已知在18时，钨丝的电阻率为, 假定钨丝的电阻和绝对温度成正比，灯炮在使用时，钨丝温度达到2500K ，问在电路初通时（18）电流的数值比烧热后大多少倍 解：（1）灯丝的电阻为 由电阻定律得 所以 （2）设则 ， 所以 10、范德格喇夫起电机的金属球的半径为,支撑这金属球的绝缘支柱的电阻为r 、皮带把电荷送到金属球上去的恒定电流为I 0，设金属球离地较远，（1）试求：自起电机的皮带向金属球内供电起，金属球的电势随时间的变化关系。（2）若I 0=0.1， r=,该起电机可能达到的最高电势是多少？（3）若金属球的半径 ,试问该起电机能否达到上述最高电势？设空气的击穿场强为30kV/cm. 解：（1）起电机的皮带向金属球供电的等效电路如图所示，金属球可视为孤立球，由欧姆定律得 ……① 由于 ， 所以 ……② 将②式代入①式得 所以 当t=0 ， ， 代入上式得 ……③ （2）由③式得 （3）设金属球所带电量为Q ，其表面的场强为 所以 金属球的电势为 取E 等于空气的击穿场强则有 a d >>a d >>为常数k kr (=γE j γ=a ρm μ C m ?Ω?-8105.5 C KT R =11 KT R =22KT R =a A μΩ?11105cm a 20=Q ir r I ?+=0dt dq i = ?πε?a c q Q 04==dt d a i ? πε=04()0=?t r I A 0-=? ??? ? ? -=-ar t e r I 0401πε?V r I 41160max 105105101.0?=???==?-C 通过比较知，，故该起电机能够达到最高电势 11、电子直线加速器产生电子束脉冲，脉冲电流是0.5A ，脉冲宽度为0.10μs 。（a ）每一脉冲有多少电子被加速？（b ）机器工作于 500脉冲/S ，其平均电流是多少？（c ）如电子被加速到能量为50MeV ，问加速器输出的平均功率是多大？ 解：a)设脉冲电量为Q ，脉冲电子数为N ，则有 b) 每一脉冲电量为 ，则500脉冲/S 的平均电流为 c)由得加速电压为 所以平均功率为 12、如图所示，当电键S 开启后，电键两端的电势差是多少？哪一端电势高？当S 闭合后电键处的最终电势是多少？S 闭合后，流经S 的电量是多少？ 解：1)S 开启时流经电阻的电流为 点的电势为 串联电容器的总电容为 总电量为 b 点的电势为 电键两端的电势为 2)S 闭合时流经电阻的电流为 、两点电势相等为 电容器极板上的电量分别为 流经S 的电量为 13、如图所示，当电键S 开启时，电键两端的电势差是多少？哪一端电势高？S 闭合后，电键处的电势为多少？S 闭合后，每一个电容器的电量变化了多少？ 解：1）S 开启时、两点的电势分别为 所以电键两端的电势差为 2)S 闭合时流经电阻的电流为 、两点的电势相等为 3）对电容器3而言，S 闭合前电极板上的电量为 S 闭合后极板电量为 电量变化量为 对电容器6而言，S 闭合前后电极板上的电量为 电量变化量为 14、已知，求各支路电流及电容器上的电荷， 若在a 、b 之间接上一个与电容器并联的4Ω电阻器，则情况又如何？ 解：1）设各支路电流方向，如图14-1所示，各支路电流为 因为 图14-1 所以电容器上的电荷为 2）当与电容器并联一个电阻后，电路变为如图 14-2所示，由基尔霍夫定律得 ……① ……②由①②式解得 由 得 15、电路如图所示， 求各支路电流。 解：设各支路电流方向如图所示，由基尔霍夫方程得 ? R R R F C V V ，，，，μεεV R I U U R I U ab b a 5.4875.0133331-=-?=-==-+εε25721-=+-I I 6 71212=+I I 2 13I I I +=12336.0, 4.5,0.1V V r εεε====Ω， ，Ω==5.021R R ，Ω=5.23R 对回路I ： ……① 对回路II ： ……② 对回路III ： ……③ 由②式－①式得 ……④ ②式③式得 ……⑤ ④式×⑧+⑤式得 将代入④式得 由 将、之值代入③式得 由 由 16、在如图所示的电路中 求：（1）通过 解：1）设各支路电流方向如图所示，由基尔霍夫方程有 对回路I ： ……① 对回路II ： ……②①式×2+②式得 由支路方程 得 2） 17、在图示所示电路中，各电源均为零内阻，O 点接地，求：（1）A 点电位；（2）10μF 电容器与O 点相接的极板上的电量。 解：1）设AB 支路电流如图所示，由全电路欧姆定律得 由一段含源电路欧姆定律得 所以A 点的电位为 同理得B 点电位为 2）分别设每个电容器与A 、B 、O 相接的极板上的电量为 由电荷守恒定律有 ……① 因为 所以 ……② 又因为 所以 2 12211611)(ε-ε=---r I R I I r I 15 57261=--I I I 3 23326322)(εε-=+-+r I R I I r I 20 567612=-+I I I 0 )()(262136116=-+-+-R I I I R I R I I 0 51035216=--I I I 5812=-I I +?73581112=+I I A I 12=213I I I +=1I 2I 164I I I -=536 I I I =-，V 11=ε，V 22=ε，V 33=ε，Ω===1321r r r ，，Ω=Ω=3121R R 的电流；3ε消耗的功率。）（22R 1222111)(ε-ε=++-r I R r I 1221=+-I I 2 323322)(εε-=+--R r I r I 14512-=+I I 2 13I I I +=W R I P 25.0329.022232=?==3 21,,q q q 0 321=---q q q 7101010206 2 61=?-?--q q 3 6 ……③ 由①、②、③式解得 18、在图示电路中， 二个理想电压源的电动势分别为 解：设各支路电流如图所示，由基尔霍夫方程得 对回路I ： ……① 对回路Ⅱ： ……② 对回路Ⅲ： ……③ 由①式+②式得 19、在图示电路中，各个电源的内阻均为 2.0Ω，电动势ε =2.0V ，电路中电阻 纯电感L=2.0mH ，纯电容C=1.0μF ，求：（1）流过 的电流； （2）流过电感的电流；（3）电容器上所带的电荷量。 解：设各支路电流如图所示，由基尔霍夫方程得 对回路I ： ……① 对回路II ： ……② 由②式-①式得: 1）由①式得 2） 3） 26101010206 362 =?-?--q q ， ，，36354213340.2R R R R R R R R =====Ω=的电流。 ，求流过32110R V =ε=ε5 449413=--I I I 5 44341=++I I I 5 1134413=--I I I ， ，，，3432121000.60.4R R R R R =Ω=Ω=Ω=4R 4101441=-I I 4410514=+I I A I I I L 141=+=)(1r I C CU Q +ε== 电磁学期末考试 一、选择题。 1. 设源电荷与试探电荷分别为Q 、q ，则定义式q F E =对Q 、q 的要求为：[ ] （Ａ）二者必须是点电荷。 （Ｂ）Q 为任意电荷，q 必须为正电荷。 （Ｃ）Q 为任意电荷，q 是点电荷，且可正可负。 （Ｄ）Q 为任意电荷，q 必须是单位正点电荷。 2. 一均匀带电球面，电荷面密度为σ，球面内电场强度处处为零，球面上面元dS 的一个带电量为dS σ的电荷元，在球面内各点产生的电场强度：[ ] （Ａ）处处为零。 （Ｂ）不一定都为零。 （Ｃ）处处不为零。 （Ｄ）无法判定 3. 当一个带电体达到静电平衡时：[ ] （Ａ）表面上电荷密度较大处电势较高。 （Ｂ）表面曲率较大处电势较高。 （Ｃ）导体内部的电势比导体表面的电势高。 （Ｄ）导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零。 4. 在相距为2R 的点电荷+q 与-q 的电场中，把点电荷+Q 从O 点沿OCD 移到D 点（如图），则电场力所做的功和+Q 电位能的增量分别为：[ ] （Ａ）R qQ 06πε，R qQ 06πε-。 （Ｂ）R qQ 04πε，R qQ 04πε-。 （Ｃ）R qQ 04πε-，R qQ 04πε。 （Ｄ）R qQ 06πε-，R qQ 06πε。 5. 相距为1r 的两个电子，在重力可忽略的情况下由静止开始运动到相距为2r ，从相距1r 到相距2r 期间，两电子系统的下列哪一个量是不变的：[ ] （Ａ）动能总和； （Ｂ）电势能总和； （Ｃ）动量总和； （Ｄ）电相互作用力 6. 均匀磁场的磁感应强度B 垂直于半径为r 的圆面。今以该圆周为边线，作一半球面s ，则通过s 面的磁通量的大小为： [ ] （Ａ）B r 22π。 （Ｂ）B r 2π。 （Ｃ）0。 （Ｄ）无法确定的量。 7. 对位移电流，有下述四种说法，请指出哪一种说法正确：[ ] （Ａ）位移电流是由变化电场产生的。 （Ｂ）位移电流是由线性变化磁场产生的。 （Ｃ）位移电流的热效应服从焦耳—楞次定律。 （Ｄ）位移电流的磁效应不服从安培环路定理。 8．在一个平面内，有两条垂直交叉但相互绝缘的导线，流过每条导线的电流相等，方向如图所示。问那个区域中有些点的磁感应强度可能为零：[ ] A ．仅在象限1 B ．仅在象限2 C ．仅在象限1、3 D ．仅在象限2、4 9．通有电流J 的无限长直导线弯成如图所示的3种形状，则P 、Q 、O 各点磁感应强度的大小关系为：[ ] A ．P B ＞Q B ＞O B B ．Q B ＞P B ＞O B C ． Q B ＞O B ＞P B D ．O B ＞Q B ＞P B 物理与电子工程学院 注：教案按授课章数填写，每一章均应填写一份。重复班授课可不另填写教案。教学内容须另加附页。 （3）在导体外，紧靠导体表面的点的场强方向与导体表面垂直，场强大小与导体表面对应点的电荷面密度成正比。 A 、场强方向（表面附近的点） 由电场线与等势面垂直出发，可知导体表面附近的场强与表面垂直。而场强大小与面密度的关系，由高斯定理推出。 B 、场强大小 如图，在导体表面外紧靠导体表面取一点P ，过P 点作导体表面 的外法线方向单位矢n ?，则P 点场强可表示为n E E n P ?= （n E 为P E 在n ?方向的投影，n E 可正可负）。过P 点取一小圆形面元1S ?，以1S ?为底作一圆柱形高斯面，圆柱面的另一底2S ?在导体内部。由高斯定理有： 11/) 0(?1 1 2 1 εσφS S E s d E E s d n E s d E s d E s d E s d E s d E n S S n S S S S ?=?=⊥=?= ?= ?+?+?= ?=?????????? ?????? 导体表面附近导体内侧 (导体的电荷只能分布在导体表面，若面密度为σ，则面内电荷为 为均匀的很小，视，且因σσ11S S ??) ∴ ?? ?<>=?? ?<<>>= 反向，，同向，，即，，n E n E n E E E E n n n ?0?0?0 00 00 σσεσ σσεσ 可见：导体表面附近的场强与表面上对应点的电荷面密度成正比，且无论场和电荷分布怎样变化，这个关系始终成立。 C 、0 εσ = E n ?中的E 是场中全部电荷贡献的合场强，并非只是高斯面内电荷S ?σ的贡献。这一点是由高斯定理得来的。P45-46 D 、一般不谈导体表面上的点的场强。 导体内部0=E ，表面外附近0 εσ=E n ?；没提表面上的。 在电磁学中的点、面均为一种物理模型，有了面模型这一概念，场强在带电面上就有突变（P23小字），如果不用面模型，突变就会消失。但不用面模型，讨论问题太复杂了，所以我们只谈“表面附近”而不谈表面上。 补充例：习题2.1.1(不讲) Rd θ 解：利用上面的结果，球面上某面元所受的力：n dS F d ?20 2 εσ= ，利用对称性知，带有同号电荷的球面所受的力是沿x 轴方向： 右半球所受的力： 第一章思考题 1． 1一个点电荷受到另一个点电荷的静电力是否会因其它电荷的移近而改变？当“另一个点电荷”被一个带电导体代替时，情况又如何？ 答：根据静电力的叠加原理，一个点电荷受到另一个点电荷的作用力，不论周围是否存在其它电荷，总是符合库仑定律的，如果这两个点电荷都是静止的固定的，则它们间距不发生变化，其相互作用力不会因其它电荷的移近而改变（反之若这两个点电荷是可动的，则当其它电荷移近，此二点电荷因受其它电荷作用而发生移动，其间距离变化，则相互作用力也变） 1． 2有一带电的导体，为测得其附近P 点的场强，在P 点放一试探电荷0q （0q >0），测得它所受的电场力为F 。如果0q 很大，F/0q 是 否等于P 点的场强E ？比E 大还是比E 小？ 答：若0q 很大，受它影响，带正电的导体的电荷分布，由于静电感应，导体上的正电荷受到排斥要远离P 点，因此在P 点放上0q 后，场强要比原来小，而测得的F/0q 是导体上电荷重新分布后测得的P 点的场强，故F/0q 要比P 点原来的场强E 小 1、 3场强的定义式为E=F/0q ，可否认为场强E 与F 成正比，与0q 成反比？当0 q →0时，场强是无限大还是为零？还是与0q 无关？ 答：不能，电场中某点的场强，它是由产生电场的电荷决定的，电场中某点的电场强度是客观存在的，是具有确定的值，当某点放上0q 后，所受的力F 与0q 成正比，比值F/0q 是个确定的值，其大小与F ，0q 均无关系，成以当0q →0时，其所受的力F →0，其比值→确定 值，与0q 无关 1． 4判断对错。（1）闭合曲面上各点场强为零时，面内必没有电荷；（2）闭合曲面内电量为零时，面上各点场强必为零；（3）闭合曲面 的电通量为零时，面上各点的场强必为零；（4）通过闭合曲面的电通量仅决定于面内电荷；（5）闭合曲面上各点的场强是仅由面内电荷产生的；（6）应用高斯定理求场强的条件是电荷分布具有一定的对称性；（7）如果库仑定律中r 的幂不是-2，则高斯定理不成立 答：（1）（2）（3）（5）（6）不对；（4）（7）对‘ 1． 5一个点电荷放在球形高斯面的球心，试问下列情况下电通量是否改变（1）如果这球面被任意体积的立方体表面所代替，而点电荷仍 位于立方体中心；（2）如果此点电荷被移离原来的球心，但仍在球内；（3）如果此点电荷被放到高斯球面之外；（4）如果把第二个点电荷放到高斯球面外的某个地方；（5）如果把第二个电荷放在高斯球面内 答：（1）与曲面形状无关，所以电通量不改变；（2）与面内电荷所在位置无关，所以电通量不改变；（3）面内电荷改变（减少）所以电通量改变→0；（4）面内电荷不变，所以电通量不改变；（5）面内电荷改变（增加），所以电通量改变→增加 1． 6图中已知S 1面上的电通量为1 S Φ，问S 2面，S 3面及S 4面上的电通量2 S Φ，3 S Φ，4 S Φ各等于多少？ 答：S 1面与S 3面组成闭合曲面1 S Φ+3 S Φ= 1 εq ，3 S Φ= 1 εq -1 S Φ； S 4与S 3组成闭合曲面3 S Φ+4 S Φ=0，4 S Φ=-3 S Φ=1 S Φ-0 1 εq ； S 2与S 3组成闭合曲面2 S Φ+3 S Φ= 2 1εq q +；2 S Φ=-3 S Φ+ 2 1εq q +=1 S Φ-0 1 εq + 2 1εq q +=1 S Φ+ 2 εq 1． 7（1）将初速度为零的电子放在电场中时，在电场力作用下，这电子是向电位高处运动，还是向电位低处运动？为什么？（2）说明 无论对正负电荷来说，仅在电场力作用下移动时，电荷总是从电位能高的地方移向电位能低的地方。 答：（1）总是向高电位处运动，受力方向逆着电力线，在初速为零，逆着电力线方向运动，电场中各处的电位永远逆着电力线方向升高。（2）仅在电场力作用下移动时，电场力方向与正负电荷位移方向一致，电场力作正功，使电荷的电位能减小,所以电荷总是从电位能高处向低处移动 1． 8可否任意将地球的电位规定为100伏，而不规定为零？这样规定后，对测量电位，电位差的数值有什么影响？ 答：可以，对电位差的数值无影响，对电位的数值有影响，提高了 1． 9判断对错（1）场强大的地方，电位一定高。（2）电位高的地方，场强一定大。（3）带正电的物体的电位一定是正的。（4 ）电位等于 课程编号:INF05005 北京理工大学2011-2012学年第一学期 2009级电子类电磁场理论基础期末试题A 卷 班级________ 学号________ 姓名________ 成绩________ 一、简答题（共12分）（2题） 1.请写出无源、线性各向同性、均匀的一般导电（0<σ<∞）媒质中，复麦克斯韦方程组的限定微分形式。 2.请写出谐振腔以TE mnp 模振荡时的谐振条件。并说明m ，n ，p 的物理意义。 二、选择题（每空2分，共20分）（4题）（最好是1题中各选项为同样类型） 1. 在通电流导体（0<σ<∞）内部，静电场（ A ），静磁场（B ），恒定电流场（B ），时变电磁场（ C ）。 A. 恒为零； B. 恒不为零； C.可以为零，也可以不为零; 2. 以下关于全反射和全折射论述不正确的是：（ B ） A.理想介质分界面上，平面波由光密介质入射到光疏介质，当入射角大于某一临界角时会发生全反射现象； B.非磁性理想介质分界面上，垂直极化波以某一角度入射时会发生全折射现象； C.在理想介质与理想导体分界面，平面波以任意角度入射均可发生全反射现象； D.理想介质分界面上发生全反射时，在两种介质中电磁场均不为零。 3. 置于空气中半径为a 的导体球附近M 处有一点电荷q ，它与导体球心O 的距离为d(d>a)，当导体球接地时，导体球上的感应电荷可用球内区域设置的（D ）的镜像电荷代替；当导体球不接地且不带电荷时，导体球上的感应电荷可用（B ）的镜像电荷代替； A. 电量为/q qd a '=-，距球心2/d a d '=；以及一个位于球心处，电量为q aq d ''=； B. 电量为/q qa d '=-，距球心2/d a d '=；以及一个位于球心处，电量为q aq d ''=； C. 电量为/q qd a '=-，距球心2/d a d '=； D. 电量为/q qa d '=-，距球心2/d a d '=； 4.时变电磁场满足如下边界条件：两种理想介质分界面上，（ C ）；两种一般导电介质（0<σ<∞）分界面上，（A ）；理想介质与理想导体分界面上，（ D ）。 A. 存在s ρ，不存在s J ； B. 不存在s ρ，存在s J ； C. 不存在s ρ和s J ； D. 存在s ρ和s J ； 三、（12分）如图所示，一个平行板电容 器，极板沿x 方向长度为L ，沿y 方向宽 度为W ，板间距离为z 0。板间部分填充 一段长度为d 的介电常数为ε1的电介质，如两极板间电位差为U ，求：（1）两极板 间的电场强度；（2）电容器储能；（3）电 介质所受到的静电力。 《电磁学》资料 一 、填空题 1、在MKSA 制中，电极化强度矢量的单位为 2 ，电场强度的量 纲式为13--I LMT 。 2、在MKSA 制中，磁矩单位为2 m A ? ，其量纲表达式为 M 0T 0L 2I 1 ； 3、一电偶极子处在外电场中，其电偶极距为 l q p ρρ =，其所在处 的电场强度为E ρ，则偶极子在该处的电位能=W ;E p ρ ρ?-，当=θ; π时，电位能最大； 4、麦克斯韦对电磁场理论的两个重要假设是 涡旋电场 和 位移电流 ； 5、如图（a ）所示，两块无限大平板的电荷面密度分别为σ和σ2-，则I 区：E 的大小为 2εσ ，方向为 向右 （不考虑边缘效应）； 6、在带正电的导体A 附近有一不接地的中性导体B ，则A 离B 越近，A 的电位越 低 ，B 的电位越 高 ； 7、一面积为S 、间距为d 的平行板电容器，若在其中插入厚度为2d 的导体板，则其电容为d S /20ε； 8、无论将磁棒分成多少段，每小段仍有N 、S 两个极，这表明 无磁单极 ，按照分子环流的观点，磁现象起源于 电荷的运 动（或电流） ； 9、有两个相同的线圈相互紧邻，各自自感系数均为L.现将它们串联起来，并使一个线圈在另一个线圈中产生的磁场与该线圈本身产生的磁场方向相同，设无磁漏，则系统的总自感量是 4L ； 10、完整的电磁理论是麦克斯韦在总结前人工作的基础上于 19 世纪完成的，并预言 了 电磁波 存在。 22题图 11、感应电场和感应磁场都是涡旋场，但感应电场是变化磁场 以 左 旋方式形成，而感应磁场是变化电场以 右 旋方式形成。 12．动生电动势的非静电力是-洛伦兹力，感生电动势的非静电力是涡旋电场力。 13．导体静电平衡的条件是导体内场强处处为零。 图 σ σ 2-Ⅰ Ⅱ Ⅲ 第一部分 习题 第一章 静电场基本规律 1．2．1在真空中有两个点电荷，设其中一个所带电量是另一个的四倍，它们个距2510-?米时，相互排斥力为牛顿。问它们相距0.1米时，排斥力是多少两点电荷的电量各为多少 解：设两点电荷中一个所带电量为q ，则另一个为4q ： （1） 根据库仑定律：r r q q K F ?22 1 =? 得：21 2221r r F F = （牛顿）） （） （4.01010560.12 12 2222112=??==--r r F F (2) 21 2 24r q K F = ∴ 21 9 4221 211109410560.14）（）（????±=± =-K r F q =±×710- （库仑） 4q=±×810- （库仑） 1．2．2两个同号点电荷所带电量之和为 Q ，问它们带电量各为多少时，相互作用力最大 解： 设其中一个所带电量为q ，则一个所带电量为 Q-q 。 根据库仑定律知，相互作用力的大小： 2 ) (r q Q q K F -= 求 F 对q 的极值 使0='F 即：0)2(=-q Q r K ∴ Q q 2 1 =。 1．2．3两个点电荷所带电量分别为2q 和q ，相距L ，将第三个点电荷放在何处时，它所受合力为零 解：设第三个点电荷放在如图所示位置是，其受到的合力为零。 图 1．2．3 即： 41πε 2 0x q q = 041 πε )(220x L q q - =2 1x 2)(2x L - 即：0222=-+L xL x 解此方程得： )()21(0距离的是到q q X L x ±-= （1） 当为所求答案。时，0)12(>-=x L x （2） 当不合题意，舍去。时，0)12(<--=x L x 1．2．4在直角坐标系中，在（0，），（0，）的两个位置上分别放有电量为1010q -=（库）的点电荷，在（，0）的位置上放有一电量为810Q -=（库）的点电荷，求Q 所受力的大小和方向（坐标的单位是米） 解：根据库仑定律知： 121 1?r r Q q K F =? )?sin ?(cos 1121 1j i r Q q K αα-= 2 28 1092.01.010 10109+???= --???? ? ?????+-++2 1222122)2.01.0(?1.0)2.01.0(?2.0j i =j i ?100.8?1061.187--?-? 如图所示，其中 2 1 21211 1) (cos y x x += α 2121 211 1) (sin y x y += α 同理：)?sin ?(cos 2222 12j i r Q q K F αα+?= ? 2281092.01.01010109+???=--×???? ? ?????+-++2 1222122)2.01.0(?1.0)2.01.0(?2.0j i 电磁学第二章习题答 案 习题五（第二章 静电场中的导体和电介质） 1、在带电量为Q 的金属球壳内部，放入一个带电量为q 的带电体，则金属球 壳内表面所带的电量为 - q ，外表面所带电量为 q +Q 。 2、带电量Q 的导体A 置于外半径为R 的导体 球壳B 内，则球壳外离球心r 处的电场强度大小 204/r Q E πε=，球壳的电势R Q V 04/πε=。 3、导体静电平衡的必要条件是导体内部场强为零。 4、两个带电不等的金属球，直径相等，但一个是空心，一个是实心的。现使它们互相接触，则这两个金属球上的电荷( B )。 (A)不变化 (B)平均分配 (C)空心球电量多 (D)实心球电量多 5、半径分别R 和r 的两个球导体(R ＞r)相距很远，今用细导线把它们连接起来，使两导体带电，电势为U 0，则两球表面的电荷面密度之比σR /σr 为 ( B ) (A) R/r (B) r/R (C) R 2/r 2 (D) 1 6、有一电荷q 及金属导体A ，且A 处在静电平衡状态，则( C ) (A)导体内E=0，q 不在导体内产生场强； (B)导体内E ≠0，q 在导体内产生场强； (C)导体内E=0，q 在导体内产生场强； (D)导体内E ≠0，q 不在导体内产生场强。 7、如图所示，一内半径为a ，外半径为b 的金属球壳，带有电量Q ， 在球壳空腔内距离球心为r 处有一点电荷q ，设无限远 处为电势零点。试求： (1)球壳外表面上的电荷； (2)球心O 点处由球壳内表面上电荷产生的电势； (3)球心O 点处的总电势。 解: (1) 设球壳内、外表面电荷分别为q 1 , q 2,以O 为球心作一半径为R (a 一、 计算题：（共70分） 1. 半径为R 的圆面均匀带电，电荷的面密度为e σ。 ⑴求轴线上离圆心的坐标为x 处的场强； ⑵在保持e σ不变的情况下，当0→R 和∞→R 时的结果各如何？ ⑶在保持总电荷e R Q σπ2=不变的情况下，当0→R 和∞→R 时的结果各如何？ ⑷求轴线上电势)(x U 的分布，并画出x U -曲线。 2. 一对同轴无穷长直的空心导体圆筒，内、外半径分别为1R 和2R （筒壁厚度可以忽略）。电流I 沿内筒流去，沿外筒流回（见本题图） ⑴计算两筒间的磁感应强度B ； ⑵通过长度为L 的一段截面（图中阴影区）的磁通量B Φ； ⑶计算磁矢势A 在两筒间的分布。 3. 只有一根辐条的轮子在均匀外磁场B 中转动，轮轴与B 平行，如本题图所示。轮子和辐条都是导体，辐条长为R ，轮子每秒转N 圈。两根导线a 和b 通过各自的刷子分别与轮轴和轮边接触。 ⑴求a 、b 间的感应电动势ε； ⑵若在a 、b 间接一个电阻，使辐条中的电流为I ，问I 的方向 如何？ ⑶求这时磁场作用在辐条上的力矩的大小和方向； ⑷当轮反转时，I 是否也会反向？ ⑸若轮子的辐条是对称的两根或更多根，结果如何？ 4. ⑴求无限长同轴线单位长度内的自感系数（图8），已知内、外半径分别 是1R 和2R （12R R >），其间介质的磁导率为μ，电流分布在两导体 表面。 ⑵若电流在内柱横截面上均匀分布，结果有何变化？ 5. 如本题图所示，一平行板电容器两极板的面积都是S ，相距为d ，今在其间平行地插入 厚度为t 、介电常量为ε的均匀电介质，其面积为2/S ，设两板分别带电荷Q 和Q -，略去边缘效应，求 ⑴两板电势差U ； ⑵电容C ； ⑶介质的极化电荷面密度'e σ。 6. 本题图是一个正在充电的圆形平行板电容器，设边缘效应可以忽略，且电路是准恒的。 求证： ⑴坡印亭矢量H E S ?=处处与两极板间圆柱形空间的侧面垂直； ⑵电磁场输入的功率??∑??d H E 等于电容器内静电能的增加率，即dt dq C 2 21，式中C 是电容量，q 是极板上的电量。 电磁场理论复习提纲 一、矢量分析与场论基础 主要内容与问题： ①矢量及矢量的基本运算； ②场的概念、矢量场和标量场； ③源的概念、场与源的关系； ④标量函数的梯度，梯度的意义； ⑤正交曲线坐标系的变换，拉梅系数； ⑥矢量场的散度，散度的意义与性质； ⑦矢量函数的旋度，旋度的意义与性质 ⑧正交曲线坐标系中散度的计算公式； ⑨矢量场的构成，Helmholtz定理； ⑩正交曲线坐标系中散度的计算公式。 二、宏观电磁场实验定律 主要内容与问题： ①库仑定律，电场的定义，电场的力线； ②静电场的性质（静电场的散度、旋度及电位概念）； ③Ampere定律；磁感应强度矢量的定义，磁场的力线； ④恒定电流磁场的性质（磁场的散度、旋度和矢势概念）； ⑤Faraday电磁感应定律，电磁感应定律的意义； ⑥电流连续原理（或称为电荷守恒定律） ⑦电磁场与带电粒子的相互作用力，Lorentz力公式。 三、介质的电磁性质 主要内容与问题： ①电磁场与介质的相互作用的物理过程； ②介质极化，磁化、传导的宏观现象及其特点； ③介质的极化现象及其描述方法，电位移矢量； ④介质的磁化现象及其描述方法，磁场矢量； ⑤介质的传导现象及其描述方法，欧姆定律； ⑥介质的基本分类方法及电磁特性参数与物质本构方程； ⑦极化电流、磁化电流与传导电流产生原因及其异同点； ⑧介质的色散及其产生的原因，色散在通信中带来的问题； 四、宏观Maxwell方程组 主要内容与问题： ①静态电磁场与电流连续性原理的矛盾； ②位移电流概念及其意义； ③宏观电磁场运动的Maxwell方程组； ④Maxwell方程组的物理意义； ⑤宏观Maxwell的微分形式、积分形式、边界条件； 一、填空题（每小题3分） 1、如图一边长为a 的等边三角形两顶点A ，B 上分别放电量为＋q 的两点电荷,问顶点C 处的电场强度大小为 。 2、如图边长为L 的等边三角形的三个顶点，若在A 、B 、C 三个顶点处分别放置带电 量为q 的正点电荷，则A 、B 、C 三点电荷在等边三角形三条中线交点上产生的合场强的大小为 。 3、两无限大的带电平面，其电荷密度均为+σ，则两带电平面之间的场强为 。 4、均匀带电（电荷面密度为σ）无限大均匀带电平板，距平板距离为r 处一点平p 处的电场强度大小为 。 5、一无限大均匀带电平面，电荷面密度为σ，则带电平面外任一点的电场强度的大小为 。 6、两无限大的带电平面，其电荷密度分别为+σ，－σ，则两带电平面之间的场强 为 。 7、均匀带电圆环带电量q ，圆环半径为R ，则圆环中心点处的电场强度大小为 。 8、ABCD 是边长为L 的正方形的四个顶点，若在A 、B 、C 、D 四个顶点处分别放置带电量为q 的正点电荷，则A 、B 、C 、D 四点电荷在正方形对角线交点上产生的合场强的大小为 。 9、静电场力做功的特点：静电场力做功与路径 （填“有关”或“无关” ） 10、如图所示，一点电荷q +位于立方体的中心，则通过abcd 面的E 的电通量φ大小为 。 11、静电平衡导体的表面电荷面密度为α，则表面处的电场强度E = 。 12、半径为R 的球壳均匀带电荷q ，电场中球面处的电势为 。 13、半径为R 的球面均匀带电荷q ，在真空中球心处的电势为 。 14、设点电荷q 的电场中的某一点距电荷q 的距离为处r 的电场强度的大小为 ，该点的电势为 。 15、通过磁场中某一曲面的磁场线叫做通过此曲面的磁通量，则通过任意闭合曲面的磁通量为 。 16、真空中，半径为R 的圆形载流导线的电流为I ，则在圆心处的磁感应强度大小为 。（真磁导率为0μ） 17、如图所示，电流元l Id 在A 处产生的磁感应强度大小为 。 18．通有电流I 半径为R 圆形导线，放在均匀磁场B 中，磁场与导线平面垂 第1~2章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律 1. 设：直角坐标系中，标量场zx yz xy u ++=的梯度为A ，则M （1，1，1）处 A = ，=??A 0 。 2. 已知矢量场xz e xy e z y e A z y x ?4?)(?2 +++= ，则在M （1，1，1）处=??A 9 。 3. 亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场（场量为A ），则必须同时给定该场矢量 的 旋度 及 散度 。 4. 写出线性和各项同性介质中场量D 、E 、B 、H 、J 所满足的方程（结构方 程）： 。 5. 电流连续性方程的微分和积分形式分别为 和 。 6. 设理想导体的表面A 的电场强度为E 、磁场强度为B ，则 （a ）E 、B 皆与A 垂直。 （b ）E 与A 垂直，B 与A 平行。 （c ）E 与A 平行，B 与A 垂直。 （d ）E 、B 皆与A 平行。 答案：B 7. 两种不同的理想介质的交界面上， （A ）1212 , E E H H == （B ）1212 , n n n n E E H H == (C) 1212 , t t t t E E H H == (D) 1212 , t t n n E E H H == 答案：C 8. 设自由真空区域电场强度(V/m) )sin(?0βz ωt E e E y -= ，其中0E 、ω、β为常数。则???222x y z e e e ++A ??A ??E J H B E D σ=μ=ε= , ,t q S d J S ??-=?? t J ?ρ ?-=?? 空间位移电流密度d J （A/m 2）为： （a ） )cos(?0βz ωt E e y - （b ） )cos(?0βz ωt ωE e y - （c ） )cos(?00βz ωt E ωe y -ε （d ） )cos(?0βz ωt βE e y -- 答案：C 9. 已知无限大空间的相对介电常数为4=εr ，电场强度(V/m) 2cos ?0d x e E x πρ= ，其中0ρ、d 为常数。则d x =处电荷体密度ρ为： （a ）d 04πρ- （b ）d 004ρπε- （c ）d 02πρ- （d ）d 02ρπε- 答案：d 10. 已知半径为R 0球面内外为真空，电场强度分布为 ?????? ?>θ+θ<θ+θ-=θθ )R ( )sin ?cos 2?() R ( )sin ?cos ?(2 0300 r e e r B r e e R E r r 求（1）常数B ；（2）球面上的面电荷密度；（3）球面内外的体电荷密度。 Sol. (1) 球面上 由边界条件 t t E E 21=得： sin sin 230 0θ=θR B R 202R B =→ （2）由边界条件s n n D D ρ=-21得： θε= -ε=-ε=ρcos 6)()(0 210210R E E E E r r n n s （3）由ρ=??D 得： ???><=θ?θ?θε+??ε=??ε=ρθ )R ( 0)R ( 0)sin (sin 1)(10002200r r E r r E r r E r 即空间电荷只分布在球面上。 11. 已知半径为R 0、磁导率为μ 的球体，其内外磁场强度分布为 ??? ??>θ+θ<θ-θ=θθ )R ( )sin ?cos 2?(A )R ( )sin ?cos ?(203 0r e e r r e e H r r 且球外为真空。求（1）常数A ；（2）球面上的面电流密度J S 大小。 一、填空题 1、一面积为S 、间距为d 的平行板电容器，若在其中插入厚度为2d 的导体板，则其电容为 ；答案内容：;20d S ε 2、导体静电平衡必要条件是 ，此时电荷只分布在 。 答案内容：内部电场处处为零，外表面； 3、若先把均匀介质充满平行板电容器，（极板面积为S ，极反间距为L ，板间介电常数为r ε）然后使电容器充电至电压U 。在这个过程中，电场能量的增量是 ； 答案内容：2 02U L s r εε 4、在一电中性的金属球内，挖一任意形状的空腔，腔内绝缘地放一电量为q 的点电荷，如图所示，球外离开球心为r 处的P 点的场强 ； 答案内容：r r q E e ∧=204περ； 5、 在金属球壳外距球心O 为d 处置一点电荷q ，球心O 处电势 ； 答案内容：d q 04πε； 6、如图所示，金属球壳内外半径分别为a 和b ，带电量为Q ，球壳腔内距球心O 为r 处置一电量为q 的点电荷，球心O 点的电势 。 答案内容：??? ??++-πεb q Q a q r q 0 41 7、导体静电平衡的特征是 ，必要条件是 。 答案内容：电荷宏观运动停止，内部电场处处为零； 8、判断图1、图2中的两个球形电容器是串连还是并联，图1是_________联，图2是________联。 答案内容：并联，串联； 9、在点电荷q +的电场中，放一金属导体球，球心到点电荷的距离为r ，则导体球上感应电荷在球心处产生的电场强度大小为： 。 答案内容：201 4q r πε ； 10、 一平板电容器，用电源将其充电后再与电源断开，这时电容器中储存能量为W 。然后将介电常数为ε的电介质充满整个电容器，此时电容器内存储能量为 。 答案内容：00W εε ； 11、半径分别为R 及r 的两个球形导体（R ＞r ），用一根很长的细导线将它们连接起来，使二个导体带电，电势为u ，则二球表面电荷面密度比/R r σσ= 。 答案内容：/r R ； 12、一带电量 为Q 的半径为r A 的金属球A ，放置在内外半径各为r B 和r C 的金属球壳B 内。A 、B 间为真空，B 外为真空，若用导线把A 、B 接通后，则A 球电位 （无限远处u=0）。 答案内容：()0/4c Q r πε ； 13、一平行板电容器的电容为C ,若将它接在电压为U 的恒压源上,其板间电场强度为E ,现不断开电源而将两极板的距离拉大一倍,则其电容为______,板间电场强度为_____。 答案内容： 21C , 21E 。 14、一平行板电容器的电容为C ,若将它接在电压为U 的恒压源上,其板间电场强度为E ,现断开电源后,将两极板的距离拉大一倍,则其电容为________,板间电场强度为_____。 答案内容： 21C , E 不变 二、单选择题 1、将一带电量为Q 的金属小球靠近一个不带电的金属导体时，则有( ) （A ）金属导体因静电感应带电，总电量为-Q ； （B ）金属导体因感应带电，靠近小球的一端带-Q ，远端带+Q ； （C ）金属导体两端带等量异号电荷，且电量q 第一章静电场 §1.1 静电的基本现象和基本规律 思考题： 1、给你两个金属球，装在可以搬动的绝缘支架上，试指出使这两个球带等量异号电荷的方向。你可以用丝绸摩擦过的玻璃棒，但不使它和两球接触。你所用的方法是否要求两球大小相等？ 答：先使两球接地使它们不带电，再绝缘后让两球接触，将用丝绸摩擦后带正电的玻璃棒靠近金属球一侧时，由于静电感应，靠近玻璃棒的球感应负电荷，较远的球感应等量的正电荷。然后两球分开，再移去玻璃棒，两金属球分别带等量异号电荷。本方法不要求两球大小相等。因为它们本来不带电，根据电荷守恒定律，由于静电感应而带电时，无论两球大小是否相等，其总电荷仍应为零，故所带电量必定等量异号。 2、带电棒吸引干燥软木屑，木屑接触到棒以后，往往又剧烈地跳离此棒。试解释之。答：在带电棒的非均匀电场中，木屑中的电偶极子极化出现束缚电荷，故受带电棒吸引。但接触棒后往往带上同种电荷而相互排斥。 3、用手握铜棒与丝绸摩擦，铜棒不能带电。戴上橡皮手套，握着铜棒和丝绸摩擦，铜棒就会带电。为什么两种情况有不同结果？ 答：人体是导体。当手直接握铜棒时，摩擦过程中产生的电荷通过人体流入大地，不能保持电荷。戴上橡皮手套，铜棒与人手绝缘，电荷不会流走，所以铜棒带电。 7、两个点电荷带电2q 和q，相距l，第三个点电荷放在何处所受的合力为零？ 解：设所放的点电荷电量为Q。若Q与q同号，则三者互相排斥，不可能达到平衡；故Q 只能与q异号。当Q在2q和q联线之外的任何地方，也不可能达到平衡。由此可知，只有Q与q异号，且处于两点荷之间的联线上，才有可能达到平衡。设Q到q的距离为x. 8、三个相同的点电荷放置在等边三角形的各顶点上。在此三角形的中心应放置怎样的电荷，才能使作用在每一点电荷上的合力为零？ 解：设所放电荷为Q，Q应与顶点上电荷q异号。中心Q所受合力总是为零，只需考虑q 受力平衡。 平衡与三角形边长无关，是不稳定平衡。 9、电量都是Q的两个点电荷相距为l，联线中点为O；有另一点电荷q，在联线的中垂面上距O为r处。（1）求q所受的力；（2）若q开始时是静止的，然后让它自己运动，它将如何运动？分别就q与Q同号和异号两种情况加以讨论。 解： (1) (2)q与Q同号时，F背离O点，q将沿两Q的中垂线加速地趋向无穷远处。 q与Q异号时，F指向O点，q将以O为中心作周期性振动，振幅为r . <讨论>：设q 是质量为m的粒子，粒子的加速度为 因此，在r< 大学物理（电磁学）综合复习资料 一．选择题： l ． 真空中一“无限大”均匀带负电荷的平面如图所示，其电场的场强分布图应是（设场强方向向右为正、向左为负） [ ] 2． 在静电场中，下列说法中哪一个是正确的？ （A ）带正电荷的导体，其电势一定是正值． （B ）等势面上各点的场强一定相等． （C ）场强为零处，电势也一定为零． （D ）场强相等处，电势梯度矢量一定相等． [ ] 3． 电量之比为1：3：5的三个带同号电荷的小球A 、B 、C ，保持在一条直线上，相互间距离比小球直径大得多．若固定A 、C 不动，改变B 的位置使B 所受电场力为零时，AB 与BC 比值为 （A ）5． （B ）l ／5． （C ）5． （D ）5/1 [ ] 4． 取一闭合积分回路L ，使三根载流导线穿过它所围成的面．现改变三根导线之间的相互间隔，但不越出积分回路，则 （A ）回路L 内的∑I 不变， L 上各点的B 不变． （B ）回路L 内的∑I 不变， L 上各点的B 改变． （C ）回路L 内的∑I 改变， L 上各点的B 不变． （D ）回路L 内的∑I 改变， L 上各点的B 改变． [ ] 5． 对位移电流，有下述四种说法，请指出哪一种说法正确． （A ）位移电流是由变化电场产生的． （B ）位移电流是由线性变化磁场产生的． （C ）位移电流的热效应服从焦耳—楞次定律． （D ）位移电流的磁效应不服从安培环路定理． 6． 将一个试验电荷q 0（正电荷）放在带有负电荷的大导体附近P 点处，测得它所受的力为F ．若考虑到电量q 0不是足够小，则 （A ）0/q F 比P 点处原先的场强数值大． （B ）0/q F 比P 点处原先的场强数值小． （C ）0/q F 等于原先P 点处场强的数值． （D ）0/q F 与P 点处场强数值关系无法确定． [ ] 7． 图示为一具有球对称性分布的静电场的E ～r 关系曲线．请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的． （A ）半径为R 的均匀带电球面． （B ）半径为R 的均匀带电球体． （C ）半径为R 的、电荷体密度为Ar =ρ（A 为常数）的非均匀带电球体． （D ）半径为R 的、电荷体密度为r A /=ρ（A 为常数）的非均匀带电球体． [ ] 8． 电荷面密度为σ+和σ-的两块“无限大”均匀带电的平行平板，放在与平面相垂直的X 轴上的+a 和-a 位置上，如图所示．设坐标原点O 处电势为零，则在-a ＜x ＜+a 区域的电势分布曲线为 [ ] 9． 静电场中某点电势的数值等于 （A ）试验电荷q 0置于该点时具有的电势能． （B ）单位试验电荷置于该点时具有的电势能． 第二篇 电磁学 第一章 静电场 1-1 解：设正方形的边长为a ，则点电荷Q 所受的电场力分别为 2 12 01 42Q F a πε= ； 232 01 4Qq F F a πε== ； 由于作用在Q 上的力为零，故 2 122 00012cos 4542Q F F a πε==== 从上式可知Q 与q 的关系为 Q =- （带异种电荷） 1-2 解：沿细棒方向建立坐标系，中点为坐标原点O ，距离坐标原点x 处取一线元d x ，带 电量为d d q q x L = 可看做点电荷，它到点电荷0q 的距离为r ，故两点电荷之间的作用力为 0022200d 1 d d 44q q q q x F L r x a πεπε= = + 整个细棒与点电荷0q 的作用力为 ? -+=22 2 2004L L a x dx L q q F πε 根据对称性可知沿x 轴库仑力的分量0=x F 。 沿y 轴库仑力的分量为 L y F == ? 1-3 解：将正的试探电荷0q 放在点)1P -处，根据库仑定律可得试探电荷受到的库仑力为 r e q Q F 4410101πε-= j q Q F y 1 410202πε= 将1F 分解在,x y 方向上有?=30cos 11F F x ，?-=30cos 11F F y 故点)1P -处的场强为 12100 y y x F F F E i j q q += + ，即 j i j Q Q i Q E 6.90149.381645.023160 2101+-=+-=πεπε 大小为E == C N /7.9014 方向为与x 轴正向夹角为?且0043.06 .80146 .38tan -=- =? 1-4 解：（1）沿棒长方向建立坐标，A 为坐标原点。设棒的带电量为q ，在棒上距坐 标原点x 处取线元d x ，带电量为d d q q x L =，则其在距棒B 端为a 处激发的电 习题五(第二章静电场中的导体和电介质) 1、在带电量为Q的金属球壳内部，放入一个带电量为q的带电体，则金属球壳内表面所带的电量为- q，外表面所带电量为q+ Q 2、带电量Q的导体A置于外半径为R的导体 球壳B内，则球壳外离球心r处的电场强度大小 E =Q/4「：；o r 1 2 3 4 5，球壳的电势 V = Q/4 o R 。 3、 导体静电平衡的必要条件是 导体内部场强为零。 4、两个带电不等的金属球，直径相等，但一个是空心，一个是实心的。现使它 们互相接触，则这两个金属球上的电荷(B )。 (A)不变化 (B)平均分配 (C)空心球电量多(D)实心球电量多 5、 半径分别R 和r 的两个球导体(R >r)相距很远，今用细导线把它们连接起来, 使两导体带电，电势为U o ,则两球表面的电荷面密度之比 CR / r 为(B ) 2 2 (A) R/r (B) r/R (C) R /r (D) 1 6、 有一电荷q 及金属导体A ，且A 处在静电平衡状态，则(C) (A) 导体内E=0，q 不在导体内产生场强; (B) 导体内E 工0，q 在导体内产生场强； (C)导体内E=0，q 在导体内产生场强; (D)导体内E M 0，q 不在导体内产生场强 7、如图所示，一内半径为a ,外半径为b 的金属球壳，带有电量 Q ， 在球壳空腔内距离球心为r 处有一点电荷q ，设无限远 处为电势零点。试求： (1)球壳外表面上的电荷； ⑵球心O 点处由球壳内表面上电荷产生的电势； ⑶球心O 点处的总电势。 解：(1)设球壳内、外表面电荷分别为 qi , q,以O 为球心作一半径为R(avRvb) 的高斯球面S,由高斯定理..E ?dS = qL ~q ，根据导体静电平衡条件 a r电磁学期末考试试题
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