第1~2章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律
1. 设：直角坐标系中，标量场zx yz xy u ++=的梯度为A
，则
A
= ，=??A 0 。
2.
已知矢量场
xz e xy e z y e
A z y x ?4?)(?2+++=
，则在M （1，1，1）
处=??A
9 。
3. 亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场（场量为A
），则必
须同时给定该场矢量的
旋度 及 散度 。 4. 写出线性和各项同性介质中场量D 、E 、B 、H
、J 所满足的方程
（结构方程）： 。 5.
电流连续性方程的微分和积分形式分别为 和 。
6. 设理想导体的表面A 的电场强度为E 、磁场强度为B
，则
（a ）E 、B
皆与A 垂直。 （b ）E 与A 垂直，B
与A 平行。 （c ）E 与A 平行，B
与A 垂直。
（d ）E 、B
皆与A 平行。 答案：b
7. 设自由真空区域电场强度(V/m) )sin(?0βz ωt E e E y -=
，其中0E 、ω、β
为常数。则空间位移电流密度d J
（A/m 2）为：
（a ） )cos(?0βz ωt E e
y - （b ） )cos(?0βz ωt ωE e y - （c ） )cos(?00βz ωt E ωe
y -ε （d ） )cos(?0βz ωt βE e y -- 答案：c
8.
已知无限大空间的相对介电常数为4=εr ，电场强度
)(?)(?)(?y x e z x e z y e z y x +++++A ??A ??E J H B E D σ=μ=ε= , ,t
q
S d J S
??-=?? t J ?ρ?-=??
(V/m) 2cos ?0d
x
e E x πρ= ，其中0ρ、d 为常数。则d x =处电荷体密度ρ为：
（a ）d 04πρ-
（b ）d 004ρπε- （c ）d 02πρ- （d ）d
02ρπε- 答案：d
9.
已知半径为R 0球面内外为真空，电场强度分布为
??????
?>θ+θ<θ+θ-=θθ )R ( )sin ?cos 2?()
R ( )sin ?cos ?(2
03
00
r e e r B r e e R E r r 求（1）常数B ；（2）球面上的面电荷密度；（3）球面内外的体电
荷密度。 Sol. (1) 球面上
由边界条件 t t E E 21=得：
sin sin 230
0θ=θR B R 2
2R B =→
（2）由边界条件s n n D D ρ=-21得：
θε=
-ε=-ε=ρcos 6)()(0
210210R E E E E r r n n s （3）由ρ=??D
得：
?
??><=θ?θ?θε+??ε=??ε=ρθ )R ( 0)R (
0)sin (sin 1)(10002200r r E r r E r r E r
即空间电荷只分布在球面上。
10. 已知半径为R 0、磁导率为的球体，其内外磁场强度分布为
???
??>θ+θ<θ-θ=θθ )R ( )sin ?cos 2?(A
)R ( )sin ?cos ?(203
0r e e r
r e e H r r 且球外为真空。求（1）常数A ；（2）球面上的面电流密度J S 大小。
Sol. 球面上（r =R 0）：r H 为法向分量；θH 为法向分量 （1）球面上由边界条件n n B B 21=得：r r H H 201μ=μ3
00
R A μμ=→ （2）球面上由边界条件s t t J H H =-21得
θμμ
+
-=-==θθsin )2(|)(0
210R r s H H J
第3章 静电场及其边值问题的解法
1. 静电场中电位与电场强度E 的关系为 ；在两种
不同的电介质（介电常数分别为1ε和2ε）的分界面上，电位满足
的边界条件为 。
2. 设无限大真空区域自由电荷体密度为ρ，则静电场：=??E
0 ，E
??
=
。
3. 电位 和电场强度E 满足的泊松方程
分别为 、 。
4. 介电常数为
的线性、各向同性的媒质中的静电场储能密度
为 。
5. 对于两种不同电介质的分界面，电场强度的 切向 分量及电位移的 法向 分量总是连续的。
6. 如图，1E 、2E
分别为两种电介质内静电场在界面上的电场强度，
，
30
°，则60°
，=||||21E E
。
7. 理想导体与电介质的界面上，表面自由电荷面密度s ρ与电位沿其
法向的方向导数n
?φ?的关系为 。 8. 如图，两块位于x = 0 和 x = d 处无限大导体平板的电位分别为0、U 0，其内部充满体密度
1
θ2
θ1
E 2
E 1ε2
εφ-?=E
n n 2
21121?φ
?ε=?φ?εφ=φ； 2ερ-=φ?
E 2ερ?=? 2
E 21ε=m w 3s n ρ-=?φ?ε0
1=φ0
2U =φ
e x
d
) 的电荷（设内部介电常数为）。（1）利用直接积
分法计算0 < x < d 区域的电位及电场强度E
；（2）x = 0
处导体平板的表面电荷密度。 Sol. 为一维边值问题：)(x φ=φ )1(d d 00222
d x
e x
--ερ-=φ
?ερ-=φ?
边界条件：0)0(==φx ， 0)(U d x ==φ
（1）直接积分得：
x e d d
d U
e x e x d d d x )]1([)2()(2000200---+-ερ
-++-ερ=φ
)]1()([??)(200000d d x x x e d d
d U x
e e dx d e x E --+-ερ-+-ερ-=φ
-=φ-?= （2）由s n ρ-=?φ?ε得：000
00)(==ε=?φ
?ε-=?φ?ε-=ρx x s x E x
n
)]1
1(1[20000d
e d d d U d -+--ρερ-=-
9. 如图所示横截面为矩形的无限长直导体槽，内填空气。已知侧壁和底面的电位为零，而顶盖的电位为V 0 。写出导体槽内电位所满足的微分方程及其边界条件，并利用直角坐标系分离变量法求出该导体槽内的电位分布。 Sol. （略）见教材第82页例3.6.1
10. 如图所示，在由无限大平面和突起的半球构成的接地导体上方距离平面为d 处有一个点电荷q 0 。利用镜像法求z 轴上z > a 各点的电位分布。
Sol. 空间电荷对导体表面上部空间场分布的影响等效于：
无限大接地导体平面 + 接地导体
球 边界条件：0=φ=φ球面平面
使0=φ平面，引入镜像电荷：0,q q d z -='-='
使0=φ球面，引入镜像电荷：
???
?
???=''-=-='-=-==022
220121
||,||,q d a q z a q d a z a z q d a q d a z z 轴上z > a 各点的电位：
???
???+'+-+-+-πε=
φd z q z z q z z q d z q 221100
||41
??
????+----πε=d z a d z a d z q
12||144
2230
11. 已知接地导体球半径为R 0 ，在x 轴上关于原点（球心）对称放置等量异号电荷+q 、-q ，位置如图所示。利用镜像法求（1）镜像电荷的位置及电量大小；（2）球外空间电位；（3）x 轴上x >2R 0各点的电场强度。
Sol. (1) 引入两个镜像电荷：
22001q q R R q -=-=，2
2002
01R R R x ==
z
d x
q l
ρo a
z 'q '
2z 1z 1q 2q o q
+q
-x
R 0
R 0R 1
q 1
x 2x 2
q
2
)(2002q
q R R q =--=，2200202R R R x -=-=
（2）=???
? ??'-++πε=φR q R q R q R q z y x 22110
41
),,(（略） 2220)2(z y R x R ++-=， 22201)2/(z y R x R ++-=
22202)2/(z y R x R +++=，2220)2(z y R x R +++='
（3）x 轴上x >2R 0各点的电场强度：
??
????++++--+-=20202020)2()2/(2/)2/(2/)2(?R x q
R x q R x q R x q e E x 12. 如图所示，两块半无限大相互垂直的接地导体平面，在其平分线上放置一点电荷q ，求（1）各镜像电荷的位置及电量；（2）两块导体间的电位分布。
Sol. （1）01q q -=，)0 ,0 ,(a - 02q q +=，)0 , ,0(a -
03q q -=，)0 ,0 ,(a
（2）???? ??+++πε=φ3322110
00
41
),,(R q R q R q R q z y x
（略）
其中：
2220)(z a y x R +-+=，2221)(z y a x R +++=
2222)(z a y x R +++=，2223)(z y a x R ++-=
y
x
0q 45 ()0,,0P a
45
1
q 2
q 3
q )
0 ,,0(a -)
0 ,0 ,(a -)0 ,0 ,(a
1
θ2
θ1
H 2H 1
μ2
μ第4章 恒定电场与恒定磁场
1.
线性和各项同性的均匀导电媒质内部电荷体密度等于
0 ，净余电荷只能分布在该导电媒质的 表面 上。
2. 线性和各项同性的均匀导电媒质中，=??J 0 ；=??D
0 。
3. 在电导率不同的导电媒质分界面上，电场强度E
和电流密度J 的边
界条件为： 、 。
4.
在电导率为的导电媒质中，功率损耗密度p c 与电场强度大小
E 的关系为 。
5. 恒定磁场的矢量磁位A 与磁感应强度B 的关系为 ；
A 所满足的泊松方程为 。
6.
如图，1H 、2H 分别为两种理想介质内在交界面上的磁场强度，
213μμ=，130θ=，
则2θ、12B B 分别为： 答案：B （A ）?60、3。 （B ）?60、33。 （C ）?45、3。 （D ）?45、33。
7.
对线性和各项同性磁介质（磁导率设为
），恒定磁场（磁场强
度大小为H ）的磁能密度=m w ，V 空间磁能
W m = 。
8. 已知恒定电流分布空间的矢量磁位为：Cxyz e x y e y x e
A z y x ???22++=
，C t t E E 21=n
n J J 21=2
E p c σ=A B ??=J μA -=?2
221H μdV H V ?μ221
为常数，且A
满足库仑规范。求（1）常数C ；（2）电流密度J
；
（3）磁感应强度B
。
（直角坐标系中：)(?)(?)(?y
a x a e x a
z a e
z a y a e
a x y z z x y y z x ??-??+??-??+??-??=??
） Sol. (1) 库仑规
范：
0=??A 4022-=?=++=??+??+???C C
x y
xy xy z
A y A x A z
y x (2) 由J μA
-=?2
，xyz e x y e y x e
A z y x 4???22-+= 得：
()x e y e z A y A x A A J y x 2?2?1
12222222+μ-=???
? ????+??+??μ-=μ?-=
(3) A B
??=)(?4?4?22x y e yz e xz e
z y x -++-= 9.
(P.136. 习题4.2) 在平板电容器的两个极板间填充两种不同的导电媒质（11,εσ和22,εσ），其厚度分别为1d 和2d 。若在两极板上加上恒定的电压0U 。试求板间的电位Φ、电场强度E 、电流密度J 以及各分界面上的自由电荷密度。
Sol. 用静电比拟法计算。用电介质（和）替代导电媒质，静
电场场强分别设为E 1、E 2
???ε=ε→==+22112102211E E D D U d E d E ???
????<<ε+εε-=<<ε+εε-=?)( ?)(0 ?212112012
12
112021
d x d d d U
e E d x d d U e E x x
电位移：2
1120
211121?d d U e
E D D x ε+εεε-=ε==
???
???
?
<<ε+εε-ε+ε=-+<<ε+εε==φ?)( )()()(0 )(2021121121121112
112021
d x d U d d d x d x E d E d x x d d U x E x 1
静电比拟： φ?φ???，，，ε σD J E E
，则导电媒质中的恒定
电场： ???
???
?
<<σ+σσ-σ+σ=φ<<σ+σσ=φ)( )()(0 2021121121212112021d x d U d d d x d x x d d U 1 ，
??????
?
<<σ+σσ-<<σ+σσ-=)( ?)0( ?)(221120
112
11202d x d d d U e d x d d U e x E 1x x 2
1120
21?d d U e J x σ+σσσ-=
2
1120211111
d d U x n x s σ+σσε-
=?φ
?ε-=?φ?ε-=ρ= 2
1120122
222
)(2
1d d U x n d d x s σ+σσε=
-?φ?ε-=?φ?ε-=ρ+= 2
1120122122112211)(111
d d U x x n n d x d x d x s
σ+σσε-σε=??? ???φ?ε-?φ
?ε=??? ???φ?ε-?φ?ε=ρ===
可知：非理想电容器两极上的电荷密度为非等量异号2
10
d d x s
x s +==ρ-≠ρ。
只有理想电容器才有电容定义。
第5章电磁波的辐射
1. 复数形式的麦克斯韦方程中两个旋度方程为 （略） ， （略） 。
2. 坡印亭矢量S
的瞬时表示式是 （略） ，平均值是
（略） 。
3. 自由空间中时变电磁场的电场满足的波动方程为0222=??-?t
E
E με，
这个方程在正弦电磁场的情况下变为 。 4. 在无损耗的均匀媒质()με,中，正弦电磁场的磁场满足的亥姆霍兹
方程为022
=+?H k H ，其中 a 。
(a) μεω22=k (b) 2222εμω=k
(c) με
ω2
2
=k (d) μεω221=k
5.
在时变电磁场中，磁感应强度B 与位的关系为 ，
电场强度E 与位的关系为 。
6.
电偶极子天线的功率分布与θ的关系为 a 。
(a) θ2sin (b) θsin (c) θ2cos (d) θcos
7.
自由空间的原点处的场源在t 时刻发生变化，此变化将在 b
时刻影响到r 处的位函数Φ和A
。
220
E k E ?+=B A
=??A
E t ?=-?Φ-
?
（a ）c r t - （b ）c
r t + (c) t (d) 任意
8.
在球坐标系中，电偶极子的辐射场（远区场）的空间分布与坐标的关系是 c
（a ）r
θ
2sin ∝
（b ）2sin r
θ
∝ (c) r
θsin ∝ (d) 22sin r θ
∝
9、已知真空中某时谐电场瞬时值为)cos()10sin(?),,(z k t x e
t z x E z y -=ωπ
。试求电场和磁场复矢量表示式和功率流密度矢量的平均值。
解：所给瞬时值表示式可以写成：])10sin(?Re[),,(t j z jk y e e x e
t z x E z ωπ-=
因此电场强度的复矢量表示为：?(,)sin(10)z
jk z y E x z e
x e π-= 由麦克斯韦方程组的第二个方程的复数形式可以计算磁场强度的复矢量为
00000???11
(,)()?? 10?? sin(10)cos(10)z x y z x y
z
y y x z jk z z x z e
e e H x z E j j x
y z E E E E E e e
j z j x k e x e x e j ωμωμωμωμπππωμωμ-?
??=-
??=-
?????????=-
- ? ?
? ?
????????=-- ??? 功率流密度矢量的平均值av S
等于复坡印廷矢量的实部，即
**
**
**
200???11
Re()Re()Re 221?? Re()2
51?? Re sin(20)sin (10)2? x y z av x
y z x y z x y z z y x z z x z e
e e
S S E H E E E H H H e E H e E H k k e x e x j πππωμωμ==?==
-??
=+ ???
=20
sin (10)2z z k
e
x πωμ 10、已知真空中时变场的矢量磁位为)cos(?),(0kz t A e
t z A x -=ω
求：(1) 电场强度E 和磁场强度H
；
(2) 坡印廷矢量S 及其平均值av S 。
解：(1) 把矢量磁位的瞬时值表示为 ]?Re[),(0t j jkz x e e A e
t z A ω-=
则矢量磁位的复数形式为 0?()jkz x A z e
A e -= 根据磁场强度复数形式H 与矢量磁位复数形式A 之间关系可以求出
00
0???1
1??()() ()x y z jkz x y y x
y
z
e
e e
A H z A e e jkA e x y z z A A A μμ-???
?
=
??=
==-???? 磁场强度的瞬时值为：)2
cos()(?),(0πω--=kz t kA e
t z H y
根据麦克斯韦方程组的第一个方程D j J H
ω+=??，此时0=J ，电场强
度与磁场强度之间关系为：
200000????1
1
?()() x y z y jkz x x x
y
z
e
e e
H e k A E z H e e
j j x
y z j z j H H H ωεωεωεωε-????
=??=
==????-
电场强度的瞬时值为：)2
cos(?),(0
2πωω--=kz t A k e t z E x (2) 坡印廷矢量为
)2
(cos ?)2(cos ??22032
203π--ωωε=π--ωωε?=?=kz t A k e kz t A k e e H E S z y x
坡印廷矢量的平均值为
32*
01?Re()Re()22av z k A S S E H e ωε
=?=-
第6章、均匀平面波的传播
1. 两个同频率、同方向传播，极化方向相互垂直的线极化波的合成
波为圆极化波，则它们的振幅 相同 ，相位相差 。 2. 均匀平面波垂直入射到理想导体表面上，反射波电场与入射波电场的振幅 相等 ，相位相差 。
3. 均匀平面波从空气垂直入射到无损耗媒质()0,1,25.2===σμεr r 表
面上，则电场反射系数为 。
4. 在自由空间传播的均匀平面波的电场强度为
()m V z t a E x /20cos
100πω-=
，则波的传播方向为 ，频率为 3×109
Hz ，波长为 0.1m ，波的极化方式为 x ，对应的磁场为 ，平均坡印亭矢量av
S 为 。
5. 均匀平面波电场方向的单位矢量E e 、磁场方向的单位矢量H e
以及
传播方向的单位矢量n e
三者满足的关系是 。 6. 设海水的衰减常数为α，则电磁波在海水
中的穿透深度为 ，在此深
度上电场的振幅将变为进入海水前的 。
7. 在良导体中，均匀平面波的穿透深度为 a 。
（a ）
ωμσ
2
（b ）
2
ωμσ
(c)
μσ
ω
2 (d)
ωμσ
4
8. 在无源的真空中，已知均匀平面波的z j e E E β-=0 和z
j e
H H β-=0 ，其中的0E
和0H 为常矢量，则必有 c 。
/2
π±π
1/5-z +()100
cos 20/377y H a t z A m ωπ=-2
5000/377av z S a W m =n E H e e
e =?1
α1
e
(a) 00=?E e z
; (b) 00=?H e z ; (c) 000E H ?=; (d)000=?H E
9. 以下关于导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是 b 。
(a) 不再是平面波 (b) 电场和磁场不同相 (c) 振幅不变
(d) 以TE 波的形式传播
10. 已知空气中存在电磁波的电场强度为
80?c o s (610
2
) V /m
y E t z ππ=?+E e 试问：此波是否为均匀平面波？传播方向是什么？求此波的频率、波长、相速以及对应的场强：E 、H 、H 。
解：均匀平面波是指在与电磁波传播方向相垂直的无限大平面上场强幅度、相位和方向均相同的电磁波。电场强度瞬时式可以写成复矢量：
0?jkz y E e =E e
该式的电场幅度为0E ，相位和方向均不变，且?0z ?=E e
??z ⊥E e ，此波为均匀平面波。传播方向为沿着z -方向。
t t 8106?=πω?8106?=πω
波的频率8310 (Hz)f =? 波数π2=k
波长2 1 (m)k
π
λ=
= 相速8310 (m/s)p dz v dt k
ω
===?
真空波阻抗 0
120 ()W Z μπε=
≈Ω 由于是均匀平面波，因此磁场为
01
() 120jkz z x W E e Z π
=
-?≈H e E e ()
80
?Re cos(6102)120j t x E H He t z ωπππ
==?+e
11. 在无界理想介质中，均匀平面波的电场强度为
)2102sin(80z t E x ππ-?=e E ，已知介质的1=r μ，求r ε，并写出H 的表
达式。
解：根据电场的瞬时表达式可以得到8102?=πω，π2=k ，而
c
k r
r r εωμεμεωεμω=
==00?92
=??
?
??=ωεkc r
电场强度的瞬时式可以写成复矢量为
220
π
πj z j x e E --=e E
波阻抗为Ω==
40πε
μ
W
Z ，则磁场强度复矢量为 22040 )(1πππ
j z j y z W e
E Z --=?=e E e H 因此磁场为
)2102sin(4080
z t E y
πππ
-?=e H
12. 铜的电导率S/m 108.57?=σ，1==r
r εμ。求下列各频率电磁波在铜
内传播的相速、波长、透入深度及其波阻抗。
(1) MHz 1=f
；(2) MHz 100=f ；(3) GHz 10=f
解：已知F/m 10361
90-?≈
π
ε和H/m 10470-?=πμ，那么 18010044.112??==f
f r εεπσωεσ (1) 当MHz 1=f 时，
110044.112>>?=ωε
σ
，则铜看作良导体，衰减常数α和相位常数β分别为
310132.15132.152
?===
=f ωμσ
βα
相速：m/s 4152.010152.44
=?==-f v p β
ω
波长：m 10152.424-?==β
πλ
透入深度：m 106.615-?==α
δ
波阻抗：)1(1061.2)1(1061.2)1(247j f j j Z W
+?=+?=+=--σ
ωμ (2) 当MHz 100=f 时，
110044.110>>?=ωε
σ
，则铜仍可以看作为良导体，衰减常数α和相位常数β分别为
410132.15132.152
?===
=f ωμσ
βα
相速：m/s 152.410152.44
=?==-f v p β
ω
波长：m 10152.425-?==β
πλ
透入深度：m 106.616-?==α
δ
波阻抗：)1(1061.2)1(1061.2)1(237j f j j Z W
+?=+?=+=--σ
ωμ (3) 当GHz 10=f 时，
110044.18>>?=ωε
σ
，则铜看作良导体，衰减常数α和相位常数β分别为
510132.15132.152
?===
=f ωμσ
βα
相速：m/s 52.4110152.44
=?==-f v p β
ω
波长：m 10152.426-?==β
πλ
透入深度：m 106.617-?==α
δ
波阻抗：)1(1061.2)1(1061.2)1(227j f j j Z W
+?=+?=+=
--σ
ωμ
13. 海水的电导率S/m 4=σ，81=r
ε，1=r μ，求频率为
10 kHz 、10 MHz
和10 GHz 时电磁波的波长、衰减常数和波阻抗。 解：已知F/m 1036190-?≈πε和H/m 10470-?=πμ，那么9109
8
1?=f ωεσ。 (1) 当kHz 10=f
时，
1109
8
1098159>>?=?=f ωεσ，则海水可看作良导体，衰减常数α和相位常数β分别为
397.01097.32
3
=?==
=-f ωμσ
βα
相速：53
10582.110582.1?=?==f v p β
ω
波长：m 83.152==β
πλ
透入深度：m 52.21==α
δ
波阻抗：)1(099.0)1(10316.0)1(23j f j j Z W
+=+?=+=-πσ
ωμ (2) 当MHz 10=f 时，189.88109
82>>=?=ωεσ，则海水也可近似看作良导
体，衰减常数α和相位常数β分别为
55.121097.32
3
=?==
=-f ωμσ
βα
相速：63
1000.510582.1?=?==f v p β
ω
波长：m 500.02==β
πλ
透入深度：m 080.01==α
δ
波阻抗：)1(139.3)1(10316.0)1(23j f j j Z W
+=+?=+=-πσ
ωμ (3) 当GHz 10=f 时，
1089.0109
81098119<<=?=?=-f ωεσ，则海水也可近似看作弱导电媒质，衰减常数α和相位常数β分别为
3
802πεμσ
α==
ππμεωβ60018===c
f
相速：m/s 1031
8?==βωp v 波长：m 300
1
2==β
π
λ 透入深度：m 012.01==α
δ
波阻抗：)045.01(3
40)21(j j Z W
+=+==πωεσεμεμ
思考与练习一 1．证明矢量3?2??z y x e e e -+=A 和z y x e e e ???++=B 相互垂直。 2. 已知矢量 1.55.8z y e ?e ?+=A 和4936z y e ?.e ?+-=B ，求两矢量的夹角。 3. 如果0=++z z y y x x B A B A B A ，证明矢量A 和B 处处垂直。 4. 导出正交曲线坐标系中相邻两点弧长的一般表达式。 5．根据算符?的与矢量性，推导下列公式： ()()()()B A B A A B A B B A ??+???+??+???=??)( ()()A A A A A 2??-?=???2 1 []H E E H H E ???-???=??? 6．设u 是空间坐标z ,y ,x 的函数，证明： u du df u f ?=?)(， ()du d u u A A ??=??， ()du d u u A A ??=??，()[]0=????z ,y ,x A 。 7．设222)()()(z z y y x x R '-+'-+'-='-=r r 为源点x '到场点x 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点。证明下列结果， R R R R =?'-=?， 311R R R R -=?'-=?，03=??R R ，033=??'-=??R R R R )0(≠R （最后一式在0=R 点不成立）。 8. 求[])sin(0r k E ???及[])sin(0r k E ???，其中0E a ,为常矢量。 9. 应用高斯定理证明 ???=??v s d dV f s f ，应用斯克斯（Stokes ）定理证明??=??s L dl dS ??。 10.证明Gauss 积分公式[]??????+???=??s V dv d ψφψφψφ2s 。 11.导出在任意正交曲线坐标系中()321q ,q ,q F ??、()[]321q ,q ,q F ???、()3212q ,q ,q f ?的表达式。 12. 从梯度、散度和旋度的定义出发，简述它们的意义，比较它们的差别，导出它们在正交曲线坐标系中的表达式。
电磁场理论基础 磁现象和电现象本质上是紧密联系在一起的，自然界一切电磁现象都起源于物质具有电荷属性，电现象起源于电荷，磁现象起源于电荷的运动。变化的磁场能够激发电场，变化的电场也能够激发磁场。所以，要学习电磁流体力学必须熟悉电磁场理论。 1． 电场基本理论 （1） 电荷守恒定律 在任何物理过程中，各个物体的电荷可以改变，但参于这一物理过程的所有物体电荷的代数总和是守恒的，也就是说：电荷既不能创造，也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分。例如中性物体互相摩擦而带电时，两物体带电量的代数和仍然是零。这就是电荷守恒定律。电 荷守恒定律表明：孤立系统中由于某个原因产生（或湮 没）某种符号的电荷，那么必有等量异号的电荷伴随产生（或湮没），孤立系统总电荷量增加（或减小），必有 等量电荷进入（或离开）该系统。 （2） 库仑定律 12212 02112?4r δπε+=r q q f (N) 库伦经过实验发现，真空中两个静止点电荷(q 1, q 2)之 间的作用力与他们所带电荷的电量成正比，与他们之间 的距离r 平方成反比，作用的方向沿他们之间的连线， 同性电荷为斥力，异性电荷为引力。ε0为真空介电常数，一般取其近似值ε0＝ 8.85?10-12C ?N -1?m -2。ε0的值随试验检测手段的进步不断精确，目前精确到小数点后9位（估计值为11位）。库仑反比定律也由越来越精确的实验得到验证。目前δ<10-16。库仑反比定律的适用范围(10-15m(原子核大小的数量级)~103m)。 （3） 电场强度 00)()(q r F r E =(V ·m -1) 真空中电荷与电荷之间相互以电场相互发生作用。 Charles Augustin de Coulomb 1736-1806 France Carl Friedrich Gauss 1777 -1885 Germany
题目部分，(卷面共有98题,273.0分,各大题标有题量和总分) 一、是非题(98小题,共273.0分) 1．(3分)在平行平面场中，磁感应强度B B x y ,与磁矢位A 的关系为： B A y x z = ??，B A x y z =-?? 2．(3分)在应用安培环路定律I L =d l H ?? 求解场分布时，环路l 上的磁场强度值是由与环路l 交链的电流I 产生的，与其它电流无关。 3．(3分)在应用安培环路定律I L =d l H ??求解场分布时，环路l 上的磁场强度值与周围磁介质 (导磁媒质)分布情况无关，仅与场源情况有关。 4．(3分)在应用安培环路定律I L =d l H ?? 求解场分布时，环路l 上的磁场强度值不仅与闭合环 路交链的电流有关，还与周围磁介质(导磁媒质)的分布情况和场源情况有关。 5．(3分)静电场中电位差U ab 代表电场力所做的功，恒定磁场中磁位差U ab m 并不代表功。 6．(3分)根据静电场与恒定磁场的类比关系，电位差U ab 代表电场力移动电荷所做的功，磁位 差(即磁压)U ab m 也代表磁场力所做的功。 7．(3分)有一半径为a 通有电流I 的长直导线，在通过位函数求解导线内、外场分布时，因?m 是标量而 A 是矢量，故采用m H ?=-?比 B A =??更方便。 8．(3分)恒定磁场中，不同媒质分界面处，磁位满足??m 1m =2，如图所示两载流同轴导体间 有μ1与μ2两层媒质，在半径为ρ处，即μ1与μ2交界处必满足??m 1m =2。 9．(3分)试验小线圈面积为S ，通有电流I ，将此线圈放在空间某处，若线圈运动，说明此空 间存在磁场，若线圈不动，说明此空间不存在磁场。 I n 10．(3分)根据静电场与恒定磁场的类比关系，静电场中电位函数?满足的方程是 ?=-2?ρ ε(或=0)，恒定磁场中磁位?m 满足的方程是?=- 2?μ m J (或=0)。 11．(3分)若在两个线圈之间插入一块铁板，则两线圈的自感都将增加。
课程编号:INF05005 北京理工大学2011-2012学年第一学期 2009级电子类电磁场理论基础期末试题A 卷 班级________ 学号________ 姓名________ 成绩________ 一、简答题（共12分）（2题） 1.请写出无源、线性各向同性、均匀的一般导电（0<σ<∞）媒质中，复麦克斯韦方程组的限定微分形式。 2.请写出谐振腔以TE mnp 模振荡时的谐振条件。并说明m ，n ，p 的物理意义。 二、选择题（每空2分，共20分）（4题）（最好是1题中各选项为同样类型） 1. 在通电流导体（0<σ<∞）内部，静电场（ A ），静磁场（B ），恒定电流场（B ），时变电磁场（ C ）。 A. 恒为零； B. 恒不为零； C.可以为零，也可以不为零; 2. 以下关于全反射和全折射论述不正确的是：（ B ） A.理想介质分界面上，平面波由光密介质入射到光疏介质，当入射角大于某一临界角时会发生全反射现象； B.非磁性理想介质分界面上，垂直极化波以某一角度入射时会发生全折射现象； C.在理想介质与理想导体分界面，平面波以任意角度入射均可发生全反射现象； D.理想介质分界面上发生全反射时，在两种介质中电磁场均不为零。 3. 置于空气中半径为a 的导体球附近M 处有一点电荷q ，它与导体球心O 的距离为d(d>a)，当导体球接地时，导体球上的感应电荷可用球内区域设置的（D ）的镜像电荷代替；当导体球不接地且不带电荷时，导体球上的感应电荷可用（B ）的镜像电荷代替； A. 电量为/q qd a '=-，距球心2/d a d '=；以及一个位于球心处，电量为q aq d ''=； B. 电量为/q qa d '=-，距球心2/d a d '=；以及一个位于球心处，电量为q aq d ''=； C. 电量为/q qd a '=-，距球心2/d a d '=； D. 电量为/q qa d '=-，距球心2/d a d '=； 4.时变电磁场满足如下边界条件：两种理想介质分界面上，（ C ）；两种一般导电介质（0<σ<∞）分界面上，（A ）；理想介质与理想导体分界面上，（ D ）。 A. 存在s ρ，不存在s J ； B. 不存在s ρ，存在s J ； C. 不存在s ρ和s J ； D. 存在s ρ和s J ； 三、（12分）如图所示，一个平行板电容 器，极板沿x 方向长度为L ，沿y 方向宽 度为W ，板间距离为z 0。板间部分填充 一段长度为d 的介电常数为ε1的电介质，如两极板间电位差为U ，求：（1）两极板 间的电场强度；（2）电容器储能；（3）电 介质所受到的静电力。
1. 两导体间的电容与_A__有关 A. 导体间的位置 B. 导体上的电量 C. 导体间的电压 D. 导体间的电场强度 2. 下面关于静电场中的导体的描述不正确的是:____C__ A. 导体处于非平衡状态。 B. 导体内部电场处处为零。 C. 电荷分布在导体内部。 D. 导体表面的电场垂直于导体表面 3. 在不同介质的分界面上，电位是__B_。 A. 不连续的 B. 连续的 C. 不确定的 D. 等于零 4. 静电场的源是A A. 静止的电荷 B. 电流 C. 时变的电荷 D. 磁荷 5. 静电场的旋度等于__D_。 A. 电荷密度 B. 电荷密度与介电常数之比 C. 电位 D. 零 6. 在理想导体表面上电场强度的切向分量D A. 不连续的 B. 连续的 C. 不确定的 D. 等于零 7. 静电场中的电场储能密度为B A. B. C. D. 8. 自由空间中静电场通过任一闭合曲面的总通量，等于B A. 整个空间的总电荷量与自由空间介电常数之比 B. 该闭合曲面内所包围的总电荷量与自由空间介电常数之比。 C. 该闭合曲面内所包围的总电荷量与自由空间相对介电常数之比。 D. 该闭合曲面内所包围的总电荷量。 9. 虚位移法求解静电力的原理依据是G A. 高斯定律 B. 库仑定律 C. 能量守恒定律 D. 静电场的边界条件 10. 静电场中的介质产生极化现象，介质内电场与外加电场相比，有何变化？ A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 不确定 11. 恒定电场中，电流密度的散度在源外区域中等于B____ A. 电荷密度 B. 零 C. 电荷密度与介电常数之比 D. 电位 12. 恒定电场中的电流连续性方程反映了___A_ A. 电荷守恒定律 B. 欧姆定律 C. 基尔霍夫电压定律 D. 焦耳定律 13. 恒定电场的源是___B_ A. 静止的电荷 B. 恒定电流 C. 时变的电荷 D. 时变电流 14. 根据恒定电场与无源区静电场的比拟关系，导体系统的电导可直接由静电场中导体系统的D A. 电量 B. 电位差 C. 电感 D. 电容 15. 恒定电场中，流入或流出闭合面的总电流等于__C___ A. 闭合面包围的总电荷量 B. 闭合面包围的总电荷量与介电常数之比 C. 零 D. 总电荷量随时间的变化率 16. 恒定电场是D A. 有旋度 B. 时变场 C. 非保守场 D. 无旋场 17. 在恒定电场中，分界面两边电流密度矢量的法向方向是B A. 不连续的 B. 连续的 C. 不确定的 D. 等于零 18. 导电媒质中的功率损耗反映了电路中的_D____
《电磁场理论》考试试卷（A 卷） （时间120分钟） 院/系 专业 姓名 学号 一、选择题（每小题2分，共20分） 1. 关于有限区域内的矢量场的亥姆霍兹定理，下列说法中正确的是 （ D ） （A ）任意矢量场可以由其散度和旋度唯一地确定； （B ）任意矢量场可以由其散度和边界条件唯一地确定； （C ）任意矢量场可以由其旋度和边界条件唯一地确定； （D ）任意矢量场可以由其散度、旋度和边界条件唯一地确定。 2. 谐变电磁场所满足的麦克斯韦方程组中，能反映“变化的电场产生磁场”和“变化的磁场产生电场”这一物理思想的两个方程是 （ B ） （A ）ε ρ= ??=??E H ??,0 （B ）H j E E j J H ρ? ρ??ωμωε-=??+=??, （C ）0,=??=??E J H ? ??（D ）ε ρ = ??=??E H ??,0 3．一圆极化电磁波从媒质参数为13==r r με的介质斜入射到空气中，要使电场的平行极化分量不产生反射，入射角应为 （ B ） （A ）15° （B ）30° （C ）45° （D ）60°
4. 在电磁场与电磁波的理论中分析中，常引入矢量位函数A ?，并令A B ?? ??=，其依据是 （ C ） （A ）0=??B ? ； （B ）J B ??μ=??； （C ）0=??B ? ； （D ）J B ??μ=??。 5 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是 （ C ） (A) 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E ? 处处为零； (B) 如果高斯面上E ? 处处不为零，则该面内必有电荷； (C) 如果高斯面内有净电荷，则通过该面的电通量必不为零； (D) 如果高斯面上E ? 处处为零，则该面内必无电荷。 6．若在某区域已知电位移矢量x y D xe ye =+，则该区域的电荷体密度为 （ B ） ( A) 2ρε=- （B ）2ρ= （C ）2ρε= （D ）2ρ=- 7.两个载流线圈之间存在互感，对互感没有影响的是 （ C ） （A ）线圈的尺寸 （B ） 两个线圈的相对位置 （C ）线圈上的电流 （D ）线圈中的介质 8 .以下关于时变电磁场的叙述中，正确的是 （ B ） （A ）电场是无旋场 （B ）电场和磁场相互激发 （C ）电场和磁场无关 （D ）磁场是有源场
一． 1.对于矢量A u v，若A u v＝ e u u v x A＋y e u u v y A＋z e u u v z A， x 则： e u u v?x e u u v＝；z e u u v?z e u u v＝； y e u u v?x e u u v＝；x e u u v?x e u u v＝ z 2.对于某一矢量A u v，它的散度定义式为； 用哈密顿算子表示为 3.对于矢量A u v，写出： 高斯定理 斯托克斯定理 4.真空中静电场的两个基本方程的微分形式为 和 5.分析恒定磁场时，在无界真空中，两个基本场变量之间的关系为，通常称它为 二.判断：（共20分，每空2分）正确的在括号中打“√”，错误的打“×”。 1.描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（） 2.标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（） 3.梯度的方向是等值面的切线方向。（） 4.恒定电流场是一个无散度场。（） 5.一般说来，电场和磁场是共存于同一空间的，但在静止和恒定的情况下，电场和磁场可以独立进行分析。（） 6.静电场和恒定磁场都是矢量场，在本质上也是相同的。（）
7.研究物质空间内的电场时，仅用电场强度一个场变量不能完全反映物质内发生的静电现象。（ ） 8.泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。（ ） 9.静电场的边值问题，在每一类的边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解都是唯一的。（ ） 10.物质被磁化问题和磁化物质产生的宏观磁效应问题是不相关的两方面问题。（ ） 三.简答：（共30分，每小题5分） 1.用数学式说明梯无旋。 2.写出标量场的方向导数表达式并说明其涵义。 3.说明真空中电场强度和库仑定律。 4.实际边值问题的边界条件分为哪几类？ 5.写出磁通连续性方程的积分形式和微分形式。 6.写出在恒定磁场中，不同介质交界面上的边界条件。 四.计算：（共10分）半径分别为a,b(a>b),球心距为c(c 电磁学基础知识 电场 一、场强E （矢量，与q 无关） 1．定义：E ＝ 单位：N/C 或V/m 方向：与＋q 所受电场力方向 电场线表示E 的大小和方向 2．点电荷电场：E ＝ 静电力恒量 k ＝ Nm 2/C 2 匀强电场：E ＝ d 为两点在电场线方向上的距离 3．E 的叠加——平行四边形定则 4．电场力（与q 有关） F ＝ 库仑定律：F ＝ （适用条件：真空、点电荷） 5．电荷守恒定律（注意：两个相同带电小球接触后，q 相等） 二、电势φ（标量，与q 无关） 1．定义：φA ＝ ＝ ＝ 单位：V 说明：φ＝单位正电荷由某点移到φ＝0处的W ⑴沿电场线，电势降低 ⑵等势面⊥电场线；等势面的疏密反映E 的强弱 2．电势叠加——代数和 3．电势差：U AB ＝ ＝ 4．电场力做功：W AB ＝ 与路径无关 5．电势能的变化：Δε＝W 电场力做正功，电势能 ；电场力做负功，电势能 需要解决的问题： ①如何判电势的高低以及正负（由电场线判断） ②如何判电场力做功的正负（由F 、v 方向判） ③如何判电势能的变化（由W 的正负判） 三、电场中的导体 1．静电平衡：远端同号，近端异号 2．静电平衡特点 ⑴E 内＝0；⑵E 表面 ⊥表面；⑶等势体（内部及表面电势相等）；⑷净电荷分布在外表面 四、电容器 1．定义：C ＝ （C 与Q 、U 无关） 单位：1 F ＝106 μF ＝1012 pF 2．平行板电容器： C ＝ 3．两类问题：①充电后与电源断开， 不变；②始终与电源相连， 不变 五、带电粒子在电场中的运动 1．加速：qU ＝ 2．偏转：v ⊥E 时，做类平抛运动 位移：L ＝ ； y ＝ ＝ ＝ 速度：v y ＝ ＝ ； v ＝ ； tan θ＝ 六、实验：描绘等势线 1．器材： 2．纸顺序：从上向下 习题 5.1 设x 0的半空间充满磁导率为 的均匀介质，x 0的半空间为真空，今有线电流沿z轴方向流动，求磁感应强度和磁化电流分布。 5.2 半径为a的无限长圆柱导体上有恒定电流J均匀分布于截面上，试解矢势A 的微分方程，设导体的磁导率为 0，导体外的磁导率为 。 5.3 设无限长圆柱体内电流分布，J azrJ0(r a)求矢量磁位A和磁感应B。5.4载有电流的细导线，右侧为半径的半圆弧，上下导线相互平行，并近似为向左侧延伸至无穷远。试求圆弧中心点处的磁感应强度。 5.5 两根无限长直导线，布置于x 1,y 0处，并与z轴平行，分别通过电流I 及 I，求空间任意一点处的磁感应强度B。 5.6 半径的磁介质球，具有磁化强度为M az(Az2 B) 求磁化电流和磁荷。 5.7已知两个相互平行，相隔距离为d，共轴圆线圈，其中一个线圈的半径为 a(a d)，另一个线圈的半径为b，试求两线圈之间的互感系数。 5.8 两平行无限长直线电流I1和I2，相距为d，求每根导线单位长度受到的 安培力Fm。 5.9 一个薄铁圆盘，半径为a，厚度为b b a ，如题5.9图所示。在平行 于z轴方向均匀磁化，磁化强度为M。试求沿圆铁盘轴线上、铁盘内、外的磁感 应强度和磁场强度。 5.10 均匀磁化的无限大导磁媒质的磁导率为 ，磁感应强度为B，若在该 媒质内有两个空腔，，空腔1形状为一薄盘，空腔2像一长针，腔内都充有空气。试求两空腔中心处磁场强度的比值。 5.11 两个无限大且平行的等磁位面D、N，相距h， mD 10A， mN 0。其间充以两种不同的导磁媒质，其磁导率分别为 1 0， 2 2 0，分界面与等磁位面垂直，求媒质分界面单位面积受力的大小和方向。 题5.11图 5.12 长直导线附近有一矩形回路，回路与导线不共面，如题5.12图 a 所 示。证明：直导线与矩形回路间的互感为 M 0aln2 R2b R2 C22 b2 R2 题5.12图 a 5.13 一环形螺线管的平均半径r0 15cm，其圆形截面的半径a 2cm，铁芯的相对磁导率 r 1400，环上绕N 1000匝线圈，通过电流I 0.7A。 （1）计算螺线管的电感； （2）在铁芯上开一个l0 0.1cm的空气隙，再计算电感（假设开口后铁芯 的 r不变）； （3）求空气隙和铁芯内的磁场能量的比值。 5.14 同轴线的内导体是半径为a的圆柱，外导体是半径为b的薄圆柱面，其厚度可忽略不计。内、外导体间充有磁导率分别为 1和 2两种不同的磁介质， 如题5.14图所示。设同轴线中通过的电流为I，试求： （1）同轴线中单位长度所储存的磁场能量； （2）单位长度的自感。 5.15 已知一个平面电流回路在真空中产生的磁场强度为 第1~2章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律 1. 设：直角坐标系中，标量场zx yz xy u ++=的梯度为A ，则M （1，1，1）处 A = ，=??A 0 。 2. 已知矢量场xz e xy e z y e A z y x ?4?)(?2 +++= ，则在M （1，1，1）处=??A 9 。 3. 亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场（场量为A ），则必须同时给定该场矢量 的 旋度 及 散度 。 4. 写出线性和各项同性介质中场量D 、E 、B 、H 、J 所满足的方程（结构方 程）： 。 5. 电流连续性方程的微分和积分形式分别为 和 。 6. 设理想导体的表面A 的电场强度为E 、磁场强度为B ，则 （a ）E 、B 皆与A 垂直。 （b ）E 与A 垂直，B 与A 平行。 （c ）E 与A 平行，B 与A 垂直。 （d ）E 、B 皆与A 平行。 答案：B 7. 两种不同的理想介质的交界面上， （A ）1212 , E E H H == （B ）1212 , n n n n E E H H == (C) 1212 , t t t t E E H H == (D) 1212 , t t n n E E H H == 答案：C 8. 设自由真空区域电场强度(V/m) )sin(?0βz ωt E e E y -= ，其中0E 、ω、β为常数。则空间位移电流密度d J （A/m 2 ）为： （a ） )cos(?0βz ωt E e y - （b ） )cos(?0βz ωt ωE e y - ???222x y z e e e ++A ??A ??E J H B E D σ=μ=ε= , ,t q S d J S ??-=?? t J ?ρ ?-=?? 3. 两根无限长平行直导线载有大小相等方向相反电流I, I以dI/dt的变化率增长,一矩形线圈位于导线平面内(如图,则 A.线圈中无感应电流; B B.线圈中感应电流为顺时针方向; C C.线圈中感应电流为逆时针方向; D D.线圈中感应电流方向不确定。 4. 在通有电流I 无限长直导线所在平面内,有一半经r、电阻R 导线环,环中心 距导线a,且a >> r。当导线电流切断后,导线环流过电量为 5.对位移电流,有下述四种说法,请指出哪一种说法是正确的 A A.位移电流是由变化电场产生的 B B.位移电流是由变化磁场产生的 C C.位移电流的热效应服从焦耳-楞次定律 D D.位移电流的磁效应不服从安培环路定理 6.在感应电场中电磁感应定律可写成 式中E K为感应电场的电场强度,此式表明 A. 闭合曲线C 上E K处处相等 B. 感应电场是保守力场 C.感应电场的电场线不是闭合曲线 D.感应电场不能像静电场那样引入电势概念 1. 长直导线通有电流I ,与长直导线共面、垂直于导线细金属棒AB ,以速度V 平行于导线作匀速运动,问 (1金属棒两端电势U A 和U B 哪个较高?(2若电流I 反向,U A 和U B 哪个较高?(3金属棒与导线平行,结果又如何?二、填空题 U A =U B U A U B ; 三、计算题 1.如图,匀强磁场B 与矩形导线回路法线 n 成60°角 B = B = B = kt kt (k 为大于零的常数。长为L的导体杆AB以匀速 u 向右平动,求回路中 t 时刻感应电动势大小和方向(设t = 0 时,x = 0。解:S B m ρρ?=φLvt kt ?=21dt d m i φε=2 21kLvt =kLvt =方向a →b ,顺时针。 ο 60cos SB =用法拉第电磁感应定律计算电动势,不必 再求动生电动势 一、单选题 1、 如果通过闭合面S 的电通量e Φ为零，则可以肯定 A 、面S 内没有电荷 B 、面S 内没有净电荷 C 、面S 上每一点的场强都等于零 D 、面S 上每一点的场强都不等于零 2、 下列说法中正确的是 A 、沿电场线方向电势逐渐降低 B 、沿电场线方向电势逐渐升高 C 、沿电场线方向场强逐渐减小 D 、沿电场线方向场强逐渐增大 3、 载流直导线和闭合线圈在同一平面内，如图所示，当导线以速度v 向 左匀速运动时，在线圈中 A 、有顺时针方向的感应电流 B 、有逆时针方向的感应电 C 、没有感应电流 D 、条件不足，无法判断 4、 两个平行的无限大均匀带电平面，其面电荷密度分别为σ+和σ-， 则P 点处的场强为 A 、02εσ B 、0εσ C 、0 2εσ D 、0 5、 一束α粒子、质子、电子的混合粒子流以同样的速度垂直进 入磁场，其运动轨迹如图所示，则其中质子的轨迹是 A 、曲线1 B 、曲线2 C 、曲线3 D 、无法判断 6、 一个电偶极子以如图所示的方式放置在匀强电场 E 中，则在 电场力作用下，该电偶极子将 A 、保持静止 B 、顺时针转动 C 、逆时针转动 D 、条件不足，无法判断 7、 点电荷q 位于边长为a 的正方体的中心，则通过该正方体一个面的电通量为 A 、0 B 、0εq C 、04εq D 、0 6εq 8、 长直导线通有电流A 3=I ，另有一个矩形线圈与其共面，如图所 示，则在下列哪种情况下，线圈中会出现逆时针方向的感应电流？ A 、线圈向左运动 B 、线圈向右运动 C 、线圈向上运动 D 、线圈向下运动 9、 关于真空中静电场的高斯定理0 εi S q S d E ∑=?? ，下述说法正确的是： A. 该定理只对有某种对称性的静电场才成立； B. i q ∑是空间所有电荷的代数和； C. 积分式中的E 一定是电荷i q ∑激发的； σ - P 3 I 电磁场理论基础习题集 （说明：加重的符号和上标有箭头的符号都表示矢量） 一、填空题 1. 矢量场的散度定理为(1)，斯托克斯定理为(2)。 【知识点】：1.2 【难易度】：C 【参考分】：3 【答案】：（1）()???=??S S d A d A ττ （2）() S d A l d A S C ???= ??? 2. 矢量场A 满足(1)时，可用一个标量场的梯度表示。 【知识点】：1.4 【难易度】：C 【参考分】：1.5 【答案】：(1) 0=??A 3. 真空中静电场的基本方程的积分形式为(1)，(2)，微分形式为(3),(4)。 【知识点】：3.2 【难易度】：B 【参考分】：6 【答案】：(1) 0=??c l d E (2) ∑?=?q S d D S 0 (3) 0=??E (4)()r D ρ=??0 4. 电位移矢量D 、极化强度P 和电场强度E 满足关系(1)。 【知识点】：3.6 【难易度】：B 【参考分】：1.5 【答案】：(1) P E P D D +=+=00ε 5. 有面电流s 的不同介质分界面上，恒定磁场的边界条件为(1),(2)。 【知识点】：3.8 【难易度】：B 【参考分】：3 【答案】：(1) ()021=-?B B n (2) ()s J H H n =-?21 6. 焦耳定律的微分形式为(1)。 【知识点】：3.8 【难易度】：B 【参考分】：1.5 【答案】：(1) 2E E J p γ=?= 7. 磁场能量密度=m w (1)，区域V 中的总磁场能量为=m W (2)。 【知识点】：5.9 【难易度】：B 【参考分】：3 电磁学试题库 试题3 一、填空题（每小题2分，共20分） 1、带电粒子受到加速电压作用后速度增大，把静止状态下的电子加速到光速需要电压是（ ）。 2、一无限长均匀带电直线（线电荷密度为λ）与另一长为L ，线电荷密度为η的均匀带电直线AB 共面，且互相垂直，设A 端到无限长均匀带电线的距离为a ，带电线AB 所受的静电力为（ ）。 3、如图所示，金属球壳内外半径分别为a 和b ，带电量为Q ，球壳腔内距球心O 为r 处置一电量为q 的点电荷，球心O 点的电势（ % 4、两个同心的导体薄球壳，半径分别为b a r r 和,其间充满电阻率为ρ的均匀介质（1）两球壳之间的电阻（ ）。（2）若两球壳之间的电压是U ，其电流密度（ ）。 5、载流导线形状如图所示，(虚线表示通向无穷远的直导线)O 处的磁感应强度的大小为（ ） 6、一矩形闭合导线回路放在均匀磁场中，磁场方向与回路平 % 面垂直，如图所示，回路的一条边ab 可以在另外的两条边上滑 动，在滑动过程中，保持良好的电接触，若可动边的长度为L ， 滑动速度为V ，则回路中的感应电动势大小（ ），方向（ ）。 7、一个同轴圆柱形电容器，半径为a 和b ，长度为L ，假定两板间的电压 t U u m ω=sin ,且电场随半径的变化与静电的情况相同，则通过半径为r （a 第一章 矢量分析 1.1 3?2??z y x e e e A -+= ，z y e e B ?4?+-= ，2?5?y x e e C -= 求（1）?A e ；（2）矢量A 的方向余弦；（3）B A ?；（4）B A ?； （5）验证()()()B A C A C B C B A ??=??=?? ； （6）验证()()()B A C C A B C B A ?-?=??。 1.2 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，则可确定该未知矢 量。设A 为已知矢量，X A B ?=和X A B ?=已知，求X 。 1.3 求标量场32yz xy u +=在点（2,-1,1）处的梯度以及沿矢量z y x e e e l ?2?2?-+= 方向上的方向导数。 1.4 计算矢量()() 3222224???z y x e xy e x e A z y x ++= 对中心原点的单位立方体表面的面积分，再计算A ??对此立方体的体积分，以验证散度定理。 1.5 计算矢量z y e x e x e A z y x 22???-+= 沿(0,0)，(2,0)，(2,2)，(0,2)，(0,0)正方形闭合回路的线积分，再计算A ??对此回路所包围的表面积的积分，以验证斯托克斯定理。 1.6 f 为任意一个标量函数，求f ???。 1.7 A 为任意一个矢量函数，求()A ????。 1.8 证明：A f A f A f ??+?=?)(。 1.9 证明：A f A f A f ??+??=??)()()(。 1.10 证明：)()()(B A A B B A ???-???=???。 1.11 证明：A A A 2)(?-???=????。 1.12 ?ρ?ρ?ρρsin cos ?),,(32z e e z A += ，试求A ??，A ??及A 2?。 1.13 θθθ?θ?θcos 1?sin 1?sin ?),,(2r e r e r e r A r ++= ，试求A ??，A ??及A 2?。 1.14 ?ρ?ρsin ),,(z z f =，试求f ?及f 2?。 1.15 2sin ),,(r r f θ?θ=，试求f ?及f 2?。 1.16 求??S r S e d )sin 3?(θ，S 为球心位于原点，半径为5的球面。 1.17 矢量??θ23cos 1?),,(r e r A r = ，21< 题8-12图 8-12 两个无限大的平行平面匀带电，电荷的面密度分别为1σ和2σ，试求空间各处场强． 解: 如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1σ与2σ， 两面间， n E )(21210 σσε-= 1 σ面外， n E )(21210 σσε+- = 2σ面外， n E )(21210 σσε+= n ：垂直于两平面由1σ面指为2σ面． 8-13 半径为R 的均匀带电球体的电荷体密度为ρ,若在球挖去一块半径为r ＜R 的小球体，如题8-13图所示．试求：两球心O 与O '点的场强，并证明小球空腔的电场是均匀的． 解: 将此带电体看作带正电ρ的均匀球与带电ρ-的均匀小球的组合，见题8-13图(a)． (1) ρ+球在O 点产生电场010=E ， ρ - 球在O 点产生电场'd π4π343 03 20 OO r E ερ= ∴ O 点电场'd 33 030 OO r E ερ= ； (2) ρ+ 在O '产生电场'd π4d 343 03 01OO E ερπ=' ρ-球在O '产生电场002='E ∴ O ' 点电场 03ερ= 'E 'OO 题8-13图(a) 题8-13图(b) (3)设空腔任一点P 相对O '的位矢为r '，相对O 点位矢为r (如题8-13(b)图) 则 3ερr E PO = ， 0 3ερr E O P '- =' , ∴ 003'3)(3ερερερd OO r r E E E O P PO P = ='-=+=' ∴腔场强是均匀的． 8-14 一电偶极子由q =1.0×10-6C 的两个异号点电荷组成，两电荷距离d=0.2cm ，把这电偶极子放在1.0×105N ·C -1的外电场中，求外电场作用于电偶极子上的最大力矩． 解: ∵ 电偶极子p 在外场E 中受力矩 E p M ?= ∴ qlE pE M ==max 代入数字 4536max 100.2100.1102100.1---?=?????=M m N ? 8-15 两点电荷1q =1.5×10-8C ，2q =3.0×10-8C ，相距1r =42cm ，要把它们之间的距离变为 2r =25cm ，需作多少功? 解: ? ? == ?= 2 2 2 1 0212021π4π4d d r r r r q q r r q q r F A εε )11(2 1r r - 61055.6-?-=J 外力需作的功 61055.6-?-=-='A A J 题8-16图 8-16 如题8-16图所示，在A ，B 两点处放有电量分别为+q ,-q 的点电荷，AB 间距离为2R ，现将另一正试验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C 点，求移动过程中电场力作的功． 解: 如题8-16图示 0π41 ε= O U 0)(=-R q R q 电磁波考题整理 一、填空题 1. 某一矢量场，其旋度处处为零，则这个矢量场可以表示成某一标量函数的（梯度）形式。 2. 电流连续性方程的积分形式为（??? s dS j=- dt dq） 3. 两个同性电荷之间的作用力是（相互排斥的）。 4. 单位面积上的电荷多少称为（面电荷密度）。 5. 静电场中，导体表面的电场强度的边界条件是：（D1n-D2n=ρs） 6. 矢量磁位A和磁感应强度B之间的关系式：（B=▽x A） 7. .E（Z，t）=e x E m sin（wt-kz-）+ e y E m cos（wt-kz+），判断上述均匀平面电磁波的极化方式为：（圆极化）（应该是90％确定） 8. 相速是指均匀平面电磁波在理想介质中的传播速度。 9.根据电磁波在波导中的传播特点，波导具有（HP）滤波器的特点。（HP，LP，BP三选一） 10.根据电与磁的对偶关系，我们可以由电偶极子在远区场的辐射场得到（磁偶极子）在远区产生的辐射场 11. 电位移矢量D=ε0E+P在真空中P的值为（0） 12. 平板电容器的介质电容率ε越大，电容量越大。 13.恒定电容不会随时间（变化而变化） 14.恒定电场中沿电源电场强度方向的闭合曲线积分在数值上等于电源的（电动势） 15. 电源外媒质中电场强度的旋度为0。 16.在给定参考点的情况下，库伦规范保证了矢量磁位的（散度为零） 17.在各向同性媚质中，磁场的辅助方程为(D=εE, B=μH, J=σE) 18. 平面电磁波在空间任一点的电场强度和磁场强度都是距离和时间的函数。 19. 时变电磁场的频率越高，集肤效应越明显。 20. 反映电磁场中能量守恒与转换规律的定理是坡印廷定理。 二、名词解释 1. 矢量：既存在大小又有方向特性的量 2. 反射系数：分界面上反射波电场强度与入射波电场强度之比 3. TEM波：电场强度矢量和磁场强度矢量均与传播方向垂直的均匀平面电磁波 4. 无散场：散度为零的电磁场,即·=0。 5. 电位参考点：一般选取一个固定点，规定其电位为零，称这一固定点为参考点。当取点为参考点时，P点处的电位为=；当电荷分布在有限的区域时，选取无穷远处为参考点较为方便，此时=。 6. 线电流：由分布在一条细线上的电荷定向移动而产生的电流。 7.磁偶极子：磁偶极子是类比电偶极子而建立的物理模型。具有等值异号的两个点磁荷构成的系统称为磁偶极子场。磁偶极子受到力矩的作用会发生转动，只有当力矩为零时，磁偶极子才会处于平衡状态。利用这个道理，可以进行磁场的测量。但由于没有发现单独存在的磁单极子，故我们将一个载有电流的圆形回路作为磁偶极子的模型。 8. 电磁波的波长：空间相位变化所经过的距离称为波长，以表示。按此定义有，所以。 9. 极化强度描述介质极化后形成的每单位体积内的电偶极矩。 10. 坡印廷定理电磁场的能量转化和守恒定律称为坡印廷定理：每秒体积中电磁能量的增加量等于从包围体积的闭合面进入体积功率。 11. 线性均匀且各向同性电介质若煤质参数与场强大小无关，称为线性煤质。若煤质参数与场强方向无关，称为各向同性煤质。若煤质参数与位置无关，责称均匀煤质。若煤质参数与场强频率无关，称为各向同性煤质。 12.安培环路定理在真空中磁感应强度沿任意回路的环量等于真空磁导率乘以与该回路相交链的电流的代数和。 高中物理电磁学练习题 一、在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确． 1．如图3-1所示，有一金属箔验电器，起初金属箔闭合，当带正电的棒靠近验电器上部的金属板时，金属箔开．在这个状态下，用手指接触验电器的金属板，金属箔闭合，问当手指从金属板上离开，然后使棒也远离验电器，金属箔的状态如何变化?从图3-1的①～④四个选项中选取一个正确的答案．［］ 图3-1 Ａ．图①Ｂ．图②Ｃ．图③Ｄ．图④ 2．下列关于静电场的说法中正确的是［］ Ａ．在点电荷形成的电场中没有场强相等的两点，但有电势相等的两点 Ｂ．正电荷只在电场力作用下，一定从高电势向低电势运动 Ｃ．场强为零处，电势不一定为零；电势为零处，场强不一定为零 Ｄ．初速为零的正电荷在电场力作用下不一定沿电场线运动 3．在静电场中，带电量大小为ｑ的带电粒子（不计重力），仅在电场力的作用下，先后飞过相距为ｄ的ａ、ｂ两点，动能增加了ΔＥ，则［］Ａ．ａ点的电势一定高于ｂ点的电势 Ｂ．带电粒子的电势能一定减少 Ｃ．电场强度一定等于ΔＥ／ｄｑ Ｄ．ａ、ｂ两点间的电势差大小一定等于ΔＥ／ｑ 4．将原来相距较近的两个带同种电荷的小球同时由静止释放（小球放在光滑绝缘的水平面上），它们仅在相互间库仑力作用下运动的过程中［］Ａ．它们的相互作用力不断减少 Ｂ．它们的加速度之比不断减小 Ｃ．它们的动量之和不断增加 Ｄ．它们的动能之和不断增加 5．如图3-2所示，两个正、负点电荷，在库仑力作用下，它们以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，以下说确的是［］ 图3-2 Ａ．它们所需要的向心力不相等 Ｂ．它们做圆周运动的角速度相等 Ｃ．它们的线速度与其质量成反比 Ｄ．它们的运动半径与电荷量成反比 6．如图3-3所示，水平固定的小圆盘Ａ，带电量为Ｑ，电势为零，从盘心处Ｏ由静止释放一质量为ｍ，带电量为＋ｑ的小球，由于电场的作用，小球竖直上升的高度可达盘中心竖直线上的ｃ点，Ｏｃ＝ｈ，又知道过竖直线上的ｂ点时，小球速度最大，由此可知在Ｑ所形成的电场中，可以确定的物理量是［］ 图3-3 Ａ．ｂ点场强Ｂ．ｃ点场强 Ｃ．ｂ点电势Ｄ．ｃ点电势 7．如图3-4所示，带电体Ｑ固定，带电体Ｐ的带电量为ｑ，质量为ｍ，与绝缘的水平桌面间的动摩擦因数为μ，将Ｐ在Ａ点由静止放开，则在Ｑ的排斥下运动到Ｂ点停下，Ａ、Ｂ相距为ｓ，下列说确的是［］ 图3-4 Ａ．将Ｐ从Ｂ点由静止拉到Ａ点，水平拉力最少做功2μｍｇｓ Ｂ．将Ｐ从Ｂ点由静止拉到Ａ点，水平拉力做功μｍｇｓ Ｃ．Ｐ从Ａ点运动到Ｂ点，电势能增加μｍｇｓ Ｄ．Ｐ从Ａ点运动到Ｂ点，电势能减少μｍｇｓ 8．如图3-5所示，悬线下挂着一个带正电的小球，它的质量为ｍ、电量为ｑ，整个装置处于水平向右的匀强电场中，电场强度为Ｅ．［］ 图3-5 Ａ．小球平衡时，悬线与竖直方向夹角的正切为Ｅｑ／ｍｇ Ｂ．若剪断悬线，则小球做曲线运动 Ｃ．若剪断悬线，则小球做匀速运动 Ｄ．若剪断悬线，则小球做匀加速直线运动 9．将一个6Ｖ、6Ｗ的小灯甲连接在阻不能忽略的电源上，小灯恰好正常发光，现改将一个6Ｖ、3Ｗ的小灯乙连接到同电源上，则［］Ａ．小灯乙可能正常发光 Ｂ．小灯乙可能因电压过高而烧毁 Ｃ．小灯乙可能因电压较低而不能正常发光 Ｄ．小灯乙一定正常发光 10．用三个电动势均为1．5Ｖ、阻均为0．5Ω的相同电池串联起来作电源，向三个阻值都是1Ω的用电器供电，要想获得最大的输出功率，在如图3-6所示电路中应选择的电路是［］ 图3-6 11．如图3-10所示的电路中，Ｒ １、Ｒ ２ 、Ｒ ３ 、Ｒ ４ 、Ｒ ５ 为阻值固定的 电阻，Ｒ ６ 为可变电阻，Ａ为阻可忽略的电流表，Ｖ为阻很大的电压表，电源的 长沙理工大学考试试卷 一、选择题：（每题3分，共30分） 1. 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是： （Ａ）如果高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷。 （Ｂ）如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零。 （Ｃ）如果高斯面上E 处处不为零，则该面内必有电荷。 （Ｄ）如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电通量必不为零 （E ）高斯定理仅适用于具有高度对称性的电场。 [ ] 2. 在已知静电场分布的条件下，任意两点1P 和2P 之间的电势差决定于： （Ａ）1P 和2P 两点的位置。 （Ｂ）1P 和2P 两点处的电场强度的大小和方向。 （Ｃ）试验电荷所带电荷的正负。 （Ｄ）试验电荷的电荷量。 [ ] 3. 图中实线为某电场中的电力线，虚线表示等势面，由图可看出： （Ａ）C B A E E E >>，C B A U U U >> （Ｂ）C B A E E E <<，C B A U U U << （Ｃ）C B A E E E >>，C B A U U U << （Ｄ）C B A E E E <<，C B A U U U >> [ ] 4. 如图，平行板电容器带电，左、右分别充满相对介电常数为ε1与ε2的介质， 则两种介质内： （Ａ）场强不等，电位移相等。 （Ｂ）场强相等，电位移相等。 （Ｃ）场强相等，电位移不等。 （Ｄ）场强、电位移均不等。 [ ] 5. 图中，Ua-Ub 为： （Ａ）IR -ε （Ｂ）ε+IR （Ｃ）IR +-ε （Ｄ）ε--IR [ ] 6. 边长为a 的正三角形线圈通电流为I ，放在均匀磁场B 中，其平面与磁场平行，它所受磁力矩L 等于： （Ａ） BI a 221 （Ｂ）BI a 234 1 （Ｃ）BI a 2 （Ｄ）0 [ ]电磁学基础知识
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