第一讲：平方根与立方根
【典例解析】
知识点一：平方根和算术平方根的求法 例：求下列各数的平方根与算术平方根
4)3(-；
变式训练：962
+-x x . 知识点二：平方根性质的应用
例：下列各数有平方根吗？如果有，求出它们的平方根；如果没有，说明理由。 （1）2010-； （2）2)2
3(-； （3）0； （4）2
x -
变式训练：某数的平方根是3a +和215a -，求这个数。
知识点三：立方根定义的识别和立方根的求法 例：求下列各数的立方根
（1）8-； （2）064.0；
变式训练：求3
)4
3(--的立方根。 知识点四：平方根与立方根的综合应用
例：已知374-x 的立方根是3，求42+x 的平方根与算术平方根
变式训练：
1、已知a x =m 的立方根，而2a y =n 的算术平方根，求3
22a b + 的平方根。
2 1.887= 5.966=。
（1
（2188.7=59.66=，求x ，y 的值。
知识点五：算术平方根的非负性质的应用 例：x 为何值时，下列各式有意义
（1）x
x 22
+ （2）532-+x x
变式训练：
1、已知实数a 、b 满足02
4
)2(22=+-+-a a b a ，求2ab 的值
2、已知x 、y 4y +=-，求x y +的平方根 【课堂练习】
1．一个自然数的算术平方根为a ，则下一个自然数的平方根为 。
22，则a = 。
311=-a 的取值范围为 。
4．2
x -= ，若
,4)4(33
-=-x x 则x = .
5．若,9,42
2
==b a 且a b <,则a b -的值是（ ）
A 、-2
B 、4
C 、-1或-5
D 、±2或±4
7．若a 是2
)3(-的平方根，则3a =( )
A 、-3
B 、33
C 、±33
D 、±3 8.若,01442=-++
++y x y y 则xy 的值等于（ ）
A 、-6
B 、-2
C 、2
D 、6 9.求下列各式中x 的取值范围。
（1）1225--x x （2）4
5
22-+x x
10.a 是10的整数部分，b 是5的整数部分，则2
2b a +＝____________。
11.52-a 与2+b 互为相反数，求ab 的值 12.已知43
=x ，且,0)3(122=-++-z z y 求333z y x ++的值。
13.求x 值： 2542
=x 28、求x 值：027.0)7.0(3
=-x
【巩固练习】 1．计算下列各题：
（1； （2）0
12??
-+
???
2．已知()()22a b a b +++-=45，求a b +的算术平方根。
3.解方程
（1）()2
31250x +-= （2）3
272160x +=
4 2.359 1.095= 5.084=
求（1
（20.2359=61.09510=?50.84=，求x 、y 、z 的值。
5．已知0)2(12
=-+-ab a ，
求)
2004)(2004(1)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab ΛΛ的值。
6.甲乙二人计算a +2
21a a +-的值，当3=a 的时候，得到下面不同的答案：
甲的解答：a +2
21a a +-=a +2)1(a -=11=-+a a 乙的解答：a +2
21a a +-=a +2)1(-a =1-+a a =512=-a
哪一个解答是正确的？错误的解答错在哪里？为什么？
第二讲：实数
【知识要点】
一、实数：有理数和无理数统称为实数。 1、实数有以下两种分类方法：
（1）按定义分类 （2）按大小分类
2、实数中的倒数、相反数、绝对值概念和有理数一样，例如3-的相反数为3，倒数为3
33
1-
=-
，3-的绝对值为33=-。
3、实数与数轴上点的关系：
实数和数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都可以用一个实数表示。 4、实数的运算：
（1）关于有理数的运算律和运算性质，在实数范围内仍适用。
（2）涉及无理数的计算，可根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行计算。
()0a ≥叫做二次根式，其中a 叫做被开方数。 1、二次根式的性质：
（1）)0()(2
≥=a a a ；
（2）??
???<-=>==)
0()0(0
)0(2
a a a a a a a ； 2、最简二次根式：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式。即被开方数不含有分母。
（2）被开方数中不含有能开尽方的因数或因式。即被开方数中每个因数或因式的指数都小于根指数2。 3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式。 4、二次根式的运算： （1）．二次根式的运算法则：
)0()(≥+=+c c b a c b c a ； )0,0(≥≥=?b a ab b a ；
????
?????????????????????无限不循环小数
负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负有理数正有理数有理数实数0??
???负实数正实数
实数0
1、 七年级数学讲义一：实 数 姓名 【知识梳理】 实数的分类 数轴上的点与实数一一对应 右边的点表示的数比左边的大 b a AB -= 实数的运算 分数指数幂 已知下列实数： ,1020.5,23,0,1.2,25,,722,14.3,32?-?π25， 1010010001.1（每两个1之间依 次多一个0）. （1）按要求填空： 无理数有______________________________, 有理数有______________________________， 整数有________________________________. 分数有______________________________, （2）请在数轴上用点A 、点B 分别表示5-,3的大致位置. （3）求出点A 、点B 之间的距离.（结果保留3个有效数字） （1）64的平方根是______； （2）64-的立方根是______； （3）64=______； （4）32的五次方根是______； （5）1的四次方根是______； （6）0的立方根是_______； （7）已知42=x ，则=x _______； （8）4的平方根是_____.
练习： 1．________的平方根有两个，________的平方根只有一个，并且________没有平方根． 2．0.25的算术平方根是________． 3．9的算术平方根是________，81的算术平方根是________． 4．36的平方根是________，若362=x ，则x ＝________． 5．22的平方根是________，3)4(--的平方根是________，3)4(--的算术平方根是________． 6． 81的平方根是________，算术平方根是________，算术平方根的相反数是_______， 7．当a ________时，1-a 有意义． 8、 求下列各式的值． （138-= （2）327= （3）30.125-= （4）33(0.001)--= （53512= （6）3 2764 --= （7）0.0196= （8）0.0225= （90.0169= 9．23a -与5a -是同一个数的平方根，求这个数 例题3 概念辨析： 下列等式是否正确？改错。 （1）3)3(2=-；（ ） （2）3)3(33=-；（ ） （3）2)2(2-=-；（ ） （4）52)52(2-=-.（ ） （5）74343432222=+=+=+；（ ） 例题4 实数大小的比较： （1）16225与 （2）37--与 （3）216-与 （4）2526-与- 例题5 实数的计算：
实数综合应用（讲义） 课前预习 1. 在数轴上把下列各数表示出来，并按从小到大的顺序进行排列： 2 ，13 -3，1.5，1 2 2- -3-2-10123 请根据以上结果写出 _____< ． 2. 去绝对值： ①看____，定____；②依法则，留_____；③去括号，合并．按照去绝对值的操作要领处理下列问题：已知有理数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，化简： 1a b a b b +---+-． 精讲精练 1. 2的值（ ） A ．在1和2之间 B ．在2和3之间 C ．在3和4之间 D ．在4和5之间 2. a 和b 之间，即a b ，则a +b = ． 3. ） A ．1和2之间 B ．2和3之间 C ．3和4之间 D ．0和1之间 4. a ，小数部分是b b -=________． 5. 若7a ，小数部分是b ，则a =_____， b =_____． 6. 若 9的小数部分分别是a 和b ，则a +b =____． 7. 设7，5的小数部分分别为a ，b ，则22 44b a b a -+-的值为______________． 8. 若a ，b 2a =+a b =________． 9. 用适当的方法比较大小． （1）37+与387- （2 ）7 3 （3）与0.5 （4）72-与8- （5 与 （6 （7）53与35 （8
（9 （10（113 （12 （13）671-与251- （14）132-与121 - 10. 521的大小关系是（ ） A 521 B ．52152 1 D 521 11. 现有四个无理数5，6，7，8，其中在实数2+1和3+1之间的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 12. a c b ++-． 13. 已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示， c a b 14. 当x ≤01x -- 15. 已知a ，b ，c 为△ABC 2c a b -- 16. 0 =，则x 的取值范围是__________．
1月17日复华七年级数学实数 12.1 实数的概念 一、引入 数的范围至此扩大到了有理数，复习有理数的定义和分类：定义：整数和分数统称为有理数。 分类： 有理数??? ? ?????????? ???负分数正分数 分数负整数零正整数整数 如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数就是用两个整数之比表示的分数： )0,(≠q q p q p 都是整数，且 质疑：数的扩充是不是到此为止了呢？有理数是不是够用了？还有没有不是有理数的数呢？ 问题2：正方形ABCD 的边长怎样表示？ 分析：设正方形ABCD 的边长为x ，那么x 2=2，即x 是这样一个数，它的平方等于2。这个数表示面积为2的正方形的边长，是现实世界中真实存在的线段长度。由于这个数和2有关，我们现在用2（读作“根号2”）来表示。 追问：面积为3的正方形，它的边长又如何表示？若面积为5呢？ 问题3：2是有理数吗？ 因为：有理数=分数 )0,(≠q q p q p 都是整数，且= 而2肯定不能表示为分数（详见P36），那就不能是有限小数，也不能是无限循环小数，所以2只能是“无限不循环小数”。 问题4：无限不循环小数还有吗？ Π是有理数码？ 二、 归纳 1．无理数 （1）无限不循环小数叫做无理数。 （2）无理数包括正无理数和负无理数。 （3）只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数。
2．实数 （1）有理数和无理数统称为实数。(2)实数可以这样分类： 正有理数 有理数 零 ——有限小数或无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 ——无限不循环小数 负无理数 三、 练习 1．将下列各数填入适当的括号内： 0、-3、2、6、3.14159、 7 22、32.0&&&、5、π、0.3737737773…. 有理数：﹛ ﹜；无理数：﹛ ﹜； 正实数：﹛ ﹜；负实数：﹛ ﹜； 非负数：﹛ ﹜；整 数：﹛ ﹜. 提问：常见的无理数的形式有哪几种？(三种形式) 2．请构造几个大小在3和4之间的无理数。 3．是非题 (1) 无限小数都是无理数； 无理数都是无限小数； (2)正实数包括正有理数和正无理数； (3)实数可以分为正实数和负实数两类； (4)带根号的数都是无理数； (5)不含根号的数不一定是有理数； (6)实数不是有理数就是无理数； (7)无限小数不能化为分数； 4．用“是”、“不是”、“统称”、“包括”、“叫做”填空，并体会这些词的含义： (1)2 分数。(2) 0 有理数。(3) 无限不循环小数 无理数。 (4) 实数 有理数和无理数。(5) 正整数、0和负整数 整数。 (6) 有理数 有限小数和无限循环小数。 一 知识回顾： 1、一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根，也就是说，如果x 2=a ，那么， （ ） 叫做（ ） 的平方根. 2、正数有 个平方根，它们 。用a 表示其中正的平方根，读作“根号a ”另一个 负的平方根记为a - ，其中a 叫做 。 3、0有（ ）个平方根，是（ ）。负数没有平方根求一个数的平方根的运算叫做（ ）。 { { {
实数的概念 课时目标 1. 理解无理数以及实数的概念，并会按要求对实数进行分类； 2. 理解平方根与算术平方根的概念和性质，会表示任意非负数的平方根； 3. 理解开平方运算的概念，以及开平方运算与平方运算的关系. 知识精要 1. 无理数的定义 无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数和负无理数. 2. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 3. 实数的分类 ???????????????? ?????????正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数 负无理数 4. 平方根的定义 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（或二次方根），即 2x a =，那么x 就叫做a 的平方根. 5. 平方根的性质与表示 （1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根. （2）正数a 的两个平方根可以用 “ a 的正平方根，叫做 a 的正平方根，也叫做a 的算术平方根；a 的负平方根. 6. 开平方的定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方. 7. 平方与开平方的关系：平方与开平方互为逆运算关系.
8. 常见的无理数有三种类型： 第一类：π型：如π，π+2，…； ； 第三类：小数型：如0．1010010001…． 9. 立方根的定义 如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根，记做3a ，读作“三次根号a ”，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数. 10. 开立方的定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 11. 立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根. （1）正数的立方根是一个正数； （2）负数的立方根是一个负数； （3）0的立方根是0． 12. 开立方与立方的关系：开立方与立方互为逆运算关系. 13. n 次方根的定义 如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根，当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根.其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数. 14. 开n 次方的定义：求一个数a 的n 次方根的运算，叫做开n 次方. 15. 开n 次方与n 次方的关系：开n 次方与n 次方互为逆运算关系. 16. n 次方根的性质 （1）实数a 的奇次方根有且只有一个，用“n a ”表示； （2）正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n 次方根用“n a ”表示； 负n 次方根用“－n a ”表示（a >0，n 是正偶数）； （3）负数的偶次方根不存在； （4）0的n 次方根等于0，表示为“00 n ”. 热身练习
第一课时 实数知识梳理 1.立方根等于本身的数是; 2.如果,113a a -=-则=a . 3.64-的立方根是, 3)4(-的立方根是. 4.已知163+x 的立方根是4，求42+x 的算术平方根. 5.已知43=+x ，求33)10(-x 的值. 6.比较大小： （1）32.13 1.2， （2）3 32-34 3-， （3）337。 课前检测
1.实数的分类 ???????????????? ????????? 正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 注意：无理数有三个条件：（1）是小数；（2）是无限小数；（3）不循环. 无理数有三类：（1）开方开不尽的数； （2）特定意义的数如π等； （3）特定结构的数如0.1010010001 等. 2. 平方根，立方根，n 次方根 （1）.若一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。求这个数的平方根的运算叫做开平方， a 叫做被开方数。 要点：①正数a 的平方根有两个，它们互为相反数，可以用a ±来表示。其中a 表示a 的正平方根 （又叫算术平方根），读作“根号a ”， a -表示a 的负正平方根，读作“负根号a ”；负数没有平方根；零的平方根是零。 ②开平方与平方互为逆运算： 一个数的平方根的平方等于这个数：即220()()a a a a a >=-=当时，，； 2222 ;?0;0? a a a a a a a a a a ??=??>? ?-=-??? ???=-?
实数培优讲义 考点·方法·破译 1．平方根与立方根： 若2x＝a(a≥0)则x叫做a的平方根，记为：a的平方根为x＝±a，其中a的平方根为x＝a叫做a的算术平方根． 若x3＝a，则x叫做a的立方根．记为：a的立方根为x＝3a． 2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对 应．任何有理数都可以表示为分数p q （p、q是两个互质的整数，且q≠0）的形式． 3非负数： 实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a>0，2n a≥0（n为正整数），a≥0(a≥0) ． 经典·考题·赏析 【例1】若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，求m的值． 【变式题组】 01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____． 02．已知m是小于152 的最大整数，则m的平方根是____． 03．9的立方根是____． 04．如图，有一个数值转化器，当输入的x为64时，输出的y是____． 输入x 取算术平方根输出y 是无理数 是有理数
【例2】已知非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，则a ＋b 等于 ( ) A ．－1 B ． 0 C ．1 D ．2 【变式题组】 0l 3b +＝0成立，则a b ＝____． 02()2 30b -=，则 a b 的平方根是____． 03．若x 、y 为实数，且20x ++=，则2009 x y ?? ? ?? 的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 04．已知x 1 x π -的值是( ) A ．1 1π - B ．1 1π + C ． 1 1π - D ．无法确定 【例3】若a 、b 都为有理效，且满足1a b -+=+a ＋b 的平方根． 【变式题组】 01．已知m 、n ＋2）m ＋(3－n ＋7＝0求m 、n ． 02．设x 、y 都是有理数，且满足方程（123 π +）x ＋（132π+）y ?4?π＝0，则x ?y ＝____． 【例4】若a ?2的整数部分，b ?1是9的平方根，且a b b a -=-，求a ＋b 的值． 【变式题组】 01．若3a ，b ，则a ＋b 的值为____． 02a ，小数部分为b a ）·b ＝____．
2.实数及其运算 一、基础知识和方法要点 实数及其运算的主要内容是实数的运算，以及有理数、无理数、数轴和绝对值的概念和性质。 思考题1 何为实数？数学分类应该满足怎样的准则？ 思考题2 叙述引入数轴的必要性 ； 思考题 3 什么是零点分段法？零点分段法体现的思想在其他方面有什么应用？ 思考题4 非负数有哪些性质？举例说明； 思考题5 你是怎样理解实数与数轴的一一对应关系的？ 思考题6 数轴上有理数和无理数哪个更多？为什么？ 思考题7怎样定义无理数的概念？ 数学上一般不用否定的形式给一个概念下定义，按照这样的约定，又该如何定义？ 思考题8 实数是稠密的，你怎样理解实数的稠密性？ 二、典型问题分析 1. 实数的运算 1.计算.1009998143213211??++??+?? 2.设A=??? ? ??+++?4-14-14-14810043222 ，求与A 最接近的正整数. 3.计算： 4. 比较 与2的大小.
5. 已知,其中n为正整数.证明： 2.数轴与绝对值 1.已知<-3,化简：. 2.化简:|3x+1|+|2x-1| . 3.若2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值恒为常数,求x满足的条件及此常数的 值. 4.求代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值. 5. 将1,2,…,100这100个正整数任意分成50组,每组两个数,现将每组的两个数中任一个数记为a,另一个数记为b,代人代数式(|a-b|+a+b)中进行计算,求出其结果,50组都代入后可求得50个值,求这50个值的和的最大值. 6. 设n个有理数,,…，满足||<1(i=1,2,…,n),且 ||+||+….+|19+|++…+.求n的最小值. 3.关于无理数、有理数的判断、证明及计算 1.证明循环小数 2.615454 54=2.61是有理数. 2.已知x是无理数,且(x+1)(x+3)是有理数，在上述假定下,下面四个结 论： (1)是有理数; (2)(x-1)(x-3)是无理数; (3)(x+1)2是有理数; (4)(x-1)2是无理数. 哪些是正确的?哪些是错误的? 3.设a、b及+都是整数,证明及都是整数.
整式专题训练 一． 选择题 1．有下列说法：（1）单项式x 的系数、次数都是0；（2）多项式﹣3x 2+x ﹣1的系数是﹣3，它是三次二项式；（3）单项式﹣34x 2y 与πr 6都是七次单项式；（4）单项式﹣ 和﹣ πa 2b 的系数分别是﹣4和﹣；（5）是二次单项式；（6）2a +与3π+都是整式， 其中正确的说法有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．3个 D ．4个 2.已知 ,那么在代数式 中，对任意的a 、b ， 对应的代数式的值最大的是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．当（m +n ）2+2018取最小值时，m 2﹣n 2+2|m |﹣2|n |=（ ） A ．0 B ．﹣1 C ．0或﹣1 D ．以上答案都不对 4．有一列数 ,从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数 的差.若 ,则a 2017为（ ） A ．2017 B ．2 C ． D ．－1 5.某同学爬一楼梯,从楼下爬到楼顶后立刻返回楼下.已知该楼梯长S 米,同学上楼速度是a 米/分,下楼速度是b 米/分,则他的平均速度是（ ）米/分。 A. 2 b a + B. b a s + C. b s a s + D. b s a s s +2 6．设记号*表示求a 、b 算术平均数的运算，即 ,则下列等式中对于任意实数a 、 b 、 c 都成立的是（ ） ① ② ③ ④ A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②④
7．如图，两个正方形的面积分别为16，9，两阴影部分的面积分别为a ，b （a ＞b ），则（a ﹣b ）等于（ ） A ．7 B ．3.5 C ．1 D ．无法确定 8．如果对于某一特定范围内x 的任何允许值P ＝x 21 ＋x 3-1＋……＋x 9-1＋x 10-1的值恒为一常数，则此值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9．如果a 个同学在b 小时内共搬运c 块砖,那么c 个同学以同样速度搬a 块砖，所需的小时 数（ ） A ． b a c 2 2 B ． ab c 2 C ． 2 c ab D ． 2 2 c b a 10．已知y ＝ax 7 ＋bx 5 ＋cx 3 ＋dx ＋e ,其中a 、b 、c 、d 、e 为常数，当x ＝2,y ＝23,x ＝－2,y ＝ －35,则e 为（ ） A ．－6 B ． 6 C ．－12 D ．12 二．填空题 1、某种型号的计算机的价格不断降价，每台原价降低m 元后又降低20%，现售价n 元，那么此种计算机每台的原价为 元（用含m 和n 式子表示） 2、学校决定修建一块长方形草坪，长为a 米，宽为b 米，并在草坪上修建如图所示的十字路，已知十字路宽x 米，则草坪的面积是 平方米． 3、某种商品按原价的8折出售仍可获利20%，若按原价出售，可获利 %． 4、已知有理数a ，b 满足ab ＜0，a+b ＞0，7a+2b+1=-|b-a|，则（2a+b+13 ）·（a-b ）的值为 5、已知x=2，y=-4时，代数式ax 3+12 by+5=2017，则当x=-4，y=-1 2 时，代数式3ax-24by 3+5036的值 。 6、把四张形状大小完全相同的小长方形（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为acm ，宽为bcm ）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②两块阴影部分的周长和是__________ 图①
中考数学第六章 实数(讲义及答案)及答案 一、选择题 1．若24a =，29b =，且0ab <，则-a b 的值为( ) A ．5± B ．2- C ．5 D ．5- 2．16的算术平方根是（ ） A ．2 B ．2± C ．4 D ．4± 3．观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，……，根据这个规律，则21+22+23+24+…+22019的末位数字是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 4．下列各组数中，互为相反数的是（ ） A ．2-与12 - B ．|2|-与2 C ．2(2)-与38- D ．38-与38- 5．如图，四个有理数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若n+p=0，则m ，n ，p ，q 四个有理数中，绝对值最大的一个是（ ） A ．p B ．q C ．m D ．n 6．已知|x |＝2，y 2＝9，且xy ＜0，则x +y 的值为（ ） A ．1或﹣1 B ．-5或5 C ．11或7 D ．-11或﹣7 7．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③﹣2 π 不仅是有理数，而且是分数；④ 23 7 是无限不循环小数，所以不是有理数；⑤无限小数不一定都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；⑦非负数就是正数；⑧正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；其中错误的说法的个数为（ ） A ．7个 B ．6个 C ．5个 D ．4个 8．估计27的值在（ ） A ．2和3之间 B ．3和4之间 C ．4和5之间 D ．5和6之间 9．如图，数轴上,A B 两点表示的数分别为1,2--，点B 关于点A 的对称点为点C ，则 点C 所表示的数是（ ） A ．12 B 21 C ．22 D 22 10．已知m 是整数，当|m 40取最小值时，m 的值为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 二、填空题 11．如图所示，把半径为2个单位长度的圆形纸片放在数轴上，圆形纸片上的A 点对应原点，将圆形纸片沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周，点A 到达点A′的位置，则点A′表示的
学而思寒假七年级尖子班讲义第讲实数三大概 念 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
专题二实数的三大概念 目标一理解算术平方根、平方根、立方根的概念 目标二掌握开平方、开立方的计算方法
（3）求下列各数的算术平方根和平方根： 练 _____=_______ ___= 2 (5)-的算术平方根为_______ 2____= 的算术平方根为______ 例2 (1)一个非负数的平方根是21a -和5a -，则这个非负数是多少？ （2）已知21a -与2a -+是m 的平方根，求m 的值。 练（1）（洪山区2015-2016七下期中）一个正数a 的平方根是34x -与22x -，则这个正数a 是______ （2）已知x 1-与2x 4-+是k 的平方根，求k 的值。
竞赛链接 （2009联赛）已知,a b 是正整数，且满足2+是整数，则这样的有序数对 (a,b)共有______ 对 例3 （10=的值。 （2）已知321x y --=63x y +的平方根 练 若2(x 2y 2)++x y +的算术平方根 例4 (1)x 应满足______ x 应满足______ 有意义，则x 应满足______ 有意义，则x 应满足______ (2)已知5y =，求5 2 x y ++的平方根 (3)(梅苑中学2015-2016七下期中) 若y =，则2x y +的平方根为______ 练 （1）若2()x y +=x y -的值 （2）已知16y x = 例5 （1）已知2015a a -=，求22015a - 的值 （2）已知24242a b a -++=，求a b +的值 练
实数的基本概念 一．平方根 平方根:如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根． 也就是说，若2x a=，则x就叫做a的平方根． 一个非负数a的平方根可用符号表示为“”． 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 例题： 1.一个正数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则a的值为____ 2.下列说法正确的是（） A.正数的平方根是它本身 B.100的平方根是10 C.﹣10是100的一个平方根 D.﹣1的平方根是﹣1 练习： 1.已知|b﹣4|+（a﹣1）2=0，则的平方根是（） A．B．C．D． 2．一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5，则x= ． 3．若一正数的两个平方根分别是a﹣3和3a﹣1，则这个正数是___． 二：算术平方根 算术平方根：一个正数a有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a的算术平方根，可用符号表示 0有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根．
例题： 1.的算术平方根为____ 练习： 1．（5+m）2的平方根是，算术平方根是． 2．自由落体的公式为s=gt2（g为重力加速度，g=9.8m/s2）．若物体下落的高度s为78.4m，则下落的时间t是s． 3．的算术平方根是． 三：立方根 立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也就是说，若3, x a 则x就叫做a的立方根. 一个数a 3”叫做根指数，不能省略． 2 任何一个数都有立方根，且只有一个立方根， 正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0． 例题： 1.计算的结果是（） 2如果m2=36，n3=﹣64，=5，则m+n﹣x的值有____个． 练习 1．已知2a﹣7的平方根是±3，2a+b﹣1的算术平方根是4，求a+b的立方根．
(5) 1的四次方根是 ; (7)已知x 2 4，则X 1、 七年级数学讲义一：实 姓名 __________ 【知识梳理】 -有理数 卜实数的分类 ?无理数 实数 ?用数轴上的点表示实数 数轴上两点之间的距离 AB a b -数轴上的点与实数 -- 对应 一十右边的点表示的数比左边的 大 实数的运算A 数的开方一* 分数指数幕： 22 _ ? ! 3 , _ 已知下列实数：.3,3.14,一, , ?? 25,2.1,0, ——,5.20 102 , . 25，1.1010010001 (每两个 7 2 次多一个0). (1)按要求填空： 无理数有 ________________________________ , 有理数有 _________________________________ ， 整数有 __________________________________ . 分数有 ________________________________ , 1之间依 (2)请在数轴上用点 A 、点B 分别表示,3，-- 5的大致位置 -10 12 3 4 (3)求岀点A 、点B 之间的距离.(结果保留3个有效数字) (1) 64的平方根是 _______ ； (3) V 64 = ____ ； (2) 64的立方根是 ______ (4) 32的五次方根是 _______ (6) 0的立方根是 _________ ; (8) J4的平方根是 _______ .
(1)16与、225 ； (2) 3与?7 ； 练习: 1. ________ 的平方根有两个， __________的平方根只有一个，并且 ___________ 没有平方根. 2 ?的算术平方根是 3. 9 的算术平方根是 ,<81的算术平方根是 4. 36的平方根是 2 ，若 x 36，则 x = 2 5. 2的平方根是 ,(4)3的平方根是 ,(4)3的算术平方根是 6. 81的平方根是 ，算术平方根是 ，算术平方根的相反数是 7?当 a 时 ， a 1有意义. & 求下列各式的值. (1)3_8 (2) 3 27 3 - (3) ■. 0.125 (4) ：( 0.001)3 (5)荷2 r (6) ： 64 (7) ,0.0196 (8) 0.0225 (9) . 0.0169 9. 2a 3与5 a 是同一个数的平方根，求这个数 下列等式是否正确改错。 (1) ?、( 3)2 J - 3 ；( ) (2) 3( 3)3 3；() (3) (2)2 2 ；( ) (4) (2 5)2 2 5.( ) (5) ,32 42 ,32 ..42 3 4 7;() 1. 比较下列各数的大小：
第一讲：平方根与立方根
【典例解析】 知识点一：平方根和算术平方根的求法 例：求下列各数的平方根与算术平方根 4)3(-； 变式训练：962 +-x x . 知识点二：平方根性质的应用 例：下列各数有平方根吗？如果有，求出它们的平方根；如果没有，说明理由。 （1）2010-； （2）2)2 3(-； （3）0； （4）2 x - 变式训练：某数的平方根是3a +和215a -，求这个数。 知识点三：立方根定义的识别和立方根的求法 例：求下列各数的立方根 （1）8-； （2）064.0； 变式训练：求3 )4 3(--的立方根。 知识点四：平方根与立方根的综合应用 例：已知374-x 的立方根是3，求42+x 的平方根与算术平方根 变式训练： 1、已知a x =m 的立方根，而2a y =n 的算术平方根，求3 22a b + 的平方根。
2 1.887= 5.966=。 （1 （2188.7=59.66=，求x ，y 的值。 知识点五：算术平方根的非负性质的应用 例：x 为何值时，下列各式有意义 （1）x x 22 + （2）532-+x x 变式训练： 1、已知实数a 、b 满足02 4 )2(22=+-+-a a b a ，求2ab 的值 2、已知x 、y 4y +=-，求x y +的平方根 【课堂练习】 1．一个自然数的算术平方根为a ，则下一个自然数的平方根为 。 22，则a = 。 311=-a 的取值范围为 。 4．2 x -= ，若 ,4)4(33 -=-x x 则x = . 5．若,9,42 2 ==b a 且a b <,则a b -的值是（ ） A 、-2 B 、4 C 、-1或-5 D 、±2或±4 7．若a 是2 )3(-的平方根，则3a =( ) A 、-3 B 、33 C 、±33 D 、±3 8.若,01442=-++ ++y x y y 则xy 的值等于（ ） A 、-6 B 、-2 C 、2 D 、6 9.求下列各式中x 的取值范围。
龙文教育1对1个性化教案 教导处签字： 日期： 年 月 日 学生 学 校 年 级 教师 授课日期 授课时段 课题 实数（二) 重点 难点 实数的概念及分类、平方根、立方根的概念及性质 教 学 步 骤 及 教 学 内 容 一、热身导入： 检查上节课作业完成情况，并讲评。 二、检查漏洞： 通过常见例题的完成，了解孩子对本节重难点，易错点内容的掌握情况。 三、主要知识点讲解： 1、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 （1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π +8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； 2、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。 表示方法：记作“a ”，读作根号a 。 性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零,算数平方根具有双重非负性。 3、立方根 一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。表示方法：记作3a 性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 四、课堂练习及延伸： 根据本节课的全部内容及例题的分析，让孩子完成相关练习，再次基础上作延伸。 五、教学反馈： 根据孩子的课堂表现及完成练习的情况，了解孩子对本节内容的掌握及理解程度。 六、课堂小结： 让孩子归纳并总结出本节课的主要内容，自己的优缺点，老师在补充。
课后评价一、学生对于本次课的评价 o特别满意o满意o一般o差 二、教师评定 1、学生上次作业评价 o好o较好o一般o差2、学生本次上课情况评价 o好o较好o一般o 差 作业 布置 教师 留言 教师签字： 家长 意见 家长签字： 日期：年月日
2 2 2 5 5 2 31 实数综合应用（讲义） ? 课前预习 1. 在数轴上把下列各数表示出来： 2， - ， 1 ， 3 ，-3， 1.5， -21 ． 2 请根据以上结果写出- ， 分别介于哪两个连续整数之间： ＜ - ＜ ； ＜ ＜ ． ? 知识点睛 1. 估值 2. 无理数的整数部分与小数部分 若 a 是一个无理数，m 为整数，且 a 在 m 和m +1这两个连续整数之间，即m < a < m +1，则 a 的整数部分为 m ，小数部分为 a -m ． 例：求 解：∵2＜ ∴1＜ ∴ -1的整数部分与小数部分． ＜3， -1＜2， -1的整数部分为 1， 小数部分为( -1) -1 = - 2 ． 3. 实数比较大小的方法：估值法、作差法、乘方法． ? 精讲精练 1. 若 10 在两个连续整数 a 和 b 之间，即 a ＜ a +b = ． ＜b ，则 2. 满足- ＜x ＜ 的整数 x 是 ． 3. - 2 的值（ ） A ．在 1 和 2 之间 B ．在 2 和 3 之间 C ．在 3 和 4 之间 D ．在 4 和 5 之间 5 5 5 5 5 5 5 10 5 背记： 2 ≈ 1.414 3 ≈ 1.732 5 ≈ 2.236
27 12 5 10 3 13 13 2 3 5 3 4. - 的值在（ ） 2.1 和 2 之间 B ．2 和 3 之间 C ．3 和 4 之间 D ．0 和 1 之间 5. + 2 ? 的值在（ ） A ．5 和 6 之间 B ．6 和 7 之间 C ．7 和 8 之间 D ．8 和 9 之间 6. 若2 + 的整数部分是 a ，小数部分是 b ，则 a = ，b = ． 7. 若4 + 和4 - 的小数部分分别是 a 和 b ，则 a +b = ． 8. 用适当的方法比较大小． （1） + 3 与 - 3 ； （2）7- 与 + 3 ； （3） 5 -1 与 1 ； （4） 2 - 与 3 -1 ； 2 2 2 （5） -7 - 2 89 与-8 ； （6） 3 与2 ； （7） 与 2.5； （8） 与 3 25 ； （9） -5 与-4 ； （10） -4 与-5 ； 7 87 10 2 3 9 8 2 3 5
实数综合应用（讲义） 知识点睛 1. ________________________________叫做无理数．无理数的和、差、积、商________是无理数．2. ________________________________统称为实数．实数和数轴上的点是一一对应的．3. 数a 的相反数是________．一个正实数的绝对值是_______；一个负实数的绝对值是__________；0的绝对值是_______．4.无理数的整数部分与小数部分例：求51-的整数部分与小数部分． 解：∵2<5<3， ∴1<51-<2，∴51-的整数部分为1，小数部分为(51)152--=-． 5.比较大小的方法：估值法，作差法，乘方法． 精讲精练 1.已知：12，2π，2，?7.3，4，227-，3.14159，-1，49，34，0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐次加1）．其中，是有理数的有___________________________________，是无理数的有_______________________________________． 2.下列说法正确的是（ ） A ．无限小数都是无理数 B ．实数都能用数轴上的点表示 C ．带根号的数都是无理数 D ．无理数的和都是无理数 3.下列说法： ①无理数的相反数是无理数；②一个数的绝对值一定是非负数；③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数．其中正确的是（ ）A ．②③B ．②③④C ．①②④D ．①②
4.计算： （1）(32)2+-；（2）2322-+；（3）2(22)+；（4）1 3(3)3+； （5）381273332++---； （6）33142(8)01000225 -?--++-． 5.312-的值（ ）A ．在1和2之间 B ．在2和3之间 C ．在3和4之间 D ．在4和5之间 6.若10在两个连续整数a 和b 之间，即a <10八年级上实数复习专题讲义
实数复习专题 知识回顾 一、实数 1、概念：有理数和无理数统称为实数。 2、实数的分类： （1）按定义分：有理数 实数 无理数 （2）按性质分：正数 实数0 负数 二、数轴 1、概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线，叫做数轴。（数轴“三要素”） 2、数轴上的点与实数的关系：所有的实数都可以用数轴上的点表示，0用原点表示，正数用原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示。 小结：数轴上，右边的数比左边的数大。 三、相反数 1、概念：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0。 字母表示： a > 0时，-a < 0，a > -a a = 0时，-a = 0，a = -a a < 0时，-a > 0，a < -a 2、几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点两侧，并且与原点的距离相等。 字母表示：如果a、b互为相反数，那么a+b=0。 四、绝对值 1、概念：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 2、绝对值的求法：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。用字母表示： a （a>0） |a| = 0 (a=0） -a （a<0） 小结：绝对值具有非负性；0的绝对值是0。 五、倒数 概念：乘积为1的两个实数互为倒数；字母表示：a·b = 1。0没有倒数。 六、实数的运算法则 1、（1）加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数。 （2）加法运算律：①交换律：a + b = b + a；②结合律：（a + b）+ c = a + (b + c)。 2、（1）减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。 （2）字母表示：a - b = a +(-b)。 3、（1）乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘仍得0。
(-6)3 9 初一数学讲义 实数 一．教学衔接 回顾实数相关知识点。 1、 的平方根是( ) A 、-6 B 、6 C 、±6 D 、± 2、下列命题：①（-3）2 的平方根是-3 ；②-8 的立方根是-2；③ 的算术平方根是 3；④平方根与立方 根相等的数只有 0； 其中正确的命题的个数有（ ） A 、1 个 B 、2 个 C 、3 个 D 、4 个 3、若3 + 5的小数部分是a ，3- 5的小数部分是b ,则a + b 的值为（ ） A 、0 B 、1 C 、-1 D 、2 4、已知 = a , = b ,则 = ( ) ab 3ab ab 3ab A 、 B 、 C 、 D 、 10 10 100 100 5、使等式(- -x )2 = x 成立的 x 的值（ ） A 、是正数 B 、是负数 C 、是 0 D 、不能确定 6、如果 a 0, 那么 -a 3 等于（ ） A 、 a B 、 -a C 、 a D 、 -a 二．教学新课 经典例题 类型一．有关概念的识别 1．下面几个数：0. 23 ，1.010010001…， ，3π， ， ，其中，无理数的个 数有（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 举一反三： 【变式 1】下列说法中正确的是（ ） A 、 的平方根是±3 B 、1 的立方根是±1 C 、 =±1 D 、 是 5 的平方根的相反数 6 5 14 0.063 a a -a -a
【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A 表示的数是（） A、1 B、1.4 C、 D、 【变式3】 类型二．计算类型题 2.设，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 举一反三： 【变式1】1）1.25 的算术平方根是；平方根是.2）-27 立方根是. 3），，. 【变式2】求下列各式中的 （1）（2）（3） 类型三．数形结合 3.点A 在数轴上表示的数为，点B 在数轴上表示的数为，则A，B 两点的距离为 举一反三： 【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B 关于点A 的对称点为C，则点C 表示的数是（）． A．－1 B．1－C．2－D．－2
1 第一讲实数 一、中考要求及命题趋势 3、（2006 年河南省）：3 的倒数是（） 1. 正确理解实数的有关概念； 2. 借助数轴工具，理解相反数、绝对值、算术平方根等概念和性质； 1 A ．3 B．3 C．3 1 D．3 3. 掌握科学计数法表示一个数，熟悉按精确度处理近似值。 考点三、平方根、算术平方根和立方根的概念 4、掌握实数的四则运算、乘方、开方运算以及混合运算 5、会用多种方法进行实数的大小比较。例3、 1.(2009, 凉州)已知一个正数的平方根是3x 2和5x 6，则这个数是 二、考点解析 （）． 考点一、有理数、无理数和实数的概念 A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 例1、1.（2009，义乌）在实数0，1，2 ，0.1235 中，无理数的个数为（） 2. 实数8 的立方根是． A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 3. (2008, 济宁) 已知a 为实数，那么 2 a 等于（） 2.(2009,肇庆)实数2，0.3，1 7 ，2 ，π中，有理数的个数是（） a a 1 0 A B C D．．．． 4. （2009，恩施）-9 的算术平方根是. A．2 B．3 C．4 D．5 5. （2009，荆门）| －9| 的平方根是( ) 考点二、相反数、倒数、绝对值的概念(A)81 ．(B) ±3．(C)3 ．(D) －3． 例2、1、(2009, 威海) 3 27 的绝对值是（）B 考点四、用有理数估计无理数的大致范围 1 1 例4、1.（2009，黄石）实数 a 在数轴上对应的点如图所示，则a ，a ，1 3 3 A B C．．． 3 3 D． 2、（2009 江西省）：若m，n 互为相反数，则m + n = 的大小关系是（） A．a a 1 B．a a a a 1 0 （第 2 题图）