2.实数及其运算
一、基础知识和方法要点
实数及其运算的主要内容是实数的运算，以及有理数、无理数、数轴和绝对值的概念和性质。
思考题1 何为实数？数学分类应该满足怎样的准则？ 思考题2 叙述引入数轴的必要性 ；
思考题 3 什么是零点分段法？零点分段法体现的思想在其他方面有什么应用？
思考题4 非负数有哪些性质？举例说明；
思考题5 你是怎样理解实数与数轴的一一对应关系的？ 思考题6 数轴上有理数和无理数哪个更多？为什么？
思考题7怎样定义无理数的概念？ 数学上一般不用否定的形式给一个概念下定义，按照这样的约定，又该如何定义？ 思考题8 实数是稠密的，你怎样理解实数的稠密性？
二、典型问题分析
1. 实数的运算
1.计算.1009998143213211??++??+??
2.设A=???
? ??+++?4-14-14-14810043222 ，求与A 最接近的正整数. 3.计算：
4. 比较
与2的大小.
5. 已知,其中n为正整数.证明：
2.数轴与绝对值
1.已知<-3,化简：.
2.化简:|3x+1|+|2x-1| .
3.若2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值恒为常数,求x满足的条件及此常数的
值.
4.求代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值.
5. 将1,2,…,100这100个正整数任意分成50组,每组两个数,现将每组的两个数中任一个数记为a,另一个数记为b,代人代数式(|a-b|+a+b)中进行计算,求出其结果,50组都代入后可求得50个值,求这50个值的和的最大值.
6. 设n个有理数,,…，满足||<1(i=1,2,…,n),且
||+||+….+|19+|++…+.求n的最小值.
3.关于无理数、有理数的判断、证明及计算
1.证明循环小数
2.615454 54=2.61是有理数.
2.已知x是无理数,且(x+1)(x+3)是有理数，在上述假定下,下面四个结
论：
(1)是有理数; (2)(x-1)(x-3)是无理数;
(3)(x+1)2是有理数; (4)(x-1)2是无理数.
哪些是正确的?哪些是错误的?
3.设a、b及+都是整数,证明及都是整数.
4. 求满足等式 的有理数x 、y.
5. (练习)已知在等式
=S 中,a 、b 、c 、d 都是有理数,x 是无理数.问:
(1)当a 、b 、c 、d 满足什么条件时,S 是有理数;
(2)当a 、b 、C 、d 满足什么条件时,S 是无理数.
6.已知a 、b 是两个任意有理数,且a 7. (练习)若n 为正整数,求证: 必为无理数. 8. (练习)如果m 、n 是正整数,a 、d 是实数,问是否存在三个不同的素 数p 、q 、r,满足 =a, =a+ md, a+nd? 9.设n a 是2222...321n ++++的个位数字，n=1,2,3,...,求证;0.......321n a a a a 是有理数. 10. (练习)设a,b 是实数，对所有正整数n(≥2)，a n +b n 都是有理数，证明：a+b 是有理数. 给教师的建议 本节内容的重点是掌握实数有关基本概念、定义和基本运算能力的培养。重点掌握非负数的性质以及零点分段法等等，难点是有关实数判断的证明，需要掌握反证法，构造法等数学方法。 课后练习 1.计算：100211432113211211+++++++++++++ . 2. 2008加上它的 得到一个数，再加上这次得数的 又得到一个数， 再加上所得的数的又得到一个数，，依次类推，一直加到上一次得数的.最后得到的数是多少？ 3.计算 . 4. 计算：1+ 5. 若x<0,化简. 6.设a<0,且x,试化简. 7.如果m为有理数,求代数式 |m-1|+lm-3|+|m+5|+|m+6|的最小值. 8. 已知y=|2x+6|+|x-1|-4|x+1|,求y的最大值. 三、整式的运算测试题 1.计算： 2.计算： 1 3. 计算：- . 4.化简 5.已知|xl≤1,|y|≤1,且 k=|x+y|+|y+1|+|2y-x-4|,求k的最大值和最小值. 6.若a、b、c为整数,且|a-b+|c-a=1,试计算|c-a|+|a-b|+|b-c的 值. 7. 已知x+y ，x-y,xy,y x 均为有理数，如果它们中有三个数相等，求x,y 的值。 8.设A 是给定的正有理数. (1)若A 是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积，证明：一定存在3个正有理数使得,,,z y x .2222A z y y x =-=- (2)满足个正有理数若存在,,,3z y x .2222A z y y x =-=- 证明：存在一个三边长都是有理数的直角三角形，它的面积等于A. 1、 七年级数学讲义一：实 数 姓名 【知识梳理】 实数的分类 数轴上的点与实数一一对应 右边的点表示的数比左边的大 b a AB -= 实数的运算 分数指数幂 已知下列实数： ,1020.5,23,0,1.2,25,,722,14.3,32?-?π25， 1010010001.1（每两个1之间依 次多一个0）. （1）按要求填空： 无理数有______________________________, 有理数有______________________________， 整数有________________________________. 分数有______________________________, （2）请在数轴上用点A 、点B 分别表示5-,3的大致位置. （3）求出点A 、点B 之间的距离.（结果保留3个有效数字） （1）64的平方根是______； （2）64-的立方根是______； （3）64=______； （4）32的五次方根是______； （5）1的四次方根是______； （6）0的立方根是_______； （7）已知42=x ，则=x _______； （8）4的平方根是_____. 练习： 1．________的平方根有两个，________的平方根只有一个，并且________没有平方根． 2．0.25的算术平方根是________． 3．9的算术平方根是________，81的算术平方根是________． 4．36的平方根是________，若362=x ，则x ＝________． 5．22的平方根是________，3)4(--的平方根是________，3)4(--的算术平方根是________． 6． 81的平方根是________，算术平方根是________，算术平方根的相反数是_______， 7．当a ________时，1-a 有意义． 8、 求下列各式的值． （138-= （2）327= （3）30.125-= （4）33(0.001)--= （53512= （6）3 2764 --= （7）0.0196= （8）0.0225= （90.0169= 9．23a -与5a -是同一个数的平方根，求这个数 例题3 概念辨析： 下列等式是否正确？改错。 （1）3)3(2=-；（ ） （2）3)3(33=-；（ ） （3）2)2(2-=-；（ ） （4）52)52(2-=-.（ ） （5）74343432222=+=+=+；（ ） 例题4 实数大小的比较： （1）16225与 （2）37--与 （3）216-与 （4）2526-与- 例题5 实数的计算： 实数 考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 ；注意a 的双重非负性： -a （a <0） a ≥0 实数综合应用（讲义） 课前预习 1. 在数轴上把下列各数表示出来，并按从小到大的顺序进行排列： 2 ，13 -3，1.5，1 2 2- -3-2-10123 请根据以上结果写出 _____< ． 2. 去绝对值： ①看____，定____；②依法则，留_____；③去括号，合并．按照去绝对值的操作要领处理下列问题：已知有理数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，化简： 1a b a b b +---+-． 精讲精练 1. 2的值（ ） A ．在1和2之间 B ．在2和3之间 C ．在3和4之间 D ．在4和5之间 2. a 和b 之间，即a b ，则a +b = ． 3. ） A ．1和2之间 B ．2和3之间 C ．3和4之间 D ．0和1之间 4. a ，小数部分是b b -=________． 5. 若7a ，小数部分是b ，则a =_____， b =_____． 6. 若 9的小数部分分别是a 和b ，则a +b =____． 7. 设7，5的小数部分分别为a ，b ，则22 44b a b a -+-的值为______________． 8. 若a ，b 2a =+a b =________． 9. 用适当的方法比较大小． （1）37+与387- （2 ）7 3 （3）与0.5 （4）72-与8- （5 与 （6 （7）53与35 （8 （9 （10（113 （12 （13）671-与251- （14）132-与121 - 10. 521的大小关系是（ ） A 521 B ．52152 1 D 521 11. 现有四个无理数5，6，7，8，其中在实数2+1和3+1之间的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 12. a c b ++-． 13. 已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示， c a b 14. 当x ≤01x -- 15. 已知a ，b ，c 为△ABC 2c a b -- 16. 0 =，则x 的取值范围是__________． 1月17日复华七年级数学实数 12.1 实数的概念 一、引入 数的范围至此扩大到了有理数，复习有理数的定义和分类：定义：整数和分数统称为有理数。 分类： 有理数??? ? ?????????? ???负分数正分数 分数负整数零正整数整数 如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数就是用两个整数之比表示的分数： )0,(≠q q p q p 都是整数，且 质疑：数的扩充是不是到此为止了呢？有理数是不是够用了？还有没有不是有理数的数呢？ 问题2：正方形ABCD 的边长怎样表示？ 分析：设正方形ABCD 的边长为x ，那么x 2=2，即x 是这样一个数，它的平方等于2。这个数表示面积为2的正方形的边长，是现实世界中真实存在的线段长度。由于这个数和2有关，我们现在用2（读作“根号2”）来表示。 追问：面积为3的正方形，它的边长又如何表示？若面积为5呢？ 问题3：2是有理数吗？ 因为：有理数=分数 )0,(≠q q p q p 都是整数，且= 而2肯定不能表示为分数（详见P36），那就不能是有限小数，也不能是无限循环小数，所以2只能是“无限不循环小数”。 问题4：无限不循环小数还有吗？ Π是有理数码？ 二、 归纳 1．无理数 （1）无限不循环小数叫做无理数。 （2）无理数包括正无理数和负无理数。 （3）只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数。 2．实数 （1）有理数和无理数统称为实数。(2)实数可以这样分类： 正有理数 有理数 零 ——有限小数或无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 ——无限不循环小数 负无理数 三、 练习 1．将下列各数填入适当的括号内： 0、-3、2、6、3.14159、 7 22、32.0&&&、5、π、0.3737737773…. 有理数：﹛ ﹜；无理数：﹛ ﹜； 正实数：﹛ ﹜；负实数：﹛ ﹜； 非负数：﹛ ﹜；整 数：﹛ ﹜. 提问：常见的无理数的形式有哪几种？(三种形式) 2．请构造几个大小在3和4之间的无理数。 3．是非题 (1) 无限小数都是无理数； 无理数都是无限小数； (2)正实数包括正有理数和正无理数； (3)实数可以分为正实数和负实数两类； (4)带根号的数都是无理数； (5)不含根号的数不一定是有理数； (6)实数不是有理数就是无理数； (7)无限小数不能化为分数； 4．用“是”、“不是”、“统称”、“包括”、“叫做”填空，并体会这些词的含义： (1)2 分数。(2) 0 有理数。(3) 无限不循环小数 无理数。 (4) 实数 有理数和无理数。(5) 正整数、0和负整数 整数。 (6) 有理数 有限小数和无限循环小数。 一 知识回顾： 1、一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根，也就是说，如果x 2=a ，那么， （ ） 叫做（ ） 的平方根. 2、正数有 个平方根，它们 。用a 表示其中正的平方根，读作“根号a ”另一个 负的平方根记为a - ，其中a 叫做 。 3、0有（ ）个平方根，是（ ）。负数没有平方根求一个数的平方根的运算叫做（ ）。 { { { 第一章中考数学总复习知识点总结：实数考点一、实数的概念及分类（3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数零有限小数和无限循环小数 实数负有理数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如 32 , 7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 32 , 7+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60°等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值（3分） 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10分） 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“32,7”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“32,7”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 32,7（32,732,70） 32,7 32,7 ；注意32,7的双重非负性： -32,7（32,7<0） 32,732,70 3、立方根 如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：32,7，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 （3—6分） 1、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。 2、科学记数法 把一个数写做32,7的形式，其中32,7，n 是整数，这种记数法叫做科学记数法。 考点五、实数大小的比较 （3分） 1、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 实数的概念 课时目标 1. 理解无理数以及实数的概念，并会按要求对实数进行分类； 2. 理解平方根与算术平方根的概念和性质，会表示任意非负数的平方根； 3. 理解开平方运算的概念，以及开平方运算与平方运算的关系. 知识精要 1. 无理数的定义 无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数和负无理数. 2. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 3. 实数的分类 ???????????????? ?????????正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数 负无理数 4. 平方根的定义 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（或二次方根），即 2x a =，那么x 就叫做a 的平方根. 5. 平方根的性质与表示 （1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根. （2）正数a 的两个平方根可以用 “ a 的正平方根，叫做 a 的正平方根，也叫做a 的算术平方根；a 的负平方根. 6. 开平方的定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方. 7. 平方与开平方的关系：平方与开平方互为逆运算关系. 8. 常见的无理数有三种类型： 第一类：π型：如π，π+2，…； ； 第三类：小数型：如0．1010010001…． 9. 立方根的定义 如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根，记做3a ，读作“三次根号a ”，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数. 10. 开立方的定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 11. 立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根. （1）正数的立方根是一个正数； （2）负数的立方根是一个负数； （3）0的立方根是0． 12. 开立方与立方的关系：开立方与立方互为逆运算关系. 13. n 次方根的定义 如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根，当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根.其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数. 14. 开n 次方的定义：求一个数a 的n 次方根的运算，叫做开n 次方. 15. 开n 次方与n 次方的关系：开n 次方与n 次方互为逆运算关系. 16. n 次方根的性质 （1）实数a 的奇次方根有且只有一个，用“n a ”表示； （2）正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n 次方根用“n a ”表示； 负n 次方根用“－n a ”表示（a >0，n 是正偶数）； （3）负数的偶次方根不存在； （4）0的n 次方根等于0，表示为“00 n ”. 热身练习 )(无限不循环小数负有理数 正有理数无理数?????????????????--???---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数整数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、、ΛΛΛΛ?????????????实数第二章 实数 一、 平方根、立方根 1..算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根，记作a 。0的算术平方根为0；从定义可知，只有当a ≥0时,a 才有算术平方根。 2.平方根：一般地，如果一个数x 的平方根等于a ，即x 2=a ，那么数x 就叫做a 的平方根。 正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。 3.正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。 4. (1)())0,0(0,0>≥=≥≥=?b a b a b a b a ab b a （2）若b 3=a ，则b 叫做a 的立方根。 （3 (0)(0).a a a a a ≥?==?- 减。运算中有括号的，先算括号内的，同一级运算从左到右依次进行。 3、实数的大小比较 常用方法：数轴表示法、作差法、平方法、估值法。 （1）在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数大，左边的点表示的数小。（2）正数大于零，负数小于零；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的较小。（3）设a，b是任意两实数， 若a-b>0,则a>b; 若a-b=0,则a=b; 若a-b<0,则a 第一课时 实数知识梳理 1.立方根等于本身的数是; 2.如果,113a a -=-则=a . 3.64-的立方根是, 3)4(-的立方根是. 4.已知163+x 的立方根是4，求42+x 的算术平方根. 5.已知43=+x ，求33)10(-x 的值. 6.比较大小： （1）32.13 1.2， （2）3 32-34 3-， （3）337。 课前检测 1.实数的分类 ???????????????? ????????? 正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 注意：无理数有三个条件：（1）是小数；（2）是无限小数；（3）不循环. 无理数有三类：（1）开方开不尽的数； （2）特定意义的数如π等； （3）特定结构的数如0.1010010001 等. 2. 平方根，立方根，n 次方根 （1）.若一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。求这个数的平方根的运算叫做开平方， a 叫做被开方数。 要点：①正数a 的平方根有两个，它们互为相反数，可以用a ±来表示。其中a 表示a 的正平方根 （又叫算术平方根），读作“根号a ”， a -表示a 的负正平方根，读作“负根号a ”；负数没有平方根；零的平方根是零。 ②开平方与平方互为逆运算： 一个数的平方根的平方等于这个数：即220()()a a a a a >=-=当时，，； 2222 ;?0;0? a a a a a a a a a a ??=??>? ?-=-??? ???=-? 第一章 实数 考点一、实数的概念及分类 （3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现） 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于 一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 ；注意a 的双重非负性： -a （a <0） a ≥0 3、立方根 如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 1、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。 2、科学记数法 实数培优讲义 考点·方法·破译 1．平方根与立方根： 若2x＝a(a≥0)则x叫做a的平方根，记为：a的平方根为x＝±a，其中a的平方根为x＝a叫做a的算术平方根． 若x3＝a，则x叫做a的立方根．记为：a的立方根为x＝3a． 2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对 应．任何有理数都可以表示为分数p q （p、q是两个互质的整数，且q≠0）的形式． 3非负数： 实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a>0，2n a≥0（n为正整数），a≥0(a≥0) ． 经典·考题·赏析 【例1】若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，求m的值． 【变式题组】 01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____． 02．已知m是小于152 的最大整数，则m的平方根是____． 03．9的立方根是____． 04．如图，有一个数值转化器，当输入的x为64时，输出的y是____． 输入x 取算术平方根输出y 是无理数 是有理数 【例2】已知非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，则a ＋b 等于 ( ) A ．－1 B ． 0 C ．1 D ．2 【变式题组】 0l 3b +＝0成立，则a b ＝____． 02()2 30b -=，则 a b 的平方根是____． 03．若x 、y 为实数，且20x ++=，则2009 x y ?? ? ?? 的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 04．已知x 1 x π -的值是( ) A ．1 1π - B ．1 1π + C ． 1 1π - D ．无法确定 【例3】若a 、b 都为有理效，且满足1a b -+=+a ＋b 的平方根． 【变式题组】 01．已知m 、n ＋2）m ＋(3－n ＋7＝0求m 、n ． 02．设x 、y 都是有理数，且满足方程（123 π +）x ＋（132π+）y ?4?π＝0，则x ?y ＝____． 【例4】若a ?2的整数部分，b ?1是9的平方根，且a b b a -=-，求a ＋b 的值． 【变式题组】 01．若3a ，b ，则a ＋b 的值为____． 02a ，小数部分为b a ）·b ＝____． 第六章实数 知识讲解+题型归纳 知识讲解 一、实数的组成 1、实数又可分为正实数，零，负实数 2.数轴：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。数轴上的点与实数一一对应 二、相反数、绝对值、倒数 1. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。数a的相反数是-a。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零. 性质：互为相反数的两个数之和为0。 2.绝对值：表示点到原点的距离，数a的绝对值为 3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。非0实数a的倒数为1 a . 0没有倒数。 4.相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是非负数（0和正数）；倒数是它本身的数是±1. 三、平方根与立方根 1.平方根：如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根。数a的平方根记作（a>=0） 特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。负数没有平方根。正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，零的算术平方根还是零。开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。 2.立方根：如果一个数的立方等于a，则称这个数为a立方根。数a的立方根用3a表示。 任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。 开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。四、实数的运算 有理数的加法法则： a）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； b)异号两数相加。绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 任何数与零相加等于原数。 2.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。 3.乘法法则： a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零． b）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正 c）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0 4.有理数除法法则： a | |a 2.实数及其运算 一、基础知识和方法要点 实数及其运算的主要内容是实数的运算，以及有理数、无理数、数轴和绝对值的概念和性质。 思考题1 何为实数？数学分类应该满足怎样的准则？ 思考题2 叙述引入数轴的必要性 ； 思考题 3 什么是零点分段法？零点分段法体现的思想在其他方面有什么应用？ 思考题4 非负数有哪些性质？举例说明； 思考题5 你是怎样理解实数与数轴的一一对应关系的？ 思考题6 数轴上有理数和无理数哪个更多？为什么？ 思考题7怎样定义无理数的概念？ 数学上一般不用否定的形式给一个概念下定义，按照这样的约定，又该如何定义？ 思考题8 实数是稠密的，你怎样理解实数的稠密性？ 二、典型问题分析 1. 实数的运算 1.计算.1009998143213211??++??+?? 2.设A=??? ? ??+++?4-14-14-14810043222 ，求与A 最接近的正整数. 3.计算： 4. 比较 与2的大小. 5. 已知,其中n为正整数.证明： 2.数轴与绝对值 1.已知<-3,化简：. 2.化简:|3x+1|+|2x-1| . 3.若2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值恒为常数,求x满足的条件及此常数的 值. 4.求代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值. 5. 将1,2,…,100这100个正整数任意分成50组,每组两个数,现将每组的两个数中任一个数记为a,另一个数记为b,代人代数式(|a-b|+a+b)中进行计算,求出其结果,50组都代入后可求得50个值,求这50个值的和的最大值. 6. 设n个有理数,,…，满足||<1(i=1,2,…,n),且 ||+||+….+|19+|++…+.求n的最小值. 3.关于无理数、有理数的判断、证明及计算 1.证明循环小数 2.615454 54=2.61是有理数. 2.已知x是无理数,且(x+1)(x+3)是有理数，在上述假定下,下面四个结 论： (1)是有理数; (2)(x-1)(x-3)是无理数; (3)(x+1)2是有理数; (4)(x-1)2是无理数. 哪些是正确的?哪些是错误的? 3.设a、b及+都是整数,证明及都是整数. 最新初中数学实数知识点总复习 一、选择题 1．若30,a -=则+a b 的值是（ ） A ．2 B 、1 C 、0 D 、1- 【答案】B 【解析】 试题分析：由题意得，3﹣a=0，2+b=0，解得，a=3，b=﹣2，a+b=1，故选B ． 考点：1．非负数的性质：算术平方根；2．非负数的性质：绝对值． 2．一个自然数的算术平方根是x ，则它后面一个自然数的算术平方根是( )． A ．x ＋1 B ．x 2＋1 C 1 D 【答案】D 【解析】 一个自然数的算术平方根是x ，则这个自然数是2,x 则它后面一个数的算术平方根是 . 故选D. 3的平方根是( ) A ．2 B C ．±2 D ．【答案】D 【解析】 【分析】 ，然后再根据平方根的定义求解即可． 【详解】 ，2的平方根是， ． 故选D ． 【点睛】 正确化简是解题的关键，本题比较容易出错． 4．1，0( ) A B ．﹣1 C ．0 D 【答案】B 【解析】 【分析】 将四个数按照从小到大顺序排列，找出最小的实数即可． 【详解】 四个数大小关系为：10-<< < 则最小的实数为1-， 故选B ． 【点睛】 此题考查了实数大小比较，将各数按照从小到大顺序排列是解本题的关键． 5．下列实数中的无理数是（ ） A B C D ．227 【答案】C 【解析】 【分析】 无限不循环小数是无理数，根据定义解答. 【详解】 =1.1是有理数； ，是有理数； 是无理数； D. 227 是分数，属于有理数， 故选：C. 【点睛】 此题考查无理数的定义，熟记定义是 解题的关键. 6．设,a b 是不相等的实数，定义W 的一种运算；()()()2 a b a b a b a b =+-+-W ，下面给出了关于这种运算的四个结论：①()6318-=-W ；②a b b a =W W ；③若0a b =W ，则 0b =或0a b +=；④()a b c a b a c +=+W W W ，其中正确的是 （ ） A ．②④ B ．②③ C ．①④ D ．①③ 【答案】D 【解析】 【分析】 先化简()()()2a b a b a b +-+-，然后各式利用题中的新定义化简得到结果，即可作出判断． 【详解】 )(无限不循环小数负有理数正有理数无理数? ???????? ? ???????--???---)()32,21() 32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数整数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、、 ??? ?????????? 实数第一章 勾股定理 姓名 座号 班级 一、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 二、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 三、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数组有：（3，4，5）；（5，12，13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（6，8，10）；（9，12，15）；（这些勾股数组的倍数仍是勾股数） 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； 二、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。 表示方法：记作“a ”，读作根号a 。 性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。 表示方法：正数a 的平方根记做“a ± ” ，读作“正、负根号a ”。 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。 0≥a 注意a 的双重非负性： a ≥0 3、立方根 一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。 表示方法：记作3a 性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 三、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数：a+b=0，a=—b ， 2、绝对值：若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数：如果a 与b 互为倒数，则有ab=1 4、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 四、实数大小的比较 1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。 2、实数大小比较的常用方法 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 整式专题训练 一． 选择题 1．有下列说法：（1）单项式x 的系数、次数都是0；（2）多项式﹣3x 2+x ﹣1的系数是﹣3，它是三次二项式；（3）单项式﹣34x 2y 与πr 6都是七次单项式；（4）单项式﹣ 和﹣ πa 2b 的系数分别是﹣4和﹣；（5）是二次单项式；（6）2a +与3π+都是整式， 其中正确的说法有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．3个 D ．4个 2.已知 ,那么在代数式 中，对任意的a 、b ， 对应的代数式的值最大的是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．当（m +n ）2+2018取最小值时，m 2﹣n 2+2|m |﹣2|n |=（ ） A ．0 B ．﹣1 C ．0或﹣1 D ．以上答案都不对 4．有一列数 ,从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数 的差.若 ,则a 2017为（ ） A ．2017 B ．2 C ． D ．－1 5.某同学爬一楼梯,从楼下爬到楼顶后立刻返回楼下.已知该楼梯长S 米,同学上楼速度是a 米/分,下楼速度是b 米/分,则他的平均速度是（ ）米/分。 A. 2 b a + B. b a s + C. b s a s + D. b s a s s +2 6．设记号*表示求a 、b 算术平均数的运算，即 ,则下列等式中对于任意实数a 、 b 、 c 都成立的是（ ） ① ② ③ ④ A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②④ 7．如图，两个正方形的面积分别为16，9，两阴影部分的面积分别为a ，b （a ＞b ），则（a ﹣b ）等于（ ） A ．7 B ．3.5 C ．1 D ．无法确定 8．如果对于某一特定范围内x 的任何允许值P ＝x 21 ＋x 3-1＋……＋x 9-1＋x 10-1的值恒为一常数，则此值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9．如果a 个同学在b 小时内共搬运c 块砖,那么c 个同学以同样速度搬a 块砖，所需的小时 数（ ） A ． b a c 2 2 B ． ab c 2 C ． 2 c ab D ． 2 2 c b a 10．已知y ＝ax 7 ＋bx 5 ＋cx 3 ＋dx ＋e ,其中a 、b 、c 、d 、e 为常数，当x ＝2,y ＝23,x ＝－2,y ＝ －35,则e 为（ ） A ．－6 B ． 6 C ．－12 D ．12 二．填空题 1、某种型号的计算机的价格不断降价，每台原价降低m 元后又降低20%，现售价n 元，那么此种计算机每台的原价为 元（用含m 和n 式子表示） 2、学校决定修建一块长方形草坪，长为a 米，宽为b 米，并在草坪上修建如图所示的十字路，已知十字路宽x 米，则草坪的面积是 平方米． 3、某种商品按原价的8折出售仍可获利20%，若按原价出售，可获利 %． 4、已知有理数a ，b 满足ab ＜0，a+b ＞0，7a+2b+1=-|b-a|，则（2a+b+13 ）·（a-b ）的值为 5、已知x=2，y=-4时，代数式ax 3+12 by+5=2017，则当x=-4，y=-1 2 时，代数式3ax-24by 3+5036的值 。 6、把四张形状大小完全相同的小长方形（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为acm ，宽为bcm ）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②两块阴影部分的周长和是__________ 图① 实数知识点总结 一、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义 (1）如果一个正数x的平方等于a，即,那么这个正数ｘ叫做a的算术平方根。 （２)如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(或二次方跟)。如果,那么x叫做a的平方根。 (3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做ａ的立方根(或a 的三次方根)。如果,那么x叫做a 的立方根。 2、运算名称 (1）求一个正数a的平方根的运算,叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。 （2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。 3、运算符号 （1）正数a的算术平方根,记作“a”。 （2)ａ(a≥0)的平方根的符号表达为。 (３）一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。 4、运算公式 4、开方规律小结 ，ａ的算术平方根a；正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的那(1)若a≥０，则a的平方根是a 个叫它的算术平方根;０的平方根和算术平方根都是０;负数没有平方根。实数都有立方根,一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数,0的立方根是0。（2)若ａ<0，则ａ没有平方根和算术平方根;若a为任意实数,则a的立方根是。 （3）正数的两个平方根互为相反数,两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。 二、小数点移动规律 平方根（如果被开方数的小数点,向右或向左每移动两位，它的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位)立方根（开立方的小数点移动规律:被开方数的小数点向右或向左每移动三位，则立方根的小数点就向右或向左移动一位） 三、实数的概念及分类 1、实数的分类 平方根的有关概念 例1:写出下列各数的算术平方根。 81 」 2 （1）0.0009 ；（2）方；（3） -5 49 ?平方根 1. 定义：如果一个数的平方等于 a ，这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）。即如果x 负平方根用“-2 a ”表示，根指数是2时，通常省略不写。 一 J. a 记作士 Pa ，读作“正、负根号 a ”。 实数 那么x 就叫做a 的平方根。如： _22 =4，所以4的平方根是_2 ； 9 25 所以 9 3 — 的平方根是 二—；02 = 0 ,所以 25 5 0的平方根是0。 2.表示方法 一个数a 的正的平方根，用符号“ 2 a ” 表示，a 叫做被开方数, 2叫做根指数, 如Va 记作需，读作“根号a ”, 温馨提示 ① 任何数的平方都不能为负数，所以负数没有平方根。 ② “ 5是25的平方根”这种说法是正确的，反过来说“ 25的平方根是5”就错了，因为“正 数有两个平方根”，所以必须说“ 25的平方根是土 5”。 ③求一个数的平方根就是把平方后等于这个数的所有数都求出来, 个数的平方根，只要把这个数平方，看其是否等于另一个数即可。 3?平方根的性质 (1 )一个正数a 有两个平方根，它们互为相反数，记作 a 。 (2) 零的平方根是零。 (3) 负数没有平方根。 厂温馨提示 条件。 例2:判断下列说法是否正确，并说明理由。 (1) 一 6的平方根是36；( 2)1的平方根是1；( 3)-9的平方根是—3 ；( 4) 361 二-19 ； (5) 9是一 9 2的算术平方根。 而判断一个数是不是另 ①a _ 0时， 、a 表示a 的算术平方根， -,a 表示a 的平方根。 ②因为负数没有平方根，所以被开方数 a _ 0。女口 x - 3中隐含着x-3_0，即x_ 3这一■ ③ G/a f=a (a H 0 ), J a 2=* a, a -a, a : 0. -0, 中考数学第六章 实数(讲义及答案)及答案 一、选择题 1．若24a =，29b =，且0ab <，则-a b 的值为( ) A ．5± B ．2- C ．5 D ．5- 2．16的算术平方根是（ ） A ．2 B ．2± C ．4 D ．4± 3．观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，……，根据这个规律，则21+22+23+24+…+22019的末位数字是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 4．下列各组数中，互为相反数的是（ ） A ．2-与12 - B ．|2|-与2 C ．2(2)-与38- D ．38-与38- 5．如图，四个有理数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若n+p=0，则m ，n ，p ，q 四个有理数中，绝对值最大的一个是（ ） A ．p B ．q C ．m D ．n 6．已知|x |＝2，y 2＝9，且xy ＜0，则x +y 的值为（ ） A ．1或﹣1 B ．-5或5 C ．11或7 D ．-11或﹣7 7．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③﹣2 π 不仅是有理数，而且是分数；④ 23 7 是无限不循环小数，所以不是有理数；⑤无限小数不一定都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；⑦非负数就是正数；⑧正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；其中错误的说法的个数为（ ） A ．7个 B ．6个 C ．5个 D ．4个 8．估计27的值在（ ） A ．2和3之间 B ．3和4之间 C ．4和5之间 D ．5和6之间 9．如图，数轴上,A B 两点表示的数分别为1,2--，点B 关于点A 的对称点为点C ，则 点C 所表示的数是（ ） A ．12 B 21 C ．22 D 22 10．已知m 是整数，当|m 40取最小值时，m 的值为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 二、填空题 11．如图所示，把半径为2个单位长度的圆形纸片放在数轴上，圆形纸片上的A 点对应原点，将圆形纸片沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周，点A 到达点A′的位置，则点A′表示的最新七年级数学讲义一：实数
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