初三数学圆的综合的专项培优易错难题练习题附详细答案
一、圆的综合
1．如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°．
（1）OC的长为；
（2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ=；
（3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O﹣B﹣A交于点E．设点P运动的时间为t （秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标．
【答案】（1）4；（2）3
5
；（3）点E的坐标为（1，2）、（
5
3
，
10
3
）、（4，2）．
【解析】
分析：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH，只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可．
（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2），则有OH=2，BH=4，MN⊥OC．设圆的半径为r，则
MN=MB=MD=r．在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D与点H重合．易证△AFG∽△ADB，从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．设OR=x，利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x，进而可求出BR．在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题．（3）由于△BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠BDE=90°，
②∠BED=90°，③∠DBE=90°）讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题．
详解：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），则有∠BHA=90°=∠COA，∴OC∥BH．∵BC∥OA，∴四边形OCBH是矩形，∴OC=BH，BC=OH．
∵OA=6，BC=2，∴AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4．
∵∠BHA=90°，∠BAO=45°，
∴tan∠BAH=BH
HA
=1，∴BH=HA=4，∴OC=BH=4．
故答案为4．
（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2）．
由（1）得：OH =2，BH =4． ∵OC 与⊙M 相切于N ，∴MN ⊥OC ． 设圆的半径为r ，则MN =MB =MD =r ． ∵BC ⊥OC ，OA ⊥OC ，∴BC ∥MN ∥OA ． ∵BM =DM ，∴CN =ON ，∴MN =1
2
（BC +OD ），∴OD =2r ﹣2，∴DH =OD OH -=24r -．
在Rt △BHD 中，∵∠BHD =90°，∴BD 2=BH 2+DH 2，∴（2r ）2=42+（2r ﹣4）2． 解得：r =2，∴DH =0，即点D 与点H 重合，∴BD ⊥0A ，BD =AD ． ∵BD 是⊙M 的直径，∴∠BGD =90°，即DG ⊥AB ，∴BG =AG ． ∵GF ⊥OA ，BD ⊥OA ，∴GF ∥BD ，∴△AFG ∽△ADB ， ∴
AF AD =GF BD =AG AB =12，∴AF =12AD =2，GF =1
2
BD =2，∴OF =4，
∴OG
同理可得：OB AB ，∴BG =1
2
AB ．
设OR =x ，则RG x ．
∵BR ⊥OG ，∴∠BRO =∠BRG =90°，∴BR 2=OB 2﹣OR 2=BG 2﹣RG 2， ∴（
2﹣x 2=（）2﹣（x ）2．
解得：x =
5，∴BR 2=OB 2﹣OR 2=（2﹣（5）2=365，∴BR =5
．
在Rt △ORB 中，sin ∠BOR =BR OB
3
5
．
故答案为
35
． （3）①当∠BDE =90°时，点D 在直线PE 上，如图2．
此时DP =OC =4，BD +OP =BD +CD =BC =2，BD =t ，OP =t ． 则有2t =2． 解得：t =1．则OP =CD =DB =1． ∵DE ∥OC ，∴△BDE ∽△BCO ，∴DE OC =BD BC =1
2
，∴DE =2，∴EP =2， ∴点E 的坐标为（1，2）． ②当∠BED =90°时，如图3．
∵∠DBE =OBC ，∠DEB =∠BCO =90°，∴△DBE ∽△OBC ，
∴BE
BC =2DB BE OB ∴，∴BE =
5
t ． ∵PE ∥OC ，∴∠OEP =∠BOC ．
∵∠OPE =∠BCO =90°，∴△OPE ∽△BCO ，
∴OE
OB =
25
OP
BC
∴
，=
2
t
，∴OE=5t．
∵OE+BE=OB=255
，∴t+5
t=25．
解得：t=5
3
，∴OP=
5
3
，OE=
55
，∴PE=22
OE OP
-=
10
3
，
∴点E的坐标为（510
33
，）．
③当∠DBE=90°时，如图4．
此时PE=PA=6﹣t，OD=OC+BC﹣t=6﹣t．
则有OD=PE，EA=22
PE PA
+=2（6﹣t）=62﹣2?t，∴BE=BA﹣EA=42﹣（62﹣2t）=2t﹣22．
∵PE∥OD，OD=PE，∠DOP=90°，∴四边形ODEP是矩形，∴DE=OP=t，DE∥OP，∴∠BED=∠BAO=45°．
在Rt△DBE中，cos∠BED=BE
DE
=
2
，∴DE=2BE，
∴t=22
（t﹣22）=2t﹣4．
解得：t=4，∴OP=4，PE=6﹣4=2，∴点E的坐标为（4，2）．
综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标为（1，2）、
（510
33
，）、（4，2）．
点睛：本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义、平行线分线段成比例、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数
学思想，有一定的综合性．
2．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）首先连接OC，由OC=OA，，易证得OC∥AE，又由DE切⊙O于点C，易证得AE⊥DE；
（2）由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC为直角三角形，根据
AE=3求得AC的长，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，知AF=OA=AB，在△ACB 中，利用已知条件求得答案．
试题解析：（1）证明：连接OC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∵
∴∠BAC=∠EAC，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC∥AE，
∵DE切⊙O于点C，
∴OC⊥DE，
∴AE⊥DE；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠CBA=60°，
∴∠BAC=∠EAC=30°，
∵△AEC为直角三角形，AE=3，
∴AC=2，
连接OF，
∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，
∴△OAF为等边三角形，
∴AF=OA=AB，
在Rt△ACB中，AC=2，tan∠CBA=，
∴BC=2，
∴AB=4，
∴AF=2．
考点：切线的性质．
3．如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为?AB，P是半径OB上一动点，Q是?AB上的一动点，连接PQ.
发现：∠POQ＝________时，PQ有最大值，最大值为________；
思考：（1）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求?BQ的长；
（2）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积；
探究：如图4，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离．
【答案】发现： 90°，2；思考：（1）
10
3
π
=；（2）2+100；（3）点O
到折痕PQ30
【解析】
分析：发现：先判断出当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，即可得出结论；
思考：（1）先判断出∠POQ=60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；
（2）先在Rt△B'OP中，OP22?10)2=（10-OP）2，解得2?10，最后用面积的和差即可得出结论．
探究：先找点O关于PQ的对称点O′，连接O O′、O′B、O′C、O′P，证明四边形OCO′B是矩
形，由勾股定理求O′B ，从而求出OO′的长，则OM=
1
2
OO′=30． 详解：发现：∵P 是半径OB 上一动点，Q 是?AB 上的一动点， ∴当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合， 此时，∠POQ=90°，PQ=22OA OB +=102； 思考：（1）如图，连接OQ ，
∵点P 是OB 的中点，
∴OP=
12OB=1
2OQ ． ∵QP ⊥OB ， ∴∠OPQ=90°
在Rt △OPQ 中，cos ∠QOP=1
2
OP OQ =， ∴∠QOP=60°， ∴l BQ =
601010
1803
ππ?=； （2）由折叠的性质可得，BP ＝B ′P ，AB ′＝AB ＝102， 在Rt △B'OP 中，OP 2+(102?10)2=（10-OP ）2 解得OP=102?10，
S 阴影=S 扇形AOB -2S △AOP =290101
210(10210)3602
π?-???-
＝25π?1002+100；
探究：如图2，找点O 关于PQ 的对称点O′，连接OO′、O′B 、O′C 、O′P ，
则OM=O′M ，OO′⊥PQ ，O′P=OP=3，点O′是?B Q '所在圆的圆心，
∴O′C=OB=10，
∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA 相切于C 点， ∴O′C ⊥AO ，
∴O′C ∥OB ，
∴四边形OCO′B 是矩形，
在Rt △O′BP 中，O′B=226425-=， 在Rt △OBO′K ，OO′=2210(25)=230-， ∴OM=
12OO′=1
2
×230=30， 即O 到折痕PQ 的距离为30．
点睛：本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式l=
180
n R
π（n 为圆心角度数，R 为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分．
4．如图，已知Rt △ABC 中，C=90°，O 在AC 上，以OC 为半径作⊙O ，切AB 于D 点，且BC=BD ．
（1）求证：AB 为⊙O 的切线； （2）若BC=6，sinA=
3
5
，求⊙O 的半径； （3）在（2）的条件下，P 点在⊙O 上为一动点，求BP 的最大值与最小值.
【答案】（1）连OD ，证明略；（2）半径为3；（3）最大值5，5 【解析】
分析：（1）连接OD ，OB ，证明△ODB ≌△OCB 即可. （2）由sinA=
35且BC=6可知，AB=10且cosA=4
5
，然后求出OD 的长度即可. （3）由三角形的三边关系，可知当连接OB 交⊙O 于点E 、F ，当点P 分别于点E 、F 重合时，BP 分别取最小值和最大值. 详解：（1）如图：连接OD 、OB.
在△ODB和△OCB中：
OD=OC,OB=OB,BC=BD;
∴△ODB≌△OCB（SSS）.∴∠ODB=∠C=90°.
∴AB为⊙O的切线.（2）如图：
∵sinA=3
5，∴
CB3
AB5
,
∵BC=6，∴AB=10,∵BD=BC=6,
∴AD=AB-BD=4,
∵sinA=3
5，∴cosA=
4
5
，
∴OA=5，∴OD=3，
即⊙O的半径为：3.
（3）如图：连接OB，交⊙O为点E、F，
由三角形的三边关系可知：
当P点与E点重合时，PB取最小值.
由（2）可知：OD=3，DB=6,
∴OB=22
3635
+=.
∴PB=OB-OE=353
-.
当P点与F点重合时，PB去最大值，
PB=OP+OB=3+35.
点睛：本题属于综合类型题，主要考查了圆的综合知识.关键是对三角函数值、勾股定理、全等三角形判定与性质的理解.
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，BD＝BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E
(1) 求证：BE是⊙O的切线
(2) 若EC＝1，CD＝3，求cos∠DBA
【答案】（1）证明见解析；（2）∠DBA
3 5 =
【解析】
分析：（1）连接OB，OD，根据线段垂直平分线的判定，证得BF为线段AD的垂直平分线，再根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ADC=90°，证得四边形BEDF是矩形，即
∠EBF=90°，可得出结论.
（2）根据中点的性质求出OF的长，进而得到BF、DE、OB、OD的长，然后根据等角的三角函数求解即可.
详解：证明：(1) 连接BO并延长交AD于F，连接OD
∵BD＝BA，OA＝OD
∴BF为线段AD的垂直平分线
∵AC为⊙O的直径
∴∠ADC＝90°
∵BE⊥DC
∴四边形BEDF为矩形
∴∠EBF＝90°
∴BE是⊙O的切线
(2) ∵O、F分别为AC、AD的中点
∴OF＝1
2CD＝
3
2
∵BF＝DE＝1＋3＝4
∴OB＝OD＝35
4
22
-=
∴cos∠DBA＝cos∠DOF＝
3
3
2
55
2
OF
OD
==
点睛：此题主要考查了圆的切线的判定与性质，关键是添加合适的辅助线，利用垂径定理和圆周角定理进行解答，注意相等角的关系的转化.
6．阅读：圆是最完美的图形，它具有一些特殊的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……先构造“辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易。
解决问题：如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．
（1）使∠APB=30°的点P有_______个；
（2）若点P在y轴正半轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；
（3）设sin∠APB=m，若点P在y轴上移动时, 满足条件的点P有4个，求m的取值范围．
【答案】（1）无数；（2）（0，370，37
+3）0﹤m﹤
2
3
.【解析】
试题分析：（1）已知点A、点B是定点，要使∠APB=30°，只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P有无数个．
（2）结合（1）中的分析可知：当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标．
（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要∠APB最大，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得∠APB最大的点P，由此即可求出m的范围．
试题解析：解：（1）以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1、P2．
在优弧AP1B上任取一点P，如图1，则∠APB=1
2
∠ACB=1
2
×60°=30°，∴使∠APB=30°的点P
有无数个．
故答案为：无数．
（2）点P在y轴的正半轴上，过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1．
∵点A（1，0），点B（5，0），∴OA=1，OB=5，∴AB=4．
∵点C为圆心，CG⊥AB，∴AG=BG=1
2
AB=2，∴OG=OA+AG=3．
∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=AB=4，∴CG
=
∴点C的坐标为（3，
过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接CP2，如图1．∵点C的坐标为（3，
∴CD=3，OD．
∵P1、P2是⊙C与y轴的交点，∴∠AP1B=∠AP2B=30°．
∵CP
2=CA=4，CD=3，∴DP2．
∵点C为圆心，CD⊥P
1P2，∴P1D=P2D∴P1（0，），P2（0，
）．
（3）当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．
理由：可证：∠APB=∠AEH，当∠APB最大时，∠AEH最大．由sin∠AEH=
2
AE
得：当AE
最小即PE最小时，∠AEH最大．所以当圆与y轴相切时，∠APB最大．∵∠APB为锐角，∴sin∠APB随∠APB增大而增大，．
连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2．∵⊙E与y轴相切于点P，∴PE⊥OP．
∵EH⊥AB，OP⊥OH，∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°，∴四边形OPEH是矩形，∴OP=EH，
PE=OH=3，∴EA=3．sin∠APB=sin∠AEH=2
3
，∴m的取值范围是
2
3
m
<<．
点睛：本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的判定与性质，切线的性质、三角形外角性质等知识，综合性强．同时也考查了创造性思维，有一定的难度．构造辅助圆是解决本题关键．
7．已知：如图，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，∠APB是平分线分别交BC，AB于点D、E，交⊙O于点F，∠A=60°，并且线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+23 =0的两根（k为常数）．
（1）求证：PA?BD=PB?AE；
（2）求证：⊙O的直径长为常数k；
（3）求tan∠FPA的值．
【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）tan∠FPA=2﹣3 .
【解析】
试题分析：
（1）由PB切⊙O于点B，根据弦切角定理，可得∠PBD=∠A，又由PF平分∠APB，可证得△PBD∽△PAE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得PA?BD=PB?AE；
（2）易证得BE=BD，又由线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），即可得AE+BD=k，继而求得AB=k，即：⊙O的直径长为常数k；
（3）由∠A=60°，并且线段AE、BC的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），可求得AE与BD的长，继而求得tan∠FPB的值，则可得tan∠FPA的值．
试题解析：
（1）证明：如图，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠PBD=∠A，
∵PF平分∠APB，
∴∠APE=∠BPD，
∴△PBD∽△PAE，
∴PB：PA=BD：AE，
∴PA?BD=PB?AE；
（2）证明：如图，
∵∠BED=∠A+∠EPA，∠BDE=∠PBD+∠BPD．
又∵∠PBD=∠A，∠EPA=∠BPD，
∴∠BED=∠BDE．
∴BE=BD．
∵线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），
∴AE+BD=k，
∴AE+BD=AE+BE=AB=k，
即⊙O直径为常数k．
（3）∵PB切⊙O于B点，AB为直径．
∴∠PBA=90°．
∵∠A=60°．
∴PB=PA?sin60°=PA，
又∵PA?BD=PB?AE，
∴BD=AE，
∵线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数）．
∴AE?BD=2，
即AE2=2，
解得：AE=2，BD=，
∴AB=k=AE+BD=2+，BE=BD=，
在Rt△PBA中，PB=AB?tan60°=（2+）×=3+2．
在Rt△PBE中，tan∠BPF===2﹣，
∵∠FPA=∠BPF，
∴tan∠FPA=2﹣．
【点睛】此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
8．解决问题：
()1如图①，半径为4的O
e上，则PA的最大值和
e外有一点P，且7
PO=，点A在O
最小值分别是______和______．
()2如图②，扇形AOB的半径为4，45
∠=o，P为弧AB上一点，分别在OA边找
AOB
点E ，在OB 边上找一点F ，使得PEF V 周长的最小，请在图②中确定点E 、F 的位置并直接写出PEF V 周长的最小值； 拓展应用
()3如图③，正方形ABCD 的边长为4
2；E 是CD 上一点(不与D 、C 重合)，
CF BE ⊥于F ，P 在BE 上，且PF CF =，M 、N 分别是AB 、AC 上动点，求PMN V 周长的最小值．
【答案】（1）11，3；（2）图见解析，PEF V 周长最小值为423）41042． 【解析】 【分析】
()1根据圆外一点P 到这个圆上所有点的距离中，最远是和最近的点是过圆心和该点的直
线与圆的交点，容易求出最大值与最小值分别为11和3；
()2作点P 关于直线OA 的对称点1P ，作点P 关于直线OB 的对称点2P ，连接1P 、2P ，与
OA 、OB 分别交于点E 、F ，点E 、F 即为所求，此时PEF V 周长最小，然后根据等腰直角三角形求解即可；
()3类似()2题作对称点，PMN V 周长最小12PP =，然后由三角形相似和勾股定理求解．
【详解】
解：()1如图①，Q 圆外一点P 到这个圆上所有点的距离中，最大距离是和最小距离都在过圆心的直线OP 上，
此直线与圆有两个交点，圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离．
PA ∴的最大值227411PA PO OA ==+=+=，
PA 的最小值11743PA PO OA ==-=-=， 故答案为11和3；
()2如图②，以O 为圆心，OA 为半径，画弧AB 和弧BD ，作点P 关于直线OA 的对称点
1P ，作点P 关于直线OB 的对称点2P ，连接1P 、2P ，与OA 、OB 分别交于点E 、F ，点E 、
F 即为所求．
连接1OP 、2OP 、OP 、PE 、PF ，
由对称知识可知，1AOP AOP ∠∠=，2BOP BOP ∠∠=，1
PE PE =，2PF P F = ∴1245AOP BOP AOP BOP AOB ∠∠∠∠∠+=+==o ，
12454590POP o o o
∠=+=，
12POP ∴V 为等腰直角三角形，
121PP ∴==
PEF V 周长1212PE PF EF PE P F EF PP =++=++=，此时PEF V 周长最小．
故答案为；
()3作点P 关于直线AB 的对称1P ，连接1AP 、1BP ，作点P 关于直线AC 的对称2P ，
连接1P 、2P ，与AB 、AC 分别交于点M 、N ．如图③ 由对称知识可知，1
PM PM =，2PN P N =，PMN V 周长1212PM PN MN PM P N MN PP =++=++=，
此时，PMN V 周长最小12PP =．
由对称性可知，1BAP BAP ∠∠=，2EAP EAP ∠∠=，12AP
AP AP ==， ∴1245BAP EAP BAP EAP BAC o ∠∠∠∠∠+=+== 12454590P AP ∠=+=o o o ，
12P AP V ∴为等腰直角三角形，
PMN ∴V 周长最小值12PP =，当AP 最短时，周长最小． 连接DF ．
CF BE Q ⊥，且PF CF =，
45
PCF ∠∴=o
，PC CF
=45ACD ∠=o Q ，
PCF ACD ∠∠∴=，PCA FCD ∠∠=，
又AC
CD
=， ∴在APC V 与DFC V 中，AC PC
CD CF
=，PCA FCD ∠∠=
C AP ∴V ∽DFC V ，
AP AC DF CD
∴== ∴
AP =
90BFC ∠=o Q ，取AB 中点O ．
∴点F 在以BC 为直径的圆上运动，当D 、F 、O 三点在同一直线上时，DF 最短．
DF DO FO OC =-===
AP ∴最小值为AP = ∴此时，PMN V 周长最小值
()
12222222102241042PP AP DF =
=?=?-=-．
【点睛】
本题考查圆以及正方形的性质，运用圆的对称性和正方形的对称性是解答本题的关键．
9．已知P 是O e 的直径BA 延长线上的一个动点，∠P 的另一边交O e 于点C 、D ，两点位于AB 的上方，AB ＝6，OP=m ，1
sin 3
P ＝，如图所示．另一个半径为6的1O e 经过点C 、D ，圆心距1OO n ＝． （1）当m=6时，求线段CD 的长；
（2）设圆心O 1在直线AB 上方，试用n 的代数式表示m ；
（3）△POO 1在点P 的运动过程中，是否能成为以OO 1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n 的值；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)CD=252381
2n n
- ;(3) n 9559155 【解析】
分析：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，连接OC ．解Rt △POH ，得到OH 的长．由勾股定理得CH 的长，再由垂径定理即可得到结论； （2）解Rt △POH ，得到Rt 3
m
OH OCH V ＝．在和Rt △1O CH 中，由勾股定理即可得到结论；
（3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况讨论：① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧
时，分1OP OO ＝和11O P OO ＝．②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时，同理可得结论． 详解：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，连接OC ．
在Rt △1
sin 63
POH P PO =Q 中，
＝，，∴2OH =． ∵AB ＝6，∴3OC ＝． 由勾股定理得： 5CH = ∵OH ⊥DC ，∴225CD CH ==．
（2）在Rt △1
sin 3POH P PO m Q 中，
＝，＝，∴3
m OH ＝． 在Rt △OCH 中，2
293m CH ??- ???＝． 在Rt △1O CH 中，2
2363m CH n ??-- ??
?＝． 可得： 22
36933m m n ????--- ? ?????
＝，解得23812n m n -：＝．
（3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况： ① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时
i ）1OP OO ＝，即m n ＝，由2
381
2n n n
-＝，解得9n ：＝．
即圆心距等于O e 、1O e 的半径的和，就有O e 、1O e 外切不合题意舍去． ii ）11O P OO ＝22
233
m m n m -
+-（）（） n ＝， 解得：23m n ＝，即23n 2381
2n n
-＝，解得9155n ：＝
②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时，同理可得： 2
8132n m n
-＝．
∵1POO ∠是钝角，∴只能是m n =，即2
8132n
n n
-＝，解得955n ：＝
综上所述：n的值为9
5
5
或
9
15
5
．
点睛：本题是圆的综合题．考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形．解答（3）的关键是要分类讨论．
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过点O作OD⊥CB，垂足为点D，延长DO 交⊙O于点E，过点E作PE⊥AB，垂足为点P，作射线DP交CA的延长线于F点，连接EF，
（1）求证：OD＝OP；（2）求证：FE是⊙O的切线．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
试题分析：（2）证明△POE≌△ADO可得DO=EO；
（3）连接AE，BE，证出△APE≌△AFE即可得出结论．
试题解析：（1）∵∠EPO=∠BDO=90°∠EOP=∠BOD
OE=OB
∴△OPE≌△ODB
∴OD="OP"
（2）连接EA，EB
∴∠1=∠EBC
∵AB是直径
∴∠AEB=∠C=90°
∴∠2+∠3=90°
∵∠3=∠DEB
∵∠BDE=90°
∴∠EBC+∠DEB=90°
∴∠2=∠EBC=∠1
∵∠C=90°∠BDE=90°
∴CF∥OE
∴∠ODP=∠AFP
∵OD=OP
∴∠ODP=∠OPD
∵∠OPD=∠APF
∴∠AFP=∠APF
∴AF=AP 又AE=AE
∴△APE≌△AFE
∴∠AFE=∠APE=90°
∴∠FED=90°
∴FE是⊙O的切线
考点：切线的判定．
11．如图，在中，，以为直径作，交边于点，交边于点，过点作的切线，交的延长线于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明见解析；
（2）4．
【解析】
试题分析：（1）连接AD，根据等腰三角形三线合一即可证明．
（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD，由△FOD∽△FAE，得列出方程即可解决问题．
试题解析：（1）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．
（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD、
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴△FOD∽△FAE，
∴，
∴
，
整理得R 2﹣R ﹣12=0， ∴R=4或（﹣3舍弃）． ∴⊙O 的半径为4．
考点：切线的性质、等腰三角形的性质等知识．
12．已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠DAB ＝120°，BC ＝CD ，AD ＝4，AC ＝7，求AB 的长度．
【答案】AB ＝3． 【解析】 【分析】
作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，根据弦、弧、圆周角、圆心角的关系，求得BC CD u u u r u u u r
，进而得到∠DAC ＝∠CAB ＝60°，在Rt △ADE 中，根据60°锐角三角函数值，可求得DE ＝23，AE ＝2，再由Rt △DEC 中，根据勾股定理求出DC 的长，在△BFC 和△ABF 中，利用60°角的锐角三角函数值及勾股定理求出AF 的长，然后根据求出的两个结果，由AB ＝2AF ，分类讨论求出AB 的长即可. 【详解】
作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，
∵BC ＝CD ，
(2018?畐建A卷)已知四边形ABCD是O O的内接四边形，AC是。O的直径，DE丄AB,垂足为E. (1)延长DE交。O于点F,延长DC, FB交于点P,如图1.求证：PC=PB (2)过点B作BC丄AD,垂足为G, BG交DE于点H,且点O和点A都在DE的 左侧，如图2.若AB=；, DH=1,Z OHD=8°，求/ BDE的大小. (12.00分)(2018?畐建B卷)如图，D是厶ABC外接圆上的动点，且B, D位于AC的两侧，DE丄AB,垂足为E, DE的延长线交此圆于点F. BG丄AD,垂足为G, BG交DE于点H, DC, FB的延长线交于点P,且PC=PB (1)求证：BG// CD; (2)设厶ABC外接圆的圆心为O,若AB^'DH,/ OHD=8°，求/ BDE的大小. 备用圉 25. (10.00分)(2018?河北)如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为 4 圆心，OA为半径作优弧■■-,使点B在O右下方，且tan/AOB=，在优弧加上任取一点P,且能过P作直线I// OB交数轴于点Q,设Q在数轴上对应的数为x, 连接OP (1)若优弧恥上一段4P的长为13 n求/ AOP的度数及x的值； (2)求x的最小值，并指出此时直线I与?期所在圆的位置关系；
（3）若线段PQ 的长为12.5,直接写出这时x 的值. 23. （10.00分）（2018?恩施州）如图，AB 为。O 直径，P 点为半径 OA 上异于O 点和A 点的一个点，过P 点作与直径AB 垂直的弦CD,连接AD,作BE ± AB, OE// AD 交 BE 于 E 点，连接 AE 、DE 、AE 交 CD 于 F 点. AD _ EC 交EC 的延长线于点D ，AD 交L O 于F ，FM _AB 于H ，分别交L O 、AC 于 M 、N ，连接 MB ，BC . （1）求证：AC 平方.DAE ; 4 (2)若 cosM ，BE =1，①求 5 25. （10.00分）（2018?株洲）如图，已知 AB 为。O 的直径，AB=8,点C 和点D 是。O 上关于直线AB 对称的两个点，连接 OC AC,且/ BOC X 90°直线BC 和 直线AD 相交于点E,过点C 作直线CG 与线段AB 的延长线相交于点F ,与直线 O 的半径；②求FN 的长. （1）求证：DE 为。O 切线； DC E 第23融圈
圆所有经典难题 一，选择题 1.下列命题中正确的有( )个 (1) 平分弦的直径垂直于弦 （2）经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 （3）在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半 （4）平面内三点确定一个圆 （5）三角形的外心到各个顶点的距离相等 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 2.AC 平分∠BAD 且交BD 于F 点．若∠ADE ＝19°，则∠AFB 的度数为何？（ ） A ．97° B ．104° C ．116° D ．142° 3.下列说法正确的是 （ ） A 、三点确定一个圆。 B 、一个三角形只有一个外接圆。 C 、和半径垂直的直线是圆的切线。 D 、三角形的内心到三角形三个顶点距离相等。 4.在半径等于5cm 的圆内有长为35cm 的弦，则此弦所对的圆周角为（ ） A 、60o或120o B. 30o或120o C. 60o D. 120o 5.如图4，⊙O 的半径为５，弦ＡＢ的长为８，Ｍ是弦ＡＢ上的动点，则线段ＯＭ长的最小值为（ ） Ａ、２ Ｂ、３ Ｃ、４ Ｄ、５ 6.与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的 （ ） A 、 三条中线的交点， B 、三条角平分线的交点， C 、三条高的交点， D 、三边的垂直平分线的交点。 7.圆的半径为5cm ，圆心到一条直线的距离是7cm ，则直线与圆（ ） A 、有两个交点， B 、有一个交点， C 、没有交点， D 、交点个数不定。 8.两圆的半径比为 2 cm 与3cm ，圆心距等于小圆半径的2倍，则两圆的关系为 （ ） A 、相离， B 、外切， C 、相交， D 、内切或内含 9.若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a>b ）， A B P O
初三九年级上册数学 压轴解答题（培优篇）（Word 版 含解析） 一、压轴题 1．阅读理解： 如图，在纸面上画出了直线l 与⊙O ，直线l 与⊙O 相离，P 为直线l 上一动点，过点P 作⊙O 的切线PM ，切点为M ，连接OM 、OP ，当△OPM 的面积最小时，称△OPM 为直线l 与⊙O 的“最美三角形”． 解决问题： （1）如图1，⊙A 的半径为1，A(0，2) ，分别过x 轴上B 、O 、C 三点作⊙A 的切线BM 、OP 、CQ ，切点分别是M 、P 、Q ，下列三角形中，是x 轴与⊙A 的“最美三角形”的是 ．(填序号) ①ABM ；②AOP ；③ACQ （2）如图2，⊙A 的半径为1，A(0，2)，直线y=kx （k≠0）与⊙A 的“最美三角形”的面积为 1 2 ，求k 的值． （3）点B 在x 轴上，以B 为圆心，3为半径画⊙B ，若直线y=3x+3与⊙B 的“最美三角形”的面积小于 3 ，请直接写出圆心B 的横坐标B x 的取值范围． 2．点P 为图形M 上任意一点，过点P 作PQ ⊥直线,l 垂足为Q ，记PQ 的长度为d . 定义一:若d 存在最大值，则称其为“图形M 到直线l 的限距离”，记作()max ,D M l ； 定义二:若d 存在最小值，则称其为“图形M 到直线l 的基距离”，记作()min ,D M l ； （1）已知直线1:2l y x =--，平面内反比例函数2 y x = 在第一象限内的图象记作,H 则
() 1 , min D H l=． （ 2）已知直线 2 :33 l y x =+，点() 1,0 A-，点()() 1,0,,0 B T t是x轴上一个动点， T的半径为3，点C在T上，若() max2 43,63, D ABC l ≤≤求此时t的取值范围， （3）已知直线 212 11 k k y x k k -- =+ -- 恒过定点 1111 , 8484 P a b c a b c ?? ? ? +-+ ? +，点(), D a b 恒在直线3l上，点() ,28 E m m+是平面上一动点，记以点E为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形, K() min3 ,0 D K l=，若请直接写出m的取值范围． 3．如图, AB是⊙O的直径,点D、E在⊙O上,连接AE、ED、DA,连接BD并延长至点C,使得DAC AED ∠=∠． （1）求证: AC是⊙O的切线； （2）若点E是BC的中点, AE与BC交于点F， ①求证: CA CF =； ②若⊙O的半径为3，BF=2,求AC的长． 4．【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα= 1 3，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的： 构造如图1所示的图形，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC=α，则sinα= 1 3 BC AB = ，可设BC=x，则AB=3x，…． 【问题解决】 （1）请按照小娟的思路，利用图1求出sin2α的值；（写出完整的解答过程） （2）如图2，已知点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P=β，sinβ= 3 5，求sin2β的值．
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，AB是半圆O的直径，C是的中点，D是的中点，AC与BD相交于点E. （1）求证：BD平分∠ABC； （2）求证：BE=2AD； （3）求DE BE 的值. 【答案】（1）答案见解析（2）BE=AF=2AD（3）21 2 - 【解析】 试题分析：（1）根据中点弧的性质，可得弦AD=CD，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可； （2）延长BC与AD相交于点F, 证明△BCE≌△ACF, 根据全等三角形的性质可得 BE=AF=2AD； （3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，OB=OD=2， DH=21 -, 然后根据相似三角形的性质可求解. 试题解析：（1）∵D是的中点 ∴AD=DC ∴∠CBD=∠ABD ∴BD平分∠ABC （2）提示：延长BC与AD相交于点F, 证明△BCE≌△ACF, BE=AF=2AD （3）连接OD,交AC于H.简要思路如下： 设OH为1，则BC为2，2， 21, DE BE = DH BC
DE BE = 21 2 - 2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，BD＝BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E (1) 求证：BE是⊙O的切线 (2) 若EC＝1，CD＝3，求cos∠DBA 【答案】（1）证明见解析；（2）∠DBA 3 5 = 【解析】 分析：（1）连接OB，OD，根据线段垂直平分线的判定，证得BF为线段AD的垂直平分线，再根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ADC=90°，证得四边形BEDF是矩形，即 ∠EBF=90°，可得出结论. （2）根据中点的性质求出OF的长，进而得到BF、DE、OB、OD的长，然后根据等角的三角函数求解即可. 详解：证明：(1) 连接BO并延长交AD于F，连接OD ∵BD＝BA，OA＝OD ∴BF为线段AD的垂直平分线 ∵AC为⊙O的直径 ∴∠ADC＝90° ∵BE⊥DC ∴四边形BEDF为矩形 ∴∠EBF＝90° ∴BE是⊙O的切线 (2) ∵O、F分别为AC、AD的中点 ∴OF＝1 2CD＝ 3 2 ∵BF＝DE＝1＋3＝4
（第2题图） A D C B P N M l 九年级数学培优练习题 1、二次函数542 +-=x x y 中，已知1≤x ≤4，则y 的取值围是 。 2、如图，正方形ABCD 的边长与等腰直角三角形PMN 的腰长均 为4cm ，且AB 与MN 都在直线l 上，开始时点B 与点M 重合. 让正方形沿直线向右平移，直到A 点与N 点重合为止，设正方 形与三角形重叠部分的面积为y(cm 2 )，MB 的长度为x(cm)，则 y 与x 之间的函数关系的图象大致是 【 】 3、若抛物线2 (1)y x b x c =+-+经过点(12)P b --，，则b c +的值为 ；如果 3b =，则此条抛物线的顶点坐标为 。 4、如图， 四边形OABC 为直角梯形，A （4，0），B （3，4），C （0，4）． 点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ． （1）点 （填M 或N ）能到达终点； （2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值围，当t 为何值时，S 的值最大； x
九年级数学培优练习题 1、如图，直线MN 和EF 相交于点O ，∠EOF ＝60°，AO ＝2，∠AOE ＝20°。设点A 关于EF 的对称点是B ，点B 关于MN 的对称点是C ，则A 、C 两点间的距离为 。 2、如图，在直角坐标系中，A 点的坐标为（3，0），B 点坐标为（0，4），把线段AB 绕原点顺时针方向旋转，使AB 与y 轴平行，则A 点的坐标为 。 3、抛物线bx x y 23 22 +- =与x 轴的两个不同交点是O 、A ，顶点B 在直线x y 33=上，则关于△OAB 是 三角形。 4、如图，从等边三角形ABC 一点P 向三边作垂线，PQ ＝6，PR ＝8，PS ＝10，则△ABC 的面积是 。 5、如图①，OABC 是一放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4. （1）在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D 、E 两点的坐标； （2）图②，若AE 上有一动点P （不与A 、E 重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒（0＜t ＜5），过P 点作ED 的平行线交AD 于点M ，过点M 作AE 的平行线交DE 于点N .求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A 、M 、E 为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应时刻点M 的坐标. A M N O F E
初三数学中考培优试题 一．解答题： 1．如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴的负半轴上，且OD=10，OB=8，将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合 （1）直接写出点A、B的坐标：A（_________，_________）、B（_________，_________）； （2）若抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，则这条抛物线的解析式是_________； （3）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N，问是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由； （4）当≤x≤7时，在抛物线上存在点P，使△ABP得面积最大，求△ABP面积的最大值． 2．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒． （1）当点B与点D重合时，求t的值； （2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，S=？ （3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线y=ax2﹣10ax的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围．
3．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是_________三角形； （2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由． 4．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限 且为抛物线的顶点．P到x轴的距离为，到y轴的距离为1．点C关于直线l的对称点为 A，连接AC交直线l于B． （1）求抛物线的表达式； （2）直线y=x+m与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F，连接BD交y轴于 点E，且DE：BE=4：1．求直线y=x+m的表达式； （3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线y=x+m上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
初三数学圆的专项培优练习题（含答案） ?EB 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成 立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三 2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆 的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．C．6 D． 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由。 9．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA 的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2． 数学九年级上册 期末试卷（培优篇）（Word 版 含解析） 一、选择题 1．已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为13cm ，则这个圆锥的全面积是（ ） A ．265cm π B ．290cm π C ．2130cm π D ．2155cm π 2．一元二次方程x 2＝9的根是（ ） A ．3 B ．±3 C ．9 D ．±9 3．如图，点P 为⊙O 外一点，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，∠P=30°，OB=3，则线段BP 的长为（ ） A ．3 B ．33 C ．6 D ．9 4．关于2,6,1,10,6这组数据，下列说法正确的是（ ） A ．这组数据的平均数是6 B ．这组数据的中位数是1 C ．这组数据的众数是6 D ．这组数据的方差是10.2 5．将二次函数2 2y x =的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得新的图象的函数表达式为( ) A ．()2 241y x =-- B ．()2 241y x =+- C ．()2241y x =-+ D ．()2 241y x =++ 6．已知一组数据2，3，4，x ，1，4，3有唯一的众数4，则这组数据的中位数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 8．将二次函数y ＝x 2的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，再沿x 轴向左平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（ ） A ．y ＝（x +3）2+2 B ．y ＝（x ﹣3）2+2 C ．y ＝（x +2）2+3 D ．y ＝（x ﹣2）2+3 9．下列说法正确的是（ ） A ．所有等边三角形都相似 B ．有一个角相等的两个等腰三角形相似 C ．所有直角三角形都相似 D ．所有矩形都相似 10．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A(﹣3，0)，对称轴为直线x ＝﹣1，下列结论：①b 2＞4ac ；②2a+b ＝0；③a+b+c ＞0；④若B(﹣5，y 1)、C(﹣1，y 2)为函数图象上的两点，则y 1＜y 2．其中正确结论是（ ） 此文档下载后即可编辑 1 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），∠ABO=60°. （1）若△AOB的外接圆与y轴交于点D，求D点坐标. （2）若点C的坐标为（-1，0），试猜想过D、C的直线与△AOB的外接圆的位置关系，并加以说明. （3）二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上，求此函数的解析式. 2 如图（4），正方形 111 OA B C的边长为1，以O为圆心、1 OA为半径作扇形? 1111 OAC AC ，与1 OB相交于点2B，设正方形111 OA B C与扇形11 OA C之间的阴影部分的面积为 1 S；然后以2 OB为对角线作正方形222 OA B C，又以O为圆心，、2 OA为半径作扇形22 OA C，? 22 A C与1 OB相交于点3B，设正方形 222 OA B C与扇形22 OA C之间的阴影部分面积为2S；按此规律继续作下去，设正方形 n n n OA B C与扇形n n OA C之间的阴影部分面积为n S．（1）求 123 S S S ，，； （2）写出 2008 S； 1 B2 B3 A1 A2 A3 O C C C 图4 S2 S1 S3 （3）试猜想 S（用含n的代数式表示，n为正整数）． n 3 (10分)如图，点I是△ABC的内心，线段A I的延长线交△ ABC 的外接圆于点D，交BC边于点E． （1）求证：I D=BD； （2）设△ABC的外接圆的半径为5，I D=6，AD x=，DE y=，当点A 在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的 取值范围． (第4题图) 4 如图，点A ，B ，C ，D 是直径为AB 的⊙O 上四个点，C 是劣弧?BD 的中点，AC 交BD 于点E ， AE ＝2， EC ＝1． （1）求证：DEC △∽ADC △； （2）试探究四边形ABCD 是否是梯形？若是，请你给予 证明并求出它的面积；若不是，请说明理由． （4分） （3）延长AB 到H ，使BH ＝OB ． 求证：CH 是⊙O 的切线． （3分） 5 如图10，半圆O 为△ABC 的外接半圆，AC 为直径，D 为?BC 上的一动点． 2013级初三数学中考培优试题 一．解答题： 1．如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴的负半轴上，且OD=10，OB=8，将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合 （1）直接写出点A、B的坐标：A（_________，_________）、B（_________，_________）； （2）若抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，则这条抛物线的解析式是_________； （3）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N，问是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由； （4）当≤x≤7时，在抛物线上存在点P，使△ABP得面积最大，求△ABP面积的最大值． 2．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒． （1）当点B与点D重合时，求t的值； （2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，S=？ （3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线y=ax2﹣10ax的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围． 3．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是_________三角形； （2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由． 4．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限 且为抛物线的顶点．P到x轴的距离为，到y轴的距离为1．点C关于直线l的对称点为 A，连接AC交直线l于B． （1）求抛物线的表达式； （2）直线y=x+m与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F，连接BD交y轴于点E，且DE：BE=4：1．求直线y=x+m的表达式； （3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线y=x+m上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 初三数学圆的专项培优练习题(含答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 初三数学圆的专项培优练习题（含答案） 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是EB的中点，则下列结论不成立的 是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．33C．6 D．23 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 A．19° B．38° C．52° D．76° 图四图五 6．如图五，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，且AE：BE =1：3，则AB= ．7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由。 1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE?CA． （1）求证：BC=CD； （2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD =，求DF的长． 2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切 点为G，连接AG交CD于K． （1）求证：KE=GE； （2）若=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长． 4. 5.已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC，连结DE，DE=。 （1）求证：AM·MB=EM·MC；（2）求EM的长；（3）求sin∠EOB的值。 6.如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知 ∠EAT=30°，AE=3，MN=2． （1）求∠COB的度数； （2）求⊙O的半径R； （3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比． 7.如图，AB是半径O的直径，AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC．过O点作BC的垂线OE，垂 足为点E，与BN相交于点F．过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q． （1）求证：△ABC∽△OFB； （2）当△ABD与△BFO的面枳相等时，求BQ的长； （3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点 8.如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是上异于A,C的一个动点，射线AP交l 于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G. （1）求证：△PAC∽△PDF； （2）若AB=5，，求PD的长； （3）在点P运动过程中，设，求与之间的函数关系式.（不要求写出的取值范围） 初三数学培优试题一 学校： 班级： 姓名： 分数： 一．选择题 1、下列函数：① 3y x =-，②21y x =-，③() 1 0y x x =-<，④223y x x =-++ 其中y 的值随x 值的增大而增大的函数有（ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 2．（2018济南，9，4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在方格线的格点上，将△ABC 绕点P 顺时针方向旋转90°，得到△A ′B ′C ′，则点P 的坐标为（ ） A ．（0，4） B ．（1，1） C ．（1，2） D ．（2，1） x y –1–2–3–41 2 34 1 234 567B C A A' C 'B' O 3、按下面的程序计算，若开始输入x 的值为正数，最后输出的结果为656， 则满足条件的x 的不同值最多有（ ） （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 4、已知关于x 的不等式组1 2 x a x a ->-?? -或2a <- （B ）25a -≤≤ （C ）25a -<< （D ）5a ≥或 2a ≤- 5、如图所示，已知点A 是半圆上一个三等分点，点B 是AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点。 若O 的半径长为，则AP BP +的最小值为（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ） 6．（3分）如图，矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，将△BCE 沿CE 翻折，点B 落在点F 处，tan ∠DCE=．设AB=x ，△ABF 的面积为y ，则y 与x 的函数图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． B A 初三数学圆典型难题及答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2006年中考“圆” 热点题型分类解析 1．（2006，泉州）如图1，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D?在⊙O 上，∠BAC=35°，则∠ADC=_______ O https://www.doczj.com/doc/9115469153.html, D C B A (1) (2) (3) (4) 2．（2006，哈尔滨市）在△ABC中，AB=AC=5，且△ABC的面积为12，则△ABC外接圆的半径为________．3．（2006，南京市）如图2，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E，?GB=8cm，AG=1cm，DE=2cm，则EF=_______cm．4．（2006，旅顺口区）如图3，点D在以AC为直径的⊙O上，如果∠BDC=20°，那么∠ACB=________． 5．（2006，盐城）已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠A：∠C=1：2，则∠BOD=______． 6．（2006，大连）如图4，在⊙O中，∠ACB=∠D=60°，AC=3，则△ABC?的周长为______． 7．（2006，盐城）如图5，AB是⊙O的弦，圆心O到AB的距离OD=1，AB=4，?则该圆的半径是________． (5) (6) (7) (8) (9) 8．如图6，⊙O的直径AB=8cm，C为⊙O上的一点，∠BAC=30°，则BC=_____cm． 9．（2006，重庆）如图7，△ABC内接于⊙O，∠A所对弧的度数为120°，∠ABC、?∠ACB的角平分线分别交AC、AB 于点D、E，CE、BD相交于点F．①cos∠BFE= 1 2 ；②BC=?BD；③EF=FD；④BF=2DF．其中结论一定正确的序号是________．10．（2006，海淀区）如图8,已知A、B、C是⊙O上，若∠COA=100°，则∠CBA的度数是（） A．40° B．50° C．80° D．200° 11．（2006，温州）如图9，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠B=70°，则∠A的度数是（）A．20° B．25° C．30° D．35° 2019级初三数学中考培优试题 一．解答题： 1．如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴的负半轴上，且OD=10，OB=8，将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合 （1）直接写出点A、B的坐标：A（_________，_________）、B（_________，_________）； （2）若抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，则这条抛物线的解析式是_________； （3）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N，问是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由； （4）当≤x≤7时，在抛物线上存在点P，使△ABP得面积最大，求△ABP面积的最大值． 2．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒． （1）当点B与点D重合时，求t的值； （2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，S=？ （3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线y=ax2﹣10ax的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围． 3．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是_________三角形； （2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由． 4．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限 且为抛物线的顶点．P到x轴的距离为，到y轴的距离为1．点C关于直线l的对称点为 A，连接AC交直线l于B． （1）求抛物线的表达式； （2）直线y=x+m与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F，连接BD交y轴于 点E，且DE：BE=4：1．求直线y=x+m的表达式； （3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线y=x+m上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知：如图所示，直线l 的解析式为3 34 y x = -，并且与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 。 （1） 求A 、B 两点的坐标； （2） 一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位/秒的速度向x 轴正方向运动， 问在什么时刻与直线l 相切； （3） 在题（2）中，若在圆开始运动的同时，一动点P 从B 点出发，沿BA 方向以0.5个 单位/秒的速度运动，问在整个运动过程中，点P 在动圆的圆面（圆上和圆内部）上，一共运动了多长时间？ 6．如图16，已知直线y = 2x(即直线1l )和直线42 1 +- =x y (即直线2l )，2l 与x 轴相交于点A 。点P 从原点O 出发，向x 轴的正方向作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时点Q 从A 点出发，向x 轴的负方向作匀速运动，速度为每秒2个单位。设运动了t 秒. (1)求这时点P 、Q 的坐标(用t 表示). (2)过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，与1l 、2l 分别相交于点O 1、O 2(如图16). ①以O 1为圆心、O 1P 为半径的圆与以O 2为圆心、O 2Q 为半径的圆能否相切？若能，求出t 值；若不能，说明理由. ②以O 1为圆心、P 为一个顶点的正方形与以O 2为中心、Q 为一个顶点的正方形能否有无数个公共点？若能，求出t 值；若不能，说明理由.(同学可在图17中画草图) 7．已知：如图，直线交轴于，交轴于，⊙与轴相切于O点， 交直线于P点，以为圆心P为半径的圆交轴于A、B两点，PB交⊙于点F，⊙的弦BE＝BO，EF的延长线交AB于D，连结PA、PO。 （1）求证：； （2）求证：EF是⊙的切线； （3）的延长线交⊙于C点，若G为BC上一动点，以为直径作⊙交 于点M，交于N。下列结论①为定值；②线段MN的长度不变。只有一个是正确的，请你判断出正确的结论，并证明正确的结论，以及求出它的值。 8．如图12，直线 3 3 4 y x =-+与x 轴相交于点A，与y 轴相交于点B，点C(m，n)是第二 象限内任意一点，以点C为圆心的圆与x 轴相切于点E，与直线AB相切于点F. ⑴当四边形OBCE是矩形时，求点C的坐标； ⑵如图13，若⊙C与y 轴相切于点D，求⊙C的半径r； ⑶求m与n之间的函数关系式； C A B D 初三数学培优练习题13 1、自然数4、5、5、x 、y 从小到大排列后，其中位数．．．为4，如果这组数据唯一．． 的众数是5,那么，所有满足条件的x 、y 中，y x +的最大值是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 2、两个相同的瓶子装满酒精溶液，在一个瓶子中酒精与水的容积之比是:1p ，而在另一个瓶子中是:1q ，若把两瓶溶液混合在一起，混合液中的酒精与水的容积之比是（ ） A ．2 p q + B ．22 p q p q ++ C ． 2pq p q + D ． 22 p q pq p q ++++ 3．由325x y a x y a x y a m -=+??+=??>??>?得a>－3,则m 的取值范围是（ ） A m>－3 B m ≥－3 C m ≤－3 D m<－3 4、在ABC ?中，b CA c AB a BC ===,,。且a 、b 、c 满足：2382-=-b a ，34102-=-c b ， 762=-a c 。则=+B A sin sin 2 （ ） A ．1 B ． 5 7 C ．2 D ．512 5．将一副三角板如下图摆放在一起，连结AD ，则ADB ∠的正 切值为( ) A 1 B 1 C 6．给出下列四个命题： （1）如果某圆锥的侧面展开图是半圆，则其轴截面一定是等边三角形； （2）若点A 在直线y =2x -3上，且点A 到两坐标轴的距离相等，则点A 在第一或第四象限； （3）半径为5的圆中，弦AB=8，则圆周上到直线AB 的距离为2的点共有四个； （4）若A （a ，m ）、B （a –1，n ）(a >0)在反比例函数x y 4 = 的图象上，则m 一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，已知扇形MON 的半径为2，∠MON=90°，点B 在弧MN 上移动，联结BM ，作OD ⊥BM ，垂足为点D ，C 为线段OD 上一点，且OC=BM ，联结BC 并延长交半径OM 于点A ，设OA=x ，∠COM 的正切值为y. （1）如图2，当AB ⊥OM 时，求证：AM=AC ； （2）求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）当△OAC 为等腰三角形时，求x 的值. 【答案】 (1)证明见解析;(2) 2=+y x 02<≤x 142 2 =x . 【解析】 分析：（1）先判断出∠ABM =∠DOM ，进而判断出△OAC ≌△BAM ，即可得出结论； （2）先判断出BD =DM ，进而得出 DM ME BD AE =，进而得出AE =1 22 x （），再判断出2OA OC DM OE OD OD ==，即可得出结论； （3）分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论． 详解：（1）∵OD ⊥BM ，AB ⊥OM ，∴∠ODM =∠BAM =90°． ∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M ，∴∠ABM =∠DOM ． ∵∠OAC =∠BAM ，OC =BM ，∴△OAC ≌△BAM ， ∴AC =AM ． （2）如图2，过点D 作DE ∥AB ，交OM 于点E ． ∵OB =OM ，OD ⊥BM ，∴BD =DM ． ∵DE ∥AB ，∴DM ME BD AE =，∴AE =EM ．∵OM 2，∴AE =1 22x （）． ∵DE ∥AB ，∴ 2OA OC DM OE OD OD ==， ∴22 DM OA y OD OE x =∴=+，02x ≤＜ 20PP 年中考“圆”热点题型分类解析 1．（20PP ，泉州）如图1，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，点D?在⊙O 上，∠BAC=35°，则∠ADC=_______ https://www.doczj.com/doc/9115469153.html, B A (1)(2)(3)(4) 2．（20PP ，哈尔滨市）在△ABC 中，AB=AC=5，且△ABC 的面积为12，则△ABC 外接圆的半径为________． 3．（20PP ，南京市）如图2，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G 、B 、F 、E ，?GB=8cm ，AG=1cm ，DE=2cm ，则EF=_______cm ． 4．（20PP ，旅顺口区）如图3，点D 在以AC 为直径的⊙O 上，如果∠BDC=20°，那么∠ACB=________． 5．（20PP ，盐城）已知四边形ABCD 内接于⊙O ，且∠A ：∠C=1：2，则∠BOD=______． 6．（20PP ，大连）如图4，在⊙O 中，∠ACB=∠D=60°，AC=3，则△ABC?的周长为______． 7．（20PP ，盐城）如图5，AB 是⊙O 的弦，圆心O 到AB 的距离OD=1 ，AB=4 ， ?则该圆的半径是 ________． (5)(6)(7)(8)(9) 8．如图6，⊙O 的直径AB=8cm ，C 为⊙O 上的一点，∠BAC=30°，则BC=_____cm ． 9．（20PP ，重庆）如图7，△ABC 内接于⊙O ，∠A 所对弧的度数为120°，∠ABC 、?∠ACB 的角平分线分别交AC 、AB 于点D 、E ，CE 、BD 相交于点F ．①cos ∠BFE= 1 2 ；②BC=?BD ；③EF=FD ；④BF=2DF ．其中结论一定正确的序号是________． 10．（20PP ，海淀区）如图8,已知A 、B 、C 是⊙O 上，若∠COA=100°，则∠CBA 的度数是（） A ．40°B ．50°C ．80°D ．200° 11．（20PP ，温州）如图9，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠B=70°，则∠A 的度数是（） A ．20° B ．25° C ． 30 °D ．35° (10)(11)(12)(13)(14)数学九年级上册 期末试卷(培优篇)(Word版 含解析)
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