一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时M点的坐标．
【答案】（1）60°；（2）见解析；（3）对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣3M2（﹣2，﹣3）、M3（﹣2，3M4（2，3）．
【解析】
【分析】
（1）由于∠OAC=60°，易证得△OAC是等边三角形，即可得∠AOC=60°．
（2）由（1）的结论知：OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP边上的中线等于OP的一半，由此可证得△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判断出PC与⊙O的位置关系．（3）此题应考虑多种情况，若△MAO、△OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M点，即：C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，可据此进行求解．
【详解】
（1）∵OA=OC，∠OAC=60°，
∴△OAC是等边三角形，
故∠AOC=60°．
（2）由（1）知：AC=OA，已知PA=OA，即OA=PA=AC；
∴AC=1
OP，因此△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，
2
而OC是⊙O的半径，
故PC与⊙O的位置关系是相切．
（3）如图；有三种情况：
①取C点关于x轴的对称点，则此点符合M点的要求，此时M点的坐标为：M1（2，﹣
3
劣弧MA的长为：6044 1803
ππ
?
=；
②取C点关于原点的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M2（﹣2，﹣3
劣弧MA的长为：12048 1803
ππ
?
=；
③取C点关于y轴的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M3（﹣2，
3
优弧MA的长为：240416 1803
ππ
?
=；
④当C、M重合时，C点符合M点的要求，此时M4（2，3）；
优弧MA的长为：300420 1803
ππ
?
=；
综上可知：当S△MAO=S△CAO时，动点M所经过的弧长为481620
,,,
3333
ππππ
对应的M点坐
标分别为：M1（2，﹣3M2（﹣2，﹣3）、M3（﹣2，3M4（2，3
【点睛】
本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解．
2．如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上DCE B
∠=∠．
（1）求证：CE是半圆的切线；
（2）若CD=10，
2
tan
3
B=，求半圆的半径．
【答案】（1）见解析；(2)413 【解析】
分析: （1）连接CO ，由DCE B ∠=∠且OC=OB,得DCE OCB ∠=∠,利用同角的余角相等判断出∠BCO+∠BCE=90°，即可得出结论；
（2）设AC=2x ，由根据题目条件用x 分别表示出OA 、AD 、AB ，通过证明△AOD ∽△ACB ，列出等式即可.
详解：（1）证明：如图，连接CO .
∵AB 是半圆的直径， ∴∠ACB =90°.
∴∠DCB =180°-∠ACB =90°. ∴∠DCE+∠BCE=90°. ∵OC =OB , ∴∠OCB =∠B. ∵=DCE B ∠∠， ∴∠OCB =∠DCE . ∴∠OCE =∠DCB =90°. ∴OC ⊥CE . ∵OC 是半径， ∴CE 是半圆的切线. （2）解：设AC =2x ， ∵在Rt △ACB 中，2
tan 3
AC B BC ==, ∴BC =3x . ∴()()
22
2313AB x x x =
+=.
∵OD ⊥AB , ∴∠AOD =∠A CB=90°. ∵∠A =∠A ， ∴△AOD ∽△ACB .
∴AC AO
AB AD
=.
∵113
2
OA AB x
==，AD=2x+10,
∴
1
13
2
210
13
x
x
x
=
+
.
解得 x=8.
∴138413
OA=?=.
则半圆的半径为413.
点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形.
3．如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为AB，P是半径OB上一动点，Q是AB上的一动点，连接PQ.
发现：∠POQ＝________时，PQ有最大值，最大值为________；
思考：（1）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求BQ的长；
（2）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积；
探究：如图4，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离．
【答案】发现： 90°，2；思考：（1）
10
3
π
=；（2）2+100；（3）点O 到折痕PQ30
【解析】
分析：发现：先判断出当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，即可得出结论；
思考：（1）先判断出∠POQ=60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；
（2）先在Rt△B'OP中，OP22?10)2=（10-OP）2，解得2?10，最后用面积的和差即可得出结论．
探究：先找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，证明四边形OCO′B是矩形，由勾股定理求O′B，从而求出OO′的长，则OM=
1
2
30
详解：发现：∵P 是半径OB 上一动点，Q 是AB 上的一动点， ∴当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合， 此时，∠POQ=90°，PQ=22OA OB +=102； 思考：（1）如图，连接OQ ，
∵点P 是OB 的中点，
∴OP=
12OB=1
2OQ ． ∵QP ⊥OB ， ∴∠OPQ=90°
在Rt △OPQ 中，cos ∠QOP=
1
2
OP OQ =， ∴∠QOP=60°， ∴l BQ =
601010
1803
ππ?=； （2）由折叠的性质可得，BP ＝B ′P ，AB ′＝AB ＝102， 在Rt △B'OP 中，OP 2+(102?10)2=（10-OP ）2 解得OP=102?10，
S 阴影=S 扇形AOB -2S △AOP =290101
210(10210)3602
π?-???-
＝25π?1002+100；
探究：如图2，找点O 关于PQ 的对称点O′，连接OO′、O′B 、O′C 、O′P ， 则OM=O′M ，OO′⊥PQ ，O′P=OP=3，点O′是B Q '所在圆的圆心，
∴O′C=OB=10，
∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA 相切于C 点， ∴O′C ⊥AO ， ∴O′C ∥OB ，
∴四边形OCO′B 是矩形，
在Rt △O′BP 中，O′B=226425-=
， 在Rt △OBO′K ，OO′=2210(25)=230-， ∴OM=
12OO′=1
2
×230=30， 即O 到折痕PQ 的距离为30．
点睛：本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式l=
180
n R
π（n 为圆心角度数，R 为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分．
4．如图．在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，AB =30cm ，点P 在AB 上，AP =10cm ，点E 从点P 出发沿线段PA 以2c m/s 的速度向点A 运动，同时点F 从点P 出发沿线段PB 以1c m/s 的速度向点B 运动，点E 到达点A 后立刻以原速度沿线段AB 向点B 运动，在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作正方形EFGH ，使它与△ABC 在线段AB 的同侧，设点E 、F 运动的时间为t （s ）（0＜t ＜20）．
（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；
（2）设正方形EFGH 与△ABC 重叠部分的面积为S ．①试求S 关于t 的函数表达式；②以点C 为圆心，
1
2
t 为半径作⊙C ，当⊙C 与GH 所在的直线相切时，求此时S 的值． 【答案】（1）t=2s 或10s ；（2）①S=22
29? (02)75050(210)2
40400?
(1020)t t t t t t t t ?<≤?
?-+-<≤??-+<
【解析】
试题分析：（1）如图1中，当0＜t ≤5时，由题意AE =EH =EF ，即10﹣2t =3t ，t =2；如图2中，当5＜t ＜20时，AE =HE ，2t ﹣10=10﹣（2t ﹣10）+t ，t =10；
（2）分四种切线讨论a 、如图3中，当0＜t ≤2时，重叠部分是正方形EFGH ，S =（3t ）
2
=9t 2．b 、如图4中，当2＜t ≤5时，重叠部分是五边形EFGMN ．c 、如图5中，当5＜t ＜
10时，重叠部分是五边形EFGMN ．d 、如图6中，当10＜t ＜20时，重叠部分是正方形EFGH ．分别计算即可；
②分两种情形分别列出方程即可解决问题．
试题解析：解：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意得：AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2
如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10．
综上所述：t=2s或10s时，点H落在AC边上．
（2）①如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2
如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（3t）2﹣1
2
（5t﹣10）2=﹣
7
2
t2+50t﹣50．
如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（20﹣t）2﹣
1
2
（30﹣3t）2=﹣
7
2
t2+50t﹣50．
如图6中，当10
＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH，S=（20﹣t）2=t2﹣40t+400．
综上所述：S=
2
2
2
9?(02)
7
5050(210) 2
40400?(1020)
t t
t t t
t t t
?<≤
?
?
-+-<≤
?
?
-+<<
??
．
②如图7中，当0＜t≤5时，1
2
t+3t=15，解得：t=
30
7
，此时S=100cm2，当5＜t＜20时，
1
2
t+20﹣t=15，解得：t=10，此时S=100．
综上所述：当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值为100cm2
点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考压轴题．
5．已知：如图1，∠ACG=90°，AC=2，点B为CG边上的一个动点，连接AB，将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到△ADB，过点D作DF⊥CG于点F．
（1）当BC=23
时，判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系，并加以证明；
（2）如图2，点B在CG上向点C运动，直线FD与以AB为直径的⊙O交于D、H两点，连接AH，当∠CAB=∠BAD=∠DAH时，求BC的长．
【答案】（1）直线FD与以AB为直径的⊙O相切，理由见解析；（2）22 .
【解析】
试题分析：（1）根据已知及切线的判定证明得，直线FD与以AB为直径的⊙O相切；（2）根据圆内接四边形的性质及直角三角形的性质进行分析，从而求得BC的长．
试题解析：
（1）判断：直线FD与以AB为直径的⊙O相切．
证明：如图，
作以AB为直径的⊙O；
∵△ADB是将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到的，∴△ADB≌△ACB，
∴∠ADB=∠ACB=90°．
∵O为AB的中点，连接DO，
∴OD=OB=AB，
∴点D在⊙O上．
在Rt△ACB中，BC=，AC=2；
∴tan∠CAB==，
∴∠CAB=∠BAD=30°，
∴∠ABC=∠ABD=60°，
∴△BOD是等边三角形．
∴∠BOD=60°．
∴∠ABC=∠BOD，
∴FC∥DO．
∵DF⊥CG，
∴∠ODF=∠BFD=90°，
∴OD⊥FD，
∴FD为⊙O的切线．
（2）延长AD交CG于点E，
同（1）中的方法，可证点C在⊙O上；
∴四边形ADBC是圆内接四边形．
∴∠FBD=∠1+∠2．
同理∠FDB=∠2+∠3．
∵∠1=∠2=∠3，
∴∠FBD=∠FDB，
又∠DFB=90°．
∴EC=AC=2．
设BC=x，则BD=BC=x，
∵∠EDB=90°，
∴EB=x．
∵EB+BC=EC，
∴x+x=2，
解得x=2﹣2，
∴BC=2﹣2．
6．如图，AB是⊙O的直径，D、D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，且CE=CF.
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）连接CD、CB，若AD=CD=a，求四边形ABCD面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接OC，AC，可先证明AC平分∠BAE，结合圆的性质可证明OC∥AE，可得∠OCB＝90°，可证得结论；
（2）可先证得四边形AOCD为平行四边形，再证明△OCB为等边三角形，可求得CF、AB，利用梯形的面积公式可求得答案．
【详解】
（1）证明：连接OC，AC．
∵CF⊥AB，CE⊥AD，且CE＝CF．
∴∠CAE＝∠CAB．
∵OC＝OA，
∴∠CAB＝∠OCA．
∴∠CAE＝∠OCA．
∴OC∥AE．
∴∠OCE＋∠AEC＝180°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠OCE＝90°即OC⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，点C为半径外端，
∴CE是⊙O的切线．
（2）解：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA＝∠CAB，
∴DC∥AB，
∵∠CAE＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∴四边形AOCD是平行四边形，
∴OC＝AD＝a，AB＝2a，
∵∠CAE＝∠CAB，
∴CD＝CB＝a，
∴CB＝OC＝OB，
∴△OCB是等边三角形，
在Rt△CFB中，CF＝，
∴S四边形ABCD＝（DC＋AB）?CF＝
【点睛】
本题主要考查切线的判定，掌握切线的两种判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．
7．如图1，是用量角器一个角的操作示意图，量角器的读数从M点开始（即M点的读数为0），如图2，把这个量角器与一块30°（∠CAB＝30°）角的三角板拼在一起，三角板的斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合，现有射线C绕点C从CA开始沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转到与CB，在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E．连接BE．（1）当射线CP经过AB的中点时，点E处的读数是，此时△BCE的形状是；（2）设旋转x秒后，点E处的读数为y，求y与x的函数关系式；
（3）当CP旋转多少秒时，△BCE是等腰三角形？
【答案】（1）60°，直角三角形；（2）y＝4x（0≤x≤45）；（3）7.5秒或30秒
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理即可解决问题；
（2）如图2﹣2中，由题意∠ACE＝2x，∠AOE＝y，根据圆周角定理可知∠AOE＝2∠ACE，可得y＝2x（0≤x≤45）；
（3）分两种情形分别讨论求解即可；
【详解】
解：（1）如图2﹣1中，
∵∠ACB＝90°，OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOE＝60°，
∴点E处的读数是60°，
∵∠E＝∠BAC＝30°，OE＝OB，
∴∠OBE＝∠E＝30°，
∴∠EBC＝∠OBE+∠ABC＝90°，
∴△EBC是直角三角形；
故答案为60°，直角三角形；
（2）如图2﹣2中，
∵∠ACE＝2x，∠AOE＝y，
∵∠AOE＝2∠ACE，
∴y＝4x（0≤x≤45）．
（3）①如图2﹣3中，当EB＝EC时，EO垂直平分线段BC，
∵AC⊥BC，
∵EO∥AC，
∴∠AOE＝∠BAC＝30°，
∠AOE＝15°，
∴∠ECA＝1
2
∴x＝7.5．
②若2﹣4中，当BE＝BC时，
易知∠BEC＝∠BAC＝∠BCE＝30°，
∴∠OBE＝∠OBC＝60°，
∵OE＝OB，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠BOE＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝1
2
∴x＝30，
综上所述，当CP旋转7.5秒或30秒时，△BCE是等腰三角形；
【点睛】
本题考查几何变换综合题、创新题目、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
8．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB⊥CB于点B，tanD=3，BC=2，H为CE延长线上一点，且AH=10，CH52
=.
（1）求证：AH是⊙O的切线；
（2）若点D是弧CE的中点，且AD交CE于点F，求证：HF=HA；
（3）在（2）的条件下，求EF的长．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3102
【解析】
【分析】（1）连接AC，由AB⊥CB可知AC是⊙O的直径，由圆周角定理可得∠C=∠D，于是得到tanC=3，故此可知AB=6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2= 40，从而可得AC2+AH2=CH2，根据勾股定理的逆定理可得AC⊥AH，问题得证；
（2）连接DE、BE，由弦切角定理可知∠ABD=∠HAD，由D是CE的中点，可得
∠CED=∠EBD，再由圆周角定理可得∠ABE=∠ADE，结合三角形的外角即可证明
∠HAF=∠AFH，从而可证得AH=HF；
（3）由切割线定理可得2，由（2）可知10，从而可得EF=FH﹣10-2．
【详解】（1）如图1所示：连接AC．
∵AB⊥CB，
∴AC是⊙O的直径，
∵∠C=∠D，
∴tanC=3，
∴AB=3BC=3×2=6，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=40，
又∵AH2=10，CH2=50，
∴AC2+AH2=CH2，
∴△ACH为直角三角形，
∴AC⊥AH，
∴AH是圆O的切线；
（2）如图2所示：连接DE、BE，
∵AH是圆O的切线，
∴∠ABD=∠HAD，
∵D是CE的中点，
∴CD ED
，
∴∠CED=∠EBD，
又∵∠ABE=∠ADE，
∴∠ABE+∠EBD=∠ADE+∠CED，
∴∠ABD=∠AFE，
∴∠HAF=∠AFH，
∴AH=HF；
（3）由切割线定理可知：AH2=EH?CH10）22EH，
解得：2，
∵由（2）可知10，
∴EF=FH﹣102．
【点睛】本题主要考查圆的综合应用，解答主要应用了切线的判定定理、弦切角定理、切
割线定理、圆周角定理、勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的外角的性质等，正确添加辅助线是解题的关键.
9．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，弦BD平分∠ABC交AC于F，弦DE⊥AB于H，交AC于G．
①求证：AG＝GD；
②当∠ABC满足什么条件时，△DFG是等边三角形？
③若AB＝10，sin∠ABD＝3
5
，求BC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）当∠ABC＝60°时，△DFG是等边三角形．理由见解析；
（3）BC的长为14
5
．
【解析】
【分析】
（1）首先连接AD，由DE⊥AB，AB是O的直径，根据垂径定理，即可得到AD AE
=，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，证得∠ADE＝∠ABD，又由弦BD平分∠ABC，可得∠DBC＝∠ABD，根据等角对等边的性质，即可证得AG=GD；
（2）当∠ABC=60°时，△DFG是等边三角形，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角与三角形的外角的性质，易求得∠DGF=∠DFG=60°，即可证得结论；
（3）利用三角函数先求出tan∠ABD
3
4
=，cos∠ABD＝
4
5
，再求出DF、BF，然后即可求出
BC.
【详解】
（1）证明：连接AD，
∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴AD AE
=，
∴∠ADE＝∠ABD，
∵弦BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD，
∵∠DBC＝∠DAC，
∴∠ADE＝∠DAC，
∴AG＝GD；
（2）解：当∠ABC＝60°时，△DFG是等边三角形．理由：∵弦BD平分∠ABC，
∴∠DBC ＝∠ABD ＝30°， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，
∴∠CAB ＝90°﹣∠ABC ＝30°， ∴∠DFG ＝∠FAB+∠DBA ＝60°， ∵DE ⊥AB ，
∴∠DGF ＝∠AGH ＝90°﹣∠CAB ＝60°， ∴△DGF 是等边三角形； （3）解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝∠ACB ＝90°， ∵∠DAC ＝∠DBC ＝∠ABD ， ∵AB ＝10，sin ∠ABD ＝
35
， ∴在Rt △ABD 中，AD ＝AB?sin ∠ABD ＝6， ∴BD ＝
22AB BD -＝8，
∴tan ∠ABD ＝
34AD BD =，cos ∠ABD ＝4
=5
BD AB ， 在Rt △ADF 中，DF ＝AD?tan ∠DAF ＝AD?tan ∠ABD ＝6×34＝9
2
， ∴BF ＝BD ﹣DF ＝8﹣
92＝72
， ∴在Rt △BCF 中，BC ＝BF?cos ∠DBC ＝BF?cos ∠ABD ＝72×45＝145
． ∴BC 的长为：
14
5
．
【点睛】
此题考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、三角函数的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意辅助线的作法．
10．对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQ
k CQ
+=
，则称点A （或点B ）是⊙C 的“K 相关依附点”，特别
地，当点A 和点B 重合时，规定AQ=BQ ，2AQ k CQ =
（或2BQ
CQ
）． 已知在平面直角坐标系xoy 中，Q(-1,0)，C(1,0)，⊙C 的半径为r ． （1）如图1，当2r =
时，
①若A 1(0,1)是⊙C 的“k 相关依附点”，求k 的值． ②A 2(1+2，0)是否为⊙C 的“2相关依附点”． （2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ， ①当r=1，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值． ②当3k =
时，求r 的取值范围．
（3）若存在r 的值使得直线3y x b =-+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C 的“3相关依附点”，直接写出b 的取值范围．
【答案】（1）2．②是；（2）①3k =②r 的取值范围是12r <≤；（3）
333b -<．
【解析】 【分析】
（1）①如图1中，连接AC 、1QA ．首先证明1QA 是切线，根据2AQ
k CQ
=计算即可解决问题；
②根据定义求出k 的值即可判断；
（2）①如图，当1r =时，不妨设直线QM 与C 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在
x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥，根据定义计算即可；
②如图3中，若直线QM 与
C 不相切，设直线QM 与C 的另一个交点为N （不妨设
QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，可得()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ +=++=+=，2CQ ，推出
2MQ NQ DQ
k DQ CQ CQ
+=
==，可得当3k =3DQ =221CD CQ DQ -=，
假设
C 经过点Q ，此时2r ，因为点Q 早C 外，推出r 的取值范围是12r <；
（3）如图4中，由（2）可知：当3k =
时，12r <．当2r 时，C 经过点
(1,0)Q -或(3,0)E ，当直线3y x b =-+经过点Q 时，3b =-，当直线3y x b
=-+经过点E 时，33b =，即可推出满足条件的b 的取值范围为333b -<<． 【详解】
（1）①如图1中，连接AC 、1QA ．
由题意：1OC OQ OA ==，∴△1QA C 是直角三角形，190CA Q ∴∠=?，即
11CA QA ⊥，1QA ∴是C 的切线，1222
22
QA k QC ∴=
== ②
2(12,0)A +在
C 上，22121
2k -+++∴=
=，2A ∴是C 的“2相关依附
点”．
2
（2）①如图2，当1r =时，不妨设直线QM 与
C 相切的切点M 在x 轴上方（切点M
在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥．
(1,0)Q -，(1,0)C ，1r =，2CQ ∴=，1CM =，∴3MQ =，此时
23MQ
k CQ
=
②如图3中，若直线QM 与C 不相切，设直线QM 与C 的另一个交点为N （不妨设
QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，
()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ ∴+=++=+=，2CQ =，∴2MQ NQ DQ
k DQ CQ CQ
+=
==，∴当3k =3DQ =221CD CQ DQ =-，
假设
C 经过点Q ，此时2r ，点Q 早C 外，r ∴的取值范围是12r <．
——圆 ◆知识讲解 一．圆的定义 1、在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。 2、圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合。 3、确定一个圆需要两个要素：一是位置二是大小，圆心确定其位置，半径确定其大小。 4、连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弦记作“圆弧AB”，或者“弧AB”。大于半圆的弧叫作优弧（用三个字母表示，如ABC）叫优弧；小于半圆的弧（如AB）叫做劣弧。 二、垂直于弦的直径、弧、弦、圆心角 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弦。 2、垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 3、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等。 在等圆中，弦心距相等的弦相等。 三、圆周角 1、定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角。 2、定理：一条弧所以的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。 3、推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所以的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 四、点和圆的位置关系 1、设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d。 则d>r ?点在圆外，d=r ?点在圆上，d 1、在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积是1.28 ㎡,已知床单的长是2 m ，宽是1.2 m ，求花边的宽度. 解：设花边的宽度是x m. ()()28.122.122=--x x 028.06.12=+-x x ()36.08.02 =-x 2.01=x ，4.12=x （舍去） 答：花边的宽度是0.2 m. 2、某商场将进货价为30元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。 ⑴ 为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ ⑵ 台灯的售价应定为多少时销售利润最大？ 解：⑴ 设台灯的售价为x 元，(x ≥40)根据题意得 [(600－10×(x －40))](x －30)＝10000 解得：x 1＝80 x 2＝50 当x ＝80时 进台灯数为600－10×(x －40)＝200 当x ＝50时 600－10×(x －40)＝500 ⑵ 设台灯的售价定为x 元时，销售利润最大，利润为y y ＝［600－10（x －40）］·（x －30） 答：⑴ 台灯的售价为80元，进台灯数为200个，台灯的售价为50元时，进台灯数为500个。 ⑵ 3、学校有若干个房间分配给九年级（1）班的男生住宿，已知该班男生不足50人。若每间住4人，则余15人无住处；若每间住6人，则恰有一间不空也不满（其余均住满），那么该班男生人数是多少？ 解：设有x 间，每间住4人，4x 人，15人无处住 所以有4x +15人 每间住6人，则恰有一间不空也不满 所以x -1间住6(x -1)=6x -6人 还有4x +15-6x +6＝-2x ＋21人 不空也不满 所以0＜-2x +21＜6 -6＜2x -21＜0 15＜2x ＜21 7.5＜x ＜10.5 所以x =8, x =9, x =10 不到50人 一共4x +15＜50 所以x =8 所以应该是4×8+15=47人 目录 第01讲与有理数有关的概念（2--8） 第02讲有理数的加减法（3--15） 第03讲有理数的乘除、乘方（16--22） 第04讲整式（23--30） 第05讲整式的加减（31--36) 第06讲一元一次方程概念和等式性质(37--43) 第07讲一元一次方程解法(44--51) 第08讲实际问题与一元一次方程(52--59) , 第09讲多姿多彩的图形(60--68) 第10讲直线、射线、线段(69--76) 第11讲角(77--82) 第12讲与相交有关概念及平行线的判定(83--90) 第13讲平行线的性质及其应用(91--100) 第14讲平面直角坐标系（一）(101--106) 第15讲平面直角坐标系（二）(107--112) 第16讲认识三角形(113--119) 第17讲认识多边形(120--126) 第18讲二元一次方程组及其解法(127--134) ( 第19讲实际问题与二元一次方程组(135--145) 第20讲三元一次方程组和一元一次不等式组(146--155) 第21讲一元一次不等式（组）的应用(156--164) 第22讲一元一次不等式（组）与方程（组）的结合(165--174)第23讲数据的收集与整理(175--186) 模拟测试一 模拟测试二 模拟测试三 （ 第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. ` 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） 《 A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京 时间l 5：00，纽约时问是____ 【例２】在－22 7，π，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0???? ??? ???????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、 分数分类，有理数????????????????? 正整数 整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－22 7是分数0.033.3是无 限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ． 【变式题组】 圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC 内接于△O ， P 是圆外一点，P A 为△O 的切线，且P A ＝PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点D . （1）求证：PB 为△O 的切线； （2）若P A ＝4 5PO ，△O 的半径为10，求线段 PD 的长. 第1题图 (1)证明：△△△△△△OA △OB △ 第1题解图 △P A △PB △OA △OB △OP △OP △ △△OAP △△OBP (SSS)△ △△OAP △△OBP △ △P A △△O △△△△ △△OAP △90°△ △△OBP △90°△ △OB △△O △△△△ △PB △△O △△△△ △△Rt△AOP △△OA △PO 2 △△4 5PO △2△10△ △△PO △50 3△ △cos△AOP △AO OP △OD AO △ △OD △6△ △PD △PO △OD △32 3. 2. △△△△△ABC △△AB △AC △△D △BC △△△△△AD △DC △△A △B △D △△△△O △AE △△O △△△△△△DE . △1△△△△AC △△O △△△△ △2△△cos C △3 5△AC △24△△△△AE △△. 第2题图 (1)证明：△AB △AC △AD △DC △ △△C △△B △△DAC △△C △ △△DAC △△B △ △△△E △△B △ △△DAC △△E △ △AE △△O △△△△ △△ADE △90°△ △△E △△EAD △90°△ △△DAC △△EAD △90°△ △△EAC △90°△ △OA △△O △△△△ △AC △△O △△△△ (2)解：△△△△△△D △DF △AC △△F △ 第2题解图 △DA △DC △ △CF △1 2AC △12△ △Rt△CDF △△△cos C △CF CD △3 5△ △DC △20△ △AD △20△ △Rt△CDF △△△△△△△△1622==CF CD DF －△ △△ADE △△DFC △90°△△E △△C △ △△ADE △△DFC △ △AE DC △AD DF △ △AE 20△1620 △△△AE △25△ △△O △△△AE △25. 3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作△O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作△O 的切线EF ，交BC 于点F ． （1）求证：EF △BC ； （2）若CD =2，tan C =2，求△O 的半径． 四边形 1、如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，过C作AE的垂线交AE的延长线于点F，连结DE，过点D作DF的垂线交AF于点G。 （1）求证：AG=CF。 （2）连结BG，若BG⊥AE，取BC的中点H，试判断线段BD与线段EH的数量关系和位置关系，并给出证明。 2、（1）如图1，已知正方形ABCD，E是边CD上一点，延长CB到点F，使BF=DE，作∠EAF 的平分线交边BC于点G，求证：BG+DE=E G。 （2）如图2，已知△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，若BD=2，CD=1，求△ABC的面积。 3、如图1，摆放矩形AB CD与矩形ECGF，使B，C，G三点在一条直线上，CE在边CD上，连结AF，若M为AF的中点，连结DM、ME，猜想DM与ME的关系，并证明你的结论。 拓展与延伸： （1）若将图1中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM 和ME的关系为。 （2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF 的中点，试证明（1）中的结论仍然成立。 4、在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同速度在直线DC、CB上移动。 （1）如图1，当点E在线段CD上，点F在线段BC上时，连结AE和DF交于点P，请写出AE与DF的关系，并说明理由。 （2）如图2，点E、F分别移动到边DC、CB的延长线上时，连结AE和DF，（1）中的结论还成立吗？真接写出结论，无需证明。 （3）如图3，当点E、F分别在CD、BC的延长线上移动时，连结AE与D F，（1）的结论还成立吗？请说明理由。 （4）如图4，当点E、F分别在边DC、CB上移动时，连结AE和DF交于点P，由于点E、F 的移动，使得点P也随之移动，请画出点P的运动路径的草图，若AD=2，试求出线段CP的最小值。 第一讲数系扩张--有理数（一） 一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成m n（0,, n m n ≠互质）。 4、性质：①顺序性（可比较大小）； ②四则运算的封闭性（0不作除数）； ③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0) || (0) a a a a a ≥ ? =? -≤ ?②非负性2 (||0,0) a a ≥≥ ③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若 |||||| 0, a b ab ab a b ab +- 则 的值等于多少？ 2．如果m是大于1的有理数，那么m一定小于它的（） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2，求 220062007 ()()() x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置，如下图所示，那 么|||| a b a b -++化简的结果等于（ A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知 2 (3)|2|0 a b -+-=，求b a的值是（） A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么 ,, a b b c c a b c c a a b --- ---中有几个负数？ 7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1， , a b a +的形式式，又可表示为0， b a，b 的形式，求 20062007 a b +。 中考数学培优专题复习相似练习题及答案 一、相似 1．如图，在Rt△ABC中，，角平分线交BC于O，以OB为半径作⊙O. （1）判定直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由; （2）连接AO交⊙O于点E，其延长线交⊙O于点D，，求的值; （3）在（2）的条件下，设的半径为3，求AC的长. 【答案】（1）解：AC是⊙O的切线 理由：， ， 作于， 是的角平分线， ， AC是⊙O的切线 （2）解：连接， 是⊙O的直径， ,即 . . 又 (同角) ， ∽ , （3）解：设 在和中，由三角函数定义有： 得： 解之得： 即的长为 【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等证得点O到AC的距离为半径长，即可证得AC与圆O相切；（2）先连接BE构造一个可以利用正切值的直角三角形，再证得∠1=∠D，从而证得两个三角形ABE与ABD相似，即可求得两个线段长的比值；（3）也可以应用三角形相似的判定与性质解题，其中AB的长度是利用勾股定理与（2）中AE与AB的比值求得的. 2．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题： （1）求证：△BEF∽△DCB； （2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值； （3）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由． 【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴ AD∥BC， 在中， ∵别是的中点， ∴EF∥AD， ∴ EF∥BC， 2017届深圳中考数学专题——圆 一．解答题（共30小题） 1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F． （1）求证：EF与⊙O相切； （2）若AB=6，AD=4，求EF的长． 2．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE． （1）求证：直线DF与⊙O相切； （2）若AE=7，BC=6，求AC的长． 3．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：BC2=CD?2OE； （3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长． 4．如图，已知BC为⊙O的直径，BA平分∠FBC交⊙O于点A，D是射线BF上的一点，且满足=，过点O作OM⊥AC于点E，交⊙O于点M，连接BM，AM． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若sin∠ABM=，AM=6，求⊙O的半径． 5．如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O 于点F，且CE=CB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接AF、BF，求∠ABF的度数； （3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径． 6.如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）求证：ED平分∠BEP； （3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长． 8．如图，△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED． （1）若∠B+∠FED=90°，求证：BC是⊙O的切线； （2）若FC=6，DE=3，FD=2，求⊙O的直径． 9．如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作DE⊥AC，垂足为点E． （1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若AB=4，求FH的长（结果保留根号）． 中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于 （ ） （A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的 41，那么这个圆柱的侧面积是 （ ） （A ）100π平方厘米 （B ）200π平方厘米 （C ）500π平方厘米 （D ）200平方厘米 3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用 现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为 （ ） （A ）2 25寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸 4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） （A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘 米，那么此圆锥的底面半径的长等于 （ ） （A ）2厘米 （B ）22厘米 （C ）4厘米 （D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘 米和17厘米，则这两圆的圆心距为 （ ） （A ）7厘米 （B ）16厘米 （C ）21厘米 （D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ） 专项训练一 一元二次方程 一、选择题 1．(2016·新疆中考)一元二次方程x 2－6x －5＝0配方后可变形为( ) A ．(x －3)2＝14 B ．(x －3)2＝4 C ．(x ＋3)2＝14 ．(x ＋3)2＝4 2．(2016·攀枝花中考)若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2＋3 2ax －a 2＝0的一个根，则a 的值为( ) A ．－1或4 B ．－1或－4 C ．1或－4 D ．1或4 3．(2016·凉山州中考)已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2＝6－2x 的两根，则x 1－x 1x 2＋x 2的值是( ) A ．－43 B.83 C ．－83 D.43 4．(2016·随州中考)随州市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次， 2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x ，则下列方程中正确的是( ) A ．20(1＋2x )＝28.8 B ．28.8(1＋x )2＝20 C ．20(1＋x )2＝28.8 D ．20＋20(1＋x )＋20(1＋x )2＝28.8 5．(2016·潍坊中考)关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋sin α＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于( ) A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 6．已知三角形两边的长是3和4，第三边长是方程x 2－12x ＋35＝0的根，则该三角形的周长是( ) A ．14 B ．12 C ．12或14 D ．以上都不对 7．(2016·深圳中考)给出一种运算：对于函数y ＝x n ，规定y ′＝nx n － 1.例如：若函数y ＝x 4，则有y ′＝4x 3.已知函数y ＝x 3，则方程y ′＝12的解是( ) A ．x 1＝4，x 2＝－4 B ．x 1＝2，x 2＝－2 C ．x 1＝x 2＝0 D ．x 1＝23，x 2＝－2 3 8．★关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2n ＝0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y 2＋2ny ＋2m ＝0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都是负根；②(m －1)2＋(n －1)2≥2；③－1≤2m －2n ≤1，其中正确结论的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 二、填空题 9．(2016·菏泽中考)已知m 是关于x 的方程x 2－2x －3＝0的一个根，则2m 2－4m ＝________． 10．方程(2x ＋1)(x －1)＝8(9－x )－1的根为____________． 11．(2016·聊城中考)如果关于x 的一元二次方程kx 2－3x －1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是______________． 12．(2016·黄石中考)关于x 的一元二次方程x 2＋2x －2m ＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m 的取值范围是________． 13．关于x 的反比例函数y ＝ a ＋4 x 的图象如图所示，A 、P 为该图象上的点，且关于原点成中心对称．△P AB 中，PB ∥y 轴，AB ∥x 轴，PB 与AB 相交于点B .若△P AB 的面积大于12，则关于x 的方程(a －1)x 2－x ＋1 4 ＝0的根的情况是______________． 14．一个容器盛满纯药液40L ，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这 第17讲 二次函数与面积 解这类问题一般用到以下与面积相关的知识：图形割补、等积转换、等比转化. 【例题讲解】 例题1 如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高（h ）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ABC S △＝1 2 ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 解答问题： 如图2，顶点为C （1,4）的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交x 轴于点A （3,0），交y 轴于点B ． （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S △； ②是否存在抛物线上一点P ，使PAB S △＝CAB S △？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由． C B 1把A （3,0）代入解析式求得a ＝－1， 所以1y ＝－（x －1）2＋4＝－x 2＋2x ＋3， 设直线AB 的解析式为：2y ＝kx ＋b 由1y ＝－x 2＋2x ＋3求得B 点的坐标为（0,3） 把A （3,0），B （0,3）代入2y ＝kx ＋b 中 解得：k ＝－1，b ＝3 所以2y ＝－x ＋3； （2）①因为C 点坐标为（1,4） 所以当x ＝1时，1y ＝4，2y ＝2 所以CD ＝4－2＝2 CAB S △＝ 1 2 ×3×2＝3（平方单位）； ②假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△P AB 的铅垂高为h ，则h ＝1y －2y ＝（－x 2＋2x ＋3）－（－x ＋3）＝－x 2＋3x 由PAB S △＝CAB S △ 得： 1 2 ×3×（－x 2＋3x ）＝3 化简得：x 2－3x ＋2＝0， 解得：1x ＝1，2x ＝2， 将1x ＝1代入1y ＝－x 2＋2x ＋3中， 解得P 点坐标为（1，4）． 将2x ＝2代入1y ＝－x 2＋2x ＋3中， 解得P 点坐标为（2，3）． ∵点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点， 综上所述，P 点的坐标为（1，4），（2，3）． 模型讲解 竖切 面积公式均为1 = 2 S dh C B h C B h C B 横切 面积公式均为1 = 2 S dh D 【总结】 这种“铅垂高×水平宽的一半”的求解方法可过三角形的任意一点，并且“横竖”均可.而在选择时，如何选用，取决于点D 的坐标哪种更易求得. 例题2 已知一次函数y ＝（k ＋3）x ＋（k －1）的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，P （－1，－4）. 第一讲 数系扩张--有理数（一） 一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成 m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0) ||(0) a a a a a ≥?=?-≤? ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。 ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若||||||0,a b ab ab a b ab +- 则的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 220062007 ()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6 6、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么 ,,a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为 0，b a ，b 的形式，求20062007a b +。 、选择题： 1. 如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子 3. 已知圆内接正三角形的边心距为 1，则这个三角形的面积为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 4. 如图，点 A ， B ， C ，在⊙ O 上，∠ ABO=32°，∠ ACO=38°，则∠ BOC 等于 ( 6.如图, ⊙O 是△ ABC 的外接圆 ,弦AC 的长为 3,sinB=0.75, 则⊙ O 的半径为( ) 圆 50 题 垂直，在测直径时，把 A ． O 点靠在圆周上，读得刻度 OE=8个单位， 12 个单位 B ． 10 个单位 C CD 是⊙ O 的两条弦，连结 AD 、BC ．若∠ BCD=70°， OF=6个单位，则圆的直径为 ( 1 个单位 D ． 15 个单位 则∠ BAD 的度数为( 2. 如图， AB 、 A ． 40° B ．50° C ． 60° D ． 70° B ．70° C ．120° D ． 140° 5. 如图 , 点 A,B,C 在⊙ O 上, ∠A=36° , ∠ C=28° , 则∠ B=( A.100 B.72 C.64 D.36 OA 、 OB 在 O 点钉在一起，并使它们保持 AD 切⊙ O 于点 A ，点 C 是弧 BE 的中点，则下列结论不成立的是( B ． EC=B C C ．∠ DAE=∠ABE D ．AC ⊥OE 10. 如图 , △ABC 中,AB=5,BC=3,AC=4, 以点 C 为圆心的圆与 AB 相切 ,则⊙ C 半径为( 11. 数学课上，老师让学生尺规作图画 Rt △ABC ，使其斜边 AB=c ，一条直角边 BC=a ，小明的作法如图所 示， 你认为这种作法中判断∠ ACB 是直角的依据是( ) A.4 B.3 C.2 D. OB=6cm,高 OC=8cm 则. 这个圆锥的侧面 积是 7. 如图，圆锥的底面半径 22 A.30cm 2 B.30 π cm 2 C.60 2 π cm D.120cm 9. 如图,AB 是⊙ O 的直径 ,C 、D 是⊙ O 上两点 , 分别连接 AC 、BC 、CD 、OD ．∠ DOB=140° A.20° B.30 C.40 D.70 ，则∠ ACD (= B.2.5 C.2.4 D.2.3 初三数学中考总复习培优资料一 一、选择题（本大题共有12小题，每小题2分，共24分.） 1．-2的绝对值是 A ．-2 B ．- 12 C ．2 D ．12 2．下列运算正确的是 A ．x 2+ x 3= x 5 B ．x 4·x 2= x 6 C ．x 6÷x 2 = x 3 D ．( x 2)3 = x 8 3．下面四个几何体中，俯视图为四边形的是 4．已知a -b =1，则代数式2a -2b -3的值是 A ．-1 B ．1 C ．-5 D ．5 5．若⊙O 1、⊙O 2的半径分别为4和6，圆心距O 1O 2=8，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离 6．对于反比例函数y =1 x ，下列说法正确的是 A ．图象经过点（1，-1） B ．图象位于第二、四象限 C ．图象是中心对称图形 D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 7．某市6月上旬前5天的最高气温如下（单位：℃）：28，29，31，29，32．对这组数据，下列说法正确的是 A ．平均数为30 B ．众数为29 C ．中位数为31 D ．极差为5 8．小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校. 折线表示小亮的行程s (km)与所花时间t (min)之间的函数关系. 下列说法错误．．的是 A ．他离家8km 共用了30min B ．他等公交车时间为6min C ．他步行的速度是100m/min D ．公交车的速度是350m/min 9．一元二次方程x x 22 =的根是（ ） A ．2=x B ．0=x C ．2,021==x x D ．2,021-==x x 10．如图，将一个可以自由旋转的转盘等分成甲、乙、丙、丁四个扇形区域，若指针固定不变，转动这个转盘一次（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止），则指针指在甲区域内的概率是（ ） A ．1 B ． 21 C ．31 D ．4 1 A B C D （第8题图） 经典几何模型之隐圆”“圆来如此简单” 一.名称由来 在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。 正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”。一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！ 二.模型建立 【模型一：定弦定角】 【模型二：动点到定点定长（通俗讲究是一个动的点到一个固定的点的距离不变）】 【模型三：直角所对的是直径】 【模型四：四点共圆】 ` 三．模型基本类型图形解读 【模型一：定弦定角的“前世今生”】 【模型二：动点到定点定长】 【模型三：直角所对的是直径】 【模型四：四点共圆】 四．“隐圆”破解策略 牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。 直角必有外接圆，对角互补也共圆。五．“隐圆”题型知识储备 3 六．“隐圆”典型例题 【模型一：定弦定角】 1.（2017 威海）如图 1，△ABC 为等边三角形，AB=2，若P 为△ABC 内一动点，且满足 ∠PAB=∠ACP，则线段P B 长度的最小值为_ 。 简答：因为∠PAB=∠PCA，∠PAB+∠PAC=60°，所以∠PAC+∠PCA=60°，即∠APC=120°。因为A C定长、∠APC=120°定角，故满足“定弦定角模型”，P在圆上，圆周角∠APC=120°，通过简单推导可知圆心角∠AOC=60°，故以AC 为边向下作等边△AOC，以O 为圆心，OA 为半径作⊙O，P在⊙O 上。当B、P、O三点共线时，BP最短（知识储备一：点圆距离）， 此时B P=2 -2 2.如图1所示，边长为2的等边△ABC 的原点A在x轴的正半轴上移动，∠BOD=30°，顶点A 在射线O D 上移动，则顶点C到原点O的最大距离为。 一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题： （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）24 【解析】 试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可； （2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解． 试题解析：（1）证明：连接OD ， ∵OD=OA ， ∴∠ODA=∠A ， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AB ， ∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ， ∴∠EOC=∠DOC ， 在△EOC 和△DOC 中， OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC （SAS ）， ∴∠ODC=∠OEC=90°， 即OD ⊥DC ， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）由（1）知CD 是圆O 的切线， ∴△CDO 为直角三角形， ∵S △CDO = 1 2 CD?OD ， 又∵OA=BC=OD=4， ∴S △CDO = 1 2 ×6×4=12， ∴平行四边形OABC 的面积S=2S △CDO =24． 2．已知 O 的半径为5，弦AB 的长度为m ，点C 是弦AB 所对优弧上的一动点． ()1如图①，若m 5=，则C ∠的度数为______； ()2如图②，若m 6=． ①求C ∠的正切值； ②若ABC 为等腰三角形，求ABC 面积． 【答案】()130；()2C ∠①的正切值为3 4 ；ABC S 27=②或 432 25 . 【解析】 【分析】 ()1连接OA ，OB ，判断出AOB 是等边三角形，即可得出结论； ()2①先求出10AD =，再用勾股定理求出8BD =，进而求出tan ADB ∠，即可得出结 论； ②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论． 【详解】 ()1如图1，连接OB ，OA ， 一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标； （2）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H． ①求证△ADB≌△AOB； ②求点H的坐标． （3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）D（1，3）；（2）①详见解析；②H（17 5 ，3）；（3） 30334 - ≤S≤30334 + ． 【解析】 【分析】 （1）如图①，在Rt△ACD中求出CD即可解决问题； （2）①根据HL证明即可； ②，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m即可解决问题； （3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题； 【详解】 （1）如图①中， ∵A（5，0），B（0，3）， ∴OA=5，OB=3， ∵四边形AOBC是矩形， ∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°， ∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到， ∴AD=AO=5， 在Rt△ADC中，CD=22 AD AC -=4， ∴BD=BC-CD=1， ∴D（1，3）． （2）①如图②中， 由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°， ∵点D在线段BE上， ∴∠ADB=90°， 由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°， ∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）． ②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO，又在矩形AOBC中，OA∥BC， ∴∠CBA=∠OAB， ∴∠BAD=∠CBA， ∴BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m， 在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2， ∴m2=32+（5-m）2， ∴m=17 5 ， ∴BH=17 5 ， ∴H（17 5 ，3）． （3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，最小值=1 2 ?DE?DK= 1 2 ×3× （34 ） 30334 - 中考数学圆 专题练习-- 一、选择题 1.（2010年 湖里区 二次适应性考试）已知半径分别为5 cm 和8 cm 的两圆相交，则它们的圆心距可能是（ ） A ．1 cm B ．3 cm C ．10 cm D ．15 cm 答案：C 2.（2010年教育联合体）如图，已知AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC 于E ，连接AD ，则下列结论 正确的个数是（ ） ①AD ⊥BC ，②∠EDA ＝∠B ，③OA ＝ 1 2AC ，④DE 是⊙O 的切线． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案：D 3.（2010安徽省模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 、E 是圆的三等分点，AE 、BD 的延长线交于点C ，若CE=2,则 ⊙O 中阴影部分的面积是（ ） A ．433π- B ．2 3π C ．2 23 π- D ．1 3 π 答案：A 4.（2010年重庆市綦江中学模拟1）.在直角坐标系中，⊙A 、⊙B 的 位置如图所示.下列四个点中，在⊙A 外部且在⊙B 内部的是（ ） A.（1，2） B.(2,1). C.(2,-1). D.(3,1) 答案C 5.(2010年聊城冠县实验中学二模)如下图，将半径为2cm 的圆形纸片 第4题图 O D B C E A 第3题 A O B C D E 折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为（ ） A ．2cm B ．3cm C ．32cm D ．52cm 答案C 6.（2010年广州市中考六模）、如果圆锥的母线长为6cm ，底面圆半径为3cm ，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. 2 9cm π B. 2 18cm π C. 2 27cm π D. 2 36cm π 答案：B 7.（2010年广州市中考六模）如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ， 的度数为60°， 的度数为100°，则∠AEC 等于（ ） A. 60° B. 100° C. 80° D. 130° 答案：C 8.（2010年广西桂林适应训练）如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝ 12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（ ）． A.6.5米 B.9米 C.13米 D.15米 答案：A 9.（2010年广西桂林适应训练）如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD=30o ， 则∠A 的度数为（ ）．[来 A.30o B.45o C.60o D.75o 答案：C 10.（2010山东新泰）已知⊙O 1的半径为5cm ，⊙O 2的半径为3cm ，圆心距O 1O 2＝2，那么⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（ ） A ．相离 B ．外切 C ．相交 D ．内切 答案：D 11.（2010年济宁师专附中一模）如图，A B C D ，，，为⊙O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O C D O ---路 7题图 8题图 9题图 最新人教版 七年级数学上册培优辅导讲义 第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米 ⑵收人－50元 ⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00， 纽约时问是_ ___ 【例２ 】在－22 7 ，π，0，0.033. 3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0???? ??? ???????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数； （2）按整数、分数分类，有理数 ????????????????? 正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝ 3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－22 7 是分数，0.033. 3是无 限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ． 【变式题组】 01．在7，0，15，－12，－301，31.25，－1 8 ，100，1，－3 001中，负分数为 ，整数 为 ，正整数 . 02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－13 8 ，0.1，－5.32，123, 2.333 【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14，－15，1 6 ，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】 从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故 答案为－1 2007 .浙教版初中数学中考培优题(含答案)
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