一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知：如图，△ABC中，AC=3，∠ABC=30°．
（1）尺规作图：求作△ABC的外接圆，保留作图痕迹，不写作法；
（2）求（1）中所求作的圆的面积．
【答案】（1）作图见解析；（2）圆的面积是9π．
【解析】
试题分析：（1）按如下步骤作图：①作线段AB的垂直平分线；②作线段BC的垂直平分线；③以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆．如图所示（2）要求外接圆的面积，需求出圆的半径，已知AC＝3，如图弦AC所对的圆周角是∠ABC=30°，所以圆心角∠AOC=60°，所以?AOC是等边三角形，所以外接圆的半径是3故可求得外接圆的面积．
（2）连接OA，OB．
∵AC=3，∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴圆的半径是3，
∴圆的面积是S=πr2=9π．
2．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D 作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．
（1）求证：DP∥AB；
（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
（1）连接OD，由AB为⊙O的直径，根据圆周角定理得∠ACB=90°，再由
∠ACD=∠BCD=45°，则∠DAB=∠ABD=45°，所以△DAB为等腰直角三角形，所以DO⊥AB，根据切线的性质得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB．
（2）先根据勾股定理计算出AB=10，由于△DAB为等腰直角三角形，可得到
AD52
22
===；由△ACE为等腰直角三角形，得到
AE CE32
22
====，在Rt△AED中利用勾股定理计算出DE=42，则
CD=72，易证得∴△PDA∽△PCD，得到PD PA AD52
PC PD CD72
===，所以PA=
5
7
PD，
PC=7
5
PD，然后利用PC=PA+AC可计算出PD．
【详解】
解：（1）证明：如图，连接OD，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD=∠BCD=45°．∴∠DAB=∠ABD=45°．∴△DAB为等腰直角三角形．
∴DO⊥AB．
∵PD为⊙O的切线，∴OD⊥PD．
∴DP∥AB．
（2）在Rt△ACB中，，
∵△DAB 为等腰直角三角形，∴
．
∵AE ⊥CD ，∴△ACE 为等腰直角三角形．∴．
在Rt △AED 中，，
∴
．
∵AB ∥PD ，∴∠PDA=∠DAB=45°．∴∠PAD=∠PCD ． 又∵∠DPA=∠CPD ，∴△PDA ∽△PCD ．∴．
∴PA=
75PD ，PC=5
7
PD ． 又∵PC=PA+AC ，∴
75PD+6=5
7
PD ，解得PD=．
3．已知P 是
O 的直径BA 延长线上的一个动点，∠P 的另一边交O 于点C 、D ，两点位
于AB 的上方，AB ＝6，OP=m ，1
sin 3
P ＝，如图所示．另一个半径为6的1O 经过点
C 、
D ，圆心距1OO n ＝． （1）当m=6时，求线段CD 的长；
（2）设圆心O 1在直线AB 上方，试用n 的代数式表示m ；
（3）△POO 1在点P 的运动过程中，是否能成为以OO 1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n 的值；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)CD=252381
2n n
;(3) n 9559155 【解析】
分析：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，连接OC ．解Rt △POH ，得到OH 的长．由勾股定理得CH 的长，再由垂径定理即可得到结论； （2）解Rt △POH ，得到Rt 3
m
OH OCH ＝．在和Rt △1O CH 中，由勾股定理即可得到结论；
（3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况讨论：① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时，分1OP OO ＝和11O P OO ＝．②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时，同理可得结论．
详解：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，连接OC ．
在Rt △1
sin 63
POH P PO =中，＝，，∴2OH =． ∵AB ＝6，∴3OC ＝． 由勾股定理得： 5CH = ∵OH ⊥DC ，∴225CD CH ==．
（2）在Rt △1sin 3POH P PO m 中，＝，＝，∴3
m OH ＝
． 在Rt △OCH 中，2
2
93m CH ??- ???
＝． 在Rt △1O CH 中，2
2363m CH n ??-- ??
?＝． 可得： 22
36933m m n ????--- ? ?????
＝，解得23812n m n -：＝．
（3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况： ① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时
i ）1OP OO ＝，即m n ＝，由2
381
2n n n
-＝，解得9n ：＝．
即圆心距等于
O 、1O 的半径的和，就有O 、1O 外切不合题意舍去．
ii ）11O P OO ＝222
33
m m n m -
+-（）（）
n ＝， 解得：23m n ＝，即23n 2381
2n n
-＝，解得9155n ：＝
②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时，同理可得： 2
8132n m n
-＝．
∵1POO ∠是钝角，∴只能是m n =，即2
8132n
n n
-＝，解得955n ：＝ 综上所述：n 9559
155
点睛：本题是圆的综合题．考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形．解
答（3）的关键是要分类讨论．
4．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=?，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，点O 在AB 上，⊙O 经过A 、D 两点，交AC 于点E ，交AB 于点F ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径是2cm ，E 是弧AD 的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
【答案】（1）证明见解析 （2）233
π
- 【解析】 【分析】
（1）连接OD ，只要证明OD ∥AC 即可解决问题；
（2）连接OE ，OE 交AD 于K ．只要证明△AOE 是等边三角形即可解决问题． 【详解】 （1）连接OD ．
∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ODA ．
∵∠OAD =∠DAC ，∴∠ODA =∠DAC ，∴OD ∥AC ，∴∠ODB =∠C =90°，∴OD ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线．
（2）连接OE ，OE 交AD 于K ． ∵AE DE =，∴OE ⊥AD ．
∵∠OAK =∠EAK ，AK =AK ，∠AKO =∠AKE =90°，∴△AKO ≌△AKE ，∴AO =AE =OE ，∴△AOE
是等边三角形，∴∠AOE =60°，∴S 阴=S 扇形OAE ﹣S △AOE 260233604
π??=-?22233π=
． 【点睛】
本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．如图，PA 切⊙O 于点A ，射线PC 交⊙O 于C 、B 两点，半径OD ⊥BC 于E ，连接BD 、
DC 和OA ，DA 交BP 于点F ； （1）求证：∠ADC+∠CBD ＝
1
2
∠AOD ； （2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析； 【解析】 【分析】
()1根据垂径定理得到BD CD =，根据等腰三角形的性质得到
()
11
1809022
ODA AOD AOD ∠=
-∠=-∠，即可得到结论； ()2根据垂径定理得到BE CE =，BD CD =，根据等腰三角形的性质得到
ADO OAD ∠=∠，根据切线的性质得到90PAO ∠=，求得90OAD DAP ∠+∠=，推
出PAF PFA ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】
()1证明：
OD BC ⊥，
BD CD ∴=，
CBD DCB ∴∠=∠，
90DFE EDF ∠+∠=， 90EDF DFE ∴∠=-∠，
OD OA =，
()11
1809022
ODA AOD AOD ∴∠=-∠=-∠，
1
90902
DFE AOD ∴-∠=-∠，
1
2
DEF AOD ∴∠=∠，
DFE ADC DCB ADC CBD ∠=∠+∠=∠+∠，
1
2
ADC CBD AOD ∴∠+∠=∠；
()2解：
OD BC ⊥，
BE CE ∴=，BD CD =，
BD CD
∴=，
OA OD
=，
ADO OAD
∴∠=∠，
PA切O于点A，
90
PAO
∴∠=，
90
OAD DAP
∴∠+∠=，
PFA DFE
∠=∠，
90
PFA ADO
∴∠+∠=，
PAF PFA
∴∠=∠，
PA PF
∴=．
【点睛】
本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．
6．如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的弦，过O点作OD⊥BC，交⊙O的切线CD于点D，交⊙O于点E，连接AC、AE，且AE与BC交于点F．
（1）连接BD，求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AF：EF=2：1，求tan∠CAF的值．
【答案】（1）证明见解析；（23 .
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的性质得到∠OBD=∠OCD=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）根据已知条件得到AC∥DE，设OD与BC交于G，根据平行线分线段成比例定理得到
AC：EG=2：1，EG=1
2
AC，根据三角形的中位线的性质得到OG=
1
2
AC于是得到AC=OE，求
得∠ABC=30°，即可得到结论．【详解】
证明：（1）∵OC=OB，OD⊥BC，∴∠COD=∠BOD，
在△COD 与△BOD 中，
OC OB COD BOD OD OD ＝＝＝??
∠∠???
， ∴△COD ≌△BOD ， ∴∠OBD=∠OCD=90°， ∴BD 是⊙O 的切线；
（2）解：∵AB 为⊙O 的直径，AC ⊥BC ， ∵OD ⊥CB ， ∴AC ∥DE ， 设OD 与BC 交于G ， ∵OE ∥AC ，AF ：EF=2：1， ∴AC ：EG=2：1，即EG=1
2
AC ， ∵OG ∥AC ，OA=OB ， ∴OG=
1
2
AC ， ∵OG+GE=12AC+1
2
AC=AC ， ∴AC=OE ，
∴AC=
1
2
AB ， ∴∠ABC=30°， ∴∠CAB=60°， ∵
CE BE =，
∴∠CAF=∠EAB=
1
2
∠CAB=30°， ∴tan ∠CAF=tan30°3 【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键．
7．已知：如图，四边形ABCD为菱形，△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D，交AC于点E．
（1）判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若CE=2，求⊙O的半径r．
【答案】（1）相切，理由见解析；（2）2.
【解析】
试题分析：（1）根据切线的性质，可得∠ODC的度数，根据菱形的性质，可得CD与BC 的关系，根据SSS，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得∠OBC的度数，根据切线的判定，可得答案；
（2）根据等腰三角形的性质，可得∠ACD=∠CAD，根据三角形外角的性质，
∠COD=∠OAD+∠AOD，根据直角三角形的性质，可得OC与OD的关系，根据等量代换，可得答案．
（1）⊙O与BC相切，理由如下
连接OD、OB，如图所示：
∵⊙O与CD相切于点D，
∴OD⊥CD，∠ODC=90°．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC垂直平分BD，AD=CD=CB．
∴△ABD的外接圆⊙O的圆心O在AC上，
∵OD=OB，OC=OC，CB=CD，
∴△OBC≌△ODC．
∴∠OBC=∠ODC=90°，
又∵OB为半径，
∴⊙O与BC相切；
（2）∵AD=CD，
∴∠ACD=∠CAD．
∵AO=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵∠COD=∠OAD+∠AOD，∠COD=2∠CAD．
∴∠COD=2∠ACD
又∵∠COD+∠ACD=90°，∴∠ACD=30°．
∴OD=1
2
OC，
即r=1
2
（r+2）．
∴r=2．
【点睛】运用了切线的判定与性质，利用了切线的判定与性质，菱形的性质，直角三角形的性质．
8．设C为线段AB的中点，四边形BCDE是以BC为一边的正方形，以B为圆心，BD长为半径的⊙B与AB相交于F点，延长EB交⊙B于G点，连接DG交于AB于Q点，连接AD．
求证：（1）AD是⊙B的切线；
（2）AD＝AQ；
（3）BC2＝CF×EG．
【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
()1连接BD，由DC AB
⊥，C为AB的中点，由线段垂直平分线的性质，可得
AD BD
=，再根据正方形的性质，可得90
ADB
∠=；
()2由BD BG
=与//
CD BE，利用等边对等角与平行线的性质，即可求得
1
22.52
G CDG BDG BCD ∠=∠=∠=
∠=，继而求得67.5ADQ AQD ∠=∠=，由等角对等边，可证得AD AQ =； ()3易求得67.5
GDE GDB BDE DFE ∠=∠+∠==∠，90DCF E ∠=∠=，即可证
得Rt DCF ∽Rt GED ，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得结论．
【详解】
证明：()1连接BD ，
四边形BCDE 是正方形，
45DBA ∴∠=，90DCB ∠=，即DC AB ⊥，
C 为AB 的中点，
CD ∴是线段AB 的垂直平分线， AD BD ∴=，
45DAB DBA ∴∠=∠=， 90ADB ∴∠=，
即BD AD ⊥，
BD 为半径，
AD ∴是B 的切线；
()
2BD BG =，
BDG G ∴∠=∠， //CD BE ， CDG G ∴∠=∠，
1
22.52
G CDG BDG BCD ∴∠=∠=∠=
∠=， 9067.5ADQ BDG ∴∠=-∠=，9067.5AQB BQG G ∠=∠=-∠=， ADQ AQD ∴∠=∠， AD AQ ∴=；
()3连接DF ，
在BDF 中，BD BF =，
BFD BDF ∴∠=∠，
又
45DBF ∠=，
67.5BFD BDF ∴∠=∠=，
22.5GDB ∠=，
在Rt DEF 与Rt GCD 中，
67.5GDE GDB BDE DFE ∠=∠+∠==∠，90DCF E ∠=∠=，
Rt DCF ∴∽Rt GED ， CF CD ED EG
∴=， 又CD DE BC ==，
2BC CF EG ∴=?．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的性质以及等腰三角形的判定与性质.解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
9．如图，已知等边△ABC ，AB=16，以AB 为直径的半圆与BC 边交于点D ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F ，过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，连结GD ．
（1）求证：DF 是⊙O 的切线； （2）求FG 的长； （3）求tan ∠FGD 的值． 【答案】(1)证明见解析；（2）6；（3）
．
【解析】
试题分析：(1)连接OD ，根据等边三角形得出∠A=∠B=∠C=60°，根据OD=OB 得到∠ODB=60°，得到OD ∥AC ，根据垂直得出切线；(2)根据中位线得出BD=CD=6，根据Rt △CDF 的三角函数得出CF 的长度，从而得到AF 的长度，最后根据Rt △AFG 的三角函数求出FG 的长度；(3)过点D 作DH ⊥AB ，根据垂直得出FG ∥DH ，根据Rt △BDH 求出BH 、DH 的长度，然后得出∠GDH 的正切值，从而得到∠FGD 的正切值.
试题解析：(1)如图①，连结OD ， ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠C ＝∠A ＝∠B ＝60°， 而OD ＝OB ， ∴△ODB 是等边三角形，∠ODB ＝60°， ∴∠ODB ＝∠C ， ∴OD ∥AC ，∵DF ⊥AC ，∴OD ⊥DF ，∴DF 是⊙O 的切线 (2)∵OD ∥AC ，点O 为AB 的中点，∴OD 为△ABC 的中位线，
∴BD＝CD＝6.在Rt△CDF中，∠C＝60°，∴∠CDF＝30°，
∴CF＝CD＝3，∴AF＝AC－CF＝12－3＝9 在Rt△AFG中，∵∠A＝60°，∴FG＝AF·sinA＝9×＝
(3)如图②，过D作DH⊥AB于H.∵FG⊥AB，DH⊥AB，∴FG∥DH，∴∠FGD＝∠GDH.在Rt△BDH中，∠B＝60°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝BD＝3，DH＝BH＝3.∴tan∠GDH＝＝＝，∴tan∠FGD＝tan∠GDH＝
考点：(1)圆的基本性质；(2)三角函数.
10．如图，OA，OD是⊙O半径．过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B．
(1)求证：直线CD是⊙O的切线；
(2)如果D点是BC的中点，⊙O的半径为 3cm，求DE的长度．(结果保留π)
【答案】（1）证明见解析；（2）DE的长度为π.
【解析】
（1）证明：∵AC是⊙O切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵CO平分∠AOD，
∴∠AOC=∠COD，
在△AOC和△DOC中，
∴△AOC≌△DOC，
∴∠ODC=∠OAC=90°，
∴OD⊥CD，
∴直线CD是⊙O的切线．
（2）∵OD⊥BC，DC=DB，
∴OC=OB，
∴∠OCD=∠B=∠ACO，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠B=30°，∠DOE=60°，
∴的长度==π．[来源:https://www.doczj.com/doc/579718420.html,]